微积分无穷级数作业
无穷级数复习题
无穷级数复习题无穷级数是数学中一个重要的概念，它在数学分析、微积分以及其他数学领域中有着广泛的应用。
在本文中，我们将复习一些关于无穷级数的基本概念和性质，并通过一些例题来加深对这一概念的理解。
首先，我们来回顾一下无穷级数的定义。
无穷级数是由一系列无穷多个数相加而得到的数列。
通常表示为：S = a1 + a2 + a3 + ...其中，a1、a2、a3等为数列的项。
如果这个无穷级数的部分和（也称为部分和数列）Sn = a1 + a2 + ... + an在n趋向于无穷大时存在有限的极限L，那么我们说这个无穷级数收敛，记作S = L。
反之，如果部分和数列Sn在n趋向于无穷大时不存在有限的极限，那么我们说这个无穷级数发散。
接下来，我们来看几个例题，通过计算来判断这些无穷级数是收敛还是发散。
例题1：考虑无穷级数S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...这个级数是一个几何级数，公比为1/2。
我们知道，当公比的绝对值小于1时，几何级数收敛。
因此，这个级数是收敛的。
例题2：考虑无穷级数S = 1 + 2 + 3 + 4 + ...这个级数是一个等差级数，公差为1。
我们知道，等差级数只有在公差小于1时才能收敛。
因此，这个级数是发散的。
例题3：考虑无穷级数S = 1 - 1 + 1 - 1 + ...这个级数是一个交错级数，每一项的符号交替出现。
对于交错级数，我们可以使用交错级数判别法来判断其收敛性。
根据该定理，如果交错级数的绝对值数列是一个单调递减趋于零的数列，那么这个交错级数收敛。
在这个例子中，绝对值数列为1, 1, 1, ...，显然不满足单调递减趋于零的条件，因此这个级数是发散的。
通过以上的例题，我们可以看到，判断一个无穷级数的收敛性需要使用不同的方法和定理。
在实际应用中，我们经常会遇到一些特殊的无穷级数，比如幂级数、傅里叶级数等，它们在数学和物理等领域中有着重要的应用。
幂级数是一个形如S = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n + ...的级数，其中a0、a1、a2等为常数，x为变量。
郝上京——《微积分》真题解析(数三)
＝ ｌ ｉ ｍ
２ ｘ ２ （ ｘ ＋ ｘ － １ ） ｅ ＋ １ １ ｘ ＋ ｘ － １＋ ２ ｘ ＋ １ｘ ｅ ＝ ｌ ｉ ｍ ２ ｘ ｘ ２ｘ →０ →０ ｘ
１ ３ ＝ ｌ ｉ ｍ （ ｘ ＋ ３ ）＝ ． ２ｘ ２ →０ ０ 型 ３ ． “ ” ０ １＋ ２ ｓ ｉ ｎ ｘ － ｘ － １ 【 例１ 】 求极限 ｌ ｉ ｍ槡 ． ｘ ｘ ｌ ｎ （ １＋ ｘ ） →０ ２ ｃ ｏ ｓ ｘ － １ １＋ ２ ｓ ｉ ｎ ｘ － ｘ － １ １＋ ２ ｓ ｉ ｎ ｘ － ｘ － １ ｘ ２槡 １＋ ２ ｓ ｉ ｎ 槡 槡 ＝ ｌ ｉ ｍ 解 ｌ ｉ ｍ ＝ ｌ ｉ ｍ ２ ｘ ｘ ｘ ｘ ｌ ｎ （ １＋ ｘ ） ２ ｘ →０ →０ →０ ｘ １ ｃ ｏ ｓ ｘ －槡 １＋ ２ ｓ ｉ ｎ ｘ １ １ ｃ ｏ ｓ ｘ －槡 １＋ ２ ｓ ｉ ｎ ｘ ＝ ｌ ｉ ｍ ＝ ｌ ｉ ｍ ｌ ｉ ｍ ｘ ２ｘ ２ｘ ｘ →０ →０ →０ ｘ ｘ ｘ槡 １＋ ２ ｓ ｉ ｎ １＋ ２ ｓ ｉ ｎ 槡 ２ ｃ ｏ ｓ ｘ １ １ ｓ ｉ ｎ ｘ － ｉ ｍ － ＝ ｌ ＝－ ． ２ｘ ２ →０ ｘ ２槡 １＋ ２ ｓ ｉ ｎ
【 例２ 】 设 ａ ≠
ｎ － ２ ｎ ａ ＋ １ｎ １ ， 则ｌ ｉ ｍｌ ｎ ＝ ｎ ｎ （ １－ ２ ａ ） ２ →∞
[
]
．
１ ｎ １ 解 原式 ＝ｌ ｉ ｍｎ ｌ ｎ１＋ ＝ｌ ｉ ｍ ＝ ． ｎ ） ｎ ｎ （ １－ ２ ａ （ １－ ２ ａ ） １－ ２ ａ →∞ →∞ ｎ
[
]
２ ． “ 型 ∞－ ∞” 【 例１ 】 求 ｌ ｉ ｍ
１＋ ｘ Ｂ ． ｌ ｎ １－ ｘ 槡
实验8 无穷级数与数值计算
西安理工大学应用数学系
（2）相应的Matlab代码为 syms x taylor((1+x)^0.5, x, 7, 1)
运行结果为 ans =2^(1/2) + (2^(1/2)*(x - 1))/4 - (2^(1/2)*(x - 1)^2)/32 +
(2^(1/2)*(x - 1)^3)/128 - (5*2^(1/2)*(x - 1)^4)/2048 + (7*2^(1/2)*(x - 1)^5)/8192 - (21*2^(1/2)*(x 1)^6)/65536
(n
3
1)!
105,取
n8
即可。
西安理工大学应用数学系
同理取 x 1
2
,令误差
2n
1
3 (n
1)!
105
,取 n 6 即可。
计算e的Matlab代码为
syms x y y=taylor(exp(x),x,9)
a=subs(y,x,'1') %将符号表达式y中的变量x换成变量1 e=vpa(a,10) % 将符号表达式a转化成10位精度的近似解
1 x 1 1 x 1 x2 1 3 x3 (1)n1 1 35 (2n 3) xn （6.6）
2 24 246 取
2 46 2n
于是有
, 代入(6.6), 有
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 (1)n1 1 3 5 (2n 3) xn
西安理工大学应用数学系
hold on for i=1:length(x)
y(i)=x(i)-x(i)^3/6+x(i)^5/120; plot(x(i),y(i),'.'),pause(.005) end hold on for i=1:length(x) y(i)=x(i)-x(i)^3/6+x(i)^5/120-
微积分练习题
^项 目^：综合练习 ^章 节^：第五章 定积分及其应用一、填空题.（ 1．1301x dx +⎰与1401x dx +⎰相比，大的是_____________.2．设()f x 为连续函数,则1lim ()xa x af t dt x a→-⎰=__()f a ___.. 3．设()sin ,xf x dx x x =⎰则()f x =_____________.4．325425sin 21x xdx x x -++⎰=_____0______. 5. 120sin d x dx dx =⎰ ；2sin d x dx dx=⎰ 20sin x d t dt dx =⎰ ；02sin x d t dt dx =⎰ ； 220sin x d t dt dx =⎰ ； 二、选择题. （15%）1．函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续是定积分()baf x dx ⎰存在的( )条件.A) 必要 B) 充分 C) 充要 D) 无关. 2．设()f x 是连续函数，则()()bbaaf x dx f a b x dx -+-⎰⎰=（ ）.A) 0 B) 1 C) a b + D) ()baf x dx ⎰.3．若()()xaF x xf t dt =⎰，则'()F x =（ ）.A) ()xf x B) ()()xaf t dt xf x +⎰C) ()()x a f x - D) ()[()()]x a f x f a --.4．广义积分21x xe dx +∞-⎰=（ ）.A) +∞ B) e C) 12e -D) 12e. 5．若广义积分(ln )kedxx x +∞⎰收敛，则（ ）. A) 1k > B) 1k ≥ C) 1k < D) 0k ≠. 三、计算题. （50%）解：1. 41201x dx x +⎰2.201cos22xdx π-⎰3.421x edx +⎰，4.32221sin cos dx x xππ⎰ 5.121||x x dx --⎰6.12211x dx x+-⎰7.10arctan x xdx ⎰8.401cos 2xdx xπ+⎰9.10x xdxe e -+⎰10.11ln exdx x+⎰四、应用题与证明题. （20%） 1．设0()(1)xx t t dt ϕ=-⎰在3[1,]2-内的极值. ２. 求下列各曲线所围成的图形的面积： （１）214y x =与直线3240x y --=； （２）xy e =，2xy e =与直线2y =；（３）2y x =与直线23y x =+；３. 由9,10xy x y =+=所围成的图形绕y 轴旋转，计算所得旋转体的体积。
微积分吴传生第四版无穷级数答案
微积分吴传生第四版无穷级数答案无穷级数练习和习题解答练习10.21.根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性：(1)SKIPIF 1<0；解：因为通项SKIPIF 1<0，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散。
(2)SKIPIF 1<0；解：因为SKIPIF 1<0不存在，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散。
(3)SKIPIF 1<0；解：因为SKIPIF 1<0，故原级数发散。
(4)SKIPIF 1<0；解：因为SKIPIF 1<0，故原级数发散。
(5)SKIPIF 1<0；解：因为SKIPIF 1<0，而级数SKIPIF 1<0和SKIPIF 1<0均为公比小于1的几何级数，都收敛，因此原级数收敛。
(6)SKIPIF 1<0；解：因为级数SKIPIF 1<0收敛，在其前面加上100项后的新级数仍然收敛。
(7)SKIPIF 1<0解：因为级数SKIPIF 1<0为发散调和级数，而级数SKIPIF 1<0为收敛的几何级数，收敛级数和发散级数之和发散。
2.若级数SKIPIF 1<0收敛，指出下列哪些级数是一定收敛的，哪些级数是发散的。
(1)SKIPIF 1<0；解：因为级数SKIPIF 1<0收敛，所以级数SKIPIF 1<0和SKIPIF 1<0也收敛，因此原级数也收敛。
(2)SKIPIF 1<0(SKIPIF 1<0为某一确定的自然数)解：因为级数SKIPIF 1<0收敛，而级数SKIPIF 1<0相当于级数SKIPIF 1<0去除前SKIPIF 1<0项后的新级数也收敛。
(3)SKIPIF 1<0解：因为级数SKIPIF 1<0收敛，所以SKIPIF 1<0，故SKIPIF 1<0，即级数SKIPIF 1<0发散。
高等数学(复旦大学版)第十二章 无穷级数
第十二章 无穷级数无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节 常数项级数的概念和性质教学目的：1、理解无穷级数的概念；2、理解级数的收敛或发散的概念；3、掌握等比级数和p 级数等特殊级数的敛散性；4、了解无穷级数的基本性质。
教学重点：级数收敛或发散的判定 教学难点：级数收敛或发散的判定 教学内容：一、常数项级数的概念定义1 给定数列{}n u ，则称12n u u u ++++L L为常数项无穷级数，简称级数，记做1n n u ¥=å，即121n n n u u u u ¥==++++åL L式子中每一项都是常数，称作常数项级数，第n 项称为级数的一般项（或通项）。
级数1n n u ¥=å的前n 项和称为级数的部分和，记做n s ，即12n n s u u u =+++L级数的所有前n 项部分和n s 构成一个数列{}n s ，称此数列为级数1n n u ¥=å的部分和数列。
定义2 若级数1n n u ¥=å的部分和数列{}n s 收敛于s ，则称级数1n n u ¥=å收敛，或称1nn u ¥=å为收敛级数，称s 为这个级数的和，记作121n n n s u u u u ¥==++++=åL L而12n n n n r s s u u ++=-=++L称为级数的余项，显然有lim lim()0n n nnr s s =-=若{}n s 是发散数列，则称级数1n n u ¥=å发散，此时这个级数没有和。
赵树嫄微积分无穷级数
千米远的地方有一只大乌龟正在缓慢地向前爬。乌龟说：“阿
基里斯，谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯说：
“胡说！我的速度比你快何止上百倍！就算刚好是你的十倍，
我也马上就可以超过你！”乌龟说：“就照你说的，咱们来试
一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前跑了一百米。
当你向前跑过这一百米时，我又爬到前面去了。每次你追到我
第七章
无穷级数
1
齐诺悖论—阿基里斯与乌龟
公元前五世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐
诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识，
引发出以下著名的悖论：
如果让阿基里斯(Achilles，古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟 之间举行一场赛跑，让乌龟在阿基里斯前头1000米开始，假定 阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍，也永远也追不上乌龟.齐诺的 理论依据是：当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时 乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟 仍然前于他10米，…，
爬动了一段距离.因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！
A
B
B
B1 B2
11
如果我们从级数的角度来分析这个问题，齐诺的这 个悖论就会不攻自破。
设阿基里斯的速度为乌龟速度的10倍，则他跑完 1000米时，乌龟又爬了100米；等阿基里斯跑完这段路， 乌龟又向前爬了10米……，依次类推，阿基里斯需要 追赶的全部路程为
23
100 1 1
23 . 99
100
0.423
423 990
4
419 990
.
小课题：请编写一套把循环小数转化为分数的方法。
14
循环小数转化为分数的方法：
第一型：
《微积分》真题.doc
《微积分》提高习题极限与连续求lim [y/x2 +2x + sinx -(X4- 2)].r->+oo求lim(丄一亠)z) x e -1p yjx2 +sinx - x求lim ------------------y x + ln x、“ ln(l + x)-sinx 求lim—/ -----5 Vi^-i丄求lim(Q-x)J.v->0求恤sm — umxXTO tan x(e A -l)ln(l-x)4・ 1 r 2 + cosx xt…[(—-—) -1]XTO兀・3…ln(l + x)-sinx 求lim ------- 1 ----------------5 Vl-x2 _ 1—J 4x~ + x + l + x + l 求lim /------------- :d yjx2 +sinx求lim(cosx)sin'A XT O• i 求lim(止)7Z) X求lim(xsinx + cosx)".XT()C 2求lim(sin^x + cosx)x .A->0若limZHE),求QD x" 217、，讨论/(x)的连续性・6、7、8、设 y = arcsin Jx_ \ + 才，求 dy.x= I coss 2ds, d 2v J 。
所确定，求-4.• 4 dry = smt ,cos 9、设y = )0 是由方程ln(x 2 + y) = x 3y 4- sin x所确定,求— dxx=010、设 y = arcsin Jx_\ + x",求dy •11、设y = y(x)是由方程ln(F +刃p/y + sin 兀所确定，求一 ckA=012、设y =兀血仏* @心師2x)3 + In 2,求冬. dx 13、设)，二y(x)是山方程ex+y -2x-xy-l =0确定的x 的可导函数，求dy\x=G .Y +e nx设当 X>-1 时22 1 + e18、设f(x) = u(x) + v(x), g(x) = u(x)-v(x),并设limw(x)与lim 咻)均不存在,则下列结论正确XT OX ->0的是[](A) 若lim f(x)不存在，则limg(x)必存在..¥->()X->0(B) 若lim/(x)不存在，贝ijlimg (兀)必不存在.XT OX ->0(C) 若lim/(x)存在，则limg (兀)必不存在.A —>0A->()(D)若lim f(x)存在,贝ijlimg(x)必存在. x->0x->0二、导数与微分1、 设)：=(cos x)sin ' + (arcsin 2x)3 + /,求 dy.2、 设y = -tan5x + /A x cosx + ln^,求空. 2 dx3、 设/(兀)可导，y = x r (cosx)求世.dxIn Y4、 求y = —(X >0)的值域.X 5^ 设 y = xln(l + x),求 y 对兀的 10 阶导数 y (10)(x). dx (1^ x设函数*心)由L + sinzO 所确定，求加x = y]l-t 2 y=arcsin t，求d 2y dx 2\x = t + arctan t+1 设由参数式』 .[y = t +6t设/(兀)在(a,+oo)内可导,且lim 广(兀)= a,证明：lim /⑴=a .XTOOJT ->OO *x = sin/- arctan t.A 2Y, --- 求一，一3•设 y(x) = arccot^A- Iny = ln(r + Vl + r), 血所确定的函数y = y(x)在f = -1处的一阶导数世，及二阶导数 dxd 2yd?'t =尸 + 2/设山参数式 ~，确定了 y 为X 的函数y 二yd),求曲线y = y(x)的凹、凸区间及拐y = /-ln(l + /)点坐标(区间用兀表示，点用(九刃表示). 求函数y = %-2r 的极小值.求由方程2/ - 2y 2+ 2xy + y-x 2=O 确定的函数y = y(x)的极值，并问此极值是极大值还是极小值，说明理由.求曲线y = arctan x 在横坐标为1的点处的切线方程._ 求曲线ln(y + x)-cos(xy) = x±点x = 0处的切线方程. 设X>0,证明/(X )=(兀一4)" 一(兀一2)e x+2<0 ・证明若 e <a <b<e 2,则 In? b-ln? a > 丄(/?一。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
12.1 无穷级数的概念与基本性质
一、填空题
1．级数1
11(1)2n n n -∞
-=-∑的部分和n S = ，其和S = .
2．若级数1n n u
∞=∑收敛，则级数1(0.01)n n u ∞=+∑ （填收敛或发散）.
3．级数11(32)(31)n n n ∞
=-+∑的部分和n S = ，其和S = . 4．已知无穷级数的部分和212
n n n S -=，则级数的一般项n u = . 5．若级数1n n u
∞=∑收敛于S ，则级数11()n n n u u ∞+=+∑= .
6.已知12111(1)
2,5n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑，则1
n n a ∞
==∑ . 二、判别级数12(3)5n n
n n ∞
=+-∑的收敛性，若收敛求和.
三、判别级数1111n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的收敛性
一、单项选择题
1.下列级数收敛的是 . A.21ln n n ∞
=∑ B.1121n n ∞=+∑
C.1n ∞=
D.211n n n ∞=+∑
2.正项级数1n n u
∞=∑收敛是级数21n n u ∞=∑收敛的 条件.
A.充分非必要
B.必要非充分
C.充要
D.既非充分也非必要
二、判别以下级数的敛散性
1
．n ∞= 2.21sin 33n n n n π∞
=∑
3.
221(!)23n n n n ∞=∑ 4.(1)112n n n ∞+-=∑
三、求极限2
lim (!)n
n n n →∞
一、单项选择题
1．下列级数为绝对收敛的是 .
A ．11(1)n n n ∞
=-∑ B ．31arctan n n n ∞=∑ C ．11sin n n n ∞=∑ D
．1(1)n n ∞=-∑ 2．下列级数为条件收敛的是 .
A ．1(1)1n
n n n ∞=-+∑ B
．1(1)n ∞=-∑ C
．1(1)n n ∞=-∑ D ．211(1)n n n ∞=-∑ 3．设10(1,2)n a n n ≤<=，则下列级数中肯定收敛的是 . A ．1n n a
∞=∑ B ．1(1)n n n a ∞=-∑ C
．n ∞= D ．21(1)n n n a ∞
=-∑ 二、判断以下级数的敛散性，若收敛，判断是绝对收敛还是条件收敛 1．1sin 3n n n ∞=∑
2．
11(1)ln n n n
∞=-∑
三、已知级数2
1n
n a ∞=∑收敛，试证明1n n a n ∞
=∑均绝对收敛.
12.3 幂级数
一、填空题
1．幂级数12n
n n x n ∞
=∑的收敛半径为 ，收敛区间为 .
2．幂级数1(1)2n
n n x ∞
=-∑的收敛域为 ，其和函数()S x = . 3．幂级数11n n nx
∞-=∑的收敛域为 ，其和函数()S x = ， 级数112n n n ∞
-=∑的和为 . 二、求下列幂级数的收敛域
1．1(2)5n
n n x n ∞
=-∑
2．21
1(1)21n n
n x n +∞=-+∑
三、求幂级数1(1)2n
n n x n ∞
=-∑的收敛区间，并求和函数.
12.4 函数展开成幂级数
一、填空题
1．利用ln(1)x +的展开式，可以把()ln f x x =展开为2x -的幂级数，展开式为 .
2．将函数2()e
x f x -=展开为x 的幂级数，结果为 . 3．幂级数30
(1)!n
n n x n ∞+=-∑的和函数()S x = . 4．将1()3f x x
=
-展开为1x -的幂级数，结果= . 二、将下列函数展开为x 的幂级数，并求展开式成立的区间 1
．()f x =
2．2()cos f x x =
三、将24()253
x f x x x +=
--展开为1x -的幂级数，并求展开式成立的区间.
12.7 傅里叶级数
一、填空题
1．设()f x 是以2π为周期的周期函数，则在闭区间[,]ππ-上有
10()10x x f x x x ππ
--≤<⎧=⎨+≤<⎩则()f x 的傅里叶级数在x π=处收敛于 . 2．设1)(+=x x f 在[,]ππ-上的傅里叶级数的和函数为)(x s ，则)0(s = ， )1(s = ，)5(πs = 。
二、将函数()f x x =在[,]ππ-上展开成傅里叶级数，并计算级数211(21)n n ∞
=-∑
的和.
三、将函数,022()0,2
x x f x x ππππ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩展开为正弦级数和余弦级数.。