2020版高考数学一轮复习课后限时集训34二元一次不等式组与简单的线性规划问题文含解析北师大版

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2020届高三文理科数学一轮复习《二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题》专题汇编(教师版)

《二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题》专题一相关知识点1．二元一次不等式(组)表示的平面区域（1）确定二元一次不等式表示的平面区域位置的方法把二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示为y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式．若y＞kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；若y＜kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．（2）利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．（3）相关结论：点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0. 3．线性规划中的基本概念4.简单线性规划问题的图解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即5．求线性目标函数最值应注意的问题求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式： y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值，应注意以下两点：(1)若b >0，则截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值．(2)若b <0，则截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域类型一二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y 表示的平面区域为( )解析：因为不等式组中两个不等式均未带等号，所以排除A ，又不等式y <－3x ＋12表示的平面区域为直线y ＝－3x ＋12的左下方部分，不等式x <2y 表示的平面区域为直线x ＝2y 的左上方部分，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y 表示的平面区域为选项B 所表示的区域，选B.2．观察如图所示的区域，它对应的不等式组是____________________________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋y －3≤0类型二：直接求平面区域的面积 1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域的面积为________．解析：362．关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，x ＋y －4≤0表示的平面区域的面积为解析：平面区域为一个直角三角形ABC ，其中A (3,1)，B (2,0)，C (1,3)，所以面积为12|AB |·|AC |＝12×2×8＝2.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，若满足条件的点P (x ，y )表示的平面区域为M ，则区域M 表示的几何图形的周长是解析：在坐标系中画出可行域△ABC ，A (2,0)，B (1,1)，C (3,3)，用两点间距离公式可求得AB ＝2，AC ＝10，BC ＝22，则周长为32＋10.类型三含参数的平面区域问题1．在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m,1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P (m,1)在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝________. 解析：62．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：直线2x －3y ＋6＝0上方的点满足不等式y ＞23x ＋2，∴t ＞23×(－2)＋2，即t ＞23.3．点(1,0)与(2,5)位于10mx y +-=异侧，则m 的范围是解析：由题,点(1,0)与(2,5)位于10mx y +-=异侧,将两点分别代入直线方程中,则()()12510m m -+-<,即()()1240m m -+<,21m ∴-<<.4．已知点（3，1）和46-（，）在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是解析：由于点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，故()()9212120a a -+--+<，即()()7240a a +-<，解得724a -<<.5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，3x ＋y <3，x ＋y >a表示的平面区域是一个三角形区域(不包括边界)，则实数a 的取值范围是解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，要使可行域为三角形区域(不包括边界)，则需点A 在直线x ＋y ＝a 的右上方．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，3x ＋y ＝3可得A ⎝⎛⎭⎫34，34，所以34＋34>a ，即a <32. 6．已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，所表示的平面区域的面积为3，则实数k 的值为________．解析：直线kx －y ＋2＝0恒过点(0,2)，不等式组表示的平面区域如图所示，则A (2,2k ＋2)，B (2,0)，C (0,2)，由题意知12×2×(2k ＋2)＝3，解得k ＝12.7．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝⎛⎭⎫23， 23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.题型二线性目标函数的最值（取值范围）1．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－32x ＋z 2. 作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.2．若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3.3．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －4≥0，则x ＋2y 的最大值为解析：法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x ＋2y ＝0，平移该直线，当直线经过点B (3,4)时，x ＋2y 取得最大值，即(x ＋2y )max ＝3＋2×4＝11.法二：设z ＝x ＋2y ，由题易知，目标函数z ＝x ＋2y 的最大值只能在可行域的三个顶点处取得，由题知三条直线的交点分别为⎝⎛⎭⎫32，52，(3,4)，(2,2)，当x ＝32，y ＝52时，z ＝132；当x ＝3，y ＝4时，z ＝11；当x ＝2，y ＝2时，z ＝6，所以z max ＝11.解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝32x ，平移该直线，当直线经过C (1,0)时，在y 轴上的截距最小，z 最大，此时z ＝3×1－0＝3，故选C. 5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －1≤0，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝2x ·4y 的最大值为解析：由z ＝2x ·4y 得z ＝2x＋2y，设m ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12m ，平移直线y ＝－12x ＋12m ，由图象可知当直线y ＝－12x ＋12m 经过点A 时，直线y ＝－12x ＋12m 的截距最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即A (3,1)，此时m 最大，为m ＝3＋2＝5，此时z 也最大，为z ＝2x＋2y＝25＝32.6．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥|x |，x －2y ＋4≥0，则2x ＋y 的最大值为解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易得当该直线经过点A (4,4)时，2x ＋y 取得最大值，为12.7．已知点A (2，－1)，点P (x ，y )满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，y －1≤0，x －2y ≤4，O 为坐标原点，那么OA ―→·OP―→的最小值是解析：画出满足约束条件的平面区域，如图所示．又由OA ―→·OP ―→＝(2，－1)·(x ，y )＝2x －y .令目标函数z ＝2x －y .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，y －1＝0，解得B (－2,1)，z ＝2x －y 在点B 处取得最小值z min ＝2×(－2)－1＝－5.为解析： ⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4≤0，x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则MN ―→·a ＝(ON ―→－OM ―→)·a ＝ON ―→·a －OM ―→·a ＝x 2＋2y 2－(x 1＋2y 1)，设z ＝x ＋2y ，平移直线x ＋2y ＝0，易知当直线经过点A (4,4)时，z 取得最大值，最大值是12，当直线经过点B (2,0)时，z 取得最小值，最小值为2，所以MN ―→·a 的最大值为10. 9．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是解析：根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝ 2.10．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4，x ≥－2则z ＝|x －3y |的取值范围是解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥－2，对应的可行域如图，z ＝|x －3y |＝10，其中|x －3y |10表示可行域内的点(x ，y )到直线x －3y ＝0的距离，由图可知，点A (－2,2)到直线x －3y ＝0的距离最大，最大为810，又距离最小显然为0， ∴z ＝|x －3y |的取值范围为[0,8]．题型三非线性目标函数的最值（取值范围）非线性目标函数最值问题的常见类型及求法 1．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围； (3)求目标函数z ＝y －1x －1的取值范围；(4)求目标函数z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3的最值．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率．因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)，所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2，所以z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)，所以OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，所以z 的取值范围是[1,5]．(3)z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率，所以z 的取值范围是(－∞，0]．(4)z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|1－1＋1|12＋(－1)22＝12，所以z max ＝2＋1＝3，z min＝12＋1＝32. 2.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx的取值范围是解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易知可行域的三个顶点的坐标分别为(1,3)，(1,6)，⎝⎛⎭⎫52，92，yx 表示可行域内的点(x ，y )与原点连线的斜率，观察图象可知，当(x ，y )＝(1,6)时，y x 取得最大值，最大值为6，当(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫52，92时，yx 取得最小值，最小值为95，故yx 的取值范围是⎣⎡⎦⎤95，6. 3．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4，若点P (2a ＋b,3a －b )在该不等式组所表示的平面区域内，则b ＋2a －1的取值范围是解析：因为点P (2a ＋b,3a －b )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4所表示的平面区域内，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ≥1，3a －b ≥2，2a ＋b ＋3a －b ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ≥1，3a －b ≥2，5a ≤4，其表示的平面区域是以A ⎝⎛⎭⎫45，－35，B ⎝⎛⎭⎫45，25，C ( 35，－15 )为顶点的三角形区域(包括边界)．b ＋2a －1可看作是可行域内的点与点M (1，－2)连线的斜率，所以k MB ≤b ＋2a －1≤k MC ，即－12≤b ＋2a －1≤－92.4．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －5≤0，x ＋y －4≤0，3x ＋y －10≥0，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示．因为z ＝x 2＋y 2表示区域内的点到原点距离的平方，由图知，当区域内的点与原点的连线与直线3x ＋y －10＝0垂直时，z ＝x 2＋y 2取得最小值，所以z min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|3×0＋0－10|32＋122＝10，垂足为点(3,1)，在平面区域内，所以z ＝x 2＋y 2的最小值为10.5．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0，x ＋2y －14≤0，2x ＋y －10≤0，则x 2＋y 2的最小值为________．解析：x 2＋y 2表示可行域内的点P (x ，y )到原点的距离的平方，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点O 作OA 垂直直线x ＋y －6＝0，垂足为A ，易知点A 在可行域内，所以原点到直线x ＋y －6＝0的距离d ，就是点P (x ，y )到原点距离的最小值，由点到直线的距离公式可得d ＝612＋12＝32，所以x 2＋y 2的最小值为d 2＝18. 6．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125.7．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为解析：作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由题意，知14πr 2＝π，解得r ＝2.z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，易知y －2x ＋3表示可行域内的点(x ，y )与点P (－3，2)的连线的斜率，由图可知，当点(x ，y )与点P 的连线与圆x 2＋y 2＝r 2相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍)，所以z min ＝1－125＝－75.题型四线性规划中的参数问题（求参数的值或取值范围）1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤6，y ≥k ，且z ＝3x ＋y 的最小值为－8，则k ＝________.解析：目标函数z ＝3x ＋y 可化为y ＝－3x ＋z ，要使目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为－8，则平面区域位于直线y ＝－3x ＋z 的右上方，即3x ＋y ＝－8，作出不等式组对应的平面区域，如图，是一个封闭的三角形，则目标函数经过点A (k ，k )时，目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为－8，代入得－8＝4k ，解得k ＝－2.2．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若目标函数z ＝x ＋y 的最大值为6，则z 的最小值为解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋y经过点A 时，z 取得最大值，此时A (k ，k )，所以2k ＝6，即k ＝3，所以B (－6,3)，当直线z ＝x ＋y 经过点B 时，z 取得最小值，所以z 的最小值为－6＋3＝－3.3．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－3≤3x －y ≤－1，－1≤x ＋y ≤1，若z ＝ax ＋y 有最大值52，则a 的值为解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－3≤3x －y ≤－1，－1≤x ＋y ≤1所表示的平面区域如图中阴影部分所示．z ＝ax ＋y 有最大值52，即直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距有最大值52，由图可知当直线y ＝－ax ＋z 经过点A 时，z 取得最大值52，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝－3，x ＋y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝32，所以A ⎝⎛⎭⎫－12，32，代入ax ＋y ＝52，得a ＝－2. 4．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，3x －y ≤3，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是解析：作出约束条件所表示的平面区域，如图所示．将z ＝ax ＋2y 化成y ＝－a 2x ＋z 2，当－1<－a 2<3时，直线y ＝－a 2x ＋z2的纵截距仅在点(1,0)处取得最小值，即目标函数z ＝ax ＋2y 在点(1,0)处取得最小值，解得－6<a <2.5．如图，目标函数z ＝kx ＋y 的可行域为四边形OABC (含边界)，A (1,0)，C (0,1)，若B ⎝⎛⎭⎫34，23为目标函数取得最大值的最优解，则k 的取值范围是_______解析：直线z ＝kx ＋y 的斜率为－k ，平移直线y ＝－kx ＋z ，因为B ⎝⎛⎭⎫34，23为目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的最优解，∴k AB ≤－k ≤k BC ，又∵k AB ＝－83，k BC ＝－49，∴－83≤－k ≤－49⇒49≤k ≤83. 6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为解析：画出约束条件所表示的可行域，如图中阴影部分所示．令z ＝0，画出直线y ＝ax ，a ＝0显然不满足题意．当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则需使直线y ＝ax 与x ＋y －2＝0平行，此时a ＝－1；当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则需使直线y ＝ax 与2x －y ＋2＝0平行，此时a ＝2.综上，a ＝－1或2.7.已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________.解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.8.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2≥y ，x －2≤2y ，x ＋y ≤2，若z ＝x －my (m ＞0)的最大值为4，则m ＝________.解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影区域所示，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x －2y －2＝0，得B (－2，－2)，同理可得A (2,0)，C (0,2)，因为z ＝x －my (m ＞0)，则y ＝1m x －1m z ，当1m ＞12，即0＜m ＜2时，z ＝x －my 在点A (2,0)处取得最大值2，不合题意，因此m ≥2，此时z ＝x －my 在点B (－2，－2)处取得最大值4.所以－2＋2m ＝4，解得m ＝3.9.若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，其中m ＞0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m＝________.解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，x＋y 有最大值，此时x ＋y ＝9，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝9，2x －y －3＝0得A (4,5)，将A (4,5)代入x －my ＋1＝0得4－5m ＋1＝0，解得m ＝1.10.若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为解析：由选项得m ＞0，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0(m ＞0)，3x －2y ＋2≥0表示的平面区域，如图中阴影部分．因为z ＝3x －y ，所以y ＝3x －z ，当直线y ＝3x －z 经过点A 时，直线在y 轴上的截距－z 最小，即目标函数取得最大值2.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋2＝0，3x －y ＝2，得A (2,4)，代入直线mx －y ＝0得2m －4＝0，所以m ＝2. 11．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解析：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)时z 取最小值－2，过C (1,0)时z 取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2. (2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故a 的取值范围是(－4,2)．题型五线性规划的实际应用1．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元解析：设分别生产甲、乙两种产品为x 桶，y 桶，利润为z 元，则根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y .作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作直线L ：300x ＋400y ＝0，然后把直线向可行域平移，可得当x ＝0，y ＝6时，z 最大，其值为2 400，故选C.。

2020年高考数学一轮总复习测试卷《二元一次不等式组与简单线性规划》及答案解析

2020年高考一轮总复习测试卷《二元一次不等式组与简单线性规划》
一、选择题（共14小题；共70分）
1. 不等式表示的平面区域在直线的
A. 右上方
B. 右下方
C. 左上方
D. 左下方
2. 目标函数，将其看成直线方程时，的意义是
A. 该直线的截距
B. 该直线的纵截距
C. 该直线的纵截距的相反数
D. 该直线的横截距
3. 直角坐标系内的一动点，运动时该点坐标满足不等式，则这个动点的运动区域
（用阴影表示）是
A. B.
C. D.
4. 直线把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是
A. B. C. D.
5. 已知变量，满足约束条件则的最大值为
A. B. C. D.
6. 设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为
A. B. C. D.
7. 设，满足约束条件则的最大值为
A. B. C. D.
8. 设，满足约束条件则的最大值是
A. B. C. D.
9. 不等式表示的平面区域是．
A. B.
C. D.
10. 已知变量，满足约束条件则的最大值为
A. B. C. D.
11. 若，满足则的最大值为
A. B. C. D.
12. 若变量，满足约束条件则的最大值是
A. B. C. D.
13. 若，且则的最大值等于
A. B. C. D.。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训33二元一次不等式组与简单的线性规划问题理含解析新人教A版

课后限时集训(三十三) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(建议用时：40分钟) A 组基础达标一、选择题1．(2018·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45C [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－35x ，平移该直线，当经过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝1，x ＋y ＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即C (2,3)，所以z max ＝3×2＋5×3＝21，故选C.]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，2x ＋y ＜6所表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5C [由不等式2x ＋y ＜6得y ＜6－2x ，且x ＞0，y ＞0，则当x ＝1时，0＜y ＜4，则y ＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x ＝2时，0＜y ＜2，则y ＝1，此时整点有(2,1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4，故选C.]3．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋6≥0，x ≤2，则目标函数z ＝x 2＋y 2的最小值是( )A. 2 B ．2 C ．4 D.689B [作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋6≥0，x ≤2表示的平面区域如图中阴影部分所示．过原点O (0,0)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线段的长度d ＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知z min ＝d 2＝2，故选B.] 4．点P (x ，y )为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0所表示的平面区域内的动点，则yx的最小值为( )A ．－12 B ．－2 C ．－3D ．－13D [作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －8＝0，x ＋2y －1＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故A (3，－1).yx的几何意义为直线OP 的斜率，故当点P与点A 重合时直线OP 的斜率最小，此时k OP ＝－13.]5．某颜料公司生产A ，B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨；生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨．如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天内可获得的最大利润为( ) A ．14 000元 B ．16 000元 C ．18 000元D ．20 000元A [设生产A 产品x 吨，B 产品y 吨，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ≤160，2x ＋5y ≤200，x ，y ∈N，利润z ＝300x ＋200y ，可行域如图阴影部分所示．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z200经过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝160，x ＋y ＝50可得x ＝40，y ＝10，即A (40,10)．z max ＝300×40＋200×10＝14 000.] 6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3B [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B.] 7．(2019·皖南八校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，所表示的平面区域为M ，若直线y ＝k (x －2)－1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32D ．[－1,3]A [画出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示，y ＝k (x －2)－1恒过C (2，－1)，k ＝y ＋1x －2即为可行域内的点(x ，y )与C (2，－1)连线的斜率，由图可知，k ≤k BC ＝－1，即实数k 的取值范围是(－∞，－1]，故选A.] 二、填空题8．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)表示区域D 的不等式组为________；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，则a 的取值范围为________．(1)⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤04x ＋y ＋10≥0(2)(－18,14) [(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0，即(14－a )(－18－a )＜0，得a 的取值范围是－18＜a ＜14.]9．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．－1 [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y 得y ＝34x －14z .平移直线y ＝34x ，易知经过点A 时，z 有最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴A (1,1)．∴z min ＝3－4＝－1.]10．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取到最大值，则a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ [作出不等式对应的平面区域，如图阴影部分所示，当a ＝0时，z ＝x ，即x ＝z ，此时不成立．故a ≠0.由z ＝x ＋ay 得y ＝－1ax ＋z a.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －8＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即A (2,2)．要使目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)仅在点A (2,2)处取得最大值，则阴影部分区域在直线y ＝－1ax＋z a的下方，即目标函数的斜率k ＝－1a，满足k ＞k AC ，即－1a＞－3. ∵a ＞0，∴a ＞13，即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.] B 组能力提升1．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋4y －4≥0，x ＋y －3≤0，则x ＋1y的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，11 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤111，35C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，11 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤111，53A [约束条件对应的平面区域是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫45，45，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫83，13为顶点的三角形及其内部，y x ＋1的几何意义是可行域上的点(x ，y )与点(－1,0)连线所在直线的斜率，当(x ，y )取点⎝ ⎛⎭⎪⎫83，13时，yx ＋1取得最小值111；当(x ，y )取点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32时，y x ＋1取得最大值35，则y x ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤111，35，所以x ＋1y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，11，故选A.] 2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |－1≤a ≤1} B ．{a |a ≤－1} C ．{a |a ≤－1或a ≥1}D ．{a |a ≥1}A [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，所以目标函数z ＝ax ＋y 的图象经过点A (3,9)时，z 取得最大值，经过点B (3，－3)时，z 取得最小值，由图象得，－1≤－a ≤1，所以－1≤a ≤1，故选A.]3．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)．若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是________．[0,2] [满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2的平面区域如图阴影部分所示．将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式．当x ＝1，y ＝1时，OA →·OM →＝－1×1＋1×1＝0；当x ＝1，y ＝2时，OA →·OM →＝－1×1＋1×2＝1；当x ＝0，y ＝2时，OA →·OM →＝－1×0＋1×2＝2. 故OA →·OM →的取值范围为[0,2]．]4．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为________元．2 400 [设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元，x ，y ∈N. 根据题意，有 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ∈N，y ∈N，目标函数为z ＝300x ＋400y .作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ∈N，y ∈N所表示的可行域，如图中的阴影部分中的整点所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，当直线经过点A(0,6)时，z有最大值，z max＝400×6＝2 400.]。

2020高考数学一轮复习课时规范练32二元一次不等式组与简单的线性规划问题理北师大版

课时规范练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固组1.若点(m,1)在不等式2+3y-5>0所表示的平面区域内,则m的取值范围是()A.m≥1B.m≤1C.m<1D.m>12.(2018安徽六安舒城中学仿真(三),3)若,y满足则=+2y的最大值为()A.8B.7C.2D.13.(2018广东阳春一中模拟,4)若实数,y满足不等式组则=2+y2的取值范围是()A.,2B.[0,2]C.D.[0,]4.(2018吉林长春高三质监(二),6)已知动点M(,y)满足线性条件定点N(3,1),则直线MN斜率的最大值为()A.1B.2C.3D.45.(2018山东临沂沂水一中三模,11)已知实数,y满足的取值范围为()A.-3,B.-3,C.-3,D.-6.(2018宁夏银川四模,6)已知实数,y满足的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1]C.[1,+∞)D.,+∞7.(2018江西南昌联考,9)已知实数,y满足;若目标函数=a+y(其中a为常数)仅在处取得最大值,则a的取值范围是()A.(-1,1)B.(-1,0)C.(0,1)D.{-1,1}8.(2018江苏南通联考)已知实数,y满足且(-1)-y+-2≥0恒成立,则实数的最小值是.9.(2018福建三明质检,15)若直线a+y=0将平面区域Ω=划分成面积为1∶2的两部分,则实数a的值等于.10.(2018云南红河一模,14)已知则=2-y的取值范围是.11.(2018北京海淀区二模,13)A,B两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个校区每位同学的往返车费及服务老人的人数如下表;根据安排,去敬老院的往返总车费不能超过37元,且B小区参加献爱心活动的同学比A小区的同学至少多1人,则接受服务的老人最多有人.综合提升组12.(2018江西南昌二模,6)已知点P(m,n)在不等式组表示的平面区域内,则实数m的取值范围是()A.[-5,5]B.[-5,-5]C.[-5,1]D.[-5,1]13.(2018江西南昌测试八,5)已知f()=2+a+b,0≤f(1)≤1,9≤f(-3)≤12,则=(a+1)2+(b+1)2的最小值为()A. B. C. D.114.(2018山西太原一模,7)已知不等式a-2by≤2在平面区域{(,y)|||≤1且|y|≤1}上恒成立,则动点P(a,b)所形成平面区域的面积为()A.4B.8C.16D.3215.(2018江西赣州一联,14)已知平面区域Ω;夹在两条斜率为-2的平行直线之间,则这两条平行直线间的最短距离为.创新应用组16.(2018河南一模,7)设不等式组表示的平面区域为D,若圆C;(+1) 2+y2=r2(r>0)不经过区域D上的点,则r的取值范围为()A.(0,)∪(,+∞)B.(,+∞)C.(0,)D.17.(2018湖北武汉调研,10)若,y满足|-1|+2|y+1|≤2,则M=22+y2-2的最小值为()A.-2B.C.4D.-参考答案课时规范练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.D由2m+3-5>0,得m>1.2.B作出题设约束条件可行域,如图△ABC内部(含边界),作直线l;+2y=0,把直线l向上平移,增加,当l过点B(3,2)时,=3+2×2=7为最大值.故选B.3.B绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数表示坐标原点到可行域内点的距离的平方,则目标函数在点(0,0)处取得最小值;min=02+02=0,目标函数在点A(1,1)处取得最大值;ma=12+12=2,故2+y2的取值范围是[0,2].故选B.4.C画出线性条件表示的可行域,由可得M(2,-2),由可行域可知当M取(2,-2)时,直线MN的斜率最大值为=3,故选C.5.A先作出不等式组对应的可行域,如图所示,解方程组得A,2,=表示可行域内的点(,y)到原点的直线的斜率,所以当点在A点时,斜率最大==,没有最小值,无限接近直线3+y-6=0的斜率-3,所以的取值范围为-3,.故选A.6.D的几何意义为可行域内的点到原点的距离,画出可行域,根据几何图像中的距离,结合点到直线的距离公式,即可求出范围.根据题意作出可行域;此区域为开放区域,所以距离可以无限大,由图像可知最近距离为原点到直线+y-1=0的距离,所以由点到直线距离公式可得;最短距离d==.故选D.7.A构造二次函数f(t)=t2-t,由函数的单调性可知,f()≤f(y),得到自变量离轴越远函数值越大,故≤-y,且0≤y ≤,得到可行域为如图所示,直线斜率为-a,由图像可得到-1<-a<1即-1<a<1.故选A.8. 4画出表示的可行域,如图,直线(-1)-y+-2=0过定点(-1,-1),若(-1)-y+-2≥0恒成立,可行域在直线下面,当直线过(0,2)时,-1有最小值=3,最小值为4,故答案为4.9.或- 绘制不等式组表示的平面区域如图所示,由题意可知,该平面区域的面积;S=×OB×AC=×1×2=1,直线a+y=0的斜率为=-a,当a<0时,如图所示,联立方程组;可得D,,此时S△OCD=×1×=,解得a=,由对称性可知,a=-也满足题意.综上可得;实数a的值等于或-.10.[-6,2]由=2-y⇒y=2-,则表示直线y=2+b在y轴上截距的相反数.如图,易知当直线过点A时直线在y轴上的截距最小为-2,取最大值为2;当直线过点B时直线在y轴上的截距最大为6,取最小值为-6.所以,=2-y的取值范围是[-6,2].11.35设A,B两小区参加活动同学的人数分别为,y,受到服务的老人人数为,则=5+3y,且作出可行域,如图平移直线=5+3y,由图可知,当直线=5+3y过点M(4,5)时,最大,∴当=4,y=5时,取得最大值为35,即接受服务的老人最多有35人,故答案为35.12.C作出约束条件所表示的平面区域,如图所示,由解得A(1,7),且点B(-5,0),又因为点P(m,n)在不等式组所表示的平面区域内,所以实数m的取值范围是[-5,1],故选C.13.B因为0≤f(1)≤1,9≤f(-3)≤12,所以作可行域,则=(a+1)2+(b+1)2,其几何意义是可行域内点到定点A(-1,-1)距离的平方,其最小值为A到直线+y+1=0距离的平方,即min=2=,选B.14.A令=a-2by.∵不等式a-2by≤2在平面区域{(,y)|||≤1且|y|≤1}上恒成立,∴函数=a-2by在可行域要求的条件下,ma=2恒成立,画出平面区域{(,y)|||≤1且|y|≤1},如图所示;当直线a-2by-=0过点(1,1)或点(1,-1)或(-1,1)或(-1,-1)时,有;点P(a,b)形成的图形是图中的菱形MNTS.∴所求的面积S=2××4×1=4,故选A.15. 画出可行域如下图所示,由图可知,两平行线最短距离为点A(0,2)到直线2+y-5=0的距离,即d==.16.A作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△MNP及其内部,其中M(1,1),N(2,2),P(1,3).∵圆C;(+1)2+y2=r2(r>0)表示以C(-1,0)为圆心,半径为r的圆,∴由图可得,当半径满足r<CM或r>CP时,圆C不经过区域D上的点,∵CM==,CP==,∴当0<r<或r>时,圆C不经过区域D上的点,故选A.17.D令t=,+2|y+1|≤2,作出可行域,如图所示.A(,0),B(-,-1),M=t2+y2-t=t-2+y2-表示可行域上的动点到定点,0的距离的平方,然后减去,故其最小值为定点,0到直线AB的距离的平方减去.AB;y=t-,定点,0到直线AB的距离;=,∴M=t2+y2-t=t-2+y2-≥-=-,故选D.。

2020版高考数学(文)一轮复习通用版课件二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

在可行域的顶点处取得；如果目标函数存在多个
(5)最优解：使目标函数取得最大值或最小
最优解，那么最优解一般在可行
值的可行解.
域的边界上取得.
(6)线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的_最__大__值_
或最小值问题．
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1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域
(1)线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
[答案] B
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[解题技法] 解线性规划应用问题的一般步骤
审仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪题些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系
返回
[解题技法] 常见的 2 种非线性目标函数及其意义 (1)点到点的距离型：形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方； (2)斜率型：形如 z＝xy－－ba，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率．
返回
考法(三) 线性规划中的参数问题 [ 典例 ] (2019·湖北八校联考 ) 已知 x ， y 满足约束条件
[答案] A
所以直线 kx－y＝0 的斜率为 1，即 k＝1，故选 A.
(2) 不等式组 2xx＋＋y－y－36≥≤00，， y≤2
返回
表示的平面区域的面积为
________．
[解析]
不等式组 2xx＋＋y－y－36≥≤00，， y≤2
表示
的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积
()
返回
x－y≥0，解析：不等式组2x＋y≤2，表示的平面区
y≥0
域如图中阴影部分所示．

(人教版)2020届高考数学一轮复习第七章不等式二元一次不等式(组)与简单的线性规划文

课时跟踪训练(三十六) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划[基础巩固]一、选择题1．(2017·山西临汾一中)不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )[解析] 由y ·(x ＋y －2)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x ＋y －2≤0，所以不等式y ·(x＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项，故选C.[答案] C2．(2017·河北卓越联盟联考)已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围为( )A ．(－7,24)B ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C ．(－24,7)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)[解析] 由题意可知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以(a ＋7)·(a －24)<0，所以－7<a <24.[答案] A3．(2017·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．6[解析] 本题考查简单的线性规划．由约束条件画出可行域，如图．由z ＝x ＋2y 得y ＝－x 2＋z 2，当直线y ＝－x 2＋z2经过点A 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋5＝0，x ＋3＝0得A 点的坐标为(－3,4)．故z max ＝－3＋2×4＝5.故选C.[答案] C4．(2017·浙江卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)[解析] 本题考查线性规划中可行域的判断，最优解的求法．不等式组形成的可行域如图所示．平移直线y ＝－12x ，当直线过点A (2,1)时，z 有最小值4.显然z 没有最大值．故选D.[答案] D5．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1 [解析] 画出x ，y 约束条件限定的可行域，如图阴影区域所示，由z ＝y －ax 得y ＝ax ＋z ，当直线y ＝ax 与直线2x －y ＋2＝0或直线x ＋y －2＝0平行时，符合题意，则a ＝2或－1.[答案] D6．(2018·浙江重点中学联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( )A ．[1,5]B ．[2,6]C ．[3,10]D ．[3,11][解析] 根据约束条件画出可行域如图阴影部分所示．∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1x ＋1，令k ＝y ＋1x ＋1，即为可行域中的任意点(x ，y )与点(－1，－1)连线的斜率．由图象可知，当点(x ，y )为A (0,4)时，k 最大，此时x ＋2y ＋3x ＋1的最大值为11，当点(x ，y )在线段OB 上时，k 最小，此时x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为3.故选D.[答案] D二、填空题7．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．[解析] 本题考查简单的线性规划．画出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界)．可得目标函数z ＝3x －4y 在点A (1,1)处取得最小值，z min ＝3×1－4×1＝－1. [答案] －18．(2017·吉林省吉林市普通高中调研)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是________．[解析] 由题中的线性约束条件作出可行域，如图．其中C (0,2)，B (1,1)，D (1,2)．由z ＝OA →·OM →＝－x ＋y ，得y ＝x ＋z .由图可知，当直线y ＝x ＋z 分别过点C 和B 时，z 分别取得最大值2和最小值0，所以OA →·OM →的取值范围为[0,2]．[答案] [0,2]9．(2018·辽宁抚顺模拟)已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，若z ＝x ＋3y的最大值为8，则实数k ＝________.[解析] 依题意k <0且不等式组表示的平面区域如图所示．易得，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3，－k 3.目标函数z ＝x ＋3y 可看作直线y ＝－13x ＋13z 在y 轴上的截距的3倍，显然当直线过点B 时截距最大，此时z 取得最大值．所以z max ＝－k 3＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3＝－4k 3＝8，解得k ＝－6.[答案] －6 三、解答题10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． [解] (1)作出可行域如图阴影部分所示，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，当其过A (3,4)时，z 取最小值－2，过C (1,0)时，z 取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)z ＝ax ＋2y 仅在点C (1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4,2)．[能力提升]11．(2018·安徽皖南八校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y－1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5B ．[0,5]C ．[0,5)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5 [解析] 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，作出可行域如图所示阴影部分．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴A (2，－1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝23，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u 2－12，由图可知，当直线y ＝x －u 2－12经过点A (2，－1)时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最小，u 最大，最大值为2×2－2×(－1)－1＝5；当y ＝x －u 2－12经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，直线y＝x －u 2－12在y 轴上的截距最大，u 最小，最小值为2×13－2×23－1＝－53.∴－53≤u <5，∴z ＝|u |∈[0,5)．[答案] C12．当x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －ay ≤2，x －y ≥－1，2x ＋y ≥4，时，z ＝x ＋y 既有最大值也有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．－12<a <1C ．0≤a <1D ．a <0[解析] 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x ＋y －4≥0表示的可行域(图略)，再作x －ay －2≤0，因为x －ay －2＝0过定点(2,0)，且x －ay －2≤0与前面可行域围成的区域是封闭区域，故实数a 的取值范围是－12<a <1.[答案] B13．(2017·湖北荆襄七校联考)某校今年计划招聘女教师x 人，男教师y 人，若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥5，x －y ≤2，x <6，则该学校今年计划招聘教师最多________人．[解析] 根据线性约束条件画出可行域，如图所示．易知目标函数是z ＝x ＋y ，注意到可行域的一条边界x ＝6是虚线，可知可行域内使得z 取得最大值的正整数解为(5,5)，所以z max ＝5＋5＝10，即学校今年计划招聘教师最多10人．[答案] 1014．(2017·江西上饶期末)若Ω为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，x －y ＋2≥0表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到0时，动直线x ＋y ＝a 扫过Ω中的那部分区域的面积为________．[解析] 根据线性约束条件作出可行域，如图所示．可见当a 从－2连续变化到0时，动直线x ＋y ＝a 扫过Ω中的区域为三角形OAB .显然AC ⊥OB ，|OA |＝|OC |，所以S △OAB ＝12S △OAC＝12×12×2×2＝1.[答案] 115．(2016·天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料A B C甲48 3乙5510现有A肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解] (1)由题意，得x，y满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x＋5y≤200，8x＋5y≤360，3x＋10y≤300，x≥0，y≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图(1)中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋13z ，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线．z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图(2)可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.所以生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．[延伸拓展](2017·江西高安中学调研)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤3，2x －y ＋λ－2≥0表示的平面区域经过四个象限，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．[1,2]C ．[2,4]D ．(2，＋∞)[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤3表示的是直线x ＝1和y ＝3分平面所得四个区域中的左下角那个区域．而不等式2x －y ＋λ－2≥0表示直线2x －y ＋λ－2＝0的右下方，由图可知，要使不等式组表示的平面区域经过四个象限，则应有λ－2>0⇒λ>2，故选D.[答案] D11。

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《简单的线性规划》

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《简单的线性规划》【题型一】：二元一次不等式（组）表示的平面区域【题型二】：图解法解决简单的线性规划问题.【题型三】：实际应用问题中的线性规划问题【题型二元一次不等式（组）表示的平面区【例1】.画出3x+y-3<0所表示的平面区域.【解析】[x + y — 4 € 0【变式4】下面给出四个点中，位于y，表示的平面区域内的点是（）（x_y + 1 >0A. (0,2)B. (-2,0)C. (0, -2)D. (2,0)【答案】C【变式2】(x 2y 4)(x-y - 4)—0表示的平面区域为( )【变式3】画出不等式2x • y-4 0表示的平面区域。

【解析】先画直线2x • y -4 =0 （画成虚线）取原点（0,0）代入2x ^4得2 0 * 0-4八4 ：：：0,【答案】B;原不等式可转化为'x+2y+4 色0A -y +4 乞0【变式训练】：•••原点不在2x • y 一4 0表示的平面区域内, 不等式2x・y—4 0表示的区域如图:Vq□.**21■ \ 10 1 2\3 4 *1【例2】.画出下列不等式组表示的平面区域。

【解析】3x ~'2 y _'2 - 0,【变式2】求不等式组x 4y 4 0,的整数解。

2x y -6 ：： 0【解析】如图所示,x v3 x + y 兰22y H x x +2y 兰3\ ; (2)」；（3）«3x + 2y K6 xH°2y ex +6 -怦i(1)^<x + y <3x 2y _4x _ 0y _0【变式训练】：【变式1】用平面区域表示不等式(x y -1)(x - y 4)02(1)(2)作直线h：3x-2y-2=0 , S：x 4y 4 = 0 , b：2xy-6 = 0 ,在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域，此三角形区域内的整点(2,1)，(1,0)，(2,0)，(1,- 1), (2,- 1), (3,- 1)即为原不等式组的整数解。

2020版高考数学一轮复习二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题教案(理)(含解析)新人教A版

第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题基础知识整合1．判断二元一次不等式表示的平面区域由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C 所得到实数的符号都□01相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的□02符号即可判断Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划中的基本概念画二元一次不等式表示的平面区域的方法(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．1．(2019·山西临汾模拟)不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )答案 C解析由y (x ＋y －2)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x ＋y －2≤0，所以不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项中阴影部分所表示的区域．故选C.2．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围为( )A ．(－7,24)B ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C ．(－24,7)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 答案 A解析由题意可知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以(a ＋7)(a －24)<0，所以－7<a <24. 3．(2019·广州模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，y ≥x ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为( )A.3B. 5C. 3D. 2答案 D解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，y ≥x ≥1表示的平面区域如图，z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离，结合图形可知可行域内的点(1,1)到原点的距离最短，即z 的最小值为 2.故选D.4．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)答案 D解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．故选D.5．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案 9解析不等式组表示的可行域是以A (5,4)，B (1,2)，C (5，0)为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数z ＝x ＋y 的最大值在顶点A 处取得，即当x ＝5，y ＝4时，z max ＝9.6．(2019·河南新乡联考)已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是________．答案 14解析可见A (m ，m )，B (1,1)，所以当直线z ＝2x ＋y 过点A 时有最小值为3m ，当过点B 时有最大值为3，所以3＝4×3m ，所以m ＝14.核心考向突破考向一二元一次不等式(组)表示平面区域例1 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y －1≥0，3x －2y －6≤0表示的平面区域的面积等于________．答案 32解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知A (1,0)，B (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，3x －2y －6＝0，得C (4,3)．∴S △ABC ＝12AB ·|y c |＝12×1×3＝32.(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．答案 (0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.触类旁通如何确定二元一次不等式(组)表示的区域(1)直线定界，特殊点定域．注意边界线是实线还是虚线． 2不等式组中含有参数时，先正确作出不含参数的不等式构成的二元一次不等式组所表示的平面区域，然后转动或平移含参数直线使其满足题目要求，从而确定参数的取值范围.即时训练 1.(2019·郑州模拟)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是________．答案 13解析区域D 如图中的阴影部分所示，直线y ＝kx ＋1经过定点C (0,1)，如果其把区域D 划分为面积相等的两个部分，则直线y ＝kx ＋1只要经过AB 的中点即可．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，3x －y －3＝0，解得A (1,0)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，3x －y －3＝0，解得B (2,3)．所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，代入直线方程y ＝kx ＋1得，32＝32k ＋1，解得k ＝13.2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y －2－1≤0，x －ky ＋k ≥0表示的是一个对称四边形围成的区域，则k＝________.答案 ±1解析直线x －ky ＋k ＝0过定点(0,1)，当k <0时，若得到对称四边形，则直线x －ky ＋k ＝0与直线x ＋y －2－1＝0一定平行，此时k ＝－1，形成的四边形为等腰梯形，满足题意；当k >0时，若得到对称四边形，则直线x －ky ＋k ＝0与直线x ＋y －2－1＝0一定垂直，验证(0,1)到直线x ＋y －2－1＝0的距离d ＝|0＋1－2－1|2＝1，满足题意，此时k ＝1.综上可知，k ＝±1.考向二求目标函数的最值问题角度1 求线性目标函数的最值例2 (2018·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45答案 C解析约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，－x ＋y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2,3)．由图知，当直线3x ＋5y －z ＝0过点A 时，z 取得最大值，故z max ＝3×2＋5×3＝21.故选C.触类旁通求目标函数z ＝ax ＋by 的最大值或最小值，先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.即时训练 3.(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案 6解析根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由z ＝3x ＋2y 可得y ＝－32x ＋12z ，画出直线y ＝－32x ，将其上下平移，结合z2的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2＝0，y ＝0，解得B (2,0)，此时z max ＝3×2＋0＝6.角度2 求非线性目标函数的最值例3 (2019·重庆一中模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，3x －y －5≥0，则z ＝y ＋12x的最大值为________．答案 56解析画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，3x －y －5≥0表示的可行域，如图．因为z ′＝y ＋1x表示可行域内的点P (x ，y )与点A (0，－1)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，3x －y －5＝0，得直线交点为B (3,4)，所以当P 在点B (3,4)时，z ′＝y ＋1x 有最大值4＋13＝53，因此z ＝y ＋12x 的最大值为56.触类旁通目标函数是非线性形式的函数时，常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：1x 2＋y 2表示点x ，y 与原点0，0间的距离x －a2＋y －b2，表示点x ，y 与点a ，b 间的距离.2y x 表示点x ，y 与原点0，0连线的斜率，y －b x －a表示点x ，y 与点a ，b 连线的斜率.即时训练 4.(2019·辽宁五校联考)已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b <4，那么a 2＋b 2的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，16解析以a 为横轴，b 为纵轴建立直角坐标系，在平面直角坐标系aOb 中作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，2<a ＋2b <4表示的平面区域，得到如图所示的四边形ABCD 内部(不包括边界)．其中A (2,0)，B (0,1)，C (0,2)，D (4,0)．设P (a ，b )为区域内一个动点，则|OP |＝a 2＋b 2表示点P 到原点O 的距离，所以z ＝a 2＋b 2＝|OP |2.可得当P 与D 重合时，P 到原点距离最大，此时z ＝a 2＋b 2＝42＋0＝16；当P 点在直线BA 上，且满足OP ⊥AB 时，P 到原点距离最小，为212＋22＝25，此时z ＝a 2＋b 2＝45.综上所述，可得a 2＋b 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫45，16. 角度3 求线性规划中的参数例4 (2019·江西红色七校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋1≥0，x ≤3，若z ＝mx＋y 的最小值为－3，则m 的值为________．答案－23解析作出可行域如图中阴影部分所示．当m ≤0时，z ＝mx ＋y ⇒y ＝－mx ＋z ，当直线y ＝－mx ＋z 过点C 时纵截距最小，从而z最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，∴C ＝(3，－1)，∴3m －1＝－3，∴m ＝－23.当0≤m ≤1时，直线y ＝－mx ＋z 过点C 时，z 最小，由上面解法知不符合题意当m >1时，直线y ＝－mx ＋z 过点B 时纵截距最小，从而z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.由12m ＋32＝－3得m ＝－9与m >1矛盾．综上可知m ＝－23.触类旁通1线性规划问题中的参数可以出现在约束条件或目标函数中. 2一般地，目标函数只在可行域的顶点或边界处取得最值.即时训练 5.(2019·北京模拟)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12答案 D解析作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k >0时，如图1所示，此时可行域为x 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k <－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1<k <0时，如图2所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12.故选D.考向三线性规划中的实际应用问题例5 (2019·安徽合肥模拟)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元答案 B解析设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润z 千元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，x ，y ∈N ，z＝2x ＋y ，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)(满足x ∈N ，y ∈N )时，z 取得最大值，为360.触类旁通解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．2设元：设问题中起关键作用或关联较多的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数.3作图：准确作出可行域，平移找点最优解. 4求解：代入目标函数求解最大值或最小值. 5检验：根据结果，检验反馈.即时训练 6.某中学生在制作纸模过程中需要A ，B 两种规格的小卡纸，现有甲、乙两种大小不同的卡纸可供选择，每张卡纸可同时截得A ，B 两种规格的小卡纸的块数如下表，现需A ，B 两种规格的小卡纸分别为4,7块，所需甲、乙两种大小不同的卡纸的张数分别为m ，n (m ，n 为整数)，则m ＋n 的最小值为( )A 规格B 规格甲种卡纸 2 1 乙种卡纸13A ．2C ．4D ．5答案 B解析由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ≥4，m ＋3n ≥7，m ≥0，n ≥0，m ，n ∈N ，又不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ≥4，m ＋3n ≥7，m ≥0，n ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，可得目标函数z ＝m ＋n 在点(1,2)处取得最小值3.故选B.。

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课后限时集训(三十四)(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )A B C DC [(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C ．]2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －2≥0，则z ＝3x －y 的最小值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．2C [如图，作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，显然目标函数z ＝3x －y 的几何意义是直线3x －y －z ＝0在y 轴上截距的相反数，故当直线在y 轴上截距取得最大值时，目标函数z 取得最小值．由图可知，目标函数对应直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，2x －y －2＝0，解得A (1,0)．故z 的最小值为3×1－0＝3.故选C ．]3．(2019·泰安模拟)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12C [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C ．]4．(2019·衡阳模拟)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m的值为( )A ．13 B ．23 C ．1D ．2D [由选项得m ＞0，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －ym ＞，3x －2y ＋2≥0表示的平面区域，如图中阴影部分．因为z ＝3x －y ，所以y ＝3x －z ，当直线y ＝3x －z 经过点A 时，直线在y 轴上的截距－z 最小，即目标函数取得最大值2.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋2＝0，3x －y ＝2，得A (2,4)，代入直线mx －y ＝0得2m －4＝0，所以m ＝2.]5．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A C ．17万元D ．18万元D [设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12得A (2,3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．] 二、填空题6．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．－1 [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y 得y ＝34x －14z .平移直线y ＝34x ，易知经过点A 时，z 有最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴A (1,1)．∴z min ＝3－4＝－1.]7．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为________．5 [作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方，由图知C ，D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5.]8．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，则目标函数z ＝y ＋2x －5的最大值为________．－12[作出约束条件所表示的平面区域，其中A (0,1)，B (1,0)，C (3,4)．目标函数z ＝y ＋2x －5表示过点Q (5，－2)与点(x ，y )的直线的斜率，且点(x ，y )在△ABC 平面区域内．显然过B ，Q 两点的直线的斜率z 最大，最大值为0＋21－5＝－12.]三、解答题9．如图所示，已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．[解] (1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ]·[4×(－3)－3×2－a ]＜0，即(14－a )(－18－a )＜0，解得－18＜a ＜14.故a 的取值范围是(－18,14)．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． [解] (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)时z 取最小值－2，过C (1,0)时z 取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故a 的取值范围是(－4,2)．B 组能力提升1．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A ．355 B. 2 C ．322D. 5B [根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.]2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1C ．43D ．3B [作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C 2－4m 3，2＋2m3，D (－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )·⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．]3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为__________．10 [画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y ，得y ＝12x －b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.]4．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料ABC甲 4 8 3 乙5510现有A 已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图像是斜率为－23，随z 变化的一组平行直线，z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。