高二数学空间几何体的表面积与体积试题
高二数学立体几何试题答案及解析
高二数学立体几何试题答案及解析1.如图，在腰长为2的等腰直角三角形ABC内任取一点P，则点P到直角顶点A的距离小于的概率为【答案】【解析】点P到直角顶点A的距离小于，则点P在以点A为圆心为半径的扇形区域内，则其概率为2.已知长方体中，，点在棱上移动，当时，直线与平面所成角为．【答案】【解析】为直线与平面所成角，，,,所以．【考点】线面角3.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为2，A1B1=1，AB=2，则该四棱台的侧面积等于．【答案】．【解析】因为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为2，A1B1=1，AB=2，所以正四棱台的斜高，则该四棱台的侧面积为．【考点】正四棱台．4.已知空间中两点A（1，2，3），B（4，2，a），且，则a=（）A．1或2B．1或4C．0或2D．2或4【答案】D【解析】或【考点】空间两点间距离5.三棱锥A—BCD的四个顶点同在一个球O上，若AB⊥面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=1，则球O的表面积等于．【答案】【解析】易知，棱AD的中点即为球心O．由已知条件可得AD=．所以球半径为，则其表面积等于．【考点】多面体与其外接球问题．6.在正方体中，下列几种说法正确的是（）A．与成角B．与成角C．D．【答案】A【解析】直线与是异面直线，而∥，所以即为与所成的角．显然三角形是等边三角型，所以．故选A．同时可分别证明答案B、C、D是错误的．【考点】异面直线所成的角及其是否垂直的问题．7.如图是一个几何体的三视图，其中正视图与左视图都是全等的腰为的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，（1）画出该几何体；（2）求此几何体的表面积与体积．【答案】；【解析】根据题意可得该几何体是正四棱锥，底面为2的的正方形，因为侧面斜高为，所以可得高为2，即可求得表面积与体积试题解析：（1）此几何体是正四棱锥，它的底为边长为2的正方形，侧面斜高为表面积为体积为【考点】1．三视图；2．几何体的体积、表面积公式8.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9B．10C．11D．12【答案】D【解析】根据题中所给的几何体的三视图，可以断定该几何体是下边是一个圆柱，上边是一个球体，且球的半径和圆柱的底面圆的半径是相等的，可知其表面积是圆柱的表面积加上球的表面积，即为，故选D．【考点】根据几何体的三视图，求其表面积．9.如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；【答案】（1）（2）【解析】（1）取中点，，连接，则为所求二面角的平面角，找出二面角的平面角再根据题目所给条件即可计算出二面角的大小。
高考数学(理)二轮试题：第8章《空间几何体的表面积和体积》(含答案)
精选题库试题理数1. (2014 纲领全国 ,8,5 分 )正四棱锥的极点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A. B.16 π C.9 π D.1.A222,解得 R= ,因此该球的表面积为21.设球的半径为 R,由题意可得 (4-R) +() =R4πR=.应选 A.2. (2014 湖北 ,8,5 分 )《算数书》竹简于上世纪八十年月在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学文籍,此中记录有求“囷盖”的术 :置如其周 ,令相乘也 .又以高乘之 ,三十六成一 .该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高 h,计算其体积 V 的近似公式 V≈L 2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么 ,近似公式 V≈L2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A. B. C. D.2.B2.圆锥的体积2πh=, V= πr h=由题意得12π≈, π近似取为,应选 B.3. (2014 陕西 ,5,5 分 )已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各极点均在同一个球面上,则该球的体积为()A. B.4 π C.2 π D.3.D3.如图为正四棱柱AC 1.依据题意得AC=,∴对角面ACC 1A 1为正方形 ,∴外接球直径2R=A 1C=2,∴ R=1, ∴ V 球 =,应选 D.4.(2014 安徽 ,7,5 分 )一个多面体的三视图以下图,则该多面体的表面积为()A.21+B.18+C.21D.184.A4.依据题意作出直观图如图,该多面体是由正方体切去两个角而获得的,依据三视图可知其表面积为 6+2××()2=6×+=21+.应选 A.5.(2014 浙江 ,3,5 分 )某几何体的三视图(单位 :cm)以下图 ,则此几何体的表面积是()2A.90 cmB.129 cm 2C.132 cm2D.138 cm 25.D5.由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成( 如图 ),其表面积为S=3×5+2 ××4×3+4×3+3×3+2×4×3+2×4×6+3×6=138(cm2).6.（ 2014 重庆一中高三放学期第一次月考，6）已知一个四周体的一条棱长为，其他棱长均为 2，则这个四周体的体积为（）（A）1（B）（C）（D）36.A6.取边长为的边的中点,并与其对棱的两个端点连结,7.（ 2014 重庆一中高三放学期第一次月考，5）某几何体的三视图以下列图所示，则它的表面积为（）（ A ）（ B）（ C）（ D）7.B7.该三视图对应的几何体为组合体，此中上半部为半径为 3 母线长为 5 的圆锥，下半部为底面半径为 3 高为 5 的圆柱，因此其表面积为.8.(2014 天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，5) 某几何体的三视图以下图，依据图中标出的数据．可得这个几何体的表面积为()A.B.C.D. 128.B8.从三视图中能够看出该几何体是正四棱锥，且其斜高为底面是边长为 2 的正方形，故其表面积为.9. (2014 山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，11) 三棱锥P— ABC 的四个极点均在同一球面上，此中△ ABC是正三角形，PA ⊥平面 ABC ，PA＝ 2AB ＝ 6，则该球的体积为( )9.B9.三棱锥 P－ ABC 的外接球与高为 6 底面边长为 3 的正三棱柱的外接球同样，即可把三棱锥 P－ABC 补成高为 6 底面边长为 3 的正三棱柱，由此可得球心O 究竟面 ABC 的距离为3，设底面 ABC 的外接圆圆心为 O1 , 连结 OA, O 1A、 OO1, 则 O1A =, OO1=3，因此22，因此该求的体积为.OA =O1A +=10. (2014 山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，3) 下列图是一个体积为10 的空间几何体的三视图，则图中x 的值为 ( )A. 2B.3C.4D.510.A10.依据三视图可知，该几何体由两部分构成，上半部为底面边长分别为 3 和 2 的长方形高为 x 的四棱锥，下半部为高为 1 底面边长分别为 3 和 2 的长方形的长方体，因此其体积为，解得 x=2.11. (2014 山西太原高三模拟考试（一），10) 在三棱锥 S-ABC 中， AB ⊥BC, AB=BC=,SA=SC=2 ，二面角S-AC-B 的余弦值是, 若 S、 A 、 B、 C 都在同一球面上，则该球的表面积是( )11.D11.取线段 AC 的中点 E, 则由题意可得 SE⊥ AC, BE ⊥ AC, 则∠ SEB 即为二面角 S-AC-B 的平面角 , 在△ SEB 中, SE=, BE=1, 依据余弦定理, 得, 在△SAB 和△ SCB 中, 知足勾股定理, 可得 SA⊥AB, SC ⊥BC, 因此 S、A 、B、C都在同一球面上，则该球的直径是SB, 因此该球的表面积为.12. (2014 山西太原高三模拟考试（一），8) 一个几何体的三视图以下图（单位：cm ），则该几何体的体积为( )A. （32+) ㎝3B. （32+) ㎝3C. （41+) ㎝3D. （ 41+) ㎝312.C12.该三视图对应的几何体为由上中下三部分构成的组合体，此中上半部是长宽高分别为3、3、 1 的长方体；中半部为底面直径为 1 高为 1 的圆柱；下半部为长宽高分别为4、4、 2 的长方体，其体积为.13.(2014 安徽合肥高三第二次质量检测， 3) 某空间几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.13.B13. 由三视图知，原几何体是一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且腰长为2，因此该三棱柱的体积.14. (2014 重庆杨家坪中学高三放学期第一次月考，6) 已知某几何体的三视图以下图，若该几何体的体积为24，则该几何体的底面积是（）A.6B.12C.18D.2414. C14. 依据三视图可知，该几何体是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，该四棱锥的高为 4，由于体积为 24，因此底面积.15. (2014 河北石家庄高中毕业班复习教课质量检测（二），8) 点,，，在同一个球的球面上，，, 若四周体体积的最大值为, 则该球的表面积为 ()15.C15.如图，当平面时，四周体体积的最大 . 此时，，因此，设球半径为R，则,即，进而，故.16.(2014 湖北黄冈高三 4 月模拟考试， 6) 一个几何体的三视图以下图，此中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）A.B.C.D.16. D16.原几何体如图中三棱锥，由已知正视图、侧视图和俯视图均是三角形，可知该几何体有一个侧面垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形，则这个几何体的外接球的球心在高线上，且是等边三角形的中心，因此这个几何体的外接球的半径为，因此这个几何体的外接球的表面积为.17. (2014 河北唐山高三第一次模拟考试，9) 正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为（）A.B.C.D.17. D17.设球半径为，以下图，可得，解得，因此表面积为.18.(2014 河北唐山高三第一次模拟考试，7) 某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为（）A.6B.2C.3D.18.D18.由三视图知，原几何体的体积为.19.(2014 贵州贵阳高三适应性监测考试 , 5) 下列图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）19.D19.该几何体是一三棱柱，qi 其体积为=4.20. (2014 黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，8) 以下图，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的全部极点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）A. B. C. D.20. C20.由三视图知，原几何体是一个三棱柱，其底边为边长为 2 的等边三角形，高为2，因此球心在三棱柱上下两底面的中心的连线的中点，球的半径为，球的表面积为.21.（ 2014 山东潍坊高三 3 月模拟考试数学（理）试题，7）三棱锥S-ABC 的全部极点都在球O 的表面上， SA平面ABC，AB BC，又 SA=AB= BC=1 ，则球 O 的表面积为 ( )(A)(B)(C) 3(D) 1221. C21.三棱锥 S－ ABC 的外接球与高为 1 底面边长为 1 等腰直角三角形的直三棱柱的外接球相同，即可把三棱锥P－ ABC 补成高为 1 底面边长为 1 等腰直角三角形的直三棱柱，由此可得球心 O 究竟面 ABC 的距离为，设底面ABC 的外接圆圆心为O1 , 连结 OA, O 1A 、OO1, 则O1A =, OO1=，因此OA2=O1A2+=，因此该求的体积为.22.（ 2014 吉林实验中学高三年级第一次模拟，8）若某棱锥的三视图(单位： cm) 以下图，则该棱锥的体积等于（）A ．10 cm3B． 20 cm3C． 30 cm3D． 40 cm322.B22.依据三视图可知，该几何体为以下列图所示的四棱锥，此中PA⊥ PB，底面 ABCD 为矩形且与侧面PAB 垂直，过点 P 作线段 AB 的垂线，则该垂线即为四棱锥的高，其长度为cm，而矩形 ABCD 的边长 AD=5 ， AB=5 ，因此其体积为cm3.23.（ 2014 湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，4）已知某几何体的三视图（单位：cm）以下图，则该几何体的体积是（）A ． 48cm3B． 98cm3C． 88cm3D． 78cm323.B23.该三视图对应的几何体为长、宽、高分别为 6 cm、3 cm、6 cm 的长方体截去一个三棱锥后所得的几何体，其体积为6×3×6－98 cm3.24.(2014 河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 11) 以下图，棱长为 6 的正方体不论从哪一个面看，都有两个直通的边长为 l 的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是 ( )( A) 222(B) 258(C) 312(D) 32424. C24.表面积等于正方体的表面积减去12 个表面上的小正方形面积，加上 6 个棱柱的侧面积，减去 6 个通道的 6 个小正方体的表面积．则S=6×36-12+6×4×6-6 ×6=312．应选 C．25.(2014 河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 4) 某几何体的三视图以下图，此中正视图与侧视图均为矩形，俯视图上半部分为半，圆，则该几何体的体积为( )(A)(B)(C)(D)25.C25.依据三视图可知，该几何题是由半圆柱和直三棱柱构成的组合体，此中半圆柱的底面半径为 1，高为 2；直三棱柱的底面是腰长为的等腰直角三角形，故该几何体的体积为.26.(2014 吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，9) 某几何体的三视图以下图，则它的表面积为（）A．B．D．C．26.26.由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是 1，高是 2，因此母线长为，因此其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即，应选.27.(2014 湖北武汉高三 2 月调研测试， 8) 如图，在长方体ABCD-A 1B1C1D1中， E， H 分别是棱 A 1B1， D 1C1上的点（点 E 与 B1不重合），且 EH ∥ A 1D 1，过 EH 的平面与棱 BB 1， CC1订交，交点分别为 F， G．设 AB ＝2AA 1＝ 2a．在长方体 ABCD-A 1B1C1D1内随机选用一点，记该点取自于几何体 A 1ABFE-D 1DCGH 内的概率为 P，当点 E，F 分别在棱 A 1B1，BB 1上运动且知足EF＝ a 时，则 P 的最小值为27. D27.依据几何概型，===，此中“＝”当且仅当时建立.应选D.28. (2014 吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 7) 某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积是（）A.B.C.D.28.B28.由三视图知，原几何体是由一个半圆柱与一个半圆锥构成，其体积为.29. (2014 河南郑州高中毕业班第一次质量展望, 4) 如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.29. C29.由已知，元几何体为四棱柱，其底面边长为，侧视图的高为，底面积为，又由于棱柱的高为3，侧面积为，故原几何体的表面积为.30. (2014 河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 3) 一个几何体按比率绘制的三视图如图所示（单位：） , 则该几何体的体积为（）．A． B.C． D.30.C30.由三视图可知，该几何体是由三个棱长为 1 的正方体加半个正方体构成，因此体积为31.(2014 成都高中毕业班第一次诊疗性检测，8) 一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图以下列图所示（单位：cm) ，则该几何体的体积为（）(A) 120(B) 80(C) 100(D) 6031. C31.画出直观图可知，原几何体的体积.32.(2014 北京东城高三 12 月教课质量调研 ) 一个空间几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为（）（A）（B）（C）（D）32. C32.原几何体是由一个圆柱与一个圆锥构成，其体积为.33.(2014 江苏 ,8,5 分 )设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2,体积分别为V 1、V 2,若它们的侧面积相等 ,且= ,则的值是________.33.33.设圆柱甲的底面半径为r1,高为 h1,圆柱乙的底面半径为r2,高为 h2.由题意得== ,∴=.又∵ S 甲侧 =S 乙侧 ,即 2πrπr22=2h h ,∴==,故==·=×=.34.(2014 山东 ,13,5 分)三棱锥 P-ABC 中 ,D,E 分别为 PB,PC 的中点 ,记三棱锥 D-ABE 的体积为V 1,P-ABC 的体积为V 2,则=________.34.34.如图 ,设 S△ABD =S1,S△PAB =S2,E 到平面 ABD 的距离为h1,C 到平面 PAB 的距离为h2,则S2=2S1,h2=2h 1,V 1= S1h1,V 2= S2h2,∴==.35.(2014 天津 ,10,5 分)一个几何体的三视图以下图(单位 :m), 则该几何体的体积为________m3 .35.π35.该几何体由一个圆锥和一个圆柱构成223 ,故体积 V=π×1×4+×π×22=π (m).36.13．(2014 天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，13) 假如一个几何体的三视图以下图(单位长度 : cm),则此几何体的表面积是。
高二数学立体几何试题
高二数学立体几何试题1.几何体的三视图如图，则几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】此几何体的下面是半径为1，高为1的圆柱，上面是半径为1，高为1的圆锥，所以体积是。
【考点】1．三视图；2．几何体的体积．2.若一个球的表面积为，现用两个平行平面去截这个球面，两个截面圆的半径为．则两截面间的距离为．【答案】1或7【解析】由球的表面积为知，球的半径为.有两种可能情况，一是两截面在球心同侧，二是两截面在球心两侧. 所以由球的截面性质定理得，两截面间的距离为或，答案为1或7.【考点】球的截面性质定理.3.在一座高的观测台顶测得对面水塔塔顶的仰角为，塔底俯角为，则这座水塔的高度是__________．【答案】【解析】如图所示，AB为观测台，CD为水塔，AM为水平线，依题意得：，，，∴，，，∴cm．【考点】解斜三角形．【思路点睛】由已知条件得到，，在直角三角形中，用勾股定理求出CM的边长，再求出CD的值即可．4.如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．（Ⅰ）求三棱锥的体积；（Ⅱ）求证：//平面;【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）根据已知可得平面，三棱锥的体积可表示为其中高为，即可求得；（Ⅱ）连接，，连接，通过证得四边形为平行四边形，可得平面试题解析：（Ⅰ）三棱锥的体积为 --6分（Ⅱ）证明：连接，，连接为中点，且为矩形，所以四边形为平行四边形，．．【考点】1．求体积；2．证明线面平行5.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】空间点关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标竖坐标互为相反数，因此点关于轴对称的点的坐标为【考点】空间点的坐标6.（本小题满分12分）如图，在正四棱台中，=1，=2，=，分别是的中点．（1）求证：平面∥平面；（2）求证：平面平面；（3）（文科不做）求直线与平面所成的角．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）60°【解析】（1）连接，分别交，，于，连接，．由面面平行的性质定理得，∥，所以∥平面，同理，．根据相似可知，=，又因为，=，所以平行且等于，平行且等于，∥平面，进而得到结论；（2）连接，由正棱台知，，⊥，所以⊥面，由面面垂直的判定定理即可证明结论；（3）法一：，计算有=，=="2," 体积转化得到线面角的补角是30°，即可求出结果；法二：=="2,"=="2," 所以⊥，⊥，所以⊥面，过作⊥交于，得到⊥．△为等边三角形，⊥，所以⊥面，所以∠为与面所成角，即可求出结果．试题解析：（1）连接，分别交，，于，连接，．由面面平行的性质定理得，∥，所以∥平面，同理，．根据相似可知，=，又因为，=，所以平行且等于．所以平行且等于，所以∥平面，平面∥平面（2）连接，由正棱台知，，⊥，所以⊥面，所以平面⊥平面（3）法一：，计算有=，=="2," 体积转化得到线面角的补角是30°，所以所求角为60°法二：=="2," =="2," 所以⊥，⊥，所以⊥面，过作⊥交于，得到⊥．△为等边三角形，⊥，所以⊥面，所以∠为与面所成角为60°．……12分．【考点】1．面面平行的判定定理；2．面面垂直定理的判定定理．7.下列命题中真命题是（）A．若，则；B．若，则；C．若是异面直线，那么与相交；D．若，则且【答案】A【解析】如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直，所以选项A正确．一个平面内的两条相交直线分别平行于另一平面，则这两个平面平行．显然选项B错误；若是异面直线，那么与相交或平行，所以选项C错误；若，则且或n在某一平面内，故选项D错误；故选A．【考点】判断命题的真假性．8.长、宽、高分别为的长方体，沿相邻面对角线截取一个三棱锥（如图），剩下几何体的体积为．【答案】【解析】根据该几何体的特征，可知所剩的几何体的体积为长方体的体积减去所截的三棱锥的体积，即．【考点】几何体的体积．9.如图所示，为正方体，给出以下五个结论：①平面；②平面；③与底面所成角的正切值是；④二面角的正切值是；⑤过点且与异面直线和均成角的直线有2条．其中，所有正确结论的序号为_______．【答案】①②④【解析】对于①，因为，且面，面，，所以，正确；对于②，由三垂线定理得，同理可得，又于，所以平面，②正确；对于③，连接，是与底面所成角，在中，，③不对；对于④，连接交于点，，连接，所以为二面角的平面角，解三角形，④正确；对于⑤，把直线平移到跟共面，平移后有一个公共点，根据对称性过点且与异面直线和均成角的直线有4条，⑤错误．【考点】命题真假的判断【思路点睛】在判断线面平行时一般采用构造平行四边形法、中位线法、构造平性平面法，所以要根据题设中所给的条件选择合适的方法；在判断线面垂直时，会选择证明一条直线垂直一个面内的相交直线或者用面面垂直证明线面垂直，根据条件选择合适的方法；求线面角的三角函数值，关键在于作出其平面角，然后通过解三角形，求出其所求三角函数值．10.（2012•沈河区校级模拟）在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析．【解析】（Ⅰ）由AD∥EF，EF∥BC，知AD∥BC．由BC=2AD，G是BC的中点，知ADBG，故四边形ADGB是平行四边形，由此能够证明AB∥平面DEG．（Ⅱ）由EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，知EF⊥AE，由AE⊥EB，知AE⊥平面BCFE．过D 作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．由此能够证明BD⊥EG．解：（Ⅰ）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴AD BG，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．（Ⅱ）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD是平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG，又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．11.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，AB＝2，．（Ⅰ）求证：平面PAC；（Ⅱ）若，求与所成角的余弦值；【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据菱形的条件，对角线，又根据平面，也能推出，这样就能证明直线垂直于平面内的两条相交直线，则线面垂直，即平面；（Ⅱ）取中点，设，连结，，根据中位线平行，就将异面直线所成角转化成相交直线所成角，即即为所求角，根据平面几何的几何关系，求三边，然后根据余弦定理求角．试题解析：（Ⅰ）证明：因为平面，所以．在菱形中，，且，所以平面．（Ⅱ）解：取中点，设，连结，．在菱形中，是中点，所以．则即为与所成角。
第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (精练)(教师版)
第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (精练）A 夯实基础一、单选题1．（2022·广西玉林·高一期末）若一个圆锥的轴截面是边长为3的正三角形，则这个圆锥的表面积为（ ） A ．274π B ．92πC ．3πD ．94π 【答案】A由题可知，该圆锥的底面半径为32，因此，该圆锥表面积为233273224πππ⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭故选：A2．（2022·广东梅州·高一期末）如图，A O B '''是水平放置的△AOB 的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知O '为坐标原点，顶点A '、B '均在坐标轴上，且△AOB 的面积为12，则O B ''的长度为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B画出△AOB 的原图为直角三角形，且6''==OA O A ， 因为1122⨯=OB OA ，所以4OB =，所以122''==O B OB .故选：B.3．（2022·广东茂名·高二期末）储粮所用“钢板仓”，可以看成由圆锥和圆柱两部分组成的.现有一种“钢板仓”，其中圆锥与圆柱的高分别是1m 和3m ，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，若要储存3003m 的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数是（ ）A ．6B ．9C ．10D ．11【答案】C因为圆锥的高为1，轴截面中等腰三角形的顶角为120°， 所以圆锥的母线长为2所以一个“钢板仓”的体积为22313110m 3πππ⨯⨯+⨯⨯⨯=，因为3009.510π≈ 所以要储存3003m 的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数为10个， 故选：C4．（2022·辽宁锦州·高一期末）正三棱锥S ABC -的高为则该三棱锥的侧棱长为（ ）A ．B ．C ．D ．4【答案】D依题意作上图，其中E 是BC 的中点，D 是正三角形ABC 的中心， 并且SD ⊥ 平面ABC ，SE BC ⊥ ，则有SD SE ==，在Rt SDE 中，3ED AE ED ==AB BC AE ∴===，在Rt SBE 中，4SB = ；故选：D.5．（2022·上海·复旦附中高二期末）小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成了斜六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -，如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为1V 和1S ，斜棱柱的体积和侧面积分别为2V 和2S ，则（ ）.A ．1212V V S S > B ．1212V V S S < C ．1212V V S S = D ．11V S 与22V S 的大小关系无法确定 【答案】A设底面面积为S ，底面周长为C ， 则11V S AA =⋅，11S C AA =⋅，所以11V SS C=， 设斜棱柱的高为h ，则2V S h =⋅，2AB BC CD DE EF FA S AB h BC h CD h DE h EF h FA h =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ()AB BC CD DE EF FA h Ch >+++++⨯=,所以2121V V Sh S S Ch C S <==. 故选：A6．（2022·湖南常德·则该圆锥的内切球体积为（ ） A ．4π B ．43πC ．πD ．6π【答案】D轴截面如图所示，设内切球的半径为r ，则OD OE r ==， 由题意可得6OCD π∠=，CD =， 在Rt OCD △中，tan ODOCD CD∠=，所以1tan 2OD CD OCD =⋅∠==，即12r =，所以内切球体积为334413326r πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选：D7．（2022·河南驻马店·高一期末）已知平面四边形ABCD ，连接对角线BD ，得到等边三角形ABD 和直角三角形BCD ，且3AB =，π2BDC ∠=，BC =将平面四边形ABCD 沿对角线BD 翻折，得到四面体A BC D ''，则当四面体A BC D ''的体积最大时，该四面体的外接球的表面积为（ ） A ．12π B ．18π C ．21π D ．28π【答案】C因为底面A BD '为正三角形，所以底面A BD '面积为定值， 所以当C BD '⊥平面A BD '时，四面体ABCD 的体积最大.设A BD '外接圆圆心为1O ,则四面体ABCD 的外接球的球心O 满足1//OO C D ',且11322OO C D '==，三角形A BD '的外接圆半径为32sin 60r r =⇒︒因此外接球的半径R 满足222223321()()()224R r =+=+=从而外接球的表面积为2421R ππ=. 故选：C.8．（2022·重庆市第七中学校高一期末）如图所示，在平面四边形ABCD 中，AD CD ⊥，AC BC ⊥，60B ∠=︒，3AD CD ==．现将ACD △沿AC 折起，并连接BD ，当三棱锥D ABC -的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）A ．16π3B ．C ．32π3D ．24π【答案】D因为ABC 的面积不变，要使体积最大，需 D 到平面ABC 的距离最大，即当平面ACD ⊥平面ABC 时，体积最大，因为ACD △等腰直角三角形，取AC 中点E ,则DE ⊥平面ABC ，高为DE AC =Rt ABC中，60B ︒∠=，BC ，AB =所以EB ，故Rt BDE 中BD 所以ABD △中222AD BD AB +=，即得空间中90ADB ACB ︒∠=∠=即AB 为球的直径，故半径22424R AB ==，所以外接球的表面积24π24πS R ==. 故选:D. 二、多选题9．（2022·重庆八中高一期末）某工厂生产出一种机械零件，如图所示零件的几何结构为圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，AB ＝AD ＝BC ＝4cm ，CD ＝2AB ，则下列说法正确的有（ ）AB ．该圆台轴截面面积为2C 3D ．一只蚂蚁从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点，所经过的最短路程为10cm【答案】BCD如图，作BE CD ⊥交CD 于E ，易得22CD ABCE -==，则12224223B O E O ，则圆台的高为，A 错误；圆台的轴截面面积为21(48)2+⨯，B 正确；圆台的体积为31π(4168)cm 3=++⨯=V ，C 正确；将圆台一半侧面展开，如图中ABCD ，设P 为AD 中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD ，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为8cm ，底面半径为4cm ，侧面展开图的圆心角为2π4π8θ⋅==，连接CP ，可得∠COP ＝90°，OC ＝8，OP ＝4＋2＝6，则10CP =，所以沿着该圆台表面从点C 到AD 中点的最短距离为10cm ，故D 正确． 故选：BCD.10．（2022·安徽宣城·高一期末）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M 、N ，若线段MN） A ．正四面体的棱长为6B ．正四面体的内切球的表面积为6πC ．正四面体的外接球的体积为D ．线段MN 的最大值为【答案】ABD设这个四面体的棱长为a 的正方体截得的，所以四面体的外接球即为正方体的外接球，外接球直径为正方体的对角线长， 设外接球的半径为R ，内切球的半径为r ，则2R =，所以R =，四面体的高为h =，则等体积法可得 11433Sh Sr =⨯，所以14r h ==，由题意得R r -==6a = 所以A 正确，所以6R ==334433R ππ=⋅=⎝⎭，所以C 错误，因为内切球半径为6r ==22446r πππ=⋅=⎝⎭，所以B 正确，线段MN 的最大值为R r +=D 正确， 故选：ABD 三、填空题11．（2022·上海市青浦高级中学高一期末）设地球半径为R ，地球上北纬30°圈上有A ，B 两点，点A 在西经10°，点B 在东经110°，则点A 和B 两点东西方向的距离是___________.如图示，设O '为北纬30°圈的圆心，地球球心为O ，则60AOO '∠= ,故2AO R '=,即北纬30°R ， 由题意可知2π1203AO B '∠==, 故点A 和B 两点东西方向的距离即为北纬30°圈上的AB 的长，故AB 的长为2π3=,12．（2022·广东·高二期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖孺．如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，2AC BC ==，11AA =，则鳖臑11A CBC -的外接球的表面积为__________．【答案】9π堑堵111ABC A B C -的外接球即为鳖臑11A CBC -外接球，又可将堑堵111ABC A B C -补成长方体，长方体的外接球即为堑堵111ABC A B C -的外接球，长方体的外接球直径为13A B ==， 所以鳖臑11A CBC -的外接球的半径为32， ∴鳖臑11A CBC -的外接球表面积为234π×=9π2S ⎛⎫= ⎪⎝⎭．故答案为：9π. 四、解答题13．（2022·广东佛山·高一期末）如图，一个高为8的三棱柱形容器中盛有水，若侧面11AA B B 水平放置时，水面恰好过AC ，BC ，11B C ，11A C 的中点E ，F ，G ，H ．(1)直接写出直线FG 与直线1A H 的位置关系；(2)有人说有水的部分呈棱台形，你认为这种说法是否正确？并说明理由．(3)已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面ABC 全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高．【答案】(1)异面(2)不是棱台，理由见详解(3)18(1)因为水面恰好过AC ，BC ，11B C ，11A C 的中点E ，F ，G ，H ， 所以111111//,//,,,22HG A B EF AB HG A B EF AB == 又11//,A B AB 且11,A B AB =因此//HG EF ，且HG EF =，所以四边形EFGH 是平行四边形， 故//FG EH ，而1A H EH H =，所以直线FG 与直线1A H 不可能平行，而面EFGH平面111A B C HG =，所以直线FG 与直线1A H 不可能是相交直线，所以直线FG 与直线1A H 是异面直线； (2)因为棱台各侧棱交于一点，易知1AE A H 无交点，所以该几何体不是棱台；(3)设此三棱锥的高为h ，底面面积为S ， 容器中水的形状为棱柱，体积为3864SS ⨯= 所以有163S h S ⋅⋅=，解得18h =，即三棱锥的高为1814．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）如图，AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，D 是圆O 上一点．已知5,3AB BC CD ===，(1)求该圆柱的表面积；(2)将四面体ABCD 绕母线AB 所在的直线旋转一周，求ACD △的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积． 【答案】(1)75π2(2)15π (1)由题意知AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，且5AB BC ==， 可得圆柱的底面圆的半径为52R =， 则圆柱的底面积为221525πππ24S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，圆柱的侧面积为252π2π525π2S Rl ==⨯⨯=所以圆柱的表面积为12257522π25ππ42S S S =+=⨯+=． (2)由线段AC 绕AB 旋转一周所得几何体为以BC 为底面半径，以AB 为高的圆锥， 线段AD 绕AB 旋转一周所得的几何体为BD 为底面半径，以AB 为高的圆锥， 所以以ACD △绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为： 22221111πππ55π4515π3333V BC AB BD AB =⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=． B 能力提升1．(多选）（2022·海南·高一期末）已知正四棱台1111ABCD A B C D -，且1122AB A B ==，则（ ）A B ．侧棱与底面所成的角为60︒C ．正四棱台的侧面积为D 【答案】ABD设正四棱台的高为k ，由题意可知该四棱台的上下底面面积分别为1和4，则()11243V h =++=h =1A 作1A G ⊥底面ABCD ，易知点G 在线段AC 上，则1A G =又由11AC =AC =AG =，所以1AA =A 正确； 在1Rt A GA 中，111cos 2AG A AG A A ∠==，所以160A AG ∠=︒， 即侧棱与下底面所成的角为60︒，故B 正确；在梯形11ABB A 中，2AB =，111A B == 所以梯形11ABB A的面积为()1122⨯+=，4=，故C 错误； 设正方形ABCD 的中心为O ，易知1AA O 为等边三角形，11OA OA AA ==点O 到正四棱台的8则正四棱台的外接球体积为34π3⨯=，故D 正确． 故选：ABD2．（2022·江苏徐州·高一阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，E ､F 分别是11A D ､1AA 的中点，平面CEF 截正方体所得的截面为多边形，则此多边形的边数为___________，截面多边形的周长为___________.【答案】 五, +解：延长EF 交DA 的延长线于M ,连接MC 交AB 于N , 延长FE 与DD1的延长线相交于点P,连接PC 交C1D1于Q ,连接EQ, 则五边形EFNCQ 即为平面CEF 截正方体所得的截面.如图所示：则有A1F=FA=AM=3,又因为MAN∆与MDC∆相似，所以MA ANMD CD=，解得AN=2,所以FN NC同理可得：QD1=2,QC1=4,所以QC==EQ，又因为EF=所以五边形EFNCQ的周长为故答案为：五；C综合素养1．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中内切球半径为__________，体积为__________.【答案】 解：如图所示：易知该几何体是侧棱长为1，以边长为1的等边三角形ABD △为底的两个正三棱锥组成，O 为ABD △的中心，即内切球的球心，M 为FB 的中点，连接HM ，作ON HM ⊥，则ON 为内切球的半径，因为,,OM HM HO ====， 所以1122HOM S OH OM HM ON =⋅=⋅，所以内切球的半径为OH OM R ON HM ⋅===，内切球的体积为343V R ππ==，2．（2022·浙江宁波·高二期末）如图，D ，E ，F 分别是边长为4的正三角形三边,,CA AB BC 的中点，将ADE ，BEF ，CFD △分别沿,,DE EF FD 向上翻折至与平面DEF 均成直二面角，得到几何体ABC DEF -．则二面角C AB E --的余弦值为_____；几何体ABC DEF -的外接球表面积为_____．【答案】203π##203π 取DE 的中点P ，EF 的中点Q ，故,AP DE BQ EF ⊥⊥，根据面面垂直的性质可得AP ⊥平面DEF ，BQ ⊥平面DEF ，故//AP BQ ，且AP BQ =，故矩形APQB .所以112AB PQ FD ===.根据图形的对称性，易得ABC 为正三角形，取AB 中点G ，因为EA EB =，CA CB =，则CG AB ⊥，EG AB ⊥，则二面角C AB E --为CGE ∠，且GE GO PQ ⊥，易得GO AP ==CGE CGO OGE ∠=∠+∠，OE ===，故()cos cos 90sin CGE OGE OGE ∠=∠+=-∠==角C AB E --的余弦值为（2）设几何体ABC DEF -的外接球球心为O ，设ABC 中心为P ，DEF 中心为Q ，易得,,P O Q 共线，如图，设外接球半径OC OD R ==，根据正三角形中的关系，CP =DQ =.因为OP OQ PQ +==，=2214333R R -=+--2=253R =，故外接球表面积为22043S R ππ==故答案为：203π 3．（2022·山东菏泽·高一期中）在一个正方形1234PP P P 内有一个小正方形ABCD 和四个全等的等边三角形（如图1）．将四个等边三角形折起来，使1P 、2P 、3P 、4P 重合于点P ，且折叠后的四棱锥P ABCD -（如图2）的外接球的表面积是64π，则四棱锥P ABCD -的侧棱PA 的长为______；若在四棱锥P ABCD -内放一个正方体，使正方体可以在四棱锥P ABCD -内任意转动，则该正方体棱长的最大值为______．【答案】 4343连接AC ，BD 交于点O ，则易得,APC BPD 是等腰直角三角形，则O 是正四棱锥外接球的球心，正四棱锥的所有棱都相等，设其为x ，则外接球的半径是OA ，所以2464x ππ⎫=⎪⎪⎝⎭，x =PA =因此PO OA ==4x =，故四棱锥P －ABCD 的体积22111284333x PO ⋅=⨯⨯=. 设四棱锥P －ABCD 的内切球半径为R ，四棱锥的表面积：((224432PAB ABCD S S S =+=+=， 所以四棱锥的体积12811()333S ABCD SAB ABCD V S S R SR -==+=， 则R ==， 在四棱锥P －ABCD 内放一个正方体的体对角线不超过内切球直径时，便可以在四棱锥内部任意转动，设放入四棱锥S －ABCD 内部的小正方体棱长为a ，24R ≤==，故4a ≤ 故a 最大为4343，故答案为：4343. 4．（2022·湖北·华中师大一附中高一期中）半正多面体(semiregularsolid )亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为1，则该半正多面体外接球的表面积为___________；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为___________.【答案】 4π所以该半正多面体外接球的半径1R =，故其表面积为4π.若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，该正四面体体积最小.此时，设正四面体的棱长为a ，考查轴截面，则有22211⎫⎫-=+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得a =所以(2min 13V =⋅=⎝故答案为： 4π；。
高中数学必修二：空间几何体的表面积与体积（步骤讲解）
高中数学必修二：空间几何体的表面积与体积（步骤讲解）
很多同学认为立体几何很难，但只要打好基础，立体几何将会变得很容易。
那么下面给大家分享关于空间几何体的表面积与体积。
一、空间几何体的表面积
1、(2016·高考全国卷乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是( )
2、(2015·高考福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )
二、空间几何体的体积
1、(2017·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
2、(2016·高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )
三、球与空间几何体的接、切问题
1、(2017·河南省六市第一次联考)三棱锥PABC中，AB＝BC＝，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球表面积为( )
A.πB．π
C.πD．π
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高二数学立体几何试题答案及解析
高二数学立体几何试题答案及解析1.（本题满分10分）把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为xcm的相等的正方形，然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子，问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？【答案】１６０００【解析】设长方体高为xcm，则底面边长为（60－2x）cm．（0<x<30）…1分长方体容积（单位：），…3分…5分令解得x＝10，x＝30（不合题意合去）于是…7分在x＝10时，V取得最大值为…10分2.已知三棱锥满足，则点在平面上的射影是三角形的心．【答案】外【解析】，设点在平面上的射影是．则，所以是外心．【考点】射影定理3.（本题满分16分，第（1）小题7分，第（2）小题9分）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等．铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2．（单位：mm，加工中不计损失）．（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）观察铆钉的面积，钉身为圆柱形的侧面积，加半球的底面积加半球面的面积；（2）将钉身圆柱捶打成钢板厚的圆柱加一个半球形的帽，所以利用等体积建立方程，求的钉身的长度．试题解析：解：设钉身的高为，钉身的底面半径为，钉帽的底面半径为，由题意可知：圆柱的高圆柱的侧面积半球的表面积所以铆钉的表面积（）（2）设钉身长度为，则由于,所以，解得答：钉身的表面积为，钉身的长度约为．【考点】1．组合体的表面积；2．组合体的体积；3．等体积．4.已知某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100 cm3C．92cm3D．84cm3【答案】【解析】由三视图可知原几何体如图所示：故几何体的体积，答案选B．【考点】空间几何体的三视图与体积5.直三棱柱中，，，、分别为、的中点．（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系．设,计算与的数量积即可得到（2）同理可计算，利用向量的夹角的余弦公式可得向量与的余弦值，亦即异面直线与所成角的余弦值试题解析：由题知平面，，以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系．设，，，，，，，，，，，所以；（2），设异面直线与所成角为，则有【考点】向量法解决空间几何中的直线与直线垂直和异面直线所成的角．6.下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面和平面有不同在一条直线上的三个交点【答案】C【解析】A如果三点在一条直线上，则不能确定一个平面；B四边形可以为空间中的三棱锥；C梯形两平行边确定一个平面；D平面和平面相交所有的点都在交线上，所以三个点一点在同一条直线上，故选择C【考点】空间点、线、面7.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为1的圆锥的半个圆锥，故该几何体的体积为，故选D．【考点】空间几何体的三视图．8.在长方体中，，，，则与所成角的余弦值为．【答案】【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则，，则与所成角的余弦值为【考点】空间向量求异面直线所成角9.正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为，则三棱锥Ｏ－ＡＢ1Ｄ1的体积为_____________.【答案】【解析】【考点】棱锥体积10.设为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件为（）．A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】D【解析】一条直线垂直于两个互相垂直的平面的交线，则这条直线与这两个平面中的某一平面可能垂直也可能不垂直，所以选项A错误；同理，可说明B、C不正确；若，，，则∥，,所以。
高三数学空间几何体的表面积与体积试题
高三数学空间几何体的表面积与体积试题1.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是______________（单位：m2）．正视图侧视图俯视图【答案】【解析】该几何体是一三棱锥，底面是底边长为2 ，高为2 的等腰三角形，有一侧面垂直于底面，底边长为2 ，高为2 的等腰三角形，另两侧面是全等等腰三角形，腰长为，底边长2 ，所以该棱锥的全面积是=。
【考点】本题主要考查三视图，几何体的面积计算。
点评：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题。
注意图中虚线，是被遮掩的棱。
2.已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由于正方体的外接球的体积是，那么根据球的表面积公式可知为,设棱长为a，则可知,故选B.【考点】正方体的外接球点评：解决的关键是理解外接球的直径就是正方体的体对角线，那么可知与棱长的关系，进而得到结论，属于基础题。
3.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】结合已知的三视图可知，该几何体是个直三棱柱，高度为1，底面是等腰直角三角形，则可以利用三棱柱的体积，故选A.【考点】三视图，体积运算点评：根据三视图还原几何体是高考的一个热点，能通过长对正，高平齐，宽相等，来得到求解，属于基础题。
4.已知三棱锥A－BCD内接于球O，AB＝AD＝AC＝BD＝，∠BCD＝60°，则球O的表面积为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为三棱锥A－BCD内接于球O，AB＝AD＝AC＝BD＝，∠BCD＝60°，球心O在高线上，连OB, OC, OD，均与OA相等。
这是一个正三棱锥，利用“小结论”，球的半径等于三棱锥高的四分之三，而底面三角形的高为，由勾股定理得，三棱锥的高h=，所以球的半径r= ，球的表面积为4π（）=，故选D。
高二数学立体几何试题答案及解析
高二数学立体几何试题答案及解析1.一个球的Л体积为，则此球的表面积为．【答案】【解析】因为球的体积公式：,所以=所以R=1，由表面积公式S=4=2.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1B．C．D．2【答案】C【解析】略3.已知长方体中，，点在棱上移动，当时，直线与平面所成角为．【答案】【解析】为直线与平面所成角，，,,所以．【考点】线面角4.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=，则棱锥O-ABCD 的体积为_____________．【答案】【解析】矩形外接圆的直径为对角线长。
棱锥的体积为【考点】棱锥外接球问题5.某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可得其还原图是半个圆锥，由题可得其底面圆半径为1，母线长为3，所以其体积为。
故选A。
【考点】由三视图求面积、体积。
6.（本小题满分12分）已知如图，四边形是直角梯形，，，平面，，点、、分别是、、的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）先证明平面∥平面，由面面平行可得线面平行；（Ⅱ）建立直角坐标系，由空间微量公式计算即可.试题解析：（Ⅰ）证明：∵点、、分别是、、的中点，∴∥，∥.∵平面，平面，平面，平面，∴∥平面，∥平面.∵，∴平面∥平面∵平面，∴∥平面．（Ⅱ）解：根据条件，直线，，两两垂直，分别以直线，，为建立如图所示的空间直角坐标系．设，∵，∴∴.设分别是平面和平面的一个法向量，∴，∴，即，．不妨取，得．∴．∵二面角是锐角，∴二面角的余弦值是．【考点】1.线面平行、面面平行的判定与性质；2.空间向量的应用.7.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题中所给的三视图，可知该几何体为底面为边长为和的长方形，顶点在底面上的摄影是左前方的顶点，所以有，解得，故选B．【考点】根据所给的几何体的三视图，还原几何体，求其体积及其他量．8.如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求锐二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；【解析】（Ⅰ）本题考查线面垂直的判定定理．可由勾股定理证明；另外平面即可；（Ⅱ）过程为作---证---算．根据二面角的定义找到角，注意不要忽略了证明的过程．试题解析：（Ⅰ）证明：由条件知平面，令，经计算得，即，又因为平面；（Ⅱ）过作，连结由已知得平面就是二面角的平面角经计算得，【考点】1．线面垂直的判定定理；2．二面角；9.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设该棱柱各棱长为a,底面中心为O，则A1O平面ABC．在三角形A1AO中,可得．设AB中点为D，可证，AD A1D．在直角三角形ADA1中，AA1=a,AD=,解得，．故与底面所成角的正弦值为．故选B．10.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．【答案】【解析】【考点】圆锥体积11.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF= ．则下列结论中正确的个数为①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③三棱锥A﹣BEF的体积为定值；④的面积与的面积相等，A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】①中AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确【考点】1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质12.设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,则；[②若,则；③若则；④若与相交且不垂直，则与一定不垂直．其中，所有真命题的序号是．【答案】①③【解析】②中两平面平行或垂直；④中两直线可能相交，平行或异面，可能出现异面直线垂直的情况；①③由线面垂直平行的判定与性质可知结论正确【考点】空间线面垂直平行的判定与性质13.一个的长方体能装卸8个半径为1的小球和一个半径为2的大球，则的最小值为（）A．B．C．D．8【答案】B【解析】在的面上放4个小球，在在上面放一个大球，4个小球每个都与相邻两个相切，大球与四个小球都相切，记4个小球的球心依次为，大球球心为，则为正四棱锥，底面边长为2，侧棱长为3，其高为，对应上面再放4个小球，因此的最小值为，故选B．【考点】长方体与球．14.如图，在四面体中，，，点分别是的中点（1）求证：平面平面；（2）当，且时，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明面面垂直应证线面垂直，首先根据图形分析需要证明面即可说明平面平面；（2）解决本题关键是找出底面上的高，由（1）很容易可以得到高为，由此可以计算三棱锥的体积．试题解析：（1）证明：∵中，分别是的中点，．，．中，，是的中点，．，面，平面平面；（2）解：，是的中点，，，，∴平面，，，，，，．【考点】空间几何体的垂直、平行、体积问题．15.如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）用几何法证明线线垂直的主要思路是证明线面垂直，则线线垂直，所以首先根据所给的条件能够确定是等腰直角三角形，是等边三角形，然后取的中点，连接，最后证明平面;（2）根据上一问的结论，根据勾股定理，证明，从而可以以为原点建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，利用公式求解．试题解析：（1）证明：取的中点，连接．∵，∴又四边形是菱形，且，∴是等边三角形，∴又，∴，又，∴（2）由，，易求得，，∴，以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直坐标系，则，，，，∴，，设平面的一个法向量为，则，，∴，∴，，∴设平面的一个法向量为，则，，∴，∴，，∴∴【考点】1．线与线的位置关系；2．二面角．16.如图，在正三棱锥中，．分别为棱．的中点，并且，若侧棱长，则正三棱锥的外接球的体积为__________．【答案】【解析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积．∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB，∵三棱锥S-ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC ∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．【考点】球的体积与表面积【方法点睛】一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径．设其外接球的半径为，则有．17.如图，在三棱锥中，△和△都为正三角形且，，，，分别是棱，，的中点，为的中点．（1）求异面直线和所成的角的大小；（2）求证：直线平面．【答案】（1）;（2）见解析．【解析】（1）通过构造中位线，得到，即为异面直线和所成的角，由已知数据求之即可；（2）要证平面，可在平面中构造一条直线与平行即可，连接交于点，连接，证明即可．试题解析：（1）∵，分别是，的中点，∴，∴为异面直线和所成的角．在△中，可求，，，故，即异面直线和所成的角是．（2）连接交于点，连接，∵为的中点，为的中点，∴为△的重心，∴．∵为的中点，为的中点，∴，∴，∴，∵面，面，∴面．【考点】1．异面直线所成的角；2．线线、线面平行的判定与性质．18.如图1，已知正方体ABCD－A1B1ClD1的棱长为a，动点M、N、Q分别在线段上，当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的正视图面积等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由俯视图可知为的中点，与重合，与点重合．所以此时三棱锥的正视图为三角形，其面积为．故B正确．【考点】三视图．【思路点晴】本题主要考查的是三视图，属于中档题．应先根据三棱锥的俯视图确定四点的位置，还原出三棱锥的立体图，根据其立体图可得其正视图，从而可求得正视图的面积．19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点．则与底面所成的角的正切值为________．【答案】【解析】设底面边长为1，取中点，连接，，所以底面，那么为与底面所成的角，，，所以．【考点】线面角【思路点睛】主要考察了线面角的求法，属于基础题型，根据线面角的定义，线与射影所成角，所以此题的关键是求在平面内的射影，所以根据底面，取中点，得底面，再连接，为与底面所成的角，根据正切公式求解．20.在四棱锥中，底面，，，，，是的中点．（1）证明：；（2）证明：平面；（3）（限理科生做，文科生不做）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．【解析】（1）证明异面直线垂直，一般的思路是证明线面垂直，线在面内，所以线线垂直的思路，所以根据条件转化为先证明平面，而要证明平面，得先证明，条件所给，易证；（2）证明线面垂直的思路是证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线面垂直，根据上一问已证明，所以只需再证明，根据条件需证明，问题会迎刃而解；（3）由题可知两两垂直，建立空间直角坐标系，设，那就可以写出各点的坐标，并分别求两个平面的法向量与，利用公式，并观察是钝二面角．试题解析：（1）证明：底面，．又面，面，．（2）证明：，是等边三角形，，又是的中点，，又由（1）可知，面（3）解：由题可知两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设，则．设面的一个法向量为，即取则，即设面的一个法向量为，即取则即，由图可知二面角的余弦值为．【考点】1．线线垂直，线面垂直的证明；2．二面角；3．向量法．21.如图，已知圆柱的高为，是圆柱的三条母线，是底面圆的直径，．（1）求证：//平面；（2）求二面角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）先利用垂直关系建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，通过证明的方向向量和平面的法向量垂直进行证明；（2）先求出两个平面的法向量，利用空间向量求出其二面角的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式求解．试题解析：由是直径，可知,故由可得：,以点为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）则（1）由可得平面的一个法向量又又平面平面（2）由可得平面的一个法向量，由可得平面的一个法向量设二面角为，则所以二面角的正切值为．【考点】1．线面平行的判定；2．二面角；3．空间向量在立体中的应用．22.（2015秋•黄冈校级期末）如图，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．M为平面ABCD内的一动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（O为正方形ABCD的中心）（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在空间中，过线段PC中点，且垂直线段PC的平面上的点到P，C两点的距离相等，此平面与平面ABCD相交，两平面有一条公共直线．解：在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P，C两点的距离相等，记此平面为α，平面α与平面ABCD有一个公共点D，则它们有且只有一条过该点的公共直线．取特殊点B，可排除选项B，故选A．【考点】轨迹方程．23.（2015秋•内江期末）若一个几何体的正视图是一个三角形，则该几何体不可能是（）A．圆锥B．圆柱C．棱锥D．棱柱【答案】B【解析】圆柱的正视图可能是矩形，可能是圆，不可能是三角形．解：圆锥的正视图有可能是三角形，圆柱的正视图可能是矩形，可能是圆，不可能是三角形，棱锥的正视图有可能是三角形，三棱柱放倒时正视图是三角形，∴在圆锥、圆柱、棱锥、棱柱中，正视图是三角形，则这个几何体一定不是圆柱．故选：B．【考点】简单空间图形的三视图．24.已知两条不重合的直线和两个不重合的平面、，有下列命题：①若，，则；②若，，，则；③若是两条异面直线，，，，则；④若，，，，则．其中正确命题的个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】①不正确，还可能；②正确，，，又，；③不正确，还可能相交；④由面面垂直的性质定理可知④正确．综上可得②④正确．故B正确．【考点】1线面位置关系；2面面位置关系．25.如图，在三棱锥P﹣ABC中，E、F、G、H分别是AB、AC、PC、BC的中点，且PA=PB，AC=BC．（Ⅰ）证明：AB⊥PC；（Ⅱ）证明：平面PAB∥平面FGH．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理证明AB⊥面PEC，即可证明：AB⊥PC；（Ⅱ）根据面面平行的判定定理即可证明平面PAB∥平面FGH．解：（Ⅰ）证明：连接EC，则EC⊥AB又∵PA=PB，∴AB⊥PE，∴AB⊥面PEC，∵BC⊂面PEC，∴AB⊥PC（Ⅱ）连结FH，交于EC于O，连接GO，则FH∥AB在△PEC中，GO∥PE，∵PE∩AB=E，GO∩FH=O∴平面PAB∥平面FGH【考点】平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．26.以正方体的顶点D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不妨令正方体的边长为1,则由图可知.,与共线的向量的坐标为.故D正确.【考点】空间向量共线问题.27.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=" 2AD" ="2CD" =2．E是PB的中点．（I）求证；平面EAC⊥平面PBC；（II）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【答案】（I）证明见解析；（II）．【解析】对于问题（I），可以先证明平面，再证明，然后即可证明所需结论；对于问题（II），首先建立以为坐标原点的空间坐标系，然后再求出相应点的坐标，再由题设条件求出的长以及平面的法向量，最后利用向量的夹角公式，就可以得到直线与平面所成角的正弦值．试题解析：（I），，，，，错误！未指定书签。
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高二数学空间几何体的表面积与体积试题1. 已知四边形ABCD 是矩形，AB=，BC=，将△ABC 沿着对角线AC 折起来得到△AB 1C ，且顶点B 1在平面AB=CD 上射影O 恰落在边AD 上，如图所示． （1）求证：AB 1⊥平面B 1CD ；（2）求三棱锥B 1﹣ABC 的体积V B1﹣ABC ．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）平面ABCD ，平面ABCD ，所以，又CD AD ，AD=O ，所以平面，又平面，所以，又，且平面 （2）由于平面，平面ABCD ，所以在中，，又由得，所以试题解析：（1）平面ABCD ，平面ABCD ，，又CD AD ，AD =O 平面，又平面 ，又，且 平面 （2）由于平面，平面ABCD ，所以在中，， 又由得，所以【考点】1.空间线面垂直；2.锥体的体积2. 设一个扇形的半径为，圆心角为，用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的体积是_________. 【答案】【解析】因为一个扇形的半径为，圆心角为弧度，用它做成一个圆锥的侧面，设这个圆锥的底面半径为，高为，依题意圆锥的母线，由，即，所以，从而，进而有该圆锥的体积（）.【考点】圆锥及圆锥的体积计算.3. 如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞，且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 .【答案】【解析】过作截面平行于平面,可得截面下体积为原体积的，若过点F，作截面平行于平面,可得截面上的体积为原体积的，若C为最低点，以平面为水平上面，则体积为原体积的，此时体积最大.【考点】体积相似计算.4.一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的体积为．【答案】.【解析】由三视图可知，原几何体是球体沿其直径切去四分之一部分，所以其体积是四分之三球体积，即，其中【考点】由已知三视图还原为原几何体，球的体积公式.5.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=，点M在线段EC上且不与E、C垂合.（1）当点M是EC中点时，求证：BM//平面ADEF；（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M—BDE的体积【答案】（1）详见解析；（2）【解析】以、、分别为轴建立空间直角坐如图，（1）要证面，只要证明向量与平面的法向量垂直即可；（2）设，设面的法向量，利用向量的数量积求得，而平面的法向量由，解出的值，从而确定点位置，进而求出也即三棱锥M—BDE的体积.试题解析：（1）以、、分别为轴建立空间直角坐标系则所以，面的一个法向量所以，即面 4分（2）依题意设，设面的法向量则，令，则，面的法向量，解得为EC的中点，，到面的距离12分【考点】1、空间直角坐标系；2、向量法解决空间的平行、垂直与夹角问题；3、空间几何体的体积.6.三角形中，，以边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意可知，旋转体的形状如下图，是一个圆锥，其中圆锥的高为，底面圆的半径为，所以该圆锥的体积为，故选B.【考点】旋转体的体积.7.如图，在正方体中，点在面对角线上运动，给出下列四个命题：①∥平面；②；③平面⊥平面；④三棱锥的体积不变.则其中所有正确的命题的序号是．【答案】①③④.【解析】可以以D为原点，以DA，DC，为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算可以证明（1），（3）成立；对于（4）如右图,三棱锥的底面△面积为定值，高BP也为定值，所以三棱锥的体积不变.【考点】（1）空间垂直平行的证明；（2）三棱锥的体积公式.8.如图，是圆柱体的一条母线，过底面圆的圆心，是圆上不与点、重合的任意一点，已知棱，，．（1）求证：；（2）将四面体绕母线转动一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．【答案】（1）详见解析。
（2）【解析】（1）由母线垂直于底面可得，由直径所对的圆周角为，可得，根据线面垂直的判定定理可得。
（2）在旋转过程中形成两个圆锥，所求体积即为两圆锥的体积的差。
试题解析：解：（1）证明：因为点在以为直径的圆上，所以， 2分因为，，所以，从而有 6分（2）由题意可知，所求体积是两个圆锥体的体积之差，，故所求体积为 12分【考点】1线面垂直；2圆锥的体积。
9.棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，棱长均为1的三棱锥实际上四个面就为四个边长等于1的正三角形。
下三角形的面积公式要熟记.【考点】三棱锥、表面积10.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设正四棱柱底面正方形的边长为，则，∴=2，由题意可知，正四棱柱的体对角线长就是其外接球的直径，∴，，选A.【考点】1、几何体的外接球；2、球的表面积.11.某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面．且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1,四个侧面都是直角三角形，其中△PBC的高PB=故其侧面积是S=S△PAB +S△PBC+S△PCD+S△PAD= ,故可知答案为A.【考点】三视图求面积点评：本题考查三视图求面积、体积，考查空间想象能力，是中档题．12.三棱锥中，，，⊥底面，且，则此三棱锥外接球的半径为A．B．C．2D．【答案】B【解析】解：根据已知中底面△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球∵△ABC是边长为2的等腰直角三角形，外心在斜边的中点上，利用∴△ABC的外接圆半径r=，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1，得到球的半径为，故可知答案选B.【考点】球内接多面体点评：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R，属于基础题。
13.已知一个圆与正方形的周长都为1，证明：圆的面积比正方形的面积大.【答案】，，，圆的面积比正方形面积大。
【解析】因为 4分8分12分圆的面积比正方形面积大 14分【考点】本题主要考查正方形及圆的面积计算。
点评：简单题，周长确定得到正方形边长及圆的半径，利用面积公式计算，而后比较。
14.如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果正视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为A．B．C．D．【答案】C【解析】该几何体是一正四棱锥，底面边长为2，，斜高为2，所以四棱锥的高为，体积为，故选C。
【考点】本题主要考查三视图，几何体特征，几何体体积计算。
点评：基础题，认识几何体的特征是解答此类题的关键。
15.在正三棱柱中，若AB=2，则点A到平面的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设点到平面的距离为h，则三棱锥的体积为=,即，所以，所以.【考点】点、线、面间的距离计算．点评：本题求点到平面的距离，可以转化为三棱锥底面上的高，用体积相等法，容易求得．“等积法”是常用的求点到平面的距离的方法．16.如果圆柱轴截面的周长为定值4，则圆柱体积的最大值为_______________。
【答案】【解析】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r+2h=4，即2r+h=2，∴2r+h=r+r+h，故可知圆柱体积的最大值为【考点】圆柱的体积点评：本题考查圆柱的体积，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．17.若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示,则此多面体的体积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是三棱锥，底面是等腰三角形，其底边长为3，高位2，正对的侧面是等腰三角形，另一条侧棱垂直于底面且长度为2，所以体积为6【考点】三视图及几何体体积点评：先由三视图还原出直观图，由几何体的特点求其体积18.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积为，且用料最省，则此圆柱的底面半径为____________.【答案】【解析】设圆柱的高为h，半径为r，则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π，所以，，，所以f（r）在（0，3）单调递减，在[3，+∞）单调递增，则f（r）在r=3时取得最小值。
【考点】函数最值的应用。
点评：本题主要考查了圆柱的体积公式及表面积的最值的求解，解答应用试题的关键是要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决．19.半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2r ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，类比以上结论，请你写出类似于①的式子：②，②式可以用语言叙述为：。
【答案】用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。
”【解析】本题是信息给予题，首先根据给出的条件找到球的体积与表面积的计算公式，然后类比写出结论【考点】考查学生的类比迁移能力点评：此类题目的关键是首先读懂给定的信息的含义，找到与所求问题的联系20.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设球的半径为，则球的表面积为,而球的内接正方体的体对角线等于球的直径，所以正方体的棱长为，所以球的表面积和内接正方体的表面积之比为【考点】本小题主要考查球的表面积公式、正方体的表面积公式的应用和球与其内接正方体的关系，考查学生的空间想象能力.点评：正方体内接于球，则球的直径等于正方体的体对角线；若球内切于正方体，则球的直径等于正方体的棱长.21.（本题13分）在几何体ABCDE中，∠BAC= ，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F是BC的中点，AB=AC=BE=2，CD=1．（1）求证：DC∥平面ABE；（2）求证：AF⊥平面BCDE；（3）求几何体ABCDE的体积．【答案】（1）证明：见解析；（2）证明：见解析；（3）2。
【解析】本题考查线面平行，考查线面垂直，考查几何体的体积，解题的关键是正确线面平行、垂直的判定方法，正确运用体积公式．（I）证明DC∥平面ABE，即证DC∥EB，利用DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC可证；（II）证明AF⊥平面BCDE，利用线面垂直的判定，证明DC⊥AF，AF⊥BC即可；（III）几何体ABCDE的体积就是以平面BCDE为底面，AF为高的三棱锥的体积．（1）证明：∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，∴DC∥EB，又∵DC⊄平面ABE，EB⊂平面ABE，∴DC∥平面ABE（2）证明：∵DC⊥平面ABC，AF⊂平面ABC∴DC⊥AF，又∵AB=AC，F是BC的中点，∴AF⊥BC，又∵DC∩BC=C，DC⊂平面BCDE，BC⊂平面BCDE，∴AF⊥平面BCDE（3）解：∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，∴DC∥EB，且四边形BCDE为直角梯形∵在△ABC中，∠BAC=，AB=AC=2，F是BC的中点∴BC=，AF=∵由（II）可知AF⊥平面BCDE∴几何体ABCDE的体积就是以平面BCDE为底面，AF为高的三棱锥的体积∴VABCDE=VA-BCDE=SBCDE×AF=×(1+2)××=222. .如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=.（1）求四棱锥S-ABCD的体积；（2）求证：面SAB⊥面SBC；（3）求二面角的正切值.【答案】（1）；（2）证明：见解析；（3）。