微积分无穷级数
高等数学无穷级数知识点总结
高等数学无穷级数知识点总结
无穷级数是高等数学中的一个重要内容，它涉及到很多重要的概念和定理。
以下是一些高等数学无穷级数的知识点总结:
1. 无穷级数的基本概念：无穷级数是指一个数列的项按一定规律相加而成的数列。
其中，无穷级数的定义域可以是实数集或复数集。
2. 无穷级数的分类：无穷级数可以分为数项级数和函数项级数两大类。
数项级数是指以常数项级数的形式表示的无穷级数，而函数项级数则是以函数项的形式表示的无穷级数。
3. 无穷级数的敛散性：无穷级数的敛散性是指级数是否收敛或发散。
如果一个无穷级数收敛，则称其为收敛级数，反之则称为发散级数。
4. 无穷级数的判别法：无穷级数的判别法是指判断一个无穷级数是否收敛的方法。
常用的判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和莱布尼兹判别法等。
5. 无穷级数的和应用：无穷级数在数学中有着广泛的应用，例如求和、积分、微积分等。
在实际应用中，无穷级数往往被用来求解各种问题。
6. 无穷级数的和函数：无穷级数的和函数是指级数的每一项相加得到的总和。
无穷级数的和函数具有很多重要的性质，例如连续性、可导性等。
7. 无穷级数的广义性质：无穷级数的广义性质是指关于无穷级数的一些扩展概念和定理。
例如，无穷级数的前 n 项和的广义性质、
无穷级数的广义收敛性等。
以上是高等数学无穷级数的一些重要知识点总结。
希望能对读者有所帮助。
经济数学基础--微积分第八章
(1
1 n
)n
,
因为
lim
n
un
lim
n
1
1
n
1
n
1 e
0, 所以级数发散.
例8.1.7 讨论级数 cos n 的敛散性.
n 1
2
解 因为数列{cos n }就是0, 1, 0,1, 0, 1,, 这个数列发散, 所以级数也发散.
2
第 12 页
经济应用数学基础——微积分
第八章 第二节 第 13 页
8 1
简记为 un , 称上式为数项无穷级数, 简称无穷级数.其中, 第n项un 称为级数的一般项, n 1
级数的前n项和
n
Sn uk u1 u2 un k 1
称为级数的前n项部分和, 简称部分和.
8 2
第4 页
经济应用数学基础——微积分
无
第八章 第一节
穷
级
数
的
定义8.1.2
若数项级数的部分和数列{Sn
lim
n
Sn
1
S.由于an
Sn
Sn1 ,
所以
lim
n
an
lnim(Sn
Sn1 )
S
S
0.
注意 本性质说明如果级数 an收敛, 则通项的极限等于0.反之不成立, 如调和级数
1, 虽然 lim 1 0, 但此级数发散.另外, 如果通项的极限不等于0, 级数一定是发散的, 这
n1 n
n n
就是下面的推论.
n
1
n 2 3 1 5 1 2
n3/2
n 1
n3/2
n n2
n6
n
1
高等数学(复旦大学版)第十二章 无穷级数
第十二章 无穷级数无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节 常数项级数的概念和性质教学目的：1、理解无穷级数的概念；2、理解级数的收敛或发散的概念；3、掌握等比级数和p 级数等特殊级数的敛散性；4、了解无穷级数的基本性质。
教学重点：级数收敛或发散的判定 教学难点：级数收敛或发散的判定 教学内容：一、常数项级数的概念定义1 给定数列{}n u ，则称12n u u u ++++L L为常数项无穷级数，简称级数，记做1n n u ¥=å，即121n n n u u u u ¥==++++åL L式子中每一项都是常数，称作常数项级数，第n 项称为级数的一般项（或通项）。
级数1n n u ¥=å的前n 项和称为级数的部分和，记做n s ，即12n n s u u u =+++L级数的所有前n 项部分和n s 构成一个数列{}n s ，称此数列为级数1n n u ¥=å的部分和数列。
定义2 若级数1n n u ¥=å的部分和数列{}n s 收敛于s ，则称级数1n n u ¥=å收敛，或称1nn u ¥=å为收敛级数，称s 为这个级数的和，记作121n n n s u u u u ¥==++++=åL L而12n n n n r s s u u ++=-=++L称为级数的余项，显然有lim lim()0n n nnr s s =-=若{}n s 是发散数列，则称级数1n n u ¥=å发散，此时这个级数没有和。
微积分 无穷级数
i 1
级数敛散性定义:
如果级数 un 的部分和数列 {sn} 有极限 s,即
n 1
则称无穷级数 un 收敛,这时极限 s 叫做这级数的和,并写成
n 1
n
lim sn s ,
s un u1 u2 u3 un
n
lim [(u1 u2 un ) (v1 v2 vn )]
n
lim (sn n ) s .
n
微积分
第八章
无穷级数
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无穷级数的基本性质
性质1 性质 1 如果 un s ,则 kun ks .
n
(3)当q-1时,因为sn当n为奇数时等于a ；当n为偶数 时等于零。
所以 snn 的极限不存在,从而这时级数 aqn 也发散. 所以 s 的极限不存在,从而这时级数 aqn 也发散.
n 0 n 0
n 0
微积分
第八章
无穷级数
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a 因此， 仅当|q|1 时, 几何级数 aq n (a0)收敛, 其和为 .
等比级数 aqn a aq n-1 2 aqn aq aq 几何级数 n 0 1 1 1 1 1 1 p 1 1p n p 2 p 3 p 2 p—级数 p n 3p n 1 n 1 n 1 1 1 1 11 n(n 1) 1 n(21) 12 n(n 1) 2 23 n 1 n 1 n 3
级数举例:
级数的展开形式 简写形式
一般项
无穷级数的定义,性质和及敛散性判别
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
正六边形的面积 a1
R
正十二边形的面积 a1 a2
n 正 3 2 形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 an 1 3 3 3 3 2. n 3 10 100 1000 10
二、级数的概念
1 1 1 1 解 un ( ), ( 2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1 1 sn 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1 1 1 (1 ), 2 2n 1 1 1 1 lim sn lim (1 ) , n n 2 2n 1 2
n 2,3,
于是有
1 3 2 3 3 lim An A1 (1 ) A1 (1 ) . n 4 5 5 1 9 雪花的面积存在极限（收敛）．
n
lim Pn
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0
若记
un n 1
任意加括号
bk u pk 1 1 u pk
bk k 1 bk 的部分和记为 k k 1
则加括号后级数成为
记
un n 1
的部分和为 sn
则 k s pk 由数列和子数列的关系知 lim sn 存在， lim k 必定存在
1 dx 即 x 1 1 1 Sn 1 2 n n1 1 dx ln( n 1) , ( n ) x 1 故调和级数发散
微积分中的极限方法1-2数列极限的定义
目
CONTENCT
录
• 数列极限的定义 • 极限的运算性质 • 极限存在准则 • 数列极限的应用
01
数列极限的定义
定义与性质
定义
数列的极限是指当项数趋于无穷时，数列的项趋于某一固定值。即对于任意小 的正数$epsilon$，存在一个正整数$N$，当$n>N$时，数列的项$a_n$与固 定值$lim a_n$的距离小于$epsilon$。
级数与无穷级数
级数
级数是微积分中研究无穷序列的数学工具。 通过数列极限的定义，我们可以更好地理解 级数的收敛性和发散性，从而更好地研究无 穷序列的性质。
无穷级数
无穷级数是包含无穷多个项的级数，它可以 用来研究函数的性质和行为。通过数列极限 的定义，我们可以更好地理解无穷级数的概 念和性质，从而更好地应用无穷级数解决实
$n$和$n+1$，都有$|a_{n+1}-a_n|<varepsilon$，那么这个数列就是收敛的。
致密性定理
总结词
致密性定理指出，如果一个数列的任意 子序列都收敛于同一个极限，则该数列 本身也收敛于该极限。
VS
详细描述
致密性定理是极限存在的一个重要的准则 。它表明，如果一个数列的任意子序列都 收敛于同一个极限，那么这个数列本身也 必定收敛于这个极限。这个定理在证明极 限定理和解决极限问题时非常有用。
04
数列极限的应用
无穷小量与连续性
无穷小量
在微积分中，无穷小量指的是一个接近于零 但不等于零的量。在数列极限的定义中，无 穷小量用来描述当项数趋于无穷大时，数列 项的变化趋势。
连续性
连续性是微积分中的一个基本概念，它描述 了一个函数在某一点或某一区间内不间断的 特征。通过数列极限的定义，我们可以更好 地理解函数在某一点处的连续性，即当自变 量趋于这一点时，函数值的变化趋势。
微积分第七章无穷级数_OK
用法：常判别含有因子 n! 、a n或 nn 的级数敛散性。
20
例3 证明级数
11 1 1
1
1 12 123
123 (n-1)
是收敛的.
解解解: 因因为为 lliimmuunnn111 lliimm112233((nn--11)) lliimm110011,, nnn uunnn nnn 112233nn nnnnn
也是收敛的.
10
§7. 2 无穷级数的基本性质
性性质质11
如果
un
s
,则
kun
ks
.
n1
n1
性性质质22
如果 un s
、 vn
,则 (un vn) s
.
n1
n1
n1
性质3 在一个级数的前面加上、去掉或改变有限项,级数 的敛散性不变.
性质4 如果级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后 所成的级数仍收敛, 且其和不变.
注意:
(1) 级 数 的 一 般 项 趋 于 零 并 不 是 级 数 收 敛 的 充 分 条 件 ,
不能因为一般项趋于零就断定级数收敛.
（2）判断级数敛散时应首先验证是否满足收敛的必要条13 件.
例4
判断级数
n sin 1
n1
n
解:因为
lim
n
un
lim n n
所以级数 n sin 1
的敛散性。
2n 2n
,
而且
n=0
1 2n
收敛.
所以，由比较判别法可知，级 数
1
n0 sin 2n
收敛.
证(2) 因为
1 n(n 1)
1
1
, 而且
微积分求极限的方法
微积分求极限的方法微积分中，求极限是一个非常重要的概念和技巧。
它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
求极限的方法有很多种，下面我将介绍几种常用的方法和技巧。
1.代入法：代入法是求解极限最常用的方法之一、它的基本思想是，将极限中的自变量替换为一个特定的值，然后计算函数在这个特定值附近的取值情况。
例如，求$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$，我们可以将 $x$ 替换为$0$，然后计算 $\frac{\sin 0}{0}$，根据 $\sin 0=0$，所以这个极限等于 $1$。
2.夹逼准则：夹逼准则也是求极限常用的方法之一、它的基本思想是，如果一个函数在一些点附近有两个函数夹住，这两个函数的极限都存在且相等，那么这个点的极限也存在且等于这个共同的极限。
例如，求极限 $\lim_{x\to 0}x\sin \frac{1}{x}$，我们可以使用夹逼准则，上下界函数分别是$-x$ 和 $x$，两个函数的极限都是 $0$，所以根据夹逼准则，该极限也是 $0$。
3.分子有理化和分母有理化：有时候，如果极限的表达式中有无理数或者根式，可以尝试用有理数近似代替无理数，然后对分子和分母进行有理化。
例如，求极限$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$，我们可以对分子有理化，得到 $\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}$，然后化简得 $\lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$，再代入$x=0$ 可以求得极限等于 $1$。
4. L'Hospital法则：L'Hospital法则是求解极限中常用的一个重要方法。
它适用于形式为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 的极限。
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n
Sn u1 u2 un ui i 1
3
2、级数的收敛与发散：
定义 对于级数 un ,如果它的前 n 项部分和数列{Sn } 收敛
n1
(设极限为S ) ，即
lim
n
Sn
S
,
则称该无穷级数收敛，
且称 S 为该级数的和，并记为
un S
n1
如果数列{Sn } 没有极限,则称该无穷级数发散.
刚刚爬过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来
越近，却永远也追不上我！”阿基里斯说：“哎呀，我明明知
道能追上你，可是你说的好像也有道理耶。这到底是怎么回事
呢？"
9
假定阿基里斯现在A处，乌龟现在B处. 为了赶上乌龟，阿 基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达B点时，乌龟已前 进到B1点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到B2点，如此等 等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前
例2 讨论级数 ln(1 1 ) 的敛散性.
n1
n
解
un
ln(1
1) n
ln(n 1)
ln n
,
所以
Sn ln 2 ln1 ln 3 ln 2 ln(n 1) ln n
ln(n 1) n
所以级数发散.
6
例3 讨论等比级数(几何级数)
aqn1 a aq aq2 aqn1 (a 0)
爬动了一段距离.因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！
A
B
B
B1
B1 B2
10
如果我们从级数的角度来分析这个问题，齐诺的这 个悖论就会不攻自破。
设阿基里斯的速度为乌龟速度的10倍，则他跑完 1000米时，乌龟又爬了100米；等阿基里斯跑完这段路， 乌龟又向前爬了10米……，依次类推，阿基里斯需要 追赶的全部路程为
当 q 1时, Sn na 发散
当 q 1时, 级数变为a a a a
a, Sn 0,
n为 奇
数 ，
n为 偶 数
lim
n
Sn不
存
在,
发散
综上所述， aqn1
n1
当 | q | 1时, 收敛 当 | q | 1时, 发散
a 1q
8
齐诺悖论—阿基里斯与乌龟
阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。 一天他正在散步，忽然发现在他前面一
如此分析下去，显然阿基里斯离乌龟越来越近，但却是永远 也追不上乌龟的.这个结论显然是荒谬的，但奇怪的是，这种推 理在逻辑上却没有任何毛病.那么，问题究竟出在哪儿呢？
1
第一节 无穷级数的概念
无穷级数是高等数学的一个重要组成部分， 它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值 计算的一种工具。
计算圆的面积
4
例1
讨论无穷级数
1 1 1
12 23
n (n 1)
的收敛性.
解
un
1 n(n 1)
1 n
1 n1
,
Sn
1 1 2
1 23
1 n (n 1)
(1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )
2 23
n n1
1 1 1 (n ) , n1
所以级数收敛，且和为 1。 5
就要在距离起点1111 1 处追上并超过乌龟. 9
思考题：还有没有其他方法解此题？
10t 1000 t , t 1000 , s 10t 10000 .
9
9
这里已经假定可以追上。
12
例4 把循环小数0.232323 表示成分数．
解 0.232323
23 100
23 1002
23 1003
(公比为 1 的等比级数,收敛) 100
正六边形的面积 a1
R
正十二边形的面积
正 3 2n 形的面积
a1 a1
a2 a2
an
即 A a1 a2 an
2
1、级数的定义：
通项
un u1 u2 u3 un
n1
— (常数项)无穷级数
级数的前 n 项部分和数列 {Sn }
S1 u1, S2 u1 u2 , S3 u1 u2 u3 ,,
千米远的地方有一只大乌龟正在缓慢地向前爬。乌龟说：“阿
基里斯，谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯说：
“胡说！我的速度比你快何止上百倍！就算刚好是你的十倍，
我也马上就可以超过你！”乌龟说：“就照你说的，咱们来试
一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前跑了一百米。
当你向前跑过这一百米时，我又爬到前面去了。每次你追到我
.
10n
n个
0. a1a2
an
a1a2 an 999
n个
14
0. a1a2 an
a1a2 an 999
n个
例如：
0.7 7 , 9
0.23 23 , 99
0.457 457 . 999
15
第二型：
0. b1b2 bma1a2 an
b1b2 bm 10m
a1a2 an 10mn
a1a2 an 10m2n
23
100 1 1
23 . 99
100
0.42 3
423 990
4
419 990
.
小课题：请编写一套把循环小数转化为分数方法：
第一型：
0. a1a2 an
a1a2 an 10n
a1a2 an 102n
a1a2 an 10n
1 1
a1a2 an 10n 1
a1a2 an 999
n1
的收敛性.
解 如果 q 1，
Sn
a
aq
aq2
aqn1
a aqn 1q
，
当 | q | 1时, lim qn 0 n
a
lim
n
Sn
1
q
收敛
当 | q | 1时,
lim qn
n
lim
n
Sn
发散
7
aqn1 a aq aq2 aqn1 (a 0)
n1
如果 | q | 1，
齐诺悖论—阿基里斯与乌龟
公元前五世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐
诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识，
引发出以下著名的悖论：
如果让阿基里斯(Achilles，古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟 之间举行一场赛跑，让乌龟在阿基里斯前头1000米开始，假定 阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍，也永远也追不上乌龟.齐诺的 理论依据是：当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时 乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟 仍然前于他10米，…，
1000 100 10
这是一个公比为 q 1 1 的几何级数,易求得它的和为 10
1000 10000 11111 ，
1 1
9
9
10
11
1000 1 1
10000 11111 ，
9
9
10
也就是说,如果赛程比这个距离短,则乌龟胜；如果赛 程恰好等于这个距离,则双方平分秋色；否则,阿基里斯