微积分 第九章 第四节 幂级数
幂级数展开在微积分中的应用
幂级数展开在微积分中的应用微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是变化和连续的性质，并广泛应用于科学、工程、经济学等领域。
在微积分中，幂级数展开是一种重要的工具，可以用于计算复杂函数的近似值，解决微积分问题，近似解方程等。
本文将介绍幂级数展开在微积分中的应用。
一、幂级数展开的基本概念在微积分中，幂级数展开是一种用无限项级数来逼近函数的近似方法。
幂级数展开可以将任意的函数表示为一系列多项式的和，其一般形式为：$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$$其中 $a_n$ 是常数项，$x_0$ 是幂级数展开的中心点，$n$ 取遍整数。
当 $x=x_0$ 时，级数的和是 $a_0$；当 $x$ 离 $x_0$ 越远时，高次项的权重越小，这种逼近方法的精度也会越高。
二、1.计算函数的近似值幂级数展开可以将复杂函数表示为一系列简单的多项式的和，由此可以得到函数的近似值。
例如，对于 $\sin x$ 函数，可以将其幂级数展开为：$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots $$当 $x$ 很小的时候，可以截去高次项的部分，得到近似的表达式 $\sin x \approx x$。
这种方法在计算科学和工程中经常被使用，可以大大减少计算量。
2.解决微积分问题幂级数展开还可以用于解决微积分问题，如求导、积分等。
例如，对于 $\ln(1+x)$ 函数，可以将其幂级数展开为：$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$$对其求导得：$$(\ln(1+x))'=\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots $$这种方法可以用于求解高阶导数、不定积分等问题。
同时，幂级数展开还可以用于计算曲线的弧长、面积等。
微积分中的幂级数展开
微积分中的幂级数展开幂级数展开是微积分中的重要概念之一，它是将一个函数表示成一系列幂函数的和的形式，是微积分中对函数进行近似和研究的基础。
本文将从幂级数的基本概念和定义开始，进一步探讨幂级数展开的应用和实际意义。
一、\hspace{0.5em}幂级数的基本概念和定义幂级数是指由函数$f(x)$的幂次组成的无穷级数：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n +...$$其中$a_n$称为幂级数$f(x)$的系数，也就是说，幂级数展开的核心就在于求解幂级数的系数。
对于幂级数的收敛性，我们需要使用柯西收敛原理。
具体地，如果序列$\{a_n\}$满足：$$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}<1$$则幂级数的收敛半径为$R=\dfrac{1}{\limsup\sqrt[n]{|a_n|}}$。
幂级数在其收敛半径内的收敛性由黑格尔定理（或阿贝尔定理）给出：如果幂级数$f(x)$的收敛半径$R>0$，那么$f(x)$在$(-R,R)$内一致收敛；如果幂级数$f(x)$在某个点$x_0\neq 0$处发散，那么幂级数在所有点$x$处均发散。
二、\hspace{0.5em}幂级数展开的应用幂级数展开在数学中有着广泛的应用，下面将介绍一些具体的例子。
1.泰勒级数泰勒级数是指将一个函数$f(x)$在某一点$x=a$处展开的幂级数：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在点$x=a$处的$n$阶导数。
泰勒级数可以用于求解函数的近似值，以及函数的性质和应用。
例如，我们可以通过泰勒级数在$x=0$处展开$\sin x$和$\cos x$，得到：$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$$$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$$2.幂级数解微分方程通过对微分方程进行幂级数变换，我们可以得到幂级数解，并且可以在一定程度上揭示微分方程的一些性质和规律。
幂级数的知识点总结
幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。
我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。
当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。
当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。
收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。
3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。
我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。
二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。
2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。
具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。
三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。
微积分第4节幂级数
(1)n ,
收敛
n1 n
故收敛域为 (0,1].
7
例5.
求
n1
x22nn1的收敛域.
解
n1
x 2n1 2n
x 2
x3 22
x5 23
缺少偶数幂项,
直接应用达朗贝尔判别法，
lim
n
un1( x) un ( x)
lim
n
x 2n1 2n1
x 2n1 2n
1 2
x 2,
当 1 x2 1 ,即 | x | 2 时, 2
1
1 (
x
)
3 3 x
,
| x| 3
3
xn
1
,| x | 1
n0
1 x
| x |1 3
12
例8. xn 1 x x2 =？
n0 n 1
23
解
xn
x0
1
x n1
n0 n 1
x n0 n 1
= 1 x tndt 1 x t ndt,
x0 n0
x0 n0
x 1
第四节 幂级数（三个定理）
一、幂级数的敛散性
幂级数： an( x x0 )n， 特例： an xn
n0
n0
an xn在x0收敛： an x0n收敛.
n0
n0
名词补充：幂级数系数，收敛点与发散点, 收敛域与发散域
和函数S x : an x0n S( x)
n0
例： xn
1
| x | 1 .
R为收敛半径： an xn | x | R收敛， an xn | x | R发散
n1
n1
定理2（d‘Alembert或Cauchy判别法）.
函数的幂级数展开
an
=
1 n!
f
(n)
(x0
)
L
若函数 f(x)在x=x0 的某邻域内具有任意阶导数, 则称
an
=
1 n!
f
(n)
(
x
0
)
(n = 0,1,2,L)
为 f (x) 在x=x0处的泰勒系数 。
∑∞
n=0
f
( x (n) 0 n!
)
(
x
−
x0
)n
=
f
( x0 ) +
f ′( x0 )( x − x0 ) +
展开式、幂级数的运算以及变量代换等, 将函数展开成幂级数。 2. 间接展开法
对sinx的幂级数逐项求导,
( ) ( ) ( ) ( ) (sin
x)′=
x ′−
1 3!
x3
′+
1 5!
x5
′−L+ (−1)n
1
(2n +1)!
x2n+1
′
+
L
x ∈ (−∞ , + ∞ )
得，f(x)=cosx展开成 x 的幂级数:
于是得 级数
1 + mx + m (m −1) x2 +L + m (m −1)L(m − n +1) xn +L
2!
n!
由于
R = lim an = lim n +1 = 1
a n→∞ n+1
n→∞ m − n
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛。
为避免研究余项 , 设此级数的和函数为 F(x), -1<x<1。 则
微积分之幂级数
注意：对于级数u n ，当 u n 收敛时，U n 绝对收敛故原级数绝对收敛§ 7.5 幕级数教学目的：弄清幕级数的相关概念；掌握幕级数收敛半径、收敛区间、 收敛域定义与求法；掌握幕级数的性质，能灵活正确运用性质 求幕级数的和函数重难点：掌握幕级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法；掌握幕 级数的性质，能灵活正确运用性质求幕级数的和函数，以及常 数项级数的和.教学方法：启发式讲授 教学过程：一、函数项级数的概念 1 .【定义】设 u 1 (x), u 2 (x),, u n (x),U n (X ) 5(X )U 2(X )U n (X )n 1称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数. 2.收敛域 (1) 收敛点X o I --- 常数项级数U n (X o )收敛；n 1(2) 发散点X oI ――常数项级数U n (X o )发散；n 1(3) 收敛域D ----- 函数项级数 u n (X)的所有收敛点形成的集合D ；U n——U_2绝对收敛：令(2n 1)2U n (1)n1 (2n 1)2，则1 1(2n 1)2 [n (n 1)]21 1冷，冷收敛n n 1 nU n ；收敛是定义在区间I 上的函数，则例如:(X 1)n均为幕级数n!n 13•和函数S(x) ―― S(x) u n(x) , x D.n 1若函数项级数u n(x)在收敛域内每一点都对应于S(x)的一个函数值，n 1则称S(x)为函数项级数u n(x)的和函数.n 1n4•余项「n(X)―― g(X)S(x) S n(X), S n(X)U^X), X D .k 1注：①只有在收敛域D 上, r n(x)才有意义；② limr n(x) 0, x D.n二、幕级数及其收敛半径和收敛域1.【定义】形如a n(x X o)n的函数项级数称为(X X o)的幕级数.(也n 0称为一般幕级数)，其中a o,a「a2丄.a.丄为常数，称为幕级数的系数.当x o 0时，a n X n称为x的幕级数(也称为标准幕级数)，其中n 0常数a n ( n 0,1,2丄)称为幕级数的系数.结论：对于级数a n(X X0)n，作代换t X X0可以将一般幕级数化n 0为标准幕级数a n t n，所以我们只研究标准幕级数敛散性的判别方法.n 0a n x n的收敛域：此级数的全体收敛点的集合.n 0显然：x0 D (收敛域)，即幕级数总在x x0点处收敛.⑷发散域G U n(X)的发散点的全体构成的集合G .显然：x n 的收敛域D ( 1,1),其发散域G ( , 1] [1,).n 0且和函数S(x) x n —, |x| 1•此结论可当公式使用•n 01 X2.级数的收敛域上述分析显示级数a n x n 在一个以原点为中心，从R 到R 的区间内n 01绝对收敛，区间(R,R)称为幕级数的 收敛区间，R 为收敛半径.l若级数a n x n 仅在点x 0收敛，则规定Rn 0把级数a n x n 的各项取绝对值得正项级数n 0na n X ，n 0记limnlimnn 1 a n 1X na n X于是由比值判别法知1 (1)若 lx 1,(l0)，即 X 1lR ， a n x n绝对收敛. n 0⑵若lx 1，即X ⑶若lx 1，即X1 l1 lR ， a n X n 发散.n 0R ，比值法失效， a n x n 敛散另行判定n 0(4)若 I 0，即 lx0 1,此时对任意X ，a n X n 收敛.n 00，级数的收敛域为x 0l ，则例如级数n!x nn 01 x 2!x2 L n!x n由于lim |U^U n limnn！lim n xn•••级数收敛域为(n 1)!x0或｛0｝；独点集.1(x 0),若a n X n 对任意x 都收敛，则R，级数的收敛域为（，）.n 0当OR 时，要讨论级数在x R 处的敛散性才能确定收敛域 .此时收敛域可能是下列区间之一： （R, R ）, [ R, R ）, （ R, R], [ R, R].|x | *0〔，有x D 即级数a n X n 发散.n 0a n X n 收敛 X D 即对I X I I X 0 | , a n X n 收敛且绝对收敛n 0 n 0 由(1)⑵ X 0 D ,假若有X 1D 满足|x i | | X 01 a n x 0收敛n 0X 0 D 矛盾•所以|x| |x 01,有 a n X n 发散，即x D .n 0注意:(1)若 x 。
数学幂级数知识点总结
数学幂级数知识点总结一、幂级数的基本概念1. 幂级数的定义幂级数是由形如$a_n z^n$（$n$从0到$\infty$）的无穷多项式组成的级数。
其中$a_n$是级数的系数，$z$是自变量，$n$是正整数。
换句话说，级数的每一项都是$z$的幂函数。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径（又称为收敛域）是幂级数收敛到的最大半径，它可以通过求幂级数系数的极限来确定。
具体地说，如果极限 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ 存在，并且等于$R$，那么幂级数的收敛半径就是$R$。
收敛半径的值可以是0，也可以是正无穷大，也可以是一个实数。
3. 幂级数的收敛区间除了收敛半径外，幂级数还有一个收敛区间。
如果收敛半径是$R$，那么收敛区间就是令幂级数收敛的所有复数$z$的集合，这个集合可以是一个区间，也可以是一个线段，也可能是一个点。
4. 幂级数的性质幂级数有很多重要的性质，比如线性性质、微分和积分的性质、幂级数求导和求和的性质等，这些性质在分析和求解问题中非常有用。
二、幂级数的收敛性1. 幂级数的收敛域收敛域是指使幂级数收敛的所有自变量的集合。
根据幂级数的定义和收敛半径的概念，我们可以很容易地确定一个幂级数的收敛域。
2. 幂级数的收敛测试在实际应用中，我们常常需要判断一个幂级数是否收敛。
为了判断幂级数的收敛性，我们可以使用比较判别法、比值判别法、根值判别法、Raabe判别法等各种不同的方法。
3. 幂级数的绝对收敛性如果一个幂级数的每一项都是非负数，并且级数的收敛性不依赖于幂级数的项的排列顺序，那么这个幂级数就是绝对收敛的。
4. 幂级数的一致收敛性一致收敛是一种比较强的收敛性，它要求幂级数在其收敛域内的每一个点上都收敛，并且幂级数的收敛速度是一致的。
一致收敛的幂级数在求导、求和等操作中有着重要的应用。
三、幂级数的求和1. 幂级数的求和函数幂级数的和函数是指将收敛域内的每一个复数$z$代入幂级数中得到的函数。
幂级数的系数
幂级数的系数幂级数是数学中重要的概念，它描述了一种无穷级数的形式。
幂级数的系数是指无穷级数中每一项的系数。
在本文中，我们将探讨幂级数的系数和其在数学和应用中的重要性。
幂级数是一种形式为anxn的无穷级数，其中an是每一项的系数，x是变量。
幂级数可以表达为：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...当x取某个特定的值时，幂级数可能收敛或发散。
如果幂级数收敛于某个特定的值，我们可以将该值视为幂级数在该点的和。
幂级数的系数具有重要的数学性质。
通过研究幂级数的系数，我们可以了解幂级数的性质和特征。
例如，系数的正负号和绝对值大小可以告诉我们幂级数在不同点的收敛性和收敛半径。
如果幂级数的系数随着n的增大而趋于零，那么幂级数往往在更多的点上收敛。
幂级数的系数在微积分中扮演重要的角色。
以泰勒级数为例，泰勒级数是一种特殊的幂级数，它可以表示许多函数在某点附近的近似值。
通过求解函数各阶导数在该点的取值，我们可以确定泰勒级数的系数。
这个过程被称为函数的泰勒展开。
幂级数的系数还在数值分析和近似计算中扮演关键的角色。
许多数学问题可以通过幂级数展开来近似求解。
通过计算出幂级数的系数，我们可以得到问题的近似解。
例如，通过计算正弦函数的幂级数展开的系数，我们可以计算任意给定角度的正弦值。
在物理学和工程学中，幂级数的系数也起着重要作用。
许多物理和工程问题可以通过幂级数展开来描述和解决。
例如，在电路分析中，我们可以使用幂级数展开来近似计算电流和电压。
幂级数的系数还在概率论和统计学中得到广泛应用。
概率生成函数和特征函数是两个常见的幂级数展开形式，它们在概率论和统计学的各种问题中起到重要的作用。
通过计算幂级数的系数，我们可以获得与概率和统计相关的有用信息。
综上所述，幂级数的系数是数学中重要的概念，它们描述了幂级数的性质和特征。
通过研究幂级数的系数，我们可以了解幂级数的收敛性和近似值计算等重要信息。
幂级数的系数在数学、物理和工程学、概率论和统计学等领域中都有广泛的应用。
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所以，当 1 2x 3 1， 2 x 1时， 原级数收敛；
所求收敛域为 2， 1.
例5 求 (1)n 2n (x 1 )n的收敛域.
n1
n2
解 lim an1 lim 2 n 2 R 1 ,
n an n n 1
2
即 x 1 1 收敛, x (0,1)收敛,
3
例1
求级数
(1)n (
1
)n的收敛域.
n1 n 1 x
解
(2)
当 1 1, |1 x|
|1
x | 1,
即 2 x 0 时, 原级数发散.
(3) 当| 1 x | 1, x 0 或 x 2 ,
当 x 0 时 , 级数 (1)n 收敛;
n1 n
当 x 2 时 , 级数 1
xS( x) xn 1 , | x | 1
n0
1 x
两边从 0 到 x 积分,
xS( x) x 1 dx ln(1 x) ,x [ 1, 1)
3
xn
1
,| x | 1
n0
1 x
| x |1 3
30
例9
求幂级数
xn x x2 x3 的和函数.
n1 n
23
解 收敛半径为 R 1 , 收敛域为[1, 1) ,
和函数记为 S( x) , S( x)
xn , 逐项求导,
n1 n
S( x) xn1
1
, |x|1
n1
1 x
两边从 0 到 x 积分, S( x) S(0) x 1 dx ln(1 x) ,
lim | an1 | n | an |
|
x
|
0
1,
an
级数 an xn (绝对) 收敛 . 收敛半径 R ;
n0
(3) 如果 , 则对 x 0 ,
lim
n
| |
an1 xn1 an1 xn1
| |
lim
n
| an1 | | an |
|
x
|
,
级数 an xn 发散，收敛半径 R 0. n0
n
| an
|
)
则幂级数 an xn 的收敛半径为
n0
1/ , 0 R , 0
0 ,
简单地讲，就是 R lim | an | a n
n1
11
证 对级数 | an xn | 应用达朗贝尔判别法， n0
lim
n
| |
an1 xn1 an1 xn1
| |
lim
n
| an1 | | an |
这与所设矛盾.
几何说明
收敛区域
• • •• • • ••• • •
发散区域 R O
R 发散区域 x
9
幂级数 an xn 的收敛情况必为以下三种情形之一： n0
（1）仅在 x 0 处收敛；
（2）在整个数轴上收敛；
（3） R 0 ,在| x | R 处绝对收敛,在| x | R 处发 散,在 | x | R 处可能收敛也可能发散.
lim 1 0， n n 1
R , 即收敛域为(,) .
例3
n! xn
n0
解 R lim n! 0 , 仅在 x 0 处收敛. n (n 1)!
16
例4 求幂级数 (1)n (2x 3)2n的收敛域. n0
解 令(2 x 3)2 y 得 (1)n yn n0 当 y 1时，级数收敛；
0 1 x
S(0) 0 , 所以 S( x) ln(1 x) , x [ 1, 1)
31
例10 求幂级数
xn 1 x x2 的和函数.
n0 n 1
23
解 xn 的收敛半径为R 1 , 和函数记为 S( x) ,
n0 n 1
x n1
xS( x)
, 逐项求导,
n0 n 1
所以原级数的收敛域为 ( 2, 2).
一般,若 an x n 的收敛半径为 R,
n0
则 an x2n 及 an x2n1 的收敛半径为 R .
n0
n0
20
3.幂级数和函数的性质
设幂级数 an xn 的收敛半径为 R, 收敛域为 D, n0
且和函数为 S(x) .下面介绍 S(x) 的三个性质.
|
x
|
|
x
|
,
(1) 如果 0
lim | an1 |
n
当|
x|
1
时, an xn
n0
绝对收敛；
an
当|
x|
1
时, an xn
n0
发散；
故 0 时, R 1 ；
12
(2) 如果 0, 则对 x 0 ,
lim | an1 |
n
| lim n |
an1 xn1 an1 xn1
| |
|n
| x | | x1 |,
等比级数 M |
n0
x x1
n
| 收敛,
由正项级数的比较判别法知, | an xn | 收敛,
n0
因此级数 an xn (绝对)收敛 ;
n0
8
(2) 设当x x2时级数发散 ,
假如有一点x0 适合| x0 | | x2 | 使级数收敛,
由(1)结论, 则级数当 x x2 时应收敛,
n1
n
显然 s(0) 0,
s( x) 1 x x2 1 , (1 x 1)
1 x
两边积分得
x
0 s(t)dt ln(1 x)
即 s( x) s(0) ln(1 x)
s( x) ln(1 x),
又 x 1时,
(1)n1 1 收敛.
n1
n
(1)n1 xn ln(1 x). (1 x 1)
0 n0
n0 n 1
1 xn x 1 dx ln(1 x) , x [ 1, 1)
n1 n
0 1 x
注意:在 x 1 处,
x n 发散,但
1 xn
收敛,
n0
n1 n
1 1 1 1 (1)n (1)n
234
n
n1 n
ln(1 x) x1 ln 2 .
S( x) n xn x n xn1 x( xn )
n1
n1
n1
x( x ) x( 1 1)
1 x
1 x
x (1 x)2
,
x (1, 1)
29
例8
求幂级数 (1)n n0 3n
xn
的和函数.
解
(1)n
3n
n0
xn
(
n0
x )n 3
1
1 (
x
)
3 ,
3 x
| x| 3
n0
1
2.收敛点与收敛域
如果 x0 I ,数项级数 un ( x0 )收敛,
n1
则称 x0 为级数 un ( x)的收敛点,
n1
函数项级数 un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域, n1
3.和函数
在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 S(x), 称 s(x)为函数项级数的和函数.
S( x) u1( x) u2( x) un( x)
此时正数 R 称为幂级数的收敛半径.
规定 (1) 幂级数只在 x 0处收敛: R 0
(2) 幂级数对一切 x 都收敛: R , 收敛域 (,).
问题 如何求幂级数的收敛半径?
10
定理 如果幂级数 an x n 的所有系数an 0,
n0
设
lim | an1 |
n an
(或
lim n
n1
n
例6
xn
1
,| x | 1
n0
1 x
逐项求导,
nx n1
n1
1 (1 x)2
,
| x|1
再逐项求导,
n(n 1) xn2
n2
2 (1 x)3
,
| x|1
26
例6
xn
1
,| x | 1
n0
1 x
逐项积分, x xndx x x ndx 1 xn1
0 n0
证 (1) an x1n 收敛 , n0
O
x1
lim
n
an
x1n
0,
7
证
(1) an x1n 收敛 ,
n0
lim
n
an
x1n
0
,
M , 使得 | an x1n | M (n 0,1,2,)
| an xn
| | an x1n
xn x1n
| | an x1n
||
x x1
|n
M
|
x x1
S( x) ( an xn ) (an xn ) nan xn1 ，
n0
n0
n1
且收敛半径仍为R.
注: (1) 实际上, S(x) 在(R, R) 内任意阶可导.
(2) 逐项积分或求导后,端点处的收敛性可能发生 如下变化：
逐项积分后，原来发散的端点可能变收敛； 逐项求导后，原来收敛的端点可能变发散.
2n
1 | x |2 , 2
当 1 x2 1 , 即 | x | 2 时, 级数收敛；
2
19
当 1 x2 1 , 即 | x | 2
2 时,
级数收敛；
x 2n1 n1 2n
当 1 x2 1 , 即 | x | 2 时, 级数发散；
2
当 x
2 时, 级数为
1 , 级数发散,
n1 2