【全国百强校】江苏省南京市第一中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题(pdf版,无答案)
【数学】2016-2017年江苏省南京外国语学校仙林分校高一(上)数学期中试卷带答案(中学部)
2016-2017学年江苏省南京外国语学校仙林分校高一（上）期中数学试卷（中学部）一、填空题（每小题3分，共42分）1．（3分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x|x＞0}，则A∩B=．2．（3分）函数f（x）=的定义域为．3．（3分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（x）=．4．（3分）已知a+a﹣1=3，则a2+a﹣2=．5．（3分）已知，则f[f（10）]=．6．（3分）函数f（x）=3|x﹣1|的单调递增区间是．7．（3分）已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是．8．（3分）已知y=x2+4ax﹣2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a的取值范围是．9．（3分）化简：（lg2）2+lg2•lg5+lg5=．10．（3分）函数f（x）=2a x+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象经过的定点坐标是．11．（3分）设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），若x0所在的区间是（k，k+1）（k∈Z），则k=．12．（3分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=．13．（3分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是．14．（3分）已知函数f（x）=．若a＜b＜c且f（a）=f（b）=f（c），则（ab+2）c的取值范围是．二、解答题（58分）15．（8分）已知全集U=R，集合A={x|1＜x≤8}，B={x|2＜x＜9}，C={x|x≥a}．（1）求A∩B，A∪B；（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．16．（8分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时的解析式为f （x）=﹣x2+4x﹣3．（1）求这个函数在R上的解析式；（2）作出f（x）的图象，并根据图象直接写出函数f（x）的单调区间．17．（10分）甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的关系：厂里的固定成本为2.8万元，每生产1百台的生产成本为1万元，每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元）（总成本=固定成本+生产成本）．如果销售收入R（x）=，且该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）甲厂生产多少台新产品时，可使盈利最多？18．（10分）已知函数f（x）=log22x﹣mlog2x+2，其中m∈R．（1）当m=3时，求方程f（x）=0的解；（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最小值．19．（10分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求函数f（x）的解析式，并说明函数的单调性；（2）解不等式f（2x+1）+f（x）＜0．20．（12分）已知函数g（x）=x+﹣2．（1）证明：函数g（x）在[，+∞）上是增函数；（2）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．2016-2017学年江苏省南京外国语学校仙林分校高一（上）期中数学试卷（中学部）参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共42分）1．（3分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x|x＞0}，则A∩B={1} ．【解答】解：A={﹣1，0，1}，B={x|x＞0}，则A∩B={﹣1，0，1}∩{x|x＞0}={1}．故答案为：{1}．2．（3分）函数f（x）=的定义域为（2，+∞）．【解答】解：要使函数f（x）=有意义，只需x﹣2＞0，解得x＞2，则函数f（x）=的定义域为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．3．（3分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（x）=．【解答】解：设幂函数y=f（x）=x a，其图象过点（，），∴=；∴a=，∴f（x）=．故答案为：．4．（3分）已知a+a﹣1=3，则a2+a﹣2=7．【解答】解：由题意可得：a+a﹣1=3，所以对其平方可得：a2+a﹣2+2=9，所以a2+a﹣2=7．故答案为7．5．（3分）已知，则f[f（10）]=2．【解答】解：，则f[f（10）]=f（lg10）=f（1）=12+1=2．故答案为：2．6．（3分）函数f（x）=3|x﹣1|的单调递增区间是（1，+∞）．【解答】解：令t=|x﹣1|，该函数在（﹣∞，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，又函数y=3t是定义域内的增函数，由复合函数的单调性知，函数f（x）=3|x﹣1|的单调递增区间是（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．7．（3分）已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是a＜c＜b．【解答】解：∵0＜0.21.3＜0.20=1，20.1＞20=1，log20.3＜log21=0，∴a＜c＜b．故答案为a＜c＜b．8．（3分）已知y=x2+4ax﹣2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【解答】解：函数y=x2+4ax﹣2的对称轴为：x=﹣2a，函数y=x2+4ax﹣2在区间（﹣∞，4]上为减函数，可得﹣2a≥4，解得a≤﹣2，即a∈（﹣∞，﹣2]．故答案为：（﹣∞，﹣2]9．（3分）化简：（lg2）2+lg2•lg5+lg5=1．【解答】解：：（lg 2）2+lg 2•lg 5+lg 5=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=1．故答案为1．10．（3分）函数f（x）=2a x+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1）．【解答】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f（﹣1）=2﹣3=﹣1，即函数f（x）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）．11．（3分）设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），若x0所在的区间是（k，k+1）（k∈Z），则k=0．【解答】解：由于函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），∵（）x＞0，∴x3＞0，∴x0＞0．函数f（x）=x3 ﹣（）x的零点为x0．再根据f（1）=＞0，f（0）=﹣1＜0，f（1）•f（0）＜0，故f（x）的零点为x0∈（0，1），可得k=0．故答案为：0．12．（3分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=e﹣（x+1）．【解答】解：∵y=f（x）与y=f（﹣x）的图象关于y轴对称，∴图象与曲线y=e x关于y轴对称的函数是y=e﹣x，再将y=e﹣x的图象向左平移1个单位得到y=e﹣（x+1）的图象，∴f（x）=e﹣（x+1）．13．（3分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是．【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）=﹣x+2，∵y=f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x﹣2．∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．∴f（x）=，（1）当x＞0时，2（x﹣2）﹣1＜0，解得0＜x＜．（2）当x=0时，﹣1＜0，恒成立．（3）当x＜0时，2（x+2）﹣1＜0，解得x＜﹣．综上所述：2f（x）﹣1＜0的解集是．故答案为．14．（3分）已知函数f（x）=．若a＜b＜c且f（a）=f（b）=f（c），则（ab+2）c的取值范围是（27，81）．【解答】解：由a＜b＜c，根据已知画出函数图象：∵f（a）=f（b）=f（c），∴﹣log3a=log3b=﹣c+4，∴log3（ab）=0，0＜﹣c+4＜1，解得ab=1，3＜c＜4，∴（ab+2）c=3c∈（27，81）．故答案为：（27，81）．二、解答题（58分）15．（8分）已知全集U=R，集合A={x|1＜x≤8}，B={x|2＜x＜9}，C={x|x≥a}．（1）求A∩B，A∪B；（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．【解答】解：（1）全集U=R，集合A={x|1＜x≤8}，B={x|2＜x＜9}，∴A∩B={x|2＜x≤8}，A∪B={x|1＜x＜9}．（2）∵集合A={x|1＜x≤8}，C={x|x≥a}，A∩C≠∅，∴a≤8，∴a的取值范围为（﹣∞，8]．16．（8分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时的解析式为f （x）=﹣x2+4x﹣3．（1）求这个函数在R上的解析式；（2）作出f（x）的图象，并根据图象直接写出函数f（x）的单调区间．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣（﹣x）2+4（﹣x）﹣3]=x2+4x+3，即x＜0时，f（x）=x2+4x+3．当x=0时，由f（﹣x）=﹣f（x）得：f（0）=0，所以，f（x）=．（2）作出f（x）的图象（如图所示）数形结合可得函数f（x）的减区间：（﹣∞，﹣2）、（2，+∞）；增区间为[﹣2，0）、（0，2]．17．（10分）甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的关系：厂里的固定成本为2.8万元，每生产1百台的生产成本为1万元，每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元）（总成本=固定成本+生产成本）．如果销售收入R（x）=，且该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）甲厂生产多少台新产品时，可使盈利最多？【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．（2）当x＞5时，∵函数f（x）递减，∴f（x）＜=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．答：当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．18．（10分）已知函数f（x）=log22x﹣mlog2x+2，其中m∈R．（1）当m=3时，求方程f（x）=0的解；（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最小值．【解答】解：（1）令t=log2x，则当m=3时，方程f（x）=0可化为：t2﹣3t+2=0，解得：t=1或t=2所以x=2或x=4；（2）令t=log2x，x∈[1，2]，则t∈[0，1]，y=t2﹣mt+2，其图象开口朝上，且以直线x=为对称轴；①当＜0，即m=0时，则t=0，即x=1时，f（x）min=2；②当0≤≤1，即0≤m≤2时，则t=m，即x=2m时，f（x）min=+2；③当＞1，即m＞2时，则t=1，即m=2时，f（x）min=3﹣m；综上f（x）min=19．（10分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求函数f（x）的解析式，并说明函数的单调性；（2）解不等式f（2x+1）+f（x）＜0．【解答】解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，解得b=﹣1，从而有f（x）=，经检验，符合题意．因为f（x）=1﹣，所以由y=2x的单调性可推知f（x）在R上为增函数．（2）因为f（x）在R上是奇函数，从而不等式f（2x+1）+f（x）＜0可化为f（2x+1）＜﹣f（x），即f（2x+1）＜f（﹣x），又因f（x）是R上的增函数，由上式推得1+2x＜﹣x，解得x．所以不等式的解集为（﹣）．20．（12分）已知函数g（x）=x+﹣2．（1）证明：函数g（x）在[，+∞）上是增函数；（2）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）设≤x1＜x2，∵g（x1）﹣g（x2）=，∵≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，2＜x1x2，即x1x2﹣2＞0．∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），所以函数g（x）在[，+∞）上是增函数．解：（2）g（2x）﹣k•2x≥0，可化为2x+﹣2≥k•2x，化为1+2•﹣2•≥k，令t=，则k≤2t2﹣2t+1，因x∈[﹣1，1]，故t∈[，2]，记h（t）=2t2﹣2t+1，因为t∈[，2]，故h（t）max=5，所以k的取值范围是（﹣∞，5]．。
江苏省南京市第一中学2016-2017高一上学期期中考试化学试题(含答案)汇编
2016～2017学年高一期中测试化学试卷南京市第一中学可能用到的相对原子质量H-1 C-12 O-16 Na-23 Mg-24 Al-27 S-32 Cl-35.5第I卷（选择题共69分）一、选择题（本题包括23小题，每小题3分，共69分，只有一个选项正确）1．人们对于化学科学的各种常见认识中错误的是（）A．化学是一门以实验为基础的自然科学B．化学是一门具有极强实用性的科学C．化学面对现代日益严重的环境问题显得无能为力D．化学将在能源、资源的合理开发和安全应用方面大显身手2．以下是一些常用的危险品标志，装运乙醇的包装箱应贴的图标是（）A．B．C．D．3．人们在认识事物时常采用多种分类方法，下列关于Na2SO4的分类不正确的是（）A．化合物B．氧化物C．钠盐D．硫酸盐4．根据中央气象台报道，近年每到秋末季节，北京市多次出现大雾天气，致使高速公路关闭，航班停飞。
雾属于下列分散系中的（）A．溶液B．悬浊液C．乳浊液D．胶体5．下列物质属于非电解质的是（）A．Cl2 B．H2SO4 C．CO2 D．Na2SO46．下列说法正确的是（）A．1mol O的质量是16g/mol B．Al3+的摩尔质量是27g/molC．CO2的摩尔质量是44 D．氢的摩尔质量是2g/mol7．气体所占体积通常不取决于（）A．气体分子的数目B．压强C．温度D．气体分子的大小8．不能用离子方程式CO32-+2H+ =CO2↑+H2O表示的反应是（）A．Na2CO3+2HCl=2NaCl+CO2↑+H2O B．NaHCO3+HCl=NaCl+CO2↑+H2OC．K2CO3+H2SO4=K2SO+CO2↑+H2O D．K2CO3+2HNO3=2KNO3+CO2↑+H2O9．胶体区别于其他分散系的本质特征是（）A．胶体粒子直径在1~100nm之间B．胶体粒子带电荷C．胶体是一种稳定的分散系D．光束通过胶体时有丁达尔效应10.下列电离方程式错误的是（）A．NaHCO3=Na++H++CO32- B．NaH S O4=Na++H++SO42C．MgCl2=Mg2+ +2Cl- D．Ba(OH)2=Ba2+ +2OH11．实验操作的规范是实验的基本要求，下列实验操作正确的是（）A．闻气体气味B．点燃酒精灯C．过滤D．移开蒸发皿12．高铁的快速发展方便了人们的出行。
2016-2017年江苏省南京市鼓楼区高一上学期数学期中试卷带答案
10．（ 5 分）已知函数 f（ x）=ax3﹣bx+5，a， b∈ R，若 f （﹣ 3）=﹣1，则 f（ 3） = 11 ． 【解答】 解：∵函数 f （x）=ax3﹣ bx+5，a，b∈R， ∴ f（﹣ x） =﹣ax3+bx+5， ∴ f（﹣ x） +f（x） =10， ∵ f（﹣ 3） =﹣ 1， ∴ f（3）=11， 故答案为： 11．
6．（5 分）设 f（x） =
，则 f（ 4） = 2 ．
【解答】 解：∵ f（x）=
，
∴ f（4）=log24=2， 故答案为： 2
7．（ 5 分）已知一次函数 f（x）满足 f（ f（x））=4x+9，则 f（x）的函数关系式 f （ x）=2x+3 和 f（x）=﹣2x﹣ 9 ． 【解答】 解：由题意： f（x）是一次函数，设函数 f （x） =kx+b（k≠0）， 则： f（ f（x））=k（kx+b）+b=k2x+kb+b ∵ f（f （x）） =4x+9， 可得： k2x+kb+b=4x+9，
．
9．（5 分）幂函数 y=（f x）的图象经过点（ 2，8），且满足 （f x）=64 的 x 的值是
．
10．（ 5 分）已知函数 f（ x）=ax3﹣bx+5，a， b∈ R，若 f （﹣ 3）=﹣1，则 f（ 3）
=
．
11．（5 分）已知 a3+b3=（ a+b）（a2﹣ab+b2），a，b∈ R，则计算（ lg2）3+3lg2?lg5+
2016-2017 学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷
南京市2016-2017学年度第一学期期末检测卷(高一数学)参考答案终稿
南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷高一数学参考答案及评分标准 2017.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{0，1，2} 2．(－∞，1) 3．2π3 4．－513 5．126．9 7．－148．5 9．c ＜a ＜b 10．1 11．3 12．4 13．(0，13)∪(3，＋∞) 14．(0，14) 二、解答题：本大题共6小题，共90分．15． 解：（1）因为sin α＋cos αsin α－2cos α＝2，化简得sin α＝5cos α． ……………………………2分 当cos α＝0时不符合题意，所以cos α≠0，所以tan α＝5． ………………………………………………6分（2）cos(π2－α)·cos(－π＋α)＝－sin αcos α ……………………………8分 ＝－sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝－tan αtan 2α＋1…………………………………………12分 ＝－ 526． ……………………………………………14分 16．解：（1）因为a ＝(－2，1)，b ＝(3，－4)，所以a ＋b ＝(1，－3)，2a －b ＝(－7，6)， ……………………4分所以(a ＋b )·(2a －b )＝1×(－7)＋(－3)×6＝－25． ……………………6分（2）由（1）可知a ＋b ＝(1，－3)，且a ＝(－2，1)，所以|a |＝5，|a ＋b |＝10，a ·(a ＋b )＝－5． ……………………9分设向量a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·(a ＋b )|a |·|a ＋b |＝－22． ……………………11分 因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4，即向量a 与a ＋b 的夹角为3π4． ……………………14分 17．解：（1）依题意，y ＝x (a －2x )(2a －2x )，x ∈(0，1]． ………………………………4分（2）y ＝V (x )x＝(a －2x )(2a －2x ) …………………………………6分 ＝4x 2－6ax ＋2a 2．因为对称轴x ＝34a ，且a ＞2 ，所以x ＝34a ＞32＞1， …………………………8分 所以当x ＝1，y min ＝4－6a ＋2a 2． ………………………12分答：当x ＝1时，y 最小，最小值为4－6a ＋2a 2． …………………………14分18． 解：（1）由T ＝2πω，得2πω＝π，所以ω＝2． 因为点P (π6，2)是该函数图象的一个最高点，且A ＞0，所以A ＝2．…………2分 此时f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又将点P (π6，2)的坐标代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 得2sin(π3＋φ)＝2，即sin(π3＋φ)＝1， 所以π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π6，k ∈Z ． ………………………4分 又因为|φ|＜π2，所以φ＝π6． 综上，f (x )＝2sin(2x ＋π6)． ………………………6分 （2） 因为x ∈[－π2，0]，所以2x ＋π6∈[－5π6，π6]， ………………………8分 所以sin(2x ＋π6)∈[－1，12]，即2sin(2x ＋π6)∈[－2，1]， 所以函数y ＝f (x )的值域为[－2，1]． ………………………10分（3）y ＝g (x )＝2sin[2(x －θ)＋π6]＝2sin(2x －2θ＋π6)． ………………………12分 因为0≤x ≤π4，所以π6－2θ≤2x －2θ＋π6≤2π3－2θ， 所以⎩⎨⎧π6－2θ≥2k π－π2，2π3－2θ≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得－k π＋π12≤θ≤－k π＋π3，k ∈Z ． ………………………14分 因为0＜θ＜π2，所以k ＝0，所以π12≤θ≤π3． ………………………16分 19．解：（1）因为AB →＝CB →－CA →， ………………………2分所以AB →2＝(CB →－CA →)2＝CB →2－2CB →·CA →＋CA →2＝22－2×2×1×12＋12＝3， 所以|AB →|＝3． ………………………4分（2）解法1：①当λ＝12时，AE →＝12CB →－CA →，CD →＝12(CB →＋CA →)． ……………………6分 所以AE →·CD →＝(12CB →－CA →)·12(CB →＋CA →)＝12×(12CB →2－12CB →·CA →－CA →2) ＝12×(12×22－12×2×1×12－12)＝14． …………………8分 ②假设存在非零实数λ，使得AE →⊥CD →．因为BE →＝λBC →，所以AE →＝CE →－CA →＝(1－λ)CB →－CA →． …………………10分因为AD →＝λAB →，所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋λAB →＝CA →＋λ(CB →－CA →)＝λCB →＋(1－λ)CA →． ……………………12分所以AE →·CD →＝[(1－λ)CB →－CA →]·[λCB →＋(1－λ)CA →]＝λ(1－λ)CB →2＋(λ2－3λ＋1)CB →·CA →－(1－λ)CA →2＝λ(1－λ)×22＋(λ2－3λ＋1)×2×1×12－(1－λ)×12 ＝－3λ2＋2λ＝0． ………………………14分解得λ＝23或λ＝0． 因为点在三角形的边上，所以λ∈[0，1]，故存在非零实数λ＝23，使得AE →⊥CD →． ………………………16分 解法2：由（1）得CA ＝1，CB ＝2，AB ＝3，满足CB 2＝AB 2＋CA 2， 所以∠CAB ＝90︒．如图，以A 原点，AB 边所在直线为x 轴，AC 边所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (3，0)，C (0，1)． ……………6分 ①当λ＝12时，AE →＝(32，12)，CD →＝(32，－1)， 则AE →·CD →＝14． ………………………10分 ②假设存在非零实数λ，使得AE →⊥CD →．因为AE →＝(3(1－λ)， λ)，CD →＝(3λ，－1)，所以AE →·CD →＝－3λ2＋2λ＝0， ………………………14分解得λ＝0或λ＝23． 因为点在三角形的边上，所以λ∈[0，1]，所以存在非零实数λ＝23，使得AE →⊥CD →． ………………………16分 20．解：（1）F (x )＝f (x )－g (x )＝x －a －a |x |．①当a ＝12时，由F (x )＝0，得x －12－12|x |＝0． 当x ≥0时，x －12－12x ＝0，解得x ＝1，满足条件． 当x ＜0时，x －12＋12x ＝0，解得x ＝13，不满足条件． 综上，函数y ＝F (x )的零点是1． ………………………2分②F (x )＝0，则x －a －a |x |＝0，即a (1＋|x |)＝x ．因为1＋|x |≠0，所以a ＝x 1＋|x |． ………………………4分 设φ(x )＝x 1＋|x |， 当x ＞0时，φ(x )＝x 1＋x ＝1－11＋x，所以φ(x )∈(0，1)． ………………………6分 因为φ(－x )＝－φ(x )，所以φ(x )是奇函数，所以当x ＜0时，φ(x )∈(－1，0)．又因为φ(0)＝0，所以当x ∈R ，φ(x )∈(－1，1)，所以a ∈(－1，1)． ………………………8分（2）设函数h (x )的最大值和最小值分别是M ，N ．因为对任意x 1，x 2∈[－2，2]，| h (x 1)－h (x 2)|≤6成立，所以M －N ≤6． ………………………10分解法1：因为h (x )＝f (x )＋g (x )＝x －a ＋a |x |，x ∈[－2，2]，所以h (x )＝x －a ＋a |x |＝⎩⎨⎧(a ＋1)x －a ，x ≥0，(1－a )x －a ，x ＜0．①当a ＞1时，因为a ＋1＞0，所以h (x )在(0，＋∞)单调增；因为1－a ＜0，所以h (x )在(－∞，0)单调减．因为h (2)＝a ＋2，h (－2)＝a －2，所以h (2)＞h (－2)，所以M ＝h (x )max ＝h (2)＝a ＋2，N ＝h (x )min ＝h (0)＝－a ，所以a ＋2－(－a )≤6，解得a ≤2．又因为a ＞1，所以1＜a ≤2． ………………………12分②当a ＝1时，h (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥0，－1， x ＜0，所以M ＝h (x )max ＝h (2)＝3，N ＝h (x )min ＝－1，所以3－(－1)≤6恒成立，所以 a ＝1符合题意．③当－1＜a ＜1时，因为a ＋1＞0，所以h (x )在(0，＋∞)单调增；因为1－a ＞0，所以h (x )在(－∞，0)单调增．所以M ＝h (x )max ＝h (2)＝a ＋2，N ＝h (x )min ＝h (－2)＝a －2，所以(a ＋2)－(a －2)＝4≤6恒成立，所以－1＜a ＜1符合题意．④当a ＝－1时，h (x )＝⎩⎨⎧1， x ≥0，2x ＋1，x ＜0，所以M ＝h (x )max ＝1，N ＝h (x )min ＝h (－2)＝－3，所以1－(－3) ＝4≤6恒成立，所以a ＝－1符合题意． ……………………14分⑤当a ＜－1时，因为a ＋1＜0，所以h (x )在(0，＋∞)单调减；因为1－a ＞0，所以h (x )在(－∞，0)单调增．所以M ＝h (x )max ＝h (0)＝－a ，因为h (2)＝a ＋2，h (－2)＝a －2，所以h (2)＞h (－2) ，所以N ＝h (x )min ＝h (－2)＝a －2，所以－a －(a －2)≤6，解得a ≥－2．又因为a ＜－1，所以－2≤a ＜－1．综上，a 的取值范围为[－2，2]． ……………………16分解法2：因为h (x )＝f (x )＋g (x )＝x －a ＋a |x |，x ∈[－2，2]，所以h (x )＝x －a ＋a |x |＝⎩⎨⎧(a ＋1)x －a ，x ≥0，(1－a )x －a ，x ＜0．可知函数的图象是由两条折线段构成．所以函数的M 和N 分别为h (－2)＝－2＋a ，h (0)＝－a ，h (2)＝2＋a 三个值当中的两个． 显然2＋a ＞－2＋a ．当a ≤－1时，2＋a ≤－a ；当a ＞－1时，2＋a ＞－a ．当a ≤1时，－2＋a ≤－a ；当a ＞1时，－2＋a ＞－a ．所以，①当a ＞1时，M ＝2＋a ，N ＝－a ，M －N ＝2＋2a ，因为M －N ≤6，所以a ≤2．又因为a ＞1，所以1＜a ≤2． …………………12分②当－1＜a ≤1时，M ＝2＋a ，N ＝－2＋a ，M －N ＝4．因为M －N ≤6恒成立，所以－1＜a ≤1满足条件． …………………14分③当a ≤－1时，M ＝－a ，N ＝－2＋a ，M －N ＝2－2a ．因为M －N ≤6，所以a ≥－2．又因为a ≤－1，所以－2≤a ≤－1.综上，a 的取值范围为[－2，2]． ………………………16分解法3：因为h (x )＝f (x )＋g (x )＝x －a ＋a |x |，x ∈[－2，2]，所以h (x )＝x －a ＋a |x |＝⎩⎨⎧(a ＋1)x －a ，x ≥0，(1－a )x －a ，x ＜0．①当0≤x≤2，h(x)＝(1＋a)x－a．若a＞－1，则1＋a＞0，所以h(x)＝(1＋a)x－a是增函数．所以h(x)max＝h(2)＝2＋a，h(x)min＝h(0)＝－a．若a＜－1，则1＋a＜0，所以h(x)＝(1＋a)x－a是减函数．所以h(x)max＝h(0)＝－a，h(x)min＝h(2)＝2＋a．若a＝－1，h(x)＝1，所以h(x)max＝h(x)min＝1．②当－2≤x＜0，h(x)＝(1－a)x－a．若a＜1，则1－a＞0，所以h(x)＝(1－a)x－a是增函数．所以h(x)＜h(0)＝－a，h(x)min＝h(－2)＝－2＋a．若a＞1，则1－a＜0，所以h(x)＝(1－a)x－a是减函数．所以h(x)max＝h(－2)＝－2＋a，h(x)＞h(0)＝－a．若a＝1，h(x)＝－1，所以h(x)max＝h(x)min＝－1．………………12分显然2＋a＞－2＋a．因为当a≤－1时，2＋a≤－a；当a＞－1时，2＋a＞－a；当a≤1时，－2＋a≤－a；当a＞1时，－2＋a＞－a．………………………14分所以，(Ⅰ)当a＞1时，M＝2＋a，N＝－a，M－N＝2＋2a．因为M－N≤6，所以a≤2．又因为a＞1，所以1＜a≤2．(Ⅱ)当－1＜a≤1时，M＝2＋a，N＝－2＋a，M－N＝4．因为M－N≤6恒成立，所以－1＜a≤1满足条件．(Ⅲ)当a≤－1时，M＝－a，N＝－2＋a，M－N＝2－2a．因为M－N≤6，所以a≥－2．又因为a≤－1，所以－2≤a≤－1．综上，a的取值范围为[－2，2]．………………………16分。
南京市第一中学高一上学期期中考试化学试题含答案
2016～2017学年高一期中测试化学试卷南京市第一中学可能用到的相对原子质量H-1 C-12 O-16 Na-23 Mg-24 Al-27 S-32 Cl-35.5第I卷（选择题共69分）一、选择题（本题包括23小题，每小题3分，共69分，只有一个选项正确）1．人们对于化学科学的各种常见认识中错误的是（）A．化学是一门以实验为基础的自然科学B．化学是一门具有极强实用性的科学C．化学面对现代日益严重的环境问题显得无能为力D．化学将在能源、资源的合理开发和安全应用方面大显身手2．以下是一些常用的危险品标志，装运乙醇的包装箱应贴的图标是（）A．B．C．D．3．人们在认识事物时常采用多种分类方法，下列关于Na2SO4的分类不正确的是（）A．化合物B．氧化物C．钠盐D．硫酸盐4．根据中央气象台报道，近年每到秋末季节，北京市多次出现大雾天气，致使高速公路关闭，航班停飞。
雾属于下列分散系中的（）A．溶液B．悬浊液C．乳浊液D．胶体5．下列物质属于非电解质的是（）A．Cl2B．H2SO4C．CO2D．Na2SO46．下列说法正确的是（）A．1mol O的质量是16g/molB．Al3+的摩尔质量是27g/molC．CO2的摩尔质量是44D．氢的摩尔质量是2g/mol7．气体所占体积通常不取决于（）A．气体分子的数目B．压强C．温度D．气体分子的大小8．不能用离子方程式CO32-+2H+ =CO2↑+H2O表示的反应是（）A．Na2CO3+2HCl=2NaCl+CO2↑+H2OB．NaHCO3+HCl=NaCl+CO2↑+H2OC．K2CO3+H2SO4=K2SO+CO2↑+H2OD．K2CO3+2HNO3=2KNO3+CO2↑+H2O9．胶体区别于其他分散系的本质特征是（）A．胶体粒子直径在1~100nm之间B．胶体粒子带电荷C．胶体是一种稳定的分散系D．光束通过胶体时有丁达尔效应10.下列电离方程式错误的是（）A．NaHCO3=Na++H++CO32-B．NaH S O4=Na++H++SO42C．MgCl2=Mg2+ +2Cl-D．Ba(OH)2=Ba2+ +2OH11．实验操作的规范是实验的基本要求，下列实验操作正确的是（）A．闻气体气味B．点燃酒精灯C．过滤D．移开蒸发皿12．高铁的快速发展方便了人们的出行。
2016-2017年江苏省南京市高一上学期期末数学试卷带答案
2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．（5.00分）若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B=．2．（5.00分）函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为．3．（5.00分）函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为．4．（5.00分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．5．（5.00分）若幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为．6．（5.00分）若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．7．（5.00分）设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k的值为．8．（5.00分）定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为．9．（5.00分）若a=log 32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系用“＜”表示为．10．（5.00分）函数f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，则a的值为_．11．（5.00分）如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若•=﹣2，则•的值为12．（5.00分）已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P（2017，8）是该函数图象上一点，则实数a 的值为．13．（5.00分）设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为．14．（5.00分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为．二、解答题（共6题，90分）15．（14.00分）已知=2．（1）求tanα；（2）求cos（﹣α）•cos（﹣π+α）的值．16．（14.00分）已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（1）求（+）•（2﹣）的值；（2）求向量与+的夹角．17．（14.00分）如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积．（1）试写出V（x）的解析式；（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．18．（16.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．19．（16.00分）如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．①当λ=时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．20．（16.00分）已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h （x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．（5.00分）若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B={0，1，2} ．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．2．（5.00分）函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1} ．【分析】要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义，只需对数的真数大于0，建立不等式解之即可，注意定义域的表示形式．【解答】解：要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义则1﹣x＞0即x＜1∴函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}故答案为：{x|x＜1}3．（5.00分）函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为．【分析】利用利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．【解答】解：函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为，故答案为：．4．（5.00分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．【分析】先求出角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r=13，由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．故答案为﹣．5．（5.00分）若幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为．【分析】根据幂函数y=x a的图象过点（4，2），代入数据求出a的值．【解答】解：幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），所以4a=2，解得a=．故答案为：．6．（5.00分）若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为9cm2．【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：因为：扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，所以：圆的半径为：3，所以：扇形的面积为：6×3=9．故答案为：9．7．（5.00分）设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k的值为﹣．【分析】e1﹣4e2与ke1+e2共线，则存在实数λ，使得满足共线的充要条件，让它们的对应项的系数相等，得到关于K和λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵e1﹣4e2与ke1+e2共线，∴，∴λk=1，λ=﹣4，∴，故答案为﹣．8．（5.00分）定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为5．【分析】画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象，即可得出结论．【解答】解：画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象如图实数：由图可知，在一个周期内，两函数图象在[0，π]上有1个交点，在（π，2π]上有1个交点，所以函数y=2sinx与y=cosx在区间[0，5π]上图象共有5个交点．故答案为：5．9．（5.00分）若a=log 32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系用“＜”表示为c＜a＜b．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log 32∈（0，1），b=20.3＞1，c=log2＜0，∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．10．（5.00分）函数f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，则a的值为1_．【分析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即f（﹣x）=2﹣x+a•2x=2x+a•2﹣x，则（2﹣x﹣2x）=a（2﹣x﹣2x），即a=1，故答案为：111．（5.00分）如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若•=﹣2，则•的值为3【分析】建立直角坐标系，设出正方形的边长，利用向量的数量积求出边长，然后求解数量积的值．【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，设正方形的边长为2a，则：E（a，2a），B（2a，0），D（0，2a）可得：=（a，2a），=（2a，﹣2a）．若•=﹣2，可得2a2﹣4a2=﹣2，解得a=1，=（﹣1，2），=（1，2），则•的值：﹣1+4=3．故答案为：3．12．（5.00分）已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P（2017，8）是该函数图象上一点，则实数a 的值为2．【分析】求出函数的周期，然后利用点的坐标满足函数的解析式，推出结果即可．【解答】解：函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，可得函数的周期为：2，f（2017）=f（2×1008+1）=f（1）．且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，点P（2017，8）是该函数图象上一点，可得21+a=8，解得a=2．故答案为：2．13．（5.00分）设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f（1）＞f（log3x）成立的x 取值范围为（0，）∪（3，+∞）．【分析】由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，又因为x＞0递减，f（1）＞f（log3x），|log3x|＞1，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，f′（x）=﹣﹣6x，f（x）在（0，+∞）递减，∵f（1）＞f（log3x）∴|log3x|＞1，∴0＜x＜或x＞3，∴使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为（0，）∪（3，+∞），故答案为（0，）∪（3，+∞）．14．（5.00分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为（0，）．【分析】由f（x）的解析式，可得f（x+1）的解析式，画出f（x）的图象，向左平移一个单位可得f（x+1）的图象，由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得m的一个值，进而通过图象可得m的范围．【解答】解：由函数f（x）=，其中m＞0，可得f（x+1）=，作出y=f（x）的简图，向左平移1个单位，可得y=f（x+1），由对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，只要f（x）的图象恒在f（x+1）的图象上，由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得2m=1﹣2m，解得m=，通过图象平移，可得m的范围为0＜m＜．故答案为：（0，）．二、解答题（共6题，90分）15．（14.00分）已知=2．（1）求tanα；（2）求cos（﹣α）•cos（﹣π+α）的值．【分析】（1）直接利用同角三角函数的基本关系，求得t anα的值．（2）利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵已知=2=，∴tanα=5．（2）cos（﹣α）•cos（﹣π+α）=sinα•（﹣cosα）===﹣．16．（14.00分）已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（1）求（+）•（2﹣）的值；（2）求向量与+的夹角．【分析】（1）利用向量的坐标求解所求向量的坐标，利用数量积运算法则求解即可．（2）利用数量积求解向量的夹角即可．【解答】解：（1）向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（+）=（1，﹣3），（2﹣）=（﹣7，6）．所以（+）•（2﹣）=﹣7﹣18=﹣25．（2）+=（1，﹣3），cos＜，+＞===﹣．向量与+的夹角为135°．17．（14.00分）如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积．（1）试写出V（x）的解析式；（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．【分析】（1）利用小反弹的体积公式，写出V（x）的解析式；（2）记y=，利用配方法，即可得到当x为何值时，y最小，并求出最小值．【解答】解：（1）由题意，V（x）=（2a﹣2x）（a﹣2x）x（0＜x≤1）；（2）y==（2a﹣2x）（a﹣2x）=，∵a＞2，0＜x≤1，∴x=1时，y最小，最小值为2（a﹣1）（a﹣2）．18．（16.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由x的范围可求2x+∈[﹣，]，利用正弦函数的性质可求其值域．（3）利用三角函数平移变换规律可求g（x）=2sin（2x﹣2θ+），利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得，k∈Z，结合范围0＜θ＜，可求θ的取值范围．【解答】解：（1）∵由题意可得，A=2，=π，∴ω=2．∵再根据函数的图象经过点P（，2），可得2sin（2×+φ）=2，结合|φ|＜，可得φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）∵x∈[﹣，0]，∴2x+∈[﹣，]，∴sin（2x+）∈[﹣1，]，可得：f（x）=2sin（2x+）∈[﹣2，1]．（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x﹣2θ+），∴令2kπ﹣≤2x﹣2θ+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k∈Z，可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k∈Z，∵函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，∴，∴解得：，k∈Z，∵0＜θ＜，∴当k=0时，θ∈[，]．19．（16.00分）如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．①当λ=时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用余弦定理求出AB的长即得||；（2）①λ=时，D、E分别是BC，AB的中点，求出、的数量积即可；②假设存在非零实数λ，使得⊥，利用、分别表示出和，求出•=0时的λ值即可．【解答】解：（1）△ABC中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°，由余弦定理得，AB2=CA2+CB2﹣2CA•CB•cos∠ACB=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，∴AB=，即||=；（2）①λ=时，=，=，∴D、E分别是BC，AB的中点，∴=+=+，=（+），∴•=（+）•（+）=•+•+•+=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22=；②假设存在非零实数λ，使得⊥，由=λ，得=λ（﹣），∴=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）；又=λ，∴=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣；∴•=λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）=﹣3λ2+2λ=0，解得λ=或λ=0（不合题意，舍去）；即存在非零实数λ=，使得⊥．20．（16.00分）已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h （x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．【分析】（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，由F（x）=0，即可求得F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，等号两端构造两个函数，当a＞0时，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得满足题意的a的取值范围的一部分；同理可得当a＜0时的情况，最后取并即可求得a的取值范围．（2）h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立⇔h（x1）max﹣h（x2）min≤6，分a≤﹣1、﹣1＜a＜1、a ≥1三类讨论，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a﹣a|x|，①若a=，则由F（x）=x﹣|x|﹣=0得：|x|=x﹣，当x≥0时，解得：x=1；当x＜0时，解得：x=（舍去）；综上可知，a=时，函数y=F（x）的零点为1；②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，当a＞0时，作图如下：由图可知，当0＜a＜1时，折线y=a|x|与直线y=x﹣a有交点，即函数y=F（x）存在零点；同理可得，当﹣1＜a＜0时，求数y=F（x）存在零点；又当a=0时，y=x与y=0有交点（0，0），函数y=F（x）存在零点；综上所述，a的取值范围为（﹣1，1）．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=x﹣a+a|x|，x∈[﹣2，2]，∴当﹣2≤x＜0时，h（x）=（1﹣a）x﹣a；当0≤x≤2时，h（x）=（1+a）x﹣a；又对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，则h（x1）max﹣h（x2）min≤6，①当a≤﹣1时，1﹣a＞0，1+a≤0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增；h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递减（当a=﹣1时，h（x）=﹣a）；∴h（x）max=h（0）=﹣a，又h（﹣2）=a﹣2，h（2）=2+a，∴h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，∴﹣a﹣（a﹣2）=2﹣2a≤6，解得a≥﹣2，综上，﹣2≤a≤﹣1；②当﹣1＜a＜1时，1﹣a＞0，1﹣a＞0，∴h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增，且h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上也单调递增，∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，由a+2﹣（a﹣2）=4≤6恒成立，即﹣1＜a＜1适合题意；③当a≥1时，1﹣a≤0，1+a＞0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递减（当a=1时，h（x）=﹣a），h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递增；∴h（x）min=h（0）=﹣a；又h（2）=2+a＞a﹣2=h（﹣2），∴h（x）max=h（2）=2+a，∴2+a﹣（﹣a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，∴1≤a≤2；综上所述，﹣2≤a≤2．。
江苏省南京一中2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析
2016-2017学年江苏省南京一中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每题3分，共42分）1．设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B=．2．函数f（x）=的定义域为．3．函数f（x）=a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点．4．幂函数y=f（x）的图象经过点，则其解析式是．5．设，则a，b，c的大小关系是．（按从小到大的顺序）6．lg=．7．设函数f（x）=则f[f（﹣1）]的值为．8．x2﹣3x+1=0，则=．9．设P和0是两个集合，定义集合P•Q={x|x∈P，且x≠Q}，如果P={x|log2x＜1}，Q={x||x ﹣2|＜1}，那么P•Q等于．10．若函数f（x）=log a（x+）是奇函数，则a=．11．不等式：|x﹣1|+2x＞4的解集是．12．已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0]时，总有＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是．13．已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是．14．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．二、解答题（本大题共5小题，共58分）15．（10分）分解下列因式（1）5x2+6xy﹣8y2（2）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a．16．（10分）设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}（1）求集合A，B；（2）若集合C={x|2x+a＜0}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=a x﹣1（x≥0）的图象经过点（2，），其中a＞0，a≠1．（1）求a的值；（2）求函数f（x）=a2x﹣a x﹣2+8，x∈[﹣2，1]的值域．18．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为R（x）=，其中x是仪器的产量（单位：台）；（1）将利润f（x）表示为产量x的函数（利润=总收益﹣总成本）；（2）当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？19．（14分）设函数f（x）=x2﹣2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，求实数a的取值范围；（3）若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8，求t的取值范围．2016-2017学年江苏省南京一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每题3分，共42分）1．设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={﹣1，0，1，2} ．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】直接利用并集运算得答案．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={0，1，2}∪{﹣1，0，1}={﹣1，0，1，2}．故答案为：{﹣1，0，1，2}．【点评】本题考查了并集及其运算，是基础的会考题型．2．函数f（x）=的定义域为[﹣2，3] ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：﹣2≤x≤3，故函数的定义域是[﹣2，3]，故答案为：[﹣2，3]．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．3．函数f（x）=a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，2）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数恒过定点（0，1），结合图象的平移变换确定结果．【解答】解：因为y=a x恒过定点（0，1），而y=a x+1是由y=a x沿y轴向上平移1个单位得到的，所以其图象过定点（0，2）．故答案为（0，2）【点评】本题考查了指数函数过定点的性质以及图象的平移变换．属于基础题．4．幂函数y=f（x）的图象经过点，则其解析式是f（x）=x﹣2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；函数的性质及应用．【分析】幂函数的一般形式是f（x）=xα，再利用图象经过点（2，），得f（2）=，可以求出α，问题解决．【解答】解：设幂函数为f（x）=xα，因为图象经过点（2，）∴f（2）==2﹣2，从而α=﹣2函数的解析式f（x）=x﹣2，故答案为：f（x）=x﹣2．【点评】本题考查了幂函数的概念，属于基础题．值得提醒的是准确把握幂函数的表达式的形式和理解函数图象经过某点的意义是解决本题的关键．5．（2010秋•南通期中）设，则a，b，c的大小关系是b＜a＜c．（按从小到大的顺序）【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题．【分析】由0=log41＜a=log43＜log44=1，b=log0.34＜log0.31=0，c=0.3﹣2=＞1，能判断a，b，c的大小关系．【解答】解：∵0=log41＜a=log43＜log44=1，b=log0.34＜log0.31=0，c=0.3﹣2=＞1，∴b＜a＜c，故答案为：b＜a＜c．【点评】本题考查对数值、指数值大小的比较，是基础题，解题地要认真审题，注意指数函安息、对数函数性质的灵活运用．6．lg=lg6+．【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：原式===lg6+．故答案为：lg6+．【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（2014秋•建湖县校级期中）设函数f（x）=则f[f（﹣1）]的值为4．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】由函数f（x）=，知f（﹣1）=（﹣1）2+1=2，所以f[f（﹣1）]=f（2），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣1）=（﹣1）2+1=2，∴f[f（﹣1）]=f（2）=22+2﹣2=4，故答案为：4．【点评】本题考查分段函数的函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8．x2﹣3x+1=0，则=11．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】推导出x﹣=3，由此能求出x2+的值．【解答】解：∵x2﹣3x﹣1=0，∴x﹣=3，两边平方得：（x﹣）2=x2+﹣2=9，则x2+=11．故答案为：11．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质、运算法则的合理运用．9．设P和0是两个集合，定义集合P•Q={x|x∈P，且x≠Q}，如果P={x|log2x＜1}，Q={x||x ﹣2|＜1}，那么P•Q等于（0，1] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】根据对数函数的定义域及单调性求出集合P中的不等式的解集，求出集合Q中的绝对值不等式的解集，然后根据题中的新定义即可求出P﹣Q．【解答】解：由集合P中的不等式log2x＜1=log22，根据2＞1得到对数函数为增函数及对数函数的定义域，得到0＜x＜2，所以集合P=（0，2）；集合Q中的不等式|x﹣2|＜1可化为：，解得1＜x＜3，所以集合Q=（1，3），则P•Q=（0，1]故答案为：（0，1]【点评】此题要求学生掌握对数函数的定义域的求法及对数函数的单调性，会求绝对值不等式的解集．学生做题时应正确理解题中的新定义．10．（2005•江西）若函数f（x）=log a（x+）是奇函数，则a=．【考点】函数奇偶性的性质；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】由函数是奇函数，将函数的这一特征转化为对数方程解出a的值．【解答】解：∵函数是奇函数，∴f（x）+f（﹣x）=0即log a（x+）+log a（﹣x+）=0∴log a（x+）×（﹣x+）=0∴x2+2a2﹣x2=1，即2a2=1，∴a=±又a对数式的底数，a＞0∴a=故应填【点评】考查奇函数的定义及利用对数的去处法则解对数方程，主要训练对定义与法则的理解与掌握．11．不等式：|x﹣1|+2x＞4的解集是{x|x≥1} ．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】综合题；转化思想；演绎法；不等式的解法及应用．【分析】把要解的不等式等价转化为与之等价的两个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：由不等式：|x﹣1|+2x＞4可得①，或．解①求得x≥1，解②求得x∈∅，故原不等式的解集为{x|x≥1}，故答案为{x|x≥1}．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．12．已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0]时，总有＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是（，1）．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），可得f（x）的偶函数，当a，b∈（﹣∞，0]时，总有＞0（a≠b），可知f（x）在（﹣∞，0]是单调增函数．即可将f（m+1）＞f（2m）转化为等式求解．【解答】解：由题意：f（x）的偶函数，f（x）在（﹣∞，0]是单调增函数，∴f（m+1）＞f（2m）转化为|m+1|＞|2m|吗，两边平方得：（m+1）2＞4m2，解得：，所以实数m的取值范围是（，1）．故答案为：（，1）．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性运用能力．属于基础题．13．（2015秋•苏州校级期中）已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是[，）．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意可得，从而可求得a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，∴解得≤a＜．故答案为：[，）．【点评】本题考查函数单调性的性质，得到（3a﹣1）×1+4a≥a1是关键，也是难点，考查理解与运算能力，属于基础题．14．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为a≤﹣1或a≥8．【考点】函数奇偶性的判断．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的对称性求出当x＞0时的解析式，利用基本不等式的性质求出函数f（x）的最值即可得到结论．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0．∵当x＜0时，，∴f（﹣x）=﹣x﹣+7．∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x+﹣7．∵f（x）≥a+1对一切x≥0成立，∴当x＞0时，x+﹣7≥a+1恒成立；且当x=0时，0≥a+1恒成立．①由当x=0时，0≥a+1恒成立，解得a≤﹣1．②由当x＞0时，x+﹣7≥a+1恒成立，可得：2|a|﹣7≥a+1解得a≤﹣8或a≥8．综上可得：a≤﹣1或a≥8．因此a的取值范围是：a≤﹣1或a≥8．故答案为：a≤﹣1或a≥8．【点评】本题主要考查函数恒成立问题，根据函数的奇偶性求出函数的解析式，以及利用基本不等式求出最小值是解决本题的关键．二、解答题（本大题共5小题，共58分）15．（10分）分解下列因式（1）5x2+6xy﹣8y2（2）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a．【考点】因式分解定理．【专题】计算题；转化法．【分析】（1）利用十字相乘法，可进行分解；（2）利用十字相乘法和提公因式法，可进行分解；【解答】解：（1）5x2+6xy﹣8y2=（5x﹣4y）（x+2y）（2）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a=（x+5）（x﹣3）﹣a（x+5）=（x+5）（x﹣3﹣a）【点评】本题考查的知识点是因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．16．（10分）（2015秋•张家港市校级期中）设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=﹣x2+2x ﹣2，x∈R}（1）求集合A，B；（2）若集合C={x|2x+a＜0}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．【考点】对数函数的定义域；并集及其运算；函数的值域．【专题】计算题．【分析】（1）集合A即函数y=log2（x﹣1）定义域，B即y=﹣x2+2x﹣2，x∈R的值域．（2）先求出集合C，由B∪C=C 可得B⊆C，∴﹣＞﹣1，解不等式得到实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|y=log2（x﹣1）}={x|（x﹣1）＞0}=（1，+∞），B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}={y|y=﹣（x﹣1）2﹣1，x∈R}=（﹣∞，﹣1]．（2）集合C={x|2x+a＜0}={x|x＜﹣}，∵B∪C=C，∴B⊆C，∴，∴实数a的取值范围（﹣∞，2）．【点评】本题考查函数的定义域、值域的求法，利用集合间的关系求参数的取值范围．17．（12分）（2015秋•苏州校级期中）已知函数f（x）=a x﹣1（x≥0）的图象经过点（2，），其中a＞0，a≠1．（1）求a的值；（2）求函数f（x）=a2x﹣a x﹣2+8，x∈[﹣2，1]的值域．【考点】指数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）代入值计算即可，（2）根据函数的单调性，即可求其值域．【解答】解：（1）把代入f（x）=a x﹣1，得．（2）由（1）得f（x）=（）2x﹣（）x﹣2+8=∵x∈[﹣2，1]∴，当时，f（x）max=8，当时，f（x）min=4∴函数f（x）的值域为[4，8]．【点评】本题主要考查了质数函数的单调性和利用函数的最值求值域，属于基础题．18．（12分）（2014秋•高邮市期中）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为R（x）=，其中x是仪器的产量（单位：台）；（1）将利润f（x）表示为产量x的函数（利润=总收益﹣总成本）；（2）当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．【解答】解：（1）当0≤x≤400时，当x＞400时，f（x）=80000﹣100x﹣20000=60000﹣100x所以…（7分）（2）当0≤x≤400时当x=300时，f（x）max=25000，…（10分）当x＞400时，f（x）=60000﹣100x＜f（400）=20000＜25000…（13分）所以当x=300时，f（x）max=25000答：当产量x为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元．…（15分）【点评】本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．19．（14分）设函数f（x）=x2﹣2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，求实数a的取值范围；（3）若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8，求t的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）判断f（x）在[0，4]上的单调性，根据单调性求出f（x）的最值，得出值域；（2）令g（x）=f（x）﹣5，根据对称轴与区间[a，a+2]的关系求出g（x）的最大值，令g max （x）＜0解出a的取值范围．（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，对任意的x1，x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8等价于M﹣m≤8，结合二次函数的性质可求【解答】解：（1）当t=1时，f（x）=x2﹣2x+2，∴f（x）的对称轴为x=1，∴f（x）在[0，1]上单调递减，在（1，4]上单调递增，∴当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1，当x=4时，f（x）取得最大值f（4）=10．∴f（x）在区间[0，4]上的取值范围是[1，10]．（2）∵f（x）＜5，∴x2﹣2x+2＜5，即x2﹣2x﹣3＜0，令g（x）=x2﹣2x﹣3，g（x）的对称轴为x=1．①若a+1≥1，即a≥0时，g（x）在[a，a+2]上的最大值为g（a+2）=a2+2a﹣3，∵对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，∴g（x）=x2﹣2x﹣3＜0恒成立，∴a2+2a﹣3＜0，解得0≤a＜1．②若a+1＜1，即a＜0时，g（x）在[a，a+2]上的最大值为g（a）=a2﹣2a﹣3，∵对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，∴g（x）=x2﹣2x﹣3＜0恒成立，∴a2﹣2a﹣3＜0，解得﹣1＜a＜0，综上，实数a的取值范围是（﹣1，1）．（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，所以“对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8”等价于“M﹣m≤8”．①当t≤0时，M=f（4）=18﹣8t，m=f（0）=2．由M﹣m=18﹣8t﹣2=16﹣8t≤8，得t≥1．从而t∈∅．②当0＜t≤2时，M=f（4）=18﹣8t，m=f（t）=2﹣t2．由M﹣m=18﹣8t﹣（2﹣t2）=t2﹣8t+16=（t﹣4）2≤8，得．，⇒③当2＜t≤4时，M=f（0）=2，m=f（t）=2﹣t2．由M﹣m=2﹣（2﹣t2）=t2≤8，得﹣2≤t≤2⇒2＜t≤2；④当t＞4时，M=f（0）=2，m=f（4）=18﹣8t．由M﹣m=2﹣（18﹣8t）=8t﹣16≤8，得t≤3．从而t∈∅．综上，t的取值范围为区间[4﹣2，2]【点评】本题考查了二次函数的单调性与最值，函数恒成立问题，常根据对称轴与区间的关系来判断单调性，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．。
【精编】2016-2017年江苏省南京外国语学校高一(上)数学期中试卷带解析答案
2016-2017学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷一、填空题（42分）1．（3分）设全集A={x|x≤2x+1≤5}，B={x|0＜x≤3}，则A∩B=．2．（3分）=．3．（3分）若有意义，则a的取值范围是．4．（3分）已知log a b+log b a=（a＞b＞1），则=．5．（3分）若集合{x|ax2+x+1=0}有且只有一个元素，则a的取值集合为．6．（3分）已知函数f（x）=|lgx|，若a≠b，且f（a）=f（b），则ab=．7．（3分）已知f（x）=，是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是．8．（3分）已知a，b为常数，若f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，则5a ﹣b=．9．（3分）已知a﹣a﹣1=2，则=．10．（3分）已知函数是偶函数，则a=．11．（3分）已知函数，若函数的值域为R，则常数a的取值范围是．12．（3分）若函数y=log a（1﹣3ax）（a＞0，a≠1）在区间（0，2）上是单调增函数，则常数a的取值范围是．13．（3分）已知f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2x﹣2，则f（log6）=．14．（3分）函数f（x）=的定义域为R （常数a＞0，a≠1），则实数k的取值范围为．二、解答题15．（8分）设集合A={x|2＜x＜4}，B={x|a＜x＜3a}．（1）若A∩B≠∅，求实数a的范围．（2）若A∪B={x|2＜x＜6}，求实数a的值．16．（8分）函数f（x）=x2+x﹣2a，若y=f（x）在区间（﹣1，1）内有零点，求a的取值范围．17．（8分）已知f（x）=，x∈R．（1）求证：对一切实数x，f（x）=f（1﹣x）恒为定值．（2）计算：f（﹣6）+f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）．18．（12分）画出函数y=|2x﹣2|的图象，并利用图象回答：（1）函数y=|2x﹣2|的值域与单调增区间；（2）k为何值时，方程|2x﹣2|=k无解？有一解？有两解？19．（12分）对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈[m，n]均有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的；否则称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1（x）=log a （x﹣3a），与f2（x）=log a（a＞0，a≠1），给定区间[a+2，a+3]．（1）若f1（x）与f1（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；（2）讨论f1（x）与f1（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否是接近的？20．（10分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=3x．（1）求f（x），g（x）；（2）若对于任意实数t∈[0，1]，不等式f（2t）+ag（t）＜0恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若存在m∈[﹣2，﹣1]，使得不等式af（m）+g（2m）＜0成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（42分）1．（3分）设全集A={x|x≤2x+1≤5}，B={x|0＜x≤3}，则A∩B={x|0＜x≤2} ．【解答】解：由x≤2x+1≤5，解得﹣1≤x≤2，即A={x|﹣1≤x≤2}，∵B={x|0＜x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案为：{x|0＜x≤2}2．（3分）=4．【解答】解：根据对数的运算律知：．故答案为：4．3．（3分）若有意义，则a的取值范围是≤a＜2或2＜a＜3．【解答】解：要使有有意义，则，即，即≤a＜2或2＜a＜3，故答案为：≤a＜2或2＜a＜34．（3分）已知log a b+log b a=（a＞b＞1），则=1．【解答】解：∵log a b+log b a=（a＞b＞1），∴log a b+=，设t=log a b，∵a＞b＞1，∴0＜t＜1，则条件等价为t+﹣=0，即t2﹣t+1=0，2t2﹣5t+2=0，解得t=2（舍）或t=，即log a b=，即b==，则=，故答案为：15．（3分）若集合{x|ax2+x+1=0}有且只有一个元素，则a的取值集合为．【解答】解：当a=0时，A={﹣1}；当a≠0时，若集合A只有一个元素，由一元二次方程判别式△=1﹣4a=0得a=．综上，当a=0或a=时，集合A只有一个元素．故答案为：．6．（3分）已知函数f（x）=|lgx|，若a≠b，且f（a）=f（b），则ab=1．【解答】解：∵f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|．不妨设0＜a＜b，则由题意可得0＜a＜1＜b，∴lga=﹣lgb，lga+lgb=0，∴lg（ab）=0，∴ab=1，故答案为：1．7．（3分）已知f（x）=，是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是[，）．【解答】解：因为函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，所以，解得≤a＜，所以a的取值范围是[，）．故答案为：[，）．8．（3分）已知a，b为常数，若f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，则5a ﹣b=2．【解答】解：由f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，得（ax+b）2+4（ax+b）+3=x2+10x+24，即a2x2+2abx+b2+4ax+4b+3=x2+10x+24．比较系数得求得a=﹣1，b=﹣7，或a=1，b=3，则5a﹣b=2．故答案为29．（3分）已知a﹣a﹣1=2，则=．【解答】解：∵a﹣a﹣1=2，∴a2+a﹣2=6，∴a3+a﹣3=（a+a﹣1）（a2+a﹣2﹣1）a4﹣a﹣4=（a+a﹣1）（a﹣a﹣1）（a2+a﹣2）∴原式==故答为：10．（3分）已知函数是偶函数，则a=0．【解答】解：∵函数是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），则=，即x2+2ax+3=x2﹣2ax+3，∴2a=﹣2a，可得a=0，故答案为：0．11．（3分）已知函数，若函数的值域为R，则常数a的取值范围是a或a．【解答】解：设g（x）=x2﹣2ax+3，由f（x）=log（x2﹣2ax+3）的值域为R，根据对数函数的图象性质得出：g（x）=x2﹣2ax+3可以取所有的正值，图象不能够在x轴下方∴△=4a2﹣12≥0，即a或a故答案为：a或a12．（3分）若函数y=log a（1﹣3ax）（a＞0，a≠1）在区间（0，2）上是单调增函数，则常数a的取值范围是（0，] ．【解答】解：∵由a＞0，a≠1，∴函数h（x）=1﹣3ax在区间（0，2）上是单调减函数，而y=log a h（x）=log a（1﹣3ax）在区间（0，2）上是单调增函数，∴0＜a＜1，且h（x）=1﹣3ax在区间（0，2）上大于等于零，故有，解得0＜a≤，故答案为：（0，]．13．（3分）已知f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2x﹣2，则f（log6）=．【解答】解：∵﹣3＜log6＜﹣2，又∵f（x+2）=f（x），∴f（log6）=f（log6+2）=f（log），∵﹣1＜log＜0，∴0＜log2＜1，又∵f（x）是R上的奇函数，∴f（log）=﹣f（log 2）=﹣（﹣2）=﹣（﹣2）=，故答案为：．14．（3分）函数f（x）=的定义域为R （常数a＞0，a≠1），则实数k的取值范围为k＜4，且k≠3．【解答】解：由a x+4a﹣x﹣k＞0，得：k＜a x+4a﹣x，而a x+4a﹣x≥2=4，故k＜4，且k≠3，故答案为：k＜4，且k≠3．二、解答题15．（8分）设集合A={x|2＜x＜4}，B={x|a＜x＜3a}．（1）若A∩B≠∅，求实数a的范围．（2）若A∪B={x|2＜x＜6}，求实数a的值．【解答】解：（1）∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|a＜x＜3a}，A∩B≠∅，∴或或，解得＜a＜4．∴实数a的范围是（，4）．（2）∵集合A={x|2＜x＜4}，B={a＜x＜3a}，A∪B={x|2＜x＜6}，∴，解得a=2．16．（8分）函数f（x）=x2+x﹣2a，若y=f（x）在区间（﹣1，1）内有零点，求a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x2+x﹣2a的图象是开口朝上，且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，若y=f（x）在区间（﹣1，1）内有零点，则y=f（x）在区间[﹣，1）内有零点，即，即，解得：a∈[﹣，1）17．（8分）已知f（x）=，x∈R．（1）求证：对一切实数x，f（x）=f（1﹣x）恒为定值．（2）计算：f（﹣6）+f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）．【解答】证明：（1）∵f（x）=，x∈R．∴对一切实数x，f（x）+f（1﹣x）=+==+=1，∴对一切实数x，f（x）+f（1﹣x）恒为定值1．解：（2）∵f（x）+f（1﹣x）=1，∴f（﹣6）+f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）=[f（﹣6）+f（7）]+[f（﹣5）+f（6）]+[f（﹣4）+f（5）]+[f（﹣3）+f（4）] +[f（﹣2）+f（3）]+[f（﹣1）+f（2）]+[f（0）+f（1）]=1+1+1+1+1+1+1=7．18．（12分）画出函数y=|2x﹣2|的图象，并利用图象回答：（1）函数y=|2x﹣2|的值域与单调增区间；（2）k为何值时，方程|2x﹣2|=k无解？有一解？有两解？【解答】解：（1）函数y=|2x﹣2|的图象如下图所示：由图可得：函数y=|2x﹣2|的值域为：[0，+∞）；单调增区间为：[1，+∞）；（2）由图可得：k＜0时，方程|2x﹣2|=k无解；k=0，或k≥2时，有一解；0＜k＜2时，有两解．19．（12分）对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈[m，n]均有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的；否则称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1（x）=log a （x﹣3a），与f2（x）=log a（a＞0，a≠1），给定区间[a+2，a+3]．（1）若f1（x）与f1（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；（2）讨论f1（x）与f1（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否是接近的？【解答】解：（1）要使f1（x）与f2（x）有意义，则有，要使f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，等价于：，所以0＜a＜1．（2）f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的，⇔|f1（x）﹣f（x2）|≤1⇔|loga（x﹣3a）﹣|≤1⇔|loga[（x﹣3a）（x ﹣a）]|≤1⇔a≤（x﹣2a）2﹣a2对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．设h（x）=（x﹣2a）2﹣a2，x∈[a+2，a+3]，且其对称轴x=2a＜2在区间[a+2，a+3]的左边，⇔⇔⇔⇔，所以当，时，f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的．20．（10分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=3x．（1）求f（x），g（x）；（2）若对于任意实数t∈[0，1]，不等式f（2t）+ag（t）＜0恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若存在m∈[﹣2，﹣1]，使得不等式af（m）+g（2m）＜0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）、g（x）分别是奇函数、偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），令x取﹣x，代入f（x）+g（x）=3x ①，f（﹣x）+g（﹣x）=3﹣x，即﹣f（x）+g（x）=3﹣x ②，由①②解得，f（x）=，g（x）=；（2）由（1）可得，不等式f（2t）+ag（t）＜0为：不等式+a•＜0，化简得，（3t﹣3﹣t）+a＜0，即a＜﹣3t+3﹣t，∵任意实数t∈[0，1]，不等式f（2t）+ag（t）＜0恒成立，且函数y=﹣3t+3﹣t在[0，1]上递减，∴y≥，即a＜则实数a的取值范围是（﹣∞，）；（3）由（1）可得，不等式af（m）+g（2m）＜0为：a•+＜0，∵m∈[﹣2，﹣1]，∴，则化简得，a＞==，令t=3﹣m﹣3m，∵m∈[﹣2，﹣1]，∴t∈[，]，则a＞，∴存在m∈[﹣2，﹣1]，使得不等式af（m）+g（2m）＜0成立等价于：存在t∈[，]，使得不等式a＞成立，∵=，当且仅当，即t=时取等号，∴函数y=在[，]递增，则函数y=的最小值是，即a＞，故实数a的取值范围是（，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
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− x 2 + 2 x − 2, x ∈ R} ． log 2 ( x − 1)} ， B = {y | y =
⑴求集合 A ， B ； ⑵若集合 = C
{ x | 2 x + a < 0} ，且满足 B C = C ，求实数 a 的取值范围．
17. （本题满分 12 分）
1 已知函数= f ( x ) a x −1 ( x ≥ 0 ) 的图象经过点 2, ，其中 a > 0 ， a ≠ 1 ． 2
2 + x + 3 − x 的定义域为
3.
) a x + 1 （ a > 0 且 a ≠ 1 ）的图象恒过点 函数 f ( x =
．
4.
1 幂函数 y = f ( x ) 的图象经过点 2, ，则其解析式是 4
．
5.
设 a = log 4 3 ， b = log 0.3 4 ， c = 0.3−2 ，则 a ， b ， c 的大小关系是
（按从小到大的顺序） ．
6.
lg
2 4 2 − lg8 3 + lg 7 5 = 7
．
7.
x 2 + 1, x ≤1 ，则 f 设函数 f ( x ) = 2 f ( −1) 的值为 x + x − 2, x > 1
．
8.
x 2 − 3x + 1 = 0 ，则 x 2 +
(
)
．
11. 不等式： x − 1 + 2 x > 4 的解集是
．
1ห้องสมุดไป่ตู้
12. 已知函数 f ( x ) 满足 f ( − x ) = f ( x ) ，当 a, b ∈ ( −∞, 0] 时，总有
f ( m + 1) > f ( 2m ) ，则实数 m 的取值范围是
f ( a ) − f (b) a−b
3
⑴将利润表示为月产量的函数 f ( x ) ； ⑵当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润） ．
19. （本题满分 14 分） 设函数 f ( x ) = x 2 − 2tx + 2 ，其中 t ∈ R ． ⑴若 t = 1 ，求函数 f ( x ) 在区间 [ 0, 4] 上的取值范围； ⑵若 t = 1 ，且对任意的 x ∈ [ a, a + 2] ，都有 f ( x ) ≤ 5 ，求实数 a 的取值范围； ⑶若对任意的 x1 ， x2 ∈ [ 0, 4] ，都有 f ( x1 ) − f ( x2 ) ≤ 8 ，求 t 的取值范围．
x ≥ 0 成立，则 a 的取值范围为
a2 + 7 ，若 f ( x ) ≥ a + 1 对一切 x
．
二、解答题（本大题共 5 小题，共 58 分） 15. （本题满分 10 分） 分解下列因式 ⑴ 5 x 2 + 6 xy − 8 y 2 ⑵ x 2 + 2 x − 15 − ax − 5a ．
16. （本题满分 10 分） 设集合 = A
南京一中 2016~2017 学年度第一学期期中考试试卷 高一数学
命题人：高二数学备课组
设全集 A = {0,1, 2} ， B =
校对人：高二数学备课组
审核人：张志军
一、填空题（本大题共 14 小题，每题 3 分，共 42 分） 1.
{−1, 0,1} ，则 A B =
．
．
2.
函数 f ( x ) =
> 0 ( a ≠ b ) ，若
．
( 3a − 1) x + 4a, x < 1 13. 已知 f ( x ) = x 是 ( −∞, +∞ ) 上的减函数，那么 a 的取值范围是 x ≥1 a ,
．
14. 设 a 为实常数， y = f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x < 0 时 f ( x ) = x+
⑴求 a 的值； ⑵求函数 f ( x ) =a 2 x − a x − 2 + 8 ， x ∈ [ −2,1] 的值域．
2
18. （本题满分 12 分） 每生产一台仪器需增加投入 100 元． 已知总收益满足 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元， 函数：
1 2 400 x − x , ( 0 ≤ x < 400 ) （其中 x 是仪器的月产量） ． R ( x) = 2 86000, ( x ≥ 400 )
1 = x2
．
9.
设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 P ⋅ Q = 那么 P ⋅ Q 等于 ．
= {x | = P { x | log 2 x < 1} ， Q { x | x ∈ P, 且x ∉ Q} ，如果
x − 2 < 1} ，
10. 若函数 f ( x = ) log a x + x 2 + 2a 2 是奇函数，则实数 a 的值是