安徽省合肥一中10-11学年高一下学期期中考试(数学)
2022-2023学年安徽省高一下学期期中联考数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省高一下学期期中联考数学试题一、单选题1．若复数满足（是虚数单位），则（ ）z ()2i iz ⋅-=i z =A ．B ．C ．D ．12i 55+12i 55-12i 55-+12i 55--【答案】C【分析】根据复数的除法运算，化简即可得出答案.【详解】由已知可得，.()()()i 2i i 2i 112i 2i 2i 2i 555z +-====-+--+故选：C.2．正的边长为1，则（ ）ABC AB BC ⋅=A ．B ．CD ．1212-【答案】B【分析】根据，但要注意向量夹角的定义．cos a b a b θ⋅=【详解】．111cos1202AB BC ⋅=⨯⨯︒=-故选：B ．3．一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距海里，随后货轮按北偏西MS 15︒S a的方向，以每小时海里的速度航行30分钟后到达处．又测得灯塔在货轮的东北30︒20N 方向，则（ ）=a A ．20B ．40C ．D ．40-40+【答案】A【分析】由题意得出，，，再由两角和的正弦公式求出，根据正弦定理MN SNM∠MSN ∠sin105︒即可求出的值．a 【详解】由题可知，，，200.510MN =⨯=4560105SNM ∠=︒+︒=︒，180105(3015)30MSN ∠=︒-︒-︒+︒=︒由两角和的正弦公式得：sin105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60︒=︒+︒=︒︒+︒︒=在中，由正弦定理得：MNS，sin sin MN SM MSN SNM =∠∠sin105a=解得，20a =故选：A ．4．如图，在正六边形中，（ ）ABCDEF DE AF CB BE +--=A ．B ．C ．D ．ADBECF 【答案】A【分析】根据向量的线性运算法则和运算律求解.【详解】由已知，BE BA AF FE =++ 所以.DE AF CB BE DE AF C BA AF B FE +--=+---- 所以，B D E A FE E AF CB BE D CB +--=--- 又，,DE BA CB FE ==- 所以0DE AF CB BE +--=故选：A.5．已知圆锥的顶点为，过母线的截面面积是若的夹角是，且母线的A ,AB AC ,AB AC 60︒AC 长是高的2倍，则该圆锥的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．()6π【答案】B【分析】由已知可推得圆锥的母线作出圆锥的轴截面，即可得出底面圆的半径l =h =.r =【详解】设圆锥的母线长是，过母线的截面即为，l ,AB AC ABC由已知可得21sin 602ABC S l =︒= l =所以高h =作出圆锥的轴截面如下图为等腰三角形，底面圆的圆心为，半径，AMN O r ON =如图有AN l ==AO h ==ON ==r =所以该圆锥的体积是.2211ππ33h V r ⨯===故选：B.6．已知向量是非零向量，是单位向量，的夹角为，且，则（ ）a b ,a b 120︒()a ab ⊥+ a b -=A B ．C ．D ．341412【答案】A【分析】由已知结合数量积的运算律以及定义，即可得出.然后根据数量积的运算律，展开12a =，即可得出答案.2a b- 【详解】因为，所以，()a a b ⊥+ ()a ab ⋅+= 即，即.20a a b +⋅= 221cos12020a a b a a +⋅︒=-=因为，所以，0a ≠12a = 所以，2222a b a a b b -=-⋅+ 11172114224⎛⎫=-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭所以，a - 故选：A.7．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，1v 1||10km/h v =水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向2v 2||4km/h v =1v 2v (0)θθπ<<A 上位于北岸的码头处，则等于（ ）B cos θA ．B ．C ．D ．25-35-45-【答案】B 【解析】由题意知由向量数量积的定义可得选项.()2120,v v v +⋅= 【详解】由题意知有即所以，()2120,v v v +⋅=2212||c ||os 0,v v v θ+= 2104cos 40,θ⨯+=2cos 5θ=-故选：B ．【点睛】本题考查向量的实际应用，关键在于理解向量的数量积的意义和熟练掌握向量数量积的定义，属于基础题.8．设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且111ABC A B C -40π，则此直三棱柱的表面积是（ ）1,120AB AC AA BAC ∠===A ．B ．C ．D ．16+8+8+16+【答案】D 【分析】设，由题意计算得外接圆的半径，从而计算出外接球的12AB AC AA m ===ABC 2r m =半径，根据球的表面积公式求得的值，从而得三棱柱各棱长，再利用三棱柱的表面积公式计算即m 可.【详解】设，因为，所以.12AB AC AA m ===120BAC ∠= 30ACB ∠= 于是（是外接圆的半径），.22sin30mr =r ABC 2r m =又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，ABC 1AA.=所以球的表面积为，解得)24π40π⋅=m =因此1AB AC AA BC ====于是直三棱柱的表面积是122162⨯+⨯⨯=+ 故选：D.二、多选题9．设是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ）z z A ．若，则B ．若，则z z =Rz ∈0z z +>0z >C ．若，则D ．若，则1R z z +∈1z =2z =4z z ⋅=【答案】ABD【分析】设，根据共轭复数的定义，复数相等，复数模的定义，复数除法运算逐i(,R)z a b a b =+∈项判断即可．【详解】设，则，i(,R)z a b a b =+∈i z a b =-对A ，，故A 正确；i i 0R a b a b b z +=-⇒=⇒∈对B ，，故B 正确；i i 000a b a b a z ++->⇒>⇒>对C ，或，222211i i R i a b z a b a b z a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++-∈ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭2200b b b a b ⇒-=⇒=+221a b +=故C 不正确；对D ，，故D 正确；222||4z z a b z ⋅=+==故选：ABD ．10．在三棱锥中，分别是的重心.则下列命题中正确的有（ ）A BCD -,G E ,BCD ACD A ．直线共面B ．直线相交,BG AE ,AG BE C ．D ．12A GBC A DBCV V --=3AB GE=【答案】ABD【分析】根据题意，由条件结合三角形重心的性质，对选项逐一判断即可得到结果.【详解】由于分别是的重心，所以分别延长交,G E ,BCD ACD ,BG AE CD 于中点.因此正确.F A 因为，所以，因此.:2:1,:2:1BG GF AE EF ==::2:1BG GF AE EF ==GE AB 直线相交，B 正确.,AG BE 因为是的重心，所以，因此，C 不正确.G BCD △13GBC DBC S S = 13A GBC A DBCV V --=因为，所以.因此，D 正确.GE AB ::3:1AB GE BF GF ==3AB GE =故选：ABD.11．在中，角的对边分别是，，，且的值可以是ABC ,,A B C ,,a b c 3a =7b =sin B =cos C （ ）A ．B ．C ．D ．171114-17-1114【答案】CD 【分析】由已知可得.分别求出当，以及时，的值，根据余弦定理，1cos 2B =±1cos 2B =1cos 2B =-c 即可得出答案.【详解】因为.sin B =1cos 2B =±当时，由余弦定理可知，1cos 2B =2222cos b a c ac B =+-，整理可得，，22217362c c =+-⨯23400c c --=解得，或（舍去），8c =5c =-所以，由余弦定理可得；2222227381cos 22737b a c C ab +-+-===-⨯⨯当时，由余弦定理可知，1cos 2B =-2222cos b a c ac B =+-，整理可得，，22217362c c ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭23400c c +-=解得，或（舍去），5c =8c =-所以，由余弦定理可得.22222273511cos 227314b a c C ab +-+-===⨯⨯综上所述，，或.1cos 7C =-11cos 14C =故选：CD.12．如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式P ABC ,,A B C ,,a b c 成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= △△△正确的有（ ）A ．若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离分别是ABC P ABC P BC,CA,AB ，则有123,,h h h 1230h PA h PB h PC ⋅+⋅+⋅=B ．若为内一点，且，则是的内心P ABC 0PA PB PC ++= P ABC C ．若为内一点，且，则P ABC 1255AP AB AC =+::2:1:2PBC PAC PABS S S = D ．若的垂心在内，是的三条高，则ABC P ABC ,,AD BE CF ABC 0PD PE PF PA PB PC AD BE CF ⋅+⋅+⋅= 【答案】ACD【分析】若是等边三角形，设其高为，用和表示出，代入奔驰ABC h 123,,h h h h ,,PBC PACPABS SS△△△定理，化简即可判断A ；由及奔驰定理，根据平面向量基本定理即可得出0PA PB PC ++=，即可判断B ；由得出，结合奔驰定理，PBC PACPAB S S S == 1255AP AB AC =+220PA PB PC ++= 根据平面向量基本定理得出，即可判断C ；点是的垂心，得出::PBC PAC PABS S S P ABC ， ，，代入奔驰定理即可判断D ．PBC ABCPDS S AD =PCA ABC PE S S BE = PAB ABC PF S S CF = 【详解】因为为内任意一点，所以两两不共线；P ABC ,,PA PB PC对A ：是等边三角形，设其高为，ABC h 则，，，1PBC ABC h S S h =⋅ 2PCA ABC hS S h =⋅ 3PAB ABC h S S h =⋅ 代入奔驰定理得，，3120ABC ABC ABC h h h S PA S PB S PC h h h ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 即，故A 正确；1230h PA h PB h PC ⋅+⋅+⋅=对B ：由且，根据平面向量基本定理得0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= 0PA PB PC ++= ，则是的重心，故B 不正确；PBC PAC PABS S S == P ABC 对C ：，即，()()12125555AP AB AC PB PA PC PA=+=-+-220PA PB PC ++= 又，0PBCPAC PAB S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= 由平面向量基本定理得，故C 正确；::2:1:2PBC PAC PAB S S S = 对D ：由点是的垂心，则，P ABC PBC ABC S PDS AD = 所以，同理可得，，，PBC ABCPDS S AD = PCA ABC PE S S BE = PAB ABC PF S S CF = 代入，0PBCPAC PAB S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= 得，0ABC ABC ABC PDPE PF S PA S PB S PC AD BE CF ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 即，故D 正确；0PD PE PF PA PB PC AD BE CF ⋅+⋅+⋅= 故选：ACD ．三、填空题13．已知向量.若，则实数的值是__________.()()3,6,1,a b x ==-//a bx 【答案】2-【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式求解即可得答案.【详解】因为，且，//a b()()3,6,1,a b x ==- 所以，得，()3610x -⨯-=2x =-故答案为：2-14．在中，，则角的大小是__________.ABC ()()cos24,cos66,2cos69,2cos21AB AC ==A 【答案】45【分析】根据向量的模长公式求，再由数量积坐标运算公式求，结合向量夹角公,AB ACAB AC ⋅ 式求角的大小.A 【详解】因为()()cos24,cos66,2cos69,2cos21AB AC ==又，cos 66sin 24,cos 21sin 69==所以，||1,||2AB AC ====2cos24cos692sin24sin692cos45AB AC ⋅=+=所以，又，cos cos ,AB AC A AB AC AB AC ⋅====⋅()0,πA ∈所以.45A ︒=故答案为：.4515．设点是外接圆的圆心，，则的值是__________.O ABC 1,2AC AOBC =⋅=-sin sin C B 【分析】作出辅助线，得到⊥，变形得到，从而列出方程，求出OD BC ()2212AO BC ACAB⋅=-.【详解】设点是边的中点，连接，则⊥，D BC OD OD BC 则()AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD BC⋅=+⋅=⋅⋅=⋅+ ，()()()221122AB AC AC AB AC AB +⋅-==-即因此()2112,2AB AB -=-= sin sin C AB B AC ==16．依次连接棱长为2的正方体六个面的中心，得到的多面体的体积是1111ABCD A B C D -__________.【答案】43【分析】作出图形，根据图形可知得到的多面体是正八面体，然后利用锥体的体积计算公式即可求解.【详解】依次连接棱长为2的正方体六个面的中心，得到的多面体是正八面体，1111ABCD A B C D -如图，该正八面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，所以该正八面体的体积是.2142133⨯⨯⨯=故答案为：.43四、解答题17．如图，在中，，点是线段上一点.ABC 13AN AC= P BN(1)若点是线段的中点，试用和表示向量；P BN AB AC AP (2)若，求实数的值.311AP AB mAC=+m【答案】(1)1126AP AB AC=+ (2).833【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解；（2）根据向量线性运算利用表示，结合平面向量基本定理列方程求的值.,AB AC APm 【详解】（1）因为点是线段的中点，且，P BN 13AN AC=所以.()1122AP AB BP AB BN AB AN AB=+=+=+- 所以；11112226AP AB AN AB AC=+=+ （2）设，则BP BN λ= ，()()1AP AB BP AB BN AB AN AB AB ANλλλλ=+=+=+-=-+又，13AN AC= 所以，()13AP AB ACλλ=-+ 因为，311AP AB mAC=+ 所以，31,113m λλ-==所以.88,1133m λ==18．已知复数，其中是虚数单位，.((2123i,sin cos iz m m z μθθ=-+=++i ,,R m μθ∈(1)若为纯虚数，求的值；1z m (2)若，求的取值范围.12z z =μ【答案】(1)m =(2)7,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据纯虚数的特征，即可列式求解；（2）根据复数相等，转化为实部和虚部对应相等，将写为关于的二次函数，μsin θ列式求解.【详解】（1）因为为纯虚数，1z 所以，解得2300m m ⎧-=⎪⎨≠⎪⎩m=（2）由，得12z z =23sin cos m m μθθ⎧-=+⎪⎨=⎪⎩因此.222173cos sin sin sin 2sin 24μθθθθθ⎛⎫=--=-+=-+⎪⎝⎭因为，所以当时，；1sin 1θ-≤≤1sin 2θ=min 74μ=当时，，.故的取值范围是.sin 1θ=-max4μ=μ7,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．如图，在长方体中，，截面.1111ABCD A B C D -11111A C B D O ⋂=1B D ⋂11A BC P =(1)确定点的位置；P (2)若，，，求线段的长.3AB =4BC =16CC =DP 【答案】(1)点为线段与的交点P 1B D1BO (2)DP 【分析】（1）根据已知可得出点是平面与平面的公共点，又平面平面P 11BB D D 11A BC 11BB D D ⋂，即可根据基本事实3得出，即可得出点的位置；111A BC BO =1P BO ∈P （2）连接，连接，交于点.易证四边形为平行四边形，进而结合已知可知点BD 1BD 1DB M 11D DBB 是的重心，推得.然后根据长方体的棱长求出体对角线P 11BB D △123DP DB =1DB =答案.【详解】（1）因为，平面，1P B D ∈1B D ⊂11BB D D 所以平面.P ∈11BB D D 又平面，所以点是平面与平面的公共点.P ∈11A BC P 11BB D D 11A BC 又因为平面平面，11BB D D ⋂111A BC BO =根据基本事实3，可得.1P BO ∈又因为，所以，1P B D ∈11B D BO P = 即点为线段与的交点.P 1B D1BO （2）连接，连接，交于点.由（1）知点为与交点.BD 1BD 1DB M P 1BO 1BD 因为，，所以四边形为平行四边形，11DD BB ∥11DD BB =11D DBB 所以，是中点.M 1BD 又是的中点，1O 11B D 所以点是两条边上中线的交点，P 11BB D △111,B D BD 所以点是的重心，P 11BB D △所以，所以.1112133B P B M B D==123DP DB =又因为，，，3AB =4BC =16CC =所以1DB ===故123DP DB ==20．在中，角的对边分别是，且向量和向量互ABC ,,A B C ,,ab c ,2b m a c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,2a c n b +⎛⎫= ⎪⎝⎭相垂直.(1)求角的大小；C(2)若的周长是，，求外接圆的半径.ABC 3+3CA BC ⋅=-ABC 【答案】(1)π6C =(2)1【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，化简整理可得.然后根据余弦定理，即222a b c +-=可得出答案；（2）由已知可推得根据正弦定理可得，.代入，=ab c R =3a b R +=222a b c +-=整理即可得出，求解即可得出答案.22(3)6R R --=【详解】（1）因为互相垂直，,m n所以，()()22a c b m n a c b +⋅=-⋅+⋅=整理可得.222a b c +-=由余弦定理得，.222cos 2a b c C ab +-===因为，所以.0πC <<π6C =（2）因为， ()cos π3CA BC ab C ⋅=-==-所以=ab由正弦定理知，，所以，则.2sin cR C =2sin c R C R ==3a b R +=又由（1）知，，222a b c +-=所以，222a b R +-=所以有，22()2a b ab R +--=即，解得.22(3)6R R --=1R =故外接圆的半径是1.ABC 21．三条侧棱两两垂直的三棱锥往往称为直三棱锥，在直三棱锥中，两两垂直.A BCD -AB AC AD ､､(1)设直三棱锥外接球的半径为，证明：；A BCD -R R =(2)若直三棱锥外接球的表面积为，求的最大值.A BCD -64πABC ACD ADBS S S ++ 【答案】(1)证明见解析(2)32【分析】（1）将图形补成长方体，则长方体的体对角线为外接球的直径，进而计算求解；（2）根据直三棱锥外接球的表面积为可得，也即，A BCD -64π4R =2222(2)64AB AC AD R ++==利用均值不等式即可求解.【详解】（1）由两两互相垂直，将之补成长方体如图所示，,,AB AC AD由长方体的性质可得：长方体的体对角线为外接球的直径，则.()22222AB AC AD R ++=即，()()()22222222222228222R AB AC AD AB AC AC AD AD AB BC CD DB =++=+++++=++故R =（2）由得，.因此.2644R ππ=4R =2222(2)64AB AC AD R ++==于是111222ABC ACD ADB S S S AB AC AC AD AD AB ++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ .222222222324442AB AC AC AD AD AB AB AC AD +++++≤++==当且仅当时取等号，AB AC AD ===故的最大值为32.ABC ACD ADBS S S ++22．如图，某学校有一块平面四边形空地，已知，，且ABCD 8AD CD +=120ADC ∠=︒ADC S =(1)求，两点间的距离；A C (2)设的角的对边分别是，且满足，现要在内做一个最ABC ,,A B C ,,a b c sin sin sin sin a b A Cc A B +-=-ABC 大的圆形花圃，求这个最大圆形花圃的面积.【答案】(1)7(2)49π12【分析】（1）由面积公式可得出.进而根据余弦定理，即可得出答案；15AD CD ⋅=（2）根据已知结合正弦定理边化角，可求得.设内切圆的半径是，根据等面积法可推π3B =ABC r得.根据正弦定理可得，，代入根据三角恒等变换化简)7r a c =+-a A =c C =可得，根据的范围得出的最大值，即可得出答案.π14sin 6a A c ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭A a c +【详解】（1）在中，因为，ACD 1sin1202ADC S AD CD ︒=⋅= 所以.15AD CD ⋅=由余弦定理可得2222cos120AC AD CD AD CD =+-⋅⋅︒2()AD CD AD CD=+-⋅，641549=-=所以，.7AC =故，两点间的距离是7.A C （2）由正弦定理得，，整理可得，sin sin sin sin a b A C a ccA B a b +--==--222a c b ac +-=由余弦定理得，.2221cos 222a c b ac B ac ac +-===又，所以.()0,πB ∈π3B =因为在内部的圆中，内切圆的面积最大，ABC ABC 设内切圆的半径是，ABC r 由（1）可知，则.2249a c ac +-=2()493a c ac +=+又，()11sin 22ABC S ac B a b c r ==++⋅ 因此.)2()49777ac a c r a c a c a c +-===+-++++在中，，，ABC 7b AC ==π3B =由正弦定理得，sin sin sin a c b A C B ====所以，，a A =c C =于是)()sin sin sin sin 120a c A C A A +=++︒-⎤⎦1sin sin 2A A A ⎫=+⎪⎪⎭.31πsin 14sin cos 14sin 226A A A A A ⎫⎛⎫⎛⎫==⋅=+⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭又，所以.2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭当时，取得最大值14，从而内切圆的半径ππ62A +=a c +r 故最大圆形花圃的面积是.249ππ12=。
安徽省合肥市第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷
安徽省合肥市第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．5107．在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为一个侧棱相等、高为1A ．M 有最小值，N 有最大值C ．M 有最大值，N 有最大值二、多选题9．下列关于复数21iz =-的四个命题，其中为真命题的是（A ．z 的虚部为1C ．z 的共轭复数为1i-+10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口是（）A ．AC AE BF -=BC ．AF AB CB CD⋅=⋅ D 11．有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（）A ．33B ．23CA ．四边形ABCD 的面积为C ．4BO CD ⋅=-10DO DF ⋅=三、填空题13．已知向量(2,a =r 14．若复数(1z m =+________；15．已知ABC ，0P 是边00PB PC P B P C ⋅≥⋅ ．若16．我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为四、解答题(1)用a ，b表示向量AD ， (2)求证：B ，E ，F 三点共线．18．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角(1)求C ；(2)若tan 2tan B a cC c-=，求A ．19．如图，数轴,x y 的交点为由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量得12OP xe ye =+，我们把(指在斜坐标系xOy 中的坐标）(1)若90,OP θ=为单位向量，且(2)若45θ=，点P 的坐标为20．如图所示，在四棱锥P （1）求证：//BC AD ；（2）若M 是线段CE 上一动点，则线段理由．(1)设OBCθ∠=，记铺设的管道总长度为(2)当管道总长取最小值时，求22．数学史上著名的波尔约过相互拼接得到．它由法卡斯两位数学家分别在1833年和形，使它们的全面积都与原平面图形的面积相等：图1、图2），其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分）形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．(1)试比较图1与图2剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；(2)如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图中，并作简要说明．。
安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期期中教学质量检测数学试题+答案
第1⻚/共4⻚合肥⼀中2024—2025学年第⼀学期⾼三年级教学质量检测数学学科试卷时⻓：120分钟分值：150分⼀、单选题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.2.若，则（）A.或 B.或C.D.3.已知函数，则“”是“函数的是奇函数”的（）A 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数在上单调，则a 的取值范围是（）A.B.C.D.5.在中，内⻆A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知的外接圆半径为1，且，则的⾯积是（）A.B. C.1 D.26.已知⼀个正整数，且N 的15次⽅根仍是⼀个整数，则这个数15次⽅根为（）．（参考数据：）A.3B.4C.5D.67.已知函数，，若，使得，则实数a 的取值范围是（）A.B.第2⻚/共4⻚C.D.8.已知正数x ，y 满⾜，则的最⼩值为（）A.1B.2C.3D.4⼆、多项选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知关于x 的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.的最⼤值为 C.的最⼩值为D.的最⼩值为10.如图是函数的部分图象，A 是图象的⼀个最⾼点，D 是图象与y 轴的交点，B ，C 是图象与x 轴的交点，且的⾯积等于，则下列说法正确的是（）A.函数的最⼩正周期为B.函数图象关于直线对称C.函数图象可由的图象向右平移个单位⻓度得到D.函数与在上有2个交点11.已知函数及其导函数的定义域均为R ，若，且是奇函数，令，则下列说法正确的是（）第3⻚/共4⻚A.函数是奇函数B.CD.三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．12.已知幂函数在上单调递减，则______.13.已知，且，则________．14.设函数，下列说法正确的有________．①函数的⼀个周期为；②函数的值域是③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为；④当时，函数的图象与直线有且仅有⼀个公共点．四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．15.已知命题“”为假命题，命题“在上为增函数”为真命题，设实数a 的所有取值构成的集合为A .（1）求集合；（2）设集合，若是必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16.已知函数．（1）若的图象在点处的切线经过点，求；（2）若是的两个不同极值点，且，求实数a 的取值范围．17.已知定义域为的函数满⾜对任意，都有（1）求证：是奇函数；第4⻚/共4⻚（2）当时，．若关于x 的不等在上恒成⽴，求a 的取值范围．18.记的内⻆A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（1）求A 取值的范围；（2）若，求周⻓的最⼤值；（3）若，求的⾯积．19.已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线⽅程；（2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极⼤值还是极⼩值；若不存在，说明理由；（3）讨论函数在上零点的个数.第1⻚/共22⻚合肥⼀中2024—2025学年第⼀学期⾼三年级教学质量检测数学学科试卷时⻓：120分钟分值：150分⼀、单选题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意，将集合化简，再结合交集的运算，即可得到结果.【详解】或，，所以，故选：C 2.若，则（）A.或 B.或C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据，将原式上下同时除以，化简求解即可.【详解】根据题意可知，所以，若，则，与⽭盾故，将其上下同时除以，可得，化简可得，解之得或.故选：B第2⻚/共22⻚3.已知函数，则“”是“函数的是奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由是奇函数确定的取值范围，即可判断.【详解】由为奇函数，可得：，即，即恒成⽴，即恒成⽴，即恒成⽴，解得，所以是函数为奇函数的充分不必要条件.故选：A 4.函数在上单调，则a 的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利⽤导数求得其导函数并使其恒⼤于0，再根据分段函数单调性得出不等式即可.【详解】由题意可知时，，时，；第3⻚/共22⻚⼜因为，所以在上单调递增，因此可得时，恒成⽴，可得，⼜，可得；综上可得a 的取值范围是.故选：D 5.在中，内⻆A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知的外接圆半径为1，且，则的⾯积是（）A.B. C.1 D.2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利⽤余弦定理求出，利⽤三⻆恒等变换求出，再利⽤正弦定理及三⻆形⾯积公式计算得解.【详解】在中，由及余弦定理，得，解得，⼜，则，由，得，整理得，即，两边平⽅得，⼜，，则，即，由正弦定理得，所以的⾯积是.故选：C6.已知⼀个正整数，且N 的15次⽅根仍是⼀个整数，则这个数15次⽅根为（）．（参考数据：）第4⻚/共22⻚A.3B.4C.5D.6【答案】C 【解析】【分析】设这个15次⽅根为，则，利⽤对数的运算性质求即可．【详解】设这个15次⽅根为，则，其中且，故，，,，故，，，由于,故．故选：C ．7.已知函数，，若，使得，则实数a 的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利⽤导函数证明在区间上单调递增，从⽽得出的值域；同理得出的单调区间和值域，由题意可知，这两个函数值域需要有交集，得出不等式组，从⽽得出范围.【详解】，∴时，，∴在区间上单调递增，∴当时，，令，则，令，则，∵，∴时，，∴单调递增，∴，∴在上单调递增，第5⻚/共22⻚∴，由题意可知，∴.故选：B8.已知正数x ，y 满⾜，则的最⼩值为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】应⽤三⻆换元，令，且，结合已知、平⽅关系、和⻆正弦公式得，进⽽有，最后利⽤基本不等式“1”的代换求⽬标式最⼩值.【详解】，由，得，令，且，所以，有，即，故，所以，则，当且仅当，即时取等号，第6⻚/共22⻚所以的最⼩值为1.故选：A【点睛】关键点点睛：根据已知等量关系及三⻆函数的性质，应⽤三⻆换元将已知等式化为是关键.⼆、多项选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知关于x 的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.的最⼤值为 C.的最⼩值为D.的最⼩值为【答案】BC 【解析】【分析】由已知结合⼆次不等式与⼆次⽅程的关系可得，然后结合基本不等式的乘“1”法可判断C ，利⽤向量的性质可求解B ，根据⼆次函数的性质可判断D ．【详解】因为关于的不等式，的解集为,所以，所以，，所以，A 错误；因为，，所以，当且仅当时取等号，故，由于设，由于，故，当且仅当时等号成⽴，故B 正确；第7⻚/共22⻚，当且仅当，即时取等号，C 正确；，当且仅当时取等号，故最⼩值为，D 错误．故选：BC ．10.如图是函数的部分图象，A 是图象的⼀个最⾼点，D 是图象与y 轴的交点，B ，C 是图象与x 轴的交点，且的⾯积等于，则下列说法正确的是（）A.函数的最⼩正周期为B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象可由的图象向右平移个单位⻓度得到D.函数与在上有2个交点【答案】ABC 【解析】【分析】根据部分图像求出的表达式，再由函数图像平移及正弦函数性质可判断各项.【详解】设的最⼩正周期为，第8⻚/共22⻚由图像可知，，即，可得，故A 正确；且，所以，解得，⼜因为图像过点，可得，即，且，可得，所以.对于选项B ：因为，为最⼩值，所以函数的图象关于直线对称，故B 正确；对于选项C ：将的图象向右平移个单位⻓度，得到，所以函数的图象可由的图象向右平移个单位⻓度得到，故C 正确；对于选项D ：注意到，在同⼀坐标系内，分别作出函数与在上的图象，由图象可知：函数与在上有3个交点，故D 错误；故选：ABC.11.已知函数及其导函数的定义域均为R ，若，且是奇第9⻚/共22⻚函数，令，则下列说法正确的是（）A.函数是奇函数B.C.D.【答案】BCD 【解析】【分析】把已知等式中换成，再移项变形可得A 错误；求导令可得，再由是奇函数，再求导可得B 正确；由奇函数的性质得到①，在令，可得，再由已知等式得到④，进⽽得到，然后可得C 正确；由原函数和导函数的奇偶性可得，进⽽可得D 正确；【详解】对于A ，因为，把换成，则，移项化简可得，即，为偶函数，故A 错误；对于B ，由A 中求导可得，令，可得，⼜是奇函数，即，求导可得，即，令，则，所以，故B 正确；对于C ，由B 中可得，①由A 中，②把①中换成可得，③由②③可得，所以:第10⻚/共22⻚故C 正确；对于D ，由B 中，⼜由可得，即，所以所以令可得；令可得；，所以，故D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题C 选项的关键在于理解抽象复合函数求导，原函数为奇函数则导函数为偶函数这⼀性质，再利⽤函数的奇偶性解答.三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．12.已知幂函数在上单调递减，则______.【答案】【解析】【分析】先根据函数是幂函数计算求参得出或，最后结合函数的单调性计算得出符合题意的参数.【详解】由题意可得为幂函数，则，解得或.当时，为增函数，不符合题意；当时，在单调递减，符合题意.故答案为:.第11⻚/共22⻚13.已知，且，则________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利⽤同⻆公式求出，再利⽤和差⻆的余弦公式求出即可.【详解】由，得，，由，得，，由，得，即，则，因此，所以.故答案为：14.设函数，下列说法正确的有________．①函数的⼀个周期为；②函数的值域是③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为；④当时，函数的图象与直线有且仅有⼀个公共点．【答案】①④【解析】【分析】利⽤函数的周期性定义结合余弦函数的周期性可判断①；采⽤三⻆代换，利⽤导数判断函数单调性，利⽤函数单调性求解函数值域，判断②；利⽤，结合两点间距离公式可判断③；结合解，根据解的情况判断④，即得答案.第12⻚/共22⻚【详解】对于①，，，故是函数的⼀个周期，①正确；对于②，，需满⾜，即，令，，则即为，当时，在上单调递增，则；当时，，（，故）此时在上单调递减，则，综上，的值域是，②错误；对于③，由②知，，当时，满⾜此条件下的图象上的点到的距离；当时，,满⾜此条件下的图象上的点到的距离第13⻚/共22⻚，当且仅当且时等号成⽴，⽽时，或，满⾜此条件的x 与⽭盾，即等号取不到，故函数的图象上不存在点，使得其到点的距离为，③错误；对于④，由②的分析可知，则，即，⼜，故当且仅当时，，即当时，函数的图象与直线有且仅有⼀个公共点，④正确．故答案为：①④【点睛】关键点点睛：对于函数，先求出定义域，再采⽤换元法令，，得函数，利⽤单调性求其值域.四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．15.已知命题“”为假命题，命题“在上为增函数”为真命题，设实数a 所有取值构成的集合为A .（1）求集合；（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）或（2）或【解析】第14⻚/共22⻚【分析】（1）由：“，”为假命题时，可转化为关于的⼀元⼆次⽅程⽆解，然后利⽤判别式即可，命题q 可利⽤对勾函数的性质求解，取交集即可得a 的取值范围，则集合A 可求，再结合补集运算可得答案；（2）由是的必要不充分条件可得B，然后分为空集和⾮空集两种情况讨论即可.【⼩问1详解】因为命题为假命题，所以关于的⼀元⼆次⽅程⽆解，即，解得，因为命题q 为真命题，当时，在上为增函数，满⾜题意；当时，结合对勾函数的性质可知在上单调递减，不满⾜题意；故集合，所以或；【⼩问2详解】由是的必要不充分条件，则B，当时，，解得，此时满⾜B，当时，则或，解得或，综上所述，的取值范围是或.16.已知函数．（1）若的图象在点处的切线经过点，求；（2）若是的两个不同极值点，且，求实数a 的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】第15⻚/共22⻚【分析】（1）求出函数的导数，利⽤导数的⼏何意义求出切线⽅程即可求解作答.（2）利⽤极值点的意义，结合⻙达定理、根的判别式列出不等式，求解作答.【⼩问1详解】函数，求导得，则，，于是函数的图象在点处的切线⽅程为，即，⽽切线过点，则，整理可得，解得或，所以或【⼩问2详解】由（1）知，⽅程，即有两个不等实根，则，解得，且，于是，由，得，解得，因此，所以实数的取值范围是.17.已知定义域为的函数满⾜对任意，都有（1）求证：是奇函数；（2）当时，．若关于x 的不等在上恒成⽴，求a 的取值范围．【答案】（1）证明⻅解析第16⻚/共22⻚（2）【解析】【分析】（1）利⽤赋值法，先求出及的值，再证明即可；（2）由题意得，构造函数，得出的奇偶性及在上的单调性，继⽽可得，结合题意可得，令，利⽤导数求出在上的最⼤值即可求解.【⼩问1详解】证明：令，得，即，令，得，即，令，，所以是奇函数.【⼩问2详解】，，且，所以，令，因，所以，则，设，则，所以，因为，所以在上是减函数，第17⻚/共22⻚，所以为偶函数，所以在上恒成⽴，即或，即或（负值，舍去），令，即，，令，解得，所以，，单调递增，所以，所以.故的取值范围是.18.记的内⻆A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（1）求A 取值的范围；（2）若，求周⻓的最⼤值；（3）若，求的⾯积．【答案】（1）；（2）6；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意利⽤正弦定理结合三⻆恒等变换分析可得，在利⽤余弦定理结合基本不等式分析运算即可；（2）由（1）可得，结合基本不等式分析运算；（3）根据题意结合正弦定理可求得，利⽤正弦定理以及⾯积公式分析运算.【⼩问1详解】第18⻚/共22⻚由题设，所以，，⼜，则，根据正弦边⻆关系，易得，则，⼜，则，当且仅当时取等号，所以，结合，可得；【⼩问2详解】由（1）有，⼜，⼜，则，所以，当且仅当取等号，所以周⻓的最⼤值6.【⼩问3详解】由，且，所以，⽽，则，由，显然，故，即，结合，可得，由，⽽，由，整理得，可得（负值舍），第19⻚/共22⻚所以，故.19.已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线⽅程；（2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极⼤值还是极⼩值；若不存在，说明理由；（3）讨论函数在上零点的个数.【答案】（1）；（2）答案⻅解析；（3）答案⻅解析.【解析】【分析】（1）求出、，利⽤点斜式可得出所求切线的⽅程；（2）对实数的取值进⾏分类讨论，分析导数在上的符号变化，由此可得出结论；（3）对实数的取值进⾏分类讨论，分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解】（1）当时，，则，所以，，，所以，曲线在点处的切线⽅程为，即；（2），设，则对任意的恒成⽴，故在上单调递减.所以，，当时，.①若，即时，由零点存在定理可知，存在，使得，第20⻚/共22⻚当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减.所以，在处取得极⼤值，不存在极⼩值；②若，则，对任意的恒成⽴，此时，函数在上单调递增，此时函数⽆极值.综上所述，当时，函数有极⼤值，⽆极⼩值；当时，函数⽆极值；（3）分以下情况讨论：①若，函数在上单调递增，则，此时，函数在上⽆零点；②若，由（2）可知，由零点存在定理可知，存在，使得，且函数在上单调递增，在上单调递减.从⽽有，设，则对任意的恒成⽴，从⽽当增⼤时，也增⼤.（i ）若，此时，此时函数在上单调递减，若，可得或（舍去）.此时函数在上⽆零点；第21⻚/共22⻚若，可得，此时函数在上有且只有⼀个零点.当时，，，此时函数在上只有⼀个零点；（ii ）当时，此时，此时函数在上单调递增，在上单调递减.，，所以，，设，则对任意恒成⽴，所以，函数在上单调递增，所以，，若，即，即，此时函数在上⽆零点；若，即，即时，此时函数在上有且只有⼀个零点.综上所述，当时，函数在上⽆零点；当时，函数在上有且只有⼀个零点.【点睛】⽅法点睛：利⽤导数解决函数零点问题的⽅法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的⽅法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的⼯具作⽤，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应⽤；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；第22⻚/共22⻚（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.。
安徽省合肥一中10-11学年高一数学下学期期中考试【会员独享】
某某一中2010～2011学年第二学期期中考试高一数学试卷一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。
每小题4分，共40分。
） 1. 在ABC ∆中，已知2a =，2b =，45B =︒，则角A =( )A.30︒B.60︒C. 60︒或120︒D.30︒或150︒2.数列{}n a 中，11a =，12,()2nn n a a n N a ++=∈+，则5a =（ ） A.25 B. 13 C. 23 D. 123．方程2640x x -+=的两根的等比中项是（）A ．3B ．2±C ．6±D ．2 4．不等式112x <的解集是 ( ) A ．(,0)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．()(,0)2,-∞⋃+∞5.已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k 等于( ）A. 6B ．7C ．8D ．96.已知在⊿ABC 中，BCb c cos cos =，则此三角形为（ ） A ． 直角三角形 B. 等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形7.若不等式2()0f x ax x c =-->的解集是{}|21x x -<<，则函数()y f x =-的图象是（ ）8．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ）A ．138B ．135C ．95D ．239. 设a 、b ∈R +，且4a b +=，则有（ ）A ．211≥ab B ．111≥+ba C ．2≥abD ．41122≥+b a10. 数列{}n x 满足12531332211-+=⋯=+=+=+n x x x x x x x x n n ，且126n x x x ++⋯+=， 则首项1x 等于（ ）A ．12-nB ．2nC ．621n - D ．26n二、填空题(请把答案填在题中横线上，每小题4分，共16分） 11．函数)3(31>+-=x x x y 的最小值为_____________. 12. 已知数列}{n a 成等差数列，且π41371=++a a a ，则)tan(122a a +＝ 13. 设数列{}n a 为公比1q >的等比数列，若45,a a 是方程24830x x -+=的两根，则67a a +=_________.14. 在ABC ∆中，∠A:∠B=1:2，∠C 的平分线CD 分⊿ACD 与⊿BCD 的面积比是3:2，则cos A =选择题答题卡(请务必把答案填写在答题卡内) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案三、解答题(解答应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤，共44分)15、（本小题满分8分）在锐角ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C 、、的对边，5cos 5A =，310sin 10B =．(1)求cos()A B +的值；(2)若4a =，求ABC ∆的面积．座位号：16（本小题满分8分）已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)证明.111112312<-++-+-+n n a a a a a a17（本小题满分8分）在数列{}n a 中，nn n a a a 22,111+==+（1）设12-=n nn a b ，证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18（本小题满分10分）某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8m ，最大装水量为723m ，池底和池壁的造价分别为2a 元2/m 、a 元2/m ，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？19．（本小题满分10分）如图，在y 轴的正半轴上依次有点 ,,,,21n A A A 其中点)10,0(),1,0(21A A ，且||3||11+-=n n n n A A A A ),4,3,2( =n ，在射线)0(≥=x x y 上依次有点 ,,,,21n B B B 点1B 的坐标为（3，3），且22||||1+=-n n OB OB ),4,3,2( =n ⑴用含n 的式子表示||1+n n A A ； ⑵用含n 的式子表示n n B A ,的坐标； ⑶求四边形n n n n B B A A 11++面积的最大值。
安徽省合肥市2022-2023学年高一下学期期中考试数学含解析
2022~2023学年第二学期期中考试高一年级数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确答案）1.复平面内表示复数1ii z -=的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】化简复数可得1i z =--，即可根据复数的几何意义得出答案.【详解】根据复数的除法运算求解()1i i 1i i 11i i i i 1z --+====--⋅-，所以，复平面内表示该复数的点为()1,1--，所以，复平面内表示复数1iiz -=的点位于第三象限.故选：C.2.平面向量a 与b的夹角为π3，若()2,0,1a b == ，则2a b += （）A.B. C.4D.12【答案】B 【解析】【分析】确定2= a ，计算22224412a b a a b b +=+⋅+=，得到答案.【详解】()2,0a =r ，则2= a ，222π2444421cos 4123a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=，故2a b +=故选：B3.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为（）A.34B.33C.32D.【答案】D 【解析】【分析】由侧面为等边三角形，结合面积公式求解即可..【详解】设底面棱长为2(0)a a >，正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则侧面为等边三角形，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为()()2232442a a ⨯=.故选：D4.定慧禅寺位于江苏省如皋市，是国家AAA 级旅游景区．地处如皋古城东南隅，寺门正对玉带河，东临放生池，西南傍玉莲池，寺院平面布置呈"回"字形，楼堂环绕四周，宝殿坐落中央，形成"水环寺，楼抱殿"独特格局．某同学为测量寺内观音塔的高度MN ，在观音塔的正北方向找到一座建筑物AB ，高约为22.5m ，在地面上点C 处（B ，C ，N 三点共线）测得建筑物顶部A ，观音塔顶部M 30°和45°，在A 处测得观音塔顶部M 的仰角为15°，观音塔的高度约为（）A.32mB.39mC.45mD.55m【答案】C 【解析】【分析】先在Rt ABC △中求出AC 的长度，然后再求出ACM △中CAM ∠，AMC ∠，利用正弦定理求出MC ，最后利用三角函数定义求出MN 的长度.【详解】由题意得，在Rt ABC △中，45sin 30ABAC ==︒，在ACM △中，301545CAM ∠=︒+︒=︒，1804530105ACM ∠=︒-︒-︒=︒，30AMC ∴∠=︒.由正弦定理得，sin sin AC MC AMC CAM =∠∠，得sin 45452sin 30ACMC =⋅︒=︒，在Rt CMN 中，sin 4545MN MC =⋅︒=.故选：C.5.已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为π2，则圆台的高为（）A.23B.15C.4D.32【答案】B 【解析】【分析】首先画出几何体，根据几何关系，求解圆台的高.【详解】如图，将圆台还原为圆锥，上底面圆的半径为r ，下底面圆的半径为3r ，底面圆周长为6πr ，因为圆台的母线长为4，根据上下底面圆的半径为为1：3，所以上圆锥的母线长为2，则圆台所在圆锥的母线长为6，因为圆台展开图所在扇形的圆心角为π2，所以π66π2r ⨯=，得12r =，如图，圆台的高224415h r =-=故选：B6.如图所示，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB mAM = ，(,0)AC nAN m n => ，则14m n+的最小值为（）A.2B.3C.92D.5【答案】C 【解析】【分析】根据向量基本定理及向量共线定理的推论得到122m n+=，再利用基本不等式求出最小值.【详解】若,,C D E 三点共线，FC FD FE λμ=+，则1λμ+=，理由如下：因为,,C D E 三点共线，则有CD xDE =，即()FD FC x FE FD -=- ，即()1FC x FD xFE =+-，故1,x x λμ=+=-，故1λμ+=，其中1()2AO AB AC =+ 22m n AM AN =+ ，M 、O 、N 三点共线，∴122m n+=，∴14145259()()2222222m n n m m n m n m n +=++=++≥+=，当且仅当22n m m n=，即423n m ==时，等号成立．故选：C ．7.ABC 中，已知()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-，设D 是BC 边的中点，且ABC ，则()AB DA DB ⋅+等于()A.2 B.4C.-4D.-2【答案】A 【解析】【分析】根据正、余弦定理求出A ；根据三角形面积公式求出bc ；再根据D 是BC 边的中点，将DA，DB 用AB 和AC表示，再根据数量积的定义，即可求出结果．【详解】∵()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-，∴()()()sin sin sin b c B a c A C +=+-，∴()()()b c b a c a c +=+-，即222b c a bc +-=-，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，又角A 是ABC 的内角，∴23A π=，又1sin 2ABC bc S A ==122bc =⨯，∴4bc =；又D 是BC 边的中点∴()11=()22AB DA DB AB AB AC CB ⎡⎤⋅+⋅-++⎢⎥⎣⎦111()()cos 42222AB AB AC AB AC AB AC bc A ⎡⎤⎛⎫=⋅-++-=-⋅=-⋅=-⨯-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.故选：A ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，同时考查了平面向量基本定理和数量积运算，属中档题．8.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则bc的取值范围为（）A.1,22⎛⎫⎪⎝⎭B.23,32⎛⎫⎪⎝⎭C.34,43⎛⎫⎪⎝⎭D.35,53⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得tan2A,进而求得A 的各个三角函数值，再利用正弦定理边化角求得b c关于C 的函数表达式，根据锐角三角形的条件得到022C A ππ<-<<，利用三角函数的性质求得取值范围即可．【详解】解：△ABC 中2222cos a b c bc A =+-，1sin 2S bc A =，由222()S a b c =--，得sin 22cos bc A bc bc A =-，∴sin 2(1cos )A A =-；即22sincos 4sin 222A A A =，∵sin 02A >，∴1tan 22A =，∴21242tan 3112A ⨯==⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴43sin ,cos 55A A ==，∴sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A Cc C C C C ++====+，∵△ABC 为锐角三角形，∴2A C π+>,∴022C A ππ<-<<，∴140tan tan tan 23C A C π⎛⎫<=-<= ⎪⎝⎭，∴34344325555tan 5535153C <+<⨯+==,∴35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D ．二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多项符合题目要求）9.下列说法中正确的是（）A.平面向量的一个基底{}12,e e 中，1e ，2e一定都是非零向量.B.在平面向量基本定理中，若0a =，则120λλ==.C.若单位向量1e ､2e 的夹角为23π1e 在2e 方向上的投影向量是212e - .D.表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.【答案】ABC 【解析】【分析】由平面向量基本定理，依次判定即可【详解】选项A ：作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此1e ，2e一定都是非零向量，故A 正确；选项B ：12000a e e ==⋅+⋅，由在同一基底下向量分解的唯一性，有120λλ==，故B 正确；选项C ：1e 在2e 方向上的投影向量为：1222212||e e e e e ⋅=-，故C 正确；选项D ：平面内任何两个不共线的向量都可作为基底，因此基底不是唯一的，故D 错误故选：ABC10.已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（）A.若复数3i z =+，则13i 1010z =-.B.复数z 满足2i 1z -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()2221x y +-=.C.若复数1z ，2z 满足12z z =，则120z z ≥.D.复数3i 1z =-+的虚部是1.【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，直接利用复数的除法运算求解，对于B ，利用复数的模求解，对于C ，直接复数的乘法运算求解判断，对于D ，利用虚部的定义判断【详解】对于A ，因为3i z =+，所以113i 3i 3i 3i (3i)(3i)101010z --====-++-，所以A 正确，对于B ，因为z 在复平面内对应的点为(),x y ，所以2i (2)i z x y -=+-，因为2i 1z -=，所以()2221x y +-=，所以B 正确，对于C ，令2i(,)z a b a b R =+∈，因为12z z =，所以1i(,)z a b a b R =-∈，所以()()2212i i 0z z a b a b a b =-+=+≥，所以C 正确，对于D ，复数3i 1z =-+的虚部为3-，所以D 错误，故选：ABC11.对于ABC ，有如下命题，其中正确的有（）.A.若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形B.若ABC 是锐角三角形，则不等式sin cos A B >恒成立C.若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为钝角三角形D.若AB =1AC =.π6B =，则ABC 的面积为2【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，由正弦值相等，得到22A B =或22πA B +=，故A 错误；B 选项，由锐角三角形和正弦函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性进行求解；C 选项，先由正弦定理得到222a b c +<，再使用余弦定理即可求出C 为钝角；D 选项，先用余弦定理得到BC ，进而利用面积公式进行求解.【详解】在ABC ，πA B C ++=，A 选项，∵sin 2sin 2AB =，∴22A B =或22πA B +=，∴A B =或π2A B +=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形，A 错误，B 选项，∵ABC 是锐角三角形，则ππ022B A <-<<，又()sin f x x =在02π⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递增，∴πsin sin()cos 2A B B >-=即sin cos A B >恒成立，B 选项正确，C 选项，∵222sin sin cos 1A B C ++<，∴2222sin sin 1cos sin A B C C +<-=，由正弦定理可得222a b c +<，∴222cos 02a b c C ab+-=<，∴C 为钝角，则ABC 为钝角三角形，C 对，D 选项，∵AB =.1AC =.π6B =，设BC x =，由余弦定理可得2221cos6x π=+-⋅，化为2320x x -+=，解得1x =或2，经检验，均符合要求，则11sin 264ABC S π=⨯=或Δ12sin 262ABC S π=⨯=，D 错误，故选：BC.12.棱长为1的正方体1111A B C D ABCD 中，M 为底面ABCD 的中心，Q 是棱11A D 上一点，且111D Q D A λ=，[]0,1λ∈，N 为线段AQ 的中点，下列命题中正确的是（）A.三棱锥A DMN -的体积与λ的取值无关B.当12λ=时，点Q 到直线AC 的距离是4C.当14λ=时，0AM QM ⋅=D.当13λ=时，过,,A Q M 三点的平面截正方体所得截面的周长为3【答案】ABD 【解析】【分析】根据锥体体积计算、点线距离、线线垂直、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对选项A ：由A DMN N ADM V V --=，因为N 到平面ABCD 的距离为定值12，且ADM △的面积为定值14，所以三棱锥A DMN -的体积跟λ的取值无关，所以A 正确；对选项B ：当12λ=时，Q 是11A D的中点，53,22AQ AC QC =====，59244cos QAC +-∠==，所以QAC ∠为锐角，所以sin QAC ∠==,所以点Q 到直线AC的距离是sin 24AQ QAC ⨯∠==，所以B正确.对选项C ：当14λ=时，134AQ =，可得212AM =，2221192511616AQ AA A Q =+=+=，取11,AD A D 的中点分别为,N E ，连接,EN EM ，则222EM MN EN =+，在直角三角形MEQ 中，222222112112416QM EM EQ ⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22222212921616AM QM AQ ⎛+=+=> ⎪⎝⎭，所以0AM QM ⋅= 不成立，所以C 不正确．对选项D ：当13λ=时，取11113D H D C =uuuu r uuuu r ，连接HC ，则11//HQ AC ，又11//AC AC ，所以//HQ AC ，所以,,,,A M C H Q 共面，即过,,A Q M 三点的正方体的截面为ACHQ ，由3AQCH ===，则ACHQ 是等腰梯形，且111233QH AC ==，所以平面截正方体所得截面的周长为2l ==，所以D 正确；故选：ABD三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于x '轴，底角为45︒，两腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是__________．【答案】8+8+【解析】【分析】根据斜二测画法规则画出原平面图形，即可求出其面积【详解】由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，如图所示：这个平面图形的面积：4(2282⨯++=+故答案为：8+14.已知锐角三角形ABC 内接于单位圆，且BC =ABC 面积的最大值是___________.【答案】12【解析】【分析】由题意可知90BOC ∠=︒，由圆的性质可知45BAC ∠=︒，在ABC 中，使用余弦定理和基本不等式，可得2AB AC ⋅≤+，再根据三角形面积公式1=sin 2ABC S AB AC BAC ⋅∠ ，即可求出结果.【详解】如图，设圆O 的半径为1，因为BC =BOC 是直角三角形，即90BOC ∠=︒，所以角45BAC ∠=︒，由余弦定理可知2222cos 4BC AB AC AB AC π=+-⋅由基本不等式可知(2222cos24AB AC AB AC AB AC π=+-⋅≥-⋅，当且仅当AB AC =时，取等号；所以2AB AC⋅≤=+，又(11=sin=2+=2442ABCS AB AC BAC AC+⋅∠⋅≤⨯.所以ABC的面积的最大值为12.15.根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为4cm，高为10cm，里面注入高为1cm的水，将一个半径为4cm的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为______cm．1.26≈）【答案】1.48【解析】【分析】根据祖暅原理，建立体积等量关系，代入体积运算公式求解即可.【详解】设铁球沉到容器底端时，水面的高度为h，由图2知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积，由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于圆柱的体积，故容器内水的体积等于相应圆台的体积，因为容器内水的体积为2π4116πV=⨯⨯=水，相应圆台的体积为()()()3224π1164ππ44π443333hh h-⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯-=-，所以()34π64π16π33h-=-，解得44421.26 1.48h==-≈-⨯=cm，故答案为：1.4816.已知一个圆台内部的球与圆台的上、下底面以及每条母线均相切，设球与圆台的表面积分别为1S，2S，体积分别为1V，2V，若1247SS=，则12VV=______．【答案】47【解析】【分析】找到球半径与圆台上、下底面半径之间的关系，用1r ，2r 表示出圆台和球的表面积，由条件求出1r ，2r 之间的关系，结合球的体积公式求12V V .【详解】第一步：找到球半径与圆台上、下底面半径之间的关系设圆台的母线长为l ，高为h ，上、下底面圆心分别为1O ，2O ，半径分别为1r ，()212r r r <，球的球心为O ，半径为R ，作出该组合体的轴截面如图所示，连接12O O ，易知点O 为12O O 的中点，则122O O h R ==．设D 为球O 与圆台侧面的一个切点，连接OD ，根据切线长定理可得12l r r =+，（切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等）所以()()()22221122R r r r r +-=+（勾股定理的应用）所以212R r r =，第二步：用1r ，2r 表示出圆台和球的表面积则21124π4πS R r r ==，()()2222212121122πππ2πS r r l r r r r r r =+++=++，（圆台的表面积公式）第三步：根据1247S S =得到1r ，2r 之间的关系故()1121222222112211224π2472πS r r r r S r r r r r r r r ===++++，第四步：求出12V V 所以()()3311222222221122112211224π2443172π3R V r r R V r r r r R r r r r r r r r h ====++++++．故答案为：47.三､解答题（本大题共5小题，共70分）17.已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，,m n 为实数．（1）若1n =，1z 为纯虚数，求12||z z +的值；（2）若()212z z =，求,m n 的值．【答案】(1)12 z z +=(2)m=0,n=-1【解析】【分析】（1）利用复数的运算法则，结合纯虚数的概念，根据模的计算公式即可得出；（2）利用复数的运算法则、复数相等即实部与虚部分别相等可得出最终结果．【详解】（1）因为12z m i =－为纯虚数，所以0m =．又1n =，所以12z i =-，21z i =-，从而1213z z i +=-．因此12z z +==（2）因为()212z z =，所以()221m i ni -=+，即()2212m i nni -=-+．又m ，n 为实数，所以21,22,m n n ⎧=-⎨-=⎩解得0,1.m n =⎧⎨=-⎩【点睛】本题主要考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.18.已知向量()()1,2,4,3a b ==-.（1）若向量//c a，且c = ，求c 的坐标；（2）若向量a kb + 与a kb -互相垂直，求实数k 的值.【答案】（1）()2,4c = 或()2,4c =-- （2）55k =±【解析】【分析】（1）因为//c a r r，所以可以设c a λ= 求出c 坐标，根据模长，可以得到参数λ的方程.（2）由于已知条件()()1,2,4,3a b ==- 可以计算出a kb + 与a kb -坐标（含有参数k ）而两向量垂直，可以得到关于k 的方程，完成本题.【详解】（1）法一:设c a λ=，则222c a λ=，所以()222221λ=+解得2λ=±所以()2,4c =r或()2,4c =--r 法二:设(),c x y =，因为//c a r r ，()1,2a =，所以2x y =，因为c =r，所以2220x y +=解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩，所以()2,4c =r或()2,4c =--r （2）因为向量a kb + 与a kb -互相垂直所以()()0a kb a kb +-= ，即222a k b 0-= 而()1,2a =r ，()4,3b =- ，所以225,25a b == ，因此25250k -=，解得55k =±【点睛】考查了向量的线性表示，引入参数，只要我们能建立起引入参数的方程，则就能计算出所求参数值，从而完成本题.19.如图，一个圆锥的底面半径3cm R =，高4cm H =，在其内部有一个高为cm x 的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上）．（1）求圆锥的侧面积；（2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．【答案】（1）215cm π（2）当2x =时，圆柱的侧面积最大，最大面积为26πcm 【解析】【分析】(1)由条件求圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解；(2)由圆柱的侧面积公式求圆柱的侧面积的表达式，再根据二次函数性质求其最值.【小问1详解】圆锥的母线长为5cm ===L ，所以圆锥的侧面积为23515cm =⋅⋅=⨯⨯=侧S R L πππ．【小问2详解】设圆柱的底面半径为r ，如图可得-=x R r H R ，即343-=x r，得33(04)4=-<<r x x ．所以圆柱的侧面积()223324=(2)4(04)22S r x x x x x πππ⎡⎤=⋅⋅=⋅-+⋅--+<<⎣⎦．所以当2(0,4)x =∈时，S 取得最大值6π．即当2x =时，圆柱的侧面积最大，最大面积为26πcm ．20.在①cos cos a b c B b C +=-cos )sin c A b a C -=，sinsin 2A Bc A +=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且_________．（1）求角C 的大小；（2）若c =，sin sin 4sin sin A B A B +=⋅，求ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）23C π=；（2【解析】【分析】（1）根据所选条件，应用正弦定理边角关系、和角正弦公式、三角形内角性质化简条件得到关于角C 的三角函数值，即可得结果；（2）由已知及正弦定理可得a b ab +=，再由余弦定理有222122a b c ab +-=-，进而求得4ab =，最后应用三角形面积公式求面积.【小问1详解】选①：由正弦定理得：sin sin sin cos sin cos A B C B B C +=-，而sin sin()A B C =+，所以sin sin cos cos sin sin cos sin cos B B C B C C B B C +-+=，整理得：2sin cos sin 0B C B +=，又sin 0B >，可得1cos 2C =-，而0C π<<，则23C π=.cos sin )sin sin C A B A C -=，而sin sin()B A C =+，cos sin cos cos sin )sin sin C A A C A C A C --=，则cos sin sin A C A C =，而sin 0A >，可得tan C =而0C π<<，则23C π=.sin sin sin 2A BA C A +=，而sin 0A >且ABC π+=-，sin()2sin cos 22222C C C C π-==，又022C π<<，所以sin22C =，则23C π=，即23C π=.【小问2详解】由c =，则4sin sin sin a b cA B C ===，故1414,sin sin A a B b==，而sin sin 4sin sin A B A B +=⋅，则11444sin sin A B a b+=+=，可得a b ab +=，又2221cos 22a b c C ab +-==-，整理得22120a b ab ++-=，则22()12()12(4)(3)0a b ab ab ab ab ab +--=--=-+=，可得4ab =，所以ABC的面积为112πsin 4sin 223S ab C ==⨯⨯=.21.如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中,,2AB a B BC π=∠==.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道MN ，且两边是两个关于走道MN 对称的三角形（AMN ∆和A MN '∆）.现考虑方便和绿地最大化原则，要求点M 与点,A B 均不重合，A '落在边BC 上且不与端点,B C 重合，设AMN θ∠=.（1）若3πθ=，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，,AN A N '的长度最短，求此时绿地公共走道MN 的长度.【答案】(1)29a ；(2)23a .【解析】【详解】分析：（1）由题意可得1122BM A M AM ='=，23AM a =，则22329AMN S S a ∆==；（2）由题意可得22aAM A M sin θ='=，由正弦定理有223aAN sin sin πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，记2122362t sin sin sin ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合三角函数的性质可得3πθ=时，t 取最大，AN 最短，则此时23MN AM a ==.详解：（1）由图得：23BMA ππθ∠=-='∴1122BM A M AM ='=，又BM AM a AB +==∴32AM a =∴23AM a =，∴222142223929AMN S S AM sin a a π∆==⋅⋅⋅=⋅=；（2）由图得：()2AM A Mcos AB a πθ-='+=且AM A M ='，∴()212122a a aAM A M cos cos sin πθθθ====+--'，在AMN ∆中，由正弦定理可得:3ANAMsin sin πθπθ=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴22233AMsin aAN sin sin sin θππθθθ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记22222333t sin sin sin sin cos cos sin πππθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2121222262cos cos sin sin θπθθθθθ-⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴262ππθ-=，∴3πθ=时，t 取最大，AN 最短，则此时23MN AM a ==.点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.22.在平面直角坐标系中，已知()23,,8,8,7,0,,,02A t B m m C m t m R t t ⎛⎛⎫---∈≠ ⎪⎭ ⎪⎝⎝⎫⎭．（1）若1,4,t m Р==为x 轴上的一动点，点()1,2'-A ．①当,,A P B '三点共线时，求点P 的坐标；②求PA PB +的最小值﹔（2）若()sin ,0,t θθπ=∈，且CA 与CB 的夹角0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，求m 的取值范围．【答案】（1）①5,02⎛⎫⎪⎝⎭；②5；（2）5m <．【解析】【分析】（1）①设(),0P x ，根据题意，可得,A P A B ''坐标，根据,,A P B '三点共线，可得A P ' 与AB '共线，根据向量共线的坐标运算，即可求得答案；②因为()1,2A 关于x 轴的对称点为()1,2'-A ，所以当,,A P B '三点共线时，PA PB '+取得最小值，代入两点间距离公式，即可得答案.（2）根据题意，求得,CA CB 坐标，根据题意可得0CA CB ⋅>恒成立，根据数量积公式，化简整理，可得()2sin 7sin 16,0,3sin m θθθπθ-+<∈-恒成立，令3sin k θ-=，利用换元法，可得2441k k m k k k++<=++，[2,3)k ∈恒成立，结合对勾函数的性质，即可得答案.【详解】解：（1）①设(),0,1,4P x t m ==，则(4,2)B ，所以()()1,2.3,4A P x A B ''=-= ，因为A P ' 与A B ' 共线所以()416x -=，解得52x =，所以当,,A P B '三点共线时，点P 的坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭②因为()1,2A 关于x 轴的对称点为()1,2'-A 所以AP PB PA PB '+=+，所以当,,A P B '三点共线时，PA PB '+取得最小值，最小值即为5A B '== 所以PA PB +取得最小值5.（2）因为()sin ,0,t θθπ=∈，所以2sin ,sin A θθ⎛⎫ ⎪⎝⎭，第21页/共21页所以23sin 7,,1,8sin 2CA m CB m θθ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为CA 与CB 的夹角0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以0CA CB ⋅> 恒成立，所以32sin 7802sin CA CB m m θθ⎛⎫⋅=+-+-> ⎪⎝⎭，又因为()0,θπ∈，所以sin 0θ>，所以2sin 7sin sin 1630m m θθθ-++->，即()23sin sin 7sin 16m θθθ-<-+恒成立，又因为3sin 0θ->，所以()2sin 7sin 16,0,3sin m θθθπθ-+<∈-恒成立，令3sin k θ-=，则[2,3)k ∈，换元可得2441k k m k k k++<=++，[2,3)k ∈，因为4115k k++≥+=，当且仅当2k =时等号成立，所以当2k =时，41k k ++有最小值5，所以m 的取值范围是：5m <【点睛】解题的关键是熟练掌握向量共线、数量积公式、对勾函数等知识，并灵活应用，易错点为，在应用换元法时，应写出新元的范围，再根据自变量范围，结合对勾函数的性质求解，属中档题。
安徽省高一下学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合或，则（ ） {32},{3A x x B x x =-<<=<-∣∣1}x >()R A B ⋂=ðA ． B ． ][(),32,-∞-⋃+∞()[),32,-∞-⋃+∞C ． D ．()[),31,-∞-⋃+∞[)2,+∞【答案】B【分析】由交集，补集定义可得答案.【详解】由，可得或， {32}A xx =-<<∣{3A x x =≤-R ∣ð2}x ≥所以或. (){3A B xx ⋂=<-R ∣ð2}x ≥故选：B. 2．（ ） ()3i12i i+--=A ． B ．C ．D ．i -5i 14i -1i +【答案】A【分析】运用复数运算法则化简即可. 【详解】由题可知. ()3i12i 3i 112i i i+--=-+-+=-故选：A.3．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） 03x <<2log x a >a A ． B ．C ．D ．()1,8()0,1(]0,1()0,∞+【答案】C【分析】将所求问题转化为真子集求参数问题，结合对数不等式即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件， 03x <<2log x a >所以 ，()0,3()2log ,a +∞所以，解得， 22log 0log 1a ≤=01a <≤故即实数的取值范围是. a (]0,1故选：C.4．打糍粑流行于中国南方地区，如图为一种打糍粑用的石臼，其可看成从正方体的一面挖去一个半球后形成的几何体.若该正方体的棱长为，半球的半径为，石臼的体积为，则（ ）a R 334a a R=A ．B ．CD ．【答案】B【分析】根据正方体内切球及球的体积公式计算可得.【详解】由题可知正方体的体积为，挖去的半球的体积为，3a 323R π所以，即，33323π34a R a -=3312π43a R =所以a R =故选：B.5．已知某圆柱的轴截面的斜二测画法直观图如图所示，分别对应圆柱两底面的直径，,AO BC '，则该圆柱的表面积为（ ） 45AO CO AO C ∠'''===A ．B ．C ．D ．6π4π3π2π【答案】C【分析】根据直观图可得圆柱得底面半径及高，再根据圆柱的表面积公式即可得解. 【详解】作出圆柱的轴截面的原图形，如图，由题可知圆柱的底面半径为12OA =OC =所以该圆柱的表面积为.22ππ3π⨯+=故选：C.6．已知是半径为1的圆上的两个动点，，则的夹角的余弦值为,A B O ||||OA OB OA OB +=⋅ ,OA OB（ ）A B C ．D ．112-【答案】C【分析】将已知条件两边平方，结合数量积定义可解.【详解】由题可知，，设的夹角为.||||1OA OB == ,OA OBθ因为||||OA OB OA OB +=⋅ 所以，即，2222cos OA OB OB OA θ++⋅=2cos 2cos 20θθ--=解得的夹角的余弦值为cos 1θ=1,OA OB1故选：C7．已知函数为正整数，在区间上单调，且，()()sin (f x x ωϕω=+0π)ϕ<<π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭()3ππ2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭则（ ） ϕ=A ．B ．C ．D ．π6π4π32π3【答案】B【分析】由单调区间可知周期范围，进而可得，再由结合正弦函数的对称性可解.ω()3ππ2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】设的最小正周期为.由题可得，故，又为正整数，()f x T 2ππ3π2π42T ω⎛⎫=≥-= ⎪⎝⎭43ω≤ω所以.因为，所以的图象的一条对称轴为直线.所以1ω=()3ππ2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 3ππ5π224x +==，解得.又，所以. 5πππ,42k k ϕ+=+∈Z 3,4k k πϕπ=-∈Z 0πϕ<<π4ϕ=故选：B8．已知奇函数的定义域为，且对任意的且，都有与()f x R ()12,0,x x ∈+∞12x x ≠12x x -同号，若，则（ ）()()2112x f x x f x -()()()0.50.50.50.520.5e 22e ,,e 2e 2f f f a b c --===--A ． B ． C ． D ．a cb <<a bc <<b<c<a b a c <<【答案】D 【分析】令，由题意可知，当时，为增函数，且为偶函数，由于()(),0f x h x x x=≠0x >()h x ()h x ，，，结合函数的单调性即可得解.0.5)0.5e (h a =(e 2)b h =-0.5(2)c h =()h x 【详解】因为对任意的且，都有与同号， ()12,0,x x ∈+∞12x x ≠12x x -()()2112x f x x f x -即与即同号.12x x -()()211212x f x x f x x x -()()1212f x f x x x -令，所以，当时，为增函数. ()(),0f x h x x x=≠0x >()h x 由题可知为奇函数，则， ()f x ()()f x f x -=-因为，所以为偶函数， ()()()()f x f x h x h x x x---===--()h x 由于，，()()0.50.50.50.50.5()20.5e 0.5e 0.5ee0.5ef f a h ===()2e (2e)(e 2)2ef b h h -==-=--，()0.50.50.50.52(2)(2)2f ch h -==-=-因为，即， 0.50.50.50.5e 1,0.5e 0.8e 2,21=<==>=>->0.50.520.5e e 2>>-所以. b a c <<故选：D.二、多选题9．用一个平面去截棱长为1的正方体，则下列结论中正确的是（ ） 1111ABCD A B C D -A．若该平面过点，则截面的周长为61,,A C B B ．若该平面过点，则截得的两个几何体的外接球体积相等 1,,A C B C ．若该平面过点，则截得的两个几何体的表面积均为1,,A D B 3D ．若该平面过点，则其截正方体的外接球所得的截面面积不是定值 1,D B 1111ABCD A B C D -【答案】BC【分析】作出过点的截面直接计算可判断A ；分析两个几何体的外接球和正方体的外接球1,,A C B 的关系可判断B ；直接计算两个几何体的表面积可判断C ；由过的截面过正方体外接球的球心1,D B 可判断D.【详解】若该平面过点，则截面为正三角形，则截面的周长为1,,A C B 1ACB A A 错误；若该平面过点，则截得的两个几何体的外接球均为正方体的外接球， 1,,A C B 1111ABCD A B C D -故外接球体积相等，B 正确；当该平面过点时，截面为，则截得的两个几何体为相同的三棱柱，1,,A D B 11AB C D且三棱柱的表面积均为正确；2212121132⨯+⨯⨯+=若该平面过点，则其过正方体的外接球球心， 1,D B 1111ABCD A B C D -所以截面面积是定值，D 错误. 故选：BC.10．已知向量，则（ ）()()1,2,1,3a b =-=A ．()a ab +∥ B ．的夹角为,a b34πC ．与共线的单位向量ae = D ．在上的投影向量为a b 13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】求出的坐标，再利用共线向量的坐标表示判断A ；求出夹角判断B ；由单位向量的意a b +义判断C ；求出投影向量的坐标判断D 作答.【详解】依题意，，显然，即与不共线，A 错误；()2,1a b += ()112250⨯-⨯-=≠a a b +，又，则的夹角为，B 正确；c os ,a b a a b b =〈⋅=〉=[],0,πab 〈〉∈,a b 34π与共线的单位向量，C 错误；a e =±在上的投影向量为，D 正确. a b313cos ((,422b a bπ⋅==-- 故选：BD11．已知的内角的对边分别为，则使得的ABC A ,,AB C ,,a b c sin ,2Ba b==2c =条件可以为（ ） A ．B ．sin B C =4sin bA =C ． D ．2BC A +=CB CACA⋅=【答案】AD【分析】先利用正弦定理边化角可求得角A.利用正弦定理角化边，结合余弦定理可得c ，然后可判断A ；由求b ，再利用余弦定理求c 可判断B ；利用内角和等于求出角A 可判断C ；根4sin b A =π据数量积定义可得角C ，进而可判断D. 【详解】，所以sin Bb =1=3sin A A=，可得tanA =因为，所以.由，利用正弦定理，可得， 0πA <<π6A =sin B C =b =由余弦定理，可得，解得，故A 正确； 2222cos a b c bc A =+-224)2c c =+-⨯2c =由，可得，又因为，所以是以为顶角的等腰三角形， 4sin b A =π4sin26b ==2a =ABC A C 所以，可得，由正弦定理，可得，解得，故B π6A B ==2π3C =sin sin a c A C =2π2πsin sin 63c=c =错误；由于，又因为，所以，这与矛盾，则这样的三角形不存在，故2B C A +=πA B C ++=π3A =π6A =错误；C由于，所以，所以，故D cos CB CA CB C CA ⋅==cos C =()0,πC ∈π6C =2a c ==正确. 故选：AD12．已知函数，则下列结论中正确的是（ ） ()2πsin2243xf x x x =-+A ．的一个周期为1 ()f x B ．的图象是轴对称图形()f x C ．若恒成立，则实数的取值范围为 ()f x m ≤m [)1,+∞D ．直线与的图象没有公共点 1y =-()f x 【答案】BCD【分析】A.利用周期函数的定义判断；B.利用函数对称性判断；C.由判断；D.由()1f x ≤()1f x >-判断.【详解】依题意，，故1不是的周期，A 错()()()()22ππsin1cos 2212(1)41321x x f x f x x x x ++==≠+-+++()f x 误；而，故是图象的一条对称轴，B 正确； ()22ππsin (1)cos 221(1)2(1)4(1)321x xf x f x x x x --===+---++1x =()f x 二次函数的，2243y x x =-+Δ0<故，且在处取得最小值1， 22430x x -+>2243y x x =-+1x =而在处取得最大值1，故，则正确； sin 2y x π=1x =()1f x ≤1,C m ≥因为，且当时，， πsin12y x =≥-1x =πsin 12y ==又当时，，所以， 1x ≠22431y x x =-+>()1f x >-所以直线与的图象没有公共点，D 正确. 1y =-()f x 故选：BCD三、填空题13．已知复数且其虚部大于0，则实数__________. ()21i z m m =+-m =【答案】/1.895【分析】根据模长公式及虚部大于0，列式求解即得.【详解】,或， =95m =1m =-且， 210m ->所以. 95m =故答案为:.9514．若平面上不共线的四点满足，且，则__________.,,,O A B C 34OA OC OB +=2BC = AB = 【答案】6【分析】由已知利用向量的线性运算得，即可得解.3AB BC =【详解】由已知得.()()330,3OA OB OC OB BA BC AB BC -+-=+=∴=又. ||2,||3||6BC AB BC =∴==故答案为：6. 15．已知函数，记关于的方程的所有实数根的乘积为，若()()ln ex af x a -=∈R x ()e f x =()g a ，则实数的取值范围是__________. ()2231g m m --<m 【答案】()1,3-【分析】求出方程的所有实数根，得到的解析式，然后利用其单调性解不等式即可.()e f x =()g a 【详解】由，得，所以或，故，()e f x =ln 1x a -=1e a x +=1e a -()2e ag a =则函数在上单调递增，又，()g a R ()01g =则，即为，()2231g m m --<()()2230g m m g --<所以，解得的取值范围是. 2230m m --<m ()1,3-故答案为：.()1,3-16．已知在等腰中，，点为边的中点，则在上的投影向量的ABC A 1cos ,38A BC =-=F AC FB FA 长度为__________.【答案】/1.25 54【分析】利用余弦定理求AC ，作出AC 边上的高BD ，由三角函数定义可得AD ，然后根据投影向量的几何意义可得.【详解】如图，由题可知.设，由余弦定理可得，解得. AB AC =AB AC x ==22223128x x x +-=-2x =作AC 边上的高BD ，因为，所以，1cos 8BAC ∠=-1cos 8BAD ∠=所以，11cos 284AD AB BAD =∠=⨯=由投影向量的几何意义可知，投影向量的长度为. 15144DF AF AD =+=+=故答案为：. 54四、解答题17．油纸伞是世界上最早的雨伞，是中国古人智慧的结晶.它以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面.伞面可近似看成圆锥形.若某种油纸伞的伞面下边沿所在圆的半径为，顶点到下边沿上任一点的长度为.90cm 100cm(1)若将该伞的伞面沿一条母线剪开，展开后所得扇形的圆心角为多少弧度？(2)若伞面的内外表面需要各刷1次桐油，每平方米需要刷桐油，则刷一个这样的油纸伞需要πkg 30多少千克桐油？（参考数据：） 2π9.9≈【答案】(1) 9π5(2) 0.594【分析】（1）求出扇形的弧长，再根据弧长公式即可得解； （2）求出圆锥的侧面积，进而可求出答案.【详解】（1）由题可知圆锥的底面周长为， ()2π90180πcm ⨯=所以展开后所得扇形的圆心角为； ()180π9πrad 1005=（2）由题可知圆锥的侧面积，()212π901009000πcm 2S =⨯⨯⨯=所以刷一个这样的油纸伞需要桐油. ()42π29000π100.06π0.069.90.594kg 30-⨯⨯⨯=≈⨯=18．已知在复平面内表示复数的点为.()()22234i z m m m m =--++-Z (1)若点在函数的图象上，求实数的值；Z 26y x =--m (2)若为坐标原点，点A 在轴的正半轴上，且向量与的夹角为钝角，求实数的取值范O x OZ OAm 围.【答案】(1)或 1m =-23m =(2) ()()1,11,2-⋃【分析】（1）将点Z 的坐标代入函数求解即可； 26y x =--（2）根据题意可知，点Z 在第二、三象限，据此列不等式求解即可.【详解】（1）由题可知，复数在复平面内对应的点的坐标为.z ()222,34m m m m --+-又该点位于函数的图象上，26y x =--所以，()2234226m m m m +-=----即， 2320m m +-=解得或. 1m =-23m =（2）由题可知，点在第二象限或第三象限， Z 所以且，220m m --<2340m m +-≠即且且，12m -<<4m ≠-1m ≠所以的取值范围为.m ()()1,11,2-⋃19．已知中角的对边分别为，且. ABC A ,,A B C ,,a b c π4πsin cos cos sin 33C B C B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求；A (2)若，求的周长的最小值.16bc =ABC A 【答案】(1)π3(2)12【分析】（1）由，利用诱导公式和两角和与差的三角函数求π4πsin cos cos sin 33C B C B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解；（2）由，利用余弦定理得到，利用基16bc =a =a b c b c ++=+本不等式求解.【详解】（1）∵， π4πsin cos cos sin 33C B C B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ππsin cos cos sin 033C B C B ⎛⎫⎛⎫∴+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. πsin 03B C ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭， 0πB C <+< . ππ4π333B C ∴<++<，即. ππ3B C ∴++=2π3B C +=. π3A ∴=（2），16bc = 由余弦定理，可得，∴22222222cos 16a b c bc A b c bc b c =+-=+-=+-a ∴==a b c b c ∴++=+≥，8=12=当且仅当时，等号成立.4b c ==故的周长的最小值为12.ABC A 20．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且的图()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭π2()f x象经过点.3π2⎛ ⎝(1)求的解析式；()f x(2)设函数，若在区间上的取值范围是，求实数()()22g x f x x x =()g x π,8m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,1的取值范围.m 【答案】(1) ()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2) π3π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据题意可得函数的最小正周期，即可求出，再利用待定系数法求出即可； ωϕ（2）根据根据三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的性质结合整体思想即可得()g x 解.【详解】（1）由题可知的最小正周期，则， ()f x π2π2T =⨯=2ω=因为的图象经过点，()f x 3π2⎛ ⎝所以， 3π3πsin 222f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin ϕ=因为，所以， π2ϕ<π4ϕ=-所以； ()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）()()22g x f x x x =πsin 24x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭x x x =x x =， πsin 24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，可得， π,8x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ20,244x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦若在区间上的取值范围是， ()g x π,8m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,1则， ππ224m π≤+≤解得， π3π88m ≤≤所以实数的取值范围是. m π3π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦21．如图，在四边形中，OABC ()()212,,01,3OA CB BM BA CP xCB x BA BC BO BA BC BO ===≤≤⋅+=+⋅(1)证明；:OA OC ⊥(2)设，求的最大值，并求取得最大值时的值为多少.OM CA OP λμ=+ λμ⋅λμ⋅x 【答案】(1)证明见解析 (2)，0 89【分析】（1）由题中条件，结合向量的线性运算及数量积运算可得，即可得证；0OC OA ⋅= （2）依题意，可知，，又2133AM OC OA =- 2233OM OA OC =+ 2x CP OA = ，由平面向量基本定理可得的方程组，进而得出()2x OM CA OP OA OC μλμλμλ⎛⎫=+=++- ⎪⎝⎭ ,λμ的解析式，利用二次函数的性质求最值即可.λμ⋅【详解】（1）， ()2BA BC BO BA BC BO ⋅+=+⋅ 20BA BC BC BO BO BA BO ∴⋅-⋅+-⋅= 即， ()()0BC BA BO BO BA BO ⋅--⋅-= 得，， 0BC OA BO OA ⋅-⋅= ()0BC BO OA -⋅= 得，.0OC OA ⋅= OA OC ∴⊥（2）依题意， 12,23CB OA AM AB == ， ()()2222122133333333AM OB OA OC CB OA OC OA OA OC OA ∴=-=+-=+-=- 由题可知. 21223333OM OA AM OA OC OA OA OC =+=+-=+，. ()2,01OA CB CP xCB x ==≤≤ 2x CP OA ∴= ， ()()()2x OM CA OP OA OC OC CP OA OC μλμλμλμλ⎛⎫∴=+=-++=++- ⎪⎝⎭ 又不共线，即 ,OA OC 2,232,3x μλμλ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩()8,322.3x μλμ⎧=⎪+⎪⎨⎪=-⎪⎩， 2211339λμμμμ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 8401,93x μ≤≤∴≤≤ 当时，取得最大值，且最大值为，此时. ∴43μ=λμ⋅890x =22．已知函数是偶函数.()()2log 4x f x a x =+-(1)求实数的值；a (2)求方程的实根的个数；()1f x x -=(3)若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围.()()2f xg x =()()12xh x n n =--n【答案】(1)1a =(2)1 (3) {{2}2nn >⋃--∣【分析】（1）利用偶函数的定义求解； （2），结合函数在上的单调性与值域求解； ()21log 14x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭21log 14x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R （3）令，可得．令，，所以()()h x g x =()11222x x x n n --=+2x t =()0,t ∈+∞()2210n t nt ---=，令函数，结合二次函数的性质求解.()()221s t n t nt =---【详解】（1）因为函数是偶函数，()()2log 4x f x a x =+-所以，即， ()()=f x f x -()()22log 4log 4x x a x a x -+-=++也即， ()()222log 4log 41log 4x x x a x a x +-=⋅+-+，()()22log 4log 41x x a a +=⋅+，. 441x x a a +=⋅+()()1410x a --=因为对定义域内的任意上式恒成立，所以.x 1a =（2）由（1）可知的解析式为. ()f x ()()221log 41log 22x x x f x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭所以. ()2211log 2log 124x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为函数在上单调递减， 21log 14x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R 又，所以函数在上的值域为. 104x >21log 14x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R ()0,∞+所以方程的实根的个数为1.()1f x x -=（3）由题可知. ()122x xg x =+由，可得. ()()h x g x =()11222x x xn n --=+令，则.2x t =()0,t ∈+∞所以可化为. ()11222x x x n n --=+()2210n t nt ---=令函数.()()221s t n t nt =---当，即时，，舍去. 20n -=2n =1210,2t t --==-当，即时，的图象开口向上，20n ->2n >()s t 因为，所以一定存在唯一的正根，符合题意. ()010s =-<()s t 当，即时，的图象开口向下，20n -<2n <()s t 因为，()010s =-<令，解得.()2Δ420n n =+-=2n =-±又，所以对称轴，所以（舍去）或. 0t >()022n t n =>-2n >0n <所以2n =--综上，实数的取值范围是. n {{2}2n n >⋃--∣。
安徽省合肥高一数学下学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年安徽省合肥一中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC中，一定成立的等式是（）A．asinA=bsinB B．acosA=bcosB C．asinB=bsinA D．acosB=bcosA 2．等差数列{a n}中，a4+a5+a6=36，则a1+a9=（）A．12 B．18 C．24 D．363．以下列函数中，最小值为2的是（）A．y=x+B．y=3x+3﹣xC．y=1gx+（0＜x＜1）D．y=sinx+（0＜x＜）4．已知变量x、y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值是（）A．﹣B．4 C．﹣4 D．﹣85．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A． B．2 C．2D．46．若数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N+），则该数列的前10项的乘积a1•a2•a3…a10等于（）A．3 B．1 C．D．7．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），则关于x的不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）8．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，a=7，b=14，A=30°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解10．已知数列{a n} 满足{a n}=，若对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，） D．（，1）11．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定12．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A． B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在锐角△ABC中，a=3，b=4，S△ABC=3，则角C= ．14．已知数列{a n}为等比数列，前n项和为S n，且a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q= ．15．对于任意的实数m∈[0，1]，mx2﹣2x﹣m≥2，则x的取值范围是．16．把正整数排成如图（a）的三角形阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图（b）三角形阵，现将图（b）中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{a n}，若a k=2017，则k= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知a＜0，解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x﹣1＞0．18．设数列{a n}的前n项和S n满足：S n=n2，等比数列{b n}满足：b2=2，b5=16（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．19．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，己知c﹣b=2bcosA．（1）若a=2，b=3，求c；（2）若C=，求角B．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=S n．求证：（1）数列{}成等比；（2）S n+1=4a n．21．滨湖区拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区城ABC为主题活动区，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12m；AD、CD为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC=120°，通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休憩．（1）求AC的长度；（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，求L的最大值．22．已知数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2，n∈N）．（1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设c n=a n sin，数列{c n}的前n项和为T n．求证：对任意的n∈N*，T n＜．2015-2016学年安徽省合肥一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC中，一定成立的等式是（）A．asinA=bsinB B．acosA=bcosB C．asinB=bsinA D．acosB=bcosA 【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理表示出a，b，sinA及sinB的关系式，变形后即可得到答案C一定正确．【解答】解：根据正弦定理得：=，即asinB=bsinA．故选C2．等差数列{a n}中，a4+a5+a6=36，则a1+a9=（）A．12 B．18 C．24 D．36【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列{a n}中，当p+q=2m时，a p+a q=2a m，即可算出正确的结论．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a4+a5+a6=3a5=36，∴a5=12；∴a1+a9=2a5=24．故选：C．3．以下列函数中，最小值为2的是（）A．y=x+B．y=3x+3﹣xC．y=1gx+（0＜x＜1）D．y=sinx+（0＜x＜）【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式求最值的形式，逐个选项验证“一正，二定，三相等”即可．【解答】解：A中不满足x＞0；B中，y=3x+3﹣x≥2，当且仅当3x=3﹣x即x=0时取等号；C中，因为0＜x＜1，故lgx＜0，不满足条件；D中，因为0＜sinx＜1，故“=”取不到；故选：B．4．已知变量x、y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值是（）A．﹣B．4 C．﹣4 D．﹣8【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，2），化目标函数z=x﹣3y为，由图可知，当直线过A（﹣2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2﹣3×2=﹣8．故选：D．5．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A． B．2 C．2D．4【考点】基本不等式．【分析】由+=，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值【解答】解：∵+=，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b=2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．6．若数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N+），则该数列的前10项的乘积a1•a2•a3…a10等于（）A．3 B．1 C．D．【考点】数列递推式．【分析】可判断数列{a n}的周期为4，从而求得．【解答】解：∵a1=，a n+1=，∴a2==3，a3==﹣2，a4=﹣，a5=，故数列{a n}的周期为4，∵a1•a2•a3•a4=1，∴a1•a2•a3…a10=a1•a2=，故选C．7．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），则关于x的不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）【考点】一元二次不等式的应用．【分析】利用不等式的解集与方程根的关系，求出a，b的值，即可求得不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），∴﹣1，2是ax2+bx+2=0（a＜0）的两根∴∴a=﹣1，b=1∴不等式bx2﹣ax﹣2＞0为x2+x﹣2＞0，∴x＜﹣2或x＞1故选B．8．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】利用的等差数列的前n项和公式将已知数列的通项化简，利用裂项求和的方法求出数列的前n项和．【解答】解：∵所以数列的前n项和为==故选B9．在△ABC中，a=7，b=14，A=30°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理及已知可求sinB=1，结合B的范围可求B为直角，即可判断此三角形的解的情况．【解答】解：∵在△ABC中，a=7，b=14，A=30°，∴由正弦定理，得：sinB===1，∴由B∈（0，180°），可得：B=90°，∴C=180°﹣A﹣B=60°，∴此三角形有一解．故选：A．10．已知数列{a n} 满足{a n}=，若对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，） D．（，1）【考点】数列的函数特性．【分析】对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，可知：数列{a n}单调递减，可得0＜a＜1．再分类讨论即可得出．【解答】解：∵对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，∴数列{a n}单调递减，可知0＜a＜1．①当时，n＞8，单调递减，而（n≤8）单调递减，∴，解得，因此．②当时，n＞8，单调递增，应舍去．综上可知：实数a的取值范围是．故选D．11．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定【考点】余弦定理．【分析】先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．【解答】解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．而（a+x）2+（b+x）2﹣（c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A12．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A． B． C．D．【考点】数列的应用．【分析】设{a n}的公比为q（q＞0），由等比数列的通项公式化简a7=a6+2a5，求出q，代入a m a n=16a12化简得m，n的关系式，由“1”的代换和基本不等式求出式子的范围，验证等号成立的条件，由m、n的值求出式子的最小值．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），因为a m a n=16a12，所（a1q m﹣1）（a1q n﹣1）=16a12，则q m+n﹣2=16，解得m+n=6，+=×（m+n）×（+）=×（17++）≥×（17+2）=，当且仅当=，解得：m=，n=，因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到， +＞，验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为．故答案选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在锐角△ABC中，a=3，b=4，S△ABC=3，则角C= ．【考点】正弦定理．【分析】利用三角形面积公式求得sinC，进而求得C．【解答】解：∵S△ABC=a•b•sinC=•3•4•sinC=3，∴sinC=，∵△ABC为锐角三角形，∴C=．故答案为：14．已知数列{a n}为等比数列，前n项和为S n，且a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q= 3 ．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】已知两式相减结合等比数列的求和公式可得．【解答】解：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，∴两式相减可得a6﹣a5=2（S5﹣S4），∴a6﹣a5=2a5，∴a6=3a5，∴公比q==3故答案为：3．15．对于任意的实数m∈[0，1]，mx2﹣2x﹣m≥2，则x的取值范围是（﹣∞，﹣1] ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】不等式mx2﹣2x﹣m≥2化为mx2﹣2x﹣m﹣2≥0，设函数f（x）=mx2﹣2x﹣m﹣2，对于m∈[0，1]时f（x）≥0恒成立，转化为g（m）=（x2﹣1）m﹣2x﹣2在区间[0，1]上的最小值大于或等于0；讨论一次项系数x2﹣1的取值，求出g（m）的最小值，列出不等式即可求出x的取值范围．【解答】解：不等式mx2﹣2x﹣m≥2可化为mx2﹣2x﹣m﹣2≥0，函数f（x）=mx2﹣2x﹣m﹣2，则f（x）=（x2﹣1）m﹣2x﹣2对于m∈[0，1]时，f（x）≥0恒成立，即不等式（x2﹣1）m﹣2x﹣2≥0恒成立；令g（m）=（x2﹣1）m﹣2x﹣2，则函数g（m）在区间[0，1]上的最小值大于或等于0；因为函数g（m）的一次项系数为x2﹣1，当x2﹣1=0时，x=±1，且x=1时，g（m）=﹣4不合题意；x=﹣1时，g（m）=0满足题意；当x2﹣1＞0时，有x＞1或x＜﹣1，函数g（m）在区间[0，1]上单调递增，g（m）的最小值是g（0）=﹣2x﹣2≥0，解得x≤﹣1，应取x＜﹣1；当x2﹣1＜0时，有﹣1＜x＜1，函数g（m）在区间[0，1]上单调递减，g（m）的最小值是g（1）=x2﹣2x﹣3≥0，解得x≤﹣1或x≥3，此时x不存在；综上，x的取值范围是x≤﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1]．16．把正整数排成如图（a）的三角形阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图（b）三角形阵，现将图（b）中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{a n}，若a k=2017，则k= 1031 ．【考点】归纳推理．【分析】由题意可以得出，图1中第n行有2n﹣1个数，且每行的最后一个数恰好是行号的平方，由此可以确定出a k=2017在图a中的位置，图b中每行的数字数等于行号，由此可以计算出前n行共有多少个数字，结合图a即可求出2017在图b中的位置，从而得出k 的值．【解答】解：由题意，图a中第n行有2n﹣1个数，前n行有n×=n×n=n2个数，图b知各行数字个数等于行数，故前n行共有n×=，∵图a每行的最后一个数恰好是行号的平方，45×45=2025，故2017是第45行倒数第9个数，由图b知各行数字个数等于行数，故前45行共有45×=1035，由于最后一个数是奇数，按图b规则知，2017是第45行倒数第5个数，故k=1035﹣4=1031，故答案为：1031．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知a＜0，解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x﹣1＞0．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】对a分类讨论，先判断其相应方程的解集的情况，再把二次项的系数变为大于0，进而可求出不等式的解集．【解答】解：原不等式可化为（ax+1）（x﹣1）＞0，∵a＜0，∴（x+）（x﹣1）＜0，且不等式对应方程的两个实数根为﹣和1；当﹣1＜a＜0时，﹣＞1，不等式的解集为{x|1＜x＜﹣}；当a=﹣1时，﹣=1，不等式为（x﹣1）2＜0，其解集为∅；当a＜﹣1时，﹣＜1，不等式的解集为{x|﹣＜x＜1}．18．设数列{a n}的前n项和S n满足：S n=n2，等比数列{b n}满足：b2=2，b5=16（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由数列的通项和前n项和的关系，可得an的通项，由等比数列的通项可得；（2）由错位相减法，可得数列{a n b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）{a n}的前n项和S n满足：S n=n2，n=1时，a1=S1=1，n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，n=1也成立．故a n=2n﹣1，等比数列{b n}满足：b2=2，b5=16，q3==8，解得q=2．则有b n=b2q n﹣2=2n﹣1；（2）前n项和T n=1•1+3•2+5•4+7•8+…+（2n﹣1）•2n﹣1，2T n=1•2+3•4+5•8+7•16+…+（2n﹣1）•2n，两式相减．得﹣T n=1+2•2+2•4+2•8+2•16+…+2•2n﹣1﹣（2n﹣1）•2n，即有﹣T n=1+﹣（2n﹣1）•2n，则有．19．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，己知c﹣b=2bcosA．（1）若a=2，b=3，求c；（2）若C=，求角B．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由余弦定理化简已知等式，整理可得：a2=b2+bc，代入已知即可解得c的值．（2）由题意A+B=，可得sinA=cosB，cosA=sinB，由正弦定理化简已知等式可得：2sin2B+sinB﹣1=0，解得sinB，即可求B=．【解答】解：（1）∵c﹣b=2bcosA．∴由余弦定理可得：c﹣b=2b×，整理可得：a2=b2+bc，∵a=2，b=3，∴24=9+3c，解得：c=5．（2）∵C=，∴A+B=，可得sinA=cosB，cosA=sinB，∴c﹣b=2bcosA，由正弦定理可得：sin（A+B）=2sinBcosA+sinB，可得：sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA+sinB，解得：cos2B+sin2B=2sin2B+sinB=1，即：2sin2B+sinB﹣1=0，可得：sinB=或﹣1（舍去）．即B=．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=S n．求证：（1）数列{}成等比；（2）S n+1=4a n．【考点】数列递推式；等比关系的确定．【分析】（1）由a n+1=S n，知S n﹣S n﹣1=﹣，从而=，进而，（n≥2），由此能证明{}是首项为1，公比为2的等比数列．（2）由（1）可知S n=n•2n﹣1，a n=（n+1）•2n﹣2．由此能证明S n+1=（n+1）•2n=4a n．【解答】证明：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=S n，∴S n=，S n﹣1=，n≥2∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣，即2n×=，∵n≠0，∴=，∴，（n≥2）即： =2，n=1时， ==1，∴{}是首项为1，公比为2的等比数列．（2）∵{}是首项为1，公比为2的等比数列，∴=2n﹣1，∴S n=n•2n﹣1，∴a n+1=S n==（n+2）•2n﹣1，∴a n=（n+1）•2n﹣2．∴S n+1=（n+1）•2n=4a n．21．滨湖区拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区城ABC为主题活动区，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12m；AD、CD为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC=120°，通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休憩．（1）求AC的长度；（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，求L的最大值．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）利用正弦定理，求AC的长度．（2）求出AD，CD，可得出L关于θ的关系式，化简后求L的最大值．【解答】解：（1）由已知由正弦定理，得，又∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12cm，所以AC==24m．（2）因为∠ADC=120°∠CAD=θ，∠ACD=60°﹣θ，在△ADC中，由正弦定理得到，所以L=CD+AD=16 [sin（60°﹣θ）+sinθ]=16 [sin60°cosθ﹣cos60°sinθ+sinθ]=16sin（60°+θ），因0°＜θ＜60°，当θ=30°时，L取到最大值 16m．22．已知数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2，n∈N）．（1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设c n=a n sin，数列{c n}的前n项和为T n．求证：对任意的n∈N*，T n＜．【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和．【分析】（1）根据题意，对进行变形可得，从而证得结论；（2）根据（1）求出数列a n，从而求得b n，利用分组求和法即可求得结果；（3）首先确定出数列{c n}的通项公式，利用放缩的思想将数列的每一项进行放缩，转化为特殊数列的求和问题达到证明不等式的目的．【解答】解：（1）∵，∴，又∵，∴数列是首项为3，公比为﹣2的等比数列．（2）依（1）的结论有，即．b n=（3•2n﹣1+1）2=9•4n﹣1+6•2n﹣1+1．．（3）∵，∴．当n≥3时，则＜=．∵T1＜T2＜T3，∴对任意的n∈N*，．。
合肥第二学期期中考试高一数学试题-教育文档
合肥2019年第二学期期中考试高一数学试题第二学期期中考试高一数学试题是查字典数学网为您整理的考试资讯，请您详细阅读!一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、数列2，5，8，11，，则23是这个数列的( )A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项2、已知△ABC中，a=4，b=43，A=30，则B等于 ( ).A、60 B.60或120 C.30 D.30或1503、等差数列中，已知前15项的和，则等于( ).A. B.12C. D.64、在△ABC中，若则的值为( )A、 B、 C、 D、5、已知数列{an}首项为1，且满足，那么an等于 ()A、 B、 C、 D、6、已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若asinAsinB+bcos2A=2a，则ba的值为()A.23B.22C.3D.27、等差数列{an}中a10，S5=S8，则当Sn取最大值时n的值是()A.6B.7C.6或7D.不存在8、如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45和30，已知CD=100米，点C位于BD上，则山高AB 等于( )A.100米B. 米C. 米D. 米9、定义：称np1+p2++pn为n个正数p1，p2，，pn的均倒数，若数列{an}的前n项的均倒数为12n-1，则数列{an}的通项公式为()A.2n-1B.4n-3C. 4n-1D.4n-510、已知数列，，它们的前项和分别为，，记 ( )，则数列的前10项和为( )A、 B、 C、 D、二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11、2-1与2+1的等比中项是________.12、在△ABC中，若，C=150，BC=1，则AB=______.13、已知是数列的前项和，若，则的值为14、三角形一边长为14，它对的角为60，另两边之比为8：5，则此三角形面积为_ ___.15、等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a11，a99a100-10，a99-1a100-10.给出下列结论：①0三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16、(本小题满分12分)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边长，已知a2-c2=b2-bc，求：(1)角A的大小; (2)若，求的大小.17、(本题共12分)已知是等差数列的前项和，满足 ; 是数列的前项和，满足：。
2023-2024学年合肥市一中高一数学(下)期中考试卷附答案解析
2023-2024学年合肥市一中高一数学（下）期中考试卷（考试时间：150分钟满分：120分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足()2i i z -=（i 是虚数单位），则在复平面内z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C =（）A ．23-B ．14-C ．13-D ．143．非零向量a ，b 满足2a b a b +=- ，若a b = ，则a ，b 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的侧面积为（）A ．B ．4πC ．D ．8π5．圆台上底面半径为2cm ，下底面半径为4cm ，母线8cm AB =，A 在上底面上，B 在下底面上，从AB 中点M 拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B 点，则绳子最短距离为（）cm A ．10B ．12C ．16D ．206．安徽省肥西县紫蓬山风景秀丽，紫蓬山山顶有座塔.某同学为了测量塔高，他在地面C 处时测得塔底B 在东偏北45︒的方向上，向正东方向行走50米后到达D 处，测得塔底B 在东偏北75︒的方向上，此时测得塔顶A 的仰角为45︒，则塔顶A 离地面的高度AB 为（）A ．米B ．50米C ．25+米D ．50米7．已知直角ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，I 是ABC 的内心，P 是IBC 内部（不含边界）的动点，若(),AP AB AC λμλμ=+∈R，则λμ+的取值范围为（）A ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．17,212⎛⎫⎪⎝⎭C ．7,112⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭8．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知1AB =，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（）A B ．该半正多面体过A ，B ，C 三点的截面面积为334C ．该半正多面体外接球的表面积为8πD ．该半正多面体的表面积为6+二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．如图，A B C ''' 是水平放置的ABC 的斜二测直观图，其中2O C O A O B ''''''==，2O B ''=.则以下正确的有（）A ．4OA =B ．ABC 是等腰直角三角形C ．4OB =D ．ABC 的面积为810．已知平面向量()2,3a =-r，()2,1b = ，则（）A ．()2a b b⊥-B ．a 与b可作为一组基底向量C ．a 与bD ．a 在b方向上的投影向量的坐标为21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知a ，b ，c 分别是ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，其中正确的命题有（）A ．已知60A ∠=︒，4b =，2c =，则ABC 有两解B ．若90A ∠=︒，3b =，4c =，ABC 内有一点P 使得PA ，PB ，PC两两夹角为120︒，则22230PA PB PC ++= C ．若90A ∠=︒，1b =，c =ABC 内有一点P 使得PA 与PB 夹角为90︒，PA 与PC夹角为120︒，则3tan 4PAC ∠=D ．已知60A ∠=︒，4b =，设a t =，若ABC 是钝角三角形，则t 的取值范围是()()4+∞ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r 的半圆，且该圆锥的体积为3π，则r =.13．甲船在B 岛的正南方向A 处，10AB =千米，甲船以4千米/小时的速度向正北方向航行，同时，乙船自B 岛出发以6千米/小时的速度向北偏东60︒的方向驶去，航行时间不超过2.5小时，则当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是小时.14．如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域ABCD 市民健身用地，为提高安全性，拟在点A 处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角PAQ ∠始终为45︒（其中P ，Q 分别在边BC ，CD 上），则AP AQ ⋅的取值范围.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图所示，底面边长为P ABCD -被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥1111P A B C D -.(1)求棱台1111A B C D ABCD -的体积；(2)求棱台1111A B C D ABCD -的表面积.16．如图，在ABC 中，已知2,4,60AB AC BAC ==∠=︒，M 是BC 的中点，N 是AC 上的点，且,,AN xAC AM BN=uuu r uuu r 相交于点P ．设,AB a AC b ==.(1)若13x =，试用向量,a b表示,AM PN uuu r uuu r ;(2)若AM PN ⊥，求实数x 的值．17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin C C a =，b =(1)求角B ；(2)若2a c +=，求边AC 上的角平分线BD 长；(3)求边AC 上的中线BE 的取值范围.18．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin sin cos sin cos sin sin a A a C B b C A b B c A ++=+.(1)若2a =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的周长的取值范围；(2)若2b ac =，且外接圆半径为2，圆心为O ，P 为圆O 上的一动点，试求PA PB ⋅的取值范围.19．现定义“n 维形态复数n z ”：cos isin n z n n θθ=+，其中i 为虚数单位，*n ∈N ，0θ≠.(1)当π4θ=时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求πsin 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(3)若正整数m ，()1,2n m n >>，满足1m z z =，2n m z z =，证明：存在有理数q ，使得12m q n q =⋅+-.1．B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ,求出复数z 在复平面内对应的点的坐标即可．【详解】由()2i i z -=,得()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55z +===-+--+,∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限．故选:B ．2．B【分析】根据正弦定理及余弦定理求解.【详解】由正弦定理可知，::2:3:4a b c =，设2,3,4a k b k c k ===，则22222213161cos 2124a b c k k C ab k +--===-.故选：B 3．B【分析】由题意利用求向量的模的方法，求得22a b b ⋅= ，从而利用向量的夹角公式求解即可.【详解】∵非零向量a ，b满足2a b a b +=- ，且a b = ，设a ，b的夹角为θ，则2222244a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，且22a b = ，所以22a b b ⋅= .∴22112cos 2b a b a b bθ⋅===⋅ .∵[]0,πθ∈，∴π3θ=.故选:B ．4．C【分析】根据正三角形绕一边所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥,根据圆锥的侧面积公式求解．【详解】如图，正三角形ABC 绕AB 所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥，底面半径3r =母线长2l =,由圆锥的侧面积公式可得该几何体的侧面积为2π3243π⨯=.故选:C.5．D【分析】由题意需先画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则所求的最短距离是平面图形两点连线，根据条件求出扇形的圆心角以及半径长，再求出最短的距离．【详解】画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为O ,由图得：所求的最短距离是MB '，设OA R =，圆心角是α，则由题意知，4πR α=①，()8π8R α=+②，由①②解得，π,82R α==，∴12,16OM OB '==，则22121620cm MB '=+=．则则绳子最短距离为20cm ．故选:D ．6．A【分析】设塔高为h 米，利用仰角的正切表示出BD h =，在BCD △中利用正弦定理列方程求得h 的值.【详解】设雷锋塔AB 的高度为h 米,在地面C 处时测得塔顶A 在东偏北45︒的方向上，45BCD ∠=︒,测得塔顶A 在东偏北75︒的方向上,仰角为45︒，在Rt △ABD 中，45ADB ∠=︒，tan 45hBD h ==︒，在BCD △中,754530CBD ∠=︒-︒=︒，由正弦定理得，sin 30sin 45CD BD=︒︒，即5012=h =.故选：A.7．C【分析】由题意得AB AC ⊥，以A 为坐标原点，,AB AC 所在的直线分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，利用等面积法先求出I 的位置，设(),P x y ，根据AP AI IP =+ ，可得1134IP AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,34x yλμ==，34x y λμ+=+，根据线性规划即可求解.【详解】因为3AB =，4AC =，5BC =，所以222AB AC BC +=，即AB AC ⊥.如图建立平面直角坐标系：设内切圆的半径为r ，则()()()0,0,3,0,0,4A B C ．∵ABC ABI BCI ACI S S S S =++V V V V ,∴2222AB AC AB r BC r AC r⋅⋅⋅⋅=++,即3434562222r r r r ⨯=++=,解得1r =，所以()1,1I ，∴1134AI AB AC =+ .∴1134AP AI IP AB AC IP =+=++ ，即1134AB AC AB AC IP λμ+=++ ，可得1134IP AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设(),P x y ，则()()()()111,13,00,431,4134x y λμλμ⎛⎫⎛⎫--=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3,4x y λμ==，即,34x yλμ==，∴34x y λμ+=+.∵()()3,0,0,4B C ，∴直线BC 的方程为134x y+=.设34x y z λμ=+=+，表示与134x y+=平行的直线，平移34x y z =+，当34x y z =+经过点I 时，1173412z =+=；当34x y z =+与134x y +=重合时，134x y z =+=.因为P 是IBC 内部（不含边界）的动点，所以7,112z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即7,112λμ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.故答案为:7,112⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：设(),P x y ，求出34x yλμ+=+，根据线性规划求解λμ+的范围.8．D【分析】先将该半正多面体补形为正方体，利用正方体与棱锥的体积公式判断A ，利用该半正多面体的对称性，得到截面为正六边形与外接球的球心位置，从而判断BC ，利用正三角形与正方体的面积公式判断D.【详解】A ：如图，因为1AB =，的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该半正多面体的体积为：2311832223V ⎛⎫=-⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故A 错误；B ：根据该半正多面体的对称性可知，过,,A B C 三点的截面为正六边形ABCFED ，又1AB =，所以正六边形面积为261S ==，故B 错误；C ：根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心，即正六边形ABCFED 的中心，故半径为1AB =，所以该半正多面体外接球的表面积为224π4π14πS R ==⨯=，故C 错误；D ：因为该半正多面体的八个面为正三角形、六个面为正方形，棱长皆为1，所以其表面积为2281616+⨯=+，故D 正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键有二，一是将该半正多面体补形为正方体，二是充分利用该半正多面体的对称性，从而得解.9．ABC【分析】根据直观图画出原图，进而判断出正确答案.【详解】画出原图如下图所示，根据斜二测画法的知识可知：4OC OA OB ===，三角形ABC 是等腰直角三角形，面积为()1444162⨯+⨯=.所以ABC 选项正确，D 选项错误.故选：ABC10．BC【分析】对A ：计算()2a b b -⋅即可得；对B ：借助基底向量的定义即可得；对C ：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D ：借助投影向量定义计算即可得.【详解】对A ：()22,5a b -=--，则()()222519a b b +⋅-=-⨯-⨯=- ，故A 错误；对B ：易得a 与b 为不共线的向量，故a 与b可作为一组基底向量，故B 正确；对C ：cos ,a b a b a b ====⋅C 正确；对D：121,555a bb b bb⋅⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭ ，故D 错误.故选：BC.11．CD【分析】对A ：由余弦定理可计算出a 有唯一解；对B ：借助余弦定理与等面积法计算即可得；对C ：设PAC θ∠=，由余弦定理可得sin sin AP ACACP APC=∠∠，代入数据计算即可得解；对D ：分B ∠为钝角及C ∠为钝角，结合直角的临界状态计算即可得.【详解】对A：a ==ABC 有唯一解，故A 错误；对B ：在PBC 、PAC △、PAB 中，分别有2222342cos120PB PC PB PC +=+-⋅︒，即2225PB PC PB PC =++⋅，22232cos120PA PC PA PC =+-⋅︒，即229PA PC PA PC =++⋅，22242cos120PA PB PA PB =+-⋅︒，即2216PA PB PA PB =++⋅，即有()222259162PA PB PC PA PB PB PC PA PC ++=+++⋅+⋅+⋅，即()222502PA PB PB PC PA PC PA PB PC -⋅+⋅+⋅++=，又13462ABC PBC PAC PAB S S S S =++=⨯⨯= ，即()1sin12062PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅︒=，即PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=，即有22225PA PB PC ++=-，故B错误；对C ：设PAC θ∠=，则在直角三角形PAB 中，APB θ∠=，PA θ=，在PAC △中，有sin sin AP ACACP APC=∠∠1sin120=︒，313222=4sin θθ=，即3tan 4θ=，故C 正确；对D ：若B ∠为钝角，如图，作CD AB ⊥于点D ，有CD BC AC <<，即sin b A a b ⋅<<，即234t <<，若C ∠为钝角，如图，作CD AC ⊥于点C ，有BC CD >，即tan a b A >⋅，即43t >综上所述，t 的取值范围是()()23,43,∞⋃+，故D 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：D 选项中关键点在于分B ∠为钝角及C ∠为钝角，分别找出直角的临界情况求出范围.12．23【分析】设圆锥的底面圆的半径为R ，高为h ，则母线长为r 且2R r =，根据勾股定理求得32h r =，结合圆锥的体积公式计算即可求解.【详解】由题意知，设圆锥的底面圆的半径为R ，高为h ，则圆锥的母线长为r ，且12π2π2R r =⨯，得2R r =，所以2232h r R r -=，又圆锥的体积为3π，所以211π33V Sh R h ==，即2133ππ()322r r =⨯，解得23r =.故答案为：13．514【分析】设经过x 小时距离最近,分别表示出甲乙距离B 岛的距离,由余弦定理表示出两船的距离,根据二次函数求最值的方法得到答案.【详解】设经过x 小时两船之间的距离为s 千米,甲船由A 点到达C 点，乙船由B 点到达D 点，则4,104,6AC x BC x BD x ==-=，11820060CBD ∠︒=︒-.由余弦定理可得()()()2222110462104628201002s x x x x x x ⎛⎫=-+--⋅⋅-=-+ ⎪⎝⎭，当205 2.522814x ==<⨯时，2s 最小,则两船之间的距离最小,此时它们航行的时间为514小时.故答案为:514.14．8,4⎡⎤⎣⎦【分析】设,tan PAB t θθ∠==，可得2tan 2BP t θ==,()[]21,0,11t DQ t t-=∈+，以点A 为坐标原点,,AB AD 所在直线分别为,x y 轴建立坐标系,然后求出,AP AQ 的坐标,结合数量积的运算和对勾函数的性质求解.【详解】设,tan PAB t θθ∠==,则2tan 2BP t θ==，()()[]21tan 21π2tan ,0,141tan 1t DQ t t θθθ--⎛⎫=-=∈ ⎪++⎝⎭.以点A 为坐标原点,,AB AD 所在直线分别为,x y 轴建立坐标系,则()()()210,0,2,2,,21t A P t Q t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，()()212,2,,21t AP t AQ t ⎛⎫-== ⎪+⎝⎭,所以()412441211t AP AQ t t t t -⎛⎫⋅=+=++- ⎪++⎝⎭ .令1u t =+，[]1,2u ∈，则242AP AQ u u ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭ ，[]1,2u ∈.由对勾函数的性质可得()2f u u u =+在(上单调递减，在)2上单调递增，所以()min f u f ==又()()13,23f f ==，所以()2f u u u =+在[]1,2u ∈上的值域为⎡⎤⎣⎦，所以2428,4AP AQ u u ⎛⎫⎡⎤⋅=+-∈- ⎪⎣⎦⎝⎭ .故答案为:8,4⎡⎤⎣⎦.15．(1)2243(2)112【分析】（1）借助正四棱锥于棱台的性质可得棱台的高，结合棱台体积公式计算即可得；（2）求出棱台各个面的面积后相加即可得.【详解】（1）过点P 作PO ⊥底面ABCD 于点O ，PO 交平面1111D C B A 于点1O ，由正四棱锥及棱台的性质可知，O 为底面ABCD 的中心，则111114O O PO PO PO PO PO =--==，即棱台1111A B C D ABCD -的高4h =，(1111111113A B C D ABCD ABCD A B C D V S S h-=⨯+⨯((22112244564333⎡=⨯+⨯=⨯⨯=⎢⎣，（2）连接OA，则22422AO AB ==，则112AA AP ===作1A M AB ⊥于点M ，则1A M =故1111114ABCD A B C DA ABB S S S S=++表正方形正方形梯形(((22142=++⨯⨯32872112=++=.16．(1)1122AM a b =+ ，11412PN a b =-+uuu r r r (2)25【分析】（1）根据向量的加法运算即可求得AM ；设()PN tBN t AN AB ==-uuu r uuu r uuu r uu u r ，利用向量的线性运算结合图形关系可得1(1)3AP t b ta =-+uu u r r r ，再由向量共线的性质得到14t =，最后表示出所求向量即可；（2）利用向量垂直的性质和数量积的定义式计算可得.【详解】（1）111()222AM AB AC a b =+=+uuu r uu u r uuu r r r ，设()PN tBN t AN AB ==-uuu r uuu r uuu r uu u r ，因为13AN AC = ，所以1()(1)(1)3AP AN NP AN t AN AB t AN t AB t AC t AB =+=--=-+=-+uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r，即1(1)3AP t b ta =-+uu u r r r ，由,AP AM uu u r uuu r 共线得：1(1)3t t -=，解得：14t =，所以1111()124124PN t BN t AN AB AC AB b a ==-=-=-uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r r r ，所以1111,22412AM a b PN a b =+=-+ .（2）BN BA AN AB x AC a xb =+=-+=-+uuu r uu r uuu r uu u r uuu r r r ，因为AM PN ⊥，由于,BN PN uuu r uuu r 共线，故AM BN ⊥ ，所以1111()28402222AM BN a b a xb x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，解25x =．17．(1)π3(2)6(3)33,22⎤⎥⎝⎦【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；（2）依据余弦定理及已知得13ac =，然后利用面积分割法列方程求解即可；（3）利用向量的加法运算及数量积模的运算得()1324BE ca =+ ，利用正弦定理得π2sin 216ac A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.【详解】（1）因为sin C C a +=，根据正弦定理sin sin sin b A C C B=，即()sin sin cos sin B C B C b A B C =+,即sin sin sin B C B C =，又sin 0C ≠，所以tan B =，因为()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由π3B =及余弦定理得22π32cos 3c a ac =+-，即()22233c a ac a c ac =+-=+-，又因为2a c +=，所以13ac =，所以111sin sin sin 22222ABC ABD BCD B B S S S c BD a BD ac B =+=⋅⋅+⋅⋅= ，所以()ππsin sin 63BD a c ac ⋅+⋅=，即132122BD =⨯（3）因为E 是AC 的中点，所以()12BE BA BC =+ ，则()()2222211322444ca BE BA BA BC BC c a ac +=+⋅+=++= ，由正弦定理得，2sin 4sin sin 4sin sin πsin sin 3b b ac A C A C A A B B ⎛⎫=⋅==- ⎪⎝⎭即2πcos 2sin sin 2cos 212sin 216ac A A A A A A ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭，因为()()20,π,π0,π3A C A ∈=-∈，所以20,π3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π172π,π666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以π1sin 2,162A ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以(]π2sin 210,36ac A ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，所以23239,444ca BE +⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，所以322BE ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，即边AC 上的中线BE 的取值范围为3322⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.18．(1)(3++;(2)[]2,6-.【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求出角B ,利用正弦定理将周长转化为关于角A 的三角函数，利用三角函数的值域即可求解；（2）易得ABC 为等边三角形，取AB 中点M ，可得2223PA PB PM MA PM ⋅=-=- ，由P 为圆O 上的一动点，可得[]1,3PM ∈，进而可求PA PB ⋅ 的取值范围.【详解】（1）因为sin sin cos sin cos sin sin a A a C B b C A b B c A ++=+，所以由正弦定理可得22cos cos a ac B bc A b ac ++=+，由余弦定理可得2222222222a c b b c a a b ac +-+-++=+，即222a c b ac +=+，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为0πB <<，所以π3B =；由ABC 为锐角三角形，π3B =，所以π022ππ032A C A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩,可得ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.由正弦定理sin sin sin a bcA B C ==,得22πsin sin 32cA A ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2π2sin 31sin A b c A ⎛⎫- ⎪⎝⎭====则ABC的周长为22cos cos 12333sin 2sin cos tan 222AA a b c A A A A +++==+=+.由ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ,2124A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为2π2tanππ12tan tan 2π6121tan 12⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭-整理得2ππtan 101212+-=，解得πtan 212=πtan 212=-（舍），所以()tan 22A ∈，所以(33tan 2A ++，即ABC的周长的取值范围为(3+.（2）由正弦定理2sin bR B =（R 为ABC的外接圆半径），则212b ac b ===.由222a c b ac +=+，可得2224a c +=，则a c ==ABC 为等边三角形.取AB 中点M，如图所示：则()()PA PB PM MA PM MB ⋅=+⋅+ ()2PM PM MA MB MA MB =+⋅++⋅ 2223PM MA PM =--= .由2,1OP OM ==，则[]1,3PM ∈，则[]2,6PA PB ⋅∈- ．19．(1)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】(1)当π4θ=时,ππcos isin 44n z n n =+,)11i z =+,2i z =，由221z z =,即可证明“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；(2)由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,可得cos 2i sin 2cos3i sin 3θθθθ+=+，利用复数相等的条件得到()2πk k θ=∈Z ,即可求πsin 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(3)由1m z z =得cos i sin cos i sin m m θθθθ+=+,利用复数相等的条件得到()112π1k k m θ=∈-Z 和()222π2k k n θ=∈-Z ,则()12122π2π,12k k k k m n =∈--Z ,则()11221,2k m k k n k -=∈-Z ,进一步得()()111122222211,k k k m n n k k k k k =-+=⋅+-∈Z ,即可证明存在有理数12k q k =,使得12m q n q =⋅+-.【详解】（1）当π4θ=时,ππcos isin 44n z n n =+,则)1ππcos isin 1i 44z =++,2ππcos isin 2i 2z +==.因为)()2221211i 12i i i 22z z ⎤=+=++==⎥⎣⎦，故“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系.（2）因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,所以cos 2i sin 2cos3i sin 3θθθθ+=+,因此cos 2cos3sin 2sin 3θθθθ=⎧⎨=⎩，解cos 2cos3θθ=，得()322πk k θθ=+∈Z 或()322πk k θθ+=∈Z ,解sin 2sin 3θθ=，得()322πk k θθ=+∈Z 或()322ππk k θθ+=+∈Z ,由于两个方程同时成立,故只能有()322πk k θθ=+∈Z ,即()2πk k θ=∈Z .所以πππsin sin 2πsin 444k θ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）由1m z z =，得cos i sin cos i sin m m θθθθ+=+,由(2)同理可得()112πm k k θθ=+∈Z ,即()()1112πm k k θ-=∈Z .因为1m >,所以()112π1k k m θ=∈-Z .因为221n m z z z ==,由(1)知221z z =,所以2n z z =.由(2)同理可得()2222πn k k θθ=+∈Z ,即()()2222πn k k θ-=∈Z .因为2n >,所以()222π2k k n θ=∈-Z ,所以()12122π2π,12k k k k m n =∈--Z ,又因为0θ≠,所以120k k ≠,所以()11221,2k m k k n k -=∈-Z ,即()()111122222211,kk km n n k k k k k =-+=⋅+-∈Z ，所以存在有理数12kq k =,使得12m q n q=⋅+-.【点睛】关键点点睛：利用复数相等求出参数然后求解.。
2020-2021学年安徽省合肥一中高一下期中数学试卷
【最新】安徽省合肥一中高一下期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ） A ．sin sinB a A b = B ．cos cos a A b B = C ．sin sin a B b A =D ．cos cos a B b A =2．等差数列{}n a 中，45636a a a ++=，则19a a +=（ ）A ．12B ．18C ．24D ．36 3．以下函数中，最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B ．33x x y -=+C ．1lg (01)lg y x x x=+<< D ．1sin (0)sin 2y x x x π=+<< 4．已知变量x 、y 满足约束条件：222y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值是（ ）A ．43-B ．4C ．4-D ．8- 5．若正实数,a b满足12a b+=ab 的最小值为（ ）AB ．2 C． D ．4 6．若数列{}n a 满足()1111,21n n na a a n N a +++==∈-，则该数列的前10项的乘积12310...a a a a ⋅⋅⋅⋅等于（ ）A ．3B ．1C ．32 D ．237．关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为(1,2)-，则关于x 的不等式220bx ax -->的解集为（ ）A ．(2,1)-B ．(,2)(1,)-∞-+∞C ．(,1)(2,)-∞-+∞D ．(1,2)-8．已知数列1111,,,...,,...,12123123...n+++++++则其前n 项的和等于（ ） A ．1n n + B ．21n n + C ．11n + D ．21n +9．在ABC ∆中，7,14,30a b A ︒===，则此三角形解的情况是（ ）A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解10．已知数列{}n a 满足()712,83,8n n a n n a n a n *-⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N ，若对于任意n *∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭11．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定12．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a14a =,则116m n+的的最小值为（ ） A ．8 B ．215 C ．92 D ．256二、填空题13．在锐角ABC ∆中，3,4,ABC a b S ∆===C =________．14．已知数列{}n a 为等比数列，前n 项的和为n S ，且5443a S =+，6543a S =+，则此数列公比q =_______．15．对于任意的实数[]20,1,22m mx x m ∈--≥，则x 的取值范围是________．16．把正整数排成如图()a 的三角形阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图()b 三角形阵，现将图()b 中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{}n a ，若2017k a =，则k =________．三、解答题17．已知0a <，解关于x 的不等式()2110ax a x +-->.18．设数列{}n a 的前n 项的和n S 满足：2n S n =，等比数列{}n b 满足：252,16b b ==. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项的和n T .19．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos c b b A -=. （1）若26,3a b ==，求c ； （2）若2C π=，求角B .20．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()1121,n n n a a S n N n*++==∈. （1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求证：14n n S a +=.21．滨湖区拟建 一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD ，其中三角形区域ABC 为主题活动区，其中60,45,126ACB ABC AB m ∠=︒∠=︒=；AD 、CD 为游客通道(不考虑宽度), 且120ADC ∠=︒，通道AD 、CD 围成三角形区域ADC 为游客休闲中心，供游客休憩.（1）求AC 的长度；（2）记游客通道AD 与CD 的长度和为L ，求L 的最大值.22．已知数列{}n a 满足()()1111,2,412n n nn a a a n n N a --==≥∈--. （1）试判断数列()11n n a ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭是否为等比数列，并说明理由；（2）设21n n b a =，求数列{}n b 的的前n 项的和n S ； （3）设()21sin2n n n c a π-=，数列{}n c 的前n 项的和为n T .求证：对任意4,7n n N T *∈<.参考答案1．C 【解析】本题考查正弦定理. 在ABC ∆中，由正弦定理得,sin sin .sin sin a ba Bb A A B==即故选C 2．C 【解析】试题分析：在等差数列中，间隔相同的项任然能够组成等差数列，利用等差中项有6452a a a +=所以由45636a a a ++=知1236355=⇒=a a ，则242591==+a a a ，故本题选项为C.考点：等差中项的运用. 3．B 【解析】 试题分析：因,故（当且仅当取等号），所以应选B.考点：基本不等式的运用及条件． 4．D 【解析】试题分析：由题意可知可行域是由直线围成的多边形，而目标函数是一直线，可知该目标函数在可行域的多边形顶点处取得最大值，由约束条件可求得顶点分别为)2,2(),32,32(),2,2(---分别代入目标函数中可求得4,34,8321=-=-=z z z ，从中取最大的81-==z z ，股本体的正确选项为D. 考点：线性约束条件的最值问题.【方法点睛】对于线性规划问题，共有两种情况：1,直线过定点时在可行域中旋转时的最大斜率，2，直线斜率一定而在可行域中平移时的截距的最值．可以再直角坐标系中画出可行域，然后在画出直线，通过观察求出待求量的最值；因为直线在可行域中的最值都是在围城可行域的顶点处取得，所以也可以先求得可行域顶点坐标，将这些坐标分别代入待求量的表达式中，从中选择最大值或最小值． 5．C【解析】试题分析：对于正实数,a b ，由重要不等式可知abb a 2221≥+，当且仅当将b a 21=时取等号，也即2222≥⇒≥ab abab ，故本题正确选项为C. 考点：重要不等式的运用. 6．C 【解析】 试题分析：31111111111212112111-----+=-=-+-=------=---=-+-=n n n n n n n n n a a a a a a a a a ，即1-24==++n n n n a a a a ，由已知可求得32=a 所以12310...a a a a ⋅⋅⨯⨯10910986754231))()()((a a a a a a a a a a a a ==，又2321109==a a a a 所以12310...a a a a ⋅⋅⨯⨯23=，本题正确选项为C. 考点：递推公式的运用. 7．B 【解析】设2()2f x ax bx =++， ()0f x > 解集为12-（，）所以二次函数图像开口向下，且与x 交点为(10),(20)，，-，由韦达定理得 121,2112b a ab a -⎧-+=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-⨯=⎪⎩所以220x x +-> 的解集为{|21}x x x <->或 ，故选B. 8．B 【解析】试题分析：由题意可知数列的通项为122)1(2......3211+-=+=+++=n n n n n a n ，所以数列的前n 项和为12122122212......3232222212+=+-=+-+--++-+-=n nn n n n n S n ，故考点：拆项法求数列前n 项和. 9．A 【解析】试题分析：ABC ∆中，有正弦定理B b A a sin sin =得 901sin sin =⇒==B A abB ,即ABC ∆为直角三角形，三角形只有一个解，本题正确选项为A. 考点：求解三角形解得个数. 10．C 【分析】由条件可得011031923a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪⎛⎫>-⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎩，解出即可.【详解】因为对于任意n *∈N 都有1n n a a +>，所以011031923a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪⎛⎫>-⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得112a <<故选：C 11．A 【解析】试题分析：假设直角三变为222,,c b a c b a =+且，给每条边同时都增加k ，有余弦定理有))(()2())((2)()()(cos 222k b k a kc b a k k b k a k c k b k a C +++-+=+++-+++=，因为c b a >+，所以有022>+-+⇒>++kc b a c k b a .即0cos >C ,C 为锐角，同理可证得B A ,也为锐角，股考点：余弦定理，判断三角形形状.【思路点睛】本题主要考察余弦定理的运用，因为当),0(πα∈时，αcos 为单调递减函数，所以可通过求余弦值来确定角三角形的内角是锐角，直角或钝角，根据题中所给条件可得三条边的平方和关系，即222c b a =+，其中c 为斜边，将增加后的边长k c k b k a +++,,代入余弦定理))((2)()()(cos 222k b k a k c k b k a +++++++=α通过αcos 的符号来确定α的范围，从而确定三角形形状． 12．B 【解析】试题分析：将q a a q a a 56257,==代入7652a a a =+中，可求得2=q （数列为正向数列，舍去负值），则11-=n n q a a 14a =有61621221=+⇒==-+n m a q a a a n m n m ，所以625617386))(161(61161≥++=++=+n m m n n m n m n m ，当且仅当56386=⇒=m n m m n ，显然m 是整数，所以116m n +不能取得最小值256，单可取56=m 相邻整数的值，即2,1==m m 与时116m n +的值，可求得最小值为215，股本题正确选项为B.考点：等比数列的公比与重要不等式的运用. 【思路点睛】因为2211111))((-+--==n m n m n m q a q a qa a a ，所以只要求得公比q ，便可通过14a =求得n m +的和，将等比数列通项代入7652a a a =+，化简解方程便可求得公比，从而进一步求得6=+n m ，对116m n+乘以n m +，化简整理后，再利用重要不等式求最值，最后要注意，取最值时，看n m ,能否满足取等号的条件)(00n m ，如果不能满足，则可取)(00n m 的相邻两个整数值，从中取最小的代数值即可． 13．3π 【解析】试题分析：本题主要考察三角形面积公式的运用，,代入数据可求得，又三角形为锐角三角形，所以有.考点：三角形的面积. 14．5 【解析】试题分析：5443a S =+,①6543a S =+②，由②-①可得，所以公比.考点：求等比数列的公比. 15．(),1-∞- 【解析】试题分析：将不等式转化为关于的恒成立不等式；也即在恒成立；当时均不满足，当时，有，显然成立，当时，有，即，显然此时无解，当时，有，即，显然此时也无解，综上所述，x 的取值范围是(),1-∞-．考点：解不等式.【方法点睛】本题主要考察含参数不等式的解的问题．对于含参数的不等式问题，可将不等式转化为有关参数的不等式，即将问题转化为在参数区间上恒成立而求x 的范围，此时参数与x 发生了根本性变化，所以在解不等式的时候要对x 的取值进行分情况讨论，如果不等式的一侧能够分解因式，则分解因式，这样方便对确定x 的不同取值范围． 16．1031 【解析】试题分析：假设第行列的数字为，仔细观察第一列数字与行数的关系可知.从图()b 可知每行数字从左到右组成首项为，公差为的等差数列，所以有，即，因为，所以在第行，则有，可求得，所以在第行列，在数列{}n a 中，其对应的项数为．考点：数阵，数列的通项.【思路点睛】对于数阵问题的解决，关键在于通过观察数阵，能够建立一个二维数列，表示数阵中的任意一个数字．观察数阵，可知每行的数字个数与行数相同，每行数字从左到右构成等差数列，公差为，所以只要求得数阵中第一列的数字，便可很容易的求得数阵中任一位置的数字，而在已知数字的情况下，求该数字的行列位置，可先确定行数，在确定列数，最后再确定其序数．17．当10a -<<时，解集为11x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭，当1a =-时，解集为∅，当1a <-时，解集为11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 【解析】试题分析：0a <，即不等式为一元二次不等式，所以有方程01)1(2=--+x a ax 的两根为,1,121=-=x ax ，对21x x >，21x x <，及21x x =分别进行讨论并求得解集即可．试题解析：①当10a -<<时，11a ->，且原不等式可化为()110x x a ⎡⎤⎛⎫---< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴其解集为11x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭；②当1a =-时，11a=-，且原不等式可化为()210x -<，其解集为∅； ③当1a <-时，11a >-，且原不等式可化为()110x x a ⎡⎤⎛⎫---< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴其解集为11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.考点：解含参数的不等式.18．（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）()2323n n T n =-+．【解析】试题分析：（1）先由11S a =求得1a ，再由1,1>-=-n S S a n n n 求得1>n a n ，，由252,16b b ==可求得公比2=q 代入通项公式22-=n n q b b 便可求得通项公式；（2）将前面所求的{}n a ，{}n b 的通项公式代入n n b a 便可求得{}n n a b 的通项12)12(--=n n n n b a ，可用错位求差（和）法来求前n 项的和n T .试题解析：（1）{}n a 的前n 项的和n S 满足：2n S n =，1n =时，111,1a S n ==>时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，1n =也成立，故21n a n =-，等比数列{}n b 满足：252,16b b ==，3528b q b ==，解得2q =，则有2122n n n b b q --==. （2）前n 项的和为()111325478 (212)n n T n -=⨯+⨯+⨯+⨯++-⨯，()2123458716...212n n T n =⨯+⨯+⨯+⨯++-⨯，两式相减，得()11222428216 (22)212n n n T n --=+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯,即有()()141212212n n n T n ---=+---，则有()2323n n T n =-+.考点：数列的通项与前n 项和. 19．（1）5c =；（2）6B π=．【解析】试题分析：（1）将余弦定理bc a c b A 2cos 222-+=代入2cos c b b A -=中，可求得bc b a +=22，代入3a b ==便可求得c ；（2）利用正弦定理有A B B C cos sin 2sin sin =-，又2C π=，则有A B cos sin =代入前式便可得到B sin 的方程，解方程求B sin ，得到角B .试题解析：（1）2cos c b b A -=，∴由余弦定理可得：22222b c a c b b bc+--=⨯，整理可得：22,26,3,2493a b bc a b c =+==∴=+，解得：5c =.（2）,22c A B ππ=∴+=，可得sin cos ,cos sin A B A B ==，2cos c b b A ∴-=,由正弦定理可得：A B B C cos sin 2sin sin =-,可得：01sin sin 22=-+B B ，解得：1sin 2B =或1sin -=B （舍去），即6B π=.考点：正余弦定理的运用.20．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）将n n n S S a -=++11代入n n S n n a 21+=+并进行化简整理，最后凑出1,1++n S n S n n 便可证明n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，且公比为2q =；（2）1>n 时，将1-21-n S n S n n =代入1-1-1n nS n n a +=中可得n S n S n n a n n n 2)1(1-11-+=+=，121+=+n S n S n n 代入前式可得4n n S a =，即14n n S a +=，在对1=n 时进行验证便可证明14n n S a +=恒成立． 试题解析：（1）证明：n n n n S S S n n a -=+=++112，122)21(+=+=++n n n S S nn S n n 即1121n n S S n n +=⨯+，即121n n S S n n +=⋅+，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比2q =的等比数列. （2）证明：由（1）知，当2n ≥时，()111111n n n S n a S n n n --+==+--()()111414n n S S n n ++=+=+. 经检验，1n =时，原式亦成立，12n n S a +∴=. 考点：等比数列的证明.21．（1）m 24；（2）． 【解析】试题分析：（1）由正弦定理B AC ACB AB ∠=∠sin sin 可知BACBAB AC ∠∠=sin sin ,代入数据便可求得AC 的长度；（2）在三角形ADC 中， 60=∠+∠DAC CAD ,可假设,60DAC DAC θθ∠=∠=︒-，利用正弦定理可求得CD AD ,,从而将L 转化为关于θ的三角函数，再利用三角恒等变换及函数的最值求得L 的最大值. 试题解析：（1）由已知由正弦定理，得sin 60sin 45AB AC=︒︒得24AC m =. （2）在ABC ∆中，设,60DAC DAC θθ∠=∠=︒-，由正弦定理sin sin sin AC AD CDADC ACD CAD==∠∠∠，()60,AD CDθθ=︒-=，()60L AD CDθθ∴=+=︒-+()1sin602θθθ⎫=+=+︒⎪⎪⎭≤因060θ︒<<︒，当30θ=︒时，L取到最大值.考点：正弦定理，三角恒等变换，函数的最值.【方法点睛】本题主要考查正弦定理的运用及利用三角恒等变换求最值。
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合肥一中2010～2011学年第二学期期中考试
高一数学试卷
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。
每小题4分，共40分。
） 1. 在ABC ∆中，已知2a =2b =，45B =︒，则角A =( ) A. 30︒
B. 60︒
C.
60︒或120︒ D. 30︒或150︒
2.数列{}n a 中，11a =，12,()2
n
n n a a n N a ++=∈+，则5a =（ ） A.
25 B. 13 C. 23 D. 12
3．方程2
640x x -+=的两根的等比中项是（ ）
A ．3
B ．2±
C ．6±
D ．2 4．不等式
11
2
x <的解集是 ( ) A ．(,0)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．()(,0)2,-∞⋃+∞
5.已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k 等于( ） A. 6
B ．7
C ．8
D ．9
6. 已知在⊿ABC 中，B
C
b c cos cos =，则此三角形为（ ）
A ． 直角三角形 B. 等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
7.若不等式2()0f x ax x c =-->的解集是{}|21x x -<<，则函数()y f x =-的图象是（ ）
8．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138 B ．135 C ．95
D ．23
9. 设a 、b ∈R +，且4a b +=，则有
（ ）
A ．
2
11≥ab B ．
11
1≥+b
a C ．2≥ab
D ．41
122≥+b a
10. 数列{}n x 满足
1
25313322
11-+=
⋯=+=+=+n x x x x x x x x n n ，且126n x x x ++⋯+=， 则首项1x 等于
（ ）
A ．12-n
B ．2
n
C ．
621n - D ．26
n
二、填空题(请把答案填在题中横线上，每小题4分，共16分）
11．函数)3(3
1
>+-=
x x x y 的最小值为_____________. 12. 已知数列}{n a 成等差数列，且π41371=++a a a ，则)tan(122a a +＝ 13. 设数列{}n a 为公比1q >的等比数列，若45,a a 是方程24830x x -+=的两根，
则67a a +=_________.
14. 在ABC ∆中，∠A:∠B=1:2，∠C 的平分线CD 分⊿ACD 与⊿BCD 的面积比是3:2，
则cos A =
选择题答题卡(请务必把答案填写在答题卡内)
三、解答题(解答应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤，共
44分)
15、（本小题满分8分）在锐角ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C 、、的对边，
5
cos A =
，310sin B =． (1)求cos()A B +的值；
(2)若4a =，求ABC ∆的面积．
座位号：
16（本小题满分8分）已知数列))}1({log *
2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331=
=a a (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)证明
.
11
1112312<-++-+-+n n a a a a a a
17（本小题满分8分）在数列{}n a 中，n n n a a a 22,111+==+
（1）设1
2-=n n n a
b ，证明：数列{}n b 是等差数列;
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
18（本小题满分10分）某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8m ，最大装水量为723m ，池底和池壁的造价分别为2a 元2/m 、a 元2/m ，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？ 19．（本小题满分10分）如图，在y 轴的正半轴上依次有点 ,,,,21n A A A 其中点)10,0(),1,0(21A A ，且||3||11+-=n n n n A A A A ),4,3,2( =n ，在射线)0(≥=x x y 上依次有点 ,,,,21n B B B 点1B 的坐标为（3，3），且
22||||1+=-n n OB OB ),4,3,2( =n ⑴用含n 的式子表示||1+n n A A ；
⑵用含n 的式子表示n n B A ,的坐标； ⑶求四边形n n n n B B A A 11++面积的最大值。
数学试卷答案
选择题
ABDDC BBCBD 填空题
5 3 18 3/4 解答题
15. 解：（Ⅰ） A B C ，，为锐角， 22525
sin 1cos 1(
)55
A A =-=-=
2231010
cos 1sin 1(
)10B B =-=-=
； ∴510253102
cos()cos cos sin sin 2A B A B A B +=-==-
… （Ⅱ）由（Ⅰ）可知0A B π<+<，34A B π+=
，∴ 4
C π= 由正弦定理sin sin a c A C =，可得24sin 210sin 25
a C c A =
== ∴11310sin 410622ABC S ac B ∆=
=⨯= 16 . 解：（I ）解：设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d . 由,8log 2log )2(log 29,32
2231+=+==d a a 得即d =1. 所以,)1(1)1(log 2n n a n =⨯-+=-即.12+=
n
n a （II ）证明因为
n
n n n
n a a a 21
21111=-=-++， 所以
n
n n a a a a a a 2121212
111132112312++++=-++-+-+
.
121
1211212121<-=-⨯
-=n n
17 (1)由n n n a a 221+=+得
1221
1+=-+n n
n n a a }{11n n n b b b ∴=-∴+是等差数列 n n b a b n =⋅-+=∴==1)1(111112-⋅=∴n n n a
12223221-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=n n n S n n n S 223222232⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=-
（1）-（2） n
n n n S 22
2211
2
⋅-+⋅⋅⋅+++=-- =
n n n n
n n 2222
121⋅-=⋅--- 1)1(2+-=∴n S n n -
18.解：设池底一边长为x ，水池的高为y ，池底、池壁造价分别为12,z z ，则总造价为 12z z z =+ 由最大装水量知872xy =，9
y x
∴=
12816z a x ax ∴=⋅= 214422818a
z a xy a y a x
=⋅⋅+⋅⋅=+
1441816z a a x x ⎛
⎫∴=++ ⎪⎝
⎭ 144182161896114a a x a a a x ≥+⋅=+= 当且仅当14416x x =
即9
3,3x y x
===时，总造价最低， 答：将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为3m 时，总造价最低，最低造价为51a 元。
19解：（1）9110||,3
1
||||2111=-==-+A A A A A A n n n n 且 ，
311211)3
1
()31(9)31(||||---+===∴n n n n n A A A A
（2）由（1）得4
413221)3
1(21227)31(139||||||----=
++++=+++n n n n A A A A A A n A 点∴的坐标42911
(0,())223
n --，23||22||||11==--OB OB OB n n 且
|}{|n OB 是以23为首项，22为公差的等差数列
)
12,12(2
)12(22)1(23||++∴+=-+=∴n n B n n OB n n 的坐标为
（3）连接1+n n B A ，设四边形11++n n n B A A n B 的面积为n S ，则
2
2
])31(227229[2221)32(])31[(2113111--∆∆-⋅⋅++⋅=+=+++n n A B B B A A n n S S S n n n n n n
,392291-+=
n n ,03
6311<-=-∴-+n n n n
S S ,1n n S S <+即}{n S ∴单调递减. n S ∴的最大值为24792291=+=S .。