九年级《圆》综合测试题(含答案)
人教版九年级上学期数学《圆》单元综合测试题带答案
21.如图，已知在⊙O中，A B＝4 ，A C是⊙O的直径，A C⊥B D于点F，∠A＝30°.
(1)求图中阴影部分的面积;
(2)若用阴影扇形OB D围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．
A. B.
C. D.
[答案]A
[解析]
试题分析:连接A B、OC，A B OC，所以可将四边形AOB C分成三角形A B C、和三角形AOB，进行求面积，求得四边形面积是 ，扇形面积是S= πr2= ,所以阴影部分面积是扇形面积减去四边形面积即 .故选A.
二、填空题(每小题4分,共32分)
11.用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”时，第一个步骤是_____．
A.40°B.45°C.50°D.60°
[答案]A
[解析]
试题解析:
∵点C是 的中点，
故选A.
点睛:垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧.
4.如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴相切于点A(8，0)．与y轴分别交于点B(0，4)与点C(0，16)．则圆心M到坐标原点O的距离是( )
A.10;B.8 ;C.4 ;D.2 ;
[答案]垂直于同一条直线的两条直线相交
[解析]
试题分析:反证法有如下三个步骤:(1)提出反证，(2)推出矛盾，(3)肯定结论．所以第一步先提出反证垂直于同一条直线的两条直线相交.
12.如图，A B是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若B C=6，A B=10，OD⊥B C于点D，则OD的长为______．
[答案]D
[解析]
人教版九年级数学下册第二十四章《圆》检测卷(含答案)
人教版九年级数学下册第二十四章《圆》检测卷（含答案）一、选择题 1．如图所示，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD ．如果∠DAC ＝78°， 那么∠ADO 等于( )．A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°2．在半径为27m 的圆形广场中心点O 的上空安装了一个照明光源S ，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB 的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO 为( )． A ．54m B ．．m D ．m第1题图 第2题图第3题图 第4题图3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm ，以A 为圆心、AD 的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm 2B.(4π+16)cm 2C.(3π+8)cm 2D.(3π+16)cm 24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( ). A. B. C. D. 5. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD 的长为( )A ．12.5寸B ．13寸C ．25寸D ．26寸6．如图，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP ，OM ．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM 的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )． A ．80° B ．100° C ．80°或100° D ．160°或200°的度数是( )．A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50°二、填空题 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是__ ________.第9题图 第10题图10．如图所示，EB 、EC 是⊙O是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A 的度数是________________. 11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径、分别是方程 的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距=5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 __ __ .12．如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，⊙BAC=45°，给出以下五个结论：①⊙EBC=22.5°；②BD=DC ；③AE=2EC ；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC ，其中正确的序号是 ．13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______ ________. 14.已知正方形ABCD ，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK 的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l 为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……1r 2r 2680x x -+=d(1)图(1)中3条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中4条弧的弧长的和为_____ ___；(2)求图(m)中n条弧的弧长的和为____ ____(用n表示)．16．如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9πm2，高为3.5m，外围高4 m的蒙古包，至少要____ ____m2的毛毡．三、解答题17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD.18.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：⊙A=⊙AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊙CD，求证：⊙ABE是等边三角形．19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．任务要求：(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索；①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．参考答案一、选择题 1．【答案】B ；【解析】由AB 为⊙O 的切线，则AB ⊥OD ．又BD ＝OB ，则AB 垂直平分OD ，AO ＝AD ，∠DAB ＝∠BAO ．由AB 、AC 为⊙O 的切线，则∠CAO ＝∠BAO ＝∠DAB ．所以，∠DAB ＝∠DAC ＝26°． ∠ADO ＝90°-26°＝64°．本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．2．【答案】C ；【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形．由题意，SO ⊥AB 于O ，∴ ∠SOA ＝∠SOB ＝90°．又SA ＝SB ，∠ASB ＝120°，∴ ∠SAB ＝∠SBA ＝，设SO ＝x m ，则AS ＝2x m ．∵ AO ＝27，由勾股定理，得(2x)2-x 2＝272，解得(m)．3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系. ∵ 矩形ABCD 中，AB=2BC ，AB=8cm ， ∴ AD=BC=4cm ，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm ， ∴，∴ .4.【答案】A ；【解析】OM 最长是半径5；最短是OM ⊥AB 时，此时OM=3，故选A. 5．【答案】D ；【解析】因为直径CD 垂直于弦AB ，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可. 根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”， 知(寸)，在Rt △AOE 中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D. 6．【答案】B.【解析】设OP 与⊙O 交于点N ，连结MN ，OQ ，如图，⊙OP=4，ON=2， ⊙N 是OP 的中点， ⊙M 为PQ 的中点，⊙MN 为⊙POQ 的中位线，180120302=°-?°93x =⊙MN=OQ=×2=1，⊙点M 在以N 为圆心，1为半径的圆上，当点M 在ON 上时，OM 最小，最小值为1， ⊙线段OM 的最小值为1．故选B ． 7．【答案】C ； 【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为；圆周角的顶点在优弧上时， 圆周角为．注意分情况讨论． 8．【答案】C ；【解析】连接OC 、OB ，则∠BOC ＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P 在优弧上时，∠BPC ＝∠BOC ＝65°；点P 在劣弧上时，∠BPC ＝180°-65°＝115°． 主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．二、填空题 9．【答案】； 10．【答案】99°；【解析】由EB=EC ，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°， 在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A=180°-81°=99°. 11．【答案】相交；【解析】求出方程 的两实根、分别是4、2，则-<<+,所以两圆相交.12.【答案】①①①；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD ⊙BC ，又⊙⊙ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ⊙AD 是⊙BAC 的平分线，由圆周角定理知，⊙EBC=⊙DAC=⊙BAC=22.5°，故①正确；⊙⊙ABE=90°﹣⊙EBC ﹣⊙BAD=45°=2⊙CAD ，故④正确； ⊙⊙EBC=22.5°，2EC ≠BE ，AE=BE ，⊙AE ≠2CE ，③不正确； ⊙AE=BE ，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②④．13.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圆半径为7或 3.5136010092⨯⨯=°°413608092⨯⨯=°°122680x x -+=1r 2r 1r 2r d 1r 2r14.【答案】； ；【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a ．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL，∴ ，， 即正八边形的边长为．．15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π；【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前n 条弧的弧长的和为个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为． 本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为，，…，，则， ∴n 条弧长的和为．16.【答案】720π；【解析】∵ S ＝πr 2，∴ 9π＝πr 2，∴ r ＝3．∴ h 1＝4，∴ ，∴，．所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，不包括底面积．1)a 22)a x 2x x a +=1)x a =1)a 2222241)]2)AEL S S S a x a a a =-=-=-=△正方形正八边形(2)1801(2)3602n n -=-121(2)(2)2n n ππ⨯⨯-=-1α2αn α12(2)180n n ααα+++=-…°1212111()180180180180n n απαπαππααα⨯+⨯++⨯=+++……(2)180(2)180n n ππ=-⨯=-5l ==223523 3.5152136S S S rl rh πππππππ=+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=锥柱2036720S ππ=⨯=总17.【答案与解析】（1）连结OF∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH ∵FH∥BC ，∴OF 垂直平分BC∴∴AF 平分∠BAC .（2）由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ∠FDB =∠FBD ∴BF =FD.18．【答案与解析】 证明：（1）⊙四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ⊙⊙A+⊙BCD=180°， ⊙⊙DCE+⊙BCD=180°， ⊙⊙A=⊙DCE ， ⊙DC=DE ，⊙⊙DCE=⊙AEB ， ⊙⊙A=⊙AEB ；（2）⊙⊙A=⊙AEB ， ⊙⊙ABE 是等腰三角形， ⊙EO ⊙CD ， ⊙CF=DF ，⊙EO 是CD 的垂直平分线， ⊙ED=EC ， ⊙DC=DE ， ⊙DC=DE=EC ，⊙⊙DCE 是等边三角形， ⊙⊙AEB=60°，⊙⊙ABE 是等边三角形．19.【答案与解析】解：∵公共弦AB ＝120 ∴==a R 46120r R a 6624222212060603=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=2BF FC =A BCDE FO12345HA BCD EFO 12H()∴=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-==r R a O o 442422222602606090，∠S S S R a r AmB AO B AO B弓形扇形=-=-=-229036012180036004244∆ππS S S R a r AnB AO B AO B弓形扇形=-=-=-1160360122400360036266∆ππ()∴=+=-+S S S AmB AnB 阴影弓形弓形4200360013π()[]∴-+两圆相交弧间阴影部分的面积为42003600132πcm .20. 【答案与解析】 (1)如选命题①． 证明：在图(1)中，∵ ∠BON ＝60°，∴ ∠1+∠2＝60°． ∵ ∠3+∠2＝60°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CA ，∠BCM ＝∠CAN ＝60°， ∴ △BCM ≌△CAN ，∴ BM ＝CM ． 如选命题②．证明：在图(2)中，∵ ∠BON ＝90°，∴ ∠1+∠2＝90°． ∵ ∠3+∠2＝90°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝90°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ． 如选命题③．证明：在图(3)中，∵ ∠BON ＝108°，∴ ∠1+∠2＝108°． ∵ ∠2+∠3＝108°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝108°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ． (2)①答：当∠BON ＝时结论BM ＝CN 成立．②答：当∠BON ＝108°时．BM ＝CN 还成立． 证明：如图(4)，连接BD 、CE 在△BCD 和△CDE 中，∵ BC ＝CD ，∠BCD ＝∠CDE ＝108°，CD ＝DE ， ∴ △BCD ≌△CDE ．∴ BD ＝CE ，∠BDC ＝∠CED ，∠DBC ＝∠ECD ． ∵ ∠CDE ＝∠DEN ＝108°， ∴ ∠BDM ＝∠CEM ．∵ ∠OBC+∠OCB ＝108°，∠OCB+∠OCD ＝108°． (2)180n n-°又∵∠DBC＝∠ECD＝36°，∴∠DBM＝∠ECM．∴△BDM≌△CEN，∴ BM＝CN．。
人教版数学九年级上册第24章《圆》综合检测题(含祥细答案)
《圆》综合检测题一．选择题1．如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为（）A．26°B．52°C．54°D．56°2．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝68°，则∠OBC等于（）A．22°B．26°C．32°D．34°3．已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为3cm，则点A（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．与⊙O的位置关系无法确定4．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB＝40°，则∠APB的度数为（）A．80°B．140°C．20°D．50°5．下列说法错误的是（）A．圆有无数条直径B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦C．过圆心的线段是直径D．能够重合的圆叫做等圆6．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF的半径是cm，则这个正六边形的周长是（）A． cm B．12cm C． cm D．36 cm7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B＝135°，则劣弧AC的长（）A．2πB．πC．D．4π8．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠ACB＝110°，则∠P的度数是（）A．55°B．30°C．35°D．40°9．如图，小明为检验M、N、P、Q四点是否共圆，用尺规分别作了MN、MQ的垂直平分线交于点O，则M、N、P、Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q10．如图，AB为半圆O的直径，BC⊥AB且BC＝AB，射线BD交半圆O的切线于点E，DF⊥CD交AB于F，若AE＝2BF，DF＝2，则⊙O的半径长为（）A．B．4C．D．二．填空题11．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，若∠BCD＝26°，则∠ABC的度数为．12．如图所示，AB是⊙O的直径．PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P ＝40°，则∠B等于．13．如图，在直角坐标系中，点A（0，3）、点B（4，3）、C（0，﹣1），则△ABC外接圆的半径为．14．如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为．15．如图，⊙O的半径为2，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线CE、DF相交于点M，则△MEF的面积是．16．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．17．已知点A是圆心为坐标原点O且半径为3的圆上的动点，经过点B（4，0）作直线l⊥x 轴，点P是直线l上的动点，若∠OPA＝45°，则△BOP的面积的最大值为．18．如图，已知⊙O的半径为m，点C为直径AB延长线上一点，BC＝m．过点C任作一直线l，若l上总存在点P，使过P所作的⊙O的两切线互相垂直，则∠ACP的最大值等于．三．解答题19．如图，BC是半⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点的切线交CB的延长线于点P，过点B 的切线交CA的延长线于点E，AP与BE相交于点F．（1）求证：BF＝EF；（2）若AF＝，半⊙O的半径为2，求PA的长度．20．如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点，点C，D在⊙O上，且PD是⊙O的切线，PC＝PD．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，DO＝PO，求图中阴影部分的面积．21．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：△ABE≌△BCG；（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）22．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．（1）求证：OP∥BC；（2）过点C作⊙O的切线CD，交A P的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O 的直径．23．如图：AB是⊙O的直径，AC交⊙O于G，E是AG上一点，D为△BCE内心，BE交AD于F，且∠DBE＝∠BAD．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：DF＝DG．24．已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧的两点，∠BAC＝25°（Ⅰ）如图①，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．25．【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ ⊥ON．（1）求∠POB的度数；（2）已知OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上的长．（π取3.1）参考答案一．选择题1．解：∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC，∵∠OBC＝26°，∴∠AOB＝2∠C＝52°，故选：B．2．解：连接CO，∵∠A＝68°，∴∠BOC＝136°，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣136°）＝22°．故选：A．3．解：∵OA＝3cm＜5cm，∴点A在⊙O内．故选：A．4．解：∠APB＝∠AOB＝×40°＝20°．故选：C．5．解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；故选：C．6．解：设正六边形的中心为O，连接AO，BO，如图所示：∵O是正六边形ABCDEF的中心，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝60°，AO＝BO＝2cm，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝2cm，∴正六边形ABCDEF的周长＝6AB＝12cm．故选：C．7．解：连接OA、OC，如图．∵∠B＝135°，∴∠D＝180°﹣135°＝45°，∴∠AOC＝90°，则劣弧AC的长＝＝2π．故选：A．8．解：在优弧AB上取点D，连接BD，AD，OB，OA，∵∠ACB＝110°，∴∠D＝180°﹣∠ACB＝70°，∴∠AOB＝2∠D＝140°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠P＝360°﹣∠OAP﹣∠AOB﹣∠OBP＝40°．故选：D．9．解：连接OM，ON，OQ， OP，∵MN、MQ的垂直平分线交于点O，∴OM＝ON＝OQ，∴M、N、Q再以点O为圆心的圆上，OP与ON的大小不能确定，∴点P不一定在圆上．故选：C．10．解：连接AD，CF，作CH⊥BD于H，如图所示：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADF+∠BDF＝90°，∠DAB+∠DBA＝90°，∵∠BDF+∠BDC＝90°，∠CBD+∠DBA＝90°，∴∠ADF＝∠BDC，∠DAB＝∠CBD，∴△ADF∽△BDC，∴＝＝，∵∠DAE+∠DAB＝90°，∠E+∠DAE＝90°，∴∠E＝∠DAB，∴△ADE∽△BDA，∴＝，∴＝，即＝，∵AB＝BC，∴AE＝AF，∵AE＝2BF，∴BC＝AB＝3BF，设BF＝x，则AE＝2x，AB＝BC＝3x，∴BE＝＝x，CF＝＝，由切割线定理得：AE2＝ED×BE，∴ED＝＝＝x，∴BD＝BE﹣ED＝，∵CH⊥BD，∴∠BHC＝90°，∠CBH+∠BCH＝∠CBH+∠ABE，∴∠CBH＝∠ABE，∵∠BAE＝90°＝∠BHC，∴△BCH∽△EBA，∴＝＝，即＝＝，解得：BH＝x，CH＝x，∴DH＝BD﹣BH＝x，∴CD2＝CH2+DH2＝x2，∵DF⊥CD，∴CD2+DF2＝CF2，即x2+（2）2＝（）2，解得：x＝，∴AB＝3，∴⊙O的半径长为；故选：A．二．填空题11．解：连接CO，∵CD切⊙O于点C，∴CO⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠BCD＝26°，∴∠OCB＝90°﹣26°＝64°，∵CO＝BO，∴∠ABC＝∠OCB＝64°．故答案为：64°．12．解：∵PA切⊙O于点A，∴∠PAB＝90°，∵∠P＝40°，∴∠POA＝90°﹣40°＝50°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO＝25°，故答案为：25°．13．解：连接AB，分别作AC、AB的垂直平分线，两直线交于点H，由垂径定理得，点H为△ABC的外接圆的圆心，∵A（0，3）、点B（4，3）、C（0，﹣1），∴点H的坐标为（2，1），则△ABC外接圆的半径＝＝2，故答案为：2．14．解：由题意：BA＝BC＝1，∠ABC＝90°，∴S＝＝．扇形BAC故答案为．15．解：设OE交DF于N，如图所示：∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，∴DE＝FE，∠EOF＝＝45°，，∴∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，∴△ONF是等腰直角三角形，∴ON＝FN＝OF＝，∠OFM＝45°，∴EN＝OE﹣OM＝2﹣，∠OEF＝∠OFE＝∠OED＝67.5°，∴∠CED＝∠DFE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠MEN＝45°，∴△EMN是等腰直角三角形，∴MN＝EN，∴MF＝MN+FN＝ON+EN＝OE＝2，∴△MEF的面积＝MF×EN＝×2×（2﹣）＝2﹣；故答案为：2﹣．16．解：连接OB．∵＝，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∴∠BDC＝∠BOC＝25°，∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，∴∠OED＝60°，故答案为60°．17．解：当PA是⊙O的切线时，OP最长，则PB最长，故△BOP的面积的最大，连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，∵∠OPA＝45°，∴△OPA是等腰直角三角形，∴OA＝PA＝3，∴OP＝3，在Rt△BOP中， PB＝＝＝，∴△BOP的面积的最大值为×4×＝2，故答案为2．18．解：∵PM、PN是过P所作的⊙O的两切线且互相垂直，∴∠MON＝90°，∴四边形PMON是正方形，根据勾股定理求得OP＝m，∴P点在以O为圆心，以m长为半径作大圆⊙O上，以O为圆心，以m长为半径作大圆⊙O，然后过C点作大⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值，如图所示，∵PC是大圆⊙O的切线，∴OP⊥PC，∵OC＝2m，OP＝m，∴PC＝＝m，∴OP＝PC，∴∠ACP＝45°，∴∠ACP的最大值等于45°，．故答案为45°．三．解答题19．（1）证明：连接OA，∵AF、BF为半⊙O的切线，∴AF＝BF，∠FAO＝∠EBC＝90°，∴∠E+∠C＝∠EAF+∠OAC＝90°，∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC，∴∠E＝∠EAF，∴AF＝EF，∴BF＝EF；（2）解：连接AB，∵AF、BF为半⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBE＝90°，且BF＝AF＝1.5，又∵tan∠P＝，即，∴PB＝，∵∠PAE+∠OAC＝∠AEB+∠OCA＝90°，且∠OAC＝∠OCA，∴∠PAE＝∠AEB，∠P＝∠P，∴△APB∽△CPA，∴，即PA2＝PB•PC，∴，解得PA＝．20．（1）证明：连接OC，在△PDO与△PCO中，，∴△PDO≌△PCO（SSS），∴∠PCO＝∠PDO，∵PD是⊙O的切线，∴∠PDO＝90°，∴∠PCO ＝90°，∴PC 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠PDO ＝90°，DO ＝PO ，∴∠POD ＝60°，∴∠DOC ＝120°，∵⊙O 的半径为2，∴PD ＝OD ＝2，∴图中阴影部分的面积＝S四边形PDOC ﹣S 扇形DOC ＝2××2×2﹣＝4﹣．21．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，AB 为⊙O 的直径， ∴∠ABE ＝∠BCG ＝∠AFB ＝90°，∴∠BAF +∠ABF ＝90°，∠ABF +∠EBF ＝90°，∴∠EBF ＝∠BAF ，在△ABE 与△BCG 中，，∴△ABE ≌△BCG （ASA ）；（2）解：连接OF ，∵∠ABE ＝∠AFB ＝90°，∠AEB ＝55°，∴∠BAE ＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOF ＝2∠BAE ＝70°，∵OA ＝3，∴的长＝＝．22．（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．∴＝∴∠AOP＝∠COP，∴∠AOP＝∠AOC，又∵∠ABC＝∠AOC，∴∠AOP＝∠ABC，∴PO∥BC；（2）解：连接PC，∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD，又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO＝∠COP，∵∠AOP＝∠COP，∴∠APO＝∠AOP，∴OA＝AP，∵OA＝OP，∴△APO为等边三角形，∴∠AOP＝60°，又∵OP∥BC，∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，∴△BCO为等边三角形，∴∠COB＝60°，∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，∴△POC也为等边三角形，∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，又∵∠OCD＝90°，∴∠PCD＝30°，在Rt△PCD中，PD＝PC，又∵PC＝OP＝AB，∴PD＝AB，∴AB＝4PD＝4．23．证明：（1）∵点D为△BCE的内心，∴BD平分∠EBC．∴∠EBD＝∠CBD．又∵∠DBE＝∠BAD，∴∠CBD＝∠BAD．又∵AB是〇O直径，∴∠BDA＝90°．在Rt△BAD中，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CBD+∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°．∴BC⊥AB．又∵AB为直径，∴BC是〇O的切线；（2）连接ED，如图，则ED平分∠BEC，∴∠BED＝∠CED．∵∠EFD为△BFD的外角∴∠EFD＝∠ADB+∠EBD＝90°+∠EBD，又∵四边形ABDG为圆的内接四边形，∴∠EGD＝180°﹣∠ABD＝180°﹣（90°﹣∠CDB）＝90°+∠CDB 又∵∠EBD＝∠CBD，∴∠EFD＝∠EGD又∵ED＝ED，∴△DFE≌△DGE（AAS）．∴DF＝DG．24．解：（Ⅰ）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠ABC＝65°，∵OD⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠ACD＝∠AOD＝＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝25°，∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝70°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝70°；（Ⅱ）连接OC，∵EC是⊙O的切线，∴OC⊥EC，∴∠OCE＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠COE＝2∠BAC＝50°，∴∠OEC＝40°，∵OD∥CE，∴∠AOD＝∠COE＝40°，∴∠ACD＝AOD＝20°．25．解：（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，如图所示：则∠DHC＝67°，∵∠HBD+∠BHD＝∠BHD+∠DHC＝90°，∴∠HBD＝∠DHC＝67°，∵ON∥BH，∴∠BEO＝∠HBD＝67°，∴∠BOE＝90°﹣67°＝23°，∵PQ⊥ON，∴∠POE＝90°，∴∠POB＝90°﹣23°＝67°；（2）同（1）可证∠POA＝31°，∴∠AOB＝∠POB﹣∠POA＝67°﹣31°＝36°，∴＝＝3968（km）．。
九年级数学 《圆》检测题(含答案)
九年级数学 《圆》检测题一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，在⊙O 中，弦AB ＝3 cm ，圆周角∠ACB ＝30°，则⊙O 的直径等于（ ）cm . A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm2．在⊙O 中，同一条弦AB 所对的圆周角( )A ．相等 B ．互补 C ．互余 D ．相等或互补 3．如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝58°，则∠BCD 等于( )A ．116° B ．32° C ．58° D ．64°4.如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8 m ，桥拱半径OC 为5 m ，则水面宽AB 为( )A ．4 mB ．5 mC ．6 mD ．8 m5．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，∠CDB ＝25°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 等于( ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．70°6．如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PB 切⊙O 于点B ，则PB 的最小值是( )A.13 B ．3 C. 5 D ．27．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD 互余的角是( )A ．∠ADC B ．∠ABD C ．∠BAC D ．∠BAD8．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为点E ，连接BD ，∠GBC ＝50°，则∠DBC 的度数为( )A ．50° B ．60° C ．80° D ．90° 9．过三点A(2，2)，B(6，2)，C(4，5)的圆的圆心坐标为( ) A ．(4，176) B ．(4，3) C ．(5，176) D ．(5，3)10．如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为2，正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的外接圆与正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的各边相切，正六边形A 3B 3C 3D 3E 3F 3的外接圆与正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的各边相切，……按这样的规律进行下去，正六边形A 10B 10C 10D 10E 10F 10的边长为( ) A.24329 B.81329 C.8129 D.81328二、填空题(每小题3分，共24分)11．圆内接四边形ABCD 的内角∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠D＝________．12．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠AOD ＝130°，BC ∥OD 交⊙O 于点C ，则∠A＝________． 13．若正多边形的边心距与边长的比为1∶2，则这个正多边形的边数是________． 14.已知正△ABC 的边长为6，那么能够完全覆盖这个正△ABC 的最小圆的半径是______．15．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，点M 是OA 的中点，过点M 的直线与⊙O 交于C ，D 两点．若∠CMA＝45°，则弦CD 的长为________．16．如图，⊙O 的半径为6 cm ，B 为⊙O 外一点，OB 交⊙O 于点A ，AB ＝OA ，动点P 从点A 出发，以π cm/s 的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点A 立即停止．当点P 运动的时间为________s 时，BP 与⊙O 相切．17．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，以直角边AB 为直径作半圆交AC 于点D ，以AD 为边作等边△ADE，延长ED 交BC 于点F ，BC ＝23，则图中阴影部分的面积为________．(结果不取近似值)18．如图，⊙O 的直径AB 长为6，弦AC 长为2，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，则四边形ADBC 的面积为 ．三、解答题(共46分)19．(8分)如图，AB 是⊙O 的弦，OA ⊥OD ，AB ，OD 交于点C ，且CD ＝BD. (1)判断BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)当OA ＝3，OC ＝1时，求线段BD 的长．20．(8分)如图，AB 为半圆O 的直径，AC 是⊙O 的一条弦，D 为BC ︵的中点，作DE⊥AC，交AC 的延长线于点E ，ED ，AB 的延长线交于点F ，连接DA. (1)求证：EF 为半圆O 的切线；(2)若DA ＝DF ＝63，求阴影区域的面积．(结果保留根号和π)21．(8分)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，弦BD 交AC 于点E ，连接CD ，且AE ＝DE ，BC ＝CE. (1)求∠ACB 的度数；(2)过点O 作OF⊥AC 于点F ，延长FO 交BE 于点G ，DE ＝3，EG ＝2，求AB 的长．22．(10分)如图，点A 在x 轴的正半轴上，以OA 为直径作⊙P，C 是⊙P 上一点，过点C 的直线y ＝33x ＋23与x 轴，y 轴分别相交于点D ，E ，连接AC 并延长与y 轴相交于点B ，点B 的坐标为(0，43)．(1)求证：OE ＝CE ；(2)请判断直线CD 与⊙P 位置关系，证明你的结论，并求出⊙P 半径的值．23．(12分)如图，已知⊙O 上依次有A ，B ，C ，D 四个点，AD ︵＝BC ︵，连接AB ，AD ，BD ，弦AB 不经过圆心O ，延长AB 到E ，使BE ＝AB ，连接EC ，F 是EC 的中点，连接BF. (1)若⊙O 的半径为3，∠DAB ＝120°，求劣弧BD ︵的长； (2)求证：BF ＝12BD ；(3)设G 是BD 的中点，探索：在⊙O 上是否存在点P(不同于点B)，使得PG ＝PF ？并说明PB与AE 的位置关系．答案1．C 2.D 3.B 4.D 5.A 6.C 7.D 8.C 9.A10．D 11.90° 12.40° 13.4 14.2 3 15.14 16.2或10 17.33－32π18.42＋919.(1)BD 与⊙O 相切．证明：连接OB ，图略．∵OA ＝OB ，∴∠OAC ＝∠OBC.∵OA⊥OD，∴∠AOC ＝90°，∴∠OAC ＋∠OCA ＝90°.∵DC ＝DB ，∴∠DCB ＝∠DBC.∵∠DCB ＝∠ACO，∴∠ACO ＝∠DBC，∴∠DBC ＋∠OBC＝90°，∴∠OBD ＝90°，即OB⊥BD，∴BD 与⊙O 相切 (2)设BD ＝x ，则CD ＝x ，OD ＝x ＋1 ，OB ＝OA ＝3，由勾股定理，得32＋x 2＝(x ＋1)2，解得x ＝4，∴BD ＝420.(1)证明：连接OD ，图略．∵D 为BC ︵的中点，∴∠CAD ＝∠BAD，∵OA ＝OD ，∴∠BAD ＝∠ADO，∴∠CAD ＝∠ADO，∴OD ∥AE.∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥EF ，∴EF 为半圆O 的切线 (2)连接OC 与CD ，图略．∵DA＝DF ，∴∠BAD ＝∠F ，∴∠BAD ＝∠F＝∠CAD，又∵∠BAD ＋∠CAD ＋∠F＝90°，∴∠F ＝30°，∠BAC ＝60°，∵OC ＝OA ，∴△AOC 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°.∵OD ⊥EF ，∠F ＝30°，∴∠DOF ＝60°，在Rt △ODF 中，DF ＝63，∴OD ＝DF·tan 30°＝6，在Rt △AED 中，DA ＝63，∠CAD ＝30°，∴DE ＝DA·sin 30°＝33，EA ＝DA·cos 30°＝9，∵∠COD ＝180°－∠AOC－∠DOF＝60°，易证CD∥AB，故S △ACD ＝S △COD ，∴S 阴影＝S △AED －S 扇形COD ＝12×9×33－60360π×62＝2732－6π21.(1)在△AEB 和△DEC 中，∠A ＝∠D，AE ＝ED ，∠AEB ＝∠DEC，∴△AEB ≌△DEC(ASA)，∴EB ＝EC.又∵BC＝CE ，∴BE ＝CE ＝BC ，∴△EBC 为等边三角形，∴∠ACB ＝60° (2)作BM⊥AC 于点M ，图略，∵OF ⊥AC，∴AF ＝CF.∵△EBC 为等边三角形，∴∠GEF ＝60°，∴∠EGF ＝30°.∵EG ＝2，∴EF ＝1.又∵AE＝ED ＝3，∴CF ＝AF ＝4，∴AC ＝8，EC ＝5，∴BC ＝5.∵∠BCM ＝60°，∴∠MBC ＝30°，∴CM ＝52，BM ＝BC 2－CM 2＝523，∴AM ＝AC －CM ＝112，∴AB ＝AM 2＋BM 2＝722．(1)证明：如图所示，连接OC ，∵直线y ＝33x ＋23与y 轴相交于点E ，∴点E 的坐标为(0，23)，即OE ＝2 3.又∵点B 的坐标为(0，43)，∴OB ＝43，∴BE ＝OE ＝23，又∵OA 是⊙P 的直径，∴∠ACO ＝90°，即∠BCD ＝90°，△BCD 是直角三角形，∴OE ＝CE (2)直线CD 是⊙P 的切线．证明：如图，连接PC ，PE ，由(1)可知OE ＝CE.在△POE 和△PCE 中，⎩⎨⎧PO ＝PC ，PE ＝PE ，OE ＝CE ，∴△POE ≌△PCE ，∴∠POE ＝∠PCE.又∵x 轴⊥y 轴，∴∠POE ＝∠PCE ＝90°，∴PC ⊥CE ，即PC ⊥CD.又∵直线CD 经过半径PC 的外端点C ，∴直线CD 是⊙P 的切线．∵对y ＝33x ＋23，当y ＝0时，x ＝－6，即OD ＝6，在Rt △DOE 中，DE ＝OD 2＋OE 2＝62＋（23）2＝43，∴CD ＝DE ＋EC ＝DE ＋OE ＝43＋23＝6 3.设⊙P 的半径为r ，则在Rt △PCD 中，由勾股定理知PC 2＋CD 2＝PD 2，即 r 2＋(63)2＝(6＋r)2，解得r ＝6，即⊙P 半径的值为623.(1)连接OB ，OD ，图略，∵∠DAB ＝120°，∴BCD ︵所对圆心角的度数为240°，∴∠BOD ＝120°.∵⊙O 的半径为3，∴劣弧BD ︵的长为120180×π×3＝2π (2)证明：连接AC ，图略，∵AB ＝BE ，∴点B 为AE 的中点．∵F 是EC 的中点，∴BF 为△EAC 的中位线，∴BF ＝12AC.∵AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AB︵＝BC ︵＋AB ︵，∴BD ︵＝CA ︵，∴BD ＝AC ，∴BF ＝12BD (3)存在．过点B 作AE 的垂线，与⊙O 的交点即为所求的点P ，图略．∵BF 为△EAC 的中位线，∴BF ∥AC ，∴∠FBE ＝∠CAE.∵AD ︵＝BC ︵，∴∠DBA ＝∠CAB，∴∠FBE ＝∠DBA.由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP ＝∠FBP.∵G 为BD 的中点，∴BG ＝12BD ，∴BG ＝BF.在△PBG 和△PBF 中，BG ＝BF ，∠PBG ＝∠PBF，BP ＝BP ，∴△PBG ≌△PBF(SAS)，∴PG ＝PF.故在⊙O 上存在点P ，使得PG ＝PF ，此时PB⊥AE。
九年级上册数学《圆》单元综合测试卷(附答案)
九年级上册数学《圆》单元测试卷（满分120分，考试用时120分钟）1．如图，⊙O是△A B C 外接圆，∠A =40°，则∠OB C =（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°2．如图，在△A B C 中，C os B ，sin C ＝35，A C ＝5，则△A B C 的面积是()A ．212B ．12C ．14D ．213．如图，O与正方形A B C D 的两边A B ，A D 相切，且D E与O相切于点E．若O的半径为5，且11AB ，则D E的长度为（）A．5 B ．6 C D ．11 24．如图，在矩形A B C D 中，A B ＝8，A D ＝12，经过A ，D 两点的⊙O 与边B C 相切于点E ，则⊙O 的半径为（ ）A ．4B ．214C ．5D ．2545．如图，O为圆心，AB 是直径，C 是半圆上的点，D 是AC 上的点.若BOC 40∠=，则D ∠的大小为（ ）A ．110 B ．120C ．130 D ．140 6．边长为2的正方形内接于⊙O ，则⊙O 的半径是（ ） A ．1 BC ．2D ．7．如图，A B 是⊙O 的弦，A O 的延长线交过点B 的⊙O 的切线于点C ，如果∠C A B =30°，则OC 的长度为（ ）A ．B ．2C ．D ．48．在Rt △A B C 中，∠C =90°，A C =8C m ，A B =10C m ，以C 为圆心，以9C m 长为直径的⊙C 与直线A B 的位置关系为（ ）A ．相交B ．相离C ．相切D ．相离或相交9．如图，C D 为圆O 的直径，弦A B ⊥C D ，垂足为E ，C E=1，半径为25，则弦A B 的长为( )A ．24B ．14C ．10D ．710．如图，用不同颜色的马赛克片覆盖一个圆形的台面，估计15圆心角的扇形部分大约需要34片马赛克片．已知每箱装有125片马赛克片，那么应该购买多少箱马赛克片才能铺满整个台面（ ）A ．56~箱B ．67~箱C ．78~箱D ．89~箱11．如图所示，扇形纸扇完全打开后，弧B C 60cm =，弧D E 20cm =．外侧两竹条AB ，AC 都等于30cm ，贴纸的宽度BD ，CE 都等于20cm ，则贴纸的面积是（ ）A ．2400cmB ．2800cmC ．21200cmD ．21600cm12．如图，△A B C 的内切圆⊙O 与A B ，B C ，C A 分别相切于点D ，E ，F ，且A D ＝2，B C ＝5，则△A B C 的周长为( )A ．16B ．14C ．12D ．1013．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的函数表达式为y ＝x ，点O 1的坐标为（1，0），以O 1为圆心，O 1O 为半径画圆，交直线l 于点P 1，交x 轴正半轴于点O 2，以O 2为圆心，O 2O 为半径画圆，交直线l 于点P 2，交x 轴正半轴于点O 3，以O 3为圆心，O 3O 为半径画圆，交直线l 于点P 3，交x 轴正半轴于点O 4；…按此做法进行下去，其中20172018P O 的长为_____．14．如图，点B ，C ，D 在⊙O 上，若∠B C D =130°，则∠B OD 的度数是________°．15．如图，边长为6的正六边形A B C D EF的中心与坐标原点O重合，A F∥x轴．将正六边形绕原点逆时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2019时，顶点A 的坐标为_____．16．如图，A B 是⊙O的切线，B 为切点，A O的延长线交⊙O于C 点，连接B C ，如果∠A =30°，A B =2A C 的长等于______．17．如图，D 、E分别是⊙O两条半径OA 、OB 的中点，AC=CB．（1）求证：C D =C E．（2）若∠A OB =120°，OA =x，四边形OD C E的面积为y，求y与x的函数关系式．18．如图，点C 在以A B 为直径的半圆⊙O上，A C =B C ．以B 为圆心，以B C 的长为半径画圆弧交A B 于点D ．（1）求∠A B C 的度数；（2）若A B =2，求阴影部分的面积．19．如图，正方形A B C D 内接于⊙O，M为弧A D 中点，连接B M，C M．（1）求证：B M=C M；（2）当⊙O的半径为2时，求∠B OM的度数．20．如图,点O在边长为的正方形A B C D 的对角线A C 上,以O为圆心OA 为半径的⊙O交A B 于点E.（1）⊙O过点E的切线与B C 交于点F,当0＜OA ＜6时,求∠B FE的度数;（2）设⊙O与A B 的延长线交于点M,⊙O过点M的切线交B C 的延长线于点N,当6＜OA ＜12时,利用备用图作出图形,求∠B NM的度数.21．在△A B C 中，90︒∠=C ，以边A B 上一点O 为圆心，OA 为半径的圈与B C 相切于点D ，分别交A B ，A C 于点E ，F（I ）如图①，连接A D ，若25CAD ︒∠=，求∠B 的大小；（Ⅱ）如图②，若点F 为AD 的中点，O 的半径为2，求A B 的长．22．如图，已知△A B C 中，以A B 为直径的半⊙O交A C 于D ，交B C 于E，B E=C E，∠C =70°，求∠D OE的度数．23．一个边长为4的等边三角形A B C 的高与⊙O的直径相等，如图放置，⊙O与B C 相切于点C ，⊙O 与A C 相交于点E，（1）求等边三角形的高；（2）求C E的长度；（3）若将等边三角形A B C 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），求α为多少时，等边三角形的边所在的直线与圆相切．24．如图，A B 是⊙O的直径，A B ＝12，弦C D ⊥A B 于点E，∠D A B ＝30°．(1)求扇形OA C 的面积；(2)求弦C D 的长．25．如图，A B 为半圆O的直径，A C 是⊙O的一条弦，D 为BC的中点，作D E⊥A C ，交A B 的延长线于点F，连接D A ．（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若D A ＝D F＝（结果保留根号和π）26．如图，已知半圆O 的直径DE 12cm =，在ABC 中，ACB 90∠=，ABC 30∠=，BC 12cm =，半圆O 以2cm /s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点D 、E 始终在直线BC 上．设运动时间为()t s ，当t 0s =时，半圆O 在ABC 的左侧，OC 8cm =．()1当t 为何值时，ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切？() 2当ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切时，如果半圆O 与直线DE 围成的区域与ABC 三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．参考答案1．如图，⊙O 是△A B C 外接圆，∠A =40°，则∠OB C =（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°[答案]C [解析][分析]根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求得∠B OC ，再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的两个底角相等进行计算．[详解]连接OC ，如图，根据圆周角定理，得∠B OC =2∠A =80°∵OB =OC∴∠OB C =∠OC B ==50°． 1802BOC ︒-∠[点评]本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；也考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．2．如图，在△A B C 中，C os B ＝，sin C ＝，A C ＝5，则△A B C 的面积是( )A ．B ．12C ．14D ．21[答案]A[解析][分析]根据已知作出三角形的高线A D ，进而得出A D ，B D ，C D ，的长，即可得出三角形的面积．[详解]解：过点A 作A D ⊥B C ，∵△A B C 中，，sinC =，A C =5， ∴C osB ==， ∴∠B =45°，∵sinC ===， 235212352BD AB 35AD AC 5AD∴，∴B D =3，则△A B C 的面积是：×A D ×B C =×3×（3+4）=．故选：A ．[点评]此题主要考查了解直角三角形的知识，作出A D ⊥B C ，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．3．如图，与正方形A B C D 的两边A B ，A D 相切，且D E与相切于点E．若的半径为5，且，则D E的长度为（）A ．5B ．6CD ．[答案]B[解析][分析]连接OE，OF，OG，根据切线性质证四边形A B C D 为正方形，根据正方形性质和切线长性质可得D E=D F.[详解]连接OE，OF，OG，1212212O O O 11AB=112∵A B ，A D ，D E 都与圆O 相切，∴D E ⊥OE ，OG ⊥A B ，OF ⊥A D ，D F=D E ，∵四边形A B C D 为正方形，∴A B =A D =11，∠A =90°，∴∠A =∠A GO=∠A FO=90°，∵OF=OG=5，∴四边形A FOG 为正方形，则D E=D F=11-5=6，故选：B[点评]考核知识点：切线和切线长定理.作辅助线，利用切线长性质求解是关键.4．如图，在矩形A B C D 中，A B ＝8，A D ＝12，经过A ，D 两点的⊙O 与边B C 相切于点E ，则⊙O 的半径为（ ）A ．4B ．C ．5D ． [答案]D [解析][分析]连结EO 并延长交A D 于F ，连接A O ，由切线的性质得OE ⊥B C ，再利用平行线的性质得到214254OF ⊥A D ，则根据垂径定理得到A F=D F= A D =6，由题意可证四边形A B EF 为矩形，则EF=A B =8，设⊙O 的半径为r ，则OA =r ，OF=8-r ，然后在Rt △A OF 中利用勾股定理得到（8-r ）2+62=r 2，再解方程求出r 即可．[详解]如图，连结EO 并延长交A D 于F ，连接A O ，∵⊙O 与B C 边相切于点E ，∴OE ⊥B C ，∵四边形A B C D 为矩形，∴B C ∥A D ，∴OF ⊥A D ，∴A F=D F= A D =6，∵∠B =∠D A B =90°，OE ⊥B C ，∴四边形A B EF 为矩形，∴EF=A B =8，设⊙O 的半径为r ，则OA =r ，OF=8-r ，在Rt △A OF 中，∵OF 2+A F 2=OA 2，∴（8-r ）2+62=r 2，1212解得r=， 故选D ．[点评]本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和矩形的性质．解决本题的关键是构建直角三角形，利用勾股定理建立关于半径的方程．5．如图，为圆心，是直径，是半圆上的点，是上的点.若，则的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．[答案]A [解析][分析]连接B D ，由A B 是直径可得∠A D B =90°，根据圆周角定理可知∠B D C =∠B OC ，进而可求出∠D 的度数.[详解]连接B D ， ∵是直径，是上的点，254OAB C D AC BOC 40∠=D∠11012013014012AB D AC∴∠A D B =90°，∵∠B D C 与∠B OC 是弦B C 所对的圆周角和圆心角，∠B OC =40°，∴∠B D C =∠B OC =20°， ∴∠A D C =∠A D B +∠B D C =90°+20°=110°.故选A .[点评]本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；直径所对的圆周角等于90°. 6．边长为2的正方形内接于⊙O ，则⊙O 的半径是（ ）A ．1BC ．2D ．[答案]B[解析][分析]连接OB ，C O ，在Rt △B OC 中，根据勾股定理即可求解．[详解]解：连接OB ，OC ，则OC＝OB ，∠B OC ＝90°， 在Rt △B OC 中， ∴⊙O故选：B ．12OB ===[点评]此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．7．如图，A B 是⊙O 的弦，A O 的延长线交过点B 的⊙O 的切线于点C ，如果∠C A B =30°，则OC 的长度为（）A ．B．2 C ． D ．4[答案]D [解析][分析]连接OB ，作OH ⊥A B 于H ，根据垂径定理求出A H ，根据余弦的定义求出OA ，根据切线的性质定理得到∠OB C =90°，根据直角三角形的性质计算即可．[详解]解：连接OB ，作OH ⊥A B 于H ，则A H=HB = 在Rt △A OH 中，OA ==2，12AH cos A =∠∠B OC =2∠A =60°，∵B C 是⊙O 的切线，∴∠OB C =90°，∴∠C =30°，∴OC =2OB =4，故选D ．[点评]本题考查的是切线的性质、垂径定理、圆周角定理，掌握切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．8．在Rt △A B C 中，∠C =90°，A C =8C m ，A B =10C m ，以C 为圆心，以9C m 长为直径的⊙C 与直线A B 的位置关系为（ ）A ．相交B ．相离C ．相切D ．相离或相交[答案]B[解析][分析]此题首先应求得圆心到直线的距离D ，据直角三角形的面积公式即可求得；若D ＜r ，则直线与圆相交；若D =r ，则直线于圆相切；若D ＞r ，则直线与圆相离．[详解]解：∵A C =8C m ，A B =10C m ， ∴，S △A B C =A C ×BC =×6×8=24， ∴A B 上的高为：24×2÷10=4.8，即圆心到直线的距离是4.8，∵r=4.5，1212∴4.8＞4.5∴⊙C 与直线A B 相离，故选B ．[点评]本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据三角形的面积求出斜边上的高的长度是解答此题关键．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．9．如图，C D 为圆O的直径，弦A B ⊥C D ，垂足为E，C E=1，半径为25，则弦A B 的长为()A ．24B ．14C ．10D ．7[答案]B[解析][分析]连接OA ，根据垂径定理得到A E=EB ，根据勾股定理求出A E，得到答案．[详解]连接OA ，∵C D 为圆O的直径，弦A B ⊥C D ，∴A E=EB ，由题意得，OE=OC -C E=24，在Rt△A OE中，=7，∴A B =2A E=14，故选B ．[点评]本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 10．如图，用不同颜色的马赛克片覆盖一个圆形的台面，估计圆心角的扇形部分大约需要片马赛克片．已知每箱装有片马赛克片，那么应该购买多少箱马赛克片才能铺满整个台面（ ）A ．箱B ．箱C ．箱D ．箱[答案]B [解析][分析]利用扇形面积公式即可计算．[详解]360÷15=24，所以覆盖一个圆形的台面需24×34=816片马赛克片，816÷125=6.53．故选B ．[点评]本题看似是一个求扇形面积的题，但是不是，只要算出圆形中有几个15度的扇形即可求出此题． 11．如图所示，扇形纸扇完全打开后，弧B C ，弧D E ．外侧两竹条，都等于，贴纸的宽度，都等于，则贴纸的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．[答案]B 153412556~67~78~89~60cm =20cm =AB AC 30cm BD CE20cm 2400cm 2800cm 21200cm 21600cm[解析][分析]根据扇形的面积公式：S 扇形=lr ，即可求得扇形B A C 的面积和扇形D A E 的面积，根据贴纸的面积是：扇形B A C 的面积﹣扇形D A E 的面积即可求解．[详解]A D =AB ﹣B D =30﹣20=10C m ．扇形B A C 的面积是：•A B =×60×30=900C m 2． 扇形D A E 的面积是：•A D =×20×10=100C m 2，∴贴纸的面积是：扇形B A C 的面积﹣扇形D A E 的面积=900﹣100=800C m 2．故选B ．[点评]本题考查了扇形的面积的计算，关键是理解贴纸的面积是：扇形B A C 的面积﹣扇形D A E 的面积，把不规则的图形转化成规则图形的面积求解．12．如图，△A B C 的内切圆⊙O 与A B ，B C ，C A 分别相切于点D ，E ，F ，且A D ＝2，B C ＝5，则△A B C 的周长为( )A ．16B ．14C ．12D ．10[答案]B [解析][分析]根据切线长定理进行求解即可.[详解]∵△A B C 的内切圆⊙O 与A B ，B C ，C A 分别相切于点D ，E ，F ，∴A F ＝A D ＝2，B D ＝B E ，C E ＝C F ，1212BC 1212DE 12∵B E+C E ＝B C ＝5，∴B D +C F ＝B C ＝5，∴△A B C 的周长＝2+2+5+5＝14，故选B ．[点评]本题考查了三角形的内切圆以及切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键.13．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的函数表达式为y ＝x ，点O 1的坐标为（1，0），以O 1为圆心，O 1O 为半径画圆，交直线l 于点P 1，交x 轴正半轴于点O 2，以O 2为圆心，O 2O 为半径画圆，交直线l 于点P 2，交x 轴正半轴于点O 3，以O 3为圆心，O 3O 为半径画圆，交直线l 于点P 3，交x 轴正半轴于点O 4；…按此做法进行下去，其中的长为_____．[答案]22015π[解析][分析]连接P 1O 1，P 2O 2，P 3O 3，易求得P n O n 垂直于x 轴，可知为圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题．[详解]解：连接P 1O 1，P 2O 2，P 3O 3…， 20172018PO 1n n P O 14∵P 1 是⊙O 1上的点，∴P 1O 1＝OO 1，∵直线l 解析式为y ＝x ，∴∠P 1OO 1＝45°，∴△P 1OO 1为等腰直角三角形，即P 1O 1⊥x 轴，同理，P n O n 垂直于x 轴，∴ 为圆的周长， ∵以O 1为圆心，O 1O 为半径画圆，交x 轴正半轴于点O 2，以O 2为圆心，O 2O 为半径画圆，交x 轴正半轴于点O 3，以此类推，∴OO 1＝1＝20，OO 2＝2＝21，OO 3＝4＝22，OO 4＝8＝23，…，∴OO n ＝，∴，∴，故答案为：22015π．[点评]本题考查了图形类规律探索、一次函数的性质、等腰直角三角形的性质以及弧长的计算，本题中准确找到圆半径的规律是解题的关键．1n n P O 1412n -12112224n n n n P O 201520172018P 2O π=14．如图，点B ，C ，D 在⊙O 上，若∠B C D =130°，则∠B OD 的度数是________°．[答案][解析][分析]首先圆上取一点A ，连接A B ，A D ，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠B A D +∠B C D =180°，即可求得∠B A D 的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．[详解]圆上取一点A ，连接A B ，A D ，∵点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠B C D =130°，∴∠B A D =50°，∴∠B OD =100°.故答案为100°. [点评]此题考查圆周角定理，圆的内接四边形的性质，解题关键在于掌握其定义.15．如图，边长为6的正六边形A B C D EF 的中心与坐标原点O 重合，A F ∥x 轴．将正六边形绕原点逆时针旋转n 次，每次旋转60°，当n =2019时，顶点A 的坐标为_____．100[答案]（3，[解析][分析]将正六边形A B C D EF 绕原点O 逆时针旋转2019次时，点A 所在的位置就是原D 点所在的位置．[详解]2019×60°÷360°=336…3，即与正六边形A B C D EF绕原点O 逆时针旋转3次时点A 的坐标是一样的． 当点A 按逆时针旋转180°时，与原D 点重合．连接OD ，过点D 作D H ⊥x 轴，垂足为H ；由已知ED =6，∠D OE =60°（正六边形的性质），∴△OED 是等边三角形，∴OD =D E =OE =6． ∵D H ⊥OE ，∴∠OD H =30°，OH =HE =3，HD =∵D 在第四象限，∴D （3，﹣，即旋转2019后点A 的坐标是（3，﹣．故答案为：（3，﹣．[点评]本题考查了正多边形和圆、旋转变换的性质，掌握正多边形的性质、旋转变换的性质是解题的关键． 16．如图，A B 是⊙O 的切线，B 为切点，A O 的延长线交⊙O 于C 点，连接B C ，如果∠A =30°，A B =2A C 的长等于______．[答案]6 [解析][分析]连接OB ，首先利用切线的性质可得∠A B O=90°，接下来在△A B O 中，利用正切与余弦的定义即可求出OB 与OA 的长；然后根据圆的半径相等，并结合线段之间的关系进行解答即可.[详解]连接OB ，如图所示.∵A B 是圆O 的切线，∴∠A B O =90°.∵∠A =30°，∴tA n A =，C os A =， ∴OB =2，OA =4，3OB AB =2AB OA =∴A C =4+2=6.故答案为6.[点评]本题是一道关于直线与圆的位置关系的题目，解答本题的关键是熟练掌握切线的性质与锐角三角函数的定义.17．如图，D 、E 分别是⊙O 两条半径OA 、OB 的中点， ．（1）求证：C D =C E ．（2）若∠A OB =120°，OA =x ，四边形OD C E 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．[答案]（1）证明见解析；（2）y=x 2． [解析][分析]（1）连接OC ，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠C OA =∠C OB ，证明△C OD ≌△C OE ，根据全等三角形的性质证明；（2）连接A C ，根据全等三角形的判定定理得到△A OC 为等边三角形，根据正切的定义求出C D ，根据三角形的面积公式计算即可．[详解]（1）证明：连接OC ，AC=CB4∵，∴∠C OA =∠C OB ，∵D 、E 分别是⊙O 两条半径OA 、OB 的中点，∴OD =OE ，在△C OD 和△C OE 中，，∴△C OD ≌△C OE （SA S ）∴C D =C E ；（2）连接A C ，∵∠A OB =120°，∴∠A OC =60°，又OA =OC ，∴△A OC 为等边三角形，∵点D 是OA 的中点，∴C D ⊥OA ，OD =OA =x ， 在Rt △C OD 中，C D =OD •t A n ∠C OD =， ∴四边形OD C E 的面积为y=×OD ×C D ×2． [点评]本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定定理和性质定理是同角的关键．AC=CB OD OE COD COE OC OC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝121221218．如图，点C 在以A B 为直径的半圆⊙O 上，A C =B C ．以B 为圆心，以B C 的长为半径画圆弧交A B 于点D ．（1）求∠A B C 的度数；（2）若A B =2，求阴影部分的面积．[答案]（1）45°；（2）．[解析][分析]（1）根据圆周角定理得到∠A C B =90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）根据阴影部分的面积=S △A B C －S 扇形D B C 即可得到结论．[详解]（1）∵A B 为半圆⊙O 的直径，∴∠A C B =90°．∵A C =B C ，∴∠A B C =45°；（2）∵A C =B C ，∴∠A B C =45°，∴△A B C 是等腰直角三角形．∵A B =2，∴B C = A B，∴阴影部分的面积=S △A B C －S 扇形D B C =．[点评]本题考查了不规则图形面积的计算，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．19．如图，正方形A B C D 内接于⊙O ，M 为弧A D 中点，连接B M ，C M ．（1）求证：B M =C M ；（2）当⊙O 的半径为2时，求∠B OM 的度数． 14π-221452360π⨯⨯14π=-[答案]（1）答案见解析；（2）135°．[解析][分析]（1）根据正方形的性质得到A B =C D ，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论；（2）连接OA 、OB 、OM ，根据正方形的性质求出∠A OB 和∠A OM ，计算即可．[详解]（1）∵四边形A B C D 是正方形，∴A B =C D ，∴．∵M 为的中点，∴，∴，∴B M =C M ；（2）连接OA 、OB 、OM ．∵四边形A B C D 是正方形，∴∠A OB =90°．∵M 为弧A D 的中点，∴∠A OM =45°，∴∠B OM =∠A OB +∠A OM =135°．[点评]本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键．20．如图,点O 在边长为的正方形A B C D 的对角线A C 上,以O 为圆心OA 为半径的⊙O 交A B 于AB CD =BM CM =AB CD =AD AM DM =BM CM =点E.（1）⊙O过点E的切线与B C 交于点F,当0＜OA ＜6时,求∠B FE的度数;（2）设⊙O与A B 的延长线交于点M,⊙O过点M的切线交B C 的延长线于点N,当6＜OA ＜12时,利用备用图作出图形,求∠B NM的度数.[答案]（1）∠B FE=45°；（2）∠B NM=45°.[解析][分析]（1）连结OE，根据圆的半径都相等可得OA =OE，再根据等边对等角可得∠EA O=∠A EO，接下来再根据正方形以及切线性质即可得到∠B EF=45°，至此，再根据三角形内角和是180°即可得到∠B FE 的度数了；（2）根据题意画出图形，连结OM，根据等边对等角的性质和正方形的性质可得∠OA M=∠A MO=45°，至此，再根据切线的性质以及三角形内角和定理进行求解即可；[详解](1)连接OE,如解图,∵四边形A B C D 为正方形,∴∠2=45°,∵OE=OA ,∴∠1=∠2=45°,∵EF为⊙O的切线,∴OE⊥EF,∴∠OEF=90°,∴∠B EF=45°,∵∠B =90°,∴∠B FE=45°;(2)连接OM,如解图,∵OM=OA ,∴∠OMA =∠OA M=45°,∵MN 为⊙O 的切线,∴OM ⊥MN,∴∠OMN=90°,∴∠B MN=45°,∵∠MB N=90°,∴∠B NM=45°.[点评]本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质.切线的性质：①过切点及圆心的线段垂直于该切线；②圆心到切点的距离等于圆的半径.21．在△A B C 中，，以边A B 上一点O 为圆心，OA 为半径的圈与B C 相切于点D ，分别交A B ，A C 于点E ，F（I ）如图①，连接A D ，若，求∠B 的大小；（Ⅱ）如图②，若点F 为的中点，的半径为2，求A B 的长．90︒∠=C 25CAD ︒∠=ADO[答案](1)∠B =40°；(2)A B = 6.[解析][分析]（1）连接OD ，由在△A B C 中, ∠C =90°，B C 是切线,易得A C ∥OD ,即可求得∠C A D =∠A D O ,继而求得答案;（2）首先连接OF,OD ,由A C ∥OD 得∠OF A =∠FOD ,由点F为弧A D 的中点,易得△A OF是等边三角形,继而求得答案.[详解]解:(1)如解图①,连接OD ,∵B C 切⊙O于点D ,∴∠OD B =90°,∵∠C =90°,∴A C ∥OD ,∴∠C A D =∠A D O,∵OA =OD ,∴∠D A O=∠A D O=∠C A D =25°,∴∠D OB =∠C A O=∠C A D ＋∠D A O=50°,∵∠OD B =90°,∴∠B =90°－∠D OB =90°－50°=40°;(2)如解图②,连接OF,OD ,∵A C ∥OD ,∴∠OFA =∠FOD ,∵点F为弧A D 的中点,∴∠A OF=∠FOD ,∴∠OFA =∠A OF,∴A F=OA ,∵OA =OF,∴△A OF为等边三角形,∴∠FA O=60°,则∠D OB =60°,∴∠B =30°,∵在Rt△OD B 中,OD =2,∴OB =4,∴A B =A O＋OB =2＋4=6.[点评]本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质.熟练掌握切线的性质是解（1）的关键，证明△A OF为等边三角形是解（2）的关键.22．如图，已知△A B C 中，以A B 为直径的半⊙O交A C 于D ，交B C 于E，B E=C E，∠C =70°，求∠D OE的度数．[答案]∠D OE =40°．[解析][分析]连接A E，判断出A B =A C ，根据∠B =∠C =70°求出∠B A C =40°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠D OE的度数．[详解]连接A E，∵A B 是⊙O的直径，∴∠A EB =90°，∴A E⊥B C ，∵B E=C E，∴A B =A C ，∴∠B =∠C =70°，∠B A C =2∠C A E，∴∠B A C =40°，∴∠D OE=2∠C A E=∠B A C =40°．[点评]本题考查了等腰三角形的性质和圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.23．一个边长为4的等边三角形A B C 的高与⊙O的直径相等，如图放置，⊙O与B C 相切于点C ，⊙O 与A C 相交于点E，（1）求等边三角形的高；（2）求C E 的长度；（3）若将等边三角形A B C 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），求α为多少时，等边三角形的边所在的直线与圆相切．[答案]（1）（2）3；（3）α＝60°或120°或180°或300°. [解析][分析]（1）作A M⊥MC 于M,在直角三角形A C M中,利用勾股定理即可解题,（2）连接EF,在直角三角形C EF 中, 利用勾股定理即可解题,（3）画出图形即可解题.[详解]解：（1）如图，作A M ⊥MC 于M ．∵△A B C 是等边三角形，∴∠MA C ＝∠MA B ＝30°，∴C M ＝ A C ＝2， ∴A M ＝（2）∵C F 是⊙O 直径，∴C F ＝C M ＝EF ，则∠C EF ＝90°，∵∠EC F ＝90°﹣∠A C B ＝30°，12∴EF ＝ C F∴C E＝3．（3）由图象可知，α＝60°或120°或180°或300°时，等边三角形的边所在的直线与圆相切．[点评]本题考查了直线和圆的位置关系,属于简单题,作辅助线和利用勾股定理求边长是解题关键. 24．如图，A B 是⊙O 的直径，A B ＝12，弦C D ⊥A B 于点E ，∠D A B ＝30°．(1)求扇形OA C 的面积；(2)求弦C D 的长．[答案]（1）12π；（2）[解析][分析]（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理求出∠C A B ，根据三角形内角和定理求出∠A OC ，根据扇形面积公式计算；（2）根据正弦的定义求出C E ，根据垂径定理计算即可．[详解]（1）∵弦C D ⊥A B ，∴，12∴∠C A B ＝∠D A B ＝30°，∵OA ＝OC ，∴∠OC A ＝∠OA C ＝30°，∴∠A OC ＝120°，∴扇形OA C 的面积＝＝12π；（2）由圆周角定理得，∠C OE ＝2∠C A B ＝60°，∴C E ＝OC ×sin ∠C OE ＝3，∵弦C D ⊥A B ，∴C D ＝2C E ＝6．[点评]本题考查了扇形面积计算，圆周角定理，垂径定理的应用，掌握扇形面积公式是解题的关键． 25．如图，A B 为半圆O 的直径，A C 是⊙O 的一条弦，D 为的中点，作D E ⊥A C ，交A B 的延长线于点F ，连接D A ．（1）求证：EF 为半圆O 的切线；（2）若D A ＝D F ＝，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）[答案]（1）证明见解析 （2）﹣6π [解析][分析]（1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD ⊥EF ，即可得出答案； BC 2（2）直接利用得出S△A C D ＝S△C OD ，再利用S阴影＝S△A ED ﹣S扇形C OD ，求出答案．[详解]（1）证明：连接OD ，∵D 为弧B C 的中点，∴∠C A D ＝∠B A D ，∵OA ＝OD ，∴∠B A D ＝∠A D O，∴∠C A D ＝∠A D O，∵D E⊥A C ，∴∠E＝90°，∴∠C A D +∠ED A ＝90°，即∠A D O+∠ED A ＝90°，∴OD ⊥EF，∴EF为半圆O的切线；（2）解：连接OC 与C D ，∵D A ＝D F，∴∠B A D ＝∠F，∴∠B A D ＝∠F＝∠C A D ，又∵∠B A D +∠C A D +∠F＝90°，∴∠F＝30°，∠B A C ＝60°，∵OC ＝OA ，∴△A OC 为等边三角形，∴∠A OC ＝60°，∠C OB ＝120°，∵OD ⊥EF ，∠F ＝30°，∴∠D OF ＝60°，在Rt △OD F 中，D F ＝∴OD＝D F •t A n30°＝6，在Rt △A ED 中，D A ＝，∠C A D ＝30°，∴D E ＝D A •sin30°＝EA ＝D A •C os30°＝9，∵∠C OD＝180°﹣∠A OC ﹣∠D OF ＝60°，由C O ＝D O ，∴△C OD 是等边三角形，∴∠OC D ＝60°，∴∠D C O ＝∠A OC ＝60°，∴C D ∥A B ，故S △A C D ＝S △C OD ，∴S 阴影＝S △A ED ﹣S 扇形C OD ＝＝．[点评]此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形及扇形面积求法等知识，得出S △A C D ＝S △C OD 是解题关键．2160962360π⨯⨯⨯62π-26．如图，已知半圆的直径，在中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动时间为，当时，半圆在的左侧，． 当为何值时，的一边所在直线与半圆所在的圆相切？当的一边所在直线与半圆所在的圆相切时，如果半圆与直线围成的区域与三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．[答案]（1）1s 或4s 或7s 或16s ；（2）或．[解析][分析]（1）随着半圆的运动分四种情况：①当点E 与点C 重合时，A C 与半圆相切，②当点O 运动到点C 时，A B 与半圆相切，③当点O 运动到B C 的中点时，A C 再次与半圆相切，④当点O 运动到B 点的右侧时，A B 的延长线与半圆所在的圆相切．分别求得半圆的圆心移动的距离后，再求得运动的时间．（2）在1中的②，③中半圆与三角形有重合部分．在②图中重叠部分是圆心角为90°，半径为6C m 的扇形，故可根据扇形的面积公式求解．在③图中，所求重叠部分面积为=S △POB +S 扇形D OP ．[详解]解：（1）①如图，当点E 与点C 重合时，A C ⊥OE ，OC =OE =6C m ，所以A C 与半圆O 所在的圆相切，此时点O 运动了2C m ，所求运动时间为：t ==1（s ）； ②如图，当点O 运动到点C 时，过点O 作OF ⊥A B ，垂足为F ．在Rt △FOB 中，∠FB O =30°，OB =12C m ，则OF =6C m ，即OF 等于半圆O 的半径，所以A B 与半圆O 所在的圆相切．此时点O 运动了8C m ，所求运动时间为：t ==4（s ）； ③如图，当点O 运动到B C 的中点时，A C ⊥OD ，OC =OD =6C m ，所以A C 与半圆O 所在的圆相切．此时点O 运动了14C m ，所求运动时间为：t ==7（s ）； O DE 12cm =ABC ACB 90∠=ABC 30∠=BC 12cm =O 2cm /s D E BC ()t s t 0s =O ABC OC 8cm =()1t ABC O () 2ABC O O DEABC 29πcm （）26πcm （）2282142④如图，当点O运动到B 点的右侧，且OB =12C m时，过点O作OQ⊥A B ，垂足为Q．在Rt△QOB 中，∠OB Q=30°，则OQ=6C m，即OQ等于半圆O所在的圆的半径，所以直线A B 与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了32C m，所求运动时间为：t==16（s）．综上所述：t=1s或4s或7s或16s．（2）当△A B C 的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径D E围成的区域与△A B C 三边围成的区域有重叠部分的只有如图②与③所示的两种情形．①如图②，设OA 与半圆O的交点为M，易知重叠部分是圆心角为90°，半径为6C m的扇形，所求重叠部分面积为：S扇形EOM=π×62=9π（C m2）；②如图③，设A B 与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥A B ，垂足为H．则PH=B H．在Rt△OB H中，∠OB H=30°，OB =6C m，则OH=3C m，B H，B P，S△POB=××C m2），又因为∠D OP=2∠D B P=60°，所以S扇形D OP==6π（C m2），所求重叠部分面积为：S△POB+S扇形D OP（C m2）．综上所述：重叠面积为或．[点评]本题利用了直线与圆相切的概念，扇形的面积公式，直角三角形的面积公式，锐角三角函数的概念求解．32214122606360π⨯29πcm（）26πcm（）。
数学九年级上册《圆》单元综合检测题(含答案)
故(2)(5)正确，
故选B．
【点睛】本题考查圆周角定理、线段的垂直平分线的性质、垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9.如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长交⊙O于点D，∠D=30°，则∠BAD的度数是()
6.如图，以半径为2的正六边形ABCDEF的中心O为原点建立平面直角坐标系，顶点A，D在x轴上，则点C的坐标为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题解析:连接OC．
∵∠COD=60°，OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OC=OD=2．
设BC交y轴于G，则∠GOC=30°．
在Rt△GOC中，∵∠GOC=30°，OC=2，
(1)请直接写出旋转角的度数;
(2)若BC=2 ，试求线段BC在上述旋转过程中所扫过部分的面积．
23.已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．
(1)求证:ED=EC;
(2)若CD=3，EC=2 ，求AB的长．
24.如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F，BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB，
(1)求证:DC是⊙O 切线;
(2)若⊙O半径为4，∠OCE=30°，求△OCE的面积．
20.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P，AC=8，BC=6．
(1)当点O在AC上时，求证:2∠ACP=∠B;
人教版数学九年级上册《圆》单元综合检测(附答案)
人教版数学九年级上学期《圆》单元测试（满分120分,考试用时120分钟）一、选择题（共 10 小题 ,每小题 3 分 ,共 30 分）1.在同圆或等圆中,如果弧AB的长度=弧CD的长度,则下列说法正确的个数是（）弧AB的度数等于弧CD的度数；所对的圆心角等于弧CD所对的圆心角；弧AB和弧CD是等弧；弧AB所对的弦的弦心距等于弧CD所对的弦的弦心距．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.、是直线上的两个不同的点,且,的半径为,下列叙述正确的是（）A. 点在外B. 点在外C. 直线与一定相切D. 若,则直线与相交3. 如图,已知⊙O的半径为5,点O到弦AB的距离为2,则⊙O上到弦AB所在直线的距离为3的点有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.如图,在中,已知,是圆周上的一点,则为（）A. B. C. D.5.如图,正六边形内接于圆,圆的半径为,则这个正六边形的边心距和的长分别为（）A. 、B. 、C. 、D. 、6.高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面,若它的形状是以为圆心的圆的一部分,路面米,净高米,则此圆的半径A. 米B. 米C. 米D. 米7.已知和三点、、,的半径为,,,,经过这三点中的一点任意作直线总是与相交,这个点是（）A. B. C. D. 或8.如图,,是的直径,的半径为,,以为圆心,以为半径作,则与围成的新月形的面积为（）平方单位．A. B. C. D.9.如图,已知：是的直径,、是上的三等分点,,则是（）A. B. C. D.10.如图,点,,在上,点在圆外,则下列结论正确的是（）A. ∠C>∠DB. ∠C<∠DC. ∠C=∠DD. ∠C=2∠D二、填空题（共 10 小题 ,每小题 3 分 ,共 30 分）11.在,,,,点是的外心,现在以为圆心,分别以、、为半径作,则点与的位置关系分别是________．12.如下图,在以为圆心的两个同心圆中,大圆的弦交小圆于和两点,,,则长为________．13.已知：如图,为半的直径,、、为半圆弧上的点,,,则的度数为________度．14.如图,边长为的正方形的顶点、在一个半径为的圆上,顶点、在圆内,将正方形沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点第一次落在圆上时,点运动的路径长为________．15.已知中,,,,直线过点且与平行,若以为轴将旋转一周,则所得的几何体的表面积为________．（不求近似值）16.如图,已知是的直径,为弦,度．过圆心作交于点,连接,则________度．17.如图,的边位于直线上,,,,若由现在的位置向右无滑动地旋转,当第次落在直线上时,点所经过的路线的长为________（结果用含有的式子表示）18.如图,圆柱底面半径为,高为,点、分别是圆柱两底面圆周上的点,且、在同一母线上,用一棉线从顺着圆柱侧面绕圈到,求棉线最短为________．19.以矩形的顶点为圆心作,要使、、三点中至少有一点在内,且至少有一点在外,如果,,则的半径的取值范围为________．20.如图,在中,是弦,,,那么圆心到的距离是________,弦的长是________．三、解答题（共 6 小题 ,每小题 10 分 ,共 60 分）21.一圆柱形排水管的截面如图所示,已知排水管的半径为,水面宽为．由于天气干燥,水管水面下降,此时排水管水面宽变为,求水面下降的高度．22.如图,在中,弦、于点,且．求证：．23.如图,在中,,,求分别以、、为圆心,以为半径画弧,三条弧与边所围成的阴影部分的面积．24.已知：如图,的外接圆,弦的长为,,求圆心到的距离．25.如图,已知为的直径,是弦,于,于,．求证：；求证：；若,,设,求值及阴影部分的面积．26.如图,内接于,,,．求的度数；将沿折叠为,将沿折叠为,延长和相交于点；求证：四边形是正方形；若,,求的长．参考答案一、选择题（共 10 小题 ,每小题 3 分 ,共 30 分）1.在同圆或等圆中,如果弧AB的长度=弧CD的长度,则下列说法正确的个数是（）弧AB的度数等于弧CD的度数；所对的圆心角等于弧CD所对的圆心角；弧AB和弧CD是等弧；弧AB所对的弦的弦心距等于弧CD所对的弦的弦心距．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】由在同圆或等圆中,的长度=的长度,根据弧长公式得到它们所对的圆心角相等,再根据在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等,则另外两组量也对应相等,即可对选项进行判断．【详解】∵在同圆或等圆中,的长度=的长度,∴弧AB和弧CD所对的圆心角相等,∴的度数等于的度数；∴和是等弧；∴所对的弦的弦心距等于所对的弦的弦心距．故选D．【点睛】本题考查了在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等,则另外两组量也对应相等．在圆中经常利用此结论把圆心角、弧、弦之间进行转化．2.、是直线上的两个不同的点,且,的半径为,下列叙述正确的是（）A. 点在外B. 点在外C. 直线与一定相切D. 若,则直线与相交【答案】D【解析】【分析】由P、Q是直线l上的两个不同的点,且OP=5,⊙O的半径为5,可得点P在⊙O上,直线l与⊙O相切或相交；若OQ=5,则直线l与⊙O相交．【详解】∵OP=5,⊙O的半径为5,∴点P在⊙O上,故A错误；∵P是直线l上的点,∴直线l与⊙O相切或相交；∴若相切,则OQ＞5,且点Q在⊙O外；若相交,则点Q可能在⊙O上,⊙O外,⊙O内；故B、C错误．∴若OQ=5,则直线l与⊙O相交；故D正确．故选D．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系,注意掌握分类讨论思想的应用是解题关键.3. 如图,已知⊙O的半径为5,点O到弦AB的距离为2,则⊙O上到弦AB所在直线的距离为3的点有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据垂径定理计算．解答：解：如图OD=OA=OB=5,OE⊥AB,OE=3,∴DE=OD-OE=5-3=2cm,∴点D是圆上到AB距离为2cm的点,∵OE=3cm＞2cm,∴在OD上截取OH=1cm,过点H作GF∥AB,交圆于点G,F两点,则有HE⊥AB,HE=OE-OH=2cm,即GF到AB的距离为2cm,∴点G,F也是圆上到AB距离为2cm的点．故选C．点评：本题利用了垂径定理求解,注意圆上的点到AB距离为2cm的点不唯一,有三个．4.如图,在中,已知,是圆周上的一点,则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据题画出图形,然后在优弧上取点D,连接AD,BD,根据圆周角的性质,即可求得∠ADB的度数,又由圆的内接四边形的性质,即可求得∠ACB的度数．【详解】如图：在优弧上取点D,连接AD,BD,∵∠AOB=100°,∴∠ADB=∠AOB=55°,∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形,∴∠ADB+∠ACB=180°,∴∠ACB=125°．故选B．【点睛】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质,根据题意作出图形,掌握数形结合思想的应用及圆周角定理是解题关键．5.如图,正六边形内接于圆,圆的半径为,则这个正六边形的边心距和的长分别为（）A. 、B. 、C. 、D. 、【答案】D【解析】试题解析：连接OC,OD,∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形,∴∠COD=60°,∵OC=OD,OM⊥CD,∴∠COM=30°,∵OC=6,∴OM=6cos30°=3,∴=2π故选D．考点：1.正多边形和圆；2.弧长的计算．6.高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面,若它的形状是以为圆心的圆的一部分,路面米,净高米,则此圆的半径A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理可知AD的长,设半径为r,利用勾股定理列方程求出r的值即可．【详解】∵CD⊥AB,∴由垂径定理得AD=6米,设圆的半径为r,则OD2+AD2=OA2,即（9-r）2+62=r2,解得r=米．故选B．【点睛】考查了垂径定理、勾股定理．根据题意构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行计算是解题关键．7.已知和三点、、,的半径为,,,,经过这三点中的一点任意作直线总是与相交,这个点是（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】【分析】根据⊙O的半径为3,OP=2,OQ=3,OR=4,可以知道点P在圆内,点Q在圆上,点R在圆外,因而这三点中P的一点任意作直线总是与⊙O相交．【详解】∵的半径为,,,,∴Q点在圆上；R点在圆外；P点在圆内,∴经过P点任意作直线总是与⊙O相交．故选A．【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d,则当d=R时,点在圆上；当d＞R 时,点在圆外；当d＜R时,点在圆内．准确判断P、Q、R三点与⊙O的位置关系是解决本题的关键．8.如图,,是的直径,的半径为,,以为圆心,以为半径作,则与围成的新月形的面积为（）平方单位．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】新月形ACED的面积是圆O半圆的面积-弓形CED的面积,弓形CED的面积又=扇形BCD面积-三角形BCD 的面积,然后依面积公式计算即可．【详解】∵OC=OB=R,,∴BC=R,）∴新月形ACED的面积=S半圆-（S扇形BCD-S△BCD=-（-)=R2．故选B．【点睛】本题的关键是看出：新月形ACED的面积是圆O半圆的面积-弓形CED的面积,然后逐一求面积即可．9.如图,已知：是的直径,、是上的三等分点,,则是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出∠BOE=120°,再运用“等弧对等角”即可解．【详解】∵∠AOE=60°,∴∠BOE=180°-∠AOE=120°,∴的度数是120°,∵C、D是上的三等分点,∴弧CD与弧ED的度数都是40度,∴∠COE=80°,故选：C.【点睛】本题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半．熟练掌握圆周角定理是解题关键.10.如图,点,,在上,点在圆外,则下列结论正确的是（）A. ∠C>∠DB. ∠C<∠DC. ∠C=∠DD. ∠C=2∠D【答案】A【解析】【分析】根据三角形外角的性质得到∠BEC＞∠BDC,根据圆周角定理得到∠BAC=∠BEC,得到答案【详解】如图：连接AE,∵∠BEA是△ADE的外角,∴∠BEA>∠D,∵∠C=∠BEA,∴∠C>∠D,故A选项正确,则B、C、错误,∵不确定D点的位置,∴∠C不一定等于2∠D,故D选项错误,故选A.【点睛】本题考查的是圆周角定理和三角形的外角的性质的应用,掌握同弧所对的圆周角相等和三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角是解题的关键．二、填空题（共 10 小题 ,每小题 3 分 ,共 30 分）11.在,,,,点是的外心,现在以为圆心,分别以、、为半径作,则点与的位置关系分别是________．【答案】圆外,圆上,圆内【解析】【分析】由点是的外心,可知O为△ABC的外接圆的圆心,因为∠C=90°,由圆周角定理可知AB为外接圆的直径,根据勾股定理可求出AB的长,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可知OC的长度,根据半径的长判断点C的位置即可.【详解】∵,点是的外心,∴AB为⊙O的直径,且O为AB中点,∵,,∴AB==5,∴OC=2.5,∵2.5>2；2.5=2.5； 2.5<3,∴以、、为半径作,则点与的位置关系分别是圆外、圆上、圆内.故答案为：圆外、圆上、圆内【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d,则当d=R时,点在圆上；当d＞R 时,点在圆外；当d＜R时,点在圆内．根据圆周角定理确定O点的位置是解题关键.12.如下图,在以为圆心的两个同心圆中,大圆的弦交小圆于和两点,,,则长为________．【答案】【解析】【分析】如图：作OE⊥AB于E,根据垂径定理可知CE=CD,AE=AB,根据AC=AE-CE求出AC的长即可.【详解】如图：作OE⊥AB于E,∴根据垂径定理得：CE=CD=3,AE=AB=5,∴AC=AE-CE=2.故答案为：2【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧,熟练掌握垂径定理是解题关键.13.已知：如图,为半的直径,、、为半圆弧上的点,,,则的度数为________度．【答案】【解析】【分析】根据同圆中,等弧所对的圆心角相等可知∠BOC的度数,即可求出∠AOC的度数.【详解】∵,∠BOE=55°,∴∠COD=∠DOE=∠BOE=55°,∴∠BOC=165°,∴∠AOC=180°-165°=15°,故答案为：15【点睛】本题考查圆周角定理,在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等,则另外两组量也对应相等．在圆中经常利用此结论把圆心角、弧、弦之间进行转化．14.如图,边长为的正方形的顶点、在一个半径为的圆上,顶点、在圆内,将正方形沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点第一次落在圆上时,点运动的路径长为________．【答案】【解析】【分析】设圆心为O,连接AO,BO,AC,AE,易证三角形AOB是等边三角形,确定∠GFE=∠EAC=30°,再利用弧长公式计算即可．【详解】如图所示：设圆心为O,连接AO,BO,AC,AE,∵AB=,AO=BO=,∴AB=AO=BO,∴△AOB是等边三角形,∴∠AOB=∠OAB=60°同理：△FAO是等边三角形,∠FAB=2∠OAB=120°,∠DAF=120°-90°=30°,即旋转角为30°,∴∠EAC=30°,∠GFE=∠FAD=120°-90°=30°,∵AD=AB=,∴AC=2,∴当点C第一次落在圆上时,点C运动的路径长为=（）π；故答案为：（）π【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及弧长公式的运用,题目的综合性较强,解题的关键是正确的求出旋转角的度数．15.已知中,,,,直线过点且与平行,若以为轴将旋转一周,则所得的几何体的表面积为________．（不求近似值）【答案】【解析】【分析】根据,,,可求出△ABC的其余边长,表面积为一个圆锥的侧面积+一个圆的底面积+圆柱的侧面积,按照公式计算即可.【详解】∵Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=10,∴BC=5,AC=5,∴所得几何体的表面积为：π×5×10+π×52+2π×5×5=75π+50．故答案为75π+50．【点睛】考查圆锥的计算；画出相关图形,判断出表面积的组成是解决本题的关键．16.如图,已知是的直径,为弦,度．过圆心作交于点,连接,则________度．【答案】【解析】【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠BOD,再根据圆周角定理∠DCB=∠BOD即可得答案.【详解】∵OD⊥BC交弧BC于点D,∠ABC=30°,∴∠BOD=90°-∠ABC=90°-30°=60°,∴∠DCB=∠BOD=30°．故答案为：30【点睛】本题主要考查圆周角定理,在同圆或等圆中同弧所对的圆周角的度数是圆心角的一半,熟练掌握圆周角定理是解题关键.17.如图,的边位于直线上,,,,若由现在的位置向右无滑动地旋转,当第次落在直线上时,点所经过的路线的长为________（结果用含有的式子表示）【答案】【解析】【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC=1,AB=2BC=2,∠ABC=60°；点A先以B点为旋转中心,顺时针旋转120°到A1,再以点C1为旋转中心,顺时针旋转90°到A2,然后根据弧长公式计算两段弧长,从而得到点A第3次落在直线上时,点A所经过的路线的长．【详解】∵Rt△ABC中,AC=,∠ACB=90°,∠A=30°,∴BC=1,AB=2BC=2,∠ABC=60°；∵Rt△ABC由现在的位置向右无滑动的翻转,且点A第3次落在直线l上时,有3个的长,2个的长, ∴点A经过的路线长=×3+×2=(4+)π.故答案为：(4+)π.【点睛】本题考查了旋转的性质与弧长的计算,解题的关键是熟练的掌握旋转的性质与弧长的计算方法. 18.如图,圆柱底面半径为,高为,点、分别是圆柱两底面圆周上的点,且、在同一母线上,用一棉线从顺着圆柱侧面绕圈到,求棉线最短为________．【答案】【解析】【分析】将圆柱体展开,然后利用两点之间线段最短解答即可.【详解】圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；即在圆柱体的展开图长方形中,将长方形平均分成3个小长方形,A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为2cm,∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2=4πcm；又∵圆柱高为9πcm,∴小长方形的一条边长是3πcm；根据勾股定理求得AC=CD=DB=5πcm；∴AC+CD+DB=15πcm；故答案为：15π．【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形,此长方形的宽等于圆柱底面周长,长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形,“化曲面为平面”,用勾股定理解决．19.以矩形的顶点为圆心作,要使、、三点中至少有一点在内,且至少有一点在外,如果,,则的半径的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】先求出矩形对角线的长,然后由B、C、D与⊙A的位置,确定⊙A的半径的取值范围．【详解】根据题意画出图形如下所示：∵AB=CD=5,AD=BC=12,∴AC=BD==13．∵B、C、D中至少有一个点在⊙A内,且至少有一个点在⊙A外,∴点B在⊙A内,点C在⊙A外．∴5＜r＜13．故答案是：5＜r＜13．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系,要确定点与圆的位置关系,主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时,点在圆外；当d=r时,点在圆上；当d＜r时,点在圆内．20.如图,在中,是弦,,,那么圆心到的距离是________,弦的长是________．【答案】(1). (2).【解析】【分析】过O作OC⊥AB交AB于C点,根据垂径定理可知OC垂直平分AB,根据OA=OB,∠AOB=120°可求出∠OAB=30°,根据30°角所对直角边等于斜边一半即可求得圆心到的距离；根据勾股定理求出AC的长即可求出AB的长.【详解】过O作OC⊥AB交AB于C点,如图所示：由垂径定理可知,OC垂直平分AB,∵OA=OB,∠AOB=120°∴∠OAB=30°∴OC=OA=cm∴由勾股定理可得：AC= =cm∴AB=2AC=5cm.故答案为：；5；【点睛】本题考查垂径定理,垂直于弦的直径,平分弦且平分这条弦所对的两条弧,熟练掌握垂径定理是解题关键.三、解答题（共 6 小题 ,每小题 10 分 ,共 60 分）21.一圆柱形排水管的截面如图所示,已知排水管的半径为,水面宽为．由于天气干燥,水管水面下降,此时排水管水面宽变为,求水面下降的高度．【答案】水面下降了米．【解析】【分析】如图：过点O作ON⊥CD于N,交AB于M,先根据垂径定理求得AM、CN,然后根据勾股定理求出OM、ON的长,即可得出结论【详解】如图,下降后的水面宽CD为6m,连接OA,OC,过点O作ON⊥CD于N,交AB于M．∴∠ONC=90°．∵AB∥CD,∴∠OMA=∠ONC=90°．∵AB=8m,CD=6m,∴AM=AB=4,CN=CD=3,在Rt△OAM中,∵OA=5,∴OM==3．同理可得ON=4,∴MN=ON-OM=1（米）．答：水面下降了1米．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理的应用,熟知垂直于弦的直径平分弦,并且平分这条弦所对的两条弧是解答此题的关键．22.如图,在中,弦、于点,且．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】根据,可证明,进而证明AC=BD,通过证明即可证明结论.【详解】∵,∴,,∴在与中,∵,∴,∴．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质,熟练掌握,圆心角、弧、弦的关系是解题关键.23.如图,在中,,,求分别以、、为圆心,以为半径画弧,三条弧与边所围成的阴影部分的面积．【答案】．【解析】【分析】由于三条弧所对的圆心角的和为180°,根据扇形的面积公式可计算出三个扇形的面积和,而三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积=S△ABC-三个扇形的面积和,再利用三角形的面积公式计算出△ABC的面积,然后代入即可得到答案．【详解】∵∠C=90°,CA=CB=2,∴AC=1,S△ABC==2,∵三条弧所对的圆心角的和为180°,三个扇形的面积和==,∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC-三个扇形的面积和=2-,【点睛】本题考查扇形面积,熟练掌握面积公式并明确三条弧所对的圆心角的和为180°是解题关键.24.已知：如图,的外接圆,弦的长为,,求圆心到的距离．【答案】圆心到的距离为．【解析】【分析】连接,,过点作于点,根据圆周角定理可知∠BOC=60°,进而证明△OBC是等边三角形,根据垂径定理可知CD的长度,利用勾股定理求出OD的长即【详解】连接,,过点作于点,∵,∴．∵,∴是等边三角形,∴,∵OD⊥BC,∴CD=BC=2,∴=,即圆心到的距离为．【点睛】本题考查圆周角定理及垂径定理,在同圆中,同弧所对的圆周角的度数等于圆心角的一半,垂直于弦的直径,平分弦且平分这条弦所对的两条弧,熟练掌握定理是解题关键.25.如图,已知为的直径,是弦,于,于,．求证：；求证：；若,,设,求值及阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）x=5,.【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°可知∠ACB=∠AFO=90°,由平行线判定定理即可证明OF//BC；（2）由可知∠CBE=∠FOA,利用,,即可证明；（3）在Rt△OCE中,利用勾股定理列方程即可求出x的值,根据OC=2OE可知∠OCE=30°,即可求出∠COD的度数,利用扇形面积及三角形面积公式求出阴影面积即可.【详解】证明：∵为的直径,∴又∵∴证明：∵∴∠CBE=∠FOA∵,,∴解：连接．设,∵∴．在中,,根据勾股定理可得：解得：,即,∵OC=5+5=10,∴OC=2OE,∴∠OCE=30°,∴,∴扇形的面积是：的面积是：∴阴影部分的面积是：．【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理及扇形面积,熟练掌握定理和公式是解题关键.26.如图,内接于,,,．求的度数；将沿折叠为,将沿折叠为,延长和相交于点；求证：四边形是正方形；若,,求的长．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．【解析】【分析】（1）连接和,由OE=BC,可知OE=BE,进而可知∠OBE=45°,同理可证∠OCE=45°,即可证明∠BOC=90°,根据圆周角定理即可求得∠BAC的度数；（2）由折叠性质可知AG=AD=AF,∠AGH=∠AFH=90°,∠DAC=∠CAF,∠BAD=∠BAG,由∠BAD+∠DAC=45°,可证明∠GAF=90°,即可证明四边形AFHG 是正方形；（3）由折叠性质可知,；由（2）可知∠BHC=90°,设AD长为x,利用勾股定理列方程求出x的值即可得解.【详解】（1）连接和；∵,∴；∵,∴,∴；∵,∴；由折叠可知,,,,,∴；∴；∴四边形是正方形；解：由得,,,,；设的长为,则,．在中,,∴；解得,,（不合题意,舍去）；∴．【点睛】本题主要考查圆周角定理及折叠性质,在同圆中,同弧所对的圆周角的度数等于圆心角的一半；折叠后的图形与原图形全等,熟练掌握折叠的性质是解题关键.。
数学九年级上册《圆》单元综合测试题(含答案)
∴∠CDO=∠CEO=90°.
又∵∠DCE=40°，
∴∠AOB=∠DOE=360°-90°-90°-40°=140°.
由圆周角定理可知:∠P= ∠AOB=70°.
∴选A
【点睛】本题考查圆周角定理，熟记定理、找对同弧所对的圆心角和圆周角是解答关键.
5.AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=16，OE=6，则⊙O的直径为()
3.半径为6的圆中，120°的圆心角所对的弧长是()
A. 4πB. 5πC. 6πD. 8π
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用扇形弧长公式l= ，r=6，n=120代入就可以求出弧长．
【详解】弧长l= =4π.
故选A.
【点睛】本题考查弧长的计算，熟记公式是解答关键，注意与扇形面积公式的区别.
4.如图，点A、B、C、P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为()
人教版数学九年级上学期
《圆》单元测试
【考试时间:90分钟分数:120分】
一．选择题
1.已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是()
A.相交B.相切C.相离D.不确定
2.如图，平面上⊙O与四条直线L1、L2、L3、L4的位置关系．若⊙O的半径为2cm，且O点到其中一条直线的距离为2.2cm，则这条直线是()
A. 70°B. 60°C. 40°D. 35°
【答案】A
【解析】
【分析】
题目所求是∠P，观察分析图可知∠AOB和∠P分别是弧AB所对的圆心角和圆周角;
根据圆周角定理有:一条弧所对的圆心角是圆周角的两倍;
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九年级《圆》测试题
（时间90分钟，满分100分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请选出来）
1．如图，点A B C ，，都在⊙O 上，若34C =∠， 则AOB ∠的度数为（ ）
A ．34
B ．56
C ．60
D ．68
2．已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7， 则两圆的位置关系是（ ）
A ．外离
B ．外切
C ．相交
D ．内切 3．如图，圆内接正五边形ABCD
E 中，∠ADB ＝（ ）． A ．35° B ．36° C ．40° D ．54° 4．⊙O 中，直径AB ＝a ， 弦CD ＝b ,,则a 与b 大小为（ ）
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a ≤b
D ． a ≥b 5．如图，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D
E
F ，，． 已知50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，， 那么EDF ∠等于（ ） A ．40°
B ．55°
C ．65°
D ．70°
6．边长为a 的正六边形的面积等于（ ） A ．
2
4
3a
B ．2a
C ．
2
2
33a D ．233a
7．如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方 向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的 方向折向行走。
按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时 处于弧AB 上，此时∠AOE ＝56°，则α的度数是（ ） A ．52° B ．60° C ．72° D ．76°
8．一个圆锥的高为33，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ）
（第1题图）
D
（第5题图）
E A
B
C
D
（第3题图）
（第7题图）
A ．9π
B ．18π
C ．27π
D ．39π
二、填空题（共6题，每题3分，共18分，把最简答案填写在题中的横线上） 9． ⊙O 1和⊙O 2相外切，若O 1O 2=8，⊙O 1的半径为3，则⊙O 2的半径为_______ 10．如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，
∠P =50°，则∠AOB =________度，=∠BAC _______度。
11．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC =120°，AB =AC = 4。
则⊙O 的直径 = 。
12．如图，在126⨯的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），⊙A 的半
径为1，⊙B 的半径为2，要使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示位置 需向右平移 个单位。
13．如图，已知在Rt ABC △中，0
90ACB ∠=，4AB =，分别以AC ，BC 为直径
作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于
．
14．如图，弧AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，
P 为弧AD 上任意一点，若AC =5，则四边形ACBP 周长的最大值是
（第10题图）
B （第11题图）
（第12题图）
C
A
B
S 1
S 2
（第13题图）
（第14题图）
三、解答题（本大题共9小题，满分58分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．） 15．（本小题满分9分）
如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上。
（1）若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长。
16．（本小题满分9分）（尺规作图题：保留作图痕迹，不要求写作法）
某镇要建一个变电站，使它到A 、B 、C 三个村的距离相等。
请你找出变电站的位置。
（第15题图）
B
C
（第16题图）
如图，⊙O 经过点C ，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线上一点，AE ⊥DC ，交DC 的延长线于点E ，且AC 平分∠EAB 。
求证：DE 是⊙O 的切线；
18．（本小题满分10分）
如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E 。
连接AC 、OC 、BC 。
（1）求证：∠ACO =∠BCD 。
（2）若EB =8cm ，CD =24cm ，求⊙O 的直径。
（第17题图）
如图，ABC △是⊙O 的内接三角形，AC BC =，D 为⊙O 中AB ⋂
上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =． （1）求证：AE BD =；
（2）若AC BC ⊥
，求证：AD BD +=．
Ｅ
（第19题图）
如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，
∠ADC＝120°，四边形ABCD的周长为10。
(1) 求此圆的半径；
(2) 求图中阴影部分的面积。
（第20题图）
参考答案
一、选择题：DCBDB ，CAB 二、填空题
9. 5； 10. 130°，25°； 11. 8；
12．2、4、6或8； 13. 2π； 14.
15+ 三、解答题 15. （1）
OD AB ⊥，
＝ 。
11
522622
DEB AOD ∴∠=∠=⨯=
（2）
OD AB ⊥，AC BC ∴=，AOC △为直角三角形，
3OC =，5OA =，
由勾股定理可得4AC ===
28AB AC ∴==。
16. 图略
17．提示：连结OC
18．证明：(1)∵AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于E ，
∴CE =ED ， = ∴∠BCD =∠BAC
∵OA =OC ∴∠OAC =∠OCA ∴∠ACO =∠BCD
(2)设⊙O 的半径为Rcm ，则OE =OB -EB =R -8，
AD
BD CB DB
CE =
21CD =2
1
⨯24=12
在Rt ∆CEO 中，由勾股定理可得
OC 2=OE 2+CE 2 即R 2= (R -8)2 +122 解得 R =13 。
∴2R =2⨯13=26 。
答：⊙O 的直径为26cm 。
19. 证明：（1）在ABC △中，CAB CBA ∠=∠．
在ECD △中，CAB CBA ∠=∠．
CBA CDE ∠=∠，
（同弧上的圆周角相等），ACB ECD ∴∠=∠． ACB ACD ECD ADE ∴∠-∠=∠-∠．ACE BCD ∴∠=∠．
在ACE △和BCD △中，
ACE BCD CE CD AC BC ∠=∠==；；
ACE BCD ∴△≌△．AE BD ∴=．
（2）若AC BC ACB ECD ∠=∠⊥，．
9045ECD CED CDE ∴∠=∴∠=∠=，．
222DE CD CE CD CE ∴=+=从且
，DE =得，
又
AD BD AD EA ED +=+=
AD BD ∴+=
20.
（2）提示：
从而，。