全国重点名校高考数学复习优质100专题汇编 等差数列性质
第49炼 等差数列性质
一、基础知识：
1、定义：数列{}n a 若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称{}n a 是等差数列，这个常数称为{}n a 的公差，通常用d 表示
2、等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，此通项公式存在以下几种变形：
（1）()n m a a n m d =+-，其中m n ≠：已知数列中的某项m a 和公差即可求出通项公式
（2）n m
a a d n m -=
-：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差
（3）1
1n
a a n d
-=+：已知首项，末项，公差即可计算出项数 3、等差中项：如果,,a b c 成等差数列，则b 称为,a c 的等差中项
（1）等差中项的性质：若b 为,a c 的等差中项，则有c b b a -=-即2b a c =+ （2）如果{}n a 为等差数列，则2,n n N *?≥∈，n a 均为11,n n a a -+的等差中项 （3）如果{}n a 为等差数列，则m n p q a a a a m n p q +=+?+=+
注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。 比如m n p q s +=++，则m n p q s a a a a a +=++不一定成立
② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。例如：478920a a a a +++=，可得478977777420a a a a a a a a a +++=+++==，即可得到75a =，这种做法可称为“多项合一”
4、等差数列通项公式与函数的关系：
()111n a a n d d n a d =+-=?+-，所以该通项公式可看作n a 关于n 的一次函数，从而可
通过函数的角度分析等差数列的性质。例如：0d >，{}n a 递增；0d <，{}n a 递减。 5、等差数列前n 项和公式：12
n
n a a S n +=
?，此公式可有以下变形： （1）由m n p q m n p q a a a a +=+?+=+可得：()12
p q
n a a S n p q n +=
?+=+，作用：
在求等差数列前n 项和时，不一定必须已知1,n a a ，只需已知序数和为1n +的两项即可
（2）由通项公式()11n a a n d =+-可得：()()111112
2
n a a n d
n n S n a n d ++--=
?=+
作用：① 这个公式也是计算等差数列前n 项和的主流公式 ② ()211112
22n n n d S a n d n a d n -??=+
=
+- ??
?，
即n S 是关于项数n 的二次函数()n N *
∈，且不含常数项，可记为2n S An Bn =+的形式。从而可将n S 的变化规律图像化。
（3）当()
21n k k N *
=-∈时，
()121
21212
k k a a S k --+=
?- 因为1212k k a a a -+= ()2121k k S k a -∴=- 而k a 是21k S -的中间项，
所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系 当()
2n k k N *
=∈时
()122122
k
k k k a a S k k a a ++=
?=+，即偶数项和与中间两项和的联系 6、等差数列前n 项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前n 项和公式入手分析
（1）从项的特点看最值产生的条件，以4个等差数列为例：
{}:1,3,5,7,9,11,n a {}:7,5,3,1,1,3,
n b --
{}:1,3,5,7,9,n c ----- {}:9,7,5,3,1,1
n d -----
通过观察可得：{}n a 为递增数列，且10a >，所以所有的项均为正数，前n 项和只有最小值，即1a ，同理{}n c 中的项均为负数，所以前n 项和只有最大值，即1c 。而{}n b 虽然是递减数列，但因为10b >，所以直到51b =-，从而前4项和最大，同理，{}n d 的前5项和最小。由此可发现规律：对于等差数列，当首项与公差异号时，前n 项和的最值会出现在项的符号分界处。
（2）从2
n S An Bn =+的角度：通过配方可得2
224n B B S A n A A ??=+- ?
?
?，要注意n N *
∈，则可通过图像判断出n S 的最值 7、由等差数列生成的新等差数列
（1）在等差数列{}n a 中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列 例如在{}:1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,n a ，以3为间隔抽出的项1,9,17,25,
仍为等差
数列。
如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距 （2）已知等差数列{}1212221223:,,,,,,,,,,,,
n k k k k k k k a a a a a a a a a a ++++，
设12k k S a a a =++
+，
21223221223,,
k k k k k k k k k k S S a a a S S a a a ++++-=++
+-=++
+，则相邻k 项和
232,,,k k k k k
S S S S S --成等差数列 （3）已知{}{},n n a b 为等差数列，则有： ① {}n a C +为等差数列，其中C 为常数 ② {}n ka 为等差数列，其中k 为常数 ③ {}n n a b +为等差数列
①②③可归纳为{}n n a b m λμ++也为等差数列 8、等差数列的判定：设数列n a ，其前n 项和为n S （1）定义（递推公式）：1n n a a d +-=
（2）通项公式：n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数） （3）前n 项和公式：2n S An Bn =+
注：若2n S An Bn C =++，则{}n a 从第二项开始呈现等差关系
（4）对于n N *
?∈，122n n n a a a ++=+，即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中项
二、典型例题：
例1：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且94S S =，151,0k a a a =+=，则k =_________ 思路：由94S S =可得：9456789750S S a a a a a a -=++++==，即70a =。而11a =，所以{}n a 不是各项为0的常数列，考虑79520a a a =+=，所以9559k a a a a k +=+?= 答案：9
小炼有话说：关于等差数列钱前n 项和还有这样两个结论：
（1）若()m n S S m n =≠，则0m n S +=（本题也可用此结论：94130S S S =?=，从而利用奇数项和与中间项的关系可得137130S a ==） （2）若(),m n S n S m m n ==≠，则有()m n S m n +=-+
例2：已知数列{}{},n n a b 为等差数列，若11337,21a b a b +=+=，则55a b +=_______ 思路：条件与所求都是“n n a b +”的形式，由{}{},n n a b 为等差数列可得{}n n a b +也为等差数列，所以()33a b +为()()1155,a b a b ++的等差中项，从而可求出55a b +的值 解：
{}{},n n a b 为等差数列
{}n n a b ∴+也为等差数列 ()()()3311552a b a b a b ∴+=+++ ()()553311235a b a b a b ∴+=+-+=
答案：35
例3：设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a =（ ） A. 6- B. 4- C. 2- D. 2
思路一：已知等差数列两个条件即可尝试求通项公式，只需将已知等式写成关于1,a d 的方程，解出1,a d 后即可确定通项公式或者数列中的项
解：()8311482842S a a d a d =?+=+ 71262a a d =-?+=-
()1111
8284210262a d a d a d a d +=+?=?∴???=-+=-?? 9726a a d ∴=+=-
思路二：本题还可抓住条件间的联系简化运算。已知7a ，从而联想到8S 可用17,a a 表示，
即()27
827842
a a S a a +=
?=+，所以等式变为：()27323442a a a a a +=?-=，所以可得212a a d -==-。9726a a d =+=- 答案：A
小炼有话说：思路一为传统手段，通常将已知两个等式变形为1,a d 的二元方程，便可求解。但如果能够观察出条件间的联系，往往能通过巧妙的变形简化计算过程。在平时的练习中建议大家多尝试思路二的想法，努力找到条件间的联系，灵活利用等差数列性质进行变形。而思路一可作为“预备队”使用。
例4：在等差数列{}n a 中，12008a =-，其前n 项和为n S ，若1210
21210
S S -=，则2008S 的值等于（ ）
A. 2007-
B. 2008-
C. 2007
D. 2008 思路：由
121021210S S -=观察到n S n 的特点，所以考虑数列n S n ??????
的性质，由等差数列前n 项和特征2n S An Bn =+可得
n S An B n =+，从而可判定n S n ??
????
为等差数列，且可得公差1d =，所以
()1
120091
n S S n d n n =+-=-，所以()2009n S n n =-，即20082008S =- 答案：B
例5：已知{}{},n n a b 为等差数列，且前n 项和分别为,n n A B ，若
71
427
n n A n B n +=
+，则11
11
a b =_____ 思路：，所求
11
11
a b 可发现分子分母的项序数相同，结合条件所给的是前n 项和的比值。考虑利用中间项与前n 项和的关系，有：2111211121,21A a B b == ，将项的比值转化为数列和的比值，从而代入21n =即可求值：
111121111121214213
a a A
b b B === 答案：
43
小炼有话说：等差数列中的项与以该项为中间项的前n 项和可搭建桥梁：
()2121k k S k a -=-，这个桥梁往往可以完成条件中有关数列和与项之间的相互转化。
例6：已知等差数列{}n a 中，1232829303,165a a a a a a ++=++=，则此数列前30项和等于（ ）
A. 810
B. 900
C. 870
D. 840 思路：求前30项和，联想到公式(),12
p q
n a a S n p q n +=
?+=+，则只需31p q +=。由
条件可得：()()()()1302293281303168a a a a a a a a +++++=+=，所以13056a a +=，所以130
308402
n a a S +=?= 答案：D
例7：已知等差数列{}n a 中，12341314151610,70a a a a a a a a +++=+++=，则
21222324a a a a +++的值为___________
思路：条件为相邻4项和，从而考虑作差能解出数列的公差：12341314151610
70
a a a a a a a a +++=??
+++=?，
可得： ()()()()1311421531644860a a a a a a a a d -+-+-+-==，解得5
4
d =
，考虑()()21222324131415
163240a a a a a a a a d +++-+++==，所
以
(
)
21
2
2
2
32
41
3
401
1
0a a a a a
a a
a +
+
+=++++
答案：110
小炼有话说：本题在解题过程中突出一个“整体”的思想，将每一个四项和都视为整体，同时在等差数列中相邻k 项和的差与公差相关，从而解出公差并求出表达式的值 例8：等差数列{}n a 有两项(),m k a a m k ≠，满足11
,m k a a k m
==，则该数列前mk 项之和为（ ） A.
12mk - B. 2
mk
C. 12mk +
D. 12mk + 思路：可根据已知两项求出公差，进而求出{}n a 的通项公式，再进行求和即可 解：
11
,m k a a k m
=
=
111
m k a a k m d m k m k mk
-
-∴===
-- ()()111
n m a a n m d n m n k mk mk
∴=+-=+-?=?
()11111222
mk mk mk
S mk mk mk mk ++∴=+++=?
?= 答案：C
例9：在等差数列{}n a 中，10a >，若其前n 项和为n S ，且148S S =，那么当n S 取最大值时，n 的值为（ ）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11 思路一：考虑从{}n a 的项出发，由148S S =可得148910140S S a a a -=++
+=，可得
111211120a a a a +=?=-，因为10a >，所以11120,0a a ><，从而11S 最大
思路二：也可从n S 的图像出发，由148S S =可得n S 图像中11n =是对称轴，再由10a >与
148S S =可判断数列{}n a 的公差0d <，所以n S 为开口向下的抛物线，所以在11n =处n
S 取得最大值 答案：D
例10：设首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=，则d 的取值范围是___________
思路：将56,S S 用1,a d 进行表示，从而方程56150S S +=变形为含1,a d 的方程。而d 的取值只需让关于1a 的方程有解即可，所以通过0?≥求出d 的范围 解：5161510,615S a d S a d =+=+
()()561115051061515S S a d a d ∴+=?++=-
2
211291010a a d d ?+++= 所以关于1a 的方程2211291010a a d d +++=应该有解
()228181010d d ∴?=-+≥
解得d ≥
d ≤-
答案：d ≥
d ≤-
全国名校高考数学优质试题汇编(附详解)专题三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质 A组基础题组 1.y=|cos x|的一个单调增区间是( ) A.- B.[0,π] C. D. 2.下列函数中,周期为π的奇函数为( ) A.y=sin xcos x B.y=sin2x C.y=tan 2x D.y=sin 2x+cos 2x 3.已知函数f(x)=sin-1(ω>0)的最小正周期为,则f(x)的图象的一条对称轴的方程是( ) A.x= B.x= C.x= D.x= 4.(2018江西宜春中学与新余一中联考)设函数 f(x)=sin-cos的图象关于原点对称,则角 θ=( ) A.- B. C.- D. 5.(2017河北石家庄教学质量检测(二))已知函数f(x)=sin, f '(x)是f(x)的导函数,则函数y=2f(x)+f '(x)的一个单调递减区间是( ) A. B.- C.- D.- 6.函数y=3-2cos的最大值为,此时x= . 7.比较大小:sin-sin-. 8.已知函数f(x)=cos,其中x∈∈且,若f(x)的值域是--,则m的最大值是.
9.已知函数y=cos. (1)求函数的最小正周期; (2)求函数图象的对称轴及对称中心. 10.已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+2cos2x-2. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.
B组提升 题组 1.(2017湖北武汉武昌调研考试)若f(x)=cos 2x+acos在上是增函数,则实数a的取值范围为( ) A.[-2 +∞) B.(-2 +∞) C.(-∞ -4) D.(-∞ -4] 2.已知函数f(x)=2sin ωx在-上的最小值为-2,则ω的取值范围是( ) A.-∞ -∪[6 +∞) B.-∞ -∪∞ C.(-∞ -2]∪[6 +∞) D.(-∞ -2]∪∞ 3.(2017安徽合肥第二次教学质量检测)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程; (2)讨论函数f(x)在上的单调性.
2019年百所名校高考文科数学模拟试卷5套(含解析)
2019年百所名校高考模拟试卷 文科数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}24A x x =∈-< 好题速递1 1．已知P 是ABC ?内任一点,且满足AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ． 解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++u u u r u u u r u u u r u u u r ,由系数和1x y x y x y +=++,知点Q 在线段 BC 上．从而1AP x y AQ +=>?? + 100所名校高考模拟金典卷 数学卷（二） 一、选择题． 共12小题， 每题5分． 1．已知复数i m z 21+=， i z 432-=， 若21z z 为实数， 则实数m 的值为（C ） A ．23 B ．38 C ．－23 D ．－3 8 2．已知集合{})1(2 2log |－x y x A ==， ??????==1)21(|－x y y B ,则B A ?等于（D ） A ．（2 1， 1） B ．（1， 2） C ．（0， ＋∞） D ．(1， ＋∞) 3．设R a ∈， 则“1=a ”是“直线012:1=-+y ax L 与直线04)1(:2=+++y a x L 平行”的（A ） A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ．必要条件 D ． 即不充分也不必要条件 4．已知向量a ， b 都是单位向量， 且2b =－a ， 则)(b a a +?的值为（C ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 5．已知6.05=a ， 56.0=b ， 56.0log =c ， 则a ， b ， c 的大小顺序是（D ） A ．a 7．某几何体的三视图如图所示， 图中的四边形都是边长为2的正方形， 两条虚线互相垂直， 则该几何体的体积是 （A ） A ．320 B ．3 16 C ．68π- D ．38π- 8．已知函数x x x x f 212)(2-++=， 则)(x f y =的图像大致为 （A ） 9．函数)2|)(|2sin()(π??< +=x x f 向左平移6π个单位后是奇函数， 则函数)(x f 在??????2,0π上的最小值为（A ） A ．23- B ．2 1- C ．21 D ．23 10．某大学的八名同学准备拼车去旅游,其中大一大二大三大四每个年级各两名,分乘甲乙两辆汽车.每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置）,其中大一的孪生姐妹需乘同一辆汽车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有(B) A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．48种 11．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点)0,(c F ， 直线c a x 2 =与其渐近线交于A ,B 两点， 且ABF △为钝角三角形， 则双曲线离心率的取值范围是（D ） A ．),3(+∞ B ．)3,1( C ．),2(+∞ D ．)2,1( 第55炼 数列中的不等关系 一、基础知识： 1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点 2、如何判断数列的单调性： （1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于n N * ∈ ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+∞ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N * ∈得到数列的单调性 （2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列） 3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的 {}{},n n a b 是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知 识来进行处理。比如：含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和 n S 也可看做数列{}12:,, ,n n S S S S 等等。 4、对于某数列的前n 项和{}12:,, ,n n S S S S ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发， 用函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现：1n n n a S S -=-，所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定。进而把问题转化成为判断n a 的符号问题 二、典型例题 例1：已知数列{}1,1n a a =，前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+= （1）求{}n a 的通项公式 （2）设2n n n n c a λ?? =- ??? ，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围 解：（1）()113 30n n n n S n nS n S S n +++-+=? = 100所名校高考模拟金典卷（十）理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的标准差 s = 其中x 为样本平均数 柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高 锥体体积公式 1 3 V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积，体积公式 2 4R S π=，3 3 4R V π= 其中R 为球的半径 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数 2334i i -+-所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知集合{}|23A x x =-≤<，{}|lg(1)B x y x ==-，那么集合A B 等于 A ．{}|13x x -<< B ．{|1x x ≤-或3}x > C ．{}|21x x -≤<- D ．{}|13x x << 3．已知,p q 为两个命题，则“p q ∧是真命题”是“p ?为假命题”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人．从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是 A ．简单随机抽样法 B ．抽签法 C ．随机数表法 D ．分层抽样法 5．双曲线2 2 3412x y -=的离心率为 A ．B ． C ．2 D 6．程序框图如右图，若5n =，则输出s 的值为 A ．30 B ．50 C ．62 D ．66 中学理科数学小题训练六 一、选择题： 1．设集合A={x|x 2 ﹣x ﹣6＜0，x ∈R}，B={y|y=|x|﹣3，x ∈A}，则A ∩B 等于（ ） A ．{x|0＜x ＜3} B ．{x|﹣1＜x ＜0} C ．{x|﹣2＜x ＜0} D ．{x|﹣3＜x ＜3} 2．命题p ：?x0∈R ，不等式01cos 0 0<-+x e x 成立，则p 的否定为（ ） A ．?x0∈R ，不等式01cos 0 0≥-+x e x 成立 B ．?x ∈R ，不等式0 1cos <-+x e x 成立 C ．?x ∈R ，不等式01cos ≥-+x e x 成立 D ．?x ∈R ，不等式01cos >-+x e x 成立 3．在复平面内复数的模为 ，则复数z ﹣bi 在复平面上对应 的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（ ） A．1998立方尺 B．2012立方尺 C．2112立方尺 D．2324立方尺 5．cos54°+cos66°﹣cos6°=（） A．0 B． C． D．1 6．已知双曲线=1（a＞b＞0）与两条平行直线l1：y=x+a与l2：y=x﹣a相交所得的平行四边形的面积为6b2．则双曲线的离心率是（） A． B． C． D．2 7．如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB=4，AB∥CD， ∠BAD=45°，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点， 若在方向上的投影为，则= （） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图所示，函数离y轴 最近的零点与最大值均在抛物线上，则f （x）=（） A．B． C．D． 2016年全国100所名校高考数学冲刺试卷（文科）（一） 一、选择题 1．（5分）已知集合A={x|lgx≤1}，B={﹣2，5，8，11}，则A∩B等于（） A．{﹣2，5，8}B．{5，8}C．{5，8，11}D．{﹣2，5，8，11} 2．（5分）若复数z满足（1+i）?z=3﹣2i（i是虚数单位），则z等于（） A．B．C．D． 3．（5分）某市共有2500个行政村，根据经济的状况分为贫困村1000个，脱贫村900个，小康村600个，为了解各村的路况，采用分层抽样的方法，若从本市中抽取100个村，则从贫困村和小康村抽取的样本数分别为（） A．40、24 B．40、36 C．24、36 D．24、40 4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x=﹣10，则输出结果为（） A．2 B．3 C．510 D．1022 5．（5分）若点P是抛物线C：y2=4x上任意一点，F是抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4 6．（5分）已知命题p：对?x∈R，x2≥0；命题q：若α为第一象限角，β为第二象限角，则α＜β，则以下命题为假命题的是． A．（￢p）∨（￢q）B．p∨q C．（￢p）∨q D．p∧（￢q） 7．（5分）《九章算术》中方田篇有如下问题：“今有田广十五步，从十六步，问为田几何？答曰：一亩．”其意思：“现有一块田，宽十五步，长十六步，问这块田的面积是多少？答：一亩．”如果百亩为一顷，今有田宽2016步，长2000步，则该田有（） A．167顷B．168顷C．169顷D．673顷 8．（5分）在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，=﹣3，则（） A．=﹣+B．=﹣+ C．=﹣D．=﹣ 9．（5分）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为64+16π，则实数a等于（） 100所名校高考模拟金典卷 数学卷 三 一．选择题．本大题共12道小题，每题5分． 1．集合}{06|2≤-+=x x x A ，}{21,ln |e x x y y B ≤≤==．则)(B C A R I 等于 （D ） A ．[]2,3- B ．[)(]3,00,2Y - C ．[]0,3- D ．[)0,3- 2．设)(1是虚数单位i i z +=，则22z z +在复平面内对应的点在 （A ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞上单调递增的是 (D) A ．x e y = B ．x y sin = C ．x y = D ．2ln x y = 4．最新在微博上流行一个词叫做“中国式过马路”，就是凑够一撮人就可以走了，跟红绿灯是没有关系的．部分专家认为交通规则的制定目的就在于服务于城市管理，方面行人，而“中国式过马路”是对我国法制化进程的严重阻碍，体现了国人规则意识的淡薄．对这种只从公众的角度进行原因分析的观点，某媒体进行了网上调查，持不同态度的人数如下表： 在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，则n 的值为（B ） A ．120 B ．100 C ．50 D ．150 5．以线段)20(02:≤≤=-+x y x AB 为直径的圆的方程为 （B ） A ．2)1()1(22=+++y x B ．2)1()1(2 2=-+-y x C ．8)1()1(22=+++y x D ．8)1()1(22=-+-y x 6．执行如图所示的程序框图，则? 21sxdx 等于（B ） 框图找不到了 A ．10- B ．15- C ．25- D ．5- 7．(2014年辽宁卷理科，8)设等差数列}{n a 的公差为d ，若数列}{n a a 12 为递减数列，则 (C) A ．0 第49炼 等差数列性质 一、基础知识： 1、定义：数列{}n a 若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称{}n a 是等差数列，这个常数称为{}n a 的公差，通常用d 表示 2、等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，此通项公式存在以下几种变形： （1）()n m a a n m d =+-，其中m n ≠：已知数列中的某项m a 和公差即可求出通项公式 （2）n m a a d n m -= -：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差 （3）1 1n a a n d -=+：已知首项，末项，公差即可计算出项数 3、等差中项：如果,,a b c 成等差数列，则b 称为,a c 的等差中项 （1）等差中项的性质：若b 为,a c 的等差中项，则有c b b a -=-即2b a c =+ （2）如果{}n a 为等差数列，则2,n n N *?≥∈，n a 均为11,n n a a -+的等差中项 （3）如果{}n a 为等差数列，则m n p q a a a a m n p q +=+?+=+ 注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。 比如m n p q s +=++，则m n p q s a a a a a +=++不一定成立 ② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。例如：478920a a a a +++=，可得478977777420a a a a a a a a a +++=+++==，即可得到75a =，这种做法可称为“多项合一” 4、等差数列通项公式与函数的关系： ()111n a a n d d n a d =+-=?+-，所以该通项公式可看作n a 关于n 的一次函数，从而可 通过函数的角度分析等差数列的性质。例如：0d >，{}n a 递增；0d <，{}n a 递减。 5、等差数列前n 项和公式：12 n n a a S n += ?，此公式可有以下变形： （1）由m n p q m n p q a a a a +=+?+=+可得：()12 p q n a a S n p q n += ?+=+，作用： 在求等差数列前n 项和时，不一定必须已知1,n a a ，只需已知序数和为1n +的两项即可 2020届全国100所名校高三最新高考模拟示范卷（一）数学 （理）试题 一、单选题 1．已知集合{|24,}A x x x Z =-≤≤∈，{} |2,k B x x k Z ==∈，则A B =I （ ） A ．{2,4} B ．{1,2,4} C ．{0,1,2} D ．{0,1,2,4} 【答案】B 【解析】先求出集合A ,再结合集合B ,然后求交集即可. 【详解】 解: 由题可知{}{|24,}=-2-1,0,1,2,3,4A x x x Z =-≤≤∈， , 又{ } |2,k B x x k Z ==∈ 则{1,2,4}A B ?=， 故选：B ． 【点睛】 本题考查集合的交集运算,属基础题． 2．设复数2z ai =+，若z z =，则实数a =（ ） A ．0 B ．2 C ．1- D ．2- 【答案】A 【解析】利用共轭复数及复数相等的定义即可得到答案. 【详解】 因为z z =，所以22ai ai +=-，解得0a =． 故选：A. 【点睛】 本题考查复数的概念，考查学生的基本运算能力，是一道容易题. 3．若1，a ，4，b ，c 成等比数列，则b =（ ） A ． B ．8 C ．8± D ．± 【答案】C 【解析】由等比数列的性质，若{}n a 为等比数列，当2p q m n k +=+=时， 2p q m n k a a a a a ==，代入求解即可. 【详解】 解：由等比数列的性质可得24=1c ?， 即=16c ， 又24b c =， 即4168b =±?=±， 故选：C ． 【点睛】 本题考查等比中项，重点考查了等比数列的性质，属基础题． 4．下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（ ） 高考数学基础训练题(1) 1．设集合 } 4|||{<=x x A ， } 034|{2>+-=x x x B ，则集合{ A x x ∈|且 B A x ?}= 。 2．下列说法中：(1)若22y x =，则y x =；(2)等比数列是递增数列的一个必要条件是公比大于1； (3)2≥a 的否定是；(4)若3>+b a ，则1>a 或2>b 。其中不正确的有 。 3．设集合}2|||{<-=a x x A ，}12 12|{<+-=x x x B ，且B A ?，则实数a 的取值范围 是 。 4．已知二次函数)0(3)(2≠-+=a bx ax x f 满足)4()2(f f = ，则)6(f = 。 5．计算： 31 2 1log 24lg539--??- ? ?? = 。 6．已知函数1 )(2 ++=x b ax x f 的值域是[－1,4 ]，则b a 2 的值是 。 7．若函数 3 )2(2+++=x a x y ， ] [b a x ，∈的图象关于直线1=x 对称，则 =b 。 8．函数)(x f y = 的图象与x x g )4 1 ()(=的图象关于直线 y=x 对称，那么) 2(2x x f -的单调减区 间是 。 9．函数1 )(---= a x x a x f 的反函数)(1x f -的图象的对称中心是（-1,3），则实数a = 。 10．)(x f y = 是 R 上的减函数，且)(x f y =的图象经过点A （0,1）和B （3,-1）， 则不等式 1|)1(|<+x f 的解集为 。 11．已知函数?? ?>≤+=0,l o g ,1)(2x x x x x f ，若 1 ))((0-=x f f ，则 x 的取值范围 是 . 12．已知函数),1,1(,5sin )(-∈+=x x x x f 如果,0)1()1(2<-+-a f a f 则a 的取值范围 是____。 13．关于x 的方程a a x -+= 53 5有负根，则a 的取值范围是 。 14．已知函数)(x f 满足：对任意实数21,x x ，当21x x <时，有)()(21x f x f < ，且 )()()(2121x f x f x x f ?=+写出满足上述条件的一个函数： 。 15．定义在区间)1,1(-内的函数)(x f 满足 ) 1l g ()()(2+=--x x f x f ，则 )(x f = 。 16．已知函数x x f 2log )(=，2)(y x y x F +=，，则)1),4 1((f F 等于 。 17．对任意]1,1[-∈a ，函数a x a x x f 24)4()(2-+-+=的值恒大于零，那么x 的取值范围是 。 18．若函数? ??? ??+=x x x f 24 1log ,log 3min )(，其中{}q p ,min 表示q p ,两者中的较小者， 则2)( 第6节 数列求和之裂项相消法 【基础知识】 1．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前错误！未找到引用源。项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似错误！未找到引用源。（其中错误！未找到引用源。是各项不为零的等差数列，错误！未找到引用源。为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1）错误！未找到引用源。，特别地当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。； （21 k = ，特别地当错误！未找到引用源。时， =； （3）()() 221111212122121n n a n n n n ?? ==+- ?-+-+?? （4）()()( )()()1111 122112n a n n n n n n n ??==- ? ?+++++?? （5） )()1 1(11q p q p p q pq <--= 一般裂项模型： （1）)()1(n f n f a n -+= （2） n n n n tan )1tan() 1cos(cos 1sin -+=+ （3） 1 1 1)1(1+- =+= n n n n a n （4） )1 21121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6) n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2 )1(1 1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++= -则 （7）)1 1(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++= （8） n a == 【规律技巧】 1. 在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项． 对于不能由等差数列、等比数列的前n 项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和． 应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式． 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特 2020届全国100所名校高考模拟金典卷理科数学（四）试题一、单选题 (★) 1 . 已知集合，，则（） A．B． C．D． (★) 2 . 若复数（为虚数单位），则（） A．B．C．D． (★★) 3 . 袋子中装有大小、形状完全相同的个白球和个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的红球，则第一次摸到红球的概率为（） A．B．C．D． (★) 4 . 已知角的终边经过点，则（） A．B．C．D． (★) 5 . 若函数，在其定义域上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D． (★) 6 . 已知双曲线，经点的直线与有唯一公共点，则直线的方程为（） A．B． C．或D．或 (★) 7 . 在中，角，的对边分别是，，且，，，若解此三角形有两解，则的取值范围是（） A．B．C．D． (★) 8 . 二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（） A．7B．12C．14D．5 (★★) 9 . 榫卯（sǔnmǎo）是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用.代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿，山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积为（） A．B． C．D． (★★) 10 . 运行程序框图，如果输入某个正数后，输出的，那么的值为（） A．3B．4C．5D．6 (★) 11 . 已知定义在非零实数集上的奇函数，函数与图像共有4 个交点，则该4个交点横坐标之和为（） A．2B．4C．6D．8 (★★★★) 12 . 已知函数，若时，函数至少有2个零点，其 中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（） A．B．C．D． 二、填空题 (★) 13 . 已知、为两个单位向量，且，则与夹角的余弦值为 __________ ．(★) 14 . 椭圆的离心率为_________． (★) 15 . 已知，满足则的最大值为__________. (★★) 16 . 如图，在直角梯形中，，，，是边的 中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为 __________ . 高一数学单元测试题 一、选择题：（每小题5分，共50分） 1．如果全集U ＝{x |x 是小于9的正整数}，集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6}，则(U A ) (U B )为( ) A ．{1,2} B ．{3,4} C ．{5,6} D ．{7,8} 2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x >4}，那么集合A ∩(?U B )等于( ) A ．{x |－2≤x <4} B ．{x |x ≤3或x ≥4} C ．{x |－2≤x <－1} D ．{x |－1≤x ≤3} 3．设全集U ＝Z ，集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．{1,3,5} B ．{1,2,3,4,5} C ．{7,9} D ．{2,4} 4．下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．f (x ) g (x )＝ 2 B ．f (x )＝1，g (x )＝x 0 C ．,0,(),0, x x f x x x ≥?=?-0时，f (x )＝x 3＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 15．某城市出租车按如下方法收费：起步价8元，可行3 k m(含3 k m)，3 k m 后到10 k m(含10 k m)每走1 k m 加价1.5元，10 k m 后每走1 k m 加价0.8元，某人坐该城市的出租车走了20 k m ，他应交费________元． 三、解答题：（共75分） 16．(10分)已知全集U ＝R ，若集合A ＝{}310x x ≤<，B ＝{x |2＜x ≤7}． (1)求A B ，A B ，(U A ) (U B )； (2)若集合C ＝{x |x ＞a }，A ?C ，求a 的取值范围．(结果用区间或集合表示) 必修5数列单元质量检测题 （时间120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题5分，共计60分） 1.数列252211，，，， 的一个通项公式是（ ） A. 33n a n =- B. 31n a n =- C. 31n a n =+ D. 33n a n =+ 2. 已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为（ ） A. 6 B. 3- C. 12- D. 6- 3. 2005是数列7,13,19,25,31,,中的第（ ）项. A. 332 B. 333 C. 334 D. 335 4. 在等差数列{}n a 中,若45076543=++++a a a a a ，则=+82a a （ ） A.45 B.75 C. 180 D.300 5. 一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( ) A.－2 B.－3 C.－4 D.－5 6. 在等差数列｛a n ｝中，设公差为d ，若S 10＝4S 5，则d a 1等于( ) A. 21 B.2 C. 4 1 D.4 7. 设数列｛a n ｝和｛b n ｝都是等差数列，其中a 1＝25，b 1＝75，且a 100＋b 100＝100，则数列 ｛a n ＋b n ｝的前100项之和是( ) A.1000 B.10000 C.1100 D.11000 8.已知等差数列｛a n ｝的公差d ＝1，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 98＝137，那么a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 98的值等于( ) A.97 B.95 C.93 D.91 9.在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，q ∈R 且｜q ｜≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A.9 B.10 C.11 D.12 10. 公差不为0的等差数列｛a n ｝中，a 2、a 3、a 6依次成等比数列，则公比等于( ) A. 2 1 B. 31 C.2 D.3 11. 若数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝a n －1(a ≠0)，则这个数列的特征是( ) A.等比数列 B.等差数列 C.等比或等差数列 D.非等差数列 12. 等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 与Ｔn ，对一切自然数n ，都有n n T S =132+n n ， 则5 5b a 等于( ) A.32 B. 149 C. 3120 D. 17 11 二、填空题（每小题4分，共计16分） 13. 数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝n 2＋3n ＋1，则它的通项公式为 . 14. 已知｛n a 1 ｝是等差数列，且a 2＝2－1，a 4＝2＋1，则a 10＝ . 15. 在等比数列中，若S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝ . 16. 数列121，241，341 ，416 1，…的前n 项和为 . 三、解答题： 17.（本小题满分12分） 已知等差数列｛a n ｝中，S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，求S m ＋n . 18.（本题满分12分） 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.求公差d 的取值范围. 100所名校高考模拟金典卷（一） 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数 232i i --等于 A ．4755 i - B ． 7455i - C ． 745 5 i + D ． 475 5 i + 2．已知集合{}22|log (32)A x y x x ==-+，2{| 0}3 x B x x +=<-，则A B 等于 A ．{|21x x -<<或23}x << B ．{}|23x x -<< C ．{}|3x x > D ．{}|2x x <- 3．向量a b ?=- ||2 a = ，则向量b 在向量a 方向上的投影为 A ．6 B ．3 C ．－3 D ．－6 4．下列函数()f x 中，满足：对任意的12,(,0)x x ∈-∞，当12x x <时，总有12()()f x f x >，且其图像关于原点中心对称的是 A ．2 ()f x x = B ．3 ()f x x = C ．1()f x x = D ．()x f x e = 5．已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +等于 A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 6．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 A ． B ． C D ．7．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出a 的值为 A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 8．已知3n 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式全国名校高三数学经典压轴题100例(人教版附详解)
100所名校高考模拟金典卷--数学卷(二)
全国重点名校高考数学复习优质100专题汇编 数列中的不等关系
100所名校高考模拟金典卷(十)理科数学
全国名校高考数学优质小题训练汇编(附详解)六
全国100所名校高考数学冲刺试卷(文科)解析版(一)
(完整版)100所名校高考模拟金典卷数学卷(三)
全国重点名校高考数学复习优质100专题汇编 等差数列性质
2020届全国100所名校高三最新高考模拟示范卷(一)数学(理)试题(解析版)
全国名校高考数学优质填空题120道(附详解)
全国名校高考数学一轮复习优质专题汇编(知识点详解附专题训练) 数列求和之裂项相消法
2020届全国100所名校高考模拟金典卷理科数学(四)试题(word无答案)
全国名校高中数学优质试题(附详解)高一数学第一次月考试题及答案
全国名校高中数学优质(附详解)专题 必修5数列单元质量检测题
100所名校高考模拟金典卷(一)理科数学