因式分解法解一元二次方程 教案
用因式分解法解一元二次方程优秀教案
用因式分解法解一元二次方程【教学目标】1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；2．会用因式分解法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；3．通过因式分解法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想。
【教学重难点】1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
2．会用因式分解法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程。
【教学过程】（一）复习回顾1．用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式。
2．用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式。
3．选择合适的方法解下列方程：（1）x2-6x=7（2）3x2+8x-3=0（二）情景引入，探究新知。
1．师：有一道题难住了我，想请同学们帮助一下，行不行？生：（齐答）行。
师：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？说明：学生独自完成，教师巡视指导，选择不同答案准备展示。
附：学生A：设这个数为x，根据题意，可列方程：x2=3x∴x2-3x=0∵a=1，b=-3，c=0∴b2-4ac=9∴x1=0，x2=3∴这个数是0或3。
学生B：设这个数为x，根据题意，可列方程：x2=3x∴x2-3x=0x2-3x+(3/2)2=(3/2)2(x-3/2)2=9/4∴x-3/2=3/2或x-3/2=-3/2∴x1=3，x2=0∴这个数是0或3。
学生C：设这个数为x，根据题意，可列方程：x2=3x∴x2-3x=0即x(x-3)=0∴x=0或x-3=0∴x1=0，x2=3∴这个数是0或3。
学生D：设这个数为x，根据题意，可列方程：x2=3x两边同时约去x，得：∴x=3∴这个数是3。
2．师：同学们在下面用了多种方法解决此问题，观察以上四个同学的做法是否存在问题？你认为那种方法更合适？为什么？说明：小组内交流，中心发言人回答，及时让学生补充不同的思路，关注每一个学生的参与情况。
《因式分解法(第1课时)解一元二次方程》教案
2.2 一元二次方程的解法因式分解法第1课时因式分解法解一元二次方程教学目标1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
3、进一步让学生体会“降次〞化归的思想。
重点难点重点：，掌握用因式分解法解某些一元二次方程。
难点：用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程。
教学过程〔一〕复习引入1、提问：(1) 解一元二次方程的根本思路是什么？(2) 现在我们已有了哪几种将一元二次方程“降次〞为一元一次方程的方法?2、用两种方法解方程：9(1-3x)2=25〔二〕创设情境说明：可用因式分解法或直接开平方法解此方程。
解得x1= ，，x2=- 。
1、说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程。
归纳结论：因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2-2t =0，这个方程能用因式分解法解吗?〔三〕探究新知2-2t=0，解答课本1．1节问题二。
把方程左边因式分解，得t(0.01t-2)=0，由此得出t=0或0.01t-2=0解得 t l=0，t2=200。
t1=0说明小明与小亮第一次相遇；t2=200说明经过200s小明与小亮再次相遇。
〔四〕讲解例题1、展示课本P．8例3。
按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程。
2、让学生讨论P．9“说一说〞栏目中的问题。
要使学生明确：解方程时不能把方程两边都同除以一个含未知数的式子，假设方程两边同除以含未知数的式子，可能使方程漏根。
3、展示课本P．9例4。
让学生自己尝试着解，然后看书上的解答，交换批改，并说一说在解题时应注意什么。
〔五〕应用新知课本P．10，练习。
〔六〕课堂小结1、用因式分解法解一元二次方程的根本步骤是：先把一个一元二次方程变形，使它的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，然后使每一个一次因式等于0，分别解这两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。
用因式分解法求解一元二次方程【公开课教案】
2．4 用因式分解法求解一元二次方程1．了解因式分解法的解题步骤，能用因式分解法解一元二次方程；(重点) 2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．(难点) 一、情景导入 王庄村在测量土地时，发现了一块正方形的土地和一块矩形的土地，矩形土地的宽和正方形的边长相等，矩形土地的长为80m ，工作人员说，正方形土地的面积是矩形面积的一半．你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？二、合作探究 探究点一：用因式分解法解一元二次方程方程(x －3)(x ＋1)＝x －3的解是( )A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x ＝3或x ＝－1D ．x ＝3或x ＝0 解析：把(x －3)看成一个整体，利用因式分解法解方程，原方程变形，得(x －3)(x ＋1)－(x －3)＝0，所以(x －3)(x ＋1－1)＝0，即x －3＝0或x ＝0，所以原方程的解为x 1＝3，x 2＝0.故答案为D.易错提醒：解形如ax 2＝bx 的方程，千万不可以在方程的两边同时除以x ，得到x ＝ba ，这样会产生丢根现象，只能提公因式，得到x 1＝0，x 2＝ba.如本题中易出现在方程两边同除以(x －3)，从而得到x ＝0的错误．探究点二：选用适当的方法解一元二次方程用适当的方法解方程： (1)3x (x ＋5)＝5(x ＋5)； (2)3x 2＝4x ＋1； (3)5x 2＝4x －1.解：(1)原方程可变形为3x (x ＋5)－5(x ＋5)＝0，即(x ＋5)(3x －5)＝0， ∴x ＋5＝0或3x －5＝0，∴x 1＝－5，x 2＝53；(2)将方程化为一般形式，得3x 2－4x －1＝0.这里a ＝3，b ＝－4，c ＝－1，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×3×(－1)＝28＞0， ∴x ＝4±282×3＝4±276＝2±73，∴x 1＝2＋73，x 2＝2－73；(3)将方程化为一般形式，得5x 2－4x ＋1＝0.这里a ＝5，b ＝－4，c ＝1，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×5×1＝－4＜0，∴原方程没有实数根．方法总结：解一元二次方程时，若没有具体的要求，应尽量选择最简便的方法去解，能用因式分解法或直接开平方法的选用因式分解法或直接开平方法；若不能用上述方法，可用公式法求解．在用公式法时，要先计算b 2－4ac 的值，若b 2－4ac ＜0，则判断原方程没有实数根．没有特殊要求时，一般不用配方法．三、板书设计用因式分解法求解一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧步骤⎩⎪⎨⎪⎧①移项，将方程的右边化为0②把方程的左边分解成两个一次 因式的积③令每个因式分别等于0，得到两 个一元一次方程④解这两个一元一次方程选用适当的方法解一元二次方程经历因式分解法解一元二次方程的探索过程，发展学生合情合理的推理能力．积极探索方程不同的解法，体验解决问题方法的多样性．通过交流发现最优解法，在学习活动中获得成功的体验.。
《用因式分解解一元二次方程》教案
《用因式分解解一元二次方程》教案用因式分解解一元二次方程教案目标本教案旨在介绍如何使用因式分解的方法解一元二次方程。
知识回顾在开始讲解因式分解解一元二次方程之前，让我们先回顾一下相关的知识点：- 一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数且a≠0。
- 一元二次方程的解可以分为实数解和虚数解，实数解可以进一步分为有理数解和无理数解。
解题步骤接下来，我们将介绍使用因式分解解一元二次方程的步骤：步骤1：将一元二次方程化为标准形式（即将方程中的项按次数降序排列）。
步骤2：确定方程中的a、b和c的值。
步骤3：使用因式分解将方程进行分解。
步骤4：令因式中的每一个部分等于0，解方程得到各个因式对应的解。
步骤5：将得到的解进行验证，即代入原方程中检验是否满足。
实例演练下面我们通过一个实例来演示如何使用因式分解解一元二次方程：实例：解方程x^2 - 5x + 6 = 0步骤1：将方程化为标准形式，得到x^2 - 5x + 6 = 0。
步骤2：确定a、b和c的值，得到a = 1，b = -5，c = 6。
步骤3：使用因式分解将方程进行分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0。
步骤4：令因式中的每一个部分等于0，解方程得到x - 2 = 0和 x - 3 = 0。
步骤5：求解得到x = 2 和 x = 3，将这些解代入原方程验证是否满足。
总结因式分解是解一元二次方程的一种常用方法，通过将方程进行因式分解，可以得到方程的解。
在使用因式分解解一元二次方程时，我们需要依次进行化简、确定值、分解、解方程和验证等步骤。
通过实例的演练，我们可以更好地理解和掌握这一方法。
希望本教案对你有所帮助！。
《用因式分解法解一元二次方程》教案
《用因式分解法解一元二次方程》教案【学习目标】1．会用因式分解法解某些一元二次方程．2．能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的各种解法求方程的根．【主体知识归纳】1．因式分解法 若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x 2－9＝0，这个方程可变形为(x ＋3)(x －3)＝0，要(x ＋3)(x －3)等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x －3)等于0，因此，解方程(x ＋3)(x －3)＝0就相当于解方程x ＋3＝0或x －3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A ·B ＝0A＝0或B ＝0．【基础知识讲解】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例1：用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．解：(1)方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0，y ＋1＝0或y ＋6＝0，∴y 1＝－1，y 2＝－6．(2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0，(2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0，∴t 1＝21，t 2＝3．(3)方程可变形为2x 2－3x ＝0．x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0．∴x 1＝0，x 2＝23． 说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考？例2：用适当方法解下列方程： (1)3(1－x )2＝27；(2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1；(4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0；(6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了．解：(1)(1－x )2＝9，(x －1)2＝3，x －1＝±3，∴x 1＝1＋3，x 2＝1－3．(2)移项，得x 2－6x ＝19，配方，得x 2－6x ＋(－3)2＝19＋(－3)2，(x －3)2＝28，x －3＝±27， ∴x 1＝3＋27，x 2＝3－27．(3)移项，得3x 2－4x －1＝0，∵a ＝3，b ＝－4，c ＝－1， ∴x ＝37232)1(34)4()4(2±=⨯-⨯⨯--±--，∴x 1＝372+，x 2＝372-． (4)移项，得y 2－2y －15＝0，把方程左边因式分解，得(y －5)(y ＋3)＝0；∴y －5＝0或y ＋3＝0，∴y 1＝5，y 2＝－3．(5)将方程左边因式分解，得(x －3)［5x －(x ＋1)］＝0，(x －3)(4x －1)＝0，∴x －3＝0或4x －1＝0，∴x 1＝3，x 2＝41． (6)移项，得4(3x ＋1)2－25(x －2)2＝0，［2(3x ＋1)］2－［5(x －2)］2＝0，［2(3x ＋1)＋5(x －2)］·［2(3x ＋1)－5(x －2)］＝0，(11x －8)(x ＋12)＝0，∴11x －8＝0或x ＋12＝0，∴x 1＝118，x 2＝－12． 说明：(1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简．(2)直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这种形式的方程就不必要整理成一般式了．例3:解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2－4abx ＝a 2－b 2．解：(1)当a 2－b 2＝0，即｜a ｜＝｜b ｜时，方程为－4abx ＝0．当a ＝b ＝0时，x 为任意实数．当｜a ｜＝｜b ｜≠0时，x ＝0．(2)当a 2－b 2≠0，即a ＋b ≠0且a －b ≠0时，方程为一元二次方程．分解因式，得［(a ＋b )x ＋(a －b )］［(a －b )x －(a ＋b )］＝0，∵a ＋b ≠0且a －b ≠0，∴x 1＝b a a b +-，x 2＝ba b a -+． 说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解．本题实际上是分三种情况，即①a ＝b ＝0；②｜a ｜＝｜b ｜≠0；③｜a ｜≠｜b ｜．例4:已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252y xy x y xy x ++--的值． 剖析：要求代数式的值，只要求出x 、y 的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x 、y 的二次齐次式，所以知道x 与y 的比值也可．由已知x 2－xy －2y 2＝0因式分解即可得x与y 的比值．解：由x 2－xy －2y 2＝0，得(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0或x ＋y ＝0，∴x ＝2y 或x ＝－y ．当x ＝2y 时，135y 13y 5y 5y y 22)y 2(y 5y y 22)y 2(y 5xy 2x y 5xy 2x 2222222222-=-=+⋅⋅+-⋅⋅-=++--． 当x ＝－y 时，21y 4y 2y 5y )y (2)y (y 5y )y (2)y (y 5xy 2x y 5xy 2x 222222222-=-=+⋅-⋅+--⋅-⋅--=++--2． 说明：因式分解法体现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的 应用．【同步达纲练习】1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 (3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53，x 2＝－3 (4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11(8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．3．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； (3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x 2－x －3＝0； (8)(x －1)2－4(x －1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x 2－4x ＋3＝0； (2)(x －2)2＝256； (3)x 2－3x ＋1＝0；(4)x 2－2x －3＝0； (5)(2t ＋3)2＝3(2t ＋3)；(6)(3－y )2＋y 2＝9；(7)(1＋2)x 2－(1－2)x ＝0；(8)5x 2－(52＋1)x ＋10＝0；(9)2x 2－8x ＝7(精确到0．01)；(10)(x ＋5)2－2(x ＋5)－8＝0．5．解关于x 的方程：(1)x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ；(2)x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；(3)x 2－2mx －8m 2＝0； (4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0．6．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求yx y x +-的值．7．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．8．请你用三种方法解方程：x (x ＋12)＝864．9．已知x 2＋3x ＋5的值为9，试求3x 2＋9x －2的值．10．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h (单位：米)与所用的时间t (单位：秒)的关系式h ＝－5(t －2)(t ＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则y 2＝(x 2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2．当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5．∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．(1)运用上述方法解方程：x 4－3x 2－4＝0．(2)既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗参考答案【同步达纲练习】1．(1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D2．(1)t 1＝－7，t 2＝4(2)x 1＝－21，x 2＝－2(3)y 1＝－1，y 2＝－23(4)x 1＝－m ，x 2＝－n (5)x 1＝5，x 2＝－1 3．(1)x 1＝0，x 2＝－12；(2)x 1＝－21，x 2＝21；(3)x 1＝0，x 2＝7；(4)x 1＝7，x 2＝－3；(5)x 1＝－5，x 2＝3；(6)x 1＝－1，x 2＝31； (7)x 1＝53，x 2＝－21；(8)x 1＝8，x 2＝－2． 4．(1)x 1＝1，x 2＝3；(2)x 1＝18，x 2＝－14；(3)x 1＝253+，x 2＝253-；(4)x 1＝3，x 2＝－1； (5)t 1＝0，t 2＝－23；(6)y 1＝0，y 2＝3；(7)x 1＝0，x 2＝22－3； (8)x 1＝55，x 2＝10；(9)x 1≈7.24，x 2＝－3.24；(10)x 1＝－1，x 2＝－7． 5．(1)x 2－4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1，(x －2a )2＝(a －1)2，∴x －2a ＝±(a －1)，∴x 1＝3a －1，x 2＝a ＋1．(2)x 2＋(5－2k )x ＋k 2－5k －6＝0，x 2＋(5－2k )x ＋(k ＋1)(k －6)＝0，［x －(k ＋1)］［x －(k －6)］＝0，∴x 1＝k ＋1，x 2＝(k －6)．(3)x 2－2mx ＋m 2＝9m 2，(x －m )2＝(3m )2∴x1＝4m ，x 2＝－2m(4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0，(x ＋m )［x ＋(m ＋1)］＝0，∴x1＝－m ，x 2＝－m －16．(x ＋4y )(x －y )＝0，x ＝－4y 或x ＝y 当x ＝－4y 时，y x y x +-＝3544=+---y y y y ； 当x ＝y 时，y x y x +-＝y y y y +-＝0． 7．(x 2＋y 2)(x 2＋y 2－1)－12＝0，(x 2＋y 2)2－(x 2＋y 2)－12＝0，(x 2＋y 2－4)(x 2＋y 2＋3)＝0，∴x 2＋y 2＝4或x 2＋y 2＝－3(舍去)8．x1＝－36，x 2＝249．∵x 2＋3x ＋5＝9，∴x 2＋3x ＝4，∴3x 2＋9x －2＝3(x 2＋3x )－2＝3×4－2＝1010．10＝－5(t －2)(t ＋1)，∴t ＝1(t ＝0舍去)11．(1)x1＝－2，x 2＝2(2)(x 2－2)(x 2－5)＝0，(x ＋2)(x －2)(x ＋5)(x －5)＝0。
用因式分解法解一元二次方程 优课教案
用因式分解法解一元二次方程【教学目标】（一）知识目标：1．会用因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。
2．理解因式分解法解一元二次方程的根据。
3．能根据具体一元二次方程的特征灵活选择方程的解法，体会解决问题策略的多样性。
（二）能力目标：通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神。
（三）情感目标：通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想。
【教学重难点】灵活运用分解因式法解一元二次方程。
【教学方法】自主探究、合作交流。
【教学过程】一、情境导入：解下列方程。
（一）5x2=4x （二）x-2=x(x-2)想一想：怎样才能快速解出来。
二、探究新知：（一）观察与思考对于一元二次方程x²+7x=0，用配方法和公式法都可以求出它的解。
还有更简便的求解方法吗？思考下面的问题：1．这个方程的两边有什么特点？它的左边可以分解因式吗？（如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个为0。
）2．小莹的解法是：把方程左边的多项式进行因式分解，得x(x+7)=0。
所以=0，=-72．对于2，大刚想到的另外的解法是：把原方程两边开平方，得2x+l=x-3所以x=-4。
怎么也少了一个解？你知道大刚的解法错在什么地方吗？3．对于方程x(x+2)=3，小莹的解法是：原方程化为x(x+2)=1×3，即x(x+2)=1×(1+2)。
从而x=1，或x+2=3．所以原方程有两个相等的根==1。
小莹的解法正确吗？为什么？四、达标测评：（一）方程x(x+2)=0的根是（）。
A．x=2 B．x=0C．=0，=2 D．=0，=2（二）方程x²=4x的解是（）。
A．x=4 B．x=2 C．=-4或=0 D．x=0（三）解方程(5x-1)²=3(5x-1)的适当方法应该是（）。
A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．分解因式法（四）下列方程中不适合用因式分解法求解的方程是（）。
A．3x²-2x=0 B．4x²=9C．(3x+1)=2x(3x+1) D．2x²+5x=6（五）解下列方程：1．5x²=x；2．x²-9=x+3．3．4(2x+3)-(2x+3)²=0：五、课堂小结：（一）谈一谈，这节课你有哪些收获？（二）对于本节所学内容你还有哪些疑惑？。
12.2用因式分解法解一元二次方程教学案
12. 2用因式分解法解一元二次方程教学案（一）一、素质教育目标（一）知识教学点：1.正确理解因式分解法的实质.2.熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程.（二）能力训练点：通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神.（三）德育渗透点：通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想.二、教学重点、难点、疑点及解决方法1.教学重点：用因式分解法解一元二次方程.2.教学难点’正确理解AB = 0 A=O=J（B = 0 （A. B表示两个因式）3.教学疑点：理解“充要条件”、“或”、“且”的含义.三、教学步骤（一）明确目标学习了公式法，便可以解所有的一元二次方程.对于有些一元二次方程，例如（X—2）（x+ 3）= 0,如果转化为一般形式，利用公式法就比较麻烦，如果转化为X— 2 = 0或x+ 3 = 0,解起来就变得简单多了•即可得X i = 2, X2= -3.这种解一元二次方程的方法就是本节课要研究的一元二次方程的方法一一因式分解法.（二）整体感知所谓因式分解，是将一个多项式分解成几个一次因式积的形式.如果一元二次方程的左边是一个易于分解成两个一次因式积的二次三项式，而右边为零.用因式分解法更为简单.例如：x2+ 5x + 6= 0,因式分解后(x+ 2) (x+ 3)=0,得x+ 2 = 0 或x+ 3= 0, 这样就将原来的一元二次方程转化为一元一次方程，方程便易于求解.可以说二次三项式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的关键.“如果两个因式的积等于零，那么两个因式至少有一个等于零”是因式分解法解方程的理论依据.方程的左边易于分解，而方程的右边等于零是因式分解法解方程的条件.满足这样条件的一元二次方程用因式分解法最简单.(三)重点、难点的学习与目标完成过程1.复习提问Cl) AB=O^A=0或B = Q•语宫表述；如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零.反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零.“或”有下列三层含义①A= 0且B M 0②心0且B= 0③A= 0且B= 0C2) (K -2) 3)= 0 K -2 = 0或盘+3=0・2.例1解方程x2+ 2x= 0.解：原方程可变形x (x+ 2)= 0……第一步二x= 0或x+ 2= 0……第二步X i=0, X2=-2.教师提问、板书，学生回答.分析步骤(一)第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”.分析步骤(二)对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．例2用因式分解法解方程X2+ 2x—15= 0.解：原方程可变形为(x+ 5)(x-3)= 0.得，x+ 5= 0 或x-3= 0.二x i = -5, X2 = 3.教师板演，学生回答，总结因式分解的步骤：(一)方程化为一般形式；(二)方程左边因式分解；(三)至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；(四)两个一元一次方程的解就是原方程的解.练习：P. 22 中 1 、2.第一题学生口答，第二题学生笔答，板演. 体会步骤及每一步的依据.例 3 解方程3( x-2) -x( x-2)= 0.解：原方程可变形为( x-2)( 3-x)= 0.二x-2= 0 或3-x= 0.二X i = 2, X2= 3.教师板演，学生回答.此方程不需去括号将方程变成一般形式.对于总结的步骤要具体情况具体分析.练习P. 22 中3.(2)(3x+ 2) 2=4 (x-3) 2.解：原式可变形为(3x+ 2) 2-4 (x-3) 2= 0.[(3x+2)+ 2 (x-3) ][ (3x+ 2) -2 (x-3) ]= 0即：(5x-4)(x+ 8) =0.5x-4= 0 或x + 8= 0.4 “学生练习、板演、评价.教师引导，强化.练习：解下列关于x的方程1.X2 4-(5-72)x-5^/2 = 0；2.1?十X-715=0;3.H3+ x-2-/2 = Q；4.K2- (3+和任)ir-v'is =0J5.2x2 +〔厶疗+ D x-^3 = 0t6.(4x+ 2) 2= x (2x + 1).学生练习、板演.教师强化，引导，训练其运算的速度.练习P. 22中4.(四)总结、扩展1.因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.”四、布置作业教材P. 21中A1、2.教材P. 23中B1、2 (学有余力的学生做).2.因式分解法解一元二次方程的步骤是：(1)化方程为一般形式；(2)将方程左边因式分解；(3)至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；(4)两个一元一次方程的解就是原方程的解.但要具体情况具体分析.3.因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了次”转化为“一次”的过程.五、板书设计12. 2用因式分解法解一元二次方程(一)一・」.例例1.…… 2……二、因式分解法的步骤(1)……练习:(2)…… …(3)……(4)……但要具体情况具体分析六、作业参考答案教材P. 21中A1(1)X1=-6, x2=-1(2)X1=6, X2=-1(3)y i=15, y2=2(4)y i=12, y2=-5(5)x i=1, x2=-11,(6)x i=-2, x2=14 教材P. 21中A2略(1)解：原式可变为：(5mx-7)5mx-7=0 或mx-b = 0又T m工07.-Ki --- ---1 5m2巾=一m(2)解：原式可变形为(2ax+ 3b) (5ax-b)= 02ax + 3b= 0或5ax-b= 0•/ a z 0(C =3£2= 0? (8)-y2=3)耳］=1, (10)=1, K教材P. 23中B1.解：（1）由y的值等于0得x2-2x-3=0b(mx-2)= 0变形为(x-3)( x+ 1)= 0「• x-3= 0 或x+仁0…X i = 3, X2=-1( 2)由y 的值等于-4得x2-2x-3=-4方程变形为x2-2x+ 1=0(x-1) 2=0解得x1=x2=1二当x=3或x= -1时，y的值为0 当x=1时，y的值等于-4教材P．23 中B2证明：T x2-7x y+ 12y2= 0(x-3y)( x-4y) =0x-3y=0或x-4y=0二x=3y,或x=4y。
八年级数学下册《因式分解法解一元二次方程》教案、教学设计
4.设计不同难度层次的习题，使学生在巩固基础知养其创新思维。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生学习数学的积极性；
2.培养学生勇于面对困难，敢于挑战自我的精神，使其在解决问题中增强自信心；
4.家长签字确认，加强对学生学习情况的了解和关注。
4.加强团队合作指导，提高学生的沟通协作能力；
5.关注学生个体差异，实施差异化教学，激发学生的学习兴趣和潜能。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：因式分解法解一元二次方程的步骤和方法，以及在实际问题中的应用。
2.难点：
（1）理解一元二次方程的根的判别式及其与因式分解的关系；
（2）灵活运用因式分解法解决各种类型的一元二次方程；
4.能够根据一元二次方程的特点，选择合适的解法，提高解题效率；
5.通过练习，提高学生的运算速度和准确性。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，教师将采用以下过程与方法：
1.引导学生通过观察、分析、归纳一元二次方程的特点，发现因式分解法解一元二次方程的规律；
2.通过讲解、示范、练习等多种方式，帮助学生掌握因式分解法解一元二次方程的方法；
（4）注重课堂反馈，及时调整教学进度和策略，提高教学效果。
3.教学评价：
（1）采用过程性评价与终结性评价相结合的方式，全面评估学生的学习效果；
（2）关注学生在小组合作中的表现，评价其团队协作能力和沟通能力；
（3）设置开放性问题，评价学生的创新思维和解决问题的能力；
（4）鼓励学生自我评价和相互评价，提高学生的自我认知和反思能力。
八年级数学下册《因式分解法解一元二次方程》教案、教学设计
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因式分解法解一元二次方程教案
二、教学重点难点：灵活运用分解因式法解一元二次方程。
三、教学方法：自主探究、合作交流
四、教学过程：
（一）、情境导入：、解下列方程。
1、5x=4x2、 x-2=x(x-2)想一想:怎样才能快速解出来。
（二）、探究新知：
1、观察与思考对于一元二次方程x2+7x=0．用配方法和公式法都可以求出它的解．还有更简便的求解方法吗?思考下面的问题：(1)这个方程的两边有什么特点?它的左边可以分解因式吗?（如果两个因式的积为O，那么这两个因式中至少有一个为O．）(2)小莹的解法是：把方程左边的多项式进行因式分解，得
x(x+7)=0．从而，得 x=0，或x+7=0．所以 xl=0，X2=-7．小莹的解法正确吗?她的依据是什么?这种解一元二次方程的方法叫做因
式分解法(solving by factorization)．温馨提示一：1．在“观察与思考”的教学中，要引导学生发现方程x2+7x=0的特点：①
方程是一元二次方程的一般形式；②方程左边可利用提公因式
法，化成两个一次因式的乘积；③方程左边的常数项为0．由此理解小莹的解法的依据．2．对于问题(2)，要使学生认识到，配方
法是利用平方根的意义实现降次的，公式法是把解方程转化为求
代数式的值实现降次的，因式分解法是通过把一个“二次多项式”分解为两个“一次多项式”实现降次的．
2、典例分析例1用因式分解法解方程：(1)15x2 +6x=O；(2)4x2—9=0．例2用因式分解法解方程：(2x+1)2=(X-3)2．对于例2，你还有其他的求解方法吗?注：例1的两个方程难度不大，可以引导学生独立完成．其中，方程(2)也可以利用平方根的意义求解．在例2的教学中，可以组织学生在思考的基础上独立完成，然后开展互相交流．要鼓励学生在熟悉因式分解法的基础上，合理选用其他解法，感受解题策略的多样性，并对各种解法的简繁程度加以比较．应使学生认识到：要根据所给方程的具体特点，选择适宜的解法．
（三）、学以致用：
1、巩固新知：用因式分解法解下列方程：(1)X(3x+1)=O；
(2)y (y-2)=0；(3)4x2-81=O； (4)2(x+5)2=1．（2）一个直角三角形三边的长为连续偶数，求它的三边的长．
2、能力提升：(1)对于本节开头的方程x2+7x=0．，小亮是这样解的：把方程两边同除以x，得 x+7=0．所以x=-7．怎么少了一个解?你知道小亮的解法错在什么地方吗?(2)对于例2，大刚想到的另外的解法是：
把原方程两边开平方，得2x+l=x-3．所以X=-4．怎么也少了一个解?你知道大刚的解法错在什么地方吗?(3)对于方程
x(x+2)=3，小莹的解法是：
原方程化为 x(x+2)：13，即x(x+2)=1(1+2)．从而x=1，或x+2=3．所以原方程有两个相等的根x1=x2=1．小莹的解法正确吗?为什么?
（四）、达标测评：1．方程x(x+2)一0的根是( )．A．x=2 B．x=0C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=22．方程x2=4x的解是( )． A．x=4 B．x=2 C．x1=-4或x2=0 D．x=03．解方程(5x-
1)2=3(5x-1)的适当方法应该是( )．A．直接开平方法 B．配方法C．公式法 D．分解因式法4．下列方程中不适合用因式分解法求解的方程是( )．A．3x2一2x=0 B．4x2=9C．(3x+1)=2x(3x+1) D．2x2+5x=65．解下列方程：(1)5x2=x；(2)x2-9=x+3。
(3)4(2x+3)-(2x+3)2=0：
五、课堂小结：(1）谈一谈，这节课你有哪些收获？(2)对于本节所学内容你还有哪些疑惑？六、作业布置：
七、教学反思：。