初中数学二次函数基础测试题附答案(1)
初中数学二次函数基础测试题附答案(1)一、选择题1．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B 【解析】 【分析】利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论． 【详解】解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得01442b cb c =-+⎧⎨=++⎩解得：1323b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数的解析式为：221212533636⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭-y x x x∴当x=16-时，y 的最小值为2536-，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+ 当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0 ∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得1201bb c⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩∴223y x x =--当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键．2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）A ．ac ＞0B ．b ＞0C ．a +c ＜0D ．a +b +c ＝0【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】A.由图象可知：a ＜0，c ＞0， ∴ac ＜0，故A 错误；B.由对称轴可知：x ＝2ba-＜0， ∴b ＜0，故B 错误； C.由对称轴可知：x ＝2ba-＝﹣1， ∴b ＝2a ， ∵x ＝1时，y ＝0， ∴a +b +c ＝0， ∴c ＝﹣3a ，∴a +c ＝a ﹣3a ＝﹣2a ＞0，故C 错误； 故选D ． 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101234…y…1250﹣3﹣4﹣305…给出以下结论：（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当﹣12＜x＜2时，y＜0；（3）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4时，y1＞y2．上述结论中正确的结论个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】根据表格的数据，以及二次函数的性质，即可对每个选项进行判断.【详解】解：（1）函数的对称轴为：x＝1，最小值为﹣4，故错误，不符合题意；（2）从表格可以看出，当﹣12＜x＜2时，y＜0，符合题意；（3）﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4时，x2离对称轴远，故错误，不符合题意；故选择：B．【点睛】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③13＜a＜23；④b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④【答案】B【解析】【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a 、b 、c 的符号，从而判断①；根据对称性得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（-1，0）可得到a 、b 、c 之间的关系，从而对④作判断；从图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c 的大小得出③的正误． 【详解】①∵函数开口方向向上， ∴a ＞0；∵对称轴在y 轴右侧 ∴ab 异号，∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴， ∴c ＜0， ∴abc ＞0， 故①正确；②∵图象与x 轴交于点A （-1，0），对称轴为直线x=1， ∴图象与x 轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=2时，y ＜0， ∴4a+2b+c ＜0， 故②错误；③∵图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间， ∴-2＜c ＜-1∵-12ba ， ∴b=-2a ，∵函数图象经过（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴c=-3a ， ∴-2＜-3a ＜-1， ∴13＜a ＜23；故③正确 ④∵函数图象经过（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴b-c=a ， ∵a ＞0，∴b-c ＞0，即b ＞c ； 故④正确； 故选B ． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．5．对于二次函数()21202y ax a x a ⎛⎫=+-<⎪⎝⎭，下列说法正确的个数是（ ） ①对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()2,1和()0,0两点； ②若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有001x <<； ③当0x ≥时，y 随x 的增大而增大；④若()14,P y ，()()24,0Q m y m +>是函数图象上的两点，如果12y y >总成立，则112a ≤-． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）逐个判断即可． 【详解】 对于()21202y ax a x a ⎛⎫=+-<⎪⎝⎭当2x =时，142(2)12y a a =+-=，则二次函数的图象都经过点()2,1 当0x =时，0y =，则二次函数的图象都经过点()0,0 则说法①正确此二次函数的对称轴为1212124ax a a-=-=-+0a <Q 1114a∴-+> 01x ∴>，则说法②错误由二次函数的性质可知，抛物线的开口向下，当114x a<-+时，y 随x 的增大而增大；当114x a≥-+时，y 随x 的增大而减小 因11104a-+>> 则当1014x a <-≤+时，y 随x 的增大而增大；当114x a≥-+时，y 随x 的增大而减小 即说法③错误0m >Q44m ∴+>由12y y >总成立得，其对称轴1144x a=-+≤ 解得112a ≤-，则说法④正确 综上，说法正确的个数是2个 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．6．如图，已知()4,1A --，线段AB 与x 轴平行，且2AB =，抛物线2y x mx n =-++经过点()0,3C 和()3,0D ，若线段AB 以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t （秒）.若抛物线与线段AB 有公共点，则t 的取值范围是（ ）A ．010t ≤≤B ．210t ≤≤C ．28t ≤≤D ．210t <<【答案】B 【解析】 【分析】直接利用待定系数法求出二次函数，得出B 点坐标，分别得出当抛物线l 经过点B 时，当抛物线l 经过点A 时，求出y 的值，进而得出t 的取值范围； 【详解】解：（1）把点C （0，3）和D （3，0）的坐标代入y=-x 2+mx+n 中， 得，23330n m n =⎧⎨-++=⎩解得32n m =⎧⎨=⎩∴抛物线l 解析式为y=-x 2+2x+3，设点B 的坐标为（-2，-1-2t ），点A 的坐标为（-4，-1-2t ）， 当抛物线l 经过点B 时，有y=-（-2）2+2×（-2）+3=-5， 当抛物线l 经过点A 时，有y=-（-4）2+2×（-4）+3=-21， 当抛物线l 与线段AB 总有公共点时，有-21≤-1-2t≤-5，解得：2≤t≤10． 故应选B 【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关于t 的不等式是解题关键．7．已知，二次函数y=ax 2+bx+a 2+b （a≠0）的图象为下列图象之一，则a 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-3D ．-4【答案】A 【解析】 【分析】分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b=0，其顶点坐标为(0，a 2)，与图形中的顶点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b=0，根据顶点坐标有a 2=3，由抛物线与x 的交点坐标得到x 2=-a ，所以a=-4，它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点(-1，0)代入解析式得到a-b+a 2+b=0，解得a=-1；若二次函数的图形为第四个，把(-2，0)和(0，0)分别代入解析式可计算出a 的值． 【详解】解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y 轴，则b=0，y=ax 2+a 2，其顶点坐标为(0，a 2)，而a 2>0，所以二次函数的图形不能为第一个；若二次函数的图形为第二个，对称轴为y 轴，则b=0，y=ax 2+a 2，a 2=3，而当y=0时，x 2=−a ，所以−a=4，a=−4，所以二次函数的图形不能为第二个；若二次函数的图形为第三个，令x=−1，y=0，则a−b+a 2+b=0，所以a=−1； 若二次函数的图形为第四个，令x=0，y=0，则a 2+b=0①；令x=−2，y=0，则4a−2b+a 2+b=0②，由①②得a=−2，这与图象开口向上不符合，所以二次函数的图形不能为第四个. 故选A. 【点睛】本题考查了二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系：a ＞0，开口向上；a ＜0，开口向下；抛物线的对称轴为直线x=-；顶点坐标为(-，)；也考查了点在抛物线上则点的坐标满足抛物线的解析式.8．如图，抛物线2y ax bx c =++ 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标（1，n ），与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc ＞0；②3a +b ＜0；③﹣43≤a ≤﹣1；④a +b ≥am 2+bm （m 为任意实数）；⑤一元二次方程2ax bx c n ++= 有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵顶点坐标（1，n ），∴对称轴为直线x =1，∴2b a-=1，∴b =﹣2a ＞0，∵与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c ≤4，∴abc ＜0，故①错误；3a +b =3a +（﹣2a ）=a ＜0，故②正确；∵与x 轴交于点A （﹣1，0），∴a ﹣b +c =0，∴a ﹣（﹣2a ）+c =0，∴c =﹣3a ，∴3≤﹣3a ≤4，∴﹣43≤a ≤﹣1，故③正确； ∵顶点坐标为（1，n ），∴当x =1时，函数有最大值n ，∴a +b +c ≥am 2+bm +c ，∴a +b ≥am 2+bm ，故④正确；一元二次方程2ax bx c n ++=有两个相等的实数根x 1=x 2=1，故⑤错误． 综上所述，结论正确的是②③④共3个．故选B ．点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a 、b 的关系．9．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法． 【详解】y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0），则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度．故选：A ． 【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．10．如图是函数223(04)y x x x =--≤≤的图象，直线//l x 轴且过点(0,)m ，将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥B ．0m ≤C ．01m ≤≤D ．m 1≥或0m ≤【答案】C 【解析】 【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M 的范围可知. 【详解】解：如图1所示，当t 等于0时， ∵2(1)4y x =--， ∴顶点坐标为(1,4)-， 当0x =时，3y =-， ∴(0,3)A -， 当4x =时，5y =， ∴(4,5)C ， ∴当0m =时，(4,5)D -，∴此时最大值为0，最小值为5-； 如图2所示，当1m =时， 此时最小值为4-，最大值为1． 综上所述：01m ≤≤， 故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m 的值为解题关键．11．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①4a ﹣2b +c ＞0；②3a +b ＞0；③b 2＝4a （c ﹣n ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝n ﹣1有两个互异实根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象和性质，开口向下，可得a<0，对称轴x=1，利用顶点坐标，图象与x 轴的交点情况，对照选项逐一分析即可． 【详解】①∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间， ∴当x ＝﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b +c ＜0，所以①不符合题意；②∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2ba＝1，即b ＝﹣2a ， ∴3a +b ＝3a ﹣2a ＝a <0，所以②不符合题意； ③∵抛物线的顶点坐标为（1，n ），∴244ac b a＝n ，∴b 2＝4ac ﹣4an ＝4a （c ﹣n ），所以③符合题意；④∵抛物线与直线y ＝n 有一个公共点，∴抛物线与直线y ＝n ﹣1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝n ﹣1有两个不相等的实数根，所以④符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质的应用，二次函数开口方向，对称轴，交点位置，二次函数与一次函数图象结合判定方程根的个数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．12．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,0)和点(3,0)，有下列说法：①bc ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③2a ＋b ＝0；④4ac ＞b 2．其中错误的是( )A ．②④B ．①③④C ．①②④D ．②③④【答案】C【解析】【分析】 利用抛物线开口方向得到0a >，利用对称轴在y 轴的右侧得到0b <，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到0c <，则可对A 进行判断；利用当1x =时，0y <可对B 进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线12b x a=-=，则可对C 进行判断；根据抛物线与x 轴的交点个数对D 进行判断．【详解】解：Q 抛物线开口向上， 0a ∴>，Q 对称轴在y 轴的右侧，a ∴和b 异号，0b ∴<，Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，0c ∴<，0bc ∴>，所以①错误；Q 当1x =时，0y <，0a b c ∴++<，所以②错误；Q 抛物线经过点(1,0)-和点(3,0)，∴抛物线的对称轴为直线1x =， 即12b a-=， 20a b ∴+=，所以③正确；Q 抛物线与x 轴有2个交点，∴△240b ac =->，即24ac b <，所以④错误．综上所述：③正确；①②④错误．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置（左同右异）．常数项c 决定抛物线与y 轴交点(0,)c ．抛物线与x 轴交点个数由△决定．13．已知二次函数2()y x h =-- (h 为常数),当自变量x 的值满足25x ≤≤时,与其对应的函数值y 的最大值为-1,则h 的值为( )A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或6【答案】B【解析】分析：分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况考虑：当h ＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h ＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．详解：如图，当h ＜2时，有-（2-h ）2=-1，解得：h 1=1，h 2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=-（x-h ）2的最大值为0，不符合题意；当h ＞5时，有-（5-h ）2=-1，解得：h 3=4（舍去），h 4=6．综上所述：h 的值为1或6．故选B．点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．14．如图1，△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A→C→B运动，点Q从点A出发以vcm/s的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示，有下列结论：①v＝1；②sin B＝13；③图象C2段的函数表达式为y＝﹣13x2+103x；④△APQ面积的最大值为8，其中正确有（）A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】A【解析】【分析】①根据题意列出y＝12AP•AQ•sin A，即可解答②根据图像可知PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，再代入即可③把sin B＝13，代入解析式即可④根据题意可知当x＝﹣522ba时，y最大＝2512【详解】①当点P在AC上运动时，y＝12AP•AQ•sin A＝12×2x•vx＝vx2，当x＝1，y＝12时，得v＝1，故此选项正确；②由图象可知，PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，当P在BC上时y＝12•x•（10﹣2x）•sin B，当x＝4，y＝43时，代入解得sin B＝13，故此选项正确；③∵sin B ＝13， ∴当P 在BC 上时y ＝12•x （10﹣2x ）×13＝﹣13x 2+53 x ， ∴图象C 2段的函数表达式为y ＝﹣13x 2+53x ， 故此选项不正确；④∵y ＝﹣13x 2+53x ， ∴当x ＝﹣522b a =时，y 最大＝2512， 故此选项不正确；故选A ．【点睛】 此题考查了二次函数的运用，解题关键在于看图理解15．在同一平面直角坐标系中，函数3y x a =+与2+3y ax x =的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据一次函数及二次函数的图像性质，逐一进行判断．【详解】解：A.由一次函数图像可知a ＞0，因此二次函数图像开口向上，但对称轴302a-<应在y 轴左侧，故此选项错误；B. 由一次函数图像可知a ＜0，而由二次函数图像开口方向可知a ＞0，故此选项错误；C. 由一次函数图像可知a＜0，因此二次函数图像开口向下，且对称轴32a->在y轴右侧，故此选项正确；D. 由一次函数图像可知a＞0，而由二次函数图像开口方向可知a＜0，故此选项错误；故选：C．【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是利用数形结合思想分析图像，本题属于中等题型．16．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC的中点时，PQ的长为（）A．2 B．4 C．3D．3【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为33x＝2，y＝3P、Q运动的速度，即可求解．【详解】解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC3a，设P、Q同时到达的时间为T，则点P的速度为3aT，点Q3a，故点P、Q的速度比为33故设点P、Q的速度分别为：3v3，由图2知，当x＝2时，y＝3P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝3＝3，y＝12⨯AB×BQ＝12⨯6v3v＝3v＝1，故点P、Q的速度分别为：33AB＝6v＝6＝a，则AC＝12，BC＝3如图当点P在AC的中点时，PC＝6，此时点P 运动的距离为AB +AP ＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ ＝3x ＝43，CQ ＝BC ﹣BQ ＝63﹣43＝23，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，PC ＝6，则PH ＝PC sin C ＝6×12＝3，同理CH ＝33，则HQ ＝CH ﹣CQ ＝33﹣23＝3，PQ ＝22PH HQ +＝39+＝23，故选：C ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．17．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③3a+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】 试题解析：①由开口向下，可得0,a <又由抛物线与y 轴交于正半轴，可得0c >，再根据对称轴在y 轴左侧，得到b 与a 同号，则可得0,0b abc ，故①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->， 故②正确；③当2x =-时，0,y < 即420a b c -+< (1)当1x =时，0y <,即0a b c ++< (2)（1）+（2）×2得，630a c +<，即20a c +<，又因为0,a <所以()230a a c a c ，++=+< 故③错误；④因为1x =时，0y a b c =++<，1x =-时，0y a b c =-+>所以()()0a b c a b c ++-+<即()()22()0,a c b a c b a c b ⎡⎤⎡⎤+++-=+-<⎣⎦⎣⎦ 所以22().a c b +<故④正确，综上可知，正确的结论有2个.故选B ．18．如图抛物线交轴于和点，交轴负半轴于点，且.有下列结论：①；②；③.其中，正确结论的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a 、b 、c 的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论．【详解】解：根据图象可知a ＞0，c ＜0，b ＞0， ∴, 故③错误； ∵.∴B （-c ，0）∴抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A （-2，0）和B （-c ，0）两点， ∴ ， ac 2-bc+c=0∴，ac-b+1=0， ∴，故②正确； ∴，b=ac+1 ∴,∴2b-c=2，故①正确；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．19．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()1,2，将抛物线21322y x x =-+沿坐标轴平移一次，使其经过点P ，则平移的最短距离为（ ）A ．12B ．1C ．5D ．52【答案】B【解析】【分析】先求出平移后P 点对应点的坐标，求出平移距离，即可得出选项．【详解】 解：21322y x x =-+=()215322x --， 当沿水平方向平移时，纵坐标和P 的纵坐标相同，把y=2代入得：解得：x=0或6，平移的最短距离为1-0=1；当沿竖直方向平移时，横坐标和P 的横坐标相同，把x=1代入得：解得：y=12-， 平移的最短距离为152=22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 即平移的最短距离是1，故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能求出平移后对应的点的坐标是解此题的关键．20．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；根据二次函数的对称轴在y 左侧，a ，b 同号，对称轴在y 轴右侧a ，b 异号，以及当a 大于0时开口向上，当a 小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y 轴于正半轴，常数项为负，交y 轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．【详解】解：由方程组2y ax bx y bx a⎧=+⎨=-⎩得ax 2＝−a ， ∵a ≠0∴x 2＝−1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B ．A ：二次函数开口向上，说明a ＞0，对称轴在y 轴右侧，则b ＜0；但是一次函数b 为一次项系数，图象显示从左向右上升，b ＞0，两者矛盾，故A 错；C ：二次函数开口向上，说明a ＞0，对称轴在y 轴右侧，则b ＜0；b 为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．故选C．【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．。
九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)
九年级数学 二次函数 单元试卷（一）时间90分钟 满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（ ）A.y=(x －1)(x+2)B.y=21(x+1)2C. y=1－3x 2D. y=2(x+3)2－2x 22. 函数y=-x 2-4x+3图象顶点坐标是（ ）A.（2，-1）B.（-2，1）C.（-2，-1）D.（2， 1）3. 抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1）4. y=(x －1)2＋2的对称轴是直线（ ） A ．x=－1 B ．x=1 C ．y=－1 D ．y=15．已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定6. 二次函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ）A. y ＝x 2＋3B. y ＝x 2－3C. y ＝(x ＋3)2D. y ＝(x －3)27．函数y=2x 2-3x+4经过的象限是（ ）A.一、二、三象限B.一、二象限C.三、四象限D.一、二、四象限 8．下列说法错误的是（ ）A ．二次函数y=3x 2中，当x>0时，y 随x 的增大而增大B ．二次函数y=－6x 2中，当x=0时，y 有最大值0 C ．a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点9．如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2＋3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（ ）A ．3.5mB ．4mC ．4.5mD ．4.6m10．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A ．a ＞0． B ．b ＞0． C ．c ＜0． D ．abc ＞0．(第9题) (第10题)3.05m yx y o二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分）11．一个正方形的面积为16cm 2，当把边长增加x cm 时，正方形面积为y cm 2，则y 关于x 的函数为 。
二次函数测试题及答案
二次函数测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = 2x + 1B. y = x^2 + 3x + 2C. y = 3x^3 - 5D. y = 4/x答案：B2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为（h, k），那么h的值为：A. -b/2aB. -b/aC. b/2aD. b/a答案：C3. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的对称轴方程是：A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -2答案：A4. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，那么a的值：A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 可以是任意实数答案：A5. 二次函数y = -x^2 + 4x - 3的顶点坐标是：A. (1, 2)B. (2, 1)C. (3, 0)D. (3, 4)答案：C6. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 5的图象与x轴的交点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C7. 二次函数y = x^2 - 4x + 4的最小值是：A. 0B. 4C. -4D. 1答案：A8. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的图象开口方向是：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案：A9. 二次函数y = -x^2 + 2x + 3的图象与y轴的交点坐标是：A. (0, 3)B. (0, -3)C. (0, 5)D. (0, -5)答案：A10. 二次函数y = 5x^2 - 10x + 8的图象与x轴的交点坐标是：A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (1, 0)D. (-1, 0)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且经过点（2, 0），则a的值至少为______。
答案：02. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的顶点坐标是（______, ______）。
初中数学二次函数基础测试题附答案
初中数学二次函数基础测试题附答案一、选择题1．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，给出以下结论：①abc ＜0；②3a +c ＝0；③ax 2+bx ≤a +b ；④若M （﹣0.5，y 1）、N （2.5，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②3④C ．①②③D ．②③④【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0， 由对称轴可知：2ba-＞0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确； ②由对称轴可知：2ba-＝1， ∴b ＝﹣2a ，∵抛物线过点（3，0）， ∴0＝9a+3b+c ， ∴9a ﹣6a+c ＝0， ∴3a+c ＝0，故②正确；③当x ＝1时，y 取最大值，y 的最大值为a+b+c ， 当x 取全体实数时，ax 2+bx+c≤a+b+c ， 即ax 2+bx≤a+b ，故③正确；④（﹣0.5，y 1）关于对称轴x ＝1的对称点为（2.5，y 1）： ∴y 1＝y 2，故④错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．2．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（ ）A ．2B ．322C ．52D ．3【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=12BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即可. 【详解】 ∵2119y x =-， ∴当0y =时，21019x =-， 解得：=3x ±，∴A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)， 即：AO=BO=3， ∴O 点为AB 的中点， 又∵圆心C 坐标为(0，4)， ∴OC=4，∴BC 长度2205OB C +=， ∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点， ∴OE 为△ABD 的中位线， 即：OE=12BD ， ∵D 点是圆上的动点，由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径， ∴BD 的最小值为4， ∴OE=12BD=2， 即OE 的最小值为2， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.3．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x ＜1B ．﹣3＜x ＜﹣1C ．x ＜1D ．﹣3＜x ＜1【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案. 【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1， ∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0）， ∴当y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1． 所以答案为：D ． 【点睛】此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.4．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3yx 的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ） A ．010<x <4B ．011<x <43C ．011<x <32D ．01<x <12【答案】C【解析】 【分析】首先根据题意推断方程x 3+2x-1=0的实根是函数y=x 2+2与1y x=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3+2x-1=0的实根x 所在范围． 【详解】解：依题意得方程3x 2x 10+-=的实根是函数2y x 2=+与1y x=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．当x=14时，21y x 2216=+=，1y 4x ==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=13时，21229y x =+=，1y 3x==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=12时，21224y x =+=，1y 2x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当x=1时，2y x 23=+=，1y 1x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方． ∴方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在范围为：011<x <32． 故选C ． 【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．5．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a -b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2ba=1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a-=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断． 【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间． ∴当x=-1时，y ＞0， 即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2ba=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误； ∵抛物线的顶点坐标为（1，n ），∴244ac b a-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确； ∵抛物线与直线y=n 有一个公共点， ∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选C ． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.6．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC--运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ∆的面积为2cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】分三种情况求出y 与t 的函数关系式. 当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ；当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时；当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时.即可得出正确选项． 【详解】解：作AE ⊥BC 于E ，根据已知可得，AB 2=42+（6-3）2， 解得，AB=5cm ． 下面分三种情况讨论:当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ，21442255y t t t ==,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时，1422y t t =⨯=, y 是t 的一次函数且最大值=21448cm 2⨯⨯=;当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时，()211226,2y t t t t =⋅-=-+y 是t 的二次函数 故符合y 与t 的函数图象是B ． 故选：B ． 【点睛】此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.7．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b+＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝222ax bx +，且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【详解】解：抛物线的开口向下，则a ＜0； 抛物线的对称轴为x=1，则-2ba=1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值 ∴+a b ＞2am bm +（故③正确）：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误） 由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误）⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0 ∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0∴x 1+x 2=2b aa a-=-=2 （故⑤正确） 故选D ．考点：二次函数图像与系数的关系.8．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：下列结论错误的是( ) A ．0ac < B ．3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根；C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小；D ．当13x时，()210.ax b x c +-+>【答案】C 【解析】 【分析】根据函数中的x 与y 的部分对应值表，可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断． 【详解】解：根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知： 当1x =-时，1y =-，即1a b c -+=-， 当0x =时，3y =，即3c =， 当1x =时，5y =，即5a b c ++=，联立以上方程：135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴233y x x =-++；A 、1330=-⨯=-<ac ，故本选项正确；B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=，将3x =代入得：232339630-+⨯+=-++=，∴3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确；C 、233y x x =-++化为顶点式得：2321()24=--+y x ， ∵10a =-<，则抛物线的开口向下，∴当32x >时，y 的值随x 值的增大而减小；当32x <时，y 的值随x 值的增大而增大；故本选项错误；D 、不等式()210ax b x c +-+>可化为2230x x -++>，令2y x 2x 3=-++，由二次函数的图象可得：当0y >时，13x ，故本选项正确；故选：C ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．9．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动，当P 运动到B 点时，P Q 、点同时停止运动．设P 点运动的时间为t 秒，APQ ∆的面积为S ，则表示S 与t 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案． 【详解】解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时， 此时，,2AP t BQ t ==2122APQSt t t =⋅⋅=，函数图象为抛物线； 当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时， 此时，AP t =，APQ 底边AP 上的高保持不变1422APQSt t =⋅⋅=，函数图象为一次函数； 故选：D ． 【点睛】 本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键．10．如图，坐标平面上，二次函数y ＝﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？( )A ．1B ．12C ．43D ．45【答案】D 【解析】 【分析】求出顶点和C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于k 的方程，解方程即可．【详解】解：∵y ＝﹣x 2+4x ﹣k ＝﹣(x ﹣2)2+4﹣k ，∴顶点D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)，∴OC ＝k ，∵△ABC 的面积＝12AB•OC ＝12AB•k ，△ABD 的面积＝12AB(4﹣k)，△ABC 与△ABD 的面积比为1：4， ∴k ＝14(4﹣k)， 解得：k ＝45． 故选：D ．【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．11．已知在平面直角坐标系中，有两个二次函数()()39m x x y =++及()()26y n x x =--图象，将二次函数()()39m x x y =++的图象按下列哪一种平移方式平移后，会使得此两个函数图象的对称轴重叠（ ）A ．向左平移2个单位长度B ．向右平移2个单位长度C ．向左平移10个单位长度D ．向右平移10个单位长度【答案】D【解析】【分析】将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离．【详解】解：∵y ＝m （x ＋3）（x ＋9）＝mx 2＋12mx ＋27m ，y ＝n （x －2）（x －6）＝nx 2－8nx ＋12n ，∴二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的对称轴为直线x ＝－6，二次函数y ＝n （x －2）（x －6）的对称轴为直线x ＝4，∵4－（－6）＝10，∴将二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的图形向右平移10个单位长度，两图象的对称轴重叠．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的关键．12．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( )A ．a +c ＝0B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2C ．当函数在x ＜110时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a 【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可．【详解】解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2，∴a +c ＝0，b ＝﹣2，∴A 正确；∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2，∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ，∴△＝4+4a 2＞0，∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点，∵x 1+x 2＝2a，x 1x 2＝﹣1，∴|x 1﹣x 2|＝＞2， ∴B 正确；二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣2b a ＝1a ， 当a ＞0时，不能判定x ＜110时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误；∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0，∴m +n ＜0，2a ＞0， ∴m +n ＜2a；∴D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．13．如图，ABC ∆为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意．【详解】根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，∴选项B 符合题意，选项A 不合题意．故选B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．14．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】【分析】【详解】 解：∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x ﹣1，和x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a ﹣2b+c ＞0，∴4a+c ＞2b ，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c ＜0，∴2a+2b+2c ＜0，∵b=2a ，∴3b ，2c ＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a ﹣b+c 的值最大，即把（m ，0）（m≠0）代入得：y=am 2+bm+c ＜a ﹣b+c ，∴am 2+bm+b ＜a ，即m （am+b ）+b ＜a ，∴④正确；即正确的有3个，故选B ．考点：二次函数图象与系数的关系15．如图，已知()4,1A --，线段AB 与x 轴平行，且2AB =，抛物线2y x mx n =-++经过点()0,3C 和()3,0D ，若线段AB 以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t （秒）.若抛物线与线段AB 有公共点，则t 的取值范围是（ ）A ．010t ≤≤B ．210t ≤≤C ．28t ≤≤D ．210t <<【答案】B【解析】【分析】 直接利用待定系数法求出二次函数，得出B 点坐标，分别得出当抛物线l 经过点B 时，当抛物线l 经过点A 时，求出y 的值，进而得出t 的取值范围；【详解】解：（1）把点C （0，3）和D （3，0）的坐标代入y=-x 2+mx+n 中，得，23330n m n =⎧⎨-++=⎩解得32n m =⎧⎨=⎩∴抛物线l 解析式为y=-x 2+2x+3，设点B 的坐标为（-2，-1-2t ），点A 的坐标为（-4，-1-2t ），当抛物线l 经过点B 时，有y=-（-2）2+2×（-2）+3=-5，当抛物线l 经过点A 时，有y=-（-4）2+2×（-4）+3=-21，当抛物线l 与线段AB 总有公共点时，有-21≤-1-2t≤-5，解得：2≤t≤10．故应选B【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关于t 的不等式是解题关键．16．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画，下列结论错误的是( )A ．斜坡的坡度为1: 2B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．当小球抛出高度达到7.5m 时，小球距O 点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断A 、C ；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B ；求出当7.5y =时，x 的值，判定D ．【详解】 解：214212y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得，1100x y =⎧⎨=⎩，22772x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 72∶7=1∶2，∴A 正确； 小球落地点距O 点水平距离为7米，C 正确；2142y x x =- 21(4)82x =--+， 则抛物线的对称轴为4x =，∴当4x >时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，B 正确，当7.5y =时，217.542x x =-， 整理得28150x x -+=，解得，13x =，25x =，∴当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m 或5m ，D 错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．17．将抛物线243y x x =-+平移，使它平移后图象的顶点为()2,4-，则需将该抛物线（ ）A ．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位B ．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位C ．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位D ．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位【答案】C【解析】【分析】先把抛物线243y x x =-+化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】∵抛物线243y x x =-+可化为()221y x =--∴其顶点坐标为：(2,−1)，∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位． 故选C.【点睛】本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.18．下列函数（1）y =x （2）y =2x ﹣1 （3）y =1x（4）y =2﹣3x （5）y =x 2﹣1中，是一次函数的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【答案】B【解析】【分析】分别利用一次函数、二次函数和反比例函数的定义分析得出即可．【详解】解：（1）y =x 是一次函数，符合题意；（2）y =2x ﹣1是一次函数，符合题意； （3）y =1x是反比例函数，不符合题意； （4）y =2﹣3x 是一次函数，符合题意；（5）y =x 2﹣1是二次函数，不符合题意；故是一次函数的有3个．故选：B ．【点睛】 此题考查一次函数、二次函数和反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．19．在函数2y x=，3y x ，2y x 的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】【分析】 根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解．【详解】y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x 2图象不是中心对称图形；只有函数2y x=符合条件． 故选：B ．【点睛】 本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．20．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结i 论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a+b ＝0；④a ﹣b+c ＜0．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 首先根据开口方向确定a 的取值范围，根据对称轴的位置确定b 的取值范围，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围，根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围，根据x ＝﹣1函数值可以判断．【详解】解：抛物线开口向下，0a ∴<，对称轴12b x a=-=， 0b ∴>，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，0c ∴>，0abc ∴<，故①错误；抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，故②正确； 对称轴12b x a=-=， 2a b ∴=-， 20a b ∴+=，故③正确；根据图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确；故选：C ．【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．。
人教版初中数学二次函数基础测试题附答案
【分析】
设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．
【详解】
解：设原数为m，则新数为 ，
设新数与原数的差为y
则 ，
易得，当m＝0时，y＝0，则A错误
∵
当 时，y有最大值．则B错误，D正确．
当y＝21时， ＝21
解得 ＝30， ＝70，则C错误．
故答案选：D．
【点睛】
本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．
8．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（）
A．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（ ， ）
B．当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
C．当m≠0时，函数图象经过同一个点
D．当m<0时，函数在x> 时，y随x的增大而减小
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分三种情况求出y与t的函数关系式.当0≤t≤2.5时：P点由B到A；当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时；当4≤t≤6时，即P点从D到C时.即可得出正确选项．
【详解】
解：作AE⊥BC于E，根据已知可得，
AB2=42+（6-3）2，
解得，AB=5cm．
下面分三种情况讨论:
当0≤t≤2.5时：P点由B到A， ,y是t的二次函数.最大面积= 5 cm2;
当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时， , y是t的一次函数且最大值= ;
当4≤t≤6时，即P点从D到C时， y是t的二次函数
故符合y与t的函数图象是B．
二次函数测试题及答案
二次函数测试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = x + 2B. y = x^2 + 3x + 1C. y = 2x^3D. y = 1/x答案：B2. 二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的顶点坐标是：A. (-b, a)B. (-b/a, c)C. (-b/2a, 4ac - b^2/4a)D. (-b/2a, 4ac + b^2/4a)答案：C3. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴有两个交点，那么a、b、c之间的关系是：A. b^2 - 4ac > 0B. b^2 - 4ac < 0C. b^2 - 4ac = 0D. b^2 - 4ac ≠ 0答案：A二、填空题4. 二次函数y = -3x^2 + 6x - 5的顶点坐标是______。
答案：(1, -2)5. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，那么a的值是______。
答案：> 0三、解答题6. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 3，求其图像与x轴的交点。
解：令y = 0，得到方程2x^2 - 4x + 3 = 0。
通过求解这个方程，我们可以得到x的值。
首先计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 2 * 3 = 16 - 24 = -8。
因为Δ < 0，所以这个二次方程没有实数解，即二次函数的图像与x轴没有交点。
7. 已知二次函数y = 3x^2 + 6x - 5，求其图像的对称轴。
解：二次函数y = ax^2 + bx + c的对称轴是x = -b/(2a)。
将a= 3, b = 6代入公式，得到对称轴为x = -6 / (2 * 3) = -1。
四、应用题8. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 0.5x^2 - 100x + 1000，其中x表示产品的数量。
(常考题)人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋a ，在第一象限内y 随x 的减小而减小，则它们在同一直角坐标系中的图象大致位置是（ ）A ．B ．C ．D ．2．将二次函数221y xx =+-化为2()y x h k =-+的形式时，结果正确的是（ ） A ．2(1)2y x =+-B ．2(1)2y x =--C ．2(1)2y x =-+D ．2(1)3y x =++3．如图是函数y ＝x 2+bx+c 与y ＝x 的图象，有下列结论：（1）b 2﹣4c ＞0；（2）b+c+1＝0；（3）方程x 2+（b ﹣1）x+c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝3；（4）当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图是抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a ﹣b+c ＞0；②3a+b ＝0；③b 2＝4a （c ﹣n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c ＝n ﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．二次函数2y x bx =+的图象如图，对称轴为直线1x =．若关于x 的一元二次方程20x bx t +-=（t 为实数）在23x -<<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．1t ≥-B ．13t -≤<C ．18t -≤<D ．38t << 6．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像，对于下列说法：①abc ＞0，②240b ac ->，③a +b +c ＜0，④当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．抛物线2(2)3y x =-+的对称轴是（ ） A ．直线2x =- B ．直线3x = C ．直线1x = D ．直线2x = 8．抛物线28y x x q =++与x 轴有交点，则q 的取值范围是（ ）A ．16q <B ．16q >C ．16q ≤D ．16q ≥ 9．已知二次函数22236y x ax a a =-+-+（其中x 是自变量）的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2a <B ．1a >-C ．12a -<≤D ．12a -≤< 10．下列各图象中有可能是函数()20y ax a a =+≠的图象（ ）A ．B ．C ．D ． 11．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，则下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根是-1，3；③2a b c +=；④y 最大值43c =；其中正确的有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．112．如图所示，一段抛物线：()233044y x x x =-+≤≤记为1C ，它与x 轴交于两点O ，1A ；将1C 绕1A 旋转180°得到2C ，交x 轴于2A ；将2C 绕2A 旋转180°得到3C ，交x 轴于3A ；⋅⋅⋅如此进行下去，直至得到506C ，则抛物线506C 的顶点坐标是（ ）A ．()2020,3B ．()2020,3-C ．()2022,3D ．()2022,3-二、填空题13．如图，正方形OABC 的边长为2，OA 与x 负半轴的夹角为15°，点B 在抛物线()20y ax a =<的图象上，则a 的值为_．14．将抛物线2y x 向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是__________．15．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端B 处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，则水管AB 的长为_____m ．16．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次不等式220x x m -++>的解集为______________________．17．将二次函数 ()2213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为________.18．如图，抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在B 的左侧），点C 为抛物线上任意一点．．．．（不与A ，B 重合），BD 为ABC 的AC 边上的高线，抛物线顶点E 与点D 的最小距离为1，则抛物线解析式为______．19．已知（-3，y 1），（-2，y 2），（1，y 3）是抛物线2312y x x m =++上的点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为__．20．如图，点A ，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a （x ﹣m ）2+n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为﹣3，则点D 的横坐标最大值为_____．三、解答题21．如图用长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场ABCD ，已知墙长14m ，设边AB 的长为xm ，矩形ABCD 的面积为ym 2．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并求出函数y 的最大值．（2）当y ＝108时，求x 的值．22．一网店经营一种玩具，购进时的单价是30元．根据市场调查表明：当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该玩具的销售单价为x 元（40x >），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该玩具获得利润w 元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x 销售量y （件）销售玩具获得利润w（元）x 应定为多少元？（3）若该网店要完成不少于550件的销售任务，求网店销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？23．如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点M 抛物线的顶点．（1）连接BC ，求BC 与对称轴MN 的交点D 坐标．（2）点E 是对称轴上的一个动点，求OE CE +的最小值．24．如图1，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，2），连接AC ，若OC =2OA ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线对称轴l 上有一动点P ，当PC +PA 最小时，求出点P 的坐标；（3）如图2所示，连接BC ，M 是线段BC 上（不与B 、C 重合）的一个动点．过点M 作直线l '∥l ，交抛物线于点N ，连接CN ，BN ，设点M 的横坐标为t ．当t 为何值时，△BCN 的面积最大？最大面积为多少？25．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223=+-y mx mx 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，4AB =．（1）直接写出抛物线的对称轴为直线____，点A 的坐标为___．（2）求抛物线的解析式（化为一般式）；（3）若将抛物线223=+-y mx mx 沿x 轴方向平移()0n n >个单位长度，使得平移后的抛物线与线段AC 恰有一个公共点，结合函数图象，回答下列问题：①若向左平移，则n 的取值范围是______．②若向右平移，则n 的取值范围是______．26．已知抛物线的顶点为()1,4-，且过点()2,5-．（1）求抛物线的解析式；（2）当0y >时，自变量x 的取值范围是______（直接写出结果）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】先根据二次函数y ＝ax 2的增减性确定出 a >0，然后判断出二次函数的开口方向，再根据一次函数的性质确定出一次函数图象经过的象限与 y 轴的交点，然后判断即可．【详解】解：∵函数y ＝ax 2在第一象限内y 随x 的减小而减小，∴a ＞0，∴y ＝ax 2的图象经过原点且开口方向向上，y ＝ax ＋a 经过第一三象限，且与y 轴的正半轴相交．A ． 二次函数开口向上，一次函数与y 轴的负半轴相交，不符合题意B ．二次函数开口向上，一次函数与y 轴的正半轴相交，符合题意C．二次函数开口向下，一次函数与y轴的负半轴相交，不符合题意D．二次函数开口向下，一次函数与y轴的正半轴相交，不符合题意故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，是基础题，根据二次函数的增减性确定出a 是正数是解题的关键．2．A解析：A【分析】加上一次项系数的一半的平方凑成完全平方式，把一般式化为顶点式．【详解】221y x x=+-=22111x x++--=2(1)2y x=+-，故选：A．【点睛】此题考查二次函数的一般式转化为顶点式，掌握方法是解题的关键．3．B解析：B【分析】根据函数图象与x轴交点个数判断（1）；利用待定系数法求出函数解析式，代入计算判断（2）；由二次函数与一次函数的交点求出方程的解，判断（3）即可；利用函数图象比较函数值判断（4）．【详解】由图象知，二次函数过（3，3）（0，3），（1，1），∴93313a b ca b cc++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：133abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴b+c+1＝﹣3+3+1＝1，故②错误；∵a＝1，∴抛物线为y＝x2-3x+3，∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0，故①错误；由图象知，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的交点坐标为（1，1）和（3，3），∴方程x2+（b﹣1）x+c＝0的解为x1＝1，x2＝3，故③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．故④正确；故选：B ．【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，图象法比较函数值的大小，是一道较为基础的二次函数题．4．C解析：C【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：∵抛物线顶点坐标为（1，n ），∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，即-2b a=1， ∴2a+b=0，∵a≠0，∴3a+b≠0，故②错误；∵抛物线顶点坐标为（1，n ），∴抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与直线y=n 有唯一一个交点，即方程ax 2+bx+c=n 有两个相等的实数根，∴△=b 2-4a （c-n ）=0，∴b 2=4a （c-n ），故③正确；∵抛物线的开口向下，∴y 最大=n ，∴直线y=n-1与抛物线有两个交点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，故④正确；故选：C ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 5．C解析：C【分析】根据对称轴求出b 的值，从而得到23x -<<时的函数值的取值范围，再根据一元二次方程x 2+bx-t=0（t 为实数）在-1＜x ＜4的范围内有解相当于y=x 2+bx 与y=t 在x 的范围内有交点解答．【详解】解：对称轴为直线x=-21b =1， 解得b=-2，所以二次函数解析式为y=x 2-2x ，y=（x-1）2-1，x=1时，y=-1，x=-2时，y=4-2×（-2）=8，∵x 2+bx-t=0的解相当于y=x 2+bx 与直线y=t 的交点的横坐标，∴当-1≤t ＜8时，在-1＜x ＜4的范围内有解．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键． 6．C解析：C【分析】根据抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上即可求出a 、b 、c 的正负，即可判断①；根据抛物线与x 轴的交点坐标即可判断②；把x=1代入抛物线即可判断③；求出抛物线的对称轴，根据图象即可判断④．【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上， ∴a ＞0，-2b a＞0，c ＜0， 即b ＜0，∴abc ＞0，∴①正确；由抛物线与x 轴有两个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，故②正确；由图象可知：x=1时，y=a+b+c ＜0，故③正确； 由图象可得，当0<x<-2b a时，y 随着x 的增大而减小，故④错误； ∴正确的个数有3个．故选：C ．【点睛】 本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力．7．D解析：D【分析】直接利用二次函数对称轴求法得出答案．【详解】解：抛物线y=（x-2）2+3的对称轴是：直线x=2．故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握对称轴确定方法是解题关键．8．C解析：C【分析】根据抛物线与x 轴的交点情况可得到方程280x x q ++=根的情况，进而得到根的判别式大于等于0，即可得到关于q 的不等式，最后解不等式即可得到答案．【详解】解：∵抛物线28y x x q =++与x 轴有交点∴方程280x x q ++=有实数根∴2248416440b ac q q ∆=-=-⨯⋅=-≥∴16q ≤．故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象性质与一元二次方程根的情况的关系、解一元一次不等式等，体现了数形结合的思想．9．D解析：D【分析】根据判别式的意义得到△=（-2a ）2-4（a 2-3a+6）＜0，解得a ＜2，再求出抛物线的对称轴为直线x=a ，根据二次函数的性质得到a≥-1，从而得到实数a 的取值范围是-1≤a ＜2．【详解】解∵抛物线22236y x ax a a =-+-+与x 轴没有公共点，∴△=（-2a ）2-4（a 2-3a+6）＜0，解得a ＜2，∵抛物线的对称轴为直线x=-22a -=a ，抛物线开口向上， 而当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，∴a≥-1，∴实数a 的取值范围是-1≤a ＜2．故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 10．B解析：B【分析】从0a >和0a <两种情况进行分析图象的开口方向和顶点坐标，选出正确的答案．【详解】解：当0a >时，开口向上，顶点在y 轴的正半轴；当0a <时，开口向下，顶点在y 轴的负半轴，故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数系数与图象的关系，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键．11．C解析：C【分析】利用抛物线开口方向得到a ＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b=-2a ＞0，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得到c ＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），则根据抛物线与x 轴的交点问题可对②进行判断；由于x=-1时，a-b+c=0，再利用b=-2a 得到c=-3a ，则可对③④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣b 2a=1， ∴b=-2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的根是-1，3，所以②正确；∵当x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，而b=-2a ，∴a+2a+c=0，即c=-3a ，∴a+2b-c=a-4a+3a=0，即a+2b=c ，所以③正确；a+4b-2c=a-8a+6a=-a ，所以④错误；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．12．D解析：D【分析】 解方程2334x x -+＝0得A 1（4，0），再利用旋转的性质得A 2（4×2，0），A 3（4×3，0），依此规律得到A 505（4×505，0），A 506（4×506，0），且抛物线C 506的开口向上，利用交点式，设抛物线C 506的解析式为y ＝34（x−2020）（x−2024），然后确定此抛物线顶点坐标即可．【详解】当y ＝0时，2334x x -+＝0，解得x 1＝0，x 2＝4， ∴A 1（4，0）， ∵将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2，将C 2绕A 2旋转180得到C 3，∴A 2（4×2，0），A 3（4×3，0），∴A 505（4×505，0），A 506（4×506，0），即A 505（2020，0），A 506（2024，0）， ∵抛物线C 506的开口向上，∴抛物线C 506的解析式为y ＝34（x−2020）（x−2024）， ∵抛物线的对称轴为直线x ＝2022， 当x ＝2022时，y ＝34（2022−2020）（2022−2024）＝−3， ∴抛物线C 506的顶点坐标是（2022，−3）．故选：D ．【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的几何变换和二次函数的性质．二、填空题13．【分析】连接OB 过点B 作BD ⊥x 轴于D 根据正方形的性质求得∠BOA=45°OB=根据三角函数和勾股定理可得点B 的坐标为（）代入抛物线即可求解【详解】如图连接OB 过点B 作BD ⊥x 轴于D ∵四边形OABC 解析：26- 【分析】 连接OB ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，根据正方形的性质求得∠BOA=45°，OB=22，根据三角函数和勾股定理可得点B 的坐标为（6-,2-）,代入抛物线()20y axa =<即可求解．【详解】如图，连接OB ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，∵四边形OABC 是边长为2的正方形，∴∠BOA=45°，OB=22，∵AC 与x 轴负半轴的夹角为15°，∴∠AOD=45°﹣15°=30°，∴BD= 12OB= 2，OD= 22OB BD -= 82-= 6, ∴点B 的坐标为（6-,2-）, ∵点B 在抛物线()20y axa =<的图象上， 则：()262a -=-，解得：26a =-， 故答案为2a =-故答案为：26-．【点睛】本题主要考查根据坐标求解析式，涉及到正方形的性质、勾股定理、三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学知识求得点B 的坐标．14．【分析】根据二次函数图象左加右减上加下减的平移规律进行求解【详解】解：将抛物线y=x2向上平移1个单位再向左平移2个单位后得到的抛物线y=（x+2）2+1此时抛物线顶点坐标是（-21）故答案为：（-解析：()2,1-【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【详解】解：将抛物线y=x 2向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线y=（x+2）2+1．此时抛物线顶点坐标是（-2，1）．故答案为：（-2，1）．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．15．【分析】以喷水池中心A 为原点竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3）将（30）代入求得a 值则x ＝0时得的y 值 解析：94【分析】以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴，与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x ＝0时得的y 值即为水管的长．【详解】以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴，与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，由于喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ， 所以设抛物线的解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3），代入（3，0），得：0=a （3-1）2+3，解得：a ＝34-． 将a 值代入得到抛物线的解析式为：y ＝34-（x ﹣1）2+3（0≤x≤3）， 令x ＝0，则y ＝94． 即水管AB 的长为94m ，故答案为：94．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．16．【分析】根据二次函数的对称性求出二次函数图象与轴的另一个交点再写出x 轴下方部分的x 的取值范围即可【详解】由图可知对称轴为直线所以二次函数图象与x 轴的另一个交点坐标为（0）由图象可知：函数值大于0的的 解析：13x【分析】根据二次函数的对称性求出二次函数图象与x 轴的另一个交点，再写出x 轴下方部分的x 的取值范围即可．【详解】由图可知，对称轴为直线1x =，所以，二次函数图象与x 轴的另一个交点坐标为（1-，0），由图象可知：函数值大于0的x 的取值范围为：13x， 所以，220x x m -++>的解集为13x． 故答案为：13x．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的对称性以及数形结合的思想，难点在于先求出函数图象与x 轴的另一个交点坐标． 17．y=2（x+1）2-1【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减左加右减可得平移后的函数解析式【详解】解：将二次函数 的图象先向左平移2个单位再向下平移4个单位则所得图象的函数表达式为：y=2（x解析：y=2（x+1）2-1【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减，左加右减，可得平移后的函数解析式．【详解】解：将二次函数 ()2213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为：y=2（x-1+2）2+3-4∴y=2（x+1）2-1.故答案为：y=2（x+1）2-1.【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．18．【分析】根据题意可确定出AB 两点的坐标从而求出对称轴为x=1依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上从而根据题意画出图形求解即可【详解】解：如图所示使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上过点E 作EF ⊥AB 则 解析：2339424y x x =-- 【分析】根据题意可确定出A ，B 两点的坐标，从而求出对称轴为x=1，依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上，从而根据题意画出图形求解即可．【详解】解：如图所示，使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上，过点E 作EF ⊥AB ，则AF=BF ，∴AD=BD ，∵BD 为ABC 的AC 边上的高线，∴∠ADB=90°，∴∠DBF=∠BDF=45°，∴DF=BF=2．当x=1时，y=-4a ，∵抛物线开口向上，∴a>0，∴EF=4a ．∵DE=1，∴4a-2=1解得：a=34．∴抛物线解析式为3(1)(3)4y x x =+- 即2339424y x x =-- 故答案为：2339424y x x =--． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合题，结图象求最值问题，利用好数形结合找出最小值的点是解题的关键．19．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征比较y1y2y3的大小比较后即可得出结论【详解】解：∵A(-3y1)B(-2y2)C (1y3)在二次函数y=3x+12x+m 的图象上∵y=3x+12x+m 的对解析：312y y y >>【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征比较y 1、y 2、y 3的大小，比较后即可得出结论【详解】解：∵A (-3，y 1)、B (-2，y 2 )、C (1，y 3)在二次函数y= 3x 2+12x+m 的图象上，∵y= 3x 2+12x+m 的对称轴x=b 2a-=-2，开口向上， ∴当x=-3与x=-1关于x=-2对称，∵A 在对称轴左侧,y 随x 的增大而减小，则y 1＞y 2，C 在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，∵1>-1，∴y 3＞y 1，，∴y 3＞y 1＞y 2，故答案为：y 3＞y 1＞y 2．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标关于对称轴对称的特征比较y 1、y 2、y 3的大小是解题的关键．20．8【分析】根据题意当点C 的横坐标取最小值时抛物线的顶点与点A 重合进而可得抛物线的对称轴则可求出此时点D 的最小值然后根据抛物线的平移可求解【详解】解：∵点AB 的坐标分别为（14）和（44）∴AB=3由解析：8【分析】根据题意当点C的横坐标取最小值时，抛物线的顶点与点A重合，进而可得抛物线的对称轴，则可求出此时点D的最小值，然后根据抛物线的平移可求解．【详解】解：∵点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），∴AB=3，由抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），可得：当点C的横坐标取最小值时，抛物线的顶点与点A重合，∴抛物线的对称轴为：直线1x=，∵点()3,0C-，∴点D的坐标为()5,0，∵顶点在线段AB上移动，∴点D的横坐标的最大值为：5+3=8；故答案为8．【点睛】本题主要考查二次函数的平移及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．三、解答题21．（1）y＝﹣12（x﹣15）2+112.5，y的最大值为112m2；（2）x的值为12【分析】（1）根据长方形的面积等于长乘以宽及墙体长度为14米，即可求出y与x的函数关系式，结合二次函数增减性得出二次函数最值；（2）把y=108代入（1）中的解析式，解方程得出答案．【详解】（1）根据题意可得：AD＝12（30﹣x）m，y＝12x（30﹣x）＝﹣12x2+15x＝﹣12（x﹣15）2+112.5，∵墙长为14m，∴0＜x≤14，则x≤15时，y随 x 的增大而增大，∴当x＝14m，即AB＝14m，BC＝8m时，长方形的面积最大，最大面积为：14×8＝112（m2）；∴y的最大值为112m2；（2）当y ＝108时，108＝12x （30﹣x ）， 整理得：x 2﹣30x+216＝0，解得：x 1＝12，x 2＝18（不合题意舍去），答：x 的值为12．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确得出函数关系式并明确二次函数的性质是解题的关键．22．（1）101000x -+，210130030000x x -+-；（2）销售单价x 应定为50元或80元；（3）最大利润为8250元．【分析】（1）根据题意可直接进行列式求解即可；（2）由（1）可得210x 1300x 3000010000-+-=，然后求解即可；（3）由题意易得101000550x -+≥，然后可得4045x <≤，最后由二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1）由题意得：销售量()6001040101000y x x =--=-+；销售玩具获得利润()()23010100010130030000w x x x x =--+=-+-； 故答案为101000x -+，210130030000x x -+-；（2）由（1）及题意得：210x 1300x 3000010000-+-=，213040000x x -+=，解得：1250,80x x ==，∵40x >，∴1250,80x x ==；答：销售单价x 应定为50元或80元．（3）由题意得：101000550x -+≥，解得：45x ≤，∵40x >，∴4045x <≤，∵()2210130030000106512250w x x x =-+-=--+， ∴100a =-<，对称轴为直线65x =，∴当4045x <≤时，w 随x 的增大而增大，∴当x=45时，w 有最大值，即为()2104565122508250w =-⨯-+=；答：销售该玩具所获最大利润为8250元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，会根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质是解题的关键．23．（1）(1,2)D ；（2【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出点B 、C 的坐标和对称轴，从而可得点D 的横坐标，再利用待定系数法求出直线BC 的函数解析式，然后将点D 的横坐标代入直线BC 的函数解析式即可得其纵坐标；（2）先根据二次函数的对称性可得点C 关于对称轴的对称点的坐标，然后根据两点之间线段最短、两点之间的距离公式求解即可得．【详解】（1）对于二次函数2y x 2x 3=-++，当0y =时，2230x x -++=，解得1x =-或3x =，则(1,0),(3,0)A B -，当0x =时，3y =，则(0,3)C ，二次函数2y x 2x 3=-++化成顶点式为2(1)4y x =--+， 则二次函数的对称轴为1x =，点D 为BC 与二次函数的对称轴的交点，∴点D 的横坐标为1，设直线BC 的函数解析式为y kx b =+，将点(3,0),(0,3)B C 代入得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩， 则直线BC 的函数解析式为3y x =-+，将1x =代入得：132y =-+=，即点D 的坐标为(1,2)D ；（2）如图，作点C 关于对称轴MN 的对称点C '，连接C E '，由二次函数的对称性得：点C '一定在此二次函数的图象上，其纵坐标与点C 的纵坐标相同，且C E CE '=，则OE CE OE C E '+=+，由两点之间线段最短得：当点,,O E C '共线时，OE C E '+取最小值，最小值为OC '， 设点C '的坐标为(,3)C a '，二次函数的对称轴为1x =，点C 的坐标为(0,3)C ，012a +∴=， 解得2a =，即(2,3)C '，则最小值22(20)(30)13OC'=-+-=，故OE CE+的最小值为13．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、利用待定系数法求一次函数的解析式、两点之间线段最短等知识点，较难的是题（2），利用二次函数的对称性找出最小值是解题关键．24．（1）y=x2-3x+2；（2）点P的坐标为（32，12）；（3）当t=1时，S△BCN的最大值为1．【分析】（1）先确定c，然后再根据OC=2OA确定A点的坐标，再将A点的坐标代入解析式求得b 即可解答；（2）如图：作点A关于直线l对称的对称点，即点B，连接BC，与直线l交于点P'，此时PA+PB最小；然后求得直线BC的解析式，最后确定P'的坐标即可；（3）先求出M点坐标，然后再根据S△BCN=S△MNC+S△MNB确定二次函数关系式，最后运用二次函数求最值即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点C（0，2），∴c=2又∵OC=2OA，∴OA=1，即A（1，0）；又∵点A在抛物线y=x2+bx+2上，∴0=12+b×1+2，b=-3；∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2-3x+2；（2）如图：作点A关于直线l对称的对称点，即点B，连接BC，与直线l交于点P'，则PA+PC的最小值为P'B+P'C=BC，设BC的解析式为y=mx+n，令x2-3x+2=0，解得：x=1或2，∴B（2，0），又∵C（0，2），∴202m n n +=⎧⎨=⎩，解得：12m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：y =-x +2，令x =32，代入，得：y =12，∴当PC +PA 最小时，点P 的坐标为（32，12）； （3）如图：∵点M 是直线l '和线段BC 的交点，∴M 点的坐标为（t ，-t +2）（0＜t ＜2），∴MN =-t +2-（t 2-3t +2）=-t 2+2t ，，∴S △BCN =S △MNC +S △MNB =12MN ▪t +12MN ▪（2-t ）=12MN ▪（t +2-t ）=MN =-t 2+2t （0＜t ＜2）， ∴S △BCN =-t 2+2t =-（t -1）2+1，∴当t =1时，S △BCN 的最大值为1．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，正确求出函数解析式并掌握数形结合思想是解答本题的关键．25．（1）1x =-，()3,0-；（2）223y x x =+-；（3）①04n <≤，②02n <≤【分析】（1）由对称轴为直线x=-2b a，可求解； （2）将点B 坐标代入可求解； （3）设向左平移后的解析式为：y =（x +1+n ）2-4，设向右平移后的解析式为：y =（x +1-n ）2-4，利用特殊点代入可求解．【详解】解：（1）∵抛物线y =mx 2+2mx -3的对称轴为直线x =22m m-=-1，AB=4， ∴点A （-3，0），点B （1，0），故答案为：x =-1，（-3，0）；（2）∵抛物线y =mx 2+2mx -3过点B （1，0），∴0=m +2m -3，∴m =1，∴抛物线的解析式：y =x 2+2x -3，（3）如图，∵y =x 2+2x -3=（x +1）2-4，∴设向左平移后的解析式为：y =（x +1+n ）2-4，把x =-3，y =0代入解析式可得：0=（-3+1+n ）2-4，∴n =0（舍去），n =4，∴向左平移，则n 的取值范围是0＜n ≤4；设向右平移后的解析式为：y =（x +1-n ）2-4，把x =0，y =-3代入解析式可得：-3=（1-n ）2-4，∴n =0（舍去），n =2，∴向右平移，则n 的取值范围是0＜n ≤2，故答案为：0＜n ≤4；0＜n ≤2．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平移的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．26．（1）()214y x =--或223y x x =--； （2）1x <-或3x >【分析】（1）直接利用顶点式求出二次函数解析式即可；（2）首先求出图象与x 轴交点，再利用抛物线图象得出当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围．【详解】（1）设抛物线的解析式为()214y a x =--把点()2,5-代入得 ()25214a =---∴1a =∴()214y x =--或223y x x =-- （2）（2）当y ＝0可得，0＝（x −1）2−4，解得：1x ＝3，2x ＝−1，故抛物线与x 轴的交点为：（−1，0），（3，0），如图所示：可得：当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围为：x ＜−1或x ＞3．【点睛】此题主要考查了利用顶点式求抛物线解析式以及抛物线与x 轴的交点，正确画出函数图象是解题关键．。
中考数学《二次函数》专项练习题及答案
中考数学《二次函数》专项练习题及答案一、单选题1．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个2．对于抛物线y=−13(x−5)2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（－5，3）D．开口向上，顶点坐标（－5，3）3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的？()A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒4．已知二次函数y=x2−4x+2，当自变量x取值在−2≤x≤5范围内时，下列说法正确的是（）A．有最大值14，最小值－2B．有最大值14，最小值7C．有最大值7，最小值－2D．有最大值14，最小值25．如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1，则下列说法正确的有()①abc<0，②2a+b=0，③a−b+c>0，④若4a+2b+c>0．A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④6．在平面直角坐标系中，对于点 P(x ，y) 和 Q(x ，y′) ，给出如下定义：若 y′={y +1 (x ≥0)−y (x <0)，则称点 Q 为点 P 的“亲密点”.例如：点 (1，2) 的“亲密点”为点 (1，3) ，点 (−1，3) 的“亲密点”为点 (−1，−3) .若点 P 在函数 y =x 2−2x −3 的图象上.则其“亲密点” Q 的纵坐标 y′ 关于 x 的函数图象大致正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．对于二次函数 y =2(x −1)2−3 ，下列说法正确的是（ ）A ．图象开口向下B ．图象和y 轴交点的纵坐标为-3C ．x <1 时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴是直线 x =−18．抛物线 y =−3x 2+12x −3 的顶点坐标是（ ）A ．（2，9）B ．（2，-9）C ．（-2，9）D ．（-2，-9）9．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（ ）A ．a ＜0B ．a ﹣b+c ＜0C ．−b 2a>1D ．4ac ﹣b 2＜﹣8a10．已知抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)交x 轴于点A(1，0)，B(3，0).P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上两个点.若|x 1−2|>|x 2−2|>1，则下列结论一定正确的是（ ） A ．y 1<y 2B ．y 1>y 2C ．|y 1|<|y 2|D ．|y 1|>|y 2|11．二次函数y＝x2－1的图象可由下列哪个函数图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到（）A．y=(x−2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x−2)2−3D．y=(x+2)2+312．如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF△BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题13．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2 √3个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴左侧的图象上，则点C的坐标为．14．将y=x2的向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得的解析式是．15．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，则平均每次降价的百分率是.16．如果抛物线y=x2﹣6x+c的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于．17．不等式x2+ax+b≥0（a≠0）的解集为全体实数，假设f（x）=x2+ax+b，若关于x的不等式f（x）＜c的解集为m＜x＜m+6，则实数c的值为．18．用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设围成长方形的生物园的长为x m，则围成长方形的生物的面积S（单位：m2）与x的函数表达式是．（不要求写自变量x的取值范围）三、综合题19．鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？20．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．21．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=−12x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD.（1）求此抛物线的解析式.（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积.22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣4x+2m﹣1与x轴交于点A，B.（点A在点B的左侧）（1）求m的取值范围；（2）当m取最大整数时，求点A、点B的坐标.23．我市某电器商场代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？（2）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式，并求出售价x的范围．（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润w（元）最大，最大利润是多少？24．一家超市，经销一种地方特色产品，每千克成本为50元.这种产品在不同季节销量与单价满足一次函数变化关系.下表是其中不同4个月内一天的销量y（kg）与单价x（元/kg）的对应值.单价x（元/kg）55606570销量y（kg）70605040（2）平均每天获得600元销售利润的季节，顾客利益也较大，销售单价是多少？（3）当销售单价为多少时，一天的销售利润最大？最大利润是多少？参考答案1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】B 12．【答案】D13．【答案】（1﹣ √7 ，﹣3） 14．【答案】y=（x ﹣3）2+5 15．【答案】10% 16．【答案】c=6或12 17．【答案】918．【答案】S =−x 2+8x19．【答案】（1）解：依题意有：y=10x+160；（2）解：依题意有：W=（80﹣50﹣x ）（10x+160）=﹣10（x ﹣7）2+5290，∵-10＜0且x 为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元； （3）解：依题意有：﹣10（x ﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．20．【答案】（1）解：当1≤x ＜50时，y=（200-2x ）（x+40-30）=-2x 2+180x+2000当50≤x≤90时y=（200-2x ）（90-30）=-120x+12000综上所述：y= {−2x 2+180x +2000(1≤x <50)−120x +12000(50≤x ≤90)（2）解：当1≤x ＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45 当x=45时，y 最大=-2×452+180×45+2000=6050 当50≤x≤90时，y 随x 的增大而减小当x=50时，y最大=6000综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元（3）解：当1≤x＜50时，y=-2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤50，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=-120x+12000≥4800，解得x≤60因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元；21．【答案】（1）解：由已知得：C(0, 4)，B(4, 4)把B与C坐标代入y=−12x2+bx+c得：{4b+c=12c=4解得：b=2则解析式为y=−12x2+2x+4；（2）解：∵y=−12x2+2x+4=−12(x−2)2+6∴抛物线顶点坐标为(2, 6)则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=12×4×4+12×4×2=8+4=12. 22．【答案】（1）解：根据题意得△=（-4）2-4（2m-1）＞0解得m＜5 2；（2）解：m的最大整数为2抛物线解析式为y=x2-4x+3当y=0时，x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3所以A（1，0），B（3，0）.23．【答案】（1）解：由题意得：200+30×5=350（台）答：该月可售出350台（2）解：由题意得：y=200+5(400−x)=−5x+2200由供货商对售价和销售量的规定得：{x≥330y≥450，即{x≥330−5x+2200≥450解得：330≤x≤350答：所求的函数关系式为y=−5x+2200，售价x的范围为330≤x≤350（3）解：由题意和（2）可得：w=(x−200)(−5x+2200)整理得：w=−5(x−320)2+72000由二次函数的性质可知：当330≤x≤350时，w随x的增大而减小则当x=330时，w取得最大值，最大值为w=−5×(330−320)2+72000=71500（元）答：当售价定为330元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润最大，最大利润是71500元24．【答案】（1）解：设y＝kx＋b，由题意得：{55k+b＝70 60k+b＝60解得{k＝−2 b＝180∴y（kg）与x（元/kg）之间的函数关系式为y＝﹣2x＋180.（2）解：由题意得：（x﹣50）（﹣2x＋180）＝600整理，得x2﹣140x＋4800＝0解得x1＝60，x2＝80∵顾客利益也较大∴x＝60∴平均每天获得600元销售利润的季节，顾客利益也较大，销售单价是60元/千克.（3）解：一天的销售利润为：w＝（x﹣50）（﹣2x＋180）＝﹣2x2＋280x﹣9000＝﹣2（x﹣70）2＋800∴当x＝70时，w最大＝800.∴当销售单价为70元/kg时，一天的销售利润最大，最大利润是800元。
九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)
九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)第一套：1. 将函数 $y = 2x^2 - 3x - 2$ 化简为标准形式，并求出它的顶点坐标。
答案：将函数化简为标准形式得到 $y = 2(x-\frac{3}{4})^2 -\frac{33}{8}$，顶点坐标为 $(\frac{3}{4}, -\frac{33}{8})$。
2. 求函数 $y = -x^2 + 4x + 1$ 的零点。
答案：将函数化简为标准形式得到 $y = -(x-2)^2 + 5$，令 $y = 0$，解得 $x = 2 \pm \sqrt{5}$，即零点为 $x_1 = 2 + \sqrt{5}$ 和 $x_2 = 2 -\sqrt{5}$。
3. 给定函数 $y = x^2 - 6x + 5$，求其对称轴的方程式。
答案：对称轴的方程式为 $x = \frac{-b}{2a}$，代入 $a = 1$ 和 $b = -6$ 得到 $x = \frac{6}{2} = 3$。
4. 若函数 $y = ax^2 + bx - 9$ 与 $y = -x^2 + 7x$ 有相同的图像，求$a$ 和 $b$ 的值。
答案：由于两个函数有相同的图像，所以它们的系数相等。
比较两个函数的对应系数得到 $a = -1$ 和 $b = 7$。
5. 已知函数 $y = x^2 - 4x + 5$ 的图像上存在一点 $(h, k)$，使得 $x= h - 3$ 时，$y = 2k + 12$，求点 $(h, k)$ 的坐标。
答案：将 $x = h - 3$ 代入函数得到 $y = (h-3)^2 - 4(h-3) + 5$。
代入$y = 2k + 12$ 得到 $(h-3)^2 - 4(h-3) + 5 = 2k + 12$。
整理得到 $(h-3)^2 -4(h-3) - 2k - 7 = 0$。
由于该方程为二次方程，必然存在实数解。
二次函数基础测试题附答案
二次函数基础测试题附答案一、选择题1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( )A ．a +c ＝0B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2C ．当函数在x ＜110时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a 【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可．【详解】解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2，∴a +c ＝0，b ＝﹣2，∴A 正确；∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2，∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ，∴△＝4+4a 2＞0，∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点，∵x 1+x 2＝2a，x 1x 2＝﹣1，∴|x 1﹣x 2|＝＞2， ∴B 正确；二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣2b a ＝1a ， 当a ＞0时，不能判定x ＜110时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误；∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0，∴m +n ＜0，2a ＞0， ∴m +n ＜2a；∴D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．2．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC --运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ∆的面积为2cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】分三种情况求出y 与t 的函数关系式. 当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ；当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时；当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时.即可得出正确选项．【详解】解：作AE ⊥BC 于E ，根据已知可得，AB 2=42+（6-3）2，解得，AB=5cm ．下面分三种情况讨论:当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ，21442255y t t t ==,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时，1422y t t =⨯=, y 是t 的一次函数且最大值=21448cm 2⨯⨯=; 当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时，()211226,2y t t t t =⋅-=-+y 是t 的二次函数 故符合y 与t 的函数图象是B ．故选：B ．【点睛】此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.3．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：下列结论错误的是( )A ．0ac <B ．3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根；C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小；D ．当13x 时，()210.ax b x c +-+>【答案】C【解析】【分析】根据函数中的x 与y 的部分对应值表，可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断．【详解】解：根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知：当1x =-时，1y =-，即1a b c -+=-，当0x =时，3y =，即3c =，当1x =时，5y =，即5a b c ++=，联立以上方程：135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴233y x x =-++；A 、1330=-⨯=-<ac ，故本选项正确；B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=， 将3x =代入得：232339630-+⨯+=-++=，∴3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确； C 、233y x x =-++化为顶点式得：2321()24=--+y x ， ∵10a =-<，则抛物线的开口向下， ∴当32x >时，y 的值随x 值的增大而减小；当32x <时，y 的值随x 值的增大而增大；故本选项错误； D 、不等式()210ax b x c +-+>可化为2230x x -++>，令2y x 2x 3=-++， 由二次函数的图象可得：当0y >时，13x，故本选项正确；故选：C ．【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．4．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，点E 、F 同时从C 点出发，以1cm /s 的速度分别沿CB ﹣BA 、CD ﹣DA 运动，到点A 时停止运动．设运动时间为t （s ），△AEF 的面积为S （cm 2），则S （cm 2）与t （s ）的函数关系可用图象表示为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF可得S=﹣t2+4t，配成顶点式得S=﹣（t﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t）2=（t﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．解：当0≤t≤4时，S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF=4•4﹣•4•（4﹣t）﹣•4•（4﹣t）﹣•t•t=﹣t2+4t=﹣（t﹣4）2+8；当4＜t≤8时，S=•（8﹣t）2=（t﹣8）2．故选D．考点：动点问题的函数图象．5．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是()A．①②B．①③④C．①②③④D．①②③④⑤【答案】D【分析】根据抛物线的开口方向可得出a 的符号，再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可．【详解】由图象可知，a ＜0，c=1，对称轴：x=b12a-=-， ∴b=2a ， ①由图可知：当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，正确；②由图可知：当x=−1时，y ＞1，∴a −b+c ＞1，正确；③abc=2a 2＞0，正确；④由图可知：当x=−3时，y ＜0，∴9a −3b+c ＜0，正确；⑤c−a=1−a ＞1，正确；∴①②③④⑤正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．6．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）．A ．①②④B ．②③④C ．③④⑤D ．①③⑤【答案】C【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误；②由抛物线的开口方向向上可推出a>0；∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2b a->0，∴b<0；由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c<0，故abc>0，故②错误；③结合图象得出x=−1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2−4ac>0，故④正确；⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12则2a=−2b ，故⑤正确；故正确的有：③④⑤．故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．7．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④【答案】D【解析】【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。
(常考题)人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》检测(包含答案解析)(1)
一、选择题1．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =-．下列结论：①240b ac ->，②0abc <，③420a b c -+>．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 2．二次函数(2)(3)y x x =--与x 轴交点的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．如图，一条抛物线与x 轴相交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动，点A ，B 的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣3C ．﹣5D ．﹣7 4．已知函数221y x x =--，下列结论正确的是（ ）A ．函数图象过点()1,1-B ．函数图象与x 轴无交点C ．当1≥x 时， y 随x 的增大而减小D ．当1x ≤时， y 随x 的增大而减小 5．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图，图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①a ﹣b +c ＝0；②2a +b ＝0； ③4ac ﹣b 2＞0；④a +b ≥am 2+bm （m 为实数）；⑤3a +c ＞0．则其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac ＜0；②b ＜0；③4ac ﹣b 2＜0；④当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，有下列5个结论：①0abc <；②420a b c ++>；③b a c <+；④230c b -<；⑤2(1)a b an bn n +>+≠，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在平面直角坐标系中抛物线2y x =的图象如图所示，已知点A 坐标为(1，1)，过点A 作1//AA x 轴交抛物线于点A ，过点1A 作12//A A OA 交抛物线于点2A ，过点2A 作23//A A x 轴交抛物线于点3A 过点3A 作34//A A OA 交抛物线于点4A ，……则点2020A 的坐标为（ ）A ．(1011， 21011)B ．(-1011， 21011)C ．(-1010， 21011)D ．(1010， 21011)9．已知抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表，给出下列结论：①抛物线y =ax 2+bx +c 经过原点；②2a +b =0；③当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2；④若点P （m ，n ）在该抛物线上，则am 2＋bm ≤a +b ．其中正确结论的个数是（ ） x… ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 0 3 …A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 10．抛物线()2512y x =--+的顶点坐标为（ ）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()1,2-D ．()2,1 11．抛物线()2526y x =-+-可由25y x =-如何平移得到（ ）A ．先向右平移2个单位，再向下平移6个单位B ．先向右平移2个单位，再向上平移6个单位C ．先向左平移2个单位，再向下平移6个单位D ．先向左平移2个单位，再向上平移6个单位12．已知二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9．设该函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标为1x ，若15x >则a 的取值范围是（ ）A ．3a 1-<<-B ．2a 1-<<C ．1a 0-<<D ．2a 4<<二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x x 2=--分别交y 轴，x 轴于点A ，B ，动点E 在抛物线上，EF x ⊥轴，交直线AB 于点F ．则EF 的长为______（用含字母x 的式子来表示）．14．已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点(1,2)A ，(3,2)B ，(5,7)C ．若点1(2,)M y ，2(1,)N y -，3(8,)K y 也在二次函数2y ax bx c =++的图象上，则1y ，2y ，2y 的从小到大的关系是___．15．抛物线2y x x =+向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线表达式为____．16．已知函数223y x x =--，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是______．17．抛物线23y x =先向上平移1个单位，再向左平移1个单位，所得的抛物线为________18．二次函数2y ax bx c =++的图象经过(1,0)A ，对称轴为1x =-，其图像如图所示，则化简2244||b bc c a b c +++-+的结果为___________．19．将抛物线223y x x =---向右平移三个单位，再绕原点O 旋转180°，则所得抛物线的解析式____．20．抛物线y ＝x²－x 的顶点坐标是________三、解答题21．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中自变量x 和函数值y 的部分对应值如表：（1）求该二次函数的函数关系式；（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；（3）作该二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象关于x 轴对称的新图象，则新图象的函数关系式为 ．22．在“万众创业、大众创新”的新时代下，大学毕业生小张响应国家号召，开办了家饰品店，该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润且让利给顾客，现将饰品售价降价x （元/件）（且x 为整数），每月饰品销量为y （件），月利润为w （元）．（1）写出y 与x 之间的函数解析式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润等于6000元时，应如何确定销售价格．23．如图1，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，2），连接AC ，若OC =2OA ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线对称轴l 上有一动点P ，当PC +PA 最小时，求出点P 的坐标；（3）如图2所示，连接BC ，M 是线段BC 上（不与B 、C 重合）的一个动点．过点M 作直线l '∥l ，交抛物线于点N ，连接CN ，BN ，设点M 的横坐标为t ．当t 为何值时，△BCN 的面积最大？最大面积为多少？24．已知二次函数2(21)3y x m x m =-+-．（1）若2m =，写出该函数的表达式，并求出函数图象的对称轴．（2）已知点()1,P m y ，()24,Q m y +在该函数图象上，试比较1y ，2y 的大小．（3）对于此函数，在13x -≤≤的范围内函数最大值为-2，求m 的值．25．已知抛物线的顶点为()1,4-，且过点()2,5-．（1）求抛物线的解析式；（2）当0y >时，自变量x 的取值范围是______（直接写出结果）．26．已知关于x 的方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=．（1）若2b =，且2x =是此方程的根，求a 的值；（2）若此方程有实数根，当51a -<<-时，求函数242y a a ab =++的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，再根据二次函数图像的开口方向，及与y 轴的交点位置，对称轴的位置分别判断出,,a b c 的符号可判断结论②,最后用2x =-时，抛物线再x 轴上方判断结论③．【详解】由图象知,抛物线与x 轴有两个交点，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac>0,故①正确，由图象知抛物线的开口向下0a <，抛物线与y 轴交于正半轴0c >，对称轴直线为1x =-， ∴102b a-=-<，可推出0b <， ∴0abc >，故②错误，由图象知,当x=-2与x=0对应的y 值相同，0y >，∴420a b c -+>，故③正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线的开口方向，与y 轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解题的关键2．B解析：B【分析】根据△=24b ac -与零的关系即可判断出二次函数的图象与x 轴的交点问题；【详解】∵ ()()22356y x x x x =--=-+， ∴ △=24b ac -=25-24=1＞0∴二次函数()()23y x x =--与x 轴有两个交点；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题，熟练掌握判别式△=24b ac -是解题的关键； 3．C解析：C【分析】当图象顶点在点B 时，点N 的横坐标的最大值为4，求出a ＝13；当顶点在点A 时，M 点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y ＝13（x ＋2）2﹣3，令y ＝0，求出x 值，即可求解．【详解】当图象顶点在点B 时，点N 的横坐标的最大值为4，则此时抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣1）2﹣3，把点N 的坐标代入得：0＝a （4﹣1）2﹣3，解得：a ＝13， 当顶点在点A 时，M 点的横坐标为最小， 此时抛物线的表达式为：y ＝13（x ＋2）2﹣3， 令y ＝0，则x ＝﹣5或1，即点M 的横坐标的最小值为﹣5，故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数与x 轴的交点，涉及到函数基本性质和函数的最值，其中确定坐标取得最值时，图象所处的位置是本题的关键．4．D解析：D【分析】根据二次函数的性质进行判断即可．【详解】解：A 、当x=-1时，221y x x =--=1+2﹣1=2，函数图象过点（-1，2），此选项错误； B 、∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x 轴有两个交点，故此选项错误；C 、∵221y x x =--=（x ﹣1）2﹣2，且1＞0，∴当x≥1时，y 随x 的增大而增大，故此选项错误；D 、当x≤1,时，y 随x 的增大而减小，此选项正确，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．5．B解析：B【分析】由抛物线过点A(3，0)及对称轴为直线x=1，可得抛物线与x 轴的另一个交点，则可判断①②是否正确；由抛物线与x 轴有两个交点，可得△>0，据此可判断③是否正确；由x=1时，函数取得最大值，可判断④是否正确；把b=-2a 代入a-b+c=0得3a+c=0，则可判断⑤是否正确．【详解】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，∴点A （3，0）关于直线x ＝1对称点为（﹣1，0），∴当x ＝﹣1时，y ＝0，即a ﹣b +c ＝0．故①正确；∵对称轴为直线x ＝1，∴﹣2b a＝1，∴b ＝﹣2a ，∴2a +b ＝0，故②正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△＝b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，故③错误； ∵当x ＝1时，函数有最大值，∴a +b +c ≥am 2+bm +c ，∴a +b ≥am 2+bm ，故④正确； ∵b ＝﹣2a ，a ﹣b +c ＝0，∴a +2a +c ＝0，即3a +c ＝0，故⑤错误；综上，正确的有①②④．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合并明确二次函数的相关性质是解题的关键．6．B解析：B【分析】由抛物线的开口方向判定a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①∵由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上，∴a ＞0；又∵二次函数的图象与y 轴的交点在负半轴，∴c ＜0；∴ac ＜0，即①正确；②由图象知，对称轴x ＝2b a-＝1，则b ＝﹣2a ＜0．故②正确； ③由图象知，抛物线与x 轴有2个交点，则b 2﹣4ac ＞0，故③正确；④由图象可知当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；故④错误．综上所述，正确的结论是：①②③．故选：B ．【点睛】此题考查学生掌握二次函数的图像与性质，考查了数形结合的数学思想，解本题的关键是根据图像找出抛物线的对称轴．7．D解析：D【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、以及不等式的性质进行判断即可．【详解】抛物线开口向下，因此a ＜0，对称轴为x ＝−b 2a ＝1＞0，a 、b 异号，因此b ＞0，且2a ＋b ＝0，抛物线与y 轴的交点在正半轴，因此c ＞0，所以：abc ＜0，因此①正确；当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ＞0，因此②正确；当x ＝−1时，y ＝a−b ＋c ＜0，即，a ＋c ＜b ，因此③不正确；∵a−b ＋c ＜0，2a ＋b ＝0，∴−12b−b ＋c ＜0，即2c−3b ＜0，因此④正确； 当x ＝1时，y 最大值＝a ＋b ＋c ，当x ＝n （n≠1）时，y ＝an 2＋bn ＋c ＜y 最大值，即：a ＋b＋c ＞an 2＋b ＋c ，也就是2a+b an +bn(n 1)>≠，因此⑤正确，正确的结论有：①②④⑤，故选：D ．【点睛】考查二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．8．A解析：A根据二次函数性质可得出点A 1的坐标，求得直线A 1A 2为y ＝x ＋2，联立方程求得A 2的坐标，即可求得A 3的坐标，同理求得A 4的坐标，即可求得A 5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A 2020的坐标．【详解】∵A 点坐标为（1，1），∴直线OA 为y ＝x ，A 1（−1，1），∵A 1A 2∥OA ，设直线A 1A 2为y ＝x ＋b把A 1（−1，1）代入得1=-1+b解得b=2∴直线A 1A 2为y ＝x ＋2，解22y x y x=+⎧⎨=⎩ 得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩， ∴A 2（2，4），∴A 3（−2，4），∵A 3A 4∥OA ，设直线A 3A 4为y ＝x ＋n ，把A 3（−2，4）代入得4＝-2＋n ，解得n=6∴直线A 3A 4为y ＝x ＋6，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴A 4（3，9），∴A 5（−3，9）同理求出A 6（4，16），A 7（-4,16）A 8（5，25），A 9（-5,25）A 10（6，36），A 11（-6,36） …，∴A 2n 为22222,22n n ⎡⎤++⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ∴A 2020（1011，10112），故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．9．B解析：B【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【详解】解：由表格数据可知：当x=0时，y=0，∴抛物线y =ax 2+bx +c 经过原点；①正确； 抛物线对称轴为：直线0212x +==，即12b a-=，∴2a +b =0，②正确； 当y=0时，x=0或x=2且抛物线顶点坐标为（1，-1）∴抛物线开口向上，当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2；③正确由以上分析可知当x=1时，y 取得最小值为a+b+c 若点P （m ，n ）在该抛物线上，则am 2＋bm+c≥a+b+c ．即am 2＋bm≥a+b ，④错误 故选：B【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．B解析：B【分析】由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：∵y=-5（x-1）2+2，∴此函数的顶点坐标是（1，2）．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．11．C解析：C【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．【详解】解：因为()2526y x =-+-．所以将抛物线25y x =-先向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到抛物线()2526y x =-+-．故选：C ．【点睛】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 12．C解析：C【分析】根据二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，可以写出该函数的顶点式，得到0a <，再根据该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，可知，当5x =时，0y >，即可得到a 的取值范围，本题得以解决．【详解】 解：二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，0a ∴<，该函数解析式可以写成2(2)9y a x =-+，设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，∴当5x =时，0y >，即2(52)90a -+>，解得，1a >-，a ∴的取值范围时10a -<<，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题13．【分析】先分别令y=0x=0求出AB 点的坐标求出直线AB 的解析式在用字母分别表示出EF 点的纵坐标相减即可【详解】令y=0得解得：B （20）令x=0得y=-2A （0-2）设AB 所在直线解析式为：代入A 解析：22x x -【分析】先分别令y =0，x =0，求出A 、B 点的坐标，求出直线AB 的解析式，在用字母分别表示出E 、F 点的纵坐标，相减即可．【详解】令y =0,得220x x --=解得：121,2x x =-=∴ B （2,0）令x =0，得y =-2，∴A （0，-2）设AB 所在直线解析式为：y kx b =+代入A 、B 解得：2y x =-设动点E 的横坐标为x ，∴ F 点的横坐标为x ，E 点的纵坐标为：22x x -- 又F 点在直线AB 之上，∴F 点的纵坐标为：2x -又EF x ⊥∴EF 的长度为：22(2)x x x ---- 化简得：22x x - 故答案为：22x x -【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与一次函数的综合问题以及线段长度的计算，分别用字母表示出E 、F 点的纵坐标是解决本题的关键． 14．【分析】根据点ABC 的坐标可得二次函数的对称轴和增减性由此即可得【详解】点在二次函数的图象上此二次函数的对称轴为点BC 的横坐标大小关系为纵坐标大小关系为当时y 随x 的增大而增大；当时y 随x 的增大而减小 解析：123y y y <<【分析】根据点A 、B 、C 的坐标可得二次函数的对称轴和增减性，由此即可得．【详解】点(1,2)A ，(3,2)B ，(5,7)C 在二次函数2y ax bx c =++的图象上， ∴此二次函数的对称轴为1322+=， 点B 、C 的横坐标大小关系为532>>，纵坐标大小关系为72，∴当2x ≥时，y 随x 的增大而增大；当2x <时，y 随x 的增大而减小，由二次函数的对称性得：1x =-时的函数值与5x =时的函数值相等，即为27y =， 又点1(2,)M y ，3(8,)K y 在二次函数2y ax bx c =++的图象上，且258， 137y y ，即123y y y <<，故答案为：123y y y <<．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．15．【分析】先把配成顶点式再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式【详解】此抛物线的顶点坐标为()把点()向下平移个单位长度再向左平移个单位长度所得对应点的坐标为()即()所以平移后得到的抛物线的解析式为解析：2710y x x =++【分析】先把2y x x =+配成顶点式，再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【详解】 2211()24y x x x =+=+-，此抛物线的顶点坐标为(12-，14-)，把点(12-，14-)向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度， 所得对应点的坐标为(132--，124--)，即(72-，94-)， 所以平移后得到的抛物线的解析式为279()24y x =+-，即2710y x x =++． 故答案为：2710y x x =++．【点睛】 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 16．【分析】先求出函数图像的对称轴然后根据二次函数的增减性即可解答【详解】解：∵函数图像的对称轴为x=1∴当数值随的增大而减小故答案为【点睛】本题考查了二次函数的增减性确定二次函数的对称轴是解答本题的关键解析：1x <【分析】先求出函数图像的对称轴，然后根据二次函数的增减性即可解答．【详解】解：∵函数223y x x =--图像的对称轴为x=1∴当1x <，数值y 随x 的增大而减小．故答案为1x <．【点睛】本题考查了二次函数的增减性，确定二次函数的对称轴是解答本题的关键．17．【分析】根据二次函数的平移规律上加下减左加右减即可求解【详解】解：抛物线先向上平移1个单位再向左平移1个单位所得的抛物线为故答案为：【点睛】本题考查抛物线的平移掌握二次函数的平移规律上加下减左加右减解析：()2311y x =++【分析】根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．【详解】解：抛物线23y x =先向上平移1个单位，再向左平移1个单位，所得的抛物线为()2311y x =++，故答案为：()2311y x =++．【点睛】本题考查抛物线的平移，掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键． 18．【分析】根据二次函数的性质及绝对值的非负性二次根式的性质求解即可【详解】解：观察图象得：a<0c>0把A(10)代入得a+b+c=0∴c=-a-b ∵=-1∴b=2a<0∴c=-a-2a=-3a>0∴解析：2a b c -+-【分析】根据二次函数的性质及绝对值的非负性，二次根式的性质求解即可．【详解】解：观察图象得：a<0，c>0，把A(1，0)代入2y ax bx c =++得a+b+c=0，∴c= -a-b ， ∵2b a -= -1，∴b=2a<0，∴c=-a-2a=-3a>0，∴2b+c=4a-3a=a<0，a-b+c=a-2a-3a=-4a>0，∴||a b c -+=a b c -+=-(2b+c)+a-b+c=-2b-c+a-b+c= -3b+a=-5a ，故答案为-5a ．【点睛】本题考查了二次函数的性质及绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 19．【分析】先求出抛物线的顶点坐标再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标然后根据平移旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可【详 解析：2(2)2y x =++【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．【详解】223y x x =---()22113x x =-+++-2(1)2x =-+-，所以，抛物线的顶点坐标为（-1，-2）．∵向右平移三个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，-2）．∵再绕原点O 旋转180°，∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（-2，2），且开口向上∴所得抛物线解析式为2(2)2y x =++．故答案为：2(2)2y x =++．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．20．【分析】先把函数解析式配成顶点式得到然后根据顶点式即可得到顶点坐标【详解】解：所以抛物线的顶点坐标为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式 解析：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】 先把函数解析式配成顶点式得到21124()y x =--，然后根据顶点式即可得到顶点坐标． 【详解】 解：2211()24y x x x =-=--， 所以抛物线的顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式．三、解答题21．（1）y ＝x 2﹣4x+5．（2）见解析；（3）y ＝﹣x 2+4x ﹣5．【分析】（1）当x=1或3时，y 均等于2，那么此二次函数的对称轴是2，则顶点坐标为（2，1），设出顶点式，把表格中除顶点外的一点的坐标代入可得a 的值，也就求得了二次函数的值；（2）描点、连线画出函数图象即可；（3）根据关于x 轴对称的点的坐标特征即可求得．【详解】解：（1）由图表可知抛物线y ＝ax 2+bx+c 过点（1，2），（3，2），∴对称轴为x ＝132+＝2； ∴顶点坐标为：（2，1），∴设y ＝a （x ﹣2）2+1，将（0，5）代入可得：4a+1＝5，解得：a ＝1，∴二次函数的解析式为：y ＝（x ﹣2）2+1，即y ＝x 2﹣4x+5，所求二次函数的关系式为y ＝x 2﹣4x+5．（2）描点、连线画出函数图象如图：；（3）∵新图象与二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象关于x 轴对称，∴﹣y ＝x 2﹣4x+5，∴新图象的函数关系式为y ＝﹣x 2+4x ﹣5，故答案为y ＝﹣x 2+4x ﹣5．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22．（1）y ＝300+20x ；（2）当售价为57元时，利润最大，最大利润为6120元；（3）将销售价格为55元，才能使每月利润等于6000元．【分析】（1）由售价每下降1元每月要多卖20件，可得y 与x 之间的函数解析式；（2）由月利润=单件利润×数量，可得w 与x 的函数解析式，由二次函数的性质可求解； （3）将w=6000代入解析式，解方程可求解．【详解】（1）由题意可得：30020y x =+；（2）由题意可得：()()2203002020( 2.5)6125w x x x =-+=--+， 由题意可知x 应取整数，当2x =或3元时，w 有最大值，∵让利给顾客，∴3x =，即当售价为57元时，利润最大，∴最大利润为6120元；（3）由题意，令w=6000，即25600020()61252x =--+，解得10x =（舍去），25x =，故将销售价格为55元，才能使每月利润等于6000元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的性质，找出正确的函数关系式是本题的关键．23．（1）y =x 2-3x +2；（2）点P 的坐标为（32，12）；（3）当t =1时，S △BCN 的最大值为1．【分析】（1）先确定c ，然后再根据OC =2OA 确定A 点的坐标，再将A 点的坐标代入解析式求得b 即可解答；（2）如图：作点A 关于直线l 对称的对称点，即点B ，连接BC ，与直线l 交于点P '，此时PA+PB 最小；然后求得直线BC 的解析式，最后确定P '的坐标即可；（3）先求出M 点坐标，然后再根据S △BCN =S △MNC +S △MNB 确定二次函数关系式，最后运用二次函数求最值即可．【详解】解：（1）∵抛物线y =x 2+bx +c 过点C （0，2），∴c =2又∵OC =2OA ，∴OA =1，即A （1，0）；又∵点A 在抛物线y =x 2+bx +2上，∴0=12+b ×1+2，b =-3；∴抛物线对应的二次函数的解析式为y =x 2-3x +2；（2）如图：作点A 关于直线l 对称的对称点，即点B ，连接BC ，与直线l 交于点P '， 则PA +PC 的最小值为P 'B +P 'C =BC ，设BC 的解析式为y =mx +n ，令x 2-3x +2=0，解得：x =1或2，∴B （2，0），又∵C （0，2）， ∴202m n n +=⎧⎨=⎩，解得：12m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：y =-x +2，令x =32，代入，得：y =12，∴当PC +PA 最小时，点P 的坐标为（32，12）； （3）如图：∵点M 是直线l '和线段BC 的交点，∴M 点的坐标为（t ，-t +2）（0＜t ＜2），∴MN =-t +2-（t 2-3t +2）=-t 2+2t ，，∴S △BCN =S △MNC +S △MNB =12MN ▪t +12MN ▪（2-t ）=12MN ▪（t +2-t ）=MN =-t 2+2t （0＜t ＜2）， ∴S △BCN =-t 2+2t =-（t -1）2+1，∴当t =1时，S △BCN 的最大值为1．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，正确求出函数解析式并掌握数形结合思想是解答本题的关键．24．（1）256y x x =--，直线52x =；（2）21y y >；（3）4 【分析】（1）把m=2代入y=x 2-（2m+1）x-3m 即可求得函数的表达式，进而根据对称轴x=-2b a 求得对称轴；（2）把P （m ，y 1），Q （m+4，y 2）两点代入y=x 2-（2m+1）x-3m 比较即可； （3）分132m +>，1132m -≤+≤，112m +<-三种情况，列式求解即可． 【详解】解：（1）2(21)3y x m x m =-+-，∴当2m =时，256y x x =--，对称轴：直线55222b x a -=-=-=， ∴函数的解析式为：256y x x =--，对称轴为：直线52x =． （2）2(21)3y x m x m =-+-，∴对称轴为直线(21)1222b m x m a -+=-=-=+， ∵抛物线开口向上，(,)P m y 距对称轴为：1122m m +-=， ()24,Q m y +距对称轴为：17422m m +--=， ∴Q 离对称轴更远，2y 值更大． 21y y ∴>．（3）2(21)3y x m x m =-+-， ∴对称轴为：12x m =+， ①当132m +>，即52m >， 当1x =-时，max 2y =-，12132m m ∴++-=-，4m ∴=，符合52m >． ．②当1132m -≤+≤时，即3522m -≤≤， 若1x =-时，y 取最大-2， 12132m m ∴++-=-，解得4m =，不符合：3522m -≤≤（舍） 若3x =时，y 取最大-2，则93(21)32m m -+-=-，解得：89m =，符合3522m -≤≤， 当89m =时，对称轴：81259218x =+=， 2518x =离3x =距离为：2918，2518x =离1x =-距离为：4318， ∴离1x =-更远，最大值应在1x =-处取得，与3x =处取最大值矛盾，故舍去．③当112m +<-时，即32m <-时，3x =处，取最大值，如图，93(21)32m m ∴-+-=-，解得：89x =， 不符合32m <-， 故舍去．综上所述，m 的值为4．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意得到一元一次不等式．25．（1）()214y x =--或223y x x =--； （2）1x <-或3x >【分析】（1）直接利用顶点式求出二次函数解析式即可；（2）首先求出图象与x 轴交点，再利用抛物线图象得出当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围．【详解】（1）设抛物线的解析式为()214y a x =--把点()2,5-代入得()25214a =---∴1a =∴()214y x =--或223y x x =-- （2）（2）当y ＝0可得，0＝（x−1）2−4，解得：1x ＝3，2x ＝−1，故抛物线与x 轴的交点为：（−1，0），（3，0），如图所示：可得：当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围为：x ＜−1或x ＞3．【点睛】此题主要考查了利用顶点式求抛物线解析式以及抛物线与x 轴的交点，正确画出函数图象是解题关键．26．（1）12；（2）27y -≤< 【分析】（1）把2b =、2x =代入方程可得()()22212222210a a +⋅-+⋅++=，然后解a 关于的方程即可得解；（2）根据根的判别式的意义可得()()()2222424110b ac a b a b ∆=-=-+-⋅+⋅+≥⎡⎤⎣⎦，整理得()210ab -≤，利用非负数的性质得到1ab =，则函数242y a a ab =++为：()222y a =+-，再由51a -<<-可求得函数的取值范围．【详解】解：（1）∵若2b =，且2x =是此方程的根∴()()22212222210a a +⋅-+⋅++= ∴2102a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴1212a a ==∴a 的值为12． （2）∵方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=有实数根∴()()()2222424110b ac a b a b ∆=-=-+-⋅+⋅+≥⎡⎤⎣⎦ ∴()210ab -≤ ∴10ab -=∴1ab =∴函数242y a a ab =++为：()224222y a a a =++=+-∵51a -<<-∴可画出函数图象，如图：∴函数242y a a ab =++的取值范围是：27y -≤<．【点睛】本题考查了含参数的一元二次方程、一元二次方程的根的判别式、由自变量取值范围求函数取值范围等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．。