数理方程：第2讲典型方程的定解条件
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1.2定解条件
•所谓解的存在性，即定解问题有解。 所谓解的存在性，即定解问题有解。 所谓解的存在性 •所谓解的唯一性，即定解问题的解是唯一的。 所谓解的唯一性， 所谓解的唯一性 即定解问题的解是唯一的。 •所谓解的稳定性，即如果定解问题中的已知条件 所谓解的稳定性， 所谓解的稳定性 例如方程或定解条件中的已知函数）有微小变化时， （例如方程或定解条件中的已知函数）有微小变化时， 相应地，解也只有微小的改变。 相应地，解也只有微小的改变。
不适定问题举例
•一般来说，方程的阶数对应于定解 一般来说， 一般来说 条件的个数； 条件的个数； •条件多了，将会破坏解的存在性； 条件多了， 条件多了 将会破坏解的存在性； •条件少了，将会破坏解的唯一性。 条件少了， 条件少了 将会破坏解的唯一性。
二阶线性偏微分方程的分类
F ( x, y , u x , u y , u xx , u yy ) = 0
•第一类边界条件：给出未知函数u 在边界上的值 第一类边界条件：给出未知函数 第一类边界条件 •第二类边界条件：给定未知函数u 在边界上的 第二类边界条件：给定未知函数 第二类边界条件 法向导数值
•第三类边界条件：给出边界上未知数u 及其法向 第三类边界条件：给出边界上未知数 第三类边界条件 导数之间的线性关系
•波动方程：含有对时间的二阶偏导数 ，两个初始条件 波动方程： 波动方程 •传输方程：含有对时间的一阶偏导数 ，一个初始条件 传输方程： 传输方程 •稳定场方程：不随时间变化，没有初始条件 稳定场方程：不随时间变化， 稳定场方程
•边界条件 边界条件——描述系统在边界上的状况 边界条件 描述系统在边界上的状况
•衔接条件 衔接条件
在研究具有不同介质（或跃点处）的问题中， 在研究具有不同介质（或跃点处）的问题中， 在不同介质（或跃点处） 在不同介质（或跃点处）的界面处有衔接条件
不适定问题举例
•一般来说，方程的阶数对应于定解 一般来说， 一般来说 条件的个数； 条件的个数； •条件多了，将会破坏解的存在性； 条件多了， 条件多了 将会破坏解的存在性； •条件少了，将会破坏解的唯一性。 条件少了， 条件少了 将会破坏解的唯一性。
二阶线性偏微分方程的分类
F ( x, y , u x , u y , u xx , u yy ) = 0
•第一类边界条件：给出未知函数u 在边界上的值 第一类边界条件：给出未知函数 第一类边界条件 •第二类边界条件：给定未知函数u 在边界上的 第二类边界条件：给定未知函数 第二类边界条件 法向导数值
•第三类边界条件：给出边界上未知数u 及其法向 第三类边界条件：给出边界上未知数 第三类边界条件 导数之间的线性关系
•波动方程：含有对时间的二阶偏导数 ，两个初始条件 波动方程： 波动方程 •传输方程：含有对时间的一阶偏导数 ，一个初始条件 传输方程： 传输方程 •稳定场方程：不随时间变化，没有初始条件 稳定场方程：不随时间变化， 稳定场方程
•边界条件 边界条件——描述系统在边界上的状况 边界条件 描述系统在边界上的状况
•衔接条件 衔接条件
在研究具有不同介质（或跃点处）的问题中， 在研究具有不同介质（或跃点处）的问题中， 在不同介质（或跃点处） 在不同介质（或跃点处）的界面处有衔接条件
第二章定解问题.
若 f 0
称为弦的自由振动，振动过程中不受外力。
utt a2uxx
齐次波动方程
事实上，除了以上一维波动方程，像薄膜振动（二维），电 磁场方程（三维）等，均属于波动方程：
utt a2u f (x, y, t)
uxx
uyy
2u x2
2u y 2
utt a22u a2 (uxx uyy uzz )
2 2 2 2 x2 y2 z2
三维拉普拉斯算符
补例：电磁场方程（三维波动方程）
已知：电磁场的麦克斯韦方程组的微分形式是
D
(1)
Ε Bt
(2)
B 0
(3)
H j Dt (4)
D E B H j E
(x)utt (x 2x,t) F(x 1x,t)x T ux(x x,t) ux(x,t)
T2 sin 2 T1 sin 1 F(x 1x,t)x (x)utt (x 2x,t)
整理得
utt
(x
2 x, t )
T
Y
Y
F(x,t)
T2
M2
2
M1
1
2、分析：
A x x x
B
X
T1
x
xx
X
（1）确定研究对象：设 u(x,t) 为弦位移，则u满足规律所 求。为了研究u，在x位置处取x小段弦为研究对象。
（2）物理问题的数学抽象：
1）由于弦是“细长”的，所以 (x,t) t
忽略重力
2）由于弦“绷紧”于AB两点，这说明弦中各相邻部分之间有 拉力即“张力”作用；由于弦是“柔软”的，所以相邻小段张 力总是弦线的切线方向；
第一章三类典型方程和定解条件
一个定解问题提的是否符合实际情况，从 数学角度来看，有三方面可以加以检验：
1、解的存在性，看定解问题是否有解。
2、解的唯一性，看是否只有一个解。
3、解的稳定性，看当定解条件有微小
变动时，解是否相应地只有微小的变 动，若确实如此，则称此解是稳定的。
如果一个定解问题存在唯一且稳定的解， 则此问题称为适定的。
用以说明初始状态的条件称为初始条件。 用以说明边界上的约束情况的条件称为边 界条件。
一、初始条件
比如说波动方程（1.3）其初始条件有两 个，一个是参数u，一个是u的一阶导数。 即： u u t 0 及 都已知。 t
t 0
而热传导方程（1.7）其初始条件只有一 个，就是参数u。即：
u t 0 是已知。
2 2 2 2u u u u 2 a ( 2 2 2) 2 t x y z
(1.4)
上式（1.4）称为齐次三维波动方程。
二、热传导方程
若函数u(x,t)关于t是可微的，关于x是二次 连续可微的，并满足：
2 u 2 u a (a为系数) 2 t x
(1.5)
aij ( x), bi ( x), c x , f ( x) 都只是 x1 , x2, 其中， 函数，与未知函数无关。
, xm 的已知
若一个函数具有某偏微分方程中所需 要的各阶连续偏导数，并且代入该方程中 能使它变成恒等式，则此函数称为该方程 的解（古典解）。 初始条件和边界条件都称为定解条件。 把某个偏微分方程和相应的定解条件 结合在一起，就构成了一个定解问题。 只有初始条件，没有边界条件的定解问题 称为始值问题（或柯西问题）。反之，只 有边界条件，没有初始条件的定解问题称 为边值问题。既有初始条件又有边界条件 的定解问题，称为混合问题。
数理方程（ＰＤＦ）
第二章 分离变量法
§ 1 有界弦的自由振动
研究两端固定的弦的自由振动.定解问题为：
⎪⎪⎪⎪⎨⎧u∂∂t2xu2=0
− a2 = 0,
∂2u ∂x 2
u
⎪⎪⎩u t=0 = ϕ(x),
= 0,
= 0,
x=l
∂u ∂t t=0
=ψ
( x),
0< x<l t >0 0< x<l
特点: 方程齐次, 边界齐次.
利用边界条件
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
X X
( 0 )T (l )T
(t) (t)
= =
0 0
…
…
……
…
…
④
④ 成立 ⇔ X (0) = 0, X (l) = 0
则
⎧ ⎨ ⎩
X X
'' + (0)
λX = 0
= 0, X (l
)
=
………………⑤ 0
参数 λ 称为特征值.
特征值问题
函数X(x)称为特征函数
分三种情形讨论特征值问题的求解：
l
+
Bn
sin
nπat
l
n = 1,2,L
所以
u0( x, t) = A0 + B0t
un(
x,
t)
=
(
An
cosnπ
l
at
+
Bn
sin
nπ
l
at)
cosnπ
l
x
故
n =1,2,L
∑ u( x, t )
=
A0
+
B0t
+
∞ n=1
§ 1 有界弦的自由振动
研究两端固定的弦的自由振动.定解问题为：
⎪⎪⎪⎪⎨⎧u∂∂t2xu2=0
− a2 = 0,
∂2u ∂x 2
u
⎪⎪⎩u t=0 = ϕ(x),
= 0,
= 0,
x=l
∂u ∂t t=0
=ψ
( x),
0< x<l t >0 0< x<l
特点: 方程齐次, 边界齐次.
利用边界条件
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
X X
( 0 )T (l )T
(t) (t)
= =
0 0
…
…
……
…
…
④
④ 成立 ⇔ X (0) = 0, X (l) = 0
则
⎧ ⎨ ⎩
X X
'' + (0)
λX = 0
= 0, X (l
)
=
………………⑤ 0
参数 λ 称为特征值.
特征值问题
函数X(x)称为特征函数
分三种情形讨论特征值问题的求解：
l
+
Bn
sin
nπat
l
n = 1,2,L
所以
u0( x, t) = A0 + B0t
un(
x,
t)
=
(
An
cosnπ
l
at
+
Bn
sin
nπ
l
at)
cosnπ
l
x
故
n =1,2,L
∑ u( x, t )
=
A0
+
B0t
+
∞ n=1
定解条件和定解问题
定解条件与定解问题含有未知函数得偏导数得方程叫偏微分方程,常微分方程可以瞧成就是特殊得偏微分方程。
方程得分数就是1得称为方程式,个数多于1得叫做方程组。
方程（组)中出现得未知函数得最高阶偏导数得阶数称为方程(组)得阶数。
如果方程(组)中得项关于未知函数及其各阶偏导数得整体来讲就是线性得，就称方程(组)为线性得,否则就称为非线性得。
非线性又分为半线性、拟线性与完全非线性。
一、定解条件给定一个常微分方程,有通解与特解得概念。
通解只要求满足方程,即满足某种物理定律,而不能完全确定一个物理状态。
特解除了要求满足方程还要满足给定得外加(特殊)条件。
对偏微分方程也就是如此,换句话说，只有偏微分方程还不足以确定一个物理量随空间与时间得变化规律,因为在特定情况下这个物理量还与它得初始状态与它在边界受到得约束有关。
描述初始时刻得物理状态与边界得约束情况,在数学上分别称为初始条件(或初值条件)与边界条件(或边值条件)，她们统称为定解条件。
初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态得条件,即描述物理过程初始状态得数学条件。
边界条件:能够用来说明某一具体物理现象边界上得约束情况得条件,即描述物理过程边界状态得数学条件。
定解条件:初始条件与边界条件得统称。
非稳态问题:定解条件包括初始条件与边界条件。
稳态问题:定解条件为边界条件。
1、弦振动方程 ( )初始条件就是指初始时刻(）弦得位移与速度。
若以, 分别表示弦上任意点得初始位移与初始速度，则初始条件为：边界条件就是指弦在两端点得约束情况,一般有三种类型。
(1)第一类边界条件(狄利克雷(Dirichlet)边界条件）:已知端点处弦得位移就是,则边界条件为:或当时,表示在该点处弦就是固定得。
(2)第二类边界条件(诺伊曼(Nｅuｍann)边界条件):已知端点弦所受得垂直于弦线得外力或,则边界条件为:或当,表示弦在端点处自由滑动。
(3）第三类边界条件(混合边界条件或罗宾（Ｒｏbiｎ)边界条件:已知端点处弦得位移与所受得垂直于弦线得外力得与:或,其中表示两端支承得弹性系数,当时,表示弦在该端点处被固定在一个弹性支承上。
2定解条件
而常说恒定表面浓度扩 散，是指硅片表面杂质 浓度维持一定，向内部 扩散。
ut u
t 0
0
0 x l / 2 2lh x 2 h (l x ) l / 2 x l l
t 0
稳定场问题与时间无关，不存在初始条件的问题． 二、边界条件： 研究具体的物理系统，还必须考虑系统
的边界上的物理状况，即边界条件． 常见的线性边界条件有三种。 1、第一类边界条件：直接可写出边界上物理量的表达式。
u s f ( x0 , y0 , z0 , t )
2、第二类边界条件：可写出边界上物理量沿边界法向方向 导数的表达式
u n
f1 ( x0 , y0 , z0 , t )
s
3、第三类边界条件： 可写出边界上物理量沿边界法向方向导数与边界上物理 量的线性组合的表达式
u （ hu) f 2 ( x0 , y0 , z0 , t ) n s
ut ( x, y, z, t ) t 0 ( x, y, z )
从数学角度看，输运过程方程含时间一阶导数，须有一个初始条件， 振动过程含时间二阶导数，须有两个初始条件。 注意：初始状态指的是整个系统的初始状态，而不是系统中个别地点的初
始态．例如：长为L两端固定的弦，用手把它的中点朝横向拨开距离h， 然后放手任其振动.
就时间t这个目变数而论，振动方程是 t的二阶微分程，输运 方程是t的一阶微分方程，所以初始条件的提法有所不 同．对了输运过程(热传导、扩散)，初始状态指的是所研 究物理量 u(温度、浓度)初始分布.
u( x, y, z, t ) t 0 ( x, y, z), 为已知函数。
对于振动过程(弦、杆、膜的振动，传输线上电振动，声振动、 电磁振动)，初始状态包括初始“位移” 和初始“速度” u ( x, y, z , t ) t 0 ( x, y, z )
数理方程：第2讲典型方程的定解条件
弹性力 k u xl
张力
T u x xl
u
u
x
xl
0
( T )
k
(2) 热传导问题（端点自由冷却）
散失的热量
dQ1 h(u u1)dSdt
内部流到边界的热量
dQ2
k
u dSdt n
dQ1 dQ2 k nu h(u u1 )
即
(u
u )
x xl
u1
( k )
h
§3 定解问题
x
, t
0)
的解等于问题(I)和问题(II)的解之和
(I)
utt u t0
a2uxx 0
( x), ut
t0
(
(x)
x
, t
0)Байду номын сангаас
(II) utt a2uxx f ( x, t ) u t0 0, ut t0 0
( x ,t 0)
如
Lu
a11
2u x 2
2a12
2u xy
a22
2u y 2
b1
u x
b2
u y
c
u
u x
x0
二阶偏微分方程
a11
2u x 2
2a12
2u xy
a22
2u y 2
b1
u x
b2
u cu y
f
可简写为
L[u] f
叠加原理 1 若ui 满足线性方程 L[ui ] fi ，i 1,2,, n
➢包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题 (初边值问题)
uutt
0
a2(uxx
(x, y
u yy ,z)
数理方程总结完整版
该方程是非齐次方程。解决该类方程主要用特征函数法来 解决。以本题为例，来介绍一下特征函数法。
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
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u t0 h
()
u h
u xl / 2 h ( )
0
l
lx
2
正确写法
u t0
2h l
x,
2h (l l
x ),
0 x l 2
l xl 2
二. 边界条件 描述某系统或过程边界状况的约束条件称为边界条件. ➢第一类边界条件
例.长为l的弦，一端固定，一端以 sint 规律运动
u x0 0, u xl sin t
如
Lu
a11
2u x 2
2a12
2u xy
a22
2u y 2
b1
u x
b2
u y
c
u
u x
x0
二阶偏微分方程
a11
2u x 2
2a12
2u xy
a22
2u y 2
b1
u x
b2
u cu y
f
可简写为
L[u] f
叠加原理 1 若ui 满足线性方程 L[ui ] fi ，i 1,2,, n
i 1
B i
u x
cu
f
0
i
j
i
两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式
A 2u 2B 2u C 2u D u E u Fu f
x 2
xy y2 x y
………
➢ 线性方程的叠加原理
称形如
L
a11
2 x 2
2a12
2 xy
a22
2 y 2
b1
x
b2
y
c
x
x0
的符号为微分算子。
§2 初始条件与边界条件
1. 初始条件
2. 边界条件
一 . 初始条件及Cauchy问题
1、描述某系统或某过程初始状况的条件称为初始 条件；
2、初值条件与对应方程加在一起构成初值问题 (或称Cauchy问题）。
弦振动问题
初始位移、初始速度分别为 ( x), ( x) ,称 u t0 ( x), ut t0 ( x)
u x0 0, ux xl 0
(0 x l,t 0) (0 x l)
波动方程的混合问题
➢只附加边界条件的定解问题称为边值问题. ➢初值条件、边界条件统称为定解条件 . ➢初值问题、边值问题、混合问题统称为定解问题.
➢一般线性二阶偏微分方程（n个自变量）源自nn2ui1 k1
A ik
x
x
n
弹性力 k u xl
张力
T u x xl
u
u
x
xl
0
( T )
k
(2) 热传导问题（端点自由冷却）
散失的热量
dQ1 h(u u1)dSdt
内部流到边界的热量
dQ2
k
u dSdt n
dQ1 dQ2 k nu h(u u1 )
即
(u
u )
x xl
u1
( k )
h
§3 定解问题
➢包含初值条件的定解问题称为初值问题
（Cauchy 问题）
utt u |t0
a 2uxx
(x
)
0
ut |t0 ( x)
( x ,t 0) ( x )
弦振动的Cauchy问题
ut a2uxx 0
u |t0 ( x)
( x ,t 0) ( x )
热传导方程的Cauchy问题
x
, t
0)
的解等于问题(I)和问题(II)的解之和
(I)
utt u t0
a2uxx 0
( x), ut
t0
(
(x)
x
, t
0)
(II) utt a2uxx f ( x, t ) u t0 0, ut t0 0
( x ,t 0)
➢第二类边界条件
u 0 x xl 不受力 自由端
对弦的振动
u x xl
f (t) 表示在x轴方向给出的外力
对热传导方程 u f ( x, y, z,t) 表示单位面积、单 n
位时间沿边外法 线方向流出的热量。
u 0 n 没有热交换 绝热
➢ 第三类边界条件
例 (1) 弦的振动（端点弹性连结）
（或定解条件B[ui ] gi ），
n
则u ci ui 满足方程
i 1 n
L[u] ci fi
i 1 n
（或定解条件B[u] ci gi ），其中ci 为任意常数。
i 1
例 非齐次波动方程的Cauchy问题
utt u t 0
a 2uxx f
( x), ut
( x, t) (
t0 (x)
为波动方程的初值条件。
(x) 0且 (x) 0 齐次初始条件.
热传导方程
u t0 ( x)
称为热传导方程的初值条件
注意 ➢ 不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。 ➢ 初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非
系统中个别点的初始状态。
例.长为 l 两端固定的弦，初始时刻将弦的中点拉起 h
➢包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题 (初边值问题)
uutt
0
a2(uxx
(x, y
u yy ,z)
uzz
)
0
(u u) f ( x, y, z, t )
n
(x, y,z) ,t 0 (x, y,z)
热传导方程的混合问题
utt a2uxx
u t0 ( x),ut t0 ( x)