2020-2021学年浙江省杭州市七县市高二上学期期末考试数学试题 PDF版
5援 已知直线 a袁b袁平面 琢袁茁袁下列命题院
淤若 a椅b袁a彝琢袁则 b彝琢曰
于若 琢椅茁袁a彝琢袁则 a彝茁曰
盂若 a椅琢袁a彝茁袁则 琢彝茁曰
榆若 a彝琢袁琢彝茁袁则 a椅茁援
其中真命题是
渊银冤
A援 淤于盂
B援 淤于榆
C援 淤盂榆
D援 淤于盂榆
6援 如图袁 三棱台 A BC-A 1B1C1 的下底面是正三角形袁 且 A B彝BB1袁
13援 已知点 A 渊1袁-1冤袁直线 l院x-2y+2=0袁则点 A 到直线 l 的距离是 银 曰过点 A 且垂直于 直线 l 的直线方程是 银 援
14援
椭圆
x2 49
+
y2 24
=1 的焦点 F1袁F2 的坐标是
银
曰以
F1袁F2
为焦点袁且离心率
e=
5 4
的双曲
线方程是 银 援
15援 在正方体 A BCD-A 1B1C1D1 中袁棱 A A 1 与面对角线 BC1 所成角的大小是 银 曰面对角线
4
12 AB BC = AB BC cos120 = − AB
2
（4 分）
2
所以， AB1 BC1 = (AB + BB1) (BB1 + B1C1) = 0+AB B1C1 + BB1 + 0
=
AB BC
+
2
BB1
=
−
1 2
2
AB
+
2
BB1
=
0
（2 分）
所以， AB1 ⊥ BC1 ．
（2 分）
得
−2y − 2z = 0 −x + 2y = 0
令，得，，
即 n2 = (2,1, −1) ，
（1 分）
所以 cos n1, n2 =
n1 n2 n1 n2
=
30 ， 10
（2 分）
从而二面角 B − SC − D 的平面角的余弦值为 − 30 ． (1 分) 10
22．（本小题满分 14 分）
要求的冤
1援
倾斜角为
仔 2
的直线的方程可以是
渊银冤
A援 x-1=0
B援 y-1=0
C援 x-y=0
D援 x+y-2=0
2援 直线 l1院ax-4y+2=0 与直线 l2院x-ay-1=0 平行袁则 a 的值为
渊银冤
A援 a=依2
B援 a=2
C援 a=-2
D援 a=-1
3援 圆 x2+y2+2ax-2姨 3 ay+3a2=0 的圆心坐标和半径长依次为
（2 分）
整理得
(3 −
4m2 )k 2
+
8mnk
+
3−
4n2
=
0
，其两根
k1 ,
k2
满足
k1k2 =
3 − 4n2 3 − 4m2
┄┄①
这里 k1 =kOA , k2
=
kOB ，且
m2 3
+ n2
=1
┄┄②
（1 分）
设 A(x1, kx1), B(x2 , kx2 ) ，则 OA = 1+ k12 x1 , OB = 1+ k22 x2 ,
渊1冤求 p袁m 的值曰 渊2冤已知 O 为原点袁点 B 在抛物线 C 上袁若吟A OB 的面积为 8袁求点 B 的坐标援
20援 渊本小题满分 14 分冤如图袁在正三棱柱 A BC-A 1B1C1 中袁若 A B= 姨 2 BB1袁A D=DC 试证明院
渊1冤A B1椅面 BC1D曰
渊2冤A B1彝BC1 援
（2 分）
4t2 − 4t
则点 B 到直线 OA 的距离 d =
，又 OA = 2 5 ， （2 分）
5
由题意得
1 2
4t2 − 4t 5
=8
，
2
5
（2 分）
解得 t = −1或t = 2 ，所以点 B 的坐标是 (2, −4) 或 (8,8) .
（2 分）
20．（本小题满分 14 分）
证明：（1）连 B1C 交 BC1 于点 E ，连 DE ,
+
1
+
2 3k22
=
2
+
2
1
+
2 + 3k12 + 3k12 + 3k22
3k22 + 9k12k22
=
4，
(2 分)
所以 OA + OB 2（ OA 2 + OB 2）=2 2 ，当且仅当 OA = OB 时取等号.
即 ( OA + OB )max =2 2 .
(2 分)
注：考虑到椭圆的对称性，只需研究点 G 在第一象限的情况，当 G 在椭圆顶点 (0,1), ( 3, 0) 处时，易得 OA + OB =2 2 （4 分）
这里
x12 3
+ k12 x12
=1，
x22 3
+ k22 x22
=1，
（1 分）
所以
OA
2
=（1+
k12）x12 =
3(1
+
k12
) ,
1+ 3k12
OB
2
=（1+
k22）x22
=
3(1+ k22) 1+ 3k22
(1 分)
由①②得
k1k2 =
−
1 3
，
(1 分)
则
OA 2
+
OB 2
=
2
+
1
+
2 3k12
6
11援
已知实数
x袁y 满足
x
x
+
yy 3
=1袁 则
姨 3 x+y-4
的取值范围是
2 正视图
2 侧视图
渊银冤 2
A援 蓘 4-姨 6 袁2 蔀
蓘 蔀 C援
2-
姨6 2
袁2
B援 蓘 4-姨 6 袁4 蔀
蓘 蔀 D援
2-
姨6 2
袁4
2 2
俯视图
12援 如图袁 正方形 A BCD 的边长为 4袁 点 E袁F 分别是 A A B袁BC 的中点袁将吟DA E袁吟EBF袁吟FCD 分别沿
解：（1）
c a
=
6 3
2c = 2 2
， 所以 a =
3,c =
2,b =1，
所以椭圆 E 的标准方程为 x2 + y2 = 1 3
（4 分）
3
（2）设圆 (x − m)2 + ( y − n)2 = 3 的切线 OA(OB) 的方程为 y = kx ， 4
则 mk − n = 3 ， k2 +1 2
所以 OE ⊥ 面 SBC . （2 分）
2
在 RtAOD 中， AO = 1, DO = 2, EO = 2 , 5
所以 DE = 4 . 5
（2 分）
（2）分别以 OA，OB，所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，（2 分）
则 A(1,0,0), B(0, 2,0), S(0, −2,0), D(0,0, 2) ，
在侧面 BCC1B1 中， BC = 2BB1, F 是中点，则 RtBB1C1 ∽ RtFBB1
所以 BC1 ⊥ B1F ┄┄②,
（3 分）
由①②知 BC1 ⊥ 面 AB1F ，所以 BC1 ⊥ AB1 .
（2 分）
（2）方法二：在正三棱柱中， AB BB1 = 0, BB1 B1C1 = 0 ,
D
C
A
S
O B
22援
渊本小题满分
14
分冤椭圆
E院
x2 a2
+
y2 b2
=1渊a>b>0冤的离心率为
姨6 3
袁焦距为 2姨 2 援
渊1冤求椭圆 E 的标准方程曰
渊2冤设
G渊m袁n冤是椭圆
E
上的动点袁过原点
O
作圆
G院渊x-m冤2+渊y-n冤2=
3 4
的两条斜率存在的
切线分别与椭圆 E 交于点 A 袁B袁求 OA + OB 的最大值援
（1 分）
由 AE
=
1 5
AD 得点
E
的坐标是
4 5
,
0,
2 5
，由（1）知面
SBC
的法向量
n1
= (2, 0,1) ，（1
分）
设面 SCD 的法向量是 n2 = (x, y, z) ，而 DC = AB = (−1, 2,0), DS = (0, −2, −2) ，
由 n2 DS = 0 n2 DC = 0
2020 学年第一学期期末学业水平测试 高二数学试题卷
考生须知院 1援 本卷满分 120 分袁考试时间 100 分钟援 2援 答题前袁在答题卷内填写学校尧班级和姓名援 3援 所有答案必须写在答题卷上袁写在试题卷上无效援 4援 考试结束袁只需上交答题卷援
一尧选择题渊本题有 12 小题袁每小题 3 分袁共 36 分援 每小题的四个选项中只有一个是符合题目
A1
C1
B1
A
D
C
B
高二数学试题卷 第 3 页渊共 4 页冤
21援 渊本小题满分 14 分冤在底面是菱形的四棱锥 S-A BCD 中袁已知 A B=A S= 姨 5 袁BS=4袁过 D 作侧面 SA B 的垂线袁垂足 O 恰为棱 BS 的中点援 渊1冤证明在棱 A D 上存在一点 E袁使得OE彝侧面 SBC袁并求 DE 的长曰 渊2冤求二面角 B-SC-D 的平面角的余弦值援
浙江省杭州市2020版数学高二上学期理数期末考试试卷D卷
浙江省杭州市2020版数学高二上学期理数期末考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，则p是q的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分也非必要条件2. （2分）若=(1,1),=(1,-1),=(-1,2)，则等于（）A . -+B . -C . -D . -+3. （2分） (2019高二下·南充月考) 设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于（）A . 4B . 5C . 8D . 104. （2分） (2018高二下·鸡泽期末) 命题p：“∃x0∈R“，x0﹣1≤0的否定￢p为（）A . ∀x∈R，x2﹣1≤0B . ∃x0∈R，x02﹣1＞0C . ∀x∈R，x2﹣1＞0D . ∃x0∈R，x02﹣1＜05. （2分）已知抛物线与双曲线有一个相同的焦点，则动点的轨迹是（）A . 椭圆的一部分B . 双曲线的一部分C . 抛物线的一部分D . 直线的一部分6. （2分）(2018·潍坊模拟) 已知双曲线的离心率为，其左焦点为，则双曲线的方程为（）A .B .C .D .7. （2分）若平面向量a＝(1，x)和b＝(2x＋3，－x)互相平行，其中x∈R，则|a－b|＝（）A . 2B . 2或2C . －2或0D . 2或108. （2分） (2018高一下·汪清期末) 若，，且，则与的夹角是（）A .B .C .D .9. （2分）是坐标原点，设，若，则点的坐标应为（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·新课标Ⅲ卷文) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A . A1E⊥DC1B . A1E⊥BDC . A1E⊥BC1D . A1E⊥AC11. （2分）已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A . m＜2B . 1＜m＜2C . m＜﹣1或1＜m＜2D . m＜﹣1或1＜m＜12. （2分），则方程表示的曲线不可能是（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分）命题：“若A∪B＝A ，则A∩B＝B”的否命题是________．14. （1分）(2017·泰州模拟) 已知双曲线的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为________．15. （1分）在平面直角坐标系中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程________．16. （1分） (2017高二上·长泰期末) 椭圆的焦点F1F2 ， P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2 ，则△F1PF2的面积为________．17. （1分）命题：“ 或”的否定是________．18. （1分） (2017高二上·靖江期中) 椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是________．三、解答题 (共5题；共40分)19. （10分） (2017高二上·成都期中) 如图，O为坐标原点，椭圆C1： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，离心率为e1；双曲线C2：﹣ =1的左、右焦点分别为F3 ， F4 ，离心率为e2 ，已知e1e2= ，且|F2F4|= ﹣1．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．20. （5分） (2018高二下·绵阳期中) 已知命题：函数在上单调递增；命题：关于的不等式的解集为 .若为真命题，为假命题，求的取值范围.21. （10分）如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离．22. （10分） (2019高三上·上海月考) 某地要建造一个边长为2（单位：）的正方形市民休闲公园，将其中的区域开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点的坐标为，曲线是函数图像的一部分，过边上一点在区域内作一次函数（）的图像，与线段交于点（点不与点重合），且线段与曲线有且只有一个公共点，四边形为绿化风景区.（1）求证：；（2）设点的横坐标为，①用表示、两点的坐标；②将四边形的面积表示成关于的函数，并求的最大值.23. （5分） (2019高三上·洛阳期中) 设数列的前项和为，且，数列满足， .（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题；共40分)20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
浙江省杭州市七县市2020-2021学年高二上学期期末数学试卷 (含解析)
数学试卷
一、选择题（共 12 小题）.
1．倾斜角为 的直线的方程可以是（ ）
A．x﹣1＝0
B．y﹣1＝0
C．x﹣y＝0
D．x+y﹣2＝0
2．直线 l1：ax﹣4y+2＝0 与直线 l2：x﹣ay﹣1＝0 平行，则 a 的值为（ ）
A．a＝±2
B．a＝2
C．a＝﹣2
D．a＝﹣1
3．圆 x2+y2+2ax﹣2
＝0 的圆心坐标和半径长依次为（ ）
A．
，a B．
，a C．
，|a| D．
，|a|
4．“n＞m＞0”是“方程
表示焦点在 y 轴上的双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知直线 a，b，平面 α，β，下列命题（ ）
角线 BC1 与体对角面 ACC1A1 所成角的大小是
．
2
；面对
16．设 F1、F2 为双曲线
左、右焦点，点 A 在双曲线 C 上，若 AF1⊥AF2，且
∠AF1F2＝30°，则 b＝
．
17．设动点 P 在直线 x+y﹣2＝0 上，若在圆 O：x2+y2＝3 上存在点 M，使得∠OPM＝60°，
则点 P 横坐标的取值范围是
＝0，即（x+a）2+（y﹣ a）2＝a2，
其圆心为（﹣a， a），半径 r＝|a|， 故选：D．
4．“n＞m＞0”是“方程
表示焦点在 y 轴上的双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 C．充要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
浙江省杭州市八县区2021-2022学年高二上学期期末学业水平测试数学试卷
{ 2 2
⇒ (2 − 12 ) 2 − 21 − 2 − 6 = 0,
− =1
3
6
2 − 12 ≠ 0
∆= 4212 + 4(2 − 12 )(2 + 6) > 0
依题意，
1 + 2 =
⇒
4
||
…… 6 分
(1 + 2 )2 1 2
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0，得 = 1，所以
⃗⃗⃗⃗⃗ = (2 , 2 , − 2)，
由
3
3 3
3
……8 分
⃗⃗⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗ −
⃗⃗⃗⃗⃗ = (1 , − 2 , − 4),
3
3
3
…… 9 分
⃗⃗⃗⃗⃗ = (2,2, −2)是平面 DFG 的法向量，
由（1）知，
……10 分
2
1
当0 < ≤ 2时, () = {(1), ()}, 由() > (1)解得, > √2 − 1
1 − 2, ≤ √2 − 1
综上所述, () = { 2 , √2 − 1 < ≤ 1 , 画图知, = √2 − 1时, ()最小.
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙
⃗⃗⃗⃗⃗ |
|
……10 分
1
则 = ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ，
| |||
√7
1
所以直线 FQ 与平面 DFG 所成角的正弦值是 √7.
7
……12 分
21. 解：(1)依题意，焦点在轴上，设实半轴、虚半轴长分别为, ，则渐近线为 = ± ，
……1 分
浙江省杭州市八县区2021-2022学年高二上学期期末学业水平测试数学试题WORD版含答案
2021学年第一学期期末学业水平测试高二年级数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 全集{}0,1,2, 3,4U =----，{}{}0,1,2,0, 3, 4M N =--=--，则()U C M N =（）A. {}0B. {}3,4--C. {}1,2--D. ∅2. 若复数z 满足()12i 34i z +=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部是（） A. 2iB. 2i -C. 2D. 2-3. 已知22670x y x +--=与抛物线()20y ax a =>的准线相切．则=a （）A.116B. 16C.18D. 84. 下列命题中，不正确的是（） A. 若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B =+B. 若事件A ，B 互为独立，则()()()P AB P A P B =C. 若事件A ，B ，C 两两互斥，则()()()()P A B C P A P B P C =++∪∪D. 若事件A ，B ，C 两两独立，则()()()()P ABC P A P B P C =5. 如图所示，是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，其中，圆锥的底面和球的直径都是0.2m ，圆锥的高是0.24m ．要对1000个这样的台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，则共需胶（）克 A. 340πB. 440πC. 4600πD. 6600π6. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，ϕπ<），其图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，相邻两条对称轴的距离为2π，且对任意x ∈R ，都有()()712f x fπ≥，则在下列区间中，f (x )为单调递减函数的是（） A. ,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7. 已知函数()2xf x x =+，()2log g x x x =+，()22log h x x x =+的零点分别为a ，b ，c ，下列各式正确的是（） A. 0a b +>B. 22log 0ab +>C. b c >D. 22a c >8. a 为实数，函数()22f x x ax =-在区间[0，1]上的最大值记为g （a ）．当g （a ）取得最小值时，=a （）A.1B.1C. 1D. 1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 若椭圆的焦点为()1,0F c -，()2,0F c ()0c >，长轴长为2a ，则椭圆上的点（x ，y ）满足（） A.2a =B. 222221y c x a a =--C.c a=D.c a x a=-10. 设α，β为两个平面，则αβ∥的必要不充分条件是（）A. α内有无数条直线与β平行B. α内有两条相交直线与β平行．C. α，β垂直于同一条直线D. α，β垂直于同一平面11. 已知点A 、B 、P 在C 上，则下列命题中正确的是（）A. 1AC =，则AC AB ⋅的值是12B. 1AB =，则AC AB ⋅的值是12C. 1AC AB ==，则AP AB ⋅的范围是13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 1AC AB ==，且AP AB AC λμ=+，则λμ+的范围是1⎡⎢⎣⎦12. 定义全集U 的子集M 的特征函数()1,0,M U x Mf x x M ∈⎧=⎨∈⎩．已知A U ⊆，B U ⊆，则以下结论中正确的是（）A. 若A B ⊆，则对于任意x U ∈，都有()()A B f x f x ≤B. 对于任意x U ∈，都有()()1U A A f x f x =-C. 对于任意x U ∈，都有()()()A BA B f x f x f x =⋅ D. 对于任意x U ∈，都有()()()ABA B f x f x f x =+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第1空2分，第2空3分．13. 1231log 49-+=______． 14. 已知1tan 3α=-，23απ<<π，则sin α=______． 15. 某地现有耕地10000公顷．规划10年后粮食单产比现在增加20%，人均粮食占有量比现在至少提高16%．如果人口年增长率为0003（即千分之三），那么耕地平均每年至多只能减少______公顷（精确到小数点后一位，101.003 1.0304≈）． （备注：粮食单产=总产量耕地面积，人均粮食占有量=总产量总人口数）16. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在直线2px =-上，则ACB ∠的最大值是______；若ACB △为正三角形，则其边长为______．四、解答题：本题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，在①sin cos a B A =，②2cos cos cos a A b C c B =+，③()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-这三个条件中任选一个，并解答下列问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）： （1）求角A ；（2）若5b =，3c =，求BC 边上的中线长．18. 某城市为节能减排，提出了在保障生活必需的基础上，“低碳生活，节约用电”的倡议．以下是某社区随机提取的100户居民的月平均用电量（单位：度）的数据，根据这些数据，以[160，180），[180，200），[200，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图所示．（1）求月平均用电量的25%分位数（精确到小数点后1位）；（2）在月平均用电量最小组[160，180）和最大组[280，300]用户中，各随机抽取1户到社区做用电情况交流，其中最小组的甲与最大组的乙恰有一人被选到的概率．19. 莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler ，瑞士数学家），1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高线的交点）和外心（三条中垂线的交点）共线．这条线被后人称为三角形的欧拉线．已知QMN 的顶点()1,0M ，()3,2N -，()1,4Q -．（1）求QMN 的欧拉线方程；（2）记QMN 的外接圆的圆心为C ，直线l ：()10kx y k k ---=∈R 与圆C 交于A ，B 两点，且C l ∉，求ABC 的面积最大值．20. 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，二面角P —BC —A 的大小是45°，E 、G 分别是PC 、PA 的中点，EF PB ⊥交PB 于点F ． （1）求证：D 、E 、F 、G 四点共面；（2）设Q 是直线AD 的中点，求直线FQ 与平面DFG 所成角的正弦值．21. 已知双曲线C 的离心率e =()1,0F c -．（1）求双曲线C 的方程；（2）设T 是y 轴上的点，过T 作两直线分别交双曲线C 的左支于P 、Q 两点和A 、B 两点，若TA TPTB TQ=，P 、Q 两点的中点为M ，A 、B 两点的中点为N ，O 为坐标原点，求两直线OM 和ON 的斜率之和．22. 我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现了更一般结论：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，试根据此结论解答下列问题： （1）若函数()y g x =满足对任意的实数m ，n ，恒有()()()1g m n g m g n +=+-，求()0g 的值，并判断此函数图象是否中心对称图形？若是，请求出对称中心坐标；（2）若（1）中的函数还满足0m >时，()1g m >，求不等式()23211g x x -->的解集；（3）若函数()2331xx h x ⋅=+．若()h x 与()g x 的图象有3个不同的交点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 其中123x x x <<，且AC =，求()1g 值．1【答案】B 2【答案】D3【答案】A 4【答案】D 5【答案】C 6【答案】C 7【答案】D 8【答案】A 9【答案】ABD 10【答案】AD 11【答案】BCD 12【答案】ABC 13【答案】32-##-1.514 15【答案】3.916【答案】①. 90°②. 6p 17【答案】（1）3A π=；（2）72. 【小问1详解】选①，在ABC 中，由正弦定理及sin cos a B A =得：sin sin cos A B B A =，而0B π<<，即sin 0B >，于是得tan A =0A π<<， 所以3A π=.选②，在ABC 中，由正弦定理及2cos cos cos a A b C c B =+得：2sin cos sin cos sin cos sin()sin =+=+=A A B C C B B C A ，而0A π<<，sin 0A >，则1cos 2A =， 所以3A π=.选③，在ABC 中，由正弦定理及()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-得：()()()a b a b c b c +-=-，即222a b c bc =+-，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，而0A π<<， 所以3A π=.【小问2详解】 由(1)知，3BAC π∠=，在ABC 中，由余弦定理得：2222212cos 53253192a b c bc BAC =+-∠=+-⨯⨯⨯=，即a =，222222cos2a c b B ac +-===，设BC 的中点为D ，则12BD a == 在ABD △中，由余弦定理得：222221149()2cos 323224AD c a c a B =+-⨯=+-⨯=，解得72AD =， 所以BC 边上的中线长72. 18【答案】（1）201.8 （2）720【小问1详解】由图可得月平均用电量在[160，180）的频率为0.002×20=0.04，[180，200）的频率为0.0095×20=0.19，[200，220）的频率为0.011×20=0.22，0.04+0.19=0.23<0.25，0.04+0.19+0.22>0.25， 所以25%分位数一定位于[200，220）内， 由220020201.822+⨯≈，所以，月平均用电量的25%分位数约为201.8． 【小问2详解】最小组中有4户，设为甲，,,A B C最大组有5户，设为乙，a b c d ,,,， 各随机抽取1户，有（甲，a ），（甲，b ），（甲，c ），（甲，d ），（甲，乙）， (A ,乙)，（,A a ），（,A b ），（,A c ），（,A d ），（B ，乙），（,B a ），（,B b ），（,B c ），（,B d ）， （C ，乙），（,C a ），（,C b ），（,C c ），（,C d ）， 共20种可能，其中最小组的甲与最大组的乙恰有一人被选到有：（甲，a ），（甲，b ），（甲，c ），（甲，d ），(A ,乙)，（B ，乙），（C ，乙），共7种 甲、乙被选到的事件分别记为A 、B ，所以最小组的甲与最大组的乙恰有一人被选到的概率为：720． 19【答案】（1）2y =-（2【小问1详解】QMN 的顶点()1,0M ，()3,2N -，()1,4Q -利用两点之间距离公式知MN QN ==，4MQ = 又222MN QNMQ +=，所以QMN 为等腰直角三角形，MQ 的中垂线方程是2y =-，也是MNQ ∠的平分线，三线合一，∴欧拉线方程是2y =-． 【小问2详解】由（1）知QMN 为等腰直角三角形，故外心为斜边MQ 中点， 即外心是()1,2C -，2r =圆心C 到直线l 的距离1d =≤，AB =，所以12ABC S AB d =⋅==△利用二次函数性质知，当21d =时，即0k =时，max S =20【小问1详解】（1）依题意，PCD ∠为二面角P —BC —A 的平面角，即45PCD ∠=︒， 因E 是PC 中点，所以DE PC ⊥， 因PD ⊥平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又BC CD ⊥且PD CD D ⋂=，所以BC ⊥平面PCD ，因DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥，又因DE PC ⊥，且BC PC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC ，所以DE PB ⊥，同理DG PB ⊥，又PB EF ⊥，EF DE E ⋂=，∴PB ⊥平面DEF所以PB DF ⊥且DF DG D ⋂=，PB DG ⊥，∴PB ⊥平面DFG ， ∴平面DFG 与平面DEF 是同一平面，即D 、E 、F 、G 四点共面． 【小问2详解】以DA 、DC 、DP 为轴建立坐标系如图， 设2AD =，则Q （1，0，0），P （0，0，2），B （2，2，0），E （0，1，1），G （1，0，1）， 设()()2,2,20PF PB λλλλλ==->， 则()2,21,21EF PF PE λλλ=-=--+ 由0PB EF ⋅=，得13λ=，所以()222,,333PF =-，()124,,333FQ PQ PF =-=--，由（1）知，()2,2,2PB =-是平面DFG 的法向量， 设直线FQ 与平面DFG 所成角为θ，则1sin 7FQ PBFQ PBθ⋅==，所以直线FQ 与平面DFG 21【答案】（1）22136x y -=（2）0 【小问1详解】依题意，焦点在x 轴上，设实半轴、虚半轴长分别为a ，b ，则渐近线为by x a=±， 左焦点()1,0F c-到其渐近线的距离d b ===∵ca=22223c a a b ==+，解得23a =， 所以双曲线方程是22136x y -=．【小问2详解】设()0,T m ，直线AB ：1y k x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 直线PQ ：2y k x m =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，联立()122222112260136y k x m k x mk x m x y =+⎧⎪⇒----=⎨-=⎪⎩， 依题意，()()21222211112212122120Δ44260202602k m k k m mk x x k m x x k ⎧-≠⎪=+-+>⎪⎪⎪⎨+=<-⎪⎪+⎪=>⎪-⎩()()()2221212122122114226x x x x m k x x x x k m +⇒=++=-+ 同理可得，()()22342224324226x x m k x x k m ++=-+，∵TA TP TB TQ =，∴3124x x x x =， ∴()()()()222212222212442626m k m k k m k m =-+-+，化简得2212k k =， ∵12k k ≠，∴120k k +=．∵211ON k k e ⋅=-，221OM k k e ⋅=-，∴0OM ON k k +=．22【答案】（1）()01g =，()g x 是中心对称图形，其对称中心为()0,1（2）()()1,1,3-∞-⋃+∞（3）()715g =【小问1详解】取0m n ==，得()()()0001g g g =+-，所以()01g =，取m x =，n x =-，得()()()01g g x g x =+--，于是()()()11g x g x --=--， 即()1y g x =-是奇函数，所以()g x 是中心对称图形，其对称中心为()0,1． 【小问2详解】若0m >时，()1g m >，则()()()()1g n m g n g m g n +=+->， 所以()g x 是R 上单调递增函数，由()()232110g x x g -->=得，23210x x -->，解得1x >或13x <-所以不等式的解集为()()1,1,3-∞-⋃+∞．【小问3详解】因为()()232323131x xxx h x h x --⋅⋅+-=+=++，于是()()()11h x h x --=--． 所以()h x 的图象也是以()0,1为中心的对称图形， 又()g x 的图象也是以()0,1为中心的对称图形， 因此()0,1B ，130x x +=，13222y y y +==．2AC BC ====， 解得32x =，∴()()3395g x h x ==，即()925g =又()()2211g g =-，∴()715g =．。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
浙江省杭州市2020-2021学年高二下学期期末教学质量检测数学试题 (含答案)
2020学年第二学期杭州市高二年级期末教学质量检测数学试题卷考生须知：1. 本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟.2. 请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！3. 考试结束，只需上交答题卷.一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}1,3,5A =，{}2,3,6B =，则A B =（ ）A. {}3B. {}1,2,5,6C. {}1,2,3,6D. {}1,2,3,5,62. 设函数31(1)()2(1)x x x f x x -≤⎧=⎨>⎩，则()2f =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. sin 240︒=（ ）A. -B. -1C. 1-D. 32-4. 已知x R ∈，则“2021x >”是“2020x >”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 若实数x ，y 满足22y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则23z x y =+的取值范围是（ ）A. []10,2-B. []10,5-C. []2,5D. []10,4-6. 为了得到函数sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，可将函数sin 3y x =的图象（ ） A. 向左平移3π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移9π个单位 D. 向右平移9π个单位 7. 在ABC △中，2DC AD =，2BP PD =，若AP AB AC λμ=+，则λμ+等于（ ） A.79B.59C.13D.198. 对于空间中的两条直线m ，n 和一个平面α，下列命题中真命题是（ ） A. 若//m α，//n α，则//m n B. 若//m α，n α⊂，则//m n C. 若//m α，n α⊥，则//m nD. 若m α⊥，n α⊥，则//m n9. 函数sin ()12xx xf x =+的图象可能是（ ） A. B.C. D.10. 在凸四边形ABCD 中，若1AB =，2BC =，3CD =，4DA =，120ABC ∠=︒，则cos BCD ∠=（ ）A.14B. 14-C. 14-D.1411. 已知圆M ：()()22114x y -+-=.设P 是直线l ：3480x y ++=上的动点，PA 是圆M 的切线，A 为切点，则PA PM ⋅的最小值为（ ）A.B.C. 3D. 512. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.13 B.16 C. 12D.1413. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，点P ，Q 为第一象限内椭圆上的两个点，且60OFP PFQ ∠=∠=︒，2FP FQ =，则椭圆C 的离心率为（ ）A.12B.13C.23D. 214. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1n n a a n ++=，则（ ） A. 22S =B. 24144S =C. 31243S =D. 60660S =15. 设函数()f x 为单调函数，且()0,x ∈+∞时，均有2()1f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()1f =（ ） A. -3 B. -2 C. -1D. 0二、填空题：本大题共4小题，每空4分，共16分. 16. 计算：552log 10log 0.25+=__________.17. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点()5,0F 到渐近线的距离为4，则实轴长为___________.18. 在锐角ABC △中，6B π=，2AB AC -=，则AB AC ⋅的取值范围为__________.19. 在四面体ABCD 中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AB CD ⊥，2BC =，若四面体ABCD 则四面体ABCD 的体积的最大值为___________.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 20. 已知函数2()sin cos cos f x x x x =+.（Ⅰ）若02πα<<，且sin α=，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间.21. 已知{}n a 为等差数列，{}n b 是各项为正数且首项为2的等比数列，2312b b +=，3412b a a =-，64a b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求()1122311n n n b b b b b b ++-+⋅⋅⋅+-.22. 如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAC ⊥平面ABC ，4SC BC =，3SCA ACB π∠=∠=.（Ⅰ）证明：2SBC π∠=；（Ⅱ）求直线AC 与平面SBC 所成角的正弦值.23. 如图，过抛物线C ：24y x =的焦点F 作直线l 与C 交于A ，B 两点，与直线1x =-交于点P （AF BF >）.过点P 作C 的两条切线，切点分别为M ，N .（Ⅰ）证明：AB MN ⊥；（Ⅱ）求四边形BNAM 面积的最小值.24. 设函数2()4u x x =-，[]2,2x ∈-，()()()02,1v x x a a λλ=+<≤≤.（Ⅰ）讨论函数()()()v x f x u x =在()2,2-上的奇偶性； （Ⅱ）设()()()1v x g x u x λλ=-+，若()g x 的最大值为52，求a λ+的取值范围.2020学年第二学期杭州市高二年级期末教学质量检测数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共4小题，每空4分，共16分.16. 2 17. 6 18. 40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭19.83三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.20.（1）因为02πα<<，sin α=cos α=.所以()1f α=+=⎝⎭. （Ⅱ）因为211cos 2()sin cos cos sin 222xf x x x x x +=+=+1111sin 2cos 2222242x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 由222242k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得388k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈. 所以()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 21.（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由已知2312b b +=，得()2112b q q +=，而12b =，所以260q q +-=. 又因为0q >，所以2q =，所以，2n n b =. 由3412b a a =-，可得138d a -=①. 由64a b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2n n b =. （Ⅱ）112231(1)n n n bb b b b b ++-++-357121222(1)2n n ++=-+++-()81(4)5n =--. 22. 解法一：（Ⅰ）证明：在平面SAC 上过S 作SH AC ⊥于点H ，连接BH ， 因为平面SAC ⊥平面ABC ，所以SH ⊥平面ABC ，所以SH BC ⊥， 因为60SCA ∠=︒，所以122CH SC BC ==，又因为60ACB ∠=︒， 所以90HBC ∠=︒，即BH BC ⊥，所以BC ⊥平面SBH ， 所以BC SB ⊥，所以2SBC π∠=.（Ⅱ）直线AC 与平面SBC 所成角也就是HC 与平面SBC 所成角. 由（Ⅰ）知BC ⊥平面SBH ，所以平面SBC ⊥平面SBH ， 过H 作HO SB ⊥于O ，则HO ⊥平面SBC ，在直角三角形SHB 中，得HO BC BC ==，所以直线AC 与平面SBC 所成角的正弦为5.解法二：（Ⅰ）如图建立空间直角坐标系C xyz -，设1BC =，则()0,0,0C ，(2,0,S ，12B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，31,022BS CB ⎛⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎝⎭，∴BS CB ⊥，∴2CBS π∠=.（Ⅱ）设(),0,0CA a =，设平面SBC 的法向量(),,n x y z =，由00n CB n BS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1(,,)023(,,),02x y z x y z ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⋅=⎧⎪⎪⎨ ⎝⎪⎪⎩，所以平面SBC 的一个法向量为()3,1,1n =-，设所求线面角为θ，则sin 5CA n a CA nθ⋅-===.23.（1）设()1,P t -，()11,M x y ，()22,N x y ，过M 点切线斜率为k ， 则M 点切线方程为()11y y k x x -=-，联立()1124y y k x x y x⎧-=-=⎪⎨⎪⎩得21104k y y y kx -+-=，由0∆=得12k y =， 所以M 的切线方程11220x y y x -+=，同理N 的切线方程22220x y y x -+=，代入P 点得1122220220y t x y t x --+=⎧⎨--+=⎩，所以直线MN 的方程为220yt x --+=，即22y x t t =-，因为2AB FP tk k ==-，所以AB MN ⊥. （Ⅱ）设直线l ：1x my =+，代入24y x =得2440y my --=， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y =-，所以()21241y A B m =-==+，同理2141m MN ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以四边形BNAM 的面积为 ()222211181182322S AB MN m m m m ⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当1m =±时取到最小值.24.（Ⅰ）当0a =时，函数()f x 为奇函数. 当0a ≠时，函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数.（Ⅱ）设2()11()()11424v x h x u x x a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫=-+=-+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.①当104λ<≤时，122λ-≤-，所以()h x 在[]2,2-递减， (2)30h a -=->，(2)1h a =--，(2)(2)220h h a -+=-≥，所以()()22h h -≥，()(){}()max 5()max 2,2232g x h h h a =-=-=-=，解得12a =. 所以113,224a λλ⎡⎤+=+∈⎢⎥⎣⎦. ②当124λ<≤时，11224λ-<-≤-，所以()h x 在12,2λ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦递增，在1,22λ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递减，又(2)30h a -=->，(2)1h a =--，114124h a λλλ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭， (2)(2)220h h a -+=-≥，()()22h h ->，所以()()22h h -≥，又1(2)02h h λ⎛⎫->-> ⎪⎝⎭， 所以()122h h λ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭， ()()max 1115()max 2,,2412242g x h h h h a λλλλ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=+-+=⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，又1a ≤，所以1311414282λλλ+-≤⇒≤≤，同时124λ<≤，所以1142λ<≤， 由13542a λλλ+=+-在11,42λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦递增，所以33,42a λ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦. 综上，当104λ≤≤时，13,24a λ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；当124λ<≤时，33,42a λ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦.。
浙江省杭州市高级中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题
浙江省杭州市高级中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线:20l ax y +-=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．-2 D ．22．边长为 ）A．4 B ．1 C．D ．83．已知方程22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(,1)-∞D ．(3,)+∞4．若实数x ，y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则x y -的最大值等于（ ）A ．2B ．1C ．-2D ．-4 5．与直线x+y+3=0平行，且它们之间的距离为的直线方程为（ ）A ．x ﹣y+8=0或x ﹣y ﹣1=0B ．x+y+8=0或x+y ﹣1=0C ．x+y ﹣3=0或x+y+3=0D ．x+y ﹣3=0或x+y+9=06．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>一条渐近线与直线2420x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD．7．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 成60°的角；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD .其中正确的是( )A ．①②B ．③④C ．②③D ．①③8．过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B ，若，则l 的斜率是（ ）A B ． C ．D ．9．如图，已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成的角为β，直线DA 与BC 所成的角为，则（ ）A ．αβ≥B ．αβ≤C ．αγ≥D ．αγ≤10．已知,,A B C 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的三个点，直线AB 经过原点O ，直线AC 经过椭圆右焦点F ，若BF AC ⊥，且4BF CF =，则椭圆的离心率是（ ）A ．2BC D二、填空题11．边长为2的等边三角形绕其一边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体的体积是________，该几何体的表面积是________．12．设P 、A 、B 、C 是一个球面上的四个点，P A 、PB 、PC 两两垂直，且1,2PA PB PC ===，则该球的体积为_____.13．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，,,M E F 分别为,,PQ AB BC 的中点，则直线ME 与平面ABCD 所成角的正切值为________；异面直线EM 与AF 所成角的余弦值是________．14．定长是3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，M 是线段AB 的中点，则M 到y 轴距离的最小值是________.15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 中点，F 在1CC 上，且12CF FC =，点P 是侧面11AA D D （包括边界）上一动点，且1//PB 平面DEF ，则tan ABP ∠的取值范围是________.三、双空题16．已知点(),m n 在曲线y =上，则23n m --的取值范围是________，2m n +的最小值为________. 17．若12F F ，是双曲线()22y C :x 1y 024-=≠的左，右焦点，点P 是双曲线C 上一点，若1|PF |6=，则2|PF |=_____，12ΔPFF 的面积12ΔPF F S =______.四、解答题18．已知直线:230m x y --=与直线:30n x y +-=的交点为P ．（1）直线l 过点P ，且点(1,3)A 和点(3,2)B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程； （2）直线1l 过点P 且与,x y 正半轴交于A B 、两点，ABO ∆的面积为4，求直线1l 的方程．19．如图，在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面APC ，AB =2AP PC CB ===.（1）求证：AP ⊥平面PBC ；（2）求二面角P AB C 的大小.20．已知圆M 的半径为3，圆心在x 轴正半轴上，直线3490x y -+=与圆M 相切.（1）求圆M 的标准方程；（2）过点(0,3)N -的直线L 与圆M 交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，而且满足221212212x x x x +=，求直线L 的方程. 21．已知等腰梯形ABCD 中（如图1），4AB =，2BC CD DA ===，F 为线段CD 的中点，E 、M 为线段AB 上的点，1AE EM ==，现将四边形AEFD 沿EF 折起（如图2）（1）求证：//AM 平面BCD ；（2）在图2中，若BD =，求直线CD 与平面BCFE 所成角的正弦值.22．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，AB 是斜率为(0)k k ≠的弦，AB的中点为E ，AB 的垂直平分线交椭圆于C ，D 两点，CD 的中点为N .当1k =时，直线OE 的斜率为14-（O 为坐标原点）.（1）求椭圆的标准方程；（2）设原点O 到直线AB 的距离为d ，求EN d的取值范围； （3）若直线OA ，直线OB 的斜率满足2(0)OA OB k k k k =⋅>，判断并证明22175AB EN ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是否为定值.参考答案1．A【解析】 试题分析：由题意得，直线的截距式方程为122x y a+=，所以221a a =⇒=，故选A ． 考点：直线的截距式方程的应用．2．C【解析】正方形的边长为故面积为8，而原图和直观图面积之间的关系4S S =直观图原图， 故直观图的面积为= 故选C ．3．B【解析】 方程()()()()221313m x m y m m -+-=--，化为22131x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，可得130m m ->->，解得23m <<，实数m 的取值范围为(2,3），故选B. 4．A【解析】【分析】作出可行域，平移目标函数，找到取最大值的点，然后可求最大值.【详解】根据题意作出可行域如图：平移直线:0l x y -=可得在点A 处取到最大值，联立22020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩可得(2,0)A ,代入x y -可得最大值为2，故选A.【点睛】本题主要考查线性规划，作出可行域，平移目标函数，求出最值点是主要步骤，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.5．D【解析】试题分析：设所求直线方程为x+y+m=0，运用两平行直线的距离公式，解关于m 的方程，即可得到所求方程．解：设所求直线方程为x+y+m=0，则由两平行直线的距离公式可得d==3，解得m=9或﹣3．则所求直线方程为x+y ﹣3=0或x+y+9=0，故选D ．考点：两条平行直线间的距离．6．A【解析】【分析】先求得渐近线的方程，利用两条直线垂直斜率相乘等于1-列方程，结合222c a b =+求得双曲线离心率.【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为b y x a =±，则112b a -⨯=-，即2b a=，又，所以e ==故选A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线以及离心率的求法，考查两条有斜率的直线相互垂直时，斜率相乘等于1-，属于基础题.7．D【详解】将展开图还原为正方体，由于EF ∥ND ，而ND ⊥AB ，∴EF ⊥AB ；显然AB 与CM 平行；EF 与MN是异面直线，MN 与CD 也是异面直线，故①③正确，②④错误.8．C【解析】试题分析：由题意得，抛物线2:4C y x =准线方程为:1l x =-，如图所示，当直线AB 的倾斜角为锐角时，分别作点,A B 作,AM l AN l ⊥⊥，垂足为,M N ，过点B 作BC AM ⊥交于点C ，则,AM AF BN BF ==，因为334AF BF AB ==，所以12AM BN AC AF BF AB -==-=，在Rt ABC ∆中，由12AC AB =，可得60BAC ∠=，因为//AM x 轴，所以60BAC AFx ∠=∠=，此时AB k =当直线AB的倾斜角为钝角时，可得AB k =C ．考点：直线与抛物线的综合应用．9．A【分析】不妨设三棱锥D ABC -是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ,DC 中点M ,AC 中点N ，连结,,,DE CE MN EN ，过D 作DO CE ⊥，交CE 于O ，连结AO ，则DEC DAO MNE αβγ∠=∠=∠=，，，计算求得其余弦值或者直接求得角的度数，由此能求出结果．【详解】不妨设三棱锥D ABC -是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点N ，连结DE CE MN EN 、、、，过D 作DO CE ⊥，交CE 于O ，连结AO ，则,,,DEC DAO MNE αβγ∠=∠=∠=2DE CE DC ===，∴13cos α== ，23AO CO CE ===，∴32AO cos AD β===， 取BC 中点F ，连结DF AF 、，则DF BC AF BC ⊥⊥，，又DF AF F ⋂=，BC ∴⊥平面AFD ，90BC AD γ∴⊥∴=︒，． γαβ∴≥≥．一般的，DO DOsin sin DEO sin DAO sin DE DAαβ=∠=≥=∠=， 当α为锐角时，由正弦函数的单调性可得αβ≥，当α为钝角或直角时，由于异面直线所成的角是锐角或直角，此时显然有αβ≥. 由直线DA 与平面ABC 所成的角是与平面内所有直线所成的角中的最小角，可得βγ≤， 由于γ的范围是在β和90︒之间变化，因此α和γ的大小关系不确定. 故A 正确，B,C,D 错误. 故选：A ． 【点睛】本题考查二面角、线面角、异面直线所成角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 10．B 【解析】设椭圆的另一个焦点为E ，令|CF|=m ，|BF|=|AE|=4m ， |AF|=2a-4m ，在直角三角形EAC 中，4m 2+（2a-4m +m ）2=（2a-m ）2， 化简可得a=3m ，在直角三角形EAF 中，4m 2+（2a-4m ）2=（2c ）2，即为5a 2=9c 2，可得e=3故选B ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11．2π， 【解析】 【详解】试题分析：如图所示，绕AB 所在的直线旋转一周，得到两个相同的圆锥，因为等边三角形的边长为2，所以圆锥的高为1h =，底面半径为r =2l =．所以该几何体的表面积为222S rl ππ=⨯=⨯=；该几何体的体积为2211221233V r h πππ=⨯=⨯⨯⨯=．考点：旋转体的定义及表面积与体积的计算．12 【分析】将三棱锥补成长方体，从而得到外接球的球心为长方体的中心，再利用长方体的体对角线的平方等于三条棱的平方和，即可求得球的半径，从而得到球的体积. 【详解】P 、A 、B 、C 是一个球面上的四个点，P A 、PB 、PC 两两垂直，将三棱锥P ABC -补成长方体，则三棱锥的外接球的球心与长方体的球心为同一个， 都是长方体体对角线的中点，设球的半径为R ，∴222223(2)62R PA PB PC R =++=⇒=，∴3443332V R ππ=⋅⋅=⋅⋅=.. 【点睛】本题考查三棱锥与球的切接问题、球的体积计算，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意补形法的应用. 13【详解】试题分析：由,,AB AD AQ 两两垂直，分别以,,AB AD AQ 所在的直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB =，则(0,0,0),(1,0,0),(2,1,0),(0,1,2)A E F M ，所以(1,1,2),(2,1,0)EM AF =-=，其中平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =，所以ME 与平面ABCD 所成角的正弦值为6sin 3EM nEM nα⋅==⋅，所以tan α=EM与AF 所成角的余弦值为cos EM AF EM AFβ⋅=⋅30=-，又(0,]2πβ∈，所以异面直线EM 与AF 所成角的余弦值是30．考点：空间向量的运算及空间角的求解． 14．54【分析】由抛物线定义可求得1212AF BF x x +=++，根据AF BF AB +≥可求得12x x +的最小值，由所求距离为122x x +可确定所求距离的最小值. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y由抛物线方程知焦点1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为：14x =-由抛物线定义知：114AF x =+，214BF x =+ 3AF BF AB +≥=（当且仅当,,A F B 三点共线时取等号） 即12132x x ++≥，解得：1252x x +≥ AB 中点M 到y 轴距离为12524x x d +=≥，故所求最小值为54 故答案为：54【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用中的距离最值问题的求解，关键是能够熟练应用抛物线的定义得到,AF BF 的长，根据三角形两边之和大于第三边可确定三点共线时取最小值.15．13⎡⎢⎣⎦【分析】先作出平面1//MNQB 平面DEF ，结合题意，得到点P 的轨迹是线段QN ，分别求出点P 与点Q ，点N 重合时，tan ABP ∠的值，即可得出结果. 【详解】作出平面1//MNQB 平面DEF ，则12AQ AQ =，12DN D N =， 因为1//PB 平面DEF ，所以点P 的轨迹是线段QN ，因此，当点P 运动到点Q 处时，tan ABP ∠取得最小值，此时1tan 3AQ ABP AB ∠==； 当点P 运动到点N 处时，tan ABP ∠取得最大值，此时tan 3ANABP AB∠===； 所以tan ABP ∠的取值范围是1,33⎡⎢⎣⎦.故答案为：133⎡⎢⎣⎦.【点睛】本题主要考查由线面平行求角的问题，熟记线面平行的性质即可，属于常考题型. 16．[]0,2； 2-. 【分析】根据题意，得到曲线表示圆224x y +=的一半，画出图形，根据23n m --表示点(3,2)与点(),m n 连线的斜率，结合图形即可得出结果；记(,)x y是曲线y =2t x y =+，根据图像求出最小值，即可得出2m n +的最小值.【详解】因为曲线y =224(0)x y y +=≥，表示圆224x y +=的一半，画出图形如下：式子23n m --表示点(3,2)与点(),m n 连线的斜率， 根据图像可得：半圆上的点(0,2)与点(3,2)连线的斜率最小为0， 半圆上的点(2,0)与点(3,2)连线的斜率最大为2； 所以23n m --的取值范围是[]0,2；记(,)x y 是曲线y =2t x y =+，则122t y x =-+， 所以2t x y =+表示直线122ty x =-+在y 轴截距的2倍， 由图像可得：当直线122ty x =-+经过点(2,0)-时，该直线在y 轴截距最小，此时min 2t =-；又点(),m n 在曲线y =上，所以2m n +的最小值等于min 2t =-.故答案为：[]0,2；2-. 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需结合图像，以及所求式子的几何意义即可求解，属于常考题型. 17．8 24 【解析】根据双曲线的概念得到若1|PF |6=，则122||PF |PF 2a 2|PF 48-==⇒=或，因为y 0≠，而当P 点落在ｙ轴上时才会有2|PF |4=，故舍掉．最终2|PF |8=．因为三角形12PF F 是直角三角形，故12ΔPF F S =16824.2⨯⨯= 故答案为(1). 8 (2). 24.18．（1）240x y +-=或2x =；（2）122y x =-+． 【详解】试题分析：首先解方程组得到交点P 的坐标，由点(1,3)A 和点(3,2)B 到直线l 的距离相等可知直线AB 与直线l 平行或l 过AB 中点，由此可求得直线l 方程；（2）设出直线的截距式方程，由点的坐标和三角形面积可求得关于截距的方程组，解方程组求得截距值，从而得到直线方程试题解析：（1）直线:230m x y --=与直线:30n x y +-=联立方程可得交点()2,1P ；点(1,3)A 和点(3,2)B 到直线l 的距离相等，所以321132AB l k k -===--或直线l 过AB 中点52,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线l 方程为240x y +-=或2x = （2）由题可知，直线1l 的横、纵截距a b 、存在，且00a b >>、，则1:1x yl a b+=，又1l 过点(2,1)，ABO ∆的面积为4，∴211{142a bab +==，解得4{2a b ==，故1l 方程为142x y +=，即122y x =-+．考点：直线方程 19．（1）见解析；（2）3π. 【分析】（1）根据题中条件，证明BC AP ⊥，AP PC ⊥，再由线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）在平面APC 内作PQ AC ⊥于Q ，过点Q 作QR AB ⊥于R ，连结PR ，根据线面垂直的判定定理与性质定理，得到AB PR ⊥，推出PRQ ∠即为二面角P AB C ，再由题中数据，即可求解. 【详解】（1）因为BC ⊥平面APC ，所以BC AC ⊥，BC AP ⊥，因为2CB =，AB =AC ==； 又2AP PC ==，所以222AP PC AC +=，即AP PC ⊥； 又BC PC C ⋂=，且PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AP ⊥平面PBC ；（2）因为BC ⊥平面APC ，所以平面ABC ⊥平面APC ，在平面APC 内作PQ AC ⊥于Q ，则PQ ⊥平面ABC ，所以PQ AB ⊥； 过点Q 作QR AB ⊥于R ，连结PR ，因为QR PQ Q ⋂=，且PQ ⊂平面PQR ，RQ ⊂平面PQR ， 所以AB ⊥平面PQR ，因此AB PR ⊥， 则PRQ ∠即为二面角P AB C ，在RT APC 中，AP PC PQ AC ⋅==RT ABC 中，BC AQ QR AB ⋅== 所以tan 3PQPRQ QR∠==， 从而二面角PAB C 的大小为3π.【点睛】本题主要考查证明线面垂直，求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，以及二面角的几何求法即可，属于常考题型.20．(1) （x ﹣2）2+y 2=9 (2) x ﹣y ﹣3=0，17x ﹣7y ﹣21=0，x=0 【解析】 试题分析：（1）可设圆心坐标为(,0)(0)a a >，由直线与圆相切，知圆心M 到切线的距离等于半径，可求得a ，从而得圆的标准方程；（2）注意分类讨论，当直线l 斜率不存在时，代入求出A 、B 两点坐标，检验是否符合题意；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，得直线方程为3y kx =-，代入圆的方程，由韦达定理得1212,x x x x +，代入已知等式221212212x x x x +=可求得k 的值，从而得直线方程． 试题解析：（I ）设圆心为M （a ，0）（a ＞0）， ∵直线3x ﹣4y +9=0与圆M 相切 ∴=3．解得a=2，或a=﹣8（舍去），所以圆的方程为：（x ﹣2）2+y 2=9（II ）当直线L 的斜率不存在时，直线L ：x=0，与圆M 交于A （0，），B （0，﹣）， 此时+=x 1x 2=0，所以x=0符合题意 当直线L 的斜率存在时，设直线L ：y=kx ﹣3， 由消去y ，得（x ﹣2）2+（kx ﹣3）2=9，整理得：（1+k 2）x 2﹣（4+6k ）x +4=0.........................................................（1） 所以由已知得：整理得：7k 2﹣24k +17=0，∴把k 值代入到方程（1）中的判别式△=（4+6k ）2﹣16（1+k 2）=48k +20k 2中，判别式的值都为正数，所以，所以直线L 为：，即x ﹣y ﹣3=0，17x ﹣7y ﹣21=0综上：直线L 为：x ﹣y ﹣3=0，17x ﹣7y ﹣21=0，x=0点睛：在直线与圆相切时，一般都用圆心到切线的距离等于圆的半径来求解，这样可以简化计算．在解决直线与圆（二次曲线）相交问题时，一般设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，把直线方程与圆的方程联立后得一元二次方程，然后利用韦达定理得出1212,x x x x +，再由交点满足的条件得出坐标的关系，代入1212,x x x x +可得参数值．这就是解析几何中的“设而不求”思想．21．（1）见解析；（2【分析】（1）先连接CM ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）在图2中，过点D 作DO EF ⊥，垂足为O ，连接OB ，OC ，证明平面BCFE ⊥平面BOD ，得到点D 在底面BCFE 上的投影必落在直线OB 上，记H 为点D 在底面BCFE 上的投影，连接DH ，HC ，得出DCH ∠即是直线CD 与平面BCFE 所成角，再由题中数据求解，即可得出结果. 【详解】（1）连接CM ，因为等腰梯形ABCD 中（如图1），2AM AE EM CD =+==，//AB CD ， 所以AM 与CD 平行且相等，即四边形AMCD 为平行四边形；所以//AD CM ； 又F 为线段CD 的中点，E 为AM 中点，易得：四边形AEFD 也为平行四边形，所以//AD EF ；将四边形AEFD 沿EF 折起后，平行关系没有变化，仍有：//AD CM ，且AD CM =， 所以翻折后四边形AMCD 也为平行四边形；故//AM CD ； 因为AM ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以//AM 平面BCD ；（2）在图2中，过点D 作DO EF ⊥，垂足为O ，连接OB ，OC ，因为2AD =，1AE =，翻折前梯形ABCD 的高为FM DE ==所以60DAE DFE ∠=∠=，则3sin 60DO DF =⋅=，1cos602OF DF =⋅=；所以32OE EF OF =-=； 又3BE EM MB =+=，60FEM DFE ∠=∠=，所以360BO ==222BO OE BE +=，所以BO OE ⊥； 又DO BO O ⋂=，且DO ⊂平面BOD ，BO ⊂平面BOD ， 所以EO ⊥平面BOD ；因此，平面BCFE ⊥平面BOD ； 所以点D 在底面BCFE 上的投影必落在直线OB 上； 记H 为点D 在底面BCFE 上的投影，连接DH ，HC ， 则DH ⊥平面BCFE ；所以DCH ∠即是直线CD 与平面BCFE 所成角，因为BD =2221cos 23OB OD BD BOD OB OD +-∠==⋅，因此sin DH DO DOB =⋅∠=，1cos 3OH DO DOB =⋅∠=故BH BO OH =-=； 因为120OFC EFC FCB ∠=∠=∠=，所以3601201209030HBC OBC ∠=∠=---=，因此CH =，故CD ==所以sin DH DCH CD ∠==.即直线CD 与平面BCFE 所成角的正弦值为3.【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及求直线与平面所成的角，熟记线面平行的判定定理，以及线面角的求法即可，属于常考题型.22．（1）2214x y +=；（2）16,125⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（3）是定值，证明过程见解析. 【分析】（1）先设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据题意，得到22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差，根据弦中点的坐标，由题意，求出224a b =，再根据焦点坐标，得到c =即可求出结果；（2）先设直线AB 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程联立，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 根据韦达定理，求出224,1414mkm k k E ⎛-++⎫⎪⎝⎭，得到CD 的方程为：22141414m mkyx k k k，与椭圆方程联立，设33(,)C x y ，44(,)D x y ， 求出22222123,144144mkmk Nk k kk ，表示出(()()22241144m k EN kk +=++，根据点到直线距离公式，表示出d ，进而可根据换元法求取值范围；（3）根据（2）的结果，由2(0)OA OB k k k k =⋅>，求出214k =，再由弦长公式，分别求出AB 与EN ，进而可得出结果.【详解】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题意，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差，得22221212220x x y y a b --+=， 整理得：2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，又AB 是斜率为(0)k k ≠的弦，AB 的中点为E ，当1k =时，直线OE 的斜率为14-， 所以212212N N x y y b y k x x a =⋅--=-，即222222141N N OE x b b b a a k ay -⋅=-⋅==，即224a b =①，又椭圆右焦点为F，所以c = 由①②解得：24a =，21b =，因此，椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）设直线AB 的方程为：y kx m =+，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，222(14)8440k x kmx m +++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221228144414mk x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以212228221414mk my y mk k ，故224,1414mk m k k E ⎛-++⎫ ⎪⎝⎭， 因为CD 是AB 的垂直平分线，所以CD 的方程为：22141414m mkyx k kk ，即21314myx k k，由222131414m y x k k x y ⎧=--⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩消去y 得，()()22222242436(1)401414m m x x k k k k +++-=++， 设33(,)C x y ，44(,)D x y ， 则342224144mkx x k k ，所以23422222246614144144m m mk y y k k k k k ，即CD 的中点N 的坐标为22222123,144144mk mk k k k k ，因此()()2222412141144E N EN x mk m x k k k k k =-=+-++++ (()()22241144m k kk +++=又原点O 到直线AB 的距离d =所以()()()222241144k k kEN d+=++，令21(1)t k t =+>，则()()22244416,1994332511254924t t t t t t ENd ⎡⎫==∈⎪⎢-+⎣⎭⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭=；（3）由（2）可得：2222121212122414m k y y kx m kx mk x x km x x mk ，所以2222212221224414444414OA OBm k m k k m m k y y k k x x ⋅===--+--+， 因为直线OA ，直线OB 的斜率满足2(0)OA OB k k k k =⋅>，所以2222444m k m k -=-，整理得：214k =，所以12212422x x mk x x m +=-⎧⎨=-⎩，所以2222212125114168810544ABk x x x x m mm ，(()()()222411441144m E k k k N +==++++ ⎪⎝⎭=， 因此222222105105510171755m m AB m EN ⎛=-+=-⎛⎫++ ⎪ ⎝⎭=⎭⎝. 即22175AB EN ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取定值10.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，椭圆中的范围，以及定值问题，熟记椭圆的标准方程的求法，中点弦问题，椭圆的性质，根据韦达定理，弦长公式等即可求解，难度较大.。
浙江省杭州市七县区2021-2022高二数学上学期期末考试试题.doc
浙江省杭州市七县区2021-2022高二数学上学期期末考试试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面中的两点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足{M|121MF MF-=}的点M的轨迹是A.椭圆B.双曲线C.一条线段D.两条射线2.在空间直角坐标系中，与点A(1，2，3)关于平面xoy对称的点的坐标是A.(1，2，－3)B.(－1，－2，－3)C.(－1，－2，3)D.(1，－2，3)3.直线y＝x＋1被圆x2＋y2＝2截得的弦长为A.2B.22C.6D.264.某四棱锥的三视图如图1所示，则该几何体的体积为A.643B.323C.163D.835.已知直线l和平面α内的两条直线m，n，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知P，Q分别为直线l1：3x＋4y－4＝0与l2：3x＋4y＋1＝0上的两个动点，则线段PQ的长度的最小值为A.35B.1C.65D.27.如图2，在正四面体OABC中，D是OA的中点，则BD与OC所成角的余弦值是A.12B.36C.22D.3368.棱长都相等的正三棱柱ABC－A'B'C'中，P是侧棱AA'上的点(不含端点)。
记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与底面ABC所成的角为β，二面角P－B'B－C的平面角为γ，则A.γ<β<αB.γ<α<βC.β<γ<αD.α<β<γ9.在平面直角坐标系中，Q是圆O：x2＋y2＝9上的动点，满足条件|MO|＝2|MQ|的动点M构成集合D，则集合D中任意两点间的距离d的最大值为A.4B.4210.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆4x2＋y2＝1上两个不同点，且满足4x1x2＋y1y2＝12，则|2x1＋y1－1|＋|2x2＋y2－1|的最大值为6－6＋6二、填空题(单空题每题4分，双空题每题6分，共28分)11.双曲线22197x y+=的离心率为，渐近线方程为。
2021-2022学年浙江省杭州市七县市、八县区高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年浙江省杭州市七县市、八县区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集，集合，，则( )A.B.C.D.2.若复数z 满足其中i 为虚数单位，则z 的虚部是( )A. 2iB.C. 2D.3.已知与抛物线的准线相切，则( )A.B. 16C.D. 84.下列命题中，不正确的是( ) A. 若事件A ，B 互斥，则B. 若事件A ，B 为相互独立事件，则C. 若事件A ，B ，C 两两互斥，则D. 若事件A ，B ，C 两两独立，则5.如图所示，是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，其中，圆锥的底面和球的直径都是，圆锥的高是要对1000个这样的台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，则共需胶克．( )A.B.C.D.6.已知函数，其图象关于点成中心对称，相邻两条对称轴的距离为，且对任意，都有，则在下列区间中，为单调递减函数的是( )A. B.C.D.7.已知函数的零点分别为a ，b ，c ，下列各式正确的是( )A.B.C.D.8.a为实数，函数在区间上的最大值记为当取得最小值时，( )A. B. C. D. 1二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.若椭圆的焦点为，，长轴长为2a，则椭圆上的点满足( )A.B.C.D.10.设，为两个平面，则的必要不充分条件是( )A. 内有无数条直线与平行B. 内有两条相交直线与平行C. ，垂直于同一条直线D. ，垂直于同一平面11.已知点A、B、P在上，则下列命题中正确的是( )A. ，则的值是B. ，则的值是C. ，则的范围是D. ，且，则的范围是12.定义全集U的子集M的特征函数已知，，则以下结论中正确的是( )A. 若，则对于任意，都有B. 对于任意，都有C. 对于任意，都有D. 对于任意，都有三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.__________.14.已知，则__________.15.某地现有耕地10000公顷．规划10年后粮食单产比现在增加，人均粮食占有量比现在至少提高如果人口年增长率为3‰即千分之三，那么耕地平均每年至多只能减少__________公顷精确到小数点后一位，备注：粮食单产，人均粮食占有量16.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线上，则的最大值是__________；若为正三角形，则其边长为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
2020-2021学年浙江省杭州市综合中学高二数学理期末试卷含解析
2020-2021学年浙江省杭州市综合中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数在(0，+)内有定义，对于给定的正数K，定义函数，取函数，恒有，则A．K的最大值为 B．K的最小值为 C．K的最大值为2 D．K的最小值为2参考答案：B略2. 圆x 2 + ( y – 1 )2 = 1上任意一点P ( x，y )都满足x + y + c≥ 0，则c的取值范围是（）（A）( –∞，0 ] （B）[，+ ∞ ) （C）[– 1，+ ∞ ) （D）[ 1 –，+ ∞ ) 参考答案：C3. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A、B，过A、B分别作抛物线的两条切线，若直线交于点M，则点M所在的直线为（）A． B. C．D.参考答案：C略4. 在△ABC中，a=1，b=，A=30°，则角C=（）A．60°B．30°或90°C．30°D．60°或120°参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可得sinB=，结合B的范围可求B的值，进而利用三角形内角和定理可求C的值．【解答】解：∵a=1，b=，A=30°，∴由正弦定理可得：sinB===，∵b＞a，可得：B∈（30°，180°），∴可得：B=60°，或120°，∴C=180°﹣A﹣B=90°或30°．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．5. 设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是A． B．C． D.参考答案：B6. 已知，且的最大值是最小值的3倍，则的值是（）A． B． C．D．参考答案：B略7. 已知集合A={1，﹣1}，B={1，0，﹣1}，则集合C={a+b|a∈A，b∈B}中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：D【考点】15：集合的表示法．【分析】当a=1时，b=1、0、﹣1，则a+b=2、1、0；当a=﹣1时，b=1、0、﹣1，则a+b=0、﹣1、﹣2；从而列举出集合C中的元素即可．【解答】解：当a=1时，b=1、0、﹣1，则a+b=2、1、0；当a=﹣1时，b=1、0、﹣1，则a+b=0、﹣1、﹣2；集合C={a+b|a∈A，b∈B}={﹣2，﹣1，0，1，2}故选：D．【点评】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．8. 抛物线的焦点坐标是（）A．B．C．D．参考答案：D略9. 已知函数f（x）=﹣x2+2lnx的极大值是函数g（x）=x+的极小值的﹣倍，并且，不等式≤1恒成立，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】利用导数得出函数f（x）的极大值，再求出g（x）的极小值，得到关于a的方程即可得出a的值，通过对k﹣1分正负讨论，把要证明的不等式变形等价转化，再利用导数研究其极值与最值即可．【解答】解：f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故f（x）极大值=f（1）=﹣1；g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，故g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故g（x）极小值=g（）=2，由函数f（x）的极大值是函数g（x）的极小值的﹣倍，得：2?（﹣）=﹣1，解得：a=﹣1；令h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣x2+2lnx﹣x﹣，x∈[，3]．则h′（x）=﹣2x+﹣1+=﹣，令h′（x）=0，解得x=1．当x∈[，1）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（1，3]时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．∴当x=1时，函数h（x）取得极大值h（1）=﹣3．h（3）=﹣+2ln3，h（）=﹣e﹣2﹣，可知：h（3）＜h（）．①当k﹣1＞0时，对于?x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k﹣1≥[f（x1）﹣g（x2）]max，∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣3，∴k≥﹣3+1=﹣2，又k＞1，∴k＞1．②当k﹣1＜0时，对于?x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k﹣1≤[f（x1）﹣g（x2）]min，∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣+2ln3，∴k≤﹣+2ln3，又∵k≤1，∴k≤﹣+2ln3．综上可知：实数k的取值范围是（﹣∞，﹣+2ln3]∪（1，+∞）．故选：B．10. 已知命题p1是命题“已知A，B为一个三角形的两内角,若，则A=B”的否命题命题p2：公比大于1的等比数列是递增数列。