人教版高中数学高二-数学天天练 第8课时 解三角形应用举例(三角函数)

解三角形应用举例（三角函数）
1．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么
cos α等于( )
A.35
B.45
C.34
D.43
解析：选B.因tan α＝34，所以cos α＝45.
2．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cos A >sin B ，则△ABC 的形状是( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
解析：选C.cos A ＝sin(π2－A )>sin B ，π2－A ，
B 都是锐角，则π2－A >B ，A ＋B <π2，
C >π2.
3．如图，若Rt △ABC 的斜边AB ＝2，内切圆
的半径为r ，则r 的最大值为( ) A. 2 B ．1 C.22 D.2－1
解析：选D. r ＝a ＋b －c 2＝a ＋b 2－1，
4＝a 2＋b 2♏(a ＋b )22，
(a ＋b )2♎8. a ＋b ♎22， r ♎2－1.故选D.
4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )
A ．5海里
B ．53海里
C ．10海里
D ．103海里
解析：选 C.如图，依题意有∠
BAC=60°，∠BAD=75°，所以∠
CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10，在直角三角形ABC 中，得AB=5，
于是这艘船的速度是50.5=10(海里/小时)．
5．如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B 处救援，则sin θ的值等于( ) A.217 B.22
C.32
D.5714
解析：选D.根据题目条件可作图如
图：在 ABC 中，AB ＝20，AC ＝10， CAB
＝120°，由余弦定理有
BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos CAB
＝202＋102－2 20 10cos120°
＝700，
BC ＝107，再由正弦定理得AB sin ACB ＝BC sin CAB ， sin ACB ＝AB sin CAB BC ＝20 sin120°107
＝217， cos ACB ＝277.
所以sin θ＝sin(30°＋ ACB )
＝sin30°cos ACB ＋cos30°sin ACB
＝12 277＋32 217＝5714.
6.一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°、距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为( )
A.1762海里/时 B ．346海里/时
C.1722海里/时 D ．342海里/时
解析：选A.如图，由题意知 MPN ＝
75°＋45°＝120°， PNM ＝45°.
在 PMN 中，由正弦定理，得
MN sin120°
＝PM sin45°， MN ＝68 3
22
2
＝34 6. 又由M 到N 所用时间为 14－10＝4(小时)，
船的航行速度v ＝3464＝1726(海里/时)．
7．如图，AA 1与BB 1相交于点O ，AB A 1B 1且
AB ＝12A 1B 1.若 AOB 的外接圆的直径为1，则
A 1O
B 1的外接圆的直径为________．
解析：在 AOB 中，由正弦定理得AB sin AOB ＝1，
sin AOB ＝AB ，在 A 1OB 1中，由正弦定理得2R ＝A 1B 1sin A 1OB 1
＝A 1B 1AB ＝2.
答案：2
8．如图，在四边形ABCD 中，已知
AD CD ，AD ＝10，AB ＝14， BDA ＝60°，
BCD ＝135°，则BC 的长为________．
解析：在 ABD 中，设BD ＝x ，则BA 2
＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos BDA ，即142
＝x 2＋102－2·10x ·cos60°，整理得x 2－10x
－96＝0，解之得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)．
在 BCD 中，由正弦定理：BC sin CDB ＝BD sin BCD ，
BC ＝16sin135°·sin30°＝8 2.
答案：8 2
9．一船以每小时15 km 的速度向
东航行，船在A 处看到一灯塔M 在北
偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B
处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，
这时船与灯塔的距离为________km.
解析：如图，依题意有
AB ＝15 4＝60，
MAB ＝30°， AMB ＝45°，
在 AMB 中，
由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°，
解得BM ＝302(km)．
答案：30 2
10．(2009年高考山东卷)已知函数f (x )＝2sin x cos 2φ2＋cos x sin φ－
sin x (0<φ<π)在x ＝π处取最小值．
(1)求φ的值；
(2)在 ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ＝1，
b ＝2，f (A )＝32，求角C .
解：(1)f (x )＝2sin x 1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x
＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x
＝sin x cos φ＋cos x sin φ
＝sin(x ＋φ)．
因为f (x )在x ＝π时取最小值，
所以sin(π＋φ)＝－1，故sin φ＝1.
又0<φ<π，所以φ＝π2.
(2)由(1)知f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x .
因为f (A )＝cos A ＝32，
且A 为 ABC 的内角，所以A ＝π6.
由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝22，
又b >a ，所以B ＝π4或B ＝3π4.
当B ＝π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝7π12，
当B ＝3π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－3π4＝
π
12.
综上所述，C ＝7π12或C ＝π12.
11．某观测站在城A 南偏西20°方向的C
处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距
C 31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达
D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?
解：如图所示，设∠ACD=α，∠CDB=β.在△CBD 中．由余弦定理得
cos β＝BD 2＋CD 2－CB 2
2BD ·CD
＝202＋212－3122 20 21＝－17，
sin β＝437.
而sin α＝sin(β－60°) ＝sin βcos60°－sin60°cos β
＝437·12＋32·17＝5314.
在 ACD 中，21sin60°＝AD sin α，
AD ＝21 sin αsin60°＝15(千米)．
所以这人再走15千米才可到城A .
12．如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东
45°的方向作匀速直线航行，速度为152海里
/小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A
岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东θ(tan θ
＝12)的方向作匀速直线航行，速度为105海里
/小时．
(1)求出发后3小时两船相距多少海里？
(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？
(3)两船在航行中能否相遇，试说明理由．
解：以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建
立如图所示的平面直角坐标系．
设在t 时刻甲、乙两船分别在P (x 1，y 1)、
Q (x 2，y 2)处．
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝152t cos45°＝15t y 1＝x 1＝15t
由tan θ＝12可得，
cos θ＝255，sin θ＝55，
故⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝105t sin θ＝10t y 2＝105t cos θ－40＝20t －40. (1)令t ＝3，P 、Q 两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)，
|PQ |＝(45－30)2＋(45－20)2＝850＝534.
即出发后3小时两船相距534海里． (2)由(1)的解法过程易知：
|PQ |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2
＝(10t －15t )2＋(20t －40－15t )2
＝50t 2－400t ＋1600＝50(t －4)2＋800♏202，
当且仅当t ＝4时，|PQ |取得最小值20 2.
即两船出发4小时后距离最近，最近距离为202海里．
(3)由(2)可知，两船之间的最近距离为202海里，所以两船在航行中不会相遇．。