磁场的圆周运动

入射角300时
t 1 2m m
6 qB 3qB
入射角1500时
t 5 2m 5m
6 qB 3qB
例:如图所示，在第一象限有磁感应强度为B的 匀强磁场，一个质量为m，带电量为+q的粒子 以速度v从O点射入磁场，θ角已知，求粒子在磁 场中飞行的时间和飞离磁场的位置（粒子重力 不计）（2）如仅改变速度大小为2v，时间？
判断下图中带电粒子（电量q，重力不计）所受洛伦兹力的大小和
方向：
× × ×B× ×
F=0
-
v
B
×××××
F × × × × ×
× × +× × v×
匀速直线运动
×××××
匀速圆周运动
粒子运动方向与磁场有一夹角（大于0度小于90度）轨迹为螺线
一、带电粒子运动轨迹的半径 思路:带电粒子初速度方向与磁场方向垂直射 入匀强磁场时,粒子仅在洛伦兹力的作用下将 做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。
磁场边缘A点沿半径方向射人一束速率不同的质子，
对这些质子在磁场中的运动情况的分析中，正确的是：
A.运动时间越长的，在磁场中通过的距离越长
B.运动时间越短的，其速率越大
BC
C.磁场中偏转角越小的，运动时间越短
D.所有质子在磁场中的运动时间都相等
v0
A
•
B
结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和圆 心角都越小，运动时间越短。
• (2)定半径．
• 由几何知识知，
• 弧AB的圆心角θ＝30°，OB为半径．
例3： 1.圆心在哪里?
d
A
v
2.轨迹半径是多少?
f
3、圆心角θ =?
4.穿透磁场的时间如何求？
B
30°
fv
qvB=mv2/r r=mv/qB
θ =30°r
r=d/sin 30o =2d
O
m=qBr/v=2qdB/v
t/T= 30o /360o t=（ 30o /360o）T= T/12
结论：从同一边界以相同的方向进入磁场，从同一边界 出磁场，磁场中运动的时间与速度偏转角有关；与速度 大小无关
有界磁场临界问题：
1、如图所示，一束电子（电量为e)以速度V垂 直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场， 要求电子从左边界出来时速度满足的条件
ev
B d
临界问题
例：长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所 示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m， 电量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直 磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用 的办法是： （ ） A．使粒子的速度v<BqL/4m B．使粒子的速度v>5BqL/4m C．使粒子的速度v>BqL/m D．使粒子速度BqL/4m<v<5BqL/4m
结论4：磁场圆的半径与轨迹圆的半径相同时,
“磁会聚”与“磁扩散”
例题讲解
如图所示，M、N两板相距为d，板长为5d，两板不带电，板间有垂直纸面的匀强磁场， 一大群电子沿平行于板的方向从各处位置以速率v0射入板间，为了使电子都不从板间穿 出，磁感应强度B的大小范围如何？（设电子质量为m，电量为e，且N板接地）
2r> d r> d/2
mv0/qB > d/2
B < 2mv0q/d r < r1
(2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射
时v0与ab的夹角θ及粒子的最大偏转角．（最大的
运动时间）
(1)R＝5×10－2 m.
(2)37o 74o
带电粒子在圆形磁场中运动的几个结论
结论1：对准圆心射入,必定沿着圆心射出 结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和圆 心角都越小，运动时间越短。
结论3：运动半径相同(v大小相同)时，弧长越 长对应时间越长。
• 例 如图所示，一束电子(电荷量为e)以速 度v垂直射入磁感应强度为B，宽度为d的匀 强磁场中，穿过磁场时速度方向与电子原 来入射方向的夹角是30°，则电子的质量 是________，穿过磁场的时间________．
• 解析：(1)画轨迹，找圆心．电子在磁场中运动， 只受洛伦兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分， 又因为F洛⊥v，故圆心在电子穿入和穿出磁场 时两个洛伦兹力的交点上，即上图中的O点．
(1)粒子的轨迹半径； (2)粒子在磁场中运动的最长时间；
结论3：运动速度v相同,方向不同，弧长（弦长 ）越长，对应时间越长。(直径对应的弧最长)
[解析] (1)由牛顿第二定律可求得粒子在磁场中运动的半 径．qv0B＝ mvR02，
R＝mqBv0＝5.0×10－2 m. (2)由于 R＞r，要使粒子在磁场中运动的时间最长，则粒子在 磁场中运动的圆弧所对应的弧长最长，从图 5 甲中可以看出，以 直径 ab 为弦、R 为半径所作的圆周，粒子运动时间最长， T＝2qπBm， 运动时间 tm＝22απ×T＝2qαB·m， 又 sinα＝Rr ＝35，∴tm＝6.4×10－8 s.
题型三、偏离圆心射入
例4 在真空中，半径r＝3×10－2 m的圆形区域内
有匀强磁场，方向如图2所示，磁感应强度B＝0.2 T，
一个带正电的粒子以初速度v0＝1×106 m/s从磁场 边界上直径ab的一端a射入磁场，已知该粒子的比荷
q/m ＝1×108 C/kg，不计粒子重力．
(1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径；
题型二、偏离圆心射入
例3：如图所示，在真空中半径r＝3.0×10－2 m的圆形 区域内，有磁感应强度B＝0.2 T，方向如图的匀强磁场， 一场批边带界正上电直的径粒a子b的以一初端速a度沿v着0＝各1.个0方×向10射6 入m/磁s，场从，且磁
初速度方向与磁场方向都垂直，该粒子的比荷为q/m
＝1.0×108 C/kg，不计粒子重力．
例2：在圆形区域的匀强磁场的磁感应强度为B，一
群速率不同的质子自A点沿半径方向射入磁场区域，
如图所示，已知该质子束中在磁场中发生偏转的最
大角度为1060，圆形磁场的区域的半径为R，质子
的质量为m，电量为e，不计重力，则该质子束的速
率范围是多大？
O4
v 3BeR
O3 O2
4m
O1
变2．在圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场．从
区，如图所示，当它飞
离磁场区时，运动方向
偏转θ角．试求粒子的
运动半径以及在磁场中
运动的时间t．
有界磁场问题：
1、两个对称规律： 粒子在磁场中做圆周运动的对称规律： 从同一直线边界射入的粒子，从同一边界射出时， 速度与边界的夹角相等。 速度偏转角与圆心角相等
有界磁场问题：
1.如图，虚线上方存在无穷大的磁场，一带正电的粒子质 量m、电量q、若它以速度v沿与虚线成300、600、900、 1200、1500、1800角分别射入，请你作出上述几种情况 下粒子的轨迹、并求其在磁场中运动的时间。
b v
a
带电粒子在磁场中运动情况研究
• 1、找圆心：方法
利用v⊥R 利用弦的中垂线
• 2、定半径：
几何法求半径 向心力公式求半径
• 3、确定运动时间：
t

2
T
T

2m
qB
注意：θ用弧度表示
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法
1．已知入射方向和出射方向时，利用洛伦兹力的方向永远 指向圆心的特点，只要找到圆周运动两个点上的洛伦兹力的 方向，其延长线的交点必为圆心，如图(a)所示． 2．已知入射方向和出射点的位置时，利用圆上弦的中垂线 必过圆心的特点找圆心，通过入射点作入射方向的垂线，连 接入射点和出射点，作其中垂线．这两条垂线的交点就是偏 转圆弧的圆心，如图(b)所示．
解: r=mv/qB ∴q/m=v/Br∝1/r
v
r1
r2
∴q 1/m1 : q2 /m2 = r2/r1 = 2:1
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例4. 如图所示，水平导线中有稳恒电流通过，导线
正下方电子初速度方向与电流方向相同，其后电子
将
( C)
(A)沿a运动，轨迹为圆；
I
(B)沿a运动，曲率半径越来越小； (C)沿a运动，曲率半径越来越大； (D)沿b运动，曲率半径越来越小.
T=2 πm/qB t=T/12= πm/6qB
小结： 1、两洛伦兹力的交点即圆心 2、偏转角：初末速度的夹角。 3、偏转角=圆心角
T=2 πr/v
t=T/12= πd/3v
练习：垂直纸面向外的匀强磁场仅限于宽度为d 的条形区域内，磁感应强度为B．一个质量为m、 电量为q的粒子以一定的速度垂直于磁场边界方 向从α点垂直飞入磁场
r1
r12=(5d)2+(r1-d)2
r1=13d
B >q mv0/13d
带电粒子在圆形磁场中的运动
一、对准圆心射入（解题思路：连接两圆心） 结论1：对准圆心射入,必定沿着圆心射出
圆形有界磁场
练习1、如图所示，在半径为r的圆形区域内，有 一个匀强磁场，一带电粒子以速度v0从M点沿半 径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心， ∠MON=120°，求粒子在磁场区的偏转半径R及 在磁场区中的运动时间。（粒子重力不计）
例 2、匀强磁场中，有两个电子分别以速率v和2v沿垂 直于磁场方向运动，哪个电子先回到原来的出发点？
. v . - e . . T=2πm/eB
运动周期和电子的速率无关
.
.
.
.两个电子同时回到原来的出发点
2v - e
两个电子轨道半径如何？
. .
. .
. .
. B.
r mv v eB
轨道半径与粒子射入的速度成正比
可见r与速度V、磁感应强度B、粒子的比荷有关 周期T与比荷、磁场有关，与粒子的速度无关