磁场综合：磁场中圆周运动的多解及其临界问题

图 5 带电粒子在磁场中运动的多解问题磁场中的圆周运动：常见的几何关系1、构建之间三角形：垂直平分线【例1】在直径为d 的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于圆面指向纸外，一电荷量为q ，质量为m 的粒子，从磁场区域的一条直径AC 上的A 点射入磁场，其速度大小为v0，方向与 AC 成α 角，若此粒子恰能打在磁场区域圆周的D 点，AD与AC 的夹角为β ，如图5所示。

求该磁场的磁感应强度B 的大小。

2、三角形的对称性：1）圆形磁场区域中：入射方向指向圆心，出射方向的反向延长线肯定也指向圆心2）线性边界：入射角等于出射角【例1】圆心为O 、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L 的O ＇处有一竖直放置的荧屏MN ，今有一质量为m 的电子以速率v 从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图１所示，求O ＇P 的长度和电子通过磁场所用的时间．【例2】如图所示，半径为r 的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子（不计重力），从A 点以速度v 0垂直磁场方向射入磁场中，并从B 点射出，已知∠AOB =120°，求该带电粒子在磁场中运动的时间？【例3】以速率v 垂直于屏S 经过小孔O 射入存在着匀强磁场的真空室中，如图14所示，磁感强度B 的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于纸面向里．（1）求离子进入磁场后到达屏S 上时的位置与O 点的距离．（2）如果离子进入磁场后经过时间t 到达位置P ，试证明：直线OP 与离子入射方向之间的夹角θ跟t 的关系是3、照成多解问题的原因一、粒子的带电性质不明的情况【例】如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，MN 是它的下边界。

现有质量为m ，电荷量大小为q 的带电粒子与MN 成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动的时间。

二、磁场方向的不确定【例】如图2所示，一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周期为T 0，轨道平面位于纸面内，质点速度方向如图2中箭头所示，现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，已知轨道半径并不因此而改变，则（ ）A ．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将大于T 0B ．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将小于T 0C ．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将大于T 0D ．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将小于T 0三、临界条件不唯一的照成的多解问题（一般为几何关系不唯一）【例1】 图10－25为方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场区域。

电场强度为E ，磁感强度为B ，复合场的水平宽度为d ，竖直方向足够长。

现有一束电量为+q 、质量为m 初速度各不相同的粒子沿电场方向进入场区，求能逸出场区的粒子的动能增量ΔE k 。

【例2】初速度为零的离子经过电势差为U 的电场加速后，从离子枪TM NO L A O 图1 P中水平射出，与离子枪相距d 处有两平行金属板MN 和PQ ，整个空间存在一磁感强度为B 的匀强磁场如图10－26所示。

不考虑重力的作用，荷质比q/m （q ，m 分别为离子的带电量与质量），应在什么范围内，离子才能打到金属板上？【例3】如图3所示，M 、N 是两块水平放置的平行金属板，板长为L ，板间距离为d ，两板间存在磁感应强度为B ，方向垂直于纸面向里的匀强磁场。

有一质量为m ，电荷量为q 的带正电粒子从磁场左侧靠近N 板处水平射入，欲使粒子不能打到金属板上，则粒子的入射速度v 应满足什么条件？【例4】如图所示，足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad 边的中心O 点处，垂直磁场方向射入一速度为v 0的带正电粒子，v 0与ad 边的夹角为30°.已知粒子质量为m ，带电量为q ，ad 边长为L ，不计粒子的重力.(1)求要使粒子能从ab 边射出磁场，v 0的大小范围.(2)粒子在磁场中运动的最长时间是多少?在这种情况下，粒子将从什么范围射出磁场?【例5】在边长为a 2的ABC ∆内存在垂直纸面向里的磁感强度为B 的匀强磁场，有一带正电q ，质量为m 的粒子从距Ａ点a 3的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图7所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从ＡＣ间什么范围内射出． 四、速度方向不唯一照成的多节问题【例1】摆长为L 的单摆在匀强磁场中摆动，摆动平面与磁场方向垂直，如图10-20所示。

摆动中摆线始终绷紧，若摆球带正电，电量为q ，质量为m ，磁感应强度为B ，当球从最高处摆到最低处时，摆线上的拉力T 多大？【例2】如图所示，半径R ＝10 cm 的圆形区域边界跟y 轴相切于坐标系原点O ，磁感强度 B ＝0.332T ，方向垂直于纸面向里，在O 处有一放射源S ，可沿纸面向各个方向射出速率均为v ＝3.2 ×106m ／s 的α粒子，已知α粒子的质量 m ＝6.64×10-27 kg ，电量 q ＝3. 2 × 10-19 C 。

(1) 画出α粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心的轨迹。

（2）求出α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ。

（3）再以过O 点并垂直纸面的直线为轴旋转磁场区域，能使穿过磁场区域且偏转角最大的α粒子射到正方向的y 轴上，则圆形磁场直径OA 至少应转过多大的角度β。

【例3】在真空中半径r=3.0×10-2m 的圆形区域内,有一磁感应强度B=0.2T 的匀强磁场,方向如图所示,一批带正电的粒子以初速v 0=1.0×106m/s, 从磁场边界上直径ab 的一端a 向着各个方向射入磁场,且初速方向与磁场垂直,已知该粒子的荷质比q/m=1.0×108C/kg,不计粒子的重力,求(1)粒子在磁场中运动的最长时间;(2)若射入磁场的粒子速度改为v 0=3.0×105m/s,其它条件不变,试用斜线画出该批粒子在磁场中可能出现的区域.(sin37°=0.6,cos37°=0.8) 【例4】如图中虚线MN 是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直纸面向外.O 是MN 上的一点，从O 点可以向磁场区域发射电量为＋q 、质量为m 、速率为v 的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向.已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P 点相遇，P 到O 的距离为L.不计重力及粒子间的相互作用.求:(1)所考察的粒子在磁场中的轨道半径.(2)这两个粒子从0点射人磁场的时间间隔.四、运动的反复性图7 D AB•⨯⨯⨯⨯⨯⨯C【例1】如图4所示，半径为r 的圆筒中有沿圆筒轴线方向、大小为B 的匀强磁场，质量为m 、带电荷量为+q 的粒子以速度v 从筒壁小孔A 处沿半径方向垂直磁场射入筒中，若它在筒中仅受洛伦兹力作用，且与筒的碰撞无能量损失，并保持原有电荷量，粒子在筒中与壁相撞并绕壁一周仍从A 孔射出，则B 的大小必须满足什么条件？【例2】如图所示，在x 轴上方有一匀强电场，场强为E ，方向竖直向下。

在x 轴下方有一匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里。

在x 轴上有一点P ，离原点的距离为a 。

现有一带电量+q 的粒子，质量为m ，从y 轴上某点由静止开始释放，要使粒子能经过P 点，其初始坐标应满足什么条件？（重力作用忽略不计）五、粒子运动的周期性引起的多解问题【例】如图5所示，在0<x 与0>x 的区域中，存在磁感应强度大小分别为1B 与2B 的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且21B B >。

一个带负电的粒子从坐标原点O 以速度v 沿x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O 点，1B 与2B 的比值应满足什么条件？ 带电粒子在有界磁场中运动的极值问题l 、带电粒子刚好穿出磁场边界的条件是：粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切2、当速度v 一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；当速率v 变化时，圆周角大的，运动时间越长【例1】如图，在x ＞0、y ＞0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感强度的方向垂直于oxy 平面向里，大小为B 。

现有一质量为m 电量为q 的带电粒子，在x 轴上到原点的距离为x0的P 点，以平行于y 轴的初速度射入此磁场，在磁场作用下沿垂直于y 轴的方向射出此磁场。

不计重力的影响。

由这些条件可知（ ）A ．不能确定粒子通过y 轴时的位置B ．不能确定粒子速度的大小C ．不能确定粒子在磁场中运动所经历的时间D ．以上三个判断都不对【例2】如图所示，很长的平行边界面M 、N 与N 、P 间距分别为l 1与l 2，其间分别有磁感应强度为B 1与 B 2的匀强磁场区Ⅰ和 Ⅱ，磁场方向均垂直纸面向里，已知B 1≠B 2，一个带正电的粒子电量为q ，质量为m ，以大小为v o 的速度垂直边界面M 与磁场方向射入MN 间磁场区，试讨论粒子速度V 。

应满足什么条件，才可通过这两个磁场区，并从边界面P 射出？（不计粒子重力） 【例3】如图所示，在xoy 平面内有许多电子（每个电子质量为m ，电量为e ）从坐标原点o 不断地以相同大小的速度v 0沿不同的方向射入第Ⅰ象限．现加上一个垂直于xoy 平面的磁感应强度为B 的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于x 轴向x 轴正方向运动，试求出符合该条件的磁场的最小面积．【例4】如图，在一水平放置的平板MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，磁场方向垂直于纸面向里。

许多质量为m 带电量为+q 的粒子，以相同的速率v 沿位于纸面内的各个方向由小孔O 射入磁场区域。

不计重力，不计粒子间的相互影响。

下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中Bq mv R =。

哪个图是正确的 【例5】如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T ，磁场内有一块平面感光板ab ，板面与磁场方向平x y B 2B 1 O v 图5yx o行，在距ab 的距离l =16cm 处，有一个点状的α放射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是63.010/v m s =⨯，已知α粒子的电荷与质量之比75.010/q C kg m=⨯，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求： 1）ab 上被α粒子打中的区域的长度。

2）ab 的长度最多为多长的时候，上表面全部能被α粒子打中？。