导数的几何意义及应用
导数的几何意义及运用解密
导数的几何意义及运用解密导数作为高等数学中的一个重要概念，在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
它既是一个数学工具，也是一种具有丰富几何意义的概念。
本文将从导数的几何意义和运用两个方面对导数进行深入解析，以便更好地理解这一重要概念。
一、导数的几何意义导数在几何学中有着直观的几何意义，可以反映出函数曲线在某一点的切线斜率。
以二次函数y=x^2为例，在任意一点(x0,y0)处的切线斜率为y'=2x0。
因此，当x0=1时，切线斜率为2，当x0=-2时，切线斜率为-4。
从几何意义上来说，导数就是函数曲线在某一点的切线斜率。
通过导数这个工具，我们可以更好地理解各种函数曲线的特征。
例如，曲线函数y=x^3呈现上升趋势，斜率也在不断增长，因此导数y'=3x^2也在不断增长，说明曲线的增长速度在逐渐加快。
而曲线函数y=sin(x)的导数y'=cos(x)呈现周期性变化，反映出曲线函数的特殊周期性。
此外，导数还可以告诉我们函数曲线的局部凸凹性质。
在导数为正的区域里，函数曲线呈现向上凸的形态；反之在导数为负的区域里，函数曲线呈现向下凸的形态；而切线斜率为0时，则表示函数曲线处于转折点上。
由此可见，导数的几何意义在分析函数曲线的形态和特点方面有着重要的作用。
二、导数的运用解密导数在实际应用中被广泛运用，尤其在物理、工程等领域中有着广泛应用。
例如，通过导数我们可以求出物理系统中的速度和加速度，以及电路中的电流和电压。
以下将介绍导数在实际应用中的几个典型案例。
1. 物理中的速度和加速度物理中的运动，通常需要用速度和加速度来描述。
而这些运动的变化可以通过计算导数的方式来进行描述。
例如，当对于绕圆心旋转的物体而言，它的速度在变化的同时也在改变方向。
此时，我们可以通过计算该物体的速度矢量在时间上的导数来求取该物体的加速度。
2. 经济中的边际效用经济学中，经济学家会关注某一特定产量水平下的增益变化。
由于边际效用是一种导数，因此可以通过计算导数的方式来描述增益变化的相关性质。
导数的几何意义是什么
导数的几何意义是什么导数作为微积分中的重要概念，不仅在数学理论研究中有着重要地位，还在实际问题的求解中起到了至关重要的作用。
导数的几何意义是指在几何上，导数代表了函数曲线在某一点处的切线斜率。
它使我们能够通过函数图像来理解函数的变化规律及其在特定点的切线性质。
本文将重点论述导数的几何意义以及相应的应用。
一、导数的定义及计算在开始讨论导数的几何意义之前，我们首先来回顾一下导数的定义及计算方法。
对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以通过下式计算得出：f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h]根据这一定义，我们可以求得函数在任意一点处的导数值。
导数的计算可以采用一些常用的方法，如基本函数求导法则、链式法则、乘积法则和商法则等。
二、导数的几何意义1. 切线斜率导数的最直观的几何意义就是切线斜率。
当我们计算出函数在某一点的导数后，这个导数值便代表了函数曲线在该点处的切线斜率。
对于一个凸函数而言，导数可以告诉我们曲线在该点是上升还是下降，以及上升或下降的速度有多快。
2. 极值点导数在几何中还有一个重要的意义是寻找函数的极值点。
当函数在某一点的导数为0时，这一点可能是函数的极大值点或极小值点。
通过求导，我们可以找到函数在哪些点处可能存在极值，并进一步帮助我们寻找函数图像上的极值点，从而得出函数的极值。
3. 凹凸性函数图像的凹凸性也可以通过导数来判断。
当函数的导数在某一区间内始终大于0时，函数图像在该区间内是上凸的；而当导数在某一区间内始终小于0时，函数图像在该区间内是下凸的。
这种通过导数判断凹凸性的方法在优化问题中具有重要应用。
三、导数的应用导数的几何意义不仅在数学理论研究中起到关键作用，也在实际问题的求解中发挥了巨大的作用。
1. 最优化问题在经济学、物理学等领域中，最优化问题是非常常见的。
通过求解函数的导数，我们可以确定函数的最大值和最小值，从而帮助解决各种最优化问题。
(七)导数概念及应用
(七)导数概念及应用1．理解导数的概念及几何意义（1）函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数：)(0x f ＇＝0lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx .函数y ＝f （x ）在（a ，b ）内的导函数：f ′（x ）＝0lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f (x +Δx )-f (x )Δx .函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数f ′（x 0）＝f ′（x ）︱x =0x（2）函数f （x ）在点x 0处有导数，则函数f （x ）在该点处必有切线，且导数值等于该切线的斜率，但函数f （x ）在点x 0处有切线，函数f （x ）在该点处不一定可导.求函数的导数有两种方法：一种方法是用定义求，先求函数的改变量，再求平均变化率，最后取极限，得导数；另一种方法是利用公式与法则求导数．2．熟记八个求导公式和五条求导法则（加、减、乘、除、复合函数求导（理））. 3．导数的应用十分广泛，如求函数的单调区间、极值、最值，求曲线的切线以及解决某些实际问题等.利用导数作工具，考查函数、不等式的综合应用已成为高考的又一热点.利用函数的导数研究函数的性质：先对函数求导，再利用导数y ＇的正负判断函数的单调性或求函数的极值（或最值）．导数的实质是函数值相对于自变量的变化率，体现在几何上就是切线的斜率．高考对导数的考查定位在作为解决初等数学问题的工具这一目标上，主要体现在以下方面：①运用导数有关知识研究函数的单调性和最值问题；②利用导数的几何意义，研究曲线切线的斜率也是导数的一个重要内容之一；③对一些实际问题建立数学模型后求解．导数类型的问题从题型上来看有几下特点：①以选择填空题考查概念、求单调区间和函数的极值、最值；②利用导数求实际问题中的最值为中档题；③与向量、解几、数列相联系的的一些综合题，着眼于导数的几何意义和应用为中档偏难题． 考点1 考查相关概念例1．下列命题中，正确的是（ ） ①若函数f （x ）在点x 0处有极限，则函数f （x ）在x 0处连续；②若函数f （x ）在点x 0连续，则函数f （x ）在x 0处可导；③若函数f （x ）在点x 0处取得极值，则f ′（x 0）＝0；④若函数在点x 0有f ′（x 0）＝0，则x 0一定是函数的极值点.A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析： ①是错误的，如f （x ）＝⎩⎨⎧ x 1 00=≠x x 在点x ＝0处不连续；②是错误的，如f （x ）＝︱x ︱在x ＝0处连续，但不可导；③是错误的，f （x ）在点x 0不一定可导，反例同②；④是错误的，如f （x ）＝x 3在x ＝0的导数为零，但x ＝0不是函数的极值点.答案A评析：函数f （x ）在点x 0有极限、连续、可导、有极值，四者之间关系要区分清楚.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在x 0处有极限的充分非必要条件，只有可导函数在x 0取得极值，才有f ′（x 0）＝0，注意其前提条件. 考点2 考查导函数与原函数图象间关系例2．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( ）解析：由()y xf x '=图象可知：)(/x f y =在]1,1[-上小于等于零，故原函数在]1,1[-上为减函数，故选C ．评注：函数()y xf x '=图象提供了很多信息，但要抓住关键特点，如导数为零的点、导数为正值或负值的区间等．考点3 考查导数的几何意义例3．设f （x ）＝－23x 3+x 2+4x ，则过点（0，0）的曲线y ＝f （x ）的切线方程是 ．解析：设所求切线方程为：y ＝kx ，切点（x 0，y 0），又k ＝y ′︱x =0x ＝（－2x 02+2x 0+4）. 则切线方程为y ＝（－2x 02+2x 0+4）x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=003000020432)422(x x x y x x x y 解之得x 0＝0或x 0＝34.∴k ＝4或k ＝358，故所求的切线方程为4x －y ＝0或35x －8y ＝0.评析：导数)(0/x f 的几何意义是曲线数)(x f y =在某点0x 处切线的斜率．所以求切线的方程可通过求导数先得到斜率，再由切点利用点斜式方程得到，求过点p （x 0，y 0）的切线方程时，一要注意p （x 0，y 0）是否在曲线上，二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线方程可能不只有1条.。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它具有丰富的几何意义和广泛的应用。
本文将详细阐述导数的几何意义以及在实际问题中的应用。
一、导数的几何意义导数的几何意义是切线的斜率。
考虑函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)，这个导数值代表函数曲线在该点处的斜率。
换言之，导数告诉我们曲线在特定点的变化速率。
如果导数为正，表示曲线在该点处是上升的；如果导数为负，表示曲线在该点处是下降的；如果导数为零，表示曲线在该点处有极值（最大值或最小值）。
基于这个几何意义，我们可以通过导数来研究曲线的特性。
例如，我们可以通过导数的正负来确定函数的增减性，也可以通过导数的零点来确定函数的极值点。
此外，导数还可以帮助我们理解曲线的弯曲程度。
曲线的弯曲程度与导数的变化率有关，较大的导数变化率表示曲线弯曲较陡峭，较小的导数变化率表示曲线弯曲相对平缓。
二、导数的应用1. 线性逼近导数的几何意义使得它在线性逼近问题中非常有用。
我们可以利用导数来构造一个称为切线的线性函数，用来近似曲线在该点的行为。
这种线性逼近方法在很多实际问题中被广泛应用。
例如，当我们需要确定一条曲线在某点的近似切线时，可以使用导数来计算该点处的切线斜率，并进一步确定切线方程。
2. 最优化问题导数在最优化问题中有重要的应用。
最优化问题涉及如何找到一个函数的最大值或最小值。
通过对函数求导，我们可以找到导数为零的点，即函数的极值点。
进一步分析导数的符号，可以确定函数的最大值或最小值。
这一方法在经济学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
3. 运动学问题导数在运动学中也有广泛的应用。
例如，我们可以通过对位移函数求导来得到速度函数，通过对速度函数再次求导得到加速度函数。
这种将导数应用于运动学问题的方法使得我们能够研究物体的速度和加速度变化。
这在物理学和工程学中对于研究物体的运动非常有用。
4. 统计学在统计学中，导数被用于估计和分析数据。
例如，在回归分析中，我们可以通过对观测数据进行拟合来得到一个最佳的函数。
导数的概念及运算、几何意义
导数的概念及运算、几何意义1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝＝.y′|x＝x(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．2．导数公式及运算法则(1)基本初等函数的导数公式(2)导数的运算法则①[f (x )±g (x )]′＝)(x f '±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝)(x f 'g (x )＋f (x )g ′(x )； ③])()(['x g x f ＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2(g (x )≠0)． 特殊情况[c ·f (x )]′＝c ·)(x f '．(3)复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1))(0x f '与[f (x 0)]′表示的意义相同．(×)(2))(0x f '是导函数)(x f '在x ＝x 0处的函数值．(√)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√) (4))3sin('π＝cos π3.(×)(5)若(ln x )′＝1x ，则)1('x ＝ln x ．(×)(6)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．(×)(7)函数f (x )＝，由于f ′(0)无意义，则说明f (x )＝在x ＝0处无切线．(×)(8)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(9)若f (a )＝－x 2＋2ax ＋a 3，则f ′(a )＝2x ＋3a 2.(√)(10)过点P 作y ＝f (x )的切线，且P 在y ＝f (x )上，则P 一定为切点．(×)考点一 导数的运算[例1] (1)函数y ＝(1－x ))1(x +，则y ′＝________.解析：∵y ＝(1－x ))11(x +＝1x －x ＝2121x x --，='y 21232121----x x答案：21232121----x x (2)函数y ＝ln x x ，则y ′＝________.解析：y ′＝)ln ('xx ＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 答案：1－ln x x 2(3)y ＝ln(2x ＋5)，则y ′＝________.解析：设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，因此y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. 答案：22x ＋5 (4)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝________.解析：f ′(x )＝2f ′(1)＋1x令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋1，∴f ′(1)＝－1.答案：－1 [方法引航] (1)总原则：先化简解析式，再求导.(2)具体方法：①连乘积的形式：先展开化为多项式形式，再求导.②根式形式：先化为分数指数幂，再求导.③复杂分式：化为简单分式的和、差，再求导.(3)区分f ′(x )与f ′(x 0)f ′(x )表示导函数，f ′(x 0)是导函数值.1．若函数y ＝tan x ，则y ′＝________.解析：y ′＝)cos sin ('xx ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x . 答案：1cos 2x2．设f (x )＝x ln x ，若)(0x f '＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．e C.ln 22 D ．ln 2 解析：选B.由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.考点二 导数的几何意义[例2] (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.[方法引航] 导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f(x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.1．在本例中，若f (x )在P 点处的切线平行x 轴，求P 点坐标．解：∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，令3x 2－8x ＋5＝0得x ＝1或x ＝53，∴f (1)＝1－4＋5－4＝－2，f (53)＝－5827，∴P (1，－2)或P )2758,35(-. 2．在本例中，若f (x )不变，求f (x )过点(1，－2)的切线方程．解：设过点P (1，－2)的直线与y ＝f (x )切于点M (x 0，y 0)，∴其切线斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，y 0＝x 30－4x 20＋5x 0－4，其切线方程为y －(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －x 0)过点(1，－2)，即－2－(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(1－x 0)，即(x 0－1)2(2x 0－3)＝0∴x 0＝1或x 0＝32.∴切点为(1，－2)或)817,23(-，∴k 1＝0或k 2＝－14. ∴所求切线方程分别为y ＝－2.或y ＋178＝－14)23(-x ，即y ＝－14x －74.[易错警示]借问“切点”何处有——求曲线的切线方程时切点易错[典例] (2017·浙江杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[正解] 设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又点(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x－9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.[答案] A[易误] (1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系．[警示] ①“曲线y ＝f (x )在P 点处的切线”与“曲线过P 点的切线”不同，前者P 为切点，后者P 不一定为切点．②此类题首先确定点是否为曲线的切点．当不是切点时．应先设出切点．[高考真题体验]1．(2016·高考全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，x e x f x -=--1)(，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．解析：当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x ，而f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝e x －1＋x (x ＞0)，点(1,2)在曲线y ＝f (x )上，易知f ′(1)＝2， 故曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是y －2＝f ′(1)·(x －1)，即y ＝2x .答案：y ＝2x2．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，∴f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又此切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝(3a ＋1)(2－1)，解得a ＝1.答案：13．(2012·高考课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析：y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x ＝3ln x ＋4，k ＝y ′|x ＝1＝4，切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.答案：y ＝4x －34．(2016·高考天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则)0(f '的值为________．解析：∵f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)·e x ，∴f ′(0)＝3.答案：35．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，)(x f '为f (x )的导函数．若)1(f '＝3，则a 的值为________．解析：∵f ′(x )＝a ln x ＋a ，∴f ′(1)＝a ln 1＋a ＝3，解得a ＝3.答案：36．(2016·高考山东卷)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析：选A.对于A ，y ′＝cos x ，存在x 1，x 2，若cos x 1cos x 2＝－1，如x 1＝π，x 2＝2π，可满足，对于B ，其导数为f ′(x )＝1x ，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝1x 1x 2＞0，故B 不满足；y ＝f (x )＝e x 的导函数为f ′(x )＝e x ，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝e x 1＋x 2＞0，故C 不满足；y ＝f (x )＝x 3的导函数为f ′(x )＝3x 2，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝9x 21x 22≥0，故D 不满足．故选A.课时规范训练A 组 基础演练1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足2)1(='f ，则)1(-'f 等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0解析：选B.f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且2)1(='f ，∴)1(-'f ＝－2.2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选A.切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，即y －1＝4(x －1)，整理得l 的方程为4x －y －3＝0.3．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( ) A ．2 B ．ln 2＋1 C ．ln 2－1 D ．ln 2解析：选C.∵y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，∴1x ＝12，解得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.4．曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(1，－1)C ．(1,3)D ．(1,0)解析：选C.y ′＝3x＋1，令y ′＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)．5．直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 相切于点P (1,4)，则b 的值为( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3解析：选C.由点P (1,4)在曲线上可得a ×12＋2＋ln 1＝4，解得a ＝2，故y ＝2x 2＋2＋ln x ，所以y ′＝4x ＋1x ，所以曲线在点P 处切线的斜率1|='=x y k ＝4×1＋11＝5.所以直线的方程为y ＝5x ＋b .由点P 在直线上得4＝5×1＋b ，解得b ＝－1，故选C.6．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1解析：选C.y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为2|1='==x y k7．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，b ＝0，m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.8．在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A.依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y '＜1得3≤x 2＜103，显然满足该不等式的整数x不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.9．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C.依题意，记g (x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f (x )＝xg (x )，)(x f '＝g (x )＋xg ′(x )，f ′(0)＝g (0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝212，故选C.10．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝)(1x f '，f 3(x )＝)(2x f '，…，f n ＋1(x )＝)(x f n '，n ∈N *，则f 2 019(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选A.∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A.B 组 能力突破1．已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，则曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3解析：选C.法一：令x ＝1得f (1)＝1，令2－x ＝t ，可得x ＝2－t ，代入f (2－x )＝2x 2－7x ＋6得f (t )＝2(2－t )2－7(2－t )＋6，化简整理得f (t )＝2t 2－t ，即f (x )＝2x 2－x ，∴f ′(x )＝4x －1，∴f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2.法二：令x ＝1得f (1)＝1, 由f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，两边求导可得f ′(2－x )·(2－x )′＝4x －7，令x ＝1可得－f ′(1)＝－3，即f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.2．已知函数f(x)＝a sin x＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，)(xf'为f(x)的导函数，则f(2 017)＋f(－2 017)＋)2018(f'－)2018(-'f＝()A．0 B．2 017 C．2 018 D．8解析：选D.设g(x)＝a sin x＋bx3，∴f(x)＝g(x)＋4，且g(－x)＝－g(x)，所以f(2 017)＋f(－2 017)＝g(2 017)＋4＋g(－2 017)＋4＝8，又因为f′(x)＝a cos x＋3bx2，所以f′(x)为R上的偶函数，则f′(2 018)－f′(－2 018)＝0，所以f(2 017)＋f(－2 017)＋f′(2 018)－f′(－2 018)＝8，故选D.3．已知函数y＝f(x)及其导函数y＝)(xf'的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.答案：x－y－2＝04．已知函数f(x)的导函数为)(xf'，且满足f(x)＝3x2＋2x·)2(f'，则)5(f'＝________.解析：对f(x)＝3x2＋2x)2(f'求导，得f′(x)＝6x＋2)2(f'．令x＝2，得)2(f'＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2)2(f'＝6.答案：65．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x＋e x，则f′(1)＝________.解析：设e x＝t，则x＝ln t(t＞0)，∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝1t＋1，∴f′(1)＝2.答案：26．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x.∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，x＋1x－a＝0，∴a＝x＋1x≥2.答案：[2，＋∞)。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它有着广泛的几何意义和应用。
在本文中，我们将探讨导数的几何意义，并介绍一些导数在几何中和实际应用中的具体应用。
导数的几何意义可以通过对函数图像的观察得到。
对于一个函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)，代表了函数曲线在某一点处的斜率。
具体来说，导数可以解释为函数图像在某一点上的瞬时变化率。
这意味着我们可以通过导数来描述函数图像的“陡峭程度”。
如果导数的值比较大，表示函数图像在该点的变化比较快，曲线比较陡峭；相反，如果导数的值比较小，表示函数图像在该点的变化比较慢，曲线比较平缓。
举个例子来说明导数的几何意义。
考虑一个简单的函数f(x) = x^2，它的导数可以表示为f'(x) = 2x。
我们可以观察到，在函数图像上，导数f'(x)的值代表了曲线在不同点上的斜率。
当x的值较小时，导数f'(x)的值也较小，表示函数图像变化较慢，曲线较平缓；而当x的值较大时，导数f'(x)的值也较大，表示函数图像变化较快，曲线较陡峭。
导数不仅在几何中有着重要意义，而且在实际生活中也有广泛的应用。
其中一个常见的应用是在物理学中的位置-时间关系中。
根据经典物理学的定义，速度可以看作是位置关于时间的导数。
具体来说，如果我们有一个物体在某一时刻的位置函数x(t)，那么它的导数dx/dt就表示了该物体在该时刻的瞬时速度。
同样地，加速度可以看作是速度关于时间的导数，即dv/dt。
这种通过导数来描述位置、速度和加速度之间的关系，能够帮助我们更好地理解物体在空间中的运动规律。
在经济学和金融学领域中，导数也有着广泛的应用。
例如，利润函数关于产量的导数可以告诉我们，当产量变化时，利润的瞬时变化率是多少。
这有助于公司和企业在制定生产策略和销售计划时进行决策。
此外，在金融学中，导数可以帮助我们理解和分析股票和债券价格的波动趋势，以及利率和汇率的变化对经济的影响。
导数的几何意义及导数公式
导数的几何意义及导数公式导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在特定点的变化率。
导数的几何意义是描述函数曲线在其中一点的切线的斜率。
本文将详细介绍导数的几何意义以及导数的计算公式。
一、导数的几何意义在几何中，我们知道曲线上每一点的切线可以用斜率来描述。
而导数就是函数在其中一点的切线的斜率，它告诉我们函数在该点的变化情况。
导数的几何意义可以通过以下两个方面来理解：1.切线的斜率导数是切线的斜率，它表示函数在特定点上的变化速率。
如果导数是正数，那么函数在该点上是递增的；如果导数是负数，那么函数在该点上是递减的。
导数的绝对值越大，曲线在该点附近的变化速率越大；导数的绝对值越小，曲线在该点附近的变化速率越小。
2.切线的方向导数不仅告诉我们切线的斜率，还告诉我们切线的方向。
如果导数是正数，那么切线是向上倾斜的；如果导数是负数，那么切线是向下倾斜的。
导数等于零表示切线是水平的，也就是曲线上的极值点。
通过以上两个方面，我们可以通过导数来近似描述函数在任意点的行为，从而更好地理解函数的性质。
二、导数的计算公式导数的计算公式是一系列可以计算导数的规则。
下面是一些常见的导数计算公式：1.常数规则如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。
这是因为常数的导数为零，表示该常数没有变化。
2.幂规则如果f(x) = x^n，其中n是整数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
这是指数函数的导数公式。
3.常见函数的导数公式- 如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) = cos(x)。
- 如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。
- 如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) = sec^2(x)。
-如果f(x)=e^x，那么f'(x)=e^x。
- 如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。
4.和、差的导数规则如果f(x)和g(x)是可导函数，那么(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
导数的几何意义和物理意义
导数的几何意义和物理意义导数是微积分中一项重要的概念。
它可以描述函数在某一点上的变化率，以及函数在该点上的切线斜率。
导数不仅在数学领域中有着广泛的应用，同时也在几何学和物理学中具有重要的意义。
本文将探讨导数的几何意义和物理意义，并解释它们在现实世界中的具体应用。
一、导数的几何意义在几何学中，导数可以解释为函数图像在某一点的切线斜率。
当我们研究函数图像的形状和特征时，导数可以帮助我们理解函数在不同点上的变化趋势和曲线的曲率。
1. 切线斜率：对于函数f(x)，它在某一点x=a处的导数f'(a)代表了函数图像在该点上的切线斜率。
切线斜率可以告诉我们函数在该点上是递增还是递减，并且可以用来寻找曲线上的最高点或最低点。
通过计算导数，我们可以获得函数在某一点上的局部变化率信息。
2. 切线和曲率：导数还可以描述函数在某一点上的曲线特征，如弯曲和曲率半径。
具体而言，导数的正负性可以告诉我们函数图像在该点上是凸还是凹，以及变化的速度和方向。
这有助于我们更好地理解函数的形状和变化趋势。
二、导数的物理意义导数在物理学中也有着广泛的应用。
它可以描述物理量之间的关系及其变化率，从而帮助我们理解和解释各种物理现象。
1. 速度和加速度：导数可以解释物体在运动过程中的速度和加速度。
对于物体的位移函数，它的导函数就是速度函数，而速度函数的导函数则是加速度函数。
通过计算导数，我们可以获得物体运动的速度和加速度的具体数值。
这在运动学中有着广泛的应用。
2. 斜率和变化率：导数还可以解释函数关系中的斜率和变化率。
在物理学中，我们经常遇到各种变化率的概念，如功率、流量和速率等。
通过计算导数，我们可以获得这些物理量的具体数值，并了解它们的变化规律。
3. 最优化问题：导数在物理学中还可以用来解决最优化问题。
例如，在力学中，我们希望找到一条曲线，使得物体的作用量或路径在满足一定条件下达到最小值或最大值。
通过计算导数，我们可以找到该曲线上的极值点，从而解决这类问题。