九年级数学下册第三章圆本章小结与复习练习课件北师大版
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北师大版数学九年级下册《第三章 圆 章末复习》教学课件
O
M
A
N
切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条 切线的夹角。
即：∵PA、PB 是的两条切线， ∴PA = PB， PO 平分∠BPA。
圆内正多边形的计算
C
（1）正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算 O
B
在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB= 1 : 3 : 2.
圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角 互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中， ∵四边形ABCD是内接四边形， ∴∠C +∠BAD = 180°，
∠B +∠D = 180°， ∠DAE = ∠C .
切线的性质与判定定理
（1）性质定理：切线垂直于过切点的半径 （如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点. 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一O 定理.
章末复习
北师版 九年级下册
《圆》知识点 知识回顾
• 点的轨迹 • 三种位置关系 • 垂径定理 • 圆心角定理 • 圆周角定理 • 圆的内接四边形定理 • 切线的性质与判定定理、切线长定理 • 圆内正多边形 • 扇形弧长、面积公式
点的轨迹
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定 长的点的集合；
圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长 的点的集合；
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等.
此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中 ，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论.
圆心角定理
也即：①∠AOB =∠DOE ②AB = DE ③OC = OF ④ BAED
M
A
N
切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条 切线的夹角。
即：∵PA、PB 是的两条切线， ∴PA = PB， PO 平分∠BPA。
圆内正多边形的计算
C
（1）正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算 O
B
在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB= 1 : 3 : 2.
圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角 互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中， ∵四边形ABCD是内接四边形， ∴∠C +∠BAD = 180°，
∠B +∠D = 180°， ∠DAE = ∠C .
切线的性质与判定定理
（1）性质定理：切线垂直于过切点的半径 （如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点. 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一O 定理.
章末复习
北师版 九年级下册
《圆》知识点 知识回顾
• 点的轨迹 • 三种位置关系 • 垂径定理 • 圆心角定理 • 圆周角定理 • 圆的内接四边形定理 • 切线的性质与判定定理、切线长定理 • 圆内正多边形 • 扇形弧长、面积公式
点的轨迹
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定 长的点的集合；
圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长 的点的集合；
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等.
此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中 ，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论.
圆心角定理
也即：①∠AOB =∠DOE ②AB = DE ③OC = OF ④ BAED
北师大版九年级数学下册第三章《圆》小结与复习课件
半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为_2__5___2_．
考点五 切线的性质与判定
例5 如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D， 且过点D的切线DE平分边BC. 问：BC与⊙O是否相切？
解：BC与⊙O相切． 理由：连接OD，BD， ∵DE切⊙O于D，AB为直径， ∴∠EDO＝∠ADB＝90°. 又DE平分CB，∴DE＝2(1)BC＝BE. ∴∠EDB＝∠EBD. 又∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋ ∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°， 即∠ABC＝90°. ∴BC与⊙O相切．
A
CO=24-8=16cm,
∴S扇形OCD=
2.切线长及切线长定理
切线长： 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称
为切线长.
切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这
一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
八、三角形的内切圆及内心
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
每一条边所 对的圆心角
正多边 形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角
边心距
正多边形的边心距
2.计算公式
圆内接正多边 形的有 关概念及性质
①正多边形的内角
和=
(n 2) 180
n 360
②中心角= n
十、弧长及扇形的面积
（1）弧长公式： l n R 180
（2）扇形面积公式： S n R2 1 lR
A
D
F
I
┐ E
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
考点五 切线的性质与判定
例5 如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D， 且过点D的切线DE平分边BC. 问：BC与⊙O是否相切？
解：BC与⊙O相切． 理由：连接OD，BD， ∵DE切⊙O于D，AB为直径， ∴∠EDO＝∠ADB＝90°. 又DE平分CB，∴DE＝2(1)BC＝BE. ∴∠EDB＝∠EBD. 又∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋ ∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°， 即∠ABC＝90°. ∴BC与⊙O相切．
A
CO=24-8=16cm,
∴S扇形OCD=
2.切线长及切线长定理
切线长： 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称
为切线长.
切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这
一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
八、三角形的内切圆及内心
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
每一条边所 对的圆心角
正多边 形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角
边心距
正多边形的边心距
2.计算公式
圆内接正多边 形的有 关概念及性质
①正多边形的内角
和=
(n 2) 180
n 360
②中心角= n
十、弧长及扇形的面积
（1）弧长公式： l n R 180
（2）扇形面积公式： S n R2 1 lR
A
D
F
I
┐ E
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
北师大版数学九年级下册 第三章小结与复习 课件
A O
C
1
∠BAC = ∠BOC
2
B
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.
D
E
C
O A
B
∵∠ADB 与∠AEB 、∠ACB 是同弧所对的圆周角 ∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
推论：直径所对的圆周角是直角； 90° 的圆周角所对的弦是圆的直径.
推论：圆的内接四边形的对角互补.
C
A
O
B
六、直线和圆的位置关系
A
30°
B
C
解析：灯塔 A 的周围 7 海里都是暗礁，即表示以 A 为 圆心，7 海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触 礁，关键是看渔轮与圆心 A 之间的距离 d 的大小关系.
北
60°BLeabharlann A30°C
解：如图，作 AD 垂直于 BC 于 D，
根据题意，得 BC=8.设 AD 为 x.北
A
∵∠ABC=30°，∴AB = 2x. BD= 3x. ∵∠ACD=90°-30°=60°，
点到圆心的距离 d 与圆的 半径 r 之间的关系
d＞r d=r d＜r
三、圆的对称性 1. 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是 它的对称轴.圆有无数条对称轴. 2. 圆是中心对称图形，并且绕圆心旋转任何一 个角度都能与自身重合，即圆具有旋转不变性.
．
3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
∴正方形 ABCD 外接圆的半径为4 5.
∴正方形 ABCD 的边长为 AB= AC 4 10 .
2
S阴影=π（ 4 5）2 （4 10）2 =80π 160
考点五 圆内接正多边形的有关计算
例10 若一个正六边形的周长为 24，则该正六边形 的面积为_2_4__3__.
北师大版九年级数学下册第三章圆复习课件(共39张PPT)
A．点P B．点Q C．点R D．点M
[解析] B 该是点Q.
圆心既在AB的中垂线上又在 BC的中垂线上，由图可以看出圆心应
方法技巧 过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂 直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分 线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．
►
考点二
垂径定理及其推论
第三章 圆 圆的复习
1．确定圆的要素
圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径， 虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没 有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确 定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定．
2．点与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在 圆内．
由三角形的外角求得∠C＝40°，所以∠B＝∠C＝40°.
[解析] 由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，得∠O＝2∠B＝44°， 又因为AB∥CO，所以∠A＝∠O＝44°.
方法技巧 圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实 现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化，从而为研究圆的性质提供 了有力的工具和方法．当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周 角是解决问题的重要思路．在证明有关问题中注意 90° 的圆周角的 构造．
和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并
且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，叫做
三角形的
内心
.
[注意] 对一个确定的三角形来说，其内切圆 有且只有一个，其内心也有且只有一个：内心 就是内切圆的圆心．
[注意] (1)两圆内含时，若 d 为 0，则两圆为同心圆． (2)由两圆构成的图形都是轴对称图形， 其对称轴是两圆的圆 心所在的直线． 12．弧长及扇形的面积公式 (1)弧长公式
[解析] B 该是点Q.
圆心既在AB的中垂线上又在 BC的中垂线上，由图可以看出圆心应
方法技巧 过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂 直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分 线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．
►
考点二
垂径定理及其推论
第三章 圆 圆的复习
1．确定圆的要素
圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径， 虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没 有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确 定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定．
2．点与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在 圆内．
由三角形的外角求得∠C＝40°，所以∠B＝∠C＝40°.
[解析] 由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，得∠O＝2∠B＝44°， 又因为AB∥CO，所以∠A＝∠O＝44°.
方法技巧 圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实 现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化，从而为研究圆的性质提供 了有力的工具和方法．当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周 角是解决问题的重要思路．在证明有关问题中注意 90° 的圆周角的 构造．
和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并
且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，叫做
三角形的
内心
.
[注意] 对一个确定的三角形来说，其内切圆 有且只有一个，其内心也有且只有一个：内心 就是内切圆的圆心．
[注意] (1)两圆内含时，若 d 为 0，则两圆为同心圆． (2)由两圆构成的图形都是轴对称图形， 其对称轴是两圆的圆 心所在的直线． 12．弧长及扇形的面积公式 (1)弧长公式
北师大版九年级数学下册第三章圆复习课件
C．点A在⊙O外部 D．点A不在⊙O上
2、M是⊙O内一点，过点M的⊙O最长的弦为10 cm，
最短的弦长为8 cm，那么OM= _____3cm.
得到右端，也 可以从右端得
dp
点P在⊙O内
d＜到左r 端。 r
点P在⊙O上 点P在⊙O外
d=r
d
r
p
d＞r P d
r
探究与实践
1、平面上有一点A，经过A点的圆有几个？ 圆心在哪里？
●
●O
● ●A O O
●O
●
O
无数个，圆心为点A以外任意一点，半径为这 点与点A的距离
探究与实践
2、平面上有两点A、B，经过点A、B的圆 有几个？它们的圆心分布有什么特点？
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
垂径定理的推论
❖ 如图,在以下五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
AB的垂直平分线上. 经过A,B,C三点的圆的圆心应该这 ●B
┏ ●O
●C
两条垂直平分线的交点O的位置.
归纳结论：
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分
别是方程x －2 6x＋8＝0的两根，那么点A与⊙O的位置关系是
〔D〕
A．点A在⊙O内部 B．点A在⊙O上
❖ 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 ❖ 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任
意一个角度α，都能与原来的图形重合。
北师大版数学九下第三章圆章末复习课件
例4 如图3-Z-7所示, 在半径为 5, 圆心角等于45°的扇形AOB内部
作一个正方形CDEF, 使点C 在OA上, 点D, E在OB上, 点F在
上, 则阴影部分的面积为
. (结果保留π)
分析 如图3-Z-7所示, 连接OF, 由∠COD= 45°, 四边形CDEF是正方形 , 知OD=CD=DE=EF, 于是在Rt△OFE中, OE=2EF. ∵OF= EF 2+OE 2=OF 2, ∴EF 2+(2EF)2=5, 解得EF=1, ∴OD=CD=EF=1, ∴S阴影=S扇形OAB -S△OCD-S正方形CDEF=
相关题4 如图3-Z-8所示, 圆心角为120°的扇形OMN绕着正 六边 形ABCDEF的中心O 旋转, OM交AB于点H, ON 交CD于点K, OM>OA. (1)求证:△AOH≌△COK; (2)若AB=2, 求正六边形 ABCDEF与 扇形OMN重叠部分的面积.
解：(1)证明：如图，∵多边形 ABCDEF 是正六边形，
(2)如图，连接 CD.
∵∠AED＝90°，DE＝6，AE＝3，
∴AD＝ DE2＋AE2＝ 62＋32＝3 5.
∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC＝∠AED＝90°.
又∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE，
∴AADE＝AADC，即3
3
5＝ AC ， 35
∴AC＝15，∴⊙O 的半径是 7.5.
解 (1)直线CD与⊙O相切. 理由：如图3-Z-5所示, 连接OC. ∵CA=CB, ∴OC⊥AB. ∵CD∥AB, ∴OC⊥CD. 又∵OC是⊙O的半径, ∴直线CD与⊙O相切. (2)∵CA=CB, ∠ACB=120°, ∴∠ABC=∠BAC=30°, ∴∠DOC=2∠ABC =60°, ∴∠D=90°-∠DOC =30°, ∴OD=2OC=4. 在Rt△ODC中, CD=
北师大版九年级数学下册 第三章 圆 总复习(课件)
22．用一块宽度为5m的长方形铁片弯折成如图所示的梯形流水
槽，其中BC∥AD，AB=DC. 要使流水的截面面积最大，弯折的
长度（ AB的长）应为多少?
23.如图，某跑道的周长为400 m且两端为半圆形，要使矩形内部 操场的面积最大，直线跑道的长应为多少?
24. 甲船从A处起以15 kn的速度向正北方向航行，这时乙船从A的 正东方向20 n mile的B处起以20 kn的速度向西航行.多长时间后， 两船的距离最小?最小距离是多少?
（1）y = －(x＋2)(x－2);
（2）y = 9x2－49;
（3）y = 5+x－4x2 ;
（4）y = －(x+1)2－9.
7.用图象法求下列一元二次方程的近似根:
（1）x2 － 5x＋5=0；
（2）2x2－4x=5；
（3）x2－6x =3；
（4）5x2+4x－3=0
8. 如图，AB是⊙ O的弦，半径 OC， OD分别交AB于点E，F， 且AE= BF. OE与 OF的大小有什么关系？为什么？
13.如图，⊙O的半径为4，点Р到圆心的距离为8，过点P画⊙O的 两条切线PA和PB，A，B为切点，求PA的长度和∠P的度数.
14. 已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的两条切线，A 和B为切点，BC为直径. 求证：AC // OP.
15. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在 AB上，求 ∠CFD的度数.
25.如图，一块矩形绿地ABCD由篱笆围着，并且由一条与AB边平 行的篱笆EF分开，已知AB=xm,篱笆的总长为600 m. （1）用含x的代数式表示矩形绿地的面积S； （2）求矩形绿地的最大面积.
26. 一身高1.8m的篮球运动员在距篮板4m处 跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25 m处出 手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运 行的路线可以用y =－0.2x2+3.5来描述，那么 （1）球能达到的最大高度是多少? （2）球出手时，运动员跳离地面的高度是多少?