轴向拉压应力及力学性能
轴向拉压应力与力学性能
s max = s a =0 = s 0 s0 t max = s a =45 =
2
圣维南原理
杆端应力分布
应力均匀区
圣维南原理 “ 力作用于杆端的分布 方式，只影响杆端局部范围 的应力分布，影响区约距杆 端 1~2 倍杆的横向尺寸”
（杆端镶入底座, 横向变形受阻）
例 题
例1
已知：F = 50 kN，A = 400 mm2 试求： 截面 m-m 上的应力
s ts s cs
愈压愈扁
灰口铸铁压缩
s cb= 3~4s tb
断口与轴线约成45o
温度对力学性能的影响
钢的强度、塑性随温度变化的关系
钢的弹性常数随温度变化的关系
E E,G/GPa
G
T/C
世贸中心塌毁
（点击画面，可重复点击）
大厦受撞击后，为什麽沿铅垂方向塌毁 ？
据分析，由于大量飞机燃油燃烧，温度高达1200 C，组 成大楼结构的钢材强度急剧降低，致使大厦铅垂塌毁
横截面上 的正应力 均匀分布
横截面间 的纤维变 形相同
斜截面间 的纤维变 形相同
斜截面上 的应力均 匀分布
2. 应力 pa
A Fx = 0, pa cosa F = 0
Fcosa pa = = s 0cosa A
3. 应力sa 、ta与最大应力
s a = pa cosa = s 0cos 2a s0 t a = pa sina = sin2a
切应变概念
切应变（shear strain）定义 微体相邻棱边所夹直 角的改变量 g ，称为 切应变（剪应变） 切应变为无量纲量 切应变单位为 rad
例 题
例2 解：
第二章 轴向拉压应力分析
剪应力—在截面内的应力
目录
注意点： •受力物体内各截面上每点的应力，一般是不相 同的，它随着截面和截面上每点的位置而改变。 因此，在说明应力性质和数值时必须要说明它所 在的位置。
•应力是一向量，其量纲是[力]/[长度]²，单位 为牛顿/米²，称为帕斯卡，简称帕(Pa).工程 上常用兆帕(MPa)=106 Pa,或吉帕(Gpa)= 109 Pa。
目录
拉伸与压缩时横截面上的应力
1
2
F
3 F
1
2
F
3
F dF Ad A
应力的合力=该截面上的内力
F
确定应力的分布 是静不定问题
F
目录
研究方法： 实验观察
作出假设
理论分析
实验验证
1、实验观察
F
a a b b
变形前： ab // cd
c c
F
d d
变形后：ab // cd // ab // cd
FN 1 2A
3F , 2A
3
FN 3 A
2F A
max
1 2
m
ax
F A
（在CD段与杆轴
成45°的斜面上）
目录
§2–3 材料的力学性能
材料的力学性能——材料受力以后变形和破坏的规律。
即：材料从加载直至破坏整个过程中表现出来的反映材 料变形性能、强度性能等特征方面的指标。比例极
限 p、杨氏模量E、泊松比、极限应力 0等。
O 1 B 2C
4F
3F
1
2
3D 2F
3
目录
解： 1、计算左端支座反力
FR
O
1B 4F
2C 3F
3D 2F
材料力学典型例题与详解(经典题目)
所以石柱体积为
V3
=
G ρ
=
[σ ]A(l) − ρ
F
= 1×106 Pa ×1.45 m 2 −1000 ×103 N = 18 m3 25 ×103 N/m3
三种情况下所需石料的体积比值为 24∶19.7∶18，或 1.33∶1.09∶1。 讨论：计算结果表明，采用等强度石柱时最节省材料，这是因为这种设计使得各截面的正应 力均达到许用应力，使材料得到充分利用。 3 滑轮结构如图，AB 杆为钢材，截面为圆形，直径 d = 20 mm ，许用应力 [σ ] = 160 MPa ，BC 杆为木材，截面为方形，边长 a = 60 mm ，许用应力 [σ c ] = 12 MPa 。试计算此结构的许用载
= 1.14 m 2
A
2=
F+ρ [σ ] −
A1 l1 ρ l2
=
1000 ×103 N + 25 ×103 N/m3 ×1.14 m 2 × 5 m 1×106 N/m 2 − 25×103 N/m3 × 5 m
= 1.31 m 2
A
3=
F
+ ρA1l1 + ρA2l2 [σ ] − ρ l3
= 1000 ×103 N + 25 ×103 N/m3 ×1.14 m 2 × 5 m + 25×103 N/m3 ×1.31 m 2 × 5 m = 1.49m 2 1×106 N/m 2 − 25 ×103 N/m3 × 5 m
解：1、计算 1-1 截面轴力：从 1-1 截面将杆截成两段，研究上半段。设截面上轴力为 FN1 ，
为压力（见图 b），则 FN1 应与该杆段所受外力平衡。杆段所受外力为杆段的自重，大
材料力学-第二章
第二单元第二章 杆件的轴向拉压应力与材料的力学性能§2-1 引言工程实例: 连杆、螺栓、桁架、房屋立柱、桥墩……等等。
力学特征: 构件：直杆外力：合力沿杆轴作用(偏离轴线、怎样处理?)内力：在轴向载荷作用下，杆件横截面上的唯一内力分量为轴力N ，它们在该截面的两部分的大小相等、方向相反。
规定拉力为正，压力为负。
变形：轴向伸缩§2-2 拉压杆的应力一、拉压杆横截面上的应力(可演示，杆件受拉，上面所划的横线和纵线仍保持直线，仅距离改变，表明横截面仍保持为平面)平面假设→应变均匀→应力均匀AN=σ或A P =σ(拉为正，压为负)二、Saint-Venant 原理(1797-1886，原理于1855年提出)问题：杆端作用均布力，横截面应力均布。
杆端作用集中力，横截面应力均布吗? 如图, 随距离增大迅速趋于均匀。
局部力系的等效代换只影响局部。
它已由大量试验和计算证实，但一百多年以来，无数数学力学家试图严格证明它，至今仍未成功。
这是固体力学中一颗难以采撷的明珠。
三、拉压杆斜截面上的应力(低碳钢拉伸，沿45°出现滑移线，为什么?)0cos =-P Ap αα ασ=α=αcos cos AP p ασ=α=σαα2cos cos pασ=α=ταα22sin sin p ()0=ασ=σm ax ()452=ασ=τmax方位角α：逆时针方向为正剪应力τ：使研究对象有顺时针转动趋势为正。
例1和例2，看书p17,18§2-3 材料拉伸时的力学性能(构件的强度、刚度和稳定性，不仅与构件的形状、尺寸和所受外力有关，而且与材料的力学性能有关。
拉伸试验是最基本、最常用的试验。
)一、拉伸试验P18： 试样 拉伸图绘图系统放大变形传感器力传感器--→→→→二、低碳钢拉伸时的力学性能材料分类：脆性材料（玻璃、陶瓷和铸铁）、塑性材料(低碳钢：典型塑性材料)四个阶段：线性阶段（应力应变成正比，符合胡克定律，正比阶段的结束点称为比例极限）、屈服阶段(滑移线)（可听见响声，屈服极限s σ）、强化阶段（b σ强度极限）、局部变形(颈缩)阶段（名义应力↓，实际应力↑） 三(四个)特征点：比例极限、（接近弹性极限）、屈服极限、强度极限(超过强度极限、名义应力下降、实际应力仍上升)。
工程力学07轴向拉伸压缩和剪切
X 0 N1 PA PB PC PD 0
N1 5P 8P 4P P 0 N1 2P
10
内力 ·截面法 ·轴力及轴力图
同理，求得AB、BC、 N2 CD段内力分别为：
N2= –3P
N3= 5P
N4= P
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
轴力图如右图 N
2P +
–
11
3P
5P
+
P
D
lim
Δ A0
Δ Δ
T A
dT dA
16
截面上的应力及强度条件
二、拉（压）杆横截面上的应力
1. 变形规律试验及平面假设：
变形前
ab cd
受载后 P
a´
b´
c´
d´
P
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。
17
截面上的应力及强度条件
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
2. 拉伸应力： P
杆的轴力图。
解：x 坐标向右为正，坐标原点在
q(x)
自由端。取左侧x 段为对象，
L
内力N(x)为：
O x
O x
q N
13
q(x)
Nx x
kL
N(x )+ x kxdx 0 N(x ) 1 kx2
0
2
–
k L2
N
(
x)max
1 2
k
L2
2
截面上的应力及强度条件
问题提出： P P
横截面上 P 内力相同
内力系的合成（附加内力）。
6
内力 ·截面法 ·轴力及轴力图
直杆轴向拉伸与压缩时的变形与应力分析和拉伸与压缩时材料的力学性能——教案
直杆轴向拉伸与压缩时的变形与应力分析和拉伸与压缩时材料的力学性能——教案第一章：直杆轴向拉伸与压缩的基本概念1.1 学习目标1. 了解直杆轴向拉伸与压缩的基本概念；2. 掌握直杆轴向拉伸与压缩的变形与应力分析方法。
1.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的定义；2. 直杆轴向拉伸与压缩的变形与应力分析方法。
1.3 教学活动1. 讲解直杆轴向拉伸与压缩的基本概念；2. 分析直杆轴向拉伸与压缩的变形与应力分析方法。
第二章：直杆轴向拉伸与压缩的变形分析2.1 学习目标1. 了解直杆轴向拉伸与压缩的变形规律；2. 掌握直杆轴向拉伸与压缩的变形分析方法。
2.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的变形规律；2. 直杆轴向拉伸与压缩的变形分析方法。
2.3 教学活动1. 讲解直杆轴向拉伸与压缩的变形规律；2. 分析直杆轴向拉伸与压缩的变形分析方法。
3.1 学习目标1. 了解直杆轴向拉伸与压缩的应力分布；2. 掌握直杆轴向拉伸与压缩的应力分析方法。
3.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的应力分布；2. 直杆轴向拉伸与压缩的应力分析方法。
3.3 教学活动1. 讲解直杆轴向拉伸与压缩的应力分布；2. 分析直杆轴向拉伸与压缩的应力分析方法。
第四章：拉伸与压缩时材料的力学性能4.1 学习目标1. 了解拉伸与压缩时材料的力学性能指标；2. 掌握拉伸与压缩时材料的力学性能分析方法。
4.2 教学内容1. 拉伸与压缩时材料的力学性能指标；2. 拉伸与压缩时材料的力学性能分析方法。
4.3 教学活动1. 讲解拉伸与压缩时材料的力学性能指标；2. 分析拉伸与压缩时材料的力学性能分析方法。
第五章：实例分析与应用5.1 学习目标2. 能够应用所学知识解决实际问题。
5.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的实例分析；2. 应用所学知识解决实际问题。
5.3 教学活动1. 分析直杆轴向拉伸与压缩的实例；2. 解决实际问题，巩固所学知识。
第六章：弹性模量的概念与应用6.1 学习目标1. 理解弹性模量的定义及其物理意义；2. 掌握弹性模量在材料力学中的应用。
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
拉压杆斜截面上的应力Ｐ
Ａ为横截面的面积 Ａ为斜截面的面积 横截面上的正应力 斜截面上的应力
N p A P P cos cos A A cos
P A
斜截面上的正应力和剪应力
p cos cos2 p sin cos sin
P
1 1 P A N1 3P C 2 N2
A
∴N2=P－3P= －2P
2
3、内力图
P A l P
3P
B
注意：
1 、一次只能取一个截面， 将原构件分成两部分。
C
l
Ｎ
O
2、内力方向设为正向后建立平 衡方程求解。（说明＋－）
3 、分离体图与原图上下对 齐，截面位置一目了然。 4 、轴力图大小近似按比例， 也要与上图对齐。 练习：
1、变形规律试验及平面假设：
a c
P
b d
变形前
a´ c´
b´ d´
受力后 P
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。 平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面. N 3、横截面上的应力：均匀分布 A
例２-４：计算下图中指定截面上的应力。ＡＢ段与ＣＤ段的横截面积均 为２０mm2，ＡＢ段横截面积为 1０ mm2 ，
C
已知：三角架 ABC 的〔σ 〕=120 MPa，AB 杆为 2 根 80*80*7 的等边角钢，AC 为 2 根 10 号槽钢，AB、AC 两杆的夹角为300 。 求：此结构所能承担的最大外荷载 Fmax
解： 1、F 与 FN 的关系
Y
0
X 0 F Y 0 F
NAC
FNAB cos30 0
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
Page
40
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
大厦受撞击后，为什么沿铅垂方向塌毁？
据分析，由于大量飞机燃油燃烧，温度高达1200℃，组成 大楼结构的钢材强度急剧降低，致使大厦铅垂塌毁
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第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
§2-6 应力集中与材料疲劳 灾难性事故
1954年，英国海外航空 公司的两架“彗星”号 大型喷气式客机接连失 事，通过对飞机残骸的 打捞分析发现，失事的 原因是由于气密舱窗口 处的柳钉孔边缘的微小 裂纹发展所致，而这个 柳钉孔的直径仅为 3.175mm
例：画轴力图。 解： 分段计算轴力 由平衡方程： AB段 FN1 = qx BC段 CD段 FN3 = F 画轴力图
FN 2 = F x F a
q q=F a
2F
g
A
x a
B
a
C
a
D
FN1
x FN 2 2F
g
FN3
F F
+
F
Page 9
• 轴力图：表示轴力沿杆轴 变化的图。 • 设正法（为什么要用设正法？） • 作图要求：图与杆轴线对齐，用工具作图
材料力学
北方民族大学 土木工程学院 傅博
第一章回顾
构建设计基本要求：强度，刚度和稳定性 材料力学的任务： 材料力学研究对象：杆（杆、轴、梁），简单板壳 基本假设：连续、均匀、各向同性 内力计算：截面法 应力、应变、胡克定律（剪切胡克定律）
u u u u u u
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
低碳钢
（压缩）
s p
（拉伸）
o
愈压愈扁 Et Ec
ts
cs
Page 38
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t t'
“在微体互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值 相等，方向则均指向或离开该交线”－切应力互等定 理
§5 应变
正应变概念 切应变概念 例题
正应变概念
正应变（normal strain)定义
u s
棱边 ka 的平均 正应变
lim
u
s0 s
k点沿棱边 ka 方向 的正应变(线应变）
表示轴力沿杆轴变化情况的图线 （即 FN-x 图 ），称为轴力图
§3 拉压杆的应力
拉压杆横截面上的应力 拉压杆斜截面上的应力 圣维南原理 例题
拉压杆横截面上的应力
已知平衡方程
FN
sdA
A
1.变形试验 观察
未知 s 分布形式
横线仍为直线,仍垂直于杆件轴线,只是间距增大。.
2. 变形假设
正应力与切应力
应力分解：
s －正应力 t －切应力
p2 s2t2
应力单位:
1Pa1N/m 2 （Pa－Pascal 帕）
1MP 1a60P a1N/m 2 m （M－Mega 兆）
应力状态与切应力互等定理
微体：一点处边长无限小的六面体 两种常见应力状态：
单向应力状态 （单向受力）
纯剪切状态
切应力互等定理
正应变特点
1. 正应变是无量纲量 2. 过同一点，不同方位的正应变一般不同
切应变概念
切应变（shear strain）定义
微体相邻棱边所夹直 角的改变量 g ，称为 切应变（剪应变）
切应变为无量纲量 切应变单位为 rad
例题
例 2 求x,y与g
解：
x 0
y v
AD
vA' D A D A G AD
g 10001.0103rad
a t Gg
t (8 0 1 0 3 M P a )(1 .0 1 0 3 r a d )80MPa
注意：g 虽很小，但 G 很大，切应力 t 不小
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
本章主要研究： 拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 拉压杆连接部分的强度计算 简要介绍结构可靠性设计的概念
v-0.0 513 0m
y0.0 51 0 3m 5.0 010 4
0.10m 0
g
tang
D'G AG
0.0 1 .1-0 0 0 10 . 3 0 0 m m 15 -3 0 m 1.0 0 10 3rad
§6 胡克定律
胡克定律 剪切胡克定律 例题
胡克定律
实验表明：当正应力 s 不超过一定限度时，
轴力计算
试分析杆的轴力 （F1=F，F2=2F）
FR F2 F1 F
AB 段：
BC 段：
FN1 F
FN2F0 FN2F
要点：逐段分析轴力；设正法求轴力； 均匀分布载荷作用下——求外载荷合力； 非均布载荷作用——积分求合力（例3－3）
轴力图
FN1 F
FN2F
以横坐标 x表示横截面位置，以纵坐标 FN表示 轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线。
轴向拉压及其特点
外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线 变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 轴向拉压: 以轴向伸长或缩短为主要特征的
变形形式 拉 压 杆: 以轴向拉压为主要变形的杆件
§2 轴力与轴力图
轴力 轴力计算 轴力图
轴力
轴力定义：通过截面形心并沿杆件轴线的内力 符号规定：拉力为正,压力为负
My, Mz －矢量位于所切横截面的内力偶矩分量－弯矩
内力的确定
F x 0 , F y 0 , F z 0 M x 0 , M y 0 , M z 0
截面法要点 1. 假想地将杆切开 2. 画受力图，内力用分量表示 3. 由平衡条件建立内、外力间的关系
例题பைடு நூலகம்
例 1 求横截面 m -m 上 的内力 解：1. 假想地将杆切开 2. 画受力图 3. 由平衡方程确定内力
构件是由连续、均匀与各向 同性材料制成的可变形固体
内力与截面法
内力
由于外力作用，构件内部相连两部分之 间的相互作用力——连续分布内力 连续分布力的合力——内力
内力分量
内力与截面法
FN－沿横截面轴线的内力分量－轴力 FSy, FSz－作用线位于所切横截面的内力分量－剪力
Mx－矢量沿轴线的内力偶矩分量－扭矩
第一讲回顾
第一章 绪 论
§1 材料力学的任务与研究对象 §2 材料力学的基本假设 §3 外力与内力 §4 应力
第二讲回顾
§5 应变 §6 胡克定律
第二章 轴向拉压应力与材料力学性能
第三讲内容
材料力学性能 轴向拉压变形（第三章）
材料力学的任务
研究构件在外力作用下的变形、 受力与失效的规律，为合理设计构件 提供有关强度、刚度与稳定性分析的 基本理论与方法（包括试验方法）。
s 或 sE
E－弹性模量（杨氏模量） Young’s Modulus
单向受力状态 Hooke’s Law
剪切胡克定律
实验表明：当切应力 t 不超过一定限度时
tg 或 t Gg
G －切变模量
例题
例 3 已知 s = a /1000,
G = 80 GPa,求 t = ?
解：
g tang s
a a
拉压杆变形的平面假设
解决结构安全 与重量的矛盾
失效：广义破坏，包括断裂、失稳等
材料力学分析的 基本原则
受力分析 —— 平衡 变形分析 —— 协调（连续） 受力与变形—— 符合材料性质
基本假设小结
连续性：构件所占有的空间内处处充满物质 （密实体）
均匀性：材料的力学性能与其在构件中的位置无关 （力学性能与位置无关）
各向同性：材料沿各个方向的力学性能相同 （力学性能与方向无关）
F y0 , F N F 0
FN F
应力概念
应力定义
p F A
截面 mm 上 A 内 的平均应力
lim p
F
A0 A
截面 mm 上 k 点 处的应力
应力特点
方向：ΔF的极限方向 量纲：[力]/[长度]2 作用面：m-m截面、k点
1. 应力是二阶张量：力的方向、作用面方位 2. 同一横截面上，不同点处的应力一般不同 3. 过同一点，不同方位截面上的应力一般不同
§1 引言 §2 轴力与轴力图 §3 拉压杆的应力 §4 材料拉伸时的力学性能 §5 材料拉压力学性能进一步研究 §6 应力集中与材料疲劳 §7 许用应力与轴向拉压强度条件 §8 连接部分的强度计算 §9 结构可靠性设计概念简介
§1 引 言
轴向拉压实例 轴向拉压及其特点
轴向拉压实例
拉压杆