广东省湛江第一中学2020-2021学年高二年级第一学期数学11月28日周六测试题(十)
广东省湛江市第一中学高二数学上学期第二次月考试题文
湛江一中2015—2016学年度第一学期第二次考试高二级 文科数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（共12题，每道题5分，共60分）1．设集合{}{}=⋂≤≤=<-+=N M ,3x 1x N ,0)2x )(3x (x M 则( )A ．[)2,1B ．[]2,1 C. (]3,2 D ．[]3,2 2．====∆AC ,23BC ,45B ,60A ABC 则中，若在 ( )A ．34B ．32 C.3 D.233. 数列，，，95,7453,321 …的一个通项公式n a ＝( ) A.1n 2n + B.1n 2n- C.3n 2n - D.3n 2n +4.设R x ∈，则命题:1q x >-是命题:0p x >的（ ）.A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分又不必要条件 5．命题“存在0m x 2x ,Z x 2≤++∈使”的否定是( )A ．存在0m x 2x ,Z x 2>++∈使B ．不存在0m x 2x ,Z x 2>++∈使C ．对于任意0m x 2x ,Z x 2≤++∈都有D ．对于任意0m x 2x ,Z x 2>++∈都有6．已知等差数列{}n a 的公差为)0d (d ≠,且32a a a a 131063=+++,若8a m =, 则=m ( )A.8B.4C.6D.127．在23S ABC 2AB ,60A ABC ABC =∆==∆∆的面积，且中， ，则边BC 的边长为( )A. 3 B ．3 C.7 D ．78. 已知公比为2的等比数列{}n a 中，3a a a 642=++，则=++975a a a ( )A ．12B ．18C ．24D ．6 9. 已知命题p:01x x ,R x :q ;45x cos ,R x 2>+-∈∀=∈∃命题, 则下列结论正确的是( )(A)命题p ∧q 是真命题 (B)命题q p ⌝∧是真命题 (C)命题q p ∧⌝是真命题 (D)命题q p ⌝∨⌝是假命题 10．不等式02x 7x 32<+-的解集为( )A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2x 31xB ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧><2x 31x x 或C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-31x 21x D ．{}2x x >11．已知数列{}n a 满足4,0a 311==++a a n n ，则{}n a 的前10项和等于( )A. ）（10-3-16-B.）（10-3-191C ．）（10-3-13 D ．）（10-313+12．设21F F ，分别为双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得ab 49PF PF ,b 3PF PF 2121=⨯=+，则该双曲线的离心率为( ) A.43 B.53 C.94 D ．3二、填空题（共4题，每道题5分，共20分）13. 已知y ,x 都是正数，如果15xy =，则y x +的最小值是________；14. 在ABC ∆中，若222b a c +>，则ABC ∆必是______(填锐角，钝角，直角)三角形．15．设变量y ,x 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥,2x ,2y 2x ,x y 则y 3x z -=的最小值为____________.16．给定下列命题：①“若0k x 2x ,0k 2=-+>则方程有实数根”的逆否命题； ②“若B sin A sin ,B A ==则”的逆命题； ③“若b ab ,0b1a 1<<<则2”的逆否命题； ④“若0xy =，则y ,x 中至少有一个为零”的否命题． ⑤“若0b a ,baa b <<>则”的逆命题。
广东省湛江一中2022-2022学年高二数学上学期期末考试 理 【会员独享】
湛江一中2022——2022学年度第一学期期末考试高二级〔理科〕数学科试卷考试时间：120分钟 总分值：150分一．选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.点A )4,1,3(--，那么点A 关于x 轴对称的点的坐标为〔 〕 A. )4,1,3(-- B.)4,1,3(--- C. )4,1,3(-- D. )4,1,3(2．椭圆2213649x y +=上的一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，那么P 点到另一个焦点的距离〔 〕A . 3B . 4 C. 9 D . 113．假设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是 ( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)4.曲线221259x y +=与曲线221259x y k k+=--(9)k <的〔 〕 A. 长轴长相等 B. 焦距相等 C. 离心率相等 D. 短轴长相等5.给出以下命题：①对空间任意两个向量,a b 〔b ≠0〕，那么a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使得b a λ=; ②假设0a b •=，那么00a b ==或; ③假设,,OA OB OC 不能构成空间的一个基底，那么O,A,B,C 四点共面; ④对于非零向量c b a ,,，那么)()(c b a c b a •=•一定成立. 正确命题的个数为〔 〕A ．1 B.2 C. 3 D. 46．正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11,BB CC 的中点，那么异面直线AE 与BF 所成角的余弦为〔 〕 A ．25 B ．15- C ．15 D ．25- 7．过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，假设1260F PF ∠=，那么椭圆的离心率为〔 〕A．2 B．3 C ．12 D ．138．假设点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(a>0)ax y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,那么OP FP ⋅的取值范围为 ( )A．)+∞ B．[3)++∞ C ．7[-,)4+∞ D ．7[,)4+∞ 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．9.(,4,3),(3,2,)a x b z ==假设a ∥b ，那么x z ⋅=10.假设抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，那么p 的值为 ． 11.双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直，那么a =_________ 12．抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。
广东省湛江市第一中学高二上学期第一次大考试题数学(理)Word版含答案
湛江一中2018-2019学年度第一学期“第一次大考”高二级理科数学试卷考试时间：120分钟 满分：150 命题人：何佩锦；审题人：许振广；做题人：陈振宇一. 选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n 2＋1D ．a n ＝n (n ＋1)22.已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b 成立的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).则第7个三角形数是( )A.27B.28C.29D.304.在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶3∶2 B ．3∶2∶1 C ．1∶2∶3D ．2∶3∶15. 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≤0，x ＋y≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A.0B.3C.4D.56．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2bcos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形{}{}157.3717.1941.4119.,3432,,,.7483759D C B A b b a b b a n n T S n T S n b a n n n n n n ）的值为（则都有若对任意自然数项和分别为的前设等差数列+++--=8. 已知函数),(1)(22R b R a b b ax x x f ∈∈+-++-=，对任意实数x 都有)-1()1(x f x f =+成立，若当[]1,1-∈x 时，0)(>x f 恒成立，则b 的取值范围是( )A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定9.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若161116117a a a b b b π⋅⋅=-++=,则3948tan 1b b a a +-⋅的值是（ ）A. B.22 C . 22- D.310．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是( ) A ．5，－112 B ．7，－112C ．7,5D ．7，－511．不等式x 2＋2x <a b ＋16ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－4，2)B ．(－2，0)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)12.记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①无实根，且②有实根B ．方程①无实根，且②无实根C ．方程①有实根，且②有实根D ．方程①有实根，且②无实根二．填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.）13．在等差数列{}n a 中，91110a a +=，则数列{}n a 的前19项之和是___________． 14．给出平面区域如图阴影部分所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为________．15．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===∆且的一个三等分点为中在，则B cos =16．已知a >b ，不等式ax 2＋2x ＋b ≥0对一切实数x 恒成立．又存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋b＝0成立，则a 2＋b 2a －b 的最小值为三．解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤（共70分）17. （本题10分）如图所示，在四边形ABCD 中， D ∠=2B ∠，且1AD =，3CD =，cos 3B =． （Ⅰ）求△ACD 的面积；（Ⅱ）若BC =AB 的长．18.（本题12分）已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N *)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .19．（本题12分）如图，四棱锥S ABCD -中，M 是SB 的中点,//AB CD ，BC CD ⊥，SCDMABCD且2AB BC ==，1CD SD ==，又SD ⊥面SAB . (1) 证明:CD SD ⊥; (2) 证明://CM 面SAD ; (3) 求四棱锥S ABCD -的体积.20．（本题12分）已知2()cos cos 222x x xf x =+. （Ⅰ）若()1f α=，求cos(2)3πα+的值；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足A c C a b cos cos )2(=-，求)(B f 的取值范围．21. （本题12分） 解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R ).22. （本题12分）数列{}n a 的通项n a 是关于x 的不等式2x x nx -<的解集中正整数的个（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）求证：对2n ≥且*n N ∈恒有7()112f n ≤<．湛江一中2018-2019学年度第一学期“第一次大考”高二级理科数学普通卷（A ）答案一. 选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）二．填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13．95 14． 35 15．1867 16．三．解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤（共70分）17.解：（Ⅰ）311cos 22cos cos 2-=-==B B D ……………………………………………….…………2分因为()0,D π∠∈，所以sin D =，……………………………………………………………………………3分 所以△ACD 的面积1sin 2S AD CD D =⋅⋅⋅=…………………………………………………..………5分 （Ⅱ）在△ACD 中，12cos 2222=⋅⋅-+=D DC AD DC AD AC ， 所以AC =．…………………………………………………………………………………….....………………7分在△ABC 中，12cos 2222=⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC …………………………………….………9分把已知条件代入并化简得：042=-AB AB 因为0AB ≠，所以4AB = …………………10分18. 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23，…………………………………1分当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，…………………………………………………………………2分则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1(n ≥2). ……………4分故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列.故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *).………………………………………………………………………………………5分. (2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.………………………………………………………………………………………………………6分所以b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝n ＋1，……………………………………………………………7分因为1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，………………………………………………………9分 所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2（2n ＋2）.……………………12分 19. （1）证明：由SD ⊥面SAB .，AB SAB ⊂面 所以S ⊥………………………………………………………………………………………………………………………1分 又//AB CD …………………………………………………………………………………………………………………………2分 所以C ⊥………………………………………………………………………………………………………………………3分（2）取SA 中点N ，连结,ND NM ………………………………………………………………………..…………4分则//NM AB ，且12MN AB DC ==，//AB CD 所以N 是平行四边形…………………………………………………………………………………..…..…………5分//ND MC ，……………………………………………………………………………………………………………..…………6分 且,ND SAD MC SAD ⊂⊄面面 所以//CM 面SAD ;………………………………………………………………………………………………..…………7分 （3）::3:2S ABCD S ABD ABCD ABD V V S S --∆∆==………………………………………………………..…………8分过D 作DH AB⊥，交于H，由题得BD AD ==..…………9分在,Rt DSA Rt DSB∆∆中，12S A S B ==-=……………………………….…………..…………10分 所以133S ABD D SAB ABS V V DS S --∆==⋅⋅=……………………..………………………………………….……11分所以3323S AV -=⋅-……………………..……………………………………………….……………….……12分(注：其他解法按步骤相应给分) 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）=)(x f 2s s 222x x xco co ⋅+21cos 21sin 23++=x x ， ………………………………………………2分 21)6sin(++=πx ．………………………………………………………3分由()1f α= ，得1sin()162πα++=，∴1sin()62πα+=．……………………4分 ∴21)6(sin 21)6(2cos )32cos(2=+-=+=+πππx x x ． ………………………5分（Ⅱ）由A c C a b cos cos )2(=-及正弦定理得：A C C AB cos sin cos )sin sin 2(⋅=⋅-．………………………………………………6分 ∴A C C A C B cos sin cos sin cos sin 2⋅=-，B C A C B sin )sin(cos sin 2=+=．……………………………………………8分∵0sin ≠B ，且ABC ∆是锐角三角形，∴21cos =C ，3π=C ． ∴32π=+B A ，A B -=32π． ………………………………………………10分∵20π<<A ， ∴26ππ<<B ． ∴3263πππ<+<B ． ∴1)6sin(23≤+<πB ．………………………………………………………11分 ∵21)6sin()(++=πB B f ，∴)(B f 的取值范围是]23,213(+． ………………………………………12分21. 解关于x 的不等式ax2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R).解：原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0. ……………………………………………………………….……..1分(1) 当a ＞0时，原不等式可以化为a(x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0，等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0.(2) 当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2＜x ＜1a ；……………………………………...3分当a ＝12时，原不等式的解集是∅；………………………………………………………………….……….……..5分当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜2.………………………………………….……..7分 (2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2，即原不等式的解集是{x|x ＞2}.…………………………………………………………………..…………….……..9分 (3)当a ＜0时，原不等式可以化为a(x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0，由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜1a 或x ＞2.…………………………………………..….……..11分综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜1a 或x ＞2；当a ＝0时，不等式的解集为{x|x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2＜x ＜1a ； 当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1a ＜x ＜2.……..12分22. 解：（1）2x x nx -<等价于(1)0x x n --<，解得(0,1)x n ∈+ 其中有正整数n 个，于是n a n = …………………………………………..….……...….……..….…….2分（2）1()22nn n n b n ==⋅ 21211112()()222n n n S b b b n =+++=⨯+⨯++⨯……23111111()2()()2222n n S n +=⨯+⨯++⨯… ………………………………..….……...….……..….….3分 两式相减得231111111111()()()()1()()22222222n n n n n S n n ++=++++-⨯=--⨯…….4分 故11112()()=2(2)()222n n n n S n n -=--⨯-+ …………………………..….……...….……..….….6分（3 1111n nn<+++= ………………………………..….……...….……..…...….……..….……...….……...8分 由111111()1212n n n f n a a a n n n n n=+++=+++++++++…… 知11111(+1)++2322122f n n n n n n =+++++++… 于是111111(1)()021********f n f n n n n n n n +-=+->+-=++++++.….……...10分故(1)()f n f n +>()f n ∴当2n ≥且*n N ∈时为增函数7()(2)12f n f ∴≥=综上可知7()112f n ≤< ……………………………..….……...….……..…...….……..….……...….……..12分。
广东省湛江第一中学高二数学上学期第一次大考试题 理
湛江一中2016-2017学年度第一学期“第一次大考”高二级数学理科试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. ,a b 是任意实数，a b >，且0a ≠，则下列结论正确的是（ ） A. 33a b --< B.1b a< C. 1lg()lga b a b ->- D. 22a b > 2. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若389a a =，则31310log log a a +=（ ） A. 1 B. 4 C. 2 D. 3log 53. 下列函数中，最小值为4的是( ) A.4()f x x x =+B.4()cos cos f x x x=+ C.()343x xf x -=+⨯ D.()lg 4log 10x f x x =+4．ABC ∆中，1b =，6B π∠=，则ABC ∆的形状一定为（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n⎝⎛⎭⎪⎫0≤a n<12，2a n－1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2014的值为( )A ．57B ． 67C ．37D ．176．某船开始看见灯塔在南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60o的方向航行45km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（ ）A B.30km C ．15km D.7.数列{}n a 满足1a ，21a a -，32a a -，，1n n a a --是首项为1，公比为2的等比数列，那么na 等于( )A ．41n- B ．121n -- C ．21n + D ．21n-8.设n s 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95ss 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．129．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列四个命题：①0d <；②110S >；③ 使0n S >的最大n 值为12；④数列{}n S 中的最大项为11s ，其中正确命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 10.已知ABC ∆是锐角三角形，若B A 2=，则ba的取值范围是( ) A. )3,2( B. )2,2( C. )3,1( D. )2,1(11. 若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+01032033my x y x y x ，且y x +的最大值等于9，则实数m 等于( )A ．2-B ．1C ．1-D ．212.己知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则21445n n S a ++的最小值为（ ）A ．4 B ．272 C ．1219D ．675 第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知实数,x y 满足1000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最大值为 .14．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60,2,A b =︒=ABC S ∆=，则a = .15．已知数列1,111,,,,,12123123n++++++则其前n 项的和等于 .16．给出下列命题：① ,A B 是ABC ∆的内角，且A B >，则sin sin A B >; ② {}n a 是等比数列，则{}1n n a a ++也为等比数列；③ 在数列{}n a 中,如果n 前项和22n S n n =++，则此数列是一个公差为2的等差数列；④ O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足：sin sin AB AC OP OA C B λ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,λ∈+∞，则直线AP 一定通过ABC ∆的内心；则上述命题中正确的有 （填上所有正确命题的序号）三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17（本小题满分10分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （I ）求{}n a 的通项公式n a ；(II)若数列{}n b 满足：3n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T ．18（本小题满分12分）已知函数23()cos()cos()2f x x x x ππ=+--. （I ）求()f x 的最小正周期和最大值； (II) 求()f x 在2[,]63ππ上的单调递增区间．19（本小题满分12分） 已知不等式的解集为或（I ）求a ,b 的值；(II)解不等式2()0ax am b x bm -++<.20.(本小题满分12分)假设我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用H （万元）与隔热层厚度x (厘米)满足关系式：)100(53)(≤≤+=x x kx H （当0=x 时表示无隔热层），若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元.设)(x f 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （I ）求k 的值和)(x f 的表达式；(II)当隔热层修建多少厘米厚时，总费用)(x f 最小，并求出最小值.21（本小题满分12分）在ABC ∆中,内角,,A B C 对应的边长分别为,,a b c ,已知(,)m c a b =+, (,n a b a =-//m n（I ）求角A ；(II)若a =求b c +的取值范围．22（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,12-=n n a S ()*n N ∈. （I ）求数列{}n a 的通项公式；(II)若数列{}n b 满足n n a n b ⋅=2，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(III)若数列{}n c 满足()n n nn a c λ1123--+=（λ为非零常数），确定λ的取值范围,使*n N∈时，都有n n c c >+1.湛江一中2016-2017学年度第一学期“第一次大考”高二级数学理科试卷答案 第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.1214. 15. 21n n + 16. ①④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （本小题满分10分)解：（I ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知可得1193690,15105240a d a d +=+=， ——————— 1分解得12a d ==————————3分2n a n = ————————5分(II) 323n nn b a ==⋅ —— ——————7分 由13n nb b +=，{b n }是首项为6，公比为2的等比数列 ———————8分 则13(13)23313n n n T +-==-- ————————10分18（本小题满分12分）解：1cos 2()-cos )(sin )2x f x x x +=⋅-+（1sin 2cos 2sin(2)223x x x π=-=- ——————4分 （I ）()f x 的最小正周期为π，最大值为1； —————— 8分(II) 当()f x 递增时，222 ()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，即51212k x k ππππ-≤≤+()k Z ∈, ——————10分 所以，()f x 在5[,]612ππ上递增即()f x 在2[,]63ππ上的单调递增区间是5[,]612ππ —— ———12分 19（本小题满分12分） 解：（I ）因为不等式的解集为或所以，是方程的两个解 —————1分所以， ———————3分解得———————5分(II) 由（I ）知原不等式为，即， —————— 6分当时，不等式解集为 ————————8分当时，不等式解集为; ———————10分当时，不等式解集为; ———————12分20.(本小题满分12分)解：（I ）当0=x 时，8=H ，即85=k，解得40=k ————2分故5340)(+=x x H ——————3分5380065340206)(++=+⨯+=∴x x x x x f )100(≤≤x ————6分 (II) 由（I ）知35535≤+≤x ————7分7010160021053800)53(25340206)(=-≥-+++=+⨯+=∴x x x x x f —————10分当且仅当53800106+=+x x ，即5=x 时)(x f 取得最小值 ————11分即隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70万元. —12分 21（本小题满分12分） （I ）∵//m n 221cos 2c a B b a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, —————1分 由余弦定理得2222222a c b bc a b +--=-,222a b c bc =+- ——————3分 ∵2222cos a b c bc A =+-,∴1cos 2A =————————4分∵()0,πA ∈,∴π3A =————————5分(II)由余弦定理得2sin sin sin a b cA B C===,∴2sin b B =,2sin c C =—————6分∴()2sin 2sin 2sin 2sin b c B C B A B +=+=++ ———————7分2sin 2sin cos 2cos sin B A B A B =++12sin 2cos 2sin 22B B B =+⨯+⨯ π3sin 6B B B ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭； ————————9分∵2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴ππ5π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦． ————————11分所以b c +∈————————12分22（本小题满分12分）解：（I ）当n =1时，11121a s a ==-，11a ∴= ————— 1分当1n >时，21n n s a =-，1121n n s a --∴=-112n n n n s s a a --∴-=-122n n n a a a -∴=-12n n a a -∴={}n a 是首项为1，公比为2的等比数列1*2,n n a n N -∴=∈ —————3分(II) 22nn n b n a n =⋅=⋅212222n n T n =⋅+⋅+⋅ ① 23121222(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+-⋅+⋅ ②①-②得23122222n n n T n +-=+++-⋅1(1)22n n +=-⋅-1(1)22n n T n +∴=-⋅+ ———————7分(III) ∵11-2)1(23--⋅+=n n n n C λn n n 2)1(31λ--+=∴n n C C >+1即 >-+++112)1(3n n n λn n n 2)1(31λ--+即02)1(2)1(33111>---+--++n n n n n n λλ即0)22()1(321>+-+⋅+n n nnλ即023)1(32>⋅-+⋅nnnλ∴>-λn)1(nn 2332⋅⋅- 即>-λn)1(1)23(--n ——————8分 当n 为偶数时≤--1)23(n 23-∴23->λ ————— 10分当n 为奇数时≤--1)23(n 1- ∴1->-λ即 1<λ 又∵0λ≠∴ 123<<-λ且0λ≠ ——————12分。
广东省湛江市2020-2021学年高二上学期数学期末试卷及答案
广东2020-2021学年第一学期高二期末考试数学（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．命题“∀x∀[0，+∞），x2+2x≥0”的否定是（）A．∀x∀（﹣∞，0），x2+2x≥0B．∀x∀（﹣∞，0），x2+2x＜0C．∀x0∀[0，+∞），x02+2x0≥0D．∀x0∀[0，+∞），x02+2x0＜02．双曲线＝1的焦距是（）A．10B．20C．2D．43．在数列{a n}中，a1＝0，a n＝3a n﹣1+2（n≥2），则a3＝（）A．2B．6C．8D．144．在∀ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则b＝（）A．B．C．D．5．已知点P（﹣2，4）在抛物线y2＝2px（p＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（0，4）C．（2，0）D．（4，0）6．已知双曲线＝1的焦点与椭圆＝1的焦点相同，则m＝（）A．1B．3C．4D．57．“﹣1＜m＜3”是“方程+＝1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝10，则|PF2|＝（）A．2或18B．2C．18D．49．在∀ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin2B＝b cos A cos B，则∀ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定10．直线l：y＝kx+2与椭圆C：＝1有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣，]B．（﹣∞，﹣]∀[，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∀[，+∞）11．已知等差数列{a n}的前n项和S n有最小值，且，则使得S n＞0成立的n 的最小值是（）A．11B．12C．21D．2212．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过点F1且与l1垂直的直线l交l1于点P，交l2于点Q，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆4x2+6y2＝24的短轴长是．14．已知a＞b＞0，且a+b＝2，则的最小值是．15．从某建筑物的正南方向的A处测得该建筑物的顶部C的仰角是45°，从该建筑物的北偏东30°的B处测得该建筑物的顶部C的仰角是30°，A，B之间的距离是35米，则该建筑物的高为米．16．已知抛物线C：y2＝4x，点Q在x轴上，直线l：（m﹣2）x﹣y﹣2m+4＝0与抛物线C 交于M，N两点，若直线QM与直线QN的斜率互为相反数，则点Q的坐标是．三．解答题（共6小题，17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知p：函数f（x）＝|ax﹣m|（a≠0）在区间[1，+∞）上单调递增，q：关于x的不等式x2+mx+m≤0的解集非空．（1）当a＝3时，若p为真命题，求m的取值范围；（2）当a＞0时，若p为假命题是q为真命题的充分不必要条件，求a的取值范围．18．∀ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a，．（1）求C；（2）若，求∀ABC的面积．19．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，直线l与抛物线C交于M，N两点．（1）若直线l的方程为y＝x+3，求|MF|+|NF|的值；（2）若直线l的斜率为2，l与y轴的交点为P，且＝2，求|MN|．20．已知数列{a n}的前n项和Sn＝2﹣a n，数列{b n}满足b1＝1，b3+b7＝18．且b n+1+b n﹣1＝2b n （n≥2）．（I）数列{a n}和{b n}的通项公式．（II）若b n＝a n•c n，求数列{c n}的前n项和T n．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∀AD，AD∀BC，P A＝PB＝PD，PE＝2EC，O为BD 的中点．（1）证明：OP∀平面ABCD．（2）若AB＝2，BC＝2AD＝4，P A＝4，求二面角C﹣BD﹣E的余弦值．22．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，点A在椭圆E上，且|OA|的最小值是（O为坐标原点）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知动直线l与圆O：x2+y2＝t2（t＞0）相切，且与椭圆E交于P，Q两点．是否存在实数t，使得OP∀OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．广东2020-2021学年第一学期高二期末考试数学一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．命题“∀x∈[0，+∞），x2+2x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x2+2x≥0B．∀x∈（﹣∞，0），x2+2x＜0C．∃x0∈[0，+∞），x02+2x0≥0D．∃x0∈[0，+∞），x02+2x0＜0【解答】解：命题为全称命题，则命题“∀x∈[0，+∞），x2+2x≥0”的否定：∃x0∈[0，+∞），x02+2x0＜0，故选：D．2．双曲线＝1的焦距是（）A．10B．20C．2D．4【解答】解：双曲线﹣＝1中a＝8，b＝6，∴c＝＝10，∴2c＝20．故选：B．3．在数列{a n}中，a1＝0，a n＝3a n﹣1+2（n≥2），则a3＝（）A．2B．6C．8D．14【解答】解：因为a1＝0，a n＝3a n﹣1+2，所以a2＝3a1+2＝2，则a3＝3a2+2＝8．故选：C．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则b＝（）A．B．C．D．【解答】解：利用正弦定理：因为，所以．故选：A．5．已知点P（﹣2，4）在抛物线y2＝2px（p＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（0，4）C．（2，0）D．（4，0）【解答】解：因为点P（﹣2，4）在抛物线y2＝2px的准线上，所以，所以p＝4，则该抛物线的焦点坐标是（2，0）．故选：C．6．已知双曲线＝1的焦点与椭圆＝1的焦点相同，则m＝（）A．1B．3C．4D．5【解答】解：因为椭圆＝1的焦点坐标（，0），双曲线＝1的焦点坐标（，0）所以＝，解得m＝1．故选：A．7．“﹣1＜m＜3”是“方程+＝1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程表示椭圆，则，解得﹣1＜m＜3或3＜m＜7，故“﹣1＜m＜3”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件．故选：A．8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝10，则|PF2|＝（）A．2或18B．2C．18D．4【解答】解：因为|PF1|＝10＜a+c＝12，所以点P在该双曲线左支上，则|PF2|＝2a+|PF1|＝2×4+10＝18．故选：C．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin2B＝b cos A cos B，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解答】解：因为a sin2B＝b cos A cos B，所以sin A sin2B＝sin B cos A cos B，所以sin B（sin A sin B﹣cos A cos B）＝0，即﹣sin B cos（A+B）＝0．因为0＜A＜π，0＜B＜π，所以，故△ABC是直角三角形．故选：B．10．直线l：y＝kx+2与椭圆C：＝1有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣，]B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【解答】解：∵直线l：y＝kx+2与椭圆C：＝1有公共点，∴联立方程，消去y得：（1+2k2）x2+8kx+6＝0，∴△＝64k2﹣24（1+2k2）≥0，解得：或，故选：B．11．已知等差数列{a n}的前n项和S n有最小值，且，则使得S n＞0成立的n 的最小值是（）A．11B．12C．21D．22【解答】解：由题意可得等差数列{a n}的公差d＞0．因为，所以a12＞0，a11＜0，所以a11+a12＞0，则，S21＝21a11＜0．故使得S n＞0成立的n的最小值是22．故选：D．12．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过点F1且与l1垂直的直线l交l1于点P，交l2于点Q，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【解答】解：记O为坐标原点．由题意可得F1（﹣c，0），不妨设l1：，l2：，则直线l：．联立，解得，则，故|PF1|＝b，|OP|＝a．因为，所以|PQ|＝2|PF1|，所以|PQ|＝2b，，则．因为，所以，所以，整理得c4﹣4a2c2+3a4＝0，则e4﹣4e2+3＝0，解得．故选：B．二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆4x2+6y2＝24的短轴长是4．【解答】解：由题意椭圆4x2+6y2＝24，即：，可得b＝2，则短轴长是2b＝4．故答案为：4．14．已知a＞b＞0，且a+b＝2，则的最小值是．【解答】解：因为a+b＝2，所以，因为a＞b＞0，所以（当且仅当，时，等号成立），所以，故答案为：．15．从某建筑物的正南方向的A处测得该建筑物的顶部C的仰角是45°，从该建筑物的北偏东30°的B处测得该建筑物的顶部C的仰角是30°，A，B之间的距离是35米，则该建筑物的高为米．【解答】解：设该建筑物的高|OC|＝h（O为该建筑物的底部），由题意可得|OA|＝h，，|AB|＝35，∠AOB＝150°，则|AB|2＝|OA|2+|OB|2﹣2|OA||OB|cos∠AOB，即，解得．故答案为：．16．已知抛物线C：y2＝4x，点Q在x轴上，直线l：（m﹣2）x﹣y﹣2m+4＝0与抛物线C 交于M，N两点，若直线QM与直线QN的斜率互为相反数，则点Q的坐标是（﹣2，0）．【解答】解：如图所示，直线QM、QN交Y轴分别于A、B点，不妨设m＝3，则直线方程为y+2＝x，联立抛物线y2＝4x，得：y2﹣4y﹣8＝0，∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣8，设Q（n，0），M（x1，y1），N（x2，y2）∵直线QM与直线QN的斜率互为相反数，∴，∴y1（x2﹣n）+y2（x1﹣n）＝0，∵x＝y+2∴y1（y2+2）+y2（y1+2）﹣n（y1+y2）＝02y1y2+2（y1+y2）﹣n（y1+y2）＝0﹣16+8﹣4n＝0∴n＝﹣2．故答案为：（﹣2，0）．三．解答题（共6小题，17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知p：函数f（x）＝|ax﹣m|（a≠0）在区间[1，+∞）上单调递增，q：关于x的不等式x2+mx+m≤0的解集非空．（1）当a＝3时，若p为真命题，求m的取值范围；（2）当a＞0时，若p为假命题是q为真命题的充分不必要条件，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝3时，f（x）＝|3x﹣m|．因为p为真命题，所以，即m≤3，故m的取值范围是（﹣∞，3]．（2）因为p为假命题，所以，因为a＞0，所以m＞a．记满足p为假命题的m的取值集合为A＝（a，+∞）．因为q为真命题，所以m2﹣4m≥0，解得m≤0或m≥4．记满足q为真命题的m的取值集合为B＝（﹣∞，0]∪[4，+∞）．因为p为假命题是q为真命题的充分不必要条件，所以集合A是集合B的真子集，则a ≥4．故a的取值范围是[4，+∞）．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a，．（1）求C；（2）若，求△ABC的面积．【解答】解：（1）因为b＝2a，所以c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝5a2﹣4a2cos C．所以，可得sin C+cos C＝1，整理得．又因为C∈（0，π），所以．（2）由（1）可知，c2＝5a2﹣4a2cos C＝7a2，又因为，所以a＝2，b＝2a＝4．所以．19．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，直线l与抛物线C交于M，N两点．（1）若直线l的方程为y＝x+3，求|MF|+|NF|的值；（2）若直线l的斜率为2，l与y轴的交点为P，且＝2，求|MN|．【解答】解：（1）设直线l与抛物线C交点M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去x，整理得y2﹣14y+9＝0，所以y1+y2＝14，所以|MF|+|NF|＝y1+2+y2+2＝18，所以|MF|+|NF|的值18；（2）设直线P（0，t），直线l的方程为y＝2x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去y，整理得x2﹣16x﹣8t＝0，由△＝162+4×8t＞0，则t＞﹣8，所以x1+x2＝16，x1x2＝﹣8t，①因为＝2，（0﹣x1，t﹣y1）＝2（0﹣x2，t﹣y2），所以x1＝2x2，②由①②解得t＝﹣，满足t＞﹣8，所以|MN|＝•＝．20．已知数列{a n}的前n项和Sn＝2﹣a n，数列{b n}满足b1＝1，b3+b7＝18．且b n+1+b n﹣1＝2b n（n≥2）．（I）数列{a n}和{b n}的通项公式．（II）若b n＝a n•c n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解由题意可得S n＝2﹣a n，①当n≥2时，S n﹣1＝2﹣a n﹣1，②①﹣②得，a n＝S n﹣S n﹣1＝a n﹣1﹣a n，即又a1＝S1＝2﹣a1，可得a1＝1，易知a n﹣1≠0，故数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列，所以由b n+1+b n﹣1＝2b n可知数列{b n}为等差数列，设其公差为d，则，所以d＝＝2，故b n＝b1+（n﹣1）d＝2n﹣1（II）由（I）结合题意可得，＝（2n﹣1）•2n﹣1．则+…+（2n﹣1）×2n﹣1③两边同乘以2得，+…+（2n﹣1）×2n④③﹣④得，﹣T n＝1+2（21+22+23+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）2n整理得，﹣T n＝1+＝﹣（2n﹣3）•2n﹣3故21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，P A＝PB＝PD，PE＝2EC，O为BD 的中点．（1）证明：OP⊥平面ABCD．（2）若AB＝2，BC＝2AD＝4，P A＝4，求二面角C﹣BD﹣E的余弦值．【解答】解：（1）证明：取AD的中点F，连接PF，OF．因为P A＝PD，F为AD的中点，所以AD⊥PF．因为O为BD的中点，F为AD的中点，所以OF∥AB．因为AB⊥AD，所以OF⊥AD，因为OF∩PF＝F，OF⊂平面POF，PF⊂平面POF，所以AD⊥平面POF．又OP⊂平面POF，所以AD⊥OP．因为PB＝PD，O为BD的中点，所以PO⊥BD．因为AD∩BD＝D，AD⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD．（2）解：以O为坐标原点，平行AD的直线为x轴，FO所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．则O（0，0，0），B（﹣，1，0），D（，﹣1，0），C（3，1，0），P（0，0，2）．因为PE＝2EC，所以E（2，，），故＝（2，﹣2，0），＝（，，），＝（0，0，2）．设平面BDE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，则＝（1，，﹣4）．记二面角C﹣BD﹣E的大小为θ，由图可知θ为锐角，则cosθ＝|cos＜＞|＝＝＝．∴二面角C﹣BD﹣E的余弦值为．22．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，点A在椭圆E上，且|OA|的最小值是（O为坐标原点）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知动直线l与圆O：x2+y2＝t2（t＞0）相切，且与椭圆E交于P，Q两点．是否存在实数t，使得OP⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为|OA|的最小值是，所以b＝，因为椭圆E的焦距为2，所以2c＝2，即c＝，所以a2＝b2+c2＝4，故椭圆E的标准方程是；（2）①当直线l的斜率不存在时，因为直线l与圆O相切，所以直线l的方程为x＝±t，则直线l与椭圆E的交点为（t，）或（﹣t，），因为OP⊥OQ，所以，所以，即t＝，②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，整理得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，则，，因为P（x1，y1），Q（x2，y2），在直线l上，所以y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝，将则，代入上式，得：，因为OP⊥OQ，所以，即3m2＝4（k2+1），因为动直线l与圆O相切，所以，所以，即t＝，综上，存在t＝，使得OP⊥OQ．。
广东省湛江市第一中学高二上学期期末考试数学(文)试卷
湛江市2017—2018学年度第一学期期末调研考试高中数学(必修⑤、选修1-1)试卷说明：本卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1A BC D2A B C D3A 、BA B C D ．4A .B .C D5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，表示的平面区域的面积是A B C D6A B C.D.7ABCD8.A.B.C.D.9A.B.C.D.10A B C D11A B C D12．A B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13__________．1415__________.16________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）18.（本小题满分12分）.19.（本小题满分12分）（Ⅰ）求椭圆的方程；20.（本小题满分12分）某农场计划种植甲、乙两个品种的水果，甲、问该农场如何分配甲、乙两种水果的种植面积，可使农场的总收益最大？最大收益是多少万元？21.（本小题满分12分）在.22.（本小题满分12分）F，抛物线上的点A到y轴的距离等于（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，求N的横坐标的取值范围．湛江市2017—2018学年度第一学期期末调研考试高中数学（必修⑤、选修1-1）参考答案与评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．1314．1；15；16．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 解：2分………………………………………………………5分∴. ……………………………………………………5分6分∴7分10分18．解：1分．…………………………………3分5分nb++①…………………………………6分得②……………………7分①-8分9分……………………………………………………………………………11分12分19. 解：（Ⅰ）由题得：2分解得,…………………………………………………………………………………………………4分椭圆的方程为…………………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ），直线的方程是6分由（*）…………………………………………………………………………7分 设，（*）8分………………10分的面积是 (12)分20. 解：设甲、乙两种水果的种植面积分别为x ，y 亩，农场的总收益为z 万元，则 ………1分…………4分……………5分可行域如图所示，……………………………7分由此可知当目标函数对应的直线经过点M9分10分11分 答：分别种植甲乙两种水果75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元． ………………………………………………………………………………12分21.………………………………………2分…………………………4分………………………………………6分（Ⅱ）由（I ）知7分8分.10分，………………………………………………………………12分22.解：（Ⅰ）由题意可得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A 离.……………………2分由抛物线的定义得，即p=2. …………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线的方程为，可设……………………………5分由题知AF不垂直于yx6分故，所以…………………………………………………………………………………7分又直线AB FN从而的直线FN:，直线BN9分 由解得N 的横坐标是，其中10分综上，点N 的横坐标的取值范围是…………………………………………………………12分注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.。
广东省湛江市第一中学2024届高三上学期开学考试数学试题及参考答案
湛江第一中学2024届高三级开学考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：高考范围.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}12e 1,20x M x N x x x −=>=−<∣∣，则M N ∪=（ ） A.()0,1 B.()0,∞+ C.()1,2 D.()2,∞+2.已知复数()()12i 12i z +−=−+，则z =（ ）3.在ABC 中，D 为BC 中点，M 为AD 中点，BM mAB nAC =+ ，则m n +=（ ） A.12 B.1 C.12− D.-1 4.已知函数()2313xx f x −+=，则()f x 的增区间为（ ） A.3,2∞ + B.3,2∞ −+ C.3,2∞ −− D.3,2∞ −5.设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为451,2n S a a =，则94S S =（ ） A.15 B.1 C.-1 D.-96.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点()()00,10P x x >在抛物线C 上，过P 作l 的垂线，垂足为Q ，若PO PQ =（O 为坐标原点），则0x =（ ）A. B.3 C.7.已知θ为钝角，2cos2sin2cos θθθ−=，则tan3θ的值为（ ） A.43− B.-2 C.83− D.211− 8.已知函数()2sin (0)3f x x πωω=+> 且满足236f x f x ππ −=−，则ω的最小值为（ ） A.12 B.23C.1D.2 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.一组数据：0,1,5,6,7,11,12，则（ ）A.这组数据的平均数为6B.这组数据的方差为16C.这组数据的极差为11D.这组数据的第70百分位数为710.已知函数()2ln f x x x x x =−−，则（ ） A.()f x 有两个零点 B.()f x 有两个极值点C.()0f x 恒成立D.()0f x ′ 恒成立11.已知圆22:(3)(1)1C x y −+−=与圆222:()(2)(,0)M x m y m r m r −+−=∈>R 相交于,A B 两点，则（ ）A.圆C 的圆心坐标为()3,1B.当2r =时，11m <<+C.当MA CA ⊥且3r =时，2m =D.当2AB =时，r12.《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面PAC 将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”.在鳖臑P ABC −中，,PA AB AB ⊥16π，当此鳖臑的体积V 最大时，下列结论正确的是（ ）A.PA BC ==B.此鳖臑的体积VC.直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为34D.三棱锥P ABC − 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式52x的展开式中含5x 的系数为__________. 14.小张､小陈､小胡独立的做一道数学题，小张做出这道题的概率为23，小陈做出这道题的概率为45，小胡做出这道题的概率为56，每个人是否做出这道题相互没有影响，则这道题被做出来的概率为__________. 15.已知函数()()12ln e x f x a x x =−− 在()1,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围为__________.16.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左，右焦点分别为12,F F ，右支上有一点M ，满足121290,F MF F MF ∠= 的内切圆与y 轴相切，则双曲线C 的离心率为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分10分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos A =.（1）若2b c ，求a 的值；（2）若22a bc=，求角,B C 的大小. 18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1111,13n n a a a n+==+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C −中，平面1A BC ⊥平面11ABB A .（1）证明：AB BC ⊥；（2）若12,AA AC BC E ==为1BB 上一点，且13BE EB =，求二面角1E A C B −−的余弦值. 20.（本小题满分12 分）2023年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三12个班级每个班随机抽取10名同学进行问卷，统计数据如下表：课余学习时间超过两小时 课余学习时间不超过两小时 200名以前40 10x + 200名以后 310x −40 （1）求x 的值；（2）依据上表，根据小概率值0.001α=的独立性检验，分析学生成绩与课余学习超过两个小时是否有关系；（3）学校在成绩200名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中课余学习时间超过两小时的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.附：参考公式：()()()()22()n ad bc a b cd a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++. a 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001a x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.82821.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为,2B BF =，离心率为12. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线():20l y x m m =−≠与椭圆E 相交于,A C 两点，且点()0,N m ，当ACN 的面积最大时，求直线l 的方程.22.（本小题满分12分）已知函数()1e ln x f x x −=−.（1）求函数()f x 的最小值；（2）求证：()()1e e 1ln e 02x xf x x x +−−+>. 湛江第一中学2024届高三级开学考试•数学参考答案､提示及评分细则1.B 由1e 1x −>得10e e x −>，函数e x y =在R 上单调递增，则10x −>，即{1}M x x =>∣，又由220x x −<得02x <<，即{02}N xx =<<∣，所以{0}M N x x ∪=>∣.故选B.2.A ()()()()2i 12i 2i 5i 1111i 12i 12i 12i 5z −+−−+=+=+=+=+++−，则z =.故选A. 3.C ()111131311,,,222444442BM BA BD AB AC AB AB AC m n m n =+=−+−=−+∴=−=∴+=− .故选C. 4.A 令231,3u u x x y =−+=，又3u y =在R 上单调递增，231u x x =−+的增区间为3,2∞ +，所以()f x 的增区间为3,2∞ +.故选A. 5.D ()454445141411,,,2.32,22a a a a d a d a d a a d d a a d =∴=+==∴=−=−+=− .()()()199541414929499444a a S a d S a a a a d +×××∴====−+×+×−×.故选D.6.A 因为PO PQ PF ==，所以122p =×，即2204,8,81p x y x ===×，又000,x x >∴ 7.D 由2cos2sin2cos θθθ−=得22sin cos sin θθθ−=，化简得2cos sin ,tan 2θθθ−==−， 则22tan 4tan2tan 2tan2,tan31tan 31tan2tan 11θθθθθθθθ+====−−−.故选D. 8.B 由236f x f x ππ −=−可知：()f x 关于4x π=对称，故2,4,04323k k k πππωπω⋅+=+=+=时，ω取最小值为23.故选B. 9.AD A ：()101567111267×++++++=，故A 正确； B ：()22222221124651015677×++++++=，故B 错误； C :12012−=，故C 错误；D :770% 4.9×=，故70百分位数是第5个数7.故D 正确.故选AD.10.BC ():01ln 0,1ln A f x x x x x =⇔−−− ，当且仅当1x =时取等号，故A 错误，C 正确；B ：()()12122ln ,2x f x x x f x x x ′′−−−′=−，在10,2 上，()()0,f x f x <′′′为减函数，在1,2∞ +上，()0f x ′′>，()f x ′为增函数，又()2110,0,10e 2f f f ><= ′′ ′ ，有2个零点，B 正确，D 错误.故选BC.11.ABD 由圆C 的方程可知圆C 的圆心坐标为()3,1，即A 正确；当2r =时，圆22:()(2)4M x m y m −+−=，此时易知21MC >−，所以有3MC =<，解得11m −<<B 正确； 因为MA CA ⊥，且3r =，所以222||3110CM =+=，即22(3)(21)10m m −+−=，解得0m =或2m =，即C 错误；因为圆C 的直径为2，所以当2AB =时，AB 为圆C 的直径，所以222222||1(3)(21)1510115(1)6r MC m m m m m =+=−+−+=−+=−+，当且仅当1m =时，min r =，即D 正确.故选ABD.12.BC 由题可知，PC 的中点即为P ABC −的外接球的球心，设外接球的半径为R ，则2416R ππ=，得2R =，因为222224PA AB BC PC R ++==，所以2214PA BC +=，鳖臑P ABC −的体积()()2211232P ABC V AB BC PA BC PA BC PA −=×⋅⋅⋅+，当且仅当BC PA ==()max P ABC V −=，故A 项错误，B 项正确； 因为三棱柱为直三棱柱，故BC ⊥平面PAB ，所以直线PC 与平面PAB 所成的角即为3,sin 4BP BPC BPC PC ∠∠==；故C 项正确； 设鳖臑P ABC −的内切球半径为r，由等体积法1111132222P ABC V AB BC AB PA AC PA PB BC r − =×⋅+⋅+⋅+⋅⋅(13r ，所以r =，故D 项错误.故选BC. 13.10 展开式通项公式为()()551252155C C (1)rr r r r r r T x x −−−+ =⋅=⋅−⋅ ，令()5152r −=，得3r =， ∴展开式中含5x 的系数为325C (1)10⋅−=. 14.8990 记“这道题被做出来”为事件()11189,1135690A P A P A =−=−××=. 15.[)2,∞+ ()()2212ln e 2ln e 0x x f x a a x x ax x x x =−+−−=−− ′ ，即22ln 0ax x x −− ，对()1,x ∞∈+恒成立，当2a 时，()()22222222222ln 22ln ,2x x ax x x x g x g x x x x x x−+−−−−==+−=>′ 0，故()()10g x g >=符合题意，当2a <时，()()120,1,g a m ∞=−<∃∈+，在()1,m 上，()0g x <不合题意，故2a .1+ 内切圆Q 分别与1212,,F M F M F F 切于点,,S T N ，则四边形QSMT 为正方形，故1212122,2F M F M F F a F M F M a +−=−=，2222212,(2)(2)22, 1.F M c a c a c c c a ac e =+∴++=⇒=++17.解：（1）根据余弦定理，222cos 22b c a A b c bc +−==，解得1a =；（2）因为2222cos 22b c a a A bc bc+−===−，，则2()02b c bc −=， 即2()0b c −=，所以b c =，因此三角形为等腰三角形，又知道6A π=，所以512B C π==18.解：（1）由1113n n a a n +=+，得131n n a a n n+=×+， 又11,1n a a n =∴是以1为首项，3为公比的等比数列， 113,3n n n n a a n n−−∴==×； （2）01113233n n S n −=×+×++× ，① ①3×得12313233n n S n =×+×++× ，② ①-②得121133121333333132n n n nn n n S n n n −−−−=++++−×=−×=−×−，()21314n n n S −×+∴=. 19.证明：（1）过A 作1AD A B ⊥于D ，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，且平面1A BC ∩平面111ABB A A B =，AD ∴⊥平面1A BC ，故AD BC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C −中，1AA ⊥平面ABC ，故1BC AA ⊥，由1AD AA A ∩=可知，BC ⊥平面11AA B B ，故BC AB ⊥；（2）以B 为坐标原点，1,,BC BA BB 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 不妨设2BC = ，则()()()()()112,0,0,0,,0,0,4,0,4,0,0,3C A B A E ，则()()()112,4,0,4,2,0,3CA BA CE −=− ， 设平面1A EC 的法向量为()111,,m x y z =， 则10,0,m CA m CE ⋅= ⋅=即11111240,230,x z x z −++= −+=令1z =111x y ==−，即(1,m =−，设平面1A BC 的法向量为()222,,n x y z =， 则110,0,n CA n BA ⋅= ⋅=即2222220,20,x z z −++= +=令2z =220,2x y ==−，即(0,n =− ，则cos ,m n m n m n ⋅==⋅ ， 二面角1E A C B −−. 20.解：（1）由题意可得高三12个班级共抽取120名，所以401031040120x x +++−+=，解得10x =；（2）利用列联表可得22120(40402020)4013.33310.828606060603χ××−×==≈>×××， 根据小概率值0.001α=的独立性检验，我们认为学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关，此推断犯错误概率不大于0.001；（3）这6人中课余学习时间超过两小时的人数为40644020×=+，课余学习时间不超过两小时的人数为2， X 的取值为1,2,3，有()124236C C 11C 5P X ===； ()214236C C 32;C 5P X === ()3436C 13C 5P X ===. 故X 的分布列为：()1311232555E X =×+×+×=.21.解：（1）由题意可知22212,e ,1,32c BF a c b a c a ======−=，所以椭圆E 的方程为22143x y +=； （2）由直线l 的方程为2y x m =−，则点()0,N m 到直线l的距离为d = 联立方程组221,432,x y y x m += =−整理可得2271616120x mx m −+−=， 由判别式()22Δ2564716120m m =−×−>，解得m ∈∪ ，设()()1122,,,A x y C x y ，则21212161612,77m m x x x x −+=⋅=， 可得AC ====所以1122ACN S AC d =⋅=227442m m −+==m =∪时，等号成立），所以所求直线的方程为y x=+y x =22.（1）解：()1e ln x f x x −=− ，()11e x f x x−=−′∴， 设()()11211e ,e 0x x x x x x µµ−−=−+′=>， ()x µ∴在()0,∞+上为单调递增函数， ()()10,10f µ′=∴=，当()0,1x ∈时，()0f x ′<，当()1,x ∞∈+时，()0,1f x x >∴=′时，()f x 取得最小值，()min ()11f x f ==； （2）证明：()()1e e 1ln e 02x xf x x x +−−+>，只需证()()11e e ln e 1ln e 02x x x x x x −−+−−+>， 即()11e ln 02x x x −−+>，令()()11e ln 2x g x x x =−−+，则()1e (0)x g x x x x =−>′， 当0x >时，令()()1e x h x g x x x′==−，则()()()211e 0,x h x x h x x =++>′在()0,∞+上单调递增， 即()1e x g x x x=−′在()0,∞+上为增函数， 又因为222333223227e e 0,(1)e 1033238g g ′′ =−=−<=−> ， 所以存在02,13x ∈，使得()00g x ′=， 由()00200000e 11e 0x x x g x x x x ′−=−==， 得020e 1x x =，即0201e x x =，即002ln x x −=， 所以当()00,x x ∈时，()()1e 0,x g x x g x x=−<′单调递减， 当()0,x x ∞∈+时，()()1e 0,x g x x g x x=−>′单调递增， 所以()()03200000min 000220012211()1e ln 2222x x x x x x g x g x x x x x −++−−−+++， 令()3222213x x x x x ϕ =++−<<， 则()22153223033x x x x ϕ =++=++>′， 所以()x ϕ在2,13上单调递增，所以()0220327x ϕϕ >=> ，所以()()()002002x g x g x x ϕ=> ，所以()11e ln 02x x x −−+>， 即()()1e e 1ln e 0.2x xf x x x +−−+>。
广东省湛江一中2020-2021学年高二数学上学期期末考试 理 新人教A版
广东省湛江一中2020-2021学年高二上学期期末考试含答案（数学理）考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“若3a b +≠，则12a b ≠≠或”的逆否命题为（ ）A. 若3a b +=，则12a b ==且B. 若12a b ==或，则3a b +=C. 若12a b ≠≠或，则3a b +≠D. 若12a b ==且，则3a b +=2.抛物线y =42x 的焦点坐标是（ ）A. （1,0）B. (0,1)C. (0,161) D. ()0,161 3.已知)5,2,3(-=a ，)1,,1(-=x b ，2=•b a ，则x 的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 64.“13-<<-m ”是方程11222=+++m y m x 表示双曲线的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5. 以下四个命题中正确的是 ( )A ．若1123OP OA OB =+,则P 、A 、B 三点共线; B ．若{,,}a b c 为空间的一个基底，则{,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底;C ．|()|||||||a b c a b c •=⋅⋅;D ．ABC ∆为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅=．6. 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 和N 分别为11B A 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ） A ．1010 B ． 52- C ．53 D ．527.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线与抛物线12+=x y 有公共点，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A. [)+∞,5B. [)+∞,5C. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,25D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,45 8.若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲线为“倍分曲线”，则下列曲线中是“倍分曲线”的是（ ）A. 1151622=+y xB. 1242522=+y x C. 11522=-y x D. 122=-y x 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.抛物线x y 82=上与焦点的距离等于6的点的坐标是 .10.已知向量),215,,3(),5,3,2(λ=-=b a 且a ∥b ，则λ= . 11.点)1,4(P 平分双曲线4422=-y x 的一条弦，则这条弦所在的直线方程是12.过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______________13.已知=a (3cos ,3sin ,1)αα，(2cos ,2sin ,1)b ββ=，则b a -的取值范围是 . 14.给出下列命题：①椭圆12322=+y x 的离心率35=e ，长轴长为32；②抛物线22y x =的准线方程为;81-=x ③双曲线1254922-=-x y 的渐近线方程为x y 75±=；④方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率. 其中所有正确命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
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湛江一中2022届高二级第一学期数学周六测试题（十）班别： 姓名： ， 考试时间：2020/11/28一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若点P 到直线x ＝－1的距离比到点(2，0)的距离小1，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 2.已知向量a=(cos x,sin x),b=(sin x,cos x),f(x)=a ·b,要得到函数y=sin(2x+)的图象,只需将f(x)的图象( ) A 、向左平移个单位B 、向右平移个单位C 、向左平移个单位D 、向右平移个单位3、直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条4．已知双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有共同的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为x ＋y ＝0，则双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝50B ．x 2－y 2＝24C ．x 2－y 2＝－50D ．x 2－y 2＝－245. 设p:f(x)=2x 2+mx+1在(0,+∞)内单调递增,q:m ≥-5,则⌝p 是⌝q 的( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件6．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k 等于( )A ．13B ．23C ．23D ．2237．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( ) A ．a 2＝132 B ．a 2＝13 C ．b 2＝12 D ．b 2＝28、已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x24－3y24＝1 B.x24－4y23＝1 C.x24－y24＝1 D.x24－y212＝1二、多选题：本题共4小题，每小题5分，每小题全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分．9.若直线mx+ny=4和☉O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数错误的为( )A、2个B、至多一个C、1个D、0个10．对于曲线C：x24－k＋y2k－1＝1，给出下面四个命题，其中正确命题有（）A、曲线C不可能表示椭圆；B、当1<k<4时，曲线C表示椭圆；C、若曲线C表示双曲线，则k<1或k>4；D、若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<k<5 2.11.若椭圆或双曲线上存在点P,使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1,则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”,下列曲线中不存在“Ω点”的是( )A、+=1B、+=1C、x2-=1D、x2-y2=112.设椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆C上的两点A,B关于原点对称,且满足·=0,|FB|≤|FA|≤2|FB|,则椭圆C的离心率e的取值不可能是( )A、B、C、D、二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若椭圆x2a2＋y2b2＝1过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程为________．14.抛物线y=x2上的一动点到直线l:x-y-1=0距离的最小值是.15.扎花灯是中国一门传统手艺,逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯.现有一个花灯,它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着它们自身的对称轴旋转而来(如图),花灯的下顶点为A,上顶点为B,AB=8米,在它的内部放有一个半径为1米的球形灯泡,球心C在轴AB上,且AC=2米.若球形灯泡的球心C到四周轮廓上的点的最近距离是在下顶点A处取到.建立适当的坐标系可得抛物线方程为y=ax2(a>0),则实数a的取值范围是.16．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝0，则满足f(x－1)＜0的x的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题10分）已知数列{a n}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2log2a n－1，求数列{a n b n}的前n项和T n.18．（本小题12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．19．（本小题12分）全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：空气质量指数[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](μg/m3)空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染天数2040m 10 5(1)(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；(3)在空气质量指数分别为(50,100]和(150,200]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率．20.(本小题满分12分)已知四棱锥P ABCD 如图所示,AB ∥CD,BC ⊥CD,AB=BC=2,CD=PD=1,△PAB 为等边三角形. (1)证明:PD ⊥平面PAB;(2)求二面角P CB A 的余弦值.21．(本小题满分12分)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB ．22、(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，右顶点为A ，且|AF |＝1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：是否存在一个定点M (t,0)，使得 MP →·MQ →＝0.若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．湛江一中2022届高二级第一学期数学周六测试题（十）参考答案班别： 姓名： ， 考试时间：2020/11/28一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、解析：选D.点P 到直线x ＝－1的距离比到点(2，0)的距离小1，即点P 到直线x ＝－2的距离与到点(2，0)的距离相等，根据抛物线的定义可知，点P 的轨迹是抛物线．2、解析: 选C.f(x)=a ·b=sin xcos x+sin xcos x=sin 2x.而y=sin(2x+)=sin 2(x+),于是只需将f(x)的图象向左平移个单位.3、解析：选C.点(2，0)为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线的渐近线平行的直线，这两条直线与双曲线仅有一个公共点，另外，过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．所以共有3条．4、解析：选D.因为双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有共同的焦点，所以双曲线的焦点在y 轴上，且焦点坐标为(0，－43)，(0，43)．又双曲线的一条渐近线方程为x ＋y ＝0，所以可设双曲线方程为y 2－x 2＝λ(λ>0)，则2λ＝48，λ＝24，故所求双曲线的方程为y 2－x 2＝24，即x 2－y 2＝－24.5、解析: 选B.f (x)=2x 2+mx+1在(0,+∞)内单调递增,则需满足对称轴x=- ≤0,即m ≥0,故⌝p:m<0.又⌝q:m<-5,由m<-5⇒m<0,故⌝p 是⌝q 的必要不充分条件.6、解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0.由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1x 2＝4，①根据抛物线的定义得， |F A |＝x 1＋p2＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2.因为|F A |＝2|FB |，所以x 1＝2x 2＋2，② 由①②得x 2＝1(x 2＝－2舍去)，所以B (1，22)，代入y ＝k (x ＋2)得k ＝223.7、解析：选C.由题意，知a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0，所以直线截椭圆的弦长d ＝5×2a 4－5a 25a 2－5＝23a ，解得a 2＝112，b 2＝12.8、解析：选D。
由双曲线x24－y2b2＝1(b>0)知其渐近线方程为y＝±b2x，又圆的方程为x2＋y2＝4，①不妨设渐近线与圆在第一象限的交点为B，将y＝b2x代入方程①式，可得点B⎝⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b4＋b2.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b4＋b2，故8×4b4＋b2＝2b，得b2＝12.故双曲线的方程为x24－y212＝1.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，每小题全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分．9、解析: 选B、C、D.若直线与圆没有交点,则d=>2,解得m2+n2<4,即<1,∴+<1,∴点(m,n)在椭圆内部,故直线与椭圆有2个交点.10、解析：选C、D。
A错误，当k＝2时，方程表示椭圆；B错误，因为k＝52时，方程表示圆；验证可得C、D正确．11、解析:选A BC。
不妨设曲线的焦点为F1,F2,假设|PF1|=2|PF2|.若是椭圆,则|P F1|+|P F2|=2|P F2|+|P F2|=3|P F2|=2a,即|P F1|=,|P F2|=;若是双曲线,则|PF1|-|PF2|=2|PF2|-|PF2|=|PF2|=2a,即|PF1|=4a,|PF2|=2a.结合选项验证,对于选项A,B,C,上述条件下的数量关系都不能保证构成三角形PF1F2,只有选项D,由于a=1,c=,所以|P F1|=4,|P F2|=2,|F1F2|=2能构成三角形.即存在“Ω点”的曲线是x2-y2=1..12、解析: 选ABCD。