2019-2020学年天津市南开区九年级(上)期末数学试卷
2019-2020学年天津市南开区九年级（上）期末数学试卷
一、选抒题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（3分）以下说法合理的是()
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是2 3
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是1 2
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概
率还是1 2
3．（3分）如图，AB为O的直径，C，D为O上两点，若40
BCD
∠=︒，则ABD
∠的大小为()
A．60︒B．50︒C．40︒D．20︒
4．（3分）抛物线256
y x x
=-+与x轴的交点情况是()
A．有两个交点B．只有一个交点C．没有交点D．无法判断
5．（3分）已知两个相似三角形的相似比为2:3，较小三角形面积为12平方厘米，那么较大三角形面积为( )
A．18平方厘米B．8平方厘米C．27平方厘米D．
16
3
平方厘米
6．（3分）如图，O是ABC
∆的外接圆，O的半径为3，45
A
∠=︒，则弧BC的长是() A．
3
4
πB．
3
2
πC．45
2
πD．9
4
π
7．（3分）若点
1
(A x，2)，
2
(B x，5)都是反比例函数
6
y
x
=-图象上的点，则下列结论中正确的是()
A．
12
x x
<<B．
12
x x
<<C．
21
x x
<<D．
21
x x
<<
8．（3分）正比例函数y x
=与反比例函数1
y
x
=的图象相交于A，C两点，AB x
⊥轴于点B，CD x
⊥轴于点D （如图），则四边形ABCD的面积为()
A．1B．2C．4D．8
9．（3分）已知当0
x>时，反比例函数
k
y
x
=的函数值随自变量的增大而减小，此时关于x的方程22
2(1)10
x k x k
-++-=的根的情况为()
A．有两个相等的实数根B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法确定
10．（3分）如图，以点O为位似中心，把ABC
∆放大为原图形的2倍得到△A B C
'''，下列说法中正确的是( )
第5页共6页◎第6页共6页
第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页
A ．:1:3OA OA '=
B ．:1:2OA AA '=
C ．:1:3OA AA '=
D ．:1:3OA AA ''=
11．（3分）如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，BF ，BD 分别交AC 于点G ，H ．若该圆的半径为15cm ，则线段GH 的长为( )
A
．5cm
B ．53cm
C ．35cm
D ．103cm
12．（3分）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(3,0)-，其对称轴为直线1
2
x =-，结合图象分析下
列结论： ①0abc >； ②30a c +>；
③当0x <时，y 随x 的增大而增大；
④2404b ac a
-<；
⑤若m ，()n m n <为方程(3)(2)30a x x +-+=的两个根，则3m <-且2n >． 其中正确的结论有( )
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分．共18分）
13．（3分）把二次函数243y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式是 ．
14．（3分）从点(1,6)M -，1(2
N ，12)，(2,3)E -，(3,2)F --中任取一点，所取的点恰好在反比例函数6y x =的
图象上的概率为 ．
15．（3分）下列y 关于x 的函数中，y 随x 的增大而增大的有 ．（填序号） ①21y x =-+，②1
y x
=
，③2(2)1(0)y x x =++>，④22(3)1(0)y x x =---< 16．（3分）如图，平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，90ABO ∠=︒，点A 的坐标为(1,2)-，将AOB ∆绕点A 顺时针旋转90︒，点O 的对应点D 恰好落在双曲线k
y x
=
上，则k 的值为 ．
17．（3分）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为 cm ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B 均在格点上． （Ⅰ）线段AB 的长为 ．
（Ⅱ）请利用网格，用无刻度的直尺在AB 上作出点P ，使45
AP =，并简要说明你的作图方法（不要求证明）． ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2
个，篮球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为1
2
．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．
20．（8分）若反比例函数
k
y
x
=的图象经过点(2,3)
A-和点(4,)
B m．
（Ⅰ）m的值为；
（Ⅱ）直接写出当32
x
-<<-时，y的取值范围：；（Ⅲ）直接写出当31
x
-<<时，y的取值范围：；
（Ⅳ）若直线y mx
=经过点A，直接写出不等式k
mx
x
>的解集：．
21．（10分）如图，在ABC
∆中，90
BAC
∠==︒，3
AB=，4
AC=，AD平分BAC
∠交BC于点D．求CD的长．22．（10分）已知点A、B在半径为1的O上，直线AC与O相切，OC OB
⊥，连接AB交OC于点D．（Ⅰ）如图①，若60
OCA
∠=︒，求OD的长；
（Ⅱ）如图②，OC与O交于点E，若//
BE OA，求OD的长．
23．（10分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元(x为整数）时，月销售利润为y元．
（1）分析数量关系填表：
每台售价（元)303132⋯⋯30x
+
月销售量（台)180170160⋯⋯
（2）求y与x之间的函数解析式和x的取值范围（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润y（元)最大？最大利润是多少？
24．（10分）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)
A，点(0,23)
B，点(0,0)
O．AOB
∆绕着O顺时针旋转，得△A OB
''，点A、B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图1，A B''恰好经过点A时，求此时旋转角α的度数，并求出点B'的坐标；
（Ⅱ）如图2，若090
α
︒<<︒，设直线AA'和直线BB'交于点P，求证：AA BB
''
⊥；
（Ⅲ）若0360
α
︒<<︒，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．
25．（10分）如图，抛物线2
y x bx c
=-++与x轴交于A、B两点(A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线:l y kx n
=+与y轴交于点C，与抛物线2
y x bx c
=-++的另一个交点为D，已知(1,0)
A-，(5,6)
D-，P点为抛物线2
y x bx c
=-++上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作//
PE x轴交直线l于点E，作//
PF y轴交直线l于点F，求PE PF
+的最大值；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
第5页共6页◎第6页共6页。
天津市南开区2019-2020学年九年级数学上学期期末考试试题(含解析) 新人教版
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列事件中是必然事件的是（）A．平安夜下雪B．地球在自转的同时还不停的公转C．所有人15岁时身高必达到1.70米D．下雨时一定打雷2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C． D．3．用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=54．下列关系式中：①y=2x；；③y=﹣；④y=5x+1；⑤y=x2﹣1；⑥y=；⑦x y=11，y是x的反比例函数的共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=，BD=，则AB的长为（）A．2 B．3 C．4 D．56．对于函数y=，下列说法错误的是（）A．这个函数的图象位于第一、第三象限B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小7．在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣18．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（）A．π﹣1 B．2π﹣1 C．π﹣1 D．π﹣29．已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A．（2，3）B．（3，1）C．（2，1）D．（3，3）10．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则的值为（）A．B．C．D．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO 绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（）A．（﹣1，）B．（﹣2，）C．（﹣，1）D．（﹣，2）12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．①③二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．在比例尺为1：1000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是15cm，则两地的实际距离km．14．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为．15．某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，估计口袋中黄色玻璃球有个．16．如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 为．17．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为．18．在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．（1）若α=60°，且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，此时∠CDB的度数为（2）在图2中，点P不与点B、M重合，线段CQ的延长线交射线BM于点D，则∠CDB的度数为（用含α的代数式表示）．（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B、M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=DQ，则α的取值范围是．三、解答题（共7小题，满分66分）19．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，求关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象的对称轴和顶点坐标．20．在x2□2x□1的空格中，任意填上“+”“﹣”，求其中能构成完全平方的概率（列出表格或画出树形图）21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y=的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（﹣6，﹣1），DE=3．（1）求反比例函数与一次函数的解析式．（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．22．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．（1）求∠B的大小；（2）已知圆心0到BD的距离为3，求AD的长．23．一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中0＜x≤1）．（1）用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为元．（2）求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．（3）设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量．24．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=5，AD=时，求线段BG的长．25．已知二次函数的图象如图．（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM 与⊙D的位置关系，并说明理由．2015-2016学年天津市南开区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列事件中是必然事件的是（）A．平安夜下雪B．地球在自转的同时还不停的公转C．所有人15岁时身高必达到1.70米D．下雨时一定打雷【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．【解答】解：A、平安夜下雪是随机事件，故A错误；B、地球在自转的同时还不停的公转，是必然事件，故B正确；C、所有人15岁时身高必达到1.70米是随机事件，故C错误；D、下雪时一定打雷是不可能事件，故D错误；故选：B．2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C． D．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可作出判断．【解答】解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．3．用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=5【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形后，即可得到结果．【解答】解：方程移项得：x2+4x=﹣1，配方得：x2+4x+4=3，即（x+2）2=3．故选A．4．下列关系式中：①y=2x；；③y=﹣；④y=5x+1；⑤y=x2﹣1；⑥y=；⑦xy=11，y是x的反比例函数的共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】分别根据反比例函数、二次函数及一次函数的定义对各小题进行逐一分析即可．【解答】解：①y=2x是正比例函数；可化为y=5x，是正比例函数；③y=﹣符合反比例函数的定义，是反比例函数；④y=5x+1是一次函数；⑤y=x2﹣1是二次函数；⑥y=不是函数；⑦xy=11可化为y=，符合反比例函数的定义，是反比例函数．故选C．5．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=，BD=，则AB的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据垂径定理和相交弦定理求解．【解答】解：连接OD．由垂径定理得HD=，由勾股定理得HB=1，设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，则R2=（）2+（R﹣1）2，由此得2R=3，或由相交弦定理得（）2=1×（ 2R﹣1），由此得2R=3，所以AB=3故选B．6．对于函数y=，下列说法错误的是（）A．这个函数的图象位于第一、第三象限B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小【分析】根据反比例函数的性质：对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函。
2019-2020学年天津市南开区九年级(上)期中数学试卷解析版
2019-2020学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷一、选择题，本大鹏共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）在平面直角坐标系中，与点(4,5)-关于原点对称的点的坐标是( ) A ．(4,5)--B ．(4,5)-C ．(4,5)-D ．(4,5)2．（3分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）已知关于x 的方程2(1)10kx k x +--=，下列说法正确的是( ) A ．当0k =时，方程无解B ．当1k =时，方程有一个实数解C ．当1k =-时，方程有两个相等的实数解D ．当0k ≠时，方程总有两个不相等的实数解 4．（3分）抛物线(1)(2)y x x =---的顶点坐标是( ) A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．3(2-，1)4D ．31(,)245．（3分）若二次函数241y ax x a =++-的最小值是2，则a 的值是( ) A ．4B ．3C ．1-D ．4或1-6．（3分）如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，点D 是O 上一点，30ADC ∠=︒，则BOC ∠的度数为( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒7．（3分）在平面直角坐标系中，对于二次函数2(2)1y x =-+，下列说法中错误的是()A ．y 的最小值为1B ．图象顶点坐标为(2,1)，对称轴为直线2x =C ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x …时，y 的值随x 值的增大而减小D ．它的图象可以由2y x =的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 8．（3分）如图，ABC ∆的内切圆O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且5AB =，13BC =，12CA =，则阴影部分（即四边形)AEOF 的面积是( )A ．4B ．6.25C ．7.5D ．99．（3分）已知点1(2,)A y -，2(2,)B y ，3(5,)C y 在二次函数23y x k =-+图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )A ．123y y y <<B ．123y y y <<C ．123y y y =>D ．123y y y =<10．（3分）如图，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到DEC ∆，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列结论一定正确的是( )A ．AC AD =B ．AB EB ⊥C ．BC DE =D ．A EBC ∠=∠11．（3分）如图，O 的弦BC 长为8，点A 是O 上一动点，且45BAC ∠=︒，点D ，E 分别是BC ，AB 的中点，则DE 长的最大值是( )A ．4B．C ．8D．12．（3分）二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y>．有下列结论：①0abc >；②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③2003m n <+<． 其中，正确结论的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.13．（3分）关于x 的一元二次方程2210ax x -+=有实数根，则a 的取值范围是 ． 14．（3分）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，135B ∠=︒，则A O C ∠的度数为 ．15．（3分）已知ABC ∆的三边长分别为6cm 、8cm 、10cm ，则这个三角形的外接圆的面积为 2cm ．（结果用含π的代数式表示）16．（3分）有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点： 甲：与x 轴只有一个交点； 乙：对称轴是直线3x =；丙：与y 轴的交点到原点的距离为3．满足上述全部特点的二次函数的解析式为 ．17．（3分）有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程 ．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC ∆的顶点A 在格点上，B 是小正方形边的中点，经过点A ，B 的圆的圆心在边AC 上． （Ⅰ）弦AB 的长等于 ；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，找出经过出点A ，B 的圆的圆心O ，并简要说明点O 的位置是如何找到的（不要求证明） ．三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（8分）关于x 的一元二次方程220x mx n -+=． （1）当4m n -=时，请判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，当2n =时，求此时方程的根．20．（8分）已知二次函数2y x bx c =-++，函数值y 与自变量x 之间的部分对应数值如下表：（Ⅰ）直接写出二次函数的对称轴是：直线 ，此函数图象与x 轴交点有 个； （Ⅱ）求二次函数的函数表达式；（Ⅲ）当51x -<<-时，请直接写出函数值y 的取值范围： ．21．（10分）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB 为12m ，拱高CD 为4m ． （1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽5m 的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m ，求此货船是否能顺利通过拱桥？22．（10分）已知PA，PB分别与O相切于点A，B，76∠=︒，C为O上一点．APB（Ⅰ）如图①，求ACB∠的大小；（Ⅱ）如图②，AE为O的直径，AE与BC相交于点D，若A B A D=．求EAC∠的大小．23．（10分）如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的边AD长为x米，AB 长为y米，矩形的面积为S平方米，且x y<．（Ⅰ）若所用铁栅栏的长为40米，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求S与x的函数关系式，并求出是否能使矩形场地的面积为260平方米？24．（10分）如图，在矩形ABCD中，8AD=，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转AB=，6得到矩形AEFG．（1）如图1，若在旋转过程中，点E落在对角线AC上，AF，EF分别交DC于点M，N．①求证：MA MC =； ②求MN 的长；（2）如图2，在旋转过程中，若直线AE 经过线段BG 的中点P ，连接BE ，GE ，求BEG ∆的面积25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2252(1)(2y x k x k k k=--+-为常数）．（1）若抛物线经过点2(1,)k ，求k 的值；（2）若抛物线经过点1(2,)k y 和点2(2,)y ，且12y y >，求k 的取值范围； （3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当12x 剟时，新抛物线对应的函数有最小值32-，求k 的值．2019-2020学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题，本大鹏共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）在平面直角坐标系中，与点(4,5)-关于原点对称的点的坐标是() A．(4,5)-D．(4,5) --B．(4,5)-C．(4,5)【分析】利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点(,)P x y关于原点O的对称点是(,)'--，进而得出答案．P x y【解答】解：点(4,5)-关于原点对称的点的坐标为：(4,5)-．故选：B．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．2．（3分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是()A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（3分）已知关于x 的方程2(1)10kx k x +--=，下列说法正确的是( ) A ．当0k =时，方程无解B ．当1k =时，方程有一个实数解C ．当1k =-时，方程有两个相等的实数解D ．当0k ≠时，方程总有两个不相等的实数解【分析】利用k 的值，分别代入求出方程的根的情况即可． 【解答】解：关于x 的方程2(1)10kx k x +--=，A 、当0k =时，10x -=，则1x =，故此选项错误；B 、当1k =时，210x -=方程有两个实数解，故此选项错误；C 、当1k =-时，2210x x -+-=，则2(1)0x -=，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；D 、由C 得此选项错误．故选：C ．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，代入k 的值判断方程根的情况是解题关键． 4．（3分）抛物线(1)(2)y x x =---的顶点坐标是( ) A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．3(2-，1)4D ．31(,)24【分析】把二次函数化为顶点式得出顶点坐标可． 【解答】解：231(1)(2)()24y x x x =---=--+，∴顶点坐标是3(2，1)4．故选：D ．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟悉顶点式2()(0)y a x h k a =-+≠是解题的关键．5．（3分）若二次函数241y ax x a =++-的最小值是2，则a 的值是( ) A ．4B ．3C ．1-D ．4或1-【分析】根据题意：二次函数241y ax x a =++-的最小值是2，则判断二次函数的系数大于0，再根据公式y 最小值244ac b a-=列出关于a 的一元二次方程，解得a 的值即可．【解答】解：二次函数241y ax x a =++-有最小值2，0a ∴>，y 最小值2244(1)444ac b a a a a---==， 整理，得2340a a --=， 解得1a =-或4，0a >， 4a ∴=． 故选：A ．【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，求二次函数的最大（小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a 的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如225y x x =--+，2361y x x =-+等用配方法求解比较简单．6．（3分）如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，点D 是O 上一点，30ADC ∠=︒，则BOC ∠的度数为( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【分析】由圆周角定理得到260AOC ADC ∠=∠=︒，然后由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系求得BOC ∠的度数．【解答】解：如图，30ADC ∠=︒， 260AOC ADC ∴∠=∠=︒．AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，∴AC BC =．60AOC BOC ∴∠=∠=︒．故选：D ．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．7．（3分）在平面直角坐标系中，对于二次函数2(2)1y x =-+，下列说法中错误的是()A ．y 的最小值为1B ．图象顶点坐标为(2,1)，对称轴为直线2x =C ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x …时，y 的值随x 值的增大而减小D ．它的图象可以由2y x =的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【解答】解：二次函数2(2)1y x =-+，10a =>，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线2x =，顶点为(2,1)，当2x =时，y 有最小值1，当2x >时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x <时，y 的值随x 值的增大而减小； 故选项A 、B 的说法正确，C 的说法错误；根据平移的规律，2y x =的图象向右平移2个单位长度得到2(2)y x =-，再向上平移1个单位长度得到2(2)1y x =-+； 故选项D 的说法正确， 故选：C ．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．（3分）如图，ABC ∆的内切圆O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且5AB =，13BC =，12CA =，则阴影部分（即四边形)AEOF 的面积是( )A ．4B ．6.25C ．7.5D ．9【分析】利用勾股定理的逆定理得到ABC ∆为直角三角形，90A ∠=︒，再利用切线的性质得到OF AB ⊥，OE AC ⊥，所以四边形OFAE 为正方形，设OE AE AF x ===，利用切线长定理得到5BD BF r ==-，12CD CE r ==-，所以51213r r -+-=，然后求出r 后可计算出阴影部分（即四边形)AEOF 的面积． 【解答】解：5AB =，13BC =，12CA =，222AB CA BC ∴+=，ABC ∴∆为直角三角形，90A ∠=︒，AB 、AC 与O 分别相切于点E 、FOF AB ∴⊥，OE AC ⊥，∴四边形OFAE 为正方形，设OE r =， 则AE AF x ==，ABC ∆的内切圆O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ， 5BD BF r ∴==-，12CD CE r ==-， 51213r r ∴-+-=， 5121322r +-∴==， ∴阴影部分（即四边形)AEOF 的面积是224⨯=．故选：A ．【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理的逆定理和切线的性质．9．（3分）已知点1(2,)A y -，2(2,)B y ，3(5,)C y 在二次函数23y x k =-+图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )A ．123y y y <<B ．123y y y <<C ．123y y y =>D ．123y y y =<【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y 轴，然后通过比较三个点到对称轴的远近确定函数值的大小．【解答】解：二次函数23y x k =-+图象的对称轴为y 轴，点1(2,)A y -，2(2,)B y 到y 轴的距离相同，3(5,)C y 到y 轴的距离最远， 123y y y ∴=>．故选：C ．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．10．（3分）如图，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到DEC ∆，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列结论一定正确的是( )A ．AC AD =B ．AB EB ⊥C ．BC DE =D ．A EBC ∠=∠【分析】根据旋转的性质得到AC CD =，BC CE =，AB DE =，故A 错误，C 错误； 得到A C D B C E ∠=∠，根据三角形的内角和得到1802ACDA ADC ︒-∠∠=∠=，1802BCECBE ︒-∠∠=，求得A EBC ∠=∠，故D 正确；由于A ABC ∠+∠不一定等于90︒，于是得到ABC CBE ∠+∠不一定等于90︒，故B 错误． 【解答】解：将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到DEC ∆， AC CD ∴=，BC CE =，AB DE =，故A 错误，C 错误； ACD BCE ∴∠=∠，1802ACD A ADC ︒-∠∴∠=∠=，1802BCECBE ︒-∠∠=，A EBC ∴∠=∠，故D 正确； A ABC ∠+∠不一定等于90︒，ABC CBE ∴∠+∠不一定等于90︒，故B 错误故选：D ．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 11．（3分）如图，O 的弦BC 长为8，点A 是O 上一动点，且45BAC ∠=︒，点D ，E 分别是BC ，AB 的中点，则DE 长的最大值是( )A ．4B ．C ．8D ．【分析】当AC 是直径时，DE 最长，求出直径即可解决问题． 【解答】解：当AC 是直径时，45BAC ∠=︒，90ABC ∠=︒， 45BAC BCA ∴∠=∠=︒， 8AB BC ∴==，AC ∴=，AE EB =，BD DC =，12DE AC ∴== 故选：B ．【点评】本题考查三角形中位线性质、圆的有关性质，解题的关键是灵活应用三角形中位定理识解决问题，属于中考常考题型．12．（3分）二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y >．有下列结论：①0abc >；②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③2003m n <+<． 其中，正确结论的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】①当0x =时，2c =-，当1x =时，0a b +=，0abc >，①正确； ②12x =是对称轴，2x =-时y t =，则3x =时，y t =，②正确； ③44m n a +=-；当12x =-时，0y >，803a <<，203m n +<，③错误；【解答】解：当0x =时，2c =-， 当1x =时，22a b +-=-， 0a b ∴+=，22y ax ax ∴=--， 0abc ∴>，①正确； 12x =是对称轴， 2x =-时y t =，则3x =时，y t =，2∴-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；②正确；2m a a =+-，422n a a =--， 22m n a ∴==-， 44m n a ∴+=-，当12x =-时，0y >，803a ∴<<，203m n ∴+<， ③错误； 故选：C ．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.13．（3分）关于x 的一元二次方程2210ax x -+=有实数根，则a 的取值范围是 1a …且0a ≠ ．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到0a ≠且△2(2)40a =--…，然后求出a 的取值范围．【解答】解：一元二次方程2210ax x -+=有实数根，∴△2(2)40a =--…，且0a ≠， 解得：1a …且0a ≠， 故答案为：1a …且0a ≠．【点评】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式△24b ac =-：当△0>，方程有两个不相等的实数根；当△0=，方程有两个相等的实数根；当△0<，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．14．（3分）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，135B ∠=︒，则A O C∠的度数为 90︒ ．【分析】根据圆内接四边形的性质求出D ∠的度数，根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：四边形ABCD 是O 的内接四边形， 18045D B ∴∠=︒-∠=︒，由圆周角定理得，290AOC D ∠=∠=︒， 故答案为：90︒．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15．（3分）已知ABC ∆的三边长分别为6cm 、8cm 、10cm ，则这个三角形的外接圆的面积为 25π 2cm ．（结果用含π的代数式表示）【分析】三边长分别为6cm 、8cm 、10cm 正好一组勾股数，因而ABC ∆是直角三角形，直角三角形斜边是外接圆的直径，即可求解．【解答】解：根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形， 那么直角三角形的外心是斜边的中点，所以半径5=， 面积25π=．【点评】准确判断三角形是直角三角形是解决本题的关键，在审题是要多思考，多与有关知识相联系．16．（3分）有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点： 甲：与x 轴只有一个交点； 乙：对称轴是直线3x =；丙：与y 轴的交点到原点的距离为3．满足上述全部特点的二次函数的解析式为 21(3)3y x =-或21(3)3y x =-- ．【分析】分两种情形利用二次函数的顶点式解决问题即可．【解答】解：由题意抛物线的顶点坐标为(3,0)与y 轴的交点坐标为(0,3)或(0,3)-， 设抛物线的解析式为2(3)y a x =-， 把(0,3)代入得到13a =，把(0,3)-代入得到13a =-，∴抛物线的解析式为21(3)3y x =-或21(3)3y x =--．故答案为21(3)3y x =-或21(3)3y x =--．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（3分）有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程1(1)452x x -= ． 【分析】先列出x 支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛1(1)2x x -场，再根据题意列出方程为1(1)452x x-=．【解答】解：有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为1(1)2x x-，∴共比赛了45场，∴1(1)452x x-=，故答案为：1(1)452x x-=．【点评】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC∆的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．（Ⅰ）弦AB的长等于；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，找出经过出点A，B的圆的圆心O，并简要说明点O的位置是如何找到的（不要求证明）．【分析】（Ⅰ）由勾股定理即可得出答案；（Ⅱ）取圆与网格线的交点D、E，连接DE交AC于O，点O即为经过出点A，B的圆的圆心；由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由勾股定理得：AB；；（Ⅱ）如图试所示：取圆与网格线的交点D、E，连接DE交AC于O，点O即为经过出点A，B的圆的圆心；理由如下：90EAD∠=︒，DE∴为圆O的直径，经过点A ，B 的圆的圆心在边AC 上，DE ∴与AC 的交点即为点O ；故答案为：90︒的圆周角所对的弦是直径．【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理；熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（8分）关于x 的一元二次方程220x mx n -+=． （1）当4m n -=时，请判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，当2n =时，求此时方程的根．【分析】（1）先计算判别式得到△2()42m n =--⨯⨯，再把4n m =-代入得到△2(4)16m =-+，从而得到△0>，然后判断方程根的情况；（2）根据判别式的意义得△2()420m n =--⨯⨯=，加上2n =时，于是可求出4m =或4m =-，当4m =时，方程变形为22420x x -+=，当4m =-时，方程变形为22420x x ++=，然后分别解方程即可．【解答】解：（1）△2()42m n =--⨯⨯， 4m n -=， 4n m ∴=-，∴△28(4)m m =--2832m m =-+2(4)16m =-+， 2(4)0m -…，∴△0>，∴方程有两个不相等的实数根；（2）根据题意得△2()420m n =--⨯⨯=， 当2n =时，2160m -=，解得4m =或4m =-，当4m =时，方程变形为22420x x -+=，解得121x x ==； 当4m =-时，方程变形为22420x x ++=，解得121x x ==-．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与△24b ac =-有如下关系：当△0>时，方程有两个不相等的实数根；当△0=时，方程有两个相等的实数根；当△0<时，方程无实数根．20．（8分）已知二次函数2y x bx c =-++，函数值y 与自变量x 之间的部分对应数值如下表：（Ⅰ）直接写出二次函数的对称轴是：直线 1x =- ，此函数图象与x 轴交点有 个； （Ⅱ）求二次函数的函数表达式；（Ⅲ）当51x -<<-时，请直接写出函数值y 的取值范围： ．【分析】（1）从表格看，根据抛物线的对称性，4x =-、0x =时的函数值相等，然后列式计算即可求得函数的对称轴为：2x =-，此函数图象与x 轴有2个交点即可求解； （2）函数对称轴为：22bx =-=--，解得：4b =-，0x =，2y c =-=，即可求解； （3）求得函数的顶点坐标为：(2,2)-，由5x =-时，7y =-，1x =-时，1y =，根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）从表格看，函数的对称轴为：4022x -+==-， 此函数图象与x 轴交点个数为2个， 故答案为：2x =-，2；（2）函数对称轴为：22(1)bx =-=-⨯-，解得：4b =-，0x =，2y c =-=，故函数的表达式为：242y x x =---；（3）把2x =-代入242y x x =---得，2y =，∴函数的顶点坐标为：(2,2)-，5x =-时，7y =-，1x =-时，1y =，故y 的取值范围为：72y -<<， 故答案为：72y -<<．【点评】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等． 21．（10分）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB 为12m ，拱高CD 为4m ． （1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽5m 的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m ，求此货船是否能顺利通过拱桥？【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON ，OB ，通过求距离水面2米高处即ED 长为2时，桥有多宽即MN 的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过(MN 大于3则能通过，MN 小于等于3则不能通过）．先根据半弦，半径和弦心距构造直角三角形求出半径的长，再根据Rt OEN ∆中勾股定理求出EN 的长，从而求得MN 的长． 【解答】解：（1）如图，连接ON ，OB ． OC AB ⊥，D ∴为AB 中点，12AB m =， 162BD AB m ∴==． 又4CD m =，设OB OC ON r ===，则(4)OD r m =-．在Rt BOD ∆中，根据勾股定理得：222(4)6r r =-+， 解得 6.5r =．（2）4CD m =，船舱顶部为长方形并高出水面2AB m =，4 3.60.4()CE m ∴=-=，6.50.4 6.1()OE r CE m ∴=-=-=，在Rt OEN ∆中，2222226.5 6.1 5.04()EN ON OE m =-=-=，)EN m ∴=．22 4.485MN EN m m ∴==<．∴此货船能不顺利通过这座拱桥．【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．22．（10分）已知PA ，PB 分别与O 相切于点A ，B ，76APB ∠=︒，C 为O 上一点． （Ⅰ）如图①，求ACB ∠的大小；（Ⅱ）如图②，AE 为O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若A B A D =．求EAC ∠的大小．【分析】（Ⅰ）连接OA 、OB ，根据切线的性质得到90OAP OBP ∠=∠=︒，根据四边形内角和等于360︒计算；（Ⅱ）连接CE ，根据圆周角定理得到90ACE ∠=︒，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．【解答】解：（Ⅰ）连接OA 、OB ， PA ，PB 是O 的切线，90OAP OBP ∴∠=∠=︒，360909076104AOB ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，由圆周角定理得，1522ACB AOB ∠=∠=︒； （Ⅱ）连接CE ， AE 为O 的直径，90ACE ∴∠=︒，52ACB ∠=︒，905238BCE ∴∠=︒-︒=︒，38BAE BCE ∴∠=∠=︒，AB AD =，71ABD ADB ∴∠=∠=︒，29EAC ADB ACB ∴∠=∠-∠=︒．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．23．（10分）如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD ，在AB 和BC 边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD 的边AD 长为x 米，AB 长为y 米，矩形的面积为S 平方米，且x y <．（Ⅰ）若所用铁栅栏的长为40米，求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求S 与x 的函数关系式，并求出是否能使矩形场地的面积为260平方米？【分析】()I 根据题意，可知40AD BC AB ++=且有AD BC =，进而写出y 关于x 的函数关系式，并写出面积公式；()II 根据矩形场地面积为260平方米列出方程，解出此时x 的值即可．【解答】解：()2240I AD BC AB +-+-=，AD BC x ==，244AB x ∴=-+ 即44244(5)3y x x =-+<…； ()II 由()I 可知2(244)244s xy x x x x ==-+=-+，由题意得，(244)260x x -+=，即2221300x x -+=，△484520360=-=-<，∴此方程无解，∴不能使矩形场地的面积为260平方米．【点评】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．24．（10分）如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩形AEFG ．（1）如图1，若在旋转过程中，点E 落在对角线AC 上，AF ，EF 分别交DC 于点M ，N ． ①求证：MA MC =；②求MN 的长；（2）如图2，在旋转过程中，若直线AE 经过线段BG 的中点P ，连接BE ，GE ，求BEG ∆的面积【分析】（1）①由矩形的性质得出//AB CD ，得出DCA BAC ∠=∠，由旋转的性质得：FAE BAC ∠=∠，证出DCA FAE ∠=∠，即可得出MA MC =；②设MA MC x ==，则8D M x =-，在R t A D M ∆中，由勾股定理得出方程2226(8)x x +-=，解得：254x =，在R t A E F ∆中，由勾股定理得出10AF =，得出154MF AF AM =-=，证出AFE CNE MNF ∠=∠=∠，得出154MN MF ==即可； （2）分情况讨论：①过点B 作BH AE ⊥于H ，证明HBP AGP ∆≅∆，得出AP HP =，6BH AG ==，在R t A B H∆中，由勾股定理得出AH ，得出12AP AH ==，得出8PE AE AP =-=，得出BEG ∆的面积2G P E =∆的面积48=-②同①得：AH =AP =8PE =，得出BEG ∆的面积2GPE =∆的面积48=+【解答】（1）①证明：四边形ABCD 是矩形，//AB CD ∴，DCA BAC ∴∠=∠，由旋转的性质得：FAE BAC ∠=∠，DCA FAE ∴∠=∠，MA MC ∴=；②解：设MA MC x ==，则8DM x =-，在Rt ADM ∆中，2226(8)x x +-=， 解得：254x =，在Rt AEF ∆中，10AF ===，154MF AF AM ∴=-=， 90AEF CEN ∠=∠=︒，90MCA CNE MAC AEF ∴∠+∠=∠+∠=︒，又MCA MAC ∠=∠，AFE CNE MNF ∴∠=∠=∠，154MN MF ∴==； （2）解：分情况讨论：①如图2所示：过点B 作BH AE ⊥于H ，则90GAP BHP ∠=∠=︒，在HBP ∆和AGP ∆中，GAP BHP APG HPAGP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()HBP AGP AAS ∴∆≅∆，AP HP ∴=，6BH AG ==，在Rt ABH ∆中，AH ==12AP AH ∴==，8PE AE AP ∴=-=BEG ∴∆的面积2GPE =∆的面积126(8482=⨯⨯⨯=-； ②如图3所示：同①得：AH =AP =8PE ∴=BEG ∴∆的面积2GPE =∆的面积126(8482=⨯⨯⨯+=+ 综上所述，BEG ∆的面积为48-48+．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形面积、分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2252(1)(2y x k x k k k =--+-为常数）．（1）若抛物线经过点2(1,)k ，求k 的值；（2）若抛物线经过点1(2,)k y 和点2(2,)y ，且12y y >，求k 的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当12x 剟时，新抛物线对应的函数有最小值32-，求k 的值． 【分析】（1）把点坐标代入解析式即可；（2）分别把点1(2,)k y 和点2(2,)y 代入函数解析式，表示1y 、2y 利用条件构造关于k 的不等式；（3）根据平移得到新顶点，用k 表示顶点坐标，找到最小值求k ．【解答】解：（1）把点2(1,)k 代入抛物线2252(1)2y x k x k k =--+-，得 222512(1)2k k k k =--+- 解得23k = （2）把点1(2,)k y 代入抛物线2252(1)2y x k x k k =--+-，得 222153(2)2(1)222y k k k k k k k =--+-=+ 把点2(2,)y 代入抛物线2252(1)2y x k x k k =--+-，得 222251322(1)2822y k k k k k =--⨯+-=-+ 12y y >22313822k k k k +∴>-+ 解得1k >（3）抛物线2252(1)2y x k x k k =--+-解析式配方得 21(1)(1)2y x k k =-++-- 将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为21()(1)2y x k k =-+-- 当1k <时，12x 剟对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，1x ∴=时，2215(1)122y k k k k =---=-最小， 25322k k ∴-=-，解得11k =，232k = 都不合题意，舍去；当12k 剟时，112y k =--最小， 13122k ∴--=- 解得1k =；当2k >时，12x 剟对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，2x ∴=时，2219(2)1322y k k k k =---=-+最小， 293322k k ∴-+=- 解得13k =，232k =（舍去） 综上，1k =或3．【点评】本题为二次函数综合题，考查二次函数图象性质及二次函数图象平移．解答时注意用k 表示顶点．。
天津市南开区19-20学年九年级上学期期末数学试卷 (含答案解析)
天津市南开区19-20学年九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.如图所示的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.某事件发生的概率为1，则下列说法不正确的是()4A. 无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在1左右4B. 无数次实验中，该事件平均每4次出现1次C. 每做4次实验，该事件就发生1次D. 逐渐增加实验次数，该事件发生的频率就和1逐渐接近43.如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠ABD=50°，则∠BCD的度数为()A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°4.抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么抛物线与x轴的另一个交点是()A. (−1,0)B. (1,0)C. (2,0)D. (−2,0)5.已知两个相似三角形周长的比为3∶2，其中较小的三角形面积为12，则较大的三角形的面积是()A. 27B. 24C. 18D. 166.如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，则B^C的长是()A. 34π B. 32π C. 452π D. 94π7.已知点A(−2,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)都在反比例函数y=−6x的图象上，则下列结论中正确的是()A. y1<y2<y3B. y3<y2<y1C. y1<y3<y2D. y2<y3<y18.正比例函数与反比例函数1x的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D(如图)，则四边形ABCD的面积为()A. 1B. 32C. 2 D. 529.若一元二次方程x2−2x−m=0无实数根，则反比例函数y=m+1x的图象所在的象限是()A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限10.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是()A. △ABC∽△A′B′C′B. 点C、点O、点C′三点在同一直线上C. AO：AA′=1：2D. AB//A′B′11.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为()A. 2B. 2√3C. √3D. 4√312.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac<b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=−1，x2=3；③3a+c>0；④当y>0时，x的取值范围是−1≤x<3；⑤当x<0时，y随x增大而增大；其中结论正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 1个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.将二次函数y=x2−2x+3写成y=a(x−ℎ)2+k的形式为______．14.点P(1,3)在反比例函数y=k+1x(k≠−1)图象上，则k=______．15.下列函数中，y随x增大而减小的有________(填序号)．①y=−1x；②y=x−2；③y=−3x+1；④y=5x ；⑤y=2x(x<0)．16.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)，点B为y轴上的一动点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BC，若点C恰好落在反比例函数y=3x的图象上，则点B的坐标为______．17.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为_____________．18.如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．(Ⅰ)AC的长度等于______；(Ⅱ)在图中有一点P，若连接AP，PB，PC，满足AP平分∠A，且PC=PB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.某网店销售一种产品．这种产品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/件市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示：(1)当12≤x≤18时，求y与x之间的函数关系式；(2)求每天的销售利润w(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式并求出每件销售价为多少元时．每天的销售利润最大？最大利润是多少？四、解答题（本大题共6小题，共56.0分）20.不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个(除颜色外其余都相同)，其中红球2个，．蓝球1个.若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为14(1)求袋中黄球的个数；(2)第一次任意摸出一个球(不放回)，第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到不同颜色球的概率．21.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m的图象都经过点A(−2,6)和点B(4,n)．x(1)求这两个函数的关系式；(2)直接写出不等式kx+b≤m的解集．x22.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=1.5，BD=2.5，求AC的长．23.如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．(1)求证：DC=DE；(2)若DEAD =12，AB=3，求BD的长．24.在平面直角坐标系中，O为原点，点A(1,0)，点B(0,)，把△ABO绕点O顺时针旋转，得△A′B′O，记旋转角为α．(Ⅰ)如图①，当α=30°时，求点B′的坐标；(Ⅱ)设直线AA′与直线BB′相交于点M．①如图②，当α=90°时，求点M的坐标；②点C(−1,0)，求线段CM长度的最小值．(直接写出结果即可)25.如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A，B两点(A点在B点左侧)，A(−1,0)，B(3,0)，直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2．(1)求抛物线的解析式；(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A，C，F，G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．2.答案：C解析：，不一定试验4本题考查了利用频率估计概率、概率的意义.解题的关键是了解某事件发生的概率为14次就一定有一次发生，利用概率的意义分别判断后即可得出答案．左右，故正确，不符合题意;解：A.无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在14B.无数次实验中，该事件平均每4次出现1次，故正确，不符合题意;C.每做4次试验，该事件可能发生一次，也可能发生两次，也有可能不发生，故错误，符合题意;D.逐渐增加实验次数，该事件发生的频率就和1逐渐接近，故正确，不符合题意．4故选C．3.答案：C解析：本题考查的是圆周角定理，直角三角形的性质，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．先根据圆周角定理求出∠ADB的度数，再由直角三角形的性质求出∠A的度数，进而可得出结论．解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠ABD=50°，∴∠DAB=90°−50°=40°，∴∠BCD=∠DAB=40°．故选：C．4.答案：B解析：本题考查了抛物线和x轴的交点问题，注：抛物线与x轴的交点问题的两个交点到对称轴的距离相=−1，即可求得抛物线和x轴的另一个交点坐标．等，根据图象可知抛物线的对称轴为x=−2a2a=−1，解：∵抛物线y=ax2+2ax+a2+2的对称轴为x=−2a2a∴该抛物线与x轴的另一个交点到x=−1的距离为2，∴抛物线y=ax2+2ax+a2+2与x轴的另一个交点坐标为(1,0)．故选B．5.答案：A解析：此题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．解：∵两个相似三角形的相似比为3：2，∴两个相似三角形的面积比为9：4，∵较小三角形的面积为12，∴较大三角形的面积为27，故选A．6.答案：B解析：解：因为⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙O 的半径为3，∠A =45°， 所以可得圆心角∠BOC =90°， 所以B ^C 的长=90π×3180=32π，故选B ．根据圆周角得出圆心角为90°，再利用弧长公式计算即可． 此题考查弧长公式，关键是根据圆周角得出圆心角为90°．7.答案：D解析：解：∵点A(−2,y 1)，B(2,y 2)，C(3,y 3)都在反比例函数y =−6x 的图象上， ∴A 在第二象限，B 、C 在第四象限， ∴y 1>0， ∵2<3， ∴0>y 3>y 2， ∴y 2<y 3<y 1， 故选D ．根据点的坐标得出A 在第二象限，B 、C 在第四象限，得出y 1>0，0>y 3>y 2，即可得出选项． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征的应用，主要考查学生的理解能力．8.答案：C解析：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解反比例函数与一次函数的交点坐标是其解析式联立而成的方程组的解．联立正比例函数与反比例函数解析式，解方程组得点A 、B 、C 、D 的坐标，然后再求四边形ABCD 的面积．解：解方程组{y =xy =1x得{x 1=1y 1=1，{x 2=−1y 2=−1．即正比例函数y=x与反比例函数根据反比例函数y=1的图像交于两点的坐标分别为A(1,1)，xC(−1,−1)，所以D的坐标为(−1,0)，因为对称性可知：OB=OD，AB=CD，×1×4=2．∴四边形ABCD的面积=S△AOB+S△ODA+S△ODC+S△OBC=12故选C．9.答案：C解析：先根据一元二次方程x2−2x−m=0无实数根判断出m的取值范围，再判断出m+1的符号进而可得出结论．本题考查的是反比例函数的性质，根的判别式，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．解：∵一元二次方程x2−2x−m=0无实数根，∴△=4+4m<0，解得m<−1，∴m+1<0，∴反比例函数y=m+1的图象所在的象限是第二、四象限．x故选：C．10.答案：C解析：解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB//A′B′，AO：OA′=1：2，故选项C错误，符合题意．故选：C．直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．11.答案：B解析：本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．连接OC，OB，证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．解：如图所示，连接OC，OB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=60°，∵OC=OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠OBM=60°，=2√3．∴OM=OBsin∠OBM=4×√32故选B．12.答案：C解析：解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2−4ac>0，即4ac<b2，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点(−1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0)，∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=−1，x2=3，所以②正确；=1，即b=−2a，∵x=−b2a而x=−1时，y=0，即a−b+c=0，∴a+2a+c=0，∴3a+c=0，所以③错误；由图象知，当y>0时，x的取值范围是−1<x<3，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x<1时，y随x增大而增大，∴当x<0时，y随x增大而增大，所以⑤正确；即正确的个数是3个，故选：C．利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=−2a，然后根据x=−1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断，根据抛物线的性质判断⑤即可．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．13.答案：y=(x−1)2+2解析：本题考查了将二次函数解析式的一般式转化为顶点式，属基础题．由于二次项系数是1，所以利用配方法可直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．解：y=x2−2x+3=(x2−2x+1)−1+3=(x−1)2+2，故答案为y=(x−1)2+2．14.答案：2(k≠−1)图象上，解析：解：∵点P(1,3)在反比例函数y=k+1x∴3=k+1，1解得k=2．故答案为：2．(k≠−1)，求出k的值即可．直接把点P(1,3)代入反比例函数y=k+1x本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．15.答案：③⑤解析：此题主要考查了一次函数和反比例函数的性质，关键是熟记两个函数的性质．根据一次函数y=kx+ b的性质：k>0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降；反比例函数y=k的性质：(1)反比例函数y=xk(k≠0)的图象是双曲线；(2)当k>0，x双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；(3)当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大进行分析即可．(x>0)，k=−1<0，y随x增大而增大；解：①y=−1x②y=x−2，k=1>0，y随x增大而增大；③y=−3x+1，k=−3<0，y随x增大而减小；④y=5，k=5>0，在每一个象限内y随x增大而减小；x(x<0)，k=2>0，x<0在每第三象限内y随x增大而减小，⑤y=2x故答案为③⑤．16.答案：(0,1)或(0,3)解析：解：设B(0,n)，∵点A的坐标为(4,0)，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BC，若的图象上，点C恰好落在反比例函数y=3x易证△AOB≌△BDC，设B(0,n)，∴CD=OB=n，BD=OA=4，∴点C的坐标是(−n,n−4)，∵C恰好落在反比例函数y=3的图象上，x∴−n(n−4)=3，解得n=1，3，∴点B的坐标是(0,1)或(0,3)，故答案为(0,1)或(0,3)．设B(0,n)，根据旋转的性质可以得到CD=OB=n，BD=OA=4，得到点C的坐标是(−n,n−4)，即可得到−n(n−4)=3，从而求得点B的坐标．本题考查反比例函数的性质、坐标与图形的变化−旋转，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．17.答案：4√5解析：本题考查了勾股定理的运用和正方形的性质，解题的关键是正确的做出辅助线构造直角三角形．已知小正方形的面积即可求得边长，再利用勾股定理即可求解．解：如图，圆心为A，设大正方形的边长为2x，圆的半径为R，∵正方形有两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧，∴AE=BC=x，CE=2x；∵小正方形的面积为16cm2，∴小正方形的边长EF=DF=4cm，由勾股定理得，R2=AE2+CE2=AF2+DF2，即x2+4x2=(x+4)2+42，解得，x=4，∴R=4√5cm，故答案为4√5cm．18.答案：5；取格点O、E、F，M，N，作射线AO，连接EF，MN交网格线于H，Q，HQ与射线AO的交点于点P，点P即为所求解析：解：(Ⅰ)AC=√32+42=5，故答案为：5；(2)如图所示：点P即为所求：故答案为：取格点O、E、F，M，N，作射线AO，连接EF，MN交网格线于H，Q，HQ与射线AO的交点于点P ，点P 即为所求．(Ⅰ)利用勾股定理即可解决问题；(Ⅱ)取格点O 、E 、F ，M ，N ，作射线AO ，连接EF ，MN 交网格线于H ，Q ，HQ 与射线AO 的交点于点P ，点P 即为所求．本题考查作图−应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题． 19.答案：解：(1)依题意，设y 与x 之间的函数关系式为：y =kx +b将点(12,30)(18,24)代入得{30=12k +b 24=18k +b ，解得{k =−1b =42∴当12≤x ≤18时，求y 与x 之间的函数关系式：y =−x +42(12≤x ≤18)(2)依题意，得w =y ⋅(x −10)则有w ={30×(x −10) (10≤x <12)(−x +42)(x −10) (12≤x ≤18)当10≤x <12时，最大利润为w =60元当12≤x ≤18时，w =−x 2+52x −420=−(x −26)2+256∵a =−1<0∴抛物线开口向下，故当12≤x ≤18时，w 随x 的增大而增大∴当x =18时，有最大值得w =192元故当x =18元时．销售利润最大，最大利润是192元，此时销售的件数为24件．解析：本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．(1)依据题意，根据图象利用待定系数法，即可求得销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式：(2)根据销售利润=销售量×(售价−进价)，列出每天的销售利润w(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在x =−b 2a 时取得． 20.答案：解：(1)设袋中黄球的个数为x 个，∵从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为14，∴1x+2+1=14，解得：x=1，∴袋中黄球的个数为1个；(2)画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸到不同颜色球的有10种情况，∴两次摸到不同颜色球的概率为：P=1012=56．解析：本题考查的是概率公式及用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比．(1)首先设袋中黄球的个数为x个，由从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为14，利用概率公式即可列出方程，解此方程即可求得答案；(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到不同颜色球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．21.答案：解：(1)∵把A(−2,6)代入y=mx得：m=−12，∴y=−12x，∵把(4,n)代入y=−12x得：n=−3，∴B(4,−3)，把A、B的坐标代入y=kx+b得：{6=−2k+b−3=4k+b，解得：k=−32，b=3，即y=−32x+3，答：反比例函数的解析式是y=−12x ，一次函数的解析式是y=−32x+3．(2)不等式kx+b≤m的解集是−2≤x<0或x≥4．x解析：本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n，即可得出B的坐标，分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；(2)根据一次函数与反比例函数的图象即可得出答案．22.答案：解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=1.5，∴DE=CD=1.5，在Rt△DEB中，由勾股定理得：BE=√BD2−DE2=√2．52−1．52=2，∵AD=AD，CD=DE，∠C=∠AED，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE，设AC=AE=x，则AB=x+2，由勾股定理得：AB2=AC2+CB2，即(x+2)2=x2+42，解得x=3，∴AC=3．解析：过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用勾股定理列式求出BE，然后设AC=AE=x，根据勾股定理列式计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并运用勾股定理列方程求解是解题的关键．23.答案：(1)证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠ACO+∠DCE=90°，又∵ED⊥AD，∴∠EDA=90°，∴∠EAD+∠E=90°，∵OC=OA，∴∠ACO=∠EAD，故∠DCE=∠E，∴DC=DE，(2)设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，在Rt△EAD中，∵DEAD =12，∴ED=12AD=12(3+x)，由(1)知，DC=12(3+x)，在Rt△OCD中，OC2+CD2=DO2，则1.52+[12(3+x)]2=(1.5+x)2，解得：x1=−3(舍去)，x2=1，故BD=1解析：(1)利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出∠DCE=∠E，进而得出答案；(2)设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，利用勾股定理得出BD的长．此题主要考查了切线的性质以及以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，熟练应用切线的性质得出∠OCD=90°是解题关键．24.答案：解：(Ⅰ)记A′B′与x轴交于点H．∵∠HOA′=α=30°，∴∠OHA′=90°，∴OH =OA′⋅cos30°=√32，B′H =OB′⋅cos30°=32， ∴B′(√32,32).(Ⅱ)①∵OA =OA′，∴Rt △OAA′是等腰直角三角形， ∵OB =OB′，∴Rt △OBB′也是等腰直角三角形， 显然△AMB′是等腰直角三角形， 作MN ⊥OA 于N ，∵OB′=OA +AB′=1+2AN =√3， ∴MN =AN =√3−12， ∴M(1+√32,√3−12).②如图③中，∵∠AOA′=∠BOB′，OA =OA′，OB =OB′，∴∠OAA′=∠OA′A=∠OBB′=∠OB′B，∵∠OAA′+∠OAM=180°，∴∠OBB′+∠OAM=180°，∴∠AOB+∠AMB=180°，∵∠AOB=90°，∴∠AMB=90°，∴点M的运动轨迹为以AB为直径的⊙O′，当C、M、O′共线时，CM的值最小，最小值=CO′−12AB=√3−1．解析：本题考查几何变换综合题、锐角三角函数、等腰直角三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，最后一个问题的突破点是证明点M的运动轨迹为以AB为直径的⊙O′，把问题转化为点与圆我位置关系问题，属于中考压轴题．(Ⅰ)记A′B′与x轴交于点H.只要求出OH，B′H即可解决问题；(Ⅱ)①作MN⊥OA于N，只要求出ON，MN即可解决问题；②首先证明：点M的运动轨迹为以AB为直径的⊙O′，当C、M、O′共线时，CM的值最小，最小值=CO′−12AB=√3−1；25.答案：解：(1)∵抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)，∴{a−b−3=09a+3b−3=0，解得：{a=1b=−2,∴抛物线的函数解析式为：y=x2−2x−3；(2)∵点C在抛物线上，且点C的横坐标为2，∴y=4−4−3=−3，∴点C的坐标为(2,−3)，设直线AC的解析式为：y=kx+m，∴{−k+m=02k+m=−3,解得：{k=−1m=−1,∴直线AC的解析式为：y=−x−1，设点P的横坐标为x(−1≤x≤2)，则P 、E 的坐标分别为P(x,−x −1)，E(x,x 2−2x −3)，∵点P 在点E 的上方，∴PE =(−x −1)−(x 2−2x −3)=−x 2+x +2=−(x −12)2+94， ∵−1<0，开口向下，−1≤x ≤2，∴当x =12时，PE 最大=94；(3)存在4个这样的点F ，分别是F 1(1,0)，F 2(−3,0)，F 3(4+√7,0)，F 4(4−√7,0)．∵A ，C ，F ，G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形①如图1，四边形AFGC 是平行四边形，此时CG//AF ，∴AF =CG =2，∴点F 的坐标为(−3,0)；②如图2，四边形AGCF 是平行四边形，此时CG//FA ，∴AF =CG =2，∵点A 的坐标为(−1,0)，∴点F 的坐标为(1,0)；③如图3，四边形ACFG时平行四边形，此时AC//GF，此时点C，G两点的纵坐标互为相反数，故点G的纵坐标为3，且点G在抛物线上，∴x2−2x−3=3，解得：x1=1+√7，x2=1−√7(舍去)，∴点G的坐标为(1+√7,3)，∵GF//AC，∴设直线GF的解析式为：y=−x+ℎ，∴−(1+√7)+ℎ=3，解得：ℎ=4+√7，∴直线GF的解析式为：y=−x+4+√7，∴直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+√7,0)；④如图4，同③可求得点F的坐标为(4−√7,0)，综上所述，存在4个这样的点F，分别是F1(1,0)，F2(−3,0)，F3(4+√7,0)，F4(4−√7,0)．解析：本题主要考查二次函数与一次函数及平行四边形的综合应用，解决此类的关键是能灵活运用相关知识，第(3)小题中，要注意，根据点G的不同位置，分类讨论求出点F的坐标．(1)利用待定系数法，直接求出抛物线的解析式即可；(2)根据点C在抛物线上，求出点C的坐标；根据待定系数法求出直线AC的解析式；设点P的横坐标为x(−1≤x≤2)，则P、E的坐标分别为P(x,−x−1)，E(x,x2−2x−3)，用含x的式子表示出PE的长度，求出PE的最大值；(3)根据点G的不同位置，分为4种情况讨论，根据平行四边形的对边平行且相等，求得点F的坐标即可．。
重庆南开2019-2020学年初三年级上期末考试数学试卷
重庆南开2019—2020 学年度（上）初三年级期末考试数学试题、选择题（本大题共12个小题，每小题 4 分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代其中只有一个是正确的，请将解答书写在答题卡（卷）对应的位置上.1．下列各数中是无理数的是（B ．1 22．下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（A ．点AB ．点BC ．点CD ．点DOB上分别取点 C 、D ，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向3 x6xA ．3xD．4．如图，四边形B．x y 0xyC ．2xy2C ．24x yABCD是⊙ O 的内接四边形，AB AD ，若 C 70 ，则ABD 的度数为A．35 B ．55 C ．7D ．115．如图，数轴上的点可近似表示 3 630 6 的值的是（）6．如图，42的正方形网格中，在A，B，C， D 四个点中任选三个点，能组成等腰三角形的概率为（A．1B．7．对于问题，如图)121，C．13已知AOB，D．14只用直尺和圆规判断AOB 是否为直角？小意同学的方号为A、B、C、D 的四个答案，D．0.5A．0法如图2：在OA、延长线于点 E ，若测量得OE OD ，则AOB 90 ，则小意同学判断的依据是（物，每人出8钱，会多3钱；每人出7 钱，又差4钱.问人数、物价各多少？”设人数为x 人，物价为y 钱，则根据题意可列方程组为（）8x3y8x3y8x3y8x3yA．B．C．D．7x4y7x4y7x4y7x4y9．如图，已知菱形OABC , OC在x轴上，AB交y轴于点D，点A在反比例函数y1圆形，直径AB垂直水平地面于点C，最低点B离地面的距离BC为1.6米. 某天，妈妈带着洋洋出来坐摩天轮，当她站在点 D 仰头看见摩天轮的圆心时，仰角为37 ，为了选择更佳角度为洋洋拍照，妈妈向后退了49米到达点D'，当洋洋坐的轿箱 F 与圆心O在同一水平线时，他俯视看见妈妈的眼睛，此时俯角为42 ，已知妈妈的眼睛到地面的距离为 1.6米，妈妈两次所处的位置与摩天轮在同一平面上，则该摩天轮最高点A离地面的距离AC 约是（）米（参考数据：sin37 0.60，tan37 0.75 ，sin 42 0.67，tan42 0.90）A．等角对等边B．线段中垂线上的点到线段两端距离相等C ．垂线段最短D ．等腰三角形“三线合一”8．《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：有共买物，人出八，盈三；人出七，不足问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购k上，点 B 在反比例函数y22k上，且ODx2 2, 则k的值是（A．3B． 2 22C． 5 2D．53310．如图，重庆欢乐谷的摩天轮是西南地区最高的摩天轮，号称“重庆之眼”.摩天轮是一个在答题卡（卷）对应的位置上 .13．可乐和牛奶中含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天摄入的咖啡因不能超过0.000085kg ，将数据 0.000085用科学记数法表示为.14．若两个相似三角形的面积之比为1: 4，则它们对应角的角平分线之比为 .115．若 cosA tanB 3 0 ，那么 ABC 的形状是.216．如图，在 Rt ABC 中， BCA 90 ， BAC 30 ，BC 4，将Rt ABC 绕点 A 顺时针旋转 90 得到 Rt ADE ，则 BC 扫过的面积为 . （结果保留 ）17．某个周末小月和小华在南滨路跑步锻炼身体，两人同时从 A 点出发，沿直线跑到 B 点后A ．118.8B ． 127.6C ． 134.4D ． 140.211．已知关于 x 分式方程mx 2 x 3 x 6 x 33 x6无解，关于 y 的不等式组 2y yy 1 4m 2 44则符合条件的所有 C ．52 的整数解之和恰好为 10 ， A ． 9 B ． 7 22 12．已知 Rt ABC ， ACB 90 ，BC 10, AC 20，点 D 为 D ． m 的和为（32 斜边中点，连接 CD ，将 BCD 沿CD 翻折到 则DE 的值为（AC 于点 E ，A ．56二、填空题： B． 3 5本大题共 6个小题，每小题 4 分，共 24分）在每小题中，请将正确答案书写B'CD , B'D 交马上掉头原路返回A点算一个来回，回到A点后又马上掉头去往 B 点，依此类推，每人要完成 2 个来回. 已知两人全程均保持匀速，掉头时间忽略不计. 如图所示是小华从出发到他率先完成第一个来回为止，两人到 B 点的距离之和y （米）与小华跑步时间x （分钟）之间的函数图像，则当小华跑完 2 个来回时，小月离 B 点的距离为米.18．如图，平行四边形纸片ABCD中，AB 8cm，AD 6cm，ABC 120 .按下列步骤进行裁剪和拼图；第一步：如图①，在线段AD 上任意取一点E，沿EB ，EC剪下一个三角形纸片EBC （余下部分不再使用）；第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH 上任意取一点M ，线段BC上任意取一点N ，沿MN将梯形纸片GBCH 剪成两部分；第三步：如图③，将MN 左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180 ，使线段GB与GE重合，将MN 右侧纸片绕H 点按逆时针方向旋转180 ，使线段HC 与HE 重合，拼成一个与三角形纸片EBC 面积相等的四边形纸片（裁剪和拼图过程中均无缝且不重叠）. 则拼成的这个四边形纸片的周长的最大值为cm.三、解答题：（本大题共8小题，共78 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）对应的位置上.2 a 1 119．（10 分）计算：（1）4y y x x 2y 2（2） a 1a 2 a 220．（10分）如图，在ABC中，AB AC，BD是ABC的角平分线，EF 是BD的中垂线，且分别交BC于点E ，交AB于点F，交BD于点K ，连接DE、DF .1）求证：DE// AB；2）若CD 3，求四边形BEDF 的周长.21．（10 分）中华鲟是国家一级保护动物，它是大型洄游性鱼类，生在长江，长在海洋，受生态环境的影响，数量逐年下降，中华鲟研究所每年定期通过人工养殖放流来增加中华鲟的数量，每年放流的中华鲟中有少束体内安装了长效声纳标记，便于检测它们从长江到海洋的适应情况，这部分中华鲟简称为“声纳鲟” ，研究所收集了它们到达下游监测点A的时间t h的相关数据，并制作如下不完整统计图和统计表.已知，今年和去年分别有20 尾“声纳鲟”在放流的96小时内到达监测点 A ，今年落在24 t 48 内的“声纳鲟”比去年多1尾，今年落在48 t 72内的数据分别为49，60，68，68，71.关于“声纳鲟”到达监测点 A 所用时间t h 的统计表平均数中位数众数方差去年 64.2 6873 715.6 今年56.2a68629.7（1）请补全频数分布直方图，并根据以上信息填空： a .（2）中华鲟到达海洋的时间越快，说明他从长江到海洋的适应情况就越好，根据上述信息， 选择一个统计量说明去年和今年哪一年中华鲟从长江到海洋的适应情况更好；（3）去年和今年该放流点共放流 1300尾中华鲟，其中”声纳鲟“共有 50 尾，请估计今年和 去年在放流 72 小时内共有多少尾中华鲟通过监测点 A.22．（10 分）已知函数 y 1 ，请根据已学知识探究该函数的图像和性质过程如下：x21）该函数的自变量的取值范围为2）下表列出 y 与 x 的几组对应值，请在平面直角坐标系中描出下列各点，并画出图像：②横纵坐标均为整数的点称为整点，若直线y x b 的图像与该图像相交形成的封闭图 形（包含边界）内刚好有 6个整点，则 b 的取 值范围为 .23．（10分）如图1，抛物线 y x 2 bx c 与x 轴交x8 1 3 1 1 12 4 31 49 449 4 y3212 13 232 75（3）结合所画函数图象，解决下列问题：①写出该函数的一条性质：于点A、点B，与y轴交于点 C 0，3 ，对称轴为直线x 1，交x轴于点 D ，顶点为点 E.（1）求该抛物线的解析式；（2）连接AC 、CE、AE ，求ACE的面积；（3）如图2，点F 在y轴上，且OF 2 ，点N是抛物线在第一象限内一动点，且在抛物线对称轴的右侧，连接ON交对称轴于点G，连接GF ，若GF 平分OGE ，求点N的坐标.时指数首次排全国榜首，为此，交管部门在A、B 两拥堵路段进行调研；A路段平峰时汽车通行平均时速为45千米/ 时，B 路段平峰时汽车通行平均时速为50千米/ 时，平峰时A路段通行时间是B路段通行时间的5倍，且A路段比B路段长1千米.3（1）分别求平峰时A、 B 两路段的通行时间；（2）第二季度大数据显示：在高峰时， A 路段的拥堵延时指数为 2 ，每分钟有150辆汽车进入该路段；B路段的拥堵延时指数为 1.8，每分钟有125辆汽车进入该路段.第三季度，交管部门采用了智能红绿灯和潮汐车道的方式整治，拥堵状况明显改善，在高峰时， A 路段拥堵延65时指数下降了a% ，每分钟进入该路段的车辆增加了6a%；B 路段拥堵延时指数下降了5a% ，59 每分钟进入该路段的车辆增加了a辆. 这样，整治后每分钟分别进入两路段的车辆通24 ．10 分）一段路的拥堵延时指数计算公式为：拥堵延时指数高峰时段通过该路段的平峰时段通过该路段的时间时间，指数越大，道路越堵，高德大数据显示第二季度重庆拥堵延过这两路1 段所用时间总和，比整治前每分钟分别进入两路段的车辆通过这两路段所用时间总和多1 a50 小时，求 a 的值.25．（10 分）如图，点E为□ ABCD中一点，EA ED，AED 90 ，点F ，G分别为AB，BC上的点，连接DF ，AG ，AD AG DF ，且AG DF 于点H ，连接EG ，DG ，延长AB，DG 相交于点P.（1）若AH 6，FH 2 ，求AE 的长；（2）求证：P 45 ；（3）若DG 2PG ，求证：AGE EDG .26．（8分）对于平面直角坐标系中的两个图形K1和K2，给出如下定义：点G为图形K1上任意一点，点H为图形K2上任意一点，如果G，H 两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形K1和K 2的“近距离” .如图1，已知ABC, A 1, 8 ，B 9,2 ，C 1,2 ，边长为2的正方形PQMN ，对角线NQ 平行于x轴或落在x 轴上.（1）填空：①原点O与线段BC 的“近距离”为；②如图1，正方形PQMN 在ABC内，中心O'的坐标为m,0 ，若正方形PQMN 与ABC的边界的“近距离” 1，则m的取值范围为；（2）已知抛物线 C : y 1 x23x a，且 1 x 9 ，若抛物线 C 与ABC的“近距离”为1，4求 a 的值；（ 3 ）如图 2 ，已知点 D 为线段AB 上一点，且 D 5, 2 ，将ABC 绕点 A 顺时针旋转0 180 ，将旋转中的ABC记为AB'C'，连接DB'，点 E 为DB '的中点，当正方形PQMN 中心O'坐标为5, 6 ，直接写出在整个旋转过程中点 E 运动形成的图形与正方形PQMN 的“近距离” .11。
第二十四章 圆 试题精选2022-2023学年九年级上册人教版数学 【天津市】
2022-2023年九年级上册人教版数学第二十四章 圆试题精选【天津市】一、单选题（本大题共10小题）1. （天津市河西区2020年数学中考热身数学试卷）一个圆的内接正三角形的边长为23( )A 2B ．4C ．23D ．222. （天津市和平区2019届中考模拟数学试题）如图，⊙O 中，AC 为直径，MA ，MB 分别切⊙O 于点A ，B ，∠BAC ＝25°，则∠AMB 的大小为（ ）A ．25°B ．30°C ．45°D ．50°3. （天津市第七中学、育才中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，AB 为O 的直径，C 、D 为O 上两点，30CDB ∠=︒，3BC =，则AB 的长度为（ ）A ．6B ．3C ．9D ．124. （天津市河北区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，⊙O 是∆ABC 的外接圆，半径为2cm ，若2cm BC =，则A ∠的度数为（ ）A ．30°B ．25°C ．15°D ．10°5. （天津市滨海新区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上的两点，连接AC ，CD ，AD ，若75ADC ∠=︒，则BAC ∠的度数是（ ）A ．15°B ．25°C ．30°D ．75°6. （天津市滨海新区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）如图，四边形ABCD为O 的内接四边形，已知140BCD ∠︒＝，则BOD ∠的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°7. （天津市西青区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，OA 是⊙O 的半径，弦BC ⊥OA ，垂足为D ．连接AC ．若BC ＝42AC ＝3，则⊙O 的半径长为（ ）A ．9B ．8C ．92D ．38. （天津市南开区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图AB 是O 切线，点A 为切点，OB 交O 于点C ，点D 在O 上，连接,,AD CD OA ，若35ADC ∠=︒，则ABO ∠的度数为（ ）A ．25︒B ．20︒C ．30D ．35︒52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽48AB cm =，则水的最大深度为（ ）A ．8cmB ．10cmC ．16cmD ．20cm10. （天津市滨海新区2019届九年级第一次模拟试卷数学试题）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．23πB ．33πC ．323πD ．323π 二、填空题（本大题共6小题）11. （天津市南开区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）已知⊙O 的半径为10，直线AB 与⊙O 相切，则圆心O 到直线AB 的距离为 ．12. （天津市河北区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ），点O 是这段弧的圆心，C 是AB 上一点，OC AB ⊥．垂足为D ，160m AB =，40m CD =，则这段弯路的半径是 m ．13. （天津市第七中学、育才中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，半径为2的O 与正五边形ABCDE 的边AB ，DE 分别相切于点B ，D ，则劣弧BD 的长为 ．PA PB 、切O 于点A B 、，10PA cm ，CD 切O 于点E ，交PA PB 、于点C D 、，则PCD 的周长是 .15. （天津市河北区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）已知：如图，半圆O 的直径AB ＝12cm ，点C ，D 是这个半圆的三等分点，则弦AC ，AD 和CD 围成的图形（图中阴影部分）的面积S 是 .16. （天津市河东区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，点C 是半圆AB 上一动点，以BC 为边作正方形BCDE （使BC 在正方形内），连OE ，若AB ＝4cm ，则OE 的最大值为 cm ．三、解答题（本大题共11小题）17. （天津市和平区2022年中考数学二模试题）如图，AB 为⊙O 直径，△ACD 是⊙O 的内接三角形，PB 切⊙O 于点B ．(1)如图①，延长AD 交PB 于点P ，若∠C =40°，求∠P 和∠BAP 的度数；(2)如图②，连接AP 交⊙O 于点E ，若∠D =∠P ，弧CE =弧AC ，求∠P 和∠BAP 的度数．18. （天津市津南区2020年中考一模数学试题）已知：ABC 内接于O ，AB AC =，P 是ABC 外一点．（Ⅰ）如图①，点P 在O 上，若78BPC ∠=︒，求CAB ∠和ACB ∠的大小；（Ⅱ）如图②，点P 在O 外，BC 是O 的直径，PB 与O 相切于点B ，若55BPC ∠=︒，求PCA ∠的大小．19. （天津市南开区2020年中考二模数学试题）如图1，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于G ，过C 点的切线与射线DO 相交于点E ，直线DB 与CE 交于点H ，OG BG =，1BH =.（Ⅰ）求O 的半径；（Ⅱ）将射线DO 绕D 点逆时针旋转，得射线DM （如图2），DM 与AB 交于点M ，与O 及切线CF 分别相交于点N ，F ，当GM GD =时，求切线CF 的长.20. （天津市河东区2021-2022学年中考数学一模试题）已知，四边形ABCD 为菱形，点A ，B ，D 在⊙O 上．（Ⅰ）如图①，若CB ，CD 为⊙O 的切线，求∠C 的大小；（Ⅱ）如图②，BC ，CD 与⊙O 分别交于点E ，点F ，连接BF ，若∠BDC ＝50°，求∠CBF 的度数.21. （天津市滨海新区2020年中考一模数学试题）如图，△ABC 内接于⊙O ．（1）如图①，连接OA ，OC ，若28B ∠=︒，求OAC ∠的度数；（2）如图②，直径CD 的延长线与过点A 的切线相交于点P ．若60B ∠=︒，⊙O 的半径为2，求AD ，PD 的长．22. （天津市河西区2019年中考二模数学试题）如图，ABC 中，AB AC = ，以AB 为直径的O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，O 的切线DF 交EC 于点F .（Ⅰ）求DFC ∠的度数；（Ⅱ）若3AC AE =，12BC = ，求O 的直径AB . 23. （天津市河北区2020年中考一模数学试题）已知AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠OAC ＝58°．（Ⅰ）如图①，过点C 作⊙O 的切线，与BA 的延长线交于点P ，求∠P 的大小；（Ⅱ）如图②，P 为AB 上一点，CP 延长线与⊙O 交于点Q ．若AQ ＝CQ ，求∠APC 的大小．24. （天津市2019年中考数学试题）已知PA ，PB 分别与O 相切于点A ，B ，80APB ︒∠=，C 为O 上一点．（Ⅰ）如图①，求ACB ∠的大小；（Ⅱ）如图②，AE 为O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB AD =，求EAC ∠的大小．25. （天津市和平区2019届中考模拟数学试题）已知，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，在CD 的延长线上取一点P ，PG 与⊙O 相切于点G ，连接AG 交CD 于点F ．（Ⅰ）如图①，若∠A ＝20°，求∠GFP 和∠AGP 的大小；（Ⅱ）如图②，若E 为半径OA 的中点，DG ∥AB ，且OA ＝3PF 的长． 26. （天津市西青区2020年二模数学试题）已知⊙O 是ABC ∆的外接圆， 过点A 作⊙O 的切线， 与CO 的延长线交于点P ，CP 与⊙O 交于点D ．（1）如图①， 若ABC ∆为等边三角形， 求P ∠的大小；（2）如图②， 连接AD ， 若PD AD =， 求ABC ∠的大小．27. （天津市滨海新区2020年中考二模数学试题）如图①，在O 中，AB 为直径，C 为O 上一点，30A ∠︒＝，过点C 作O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ．（Ⅰ）求P∠的大小；（Ⅱ）如图②，过点B作CP的垂线，垂足为点E，与AC的延长线交于点F，①求F∠的大小；②若O的半径为2，求AF的长．参考答案1. 【答案】D【分析】先根据圆的内接正三角形的边长求出圆的半径，再根据正方形的性质求出圆的内接正方形的边长即可.【详解】根据题意画图如下：过点O作OD⊥BC于D，连接OB，BC=3∴BD=CD=12∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠OBD=30°，∴OD=1OB，2OB)2=BD2，∴OB2-(12解得：OB=2，即圆的半径为2，∴该圆的内接正方形的对角线长为4，设正方形的边长为x，∴x2+x2=42，解得x=2∴该圆的内接正方形的边长为2故选D.2. 【答案】D【分析】由AM与圆O相切，根据切线的性质得到AM垂直于AC，可得出∠MAC为直角，再由∠BAC的度数，用∠MAC﹣∠BAC求出∠MAB的度数，又MA，MB为圆O的切线，根据切线长定理得到MA＝MB，利用等边对等角可得出∠MAB＝∠MBA，由底角的度数，利用三角形的内角和定理即可求出∠AMB的度数．【详解】解：∵MA切⊙O于点A，AC为直径，∴∠MAC＝90°，又∠BAC＝25°，∴∠MAB＝∠MAC﹣∠BAC＝65°，∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA＝65°，∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝50°，故选D．3. 【答案】A【分析】连接AC，利用直角三角形30°的性质求解即可．【详解】解：如图，连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠CDB=30°，∴AB=2BC=6，故选：A．4. 【答案】A【分析】连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．【详解】解：连接OB和OC，∵圆O半径为2，BC=2，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=30°，故选A．5. 【答案】A【分析】连结BC ，根据直径所对圆周角可得90ACB ∠=︒ ，由同弧所对圆周可求出∠ABC 的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC 的度数即可．【详解】解：连结BC ，∵AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，∵∠ABC =∠ADC =75°，909075BAC ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒︒=15 ，故选A ．6. 【答案】C【分析】由圆内接四边形的对角互补可得∠A =40°，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠BOD 的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠A =180°-∠BCD =180°-140°=40°，∴∠BOD =2∠A =80°，故选C ．7. 【答案】C【分析】如图所示，连接OC ，先由BC ⊥OA ，得到∠ADC =∠ODC =90°，1222CD BD BC ===AD =1，设OA OC r ==，则1OD OA AD r =-=-，由勾股定理得到222OD CD OC +=则()(222122r r -+=，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OC ，∵BC ⊥OA ，∴∠ADC =∠ODC =90°，1222CD BD BC === ∴221AD AC CD -=，设OA OC r ==，则1OD OA AD r =-=-，∵222OD CD OC +=，∴()()222122r r -+=， 解得92r =， 故选C ．8. 【答案】B【分析】根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由35ADC ∠=︒可求出∠AOC =70︒．再由AB 为圆O 的切线，得AB ⊥OA ，由直角三角形的两锐角互余，即可求出∠ABO 的度数，【详解】解：∵AC AC = ，∴223570AOC ADC ∠=∠=⨯︒=︒，∵AB 为圆O 的切线，∴AB ⊥OA ，即∠OAB =90°，∴90907020ABO AOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：B ．9. 【答案】C【分析】过点O 作OD ⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，连接OA ，根据垂径定理即可求得AD 的长，又由⊙O 的直径为52cm ，求得OA 的长，然后根据勾股定理，即可求得OD 的长，进而求得油的最大深度DE 的长．【详解】解：过点O 作OD ⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，连接OA ， 由垂径定理得：11482422AD AB cm ==⨯=， ∵⊙O 的直径为52cm ，∴26OA OE cm ==，在Rt AOD ∆中，由勾股定理得：2222=2624=10O m O A D A D c --，∴261016DE OE OD cm =-=-=，∴油的最大深度为16cm ，故选：C ．10. 【答案】C【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．【详解】连接OO′，BO′，∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，∴∠O AO′=60°，∴△OAO′是等边三角形，∴∠AOO′=60°，OO′=OA，∴点O′中⊙O上，∵∠AOB=120°，∴∠O′OB=60°，∴△OO′B是等边三角形，∴∠AO′B=120°，∵∠AO′B′=120°，∴∠B′O′B=120°，∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B-（S扇形O′OB-S△OO′B）=12×1×3（260?2360π⨯-12×2×3323π．故选C．11. 【答案】10【分析】根据直线AB和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径即可得问题答案．【详解】解：∵⊙O的半径为10，直线AB与⊙O相切，∴圆心到直线AB的距离等于圆的半径，∴d =10；故答案为：10；12. 【答案】100【分析】设这段弯路的半径是rm ，可得,40,OA r OD r ==- 由垂径定理可得：80,AD = 再由勾股定理建立方程，解方程可得答案．【详解】解：设这段弯路的半径是rm ，40m CD =，则OA=OC=rm ，()40OD r m =-，∵OC ⊥AB ， 160m AB = ∴1802AD AB m ==， 在Rt △AOD 中，由勾股定理得：()2228040r r =+-，解得：100r =，则这段弯路的半径是100m ．故答案为：100． 13. 【答案】85π##85π 【分析】连接OB ，OD ，根据正多边形内角和公式可求出∠E 、∠A ，根据切线的性质可求出∠OBA 、∠ODE ，从而可求出∠BOD 的度数，根据弧长的公式即可得到结论．【详解】解：连接OB ，OD ，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠E ＝∠A ＝()521801085-⨯︒=︒． ∵AB 、DE 与⊙O 相切，∴∠OBA ＝∠ODE ＝90°，∴∠BOD ＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，∴劣弧BD 的长为14428=1805，故答案为：85π． 14. 【答案】20【分析】由切线长定理可求得PA ＝PB ，AC ＝CE ，BD ＝ED ，则可求得答案．【详解】由切线长定理得：10,,PA PB CA CE DB DE ====所以PCD ∆的周长为 101020PC PD CD PC AC DB PD PA PB ++=+++=+=+= 15. 【答案】26cm π【分析】如图，连接OC 、OD 、CD ，OC 交AD 于点E ，由点C ，D 是这个半圆的三等分点可得60AOC COD ∴∠=∠=︒，在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出1302CAD COD ∠=∠=︒，再根据OA OC OD ==得，AOC △，COD △都是等边三角形，所以60ACM DOM ∠=∠=︒，AC OC OD ==，可证()ACM DOM AAS ≅，故=COD S S 阴扇形，由扇形的面积公式计算即可．【详解】如图所示，连接OC 、OD 、CD ，OC 交AD 于点E ，点C ，D 是这个半圆的三等分点，180603AOC COD DOB ︒∴∠=∠=∠==︒， 1302CAD COD ∴∠=∠=︒， OA OC OD ==，AOC ∴，COD △都是等边三角形，60ACM DOM ∴∠=∠=︒，AC OC OD ==，在ACM △与DOM △中，AMC DMO ACM DOM AC DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACM DOM AAS ∴≅，ACM DOM S S ∴=，2260()60362=6(cm )360360COD AB S S πππ⨯⨯⨯⨯∴===阴扇形． 故答案为：26cm π．16. 【答案】(222)【分析】如图，连接OD ，OE ，OC ，设DO 与⊙O 交于点M ，连接CM ，BM ，通过△OCD ≌△OBE （SAS ），可得OE ＝OD ，通过旋转观察如图可知当DO ⊥AB 时，DO 最长，此时OE 最长，设DO 与⊙O 交于点M ，连接CM ，先证明△MED ≌△MEB ，得MD ＝BM ．再利用勾股定理计算即可．【详解】解：如图，连接OD ，OE ，OC ，设DO 与⊙O 交于点M ，连接CM ，BM ， ∵四边形BCDE 是正方形，∴∠BCD ＝∠CBE ＝90°，CD ＝BC ＝BE ＝DE ，∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠BCD +∠OCB ＝∠CBE +∠OBC ，即∠OCD ＝∠OBE ，∴△OCD ≌△OBE （SAS ），∴OE ＝OD ，根据旋转的性质，观察图形可知当DO ⊥AB 时，DO 最长，即OE 最长，∵∠MCB ＝12∠MOB ＝12×90°＝45°，∴∠DCM ＝∠BCM ＝45°，∵四边形BCDE 是正方形，∴C 、M 、E 共线，∠DEM ＝∠BEM ，在△EMD 和△EMB 中， DE BC MED MEB WE WEE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MED ≌△MEB （SAS ），∴DM ＝BM 22OM OB +2222+22（cm ），∴OD 的最大值＝2+2，即OE 的最大值＝2+2；故答案为：（2）cm ．17. 【答案】(1)40︒；50︒(2)60︒；30【详解】解：（1）如图①，连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°.∵在⊙O 中，∠C =∠ABD =40°，∴∠BAD =90°﹣∠ABD =50°. ∵PB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥PB∴∠ABP =90°.∴∠P =90°﹣∠BAD =40°.（2）如图②，连接CE 交AB 于点F ，∵∠D =∠P ，在⊙O 中，∠D =∠AEC∴∠P =∠AEC .∴CE //BP .∴∠AFE = ∠ABP =90°.∴AB ⊥CE又∵AB 是⊙O 的直径，∴弧AC =弧AE ，弧BC =弧BE .∵弧CE =弧AC∴弧CE =弧AC =弧AE .∴CE =AC =AE .∴△ACE 是等边三角形∴∠CAE =∠ACE = ∠AEC =60°∴∠P = ∠AEC =60°∵弧BC =弧BE∴∠CAB = ∠BAP =12∠CAE =30°18. 【答案】（Ⅰ）102CAB ∠=︒，39ACB ∠=︒；（Ⅱ）80PCA ∠=︒．【分析】（Ⅰ）根据圆内接四边形的性质可得CAB ∠的度数，根据AB AC =可得AB AC =，再根据等腰三角形的定义、三角形的内角和定理即可得ACB ∠的度数；（Ⅱ）先根据圆周角定理得出90CAB ∠=︒，从而可得45ACB ∠=︒，再根据圆的切线的性质得出90PBC ∠=︒，然后根据直角三角形的性质可得35PCB ∠=︒，最后根据角的和差即可得．【详解】（Ⅰ）∵四边形ABPC 是O 的内接四边形，78BPC ∠=︒∴180102CAB BPC ∠=︒-∠=︒∵AB AC =∴AB AC =∴∠=∠ACB ABC102CAB ∠=︒ ∴()1180392ACB CAB ∠=︒-∠=︒； （Ⅱ）∵BC 是O 的直径∴90CAB ∠=︒由（Ⅰ）知，∠=∠ACB ABC∴45ACB ∠=︒ 又PB 与O 相切∴PB BC ⊥，即90PBC ∠=︒55BPC ∠=︒∴9035PCB BPC ∠=︒-∠=︒∴354580PCA PCB ACB ∠=∠+∠=︒+︒=︒即80PCA ∠=︒．19. 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）63+【分析】（Ⅰ）由题意连接OC ，结合圆的切线定理和等边三角形性质以及平行线性质和同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系进行分析求解；（Ⅱ）根据题意过点F 作PQ DC ⊥.交DC 延长线于点Q ，并设CQ x =，则2CF x =，3QF x =，利用勾股定理建立方程求解进而得出切线CF 的长.【详解】解：（Ⅰ）连接OC ，∵CE 为O 的切线，∴OC CE ⊥∴90OCH ∠=︒∵CD AB ⊥，OG BG =∴OC CB =，又∵OB OC =∴OB OC CB ==∴BOC 为等边三角形∴460OCB ∠=∠=︒∴906030BCH OCH OCB ∠=∠-∠=︒-︒=︒∵OC BC =，CD OB ⊥ ∴113302OCB ∠=∠=∠=︒ 由同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系可知：124302∠=∠=︒ ∴23∠∠=∴//DH OC∴90H ∠=︒在Rt BCH 中，90H ∠=︒，30BCH ∠=︒，1BH =∴22BC BH ==∴2OB BC ==即O 的半径为2.（Ⅱ）如图2，过点F 作PQ DC ⊥.交DC 延长线于点Q ，∴90CFQ FCQ ∠+∠=︒，∵OC FC ⊥，∴90OCG FCQ ∠+∠=︒，∴30CFQ OCG ∠=∠=︒，设CQ x =，则2CF x =，3QF x =，∵GM GD =，MG CD ⊥，∴45MDG ∠=︒，∵FQ QD ⊥，∴9045DFQ MDG MDG ∠=︒-∠=︒=∠，∴QF QD QC CD ==+，∵AB CD ⊥，2OC =，1OG GB ==，又∵22222123CD CG ==-= ∴323x x =+ 解得33x = ∴263CF CQ ==+20. 【答案】（Ⅰ）60︒；（Ⅱ）20︒．【分析】（Ⅰ）如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得,OB BC OD CD ⊥⊥，再根据四边形的内角和可得180C BOD ∠+∠=︒，然后根据圆周角定理可得2BOD A ∠=∠，最后根据菱形的性质即可得；（Ⅱ）如图（见解析），先根据菱形的性质、等腰三角形的性质可得50CBD ∠=︒，再根据三角形的内角和定理可得80A C ∠=∠=︒，然后根据圆内接四边形的性质可得100BED ∠=︒，又根据三角形的外角性质可得20CDE ∠=︒，最后利用圆周角定理即可得．【详解】（Ⅰ）如图，连接,OB OD ，,CB CD 为O 的切线，,OB BC OD CD ∴⊥⊥，即90OBC ODC ∠=∠=︒，3609090180C BOD ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒，由圆周角定理得：2BOD A ∠=∠，2180C A ∴∠+∠=︒， 又四边形ABCD 为菱形，A C ∴∠=∠，2180C C ∴∠+∠=︒，解得60C ∠=°；（Ⅱ）如图，连接DE ，四边形ABCD 为菱形，,A C BC CD ∴∠=∠=，又50BDC ∠=︒，50BDC CBD ∴=∠=∠︒，00881C CB BDC D ∴∠=︒-∠∠=-︒，80A ∴∠=︒，由圆内接四边形的性质得：180100BED A ∠=︒-∠=︒，1008020CDE BED C ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，由圆周角定理得：20CDE CBF ∠∠==︒．21. 【答案】（1）62OAC ∠=︒；（2）2AD =；2PD =【分析】（Ⅰ）由题意根据圆周角定理和∠B=28°，即可求出∠OAC 的度数；（Ⅱ）根据题意连接OA ，再根据切线的性质和圆周角定理可得△AOD 是等边三角形，进而根据特殊角30度即可求出AD ，PD 的长．【详解】解：（Ⅰ）∵∠AOC=2∠ABC ，28B ∠=︒，∴∠AOC=56°．∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ． ∴18056622OAC ︒-︒∠==︒． （Ⅱ）连接OA ．∵PA 与⊙O 相切于点A ，∴PA OA ⊥．∵∠AOC=2∠ABC ，60B ∠=︒，∴∠AOC=120°．∴∠POA=60°又OA OD =，∴AOD △是等边三角形．∴2AD OA ==．∵∠PAO=90°，∴∠P=30°．在Rt PAO △中，24PO OA ==．∴2PD PO OD =-=．22. 【答案】（Ⅰ）90DFC ∠=︒；（Ⅱ）36AB =【分析】（Ⅰ）连接OD ．由切线的性质可知OD ⊥DF ．再由AC=AB ，OB=OD 可证明∠ODB=∠C ，从而可证明OD ∥AC ，再由平行线的性质可证明DF ⊥AC ； （Ⅱ）连结BE ，根据直径所对的圆周角为直角得出90AEB =︒∠，设AE k =，根据已知用k 表示出AB 、EC,然后根据勾股定理列出关于k 的方程求解即可．【详解】解：（Ⅰ）连接OD ，∵OB OD =，∴B ODB ∠=∠，∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∴ODB C ∠=∠，∴OD AC ，∵DF 是O 的切线∴OD DF ⊥，∴DF AC ⊥，∴90DFC ODF ∠=∠=︒；（Ⅱ）连接BE∵AB 是直径，∴90AEB =︒∠，∵AB AC =，3AC AE = ，∴3AB AE =，4CE AE = ，设AE k =，则3AB k =，3AB AC k ==，4EC k = ，∴在Rt ABE △中，22228BE AB AE k =-=，在Rt BEC △中，222BE EC BC +=.∵12BC =，∴22281612k k +=，∴26k =∴6k （负舍），∴直径336AB AE ==.23. 【答案】（I ）∠P ＝26°；（II ）∠APC ＝48°．【分析】（I ）根据等腰三角形中有一底角为58度时，可得∠COA ＝64°，根据切线的性质得出∠OCP ＝90°，进而求得∠P 的度数；（II ）先由（I ）知∠AOC ＝64°，根据圆周角定理得∠Q ＝12∠AOC ＝32°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠QAC ＝∠QCA ＝74°，最后由三角形外角的性质可得结论．【详解】（I ）如图①，∵OA ＝OC ，∠OAC ＝58°，∴∠OCA ＝58°∴∠COA ＝180°﹣2×58°＝64°∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°，∴∠P ＝90°﹣64°＝26°；（II ）∵∠AOC ＝64°，∴∠Q ＝12∠AOC ＝32°， ∵AQ ＝CQ ，∴∠QAC ＝∠QCA ＝74°，∵∠OCA ＝58°，∴∠PCO ＝74°﹣58°＝16°，∵∠AOC ＝∠QCO +∠APC ，∴∠APC ＝64°﹣16°＝48°．24. 【答案】（Ⅰ）50ACB ︒∠=；（Ⅱ）20EAC ︒∠=.【分析】（Ⅰ）连接OA 、OB ，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和等于360°计算；（Ⅱ）连接CE ，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．【详解】解：（Ⅰ）如图，连接OAOB ，． ∵PA PB ，是O 的切线，∴OA PA ⊥，OB PB ⊥．即90OAP OBP ︒∠=∠=．∵80APB ︒∠=，∴在四边形OAPB 中，360100AOB OAP OBP APB ︒︒∠=-∠-∠-∠=．∵在O 中，12ACB AOB ∠=∠， ∴50ACB ︒∠=．（Ⅱ）如图，连接CE ．∵AE 为O 的直径，∴90ACE ︒∠=．由（Ⅰ）知，50ACB ︒∠=，∴40BCE ACE ACB ︒∠=∠-∠=．∴40BAE BCE ︒∠=∠=．∵在ABD ∆中，AB AD =， ∴1(180)702ADB ABD BAE ︒︒∠=∠=-∠=． 又ADB ∠是ADC ∆的一个外角，有EAC ADB ACB ∠=∠-∠，∴20EAC ︒∠=．25. 【答案】（Ⅰ）∠GFP ＝70°，∠AGP ＝70°；（Ⅱ）PF ＝4．【分析】（Ⅰ）连接OG ，在Rt △AEF 中，∠A ＝20°，可得∠GFP ＝∠EFA ＝70°，因为OA ＝OG ，所以∠OGA ＝∠A ＝20°，因为PG 与⊙O 相切于点G ，得∠OGP ＝90°，可得∠AGP ＝90°﹣20°＝70°．；（Ⅱ）如图，连结BG ，OG ，OD ，AD ，证明△OAD 为等边三角形，得∠AOD ＝60°，所以∠AGD ＝30°，因为DG ∥AB ，所以∠BAG ＝∠AGD ＝30°，在Rt △AGB 中可求得AG ＝6，在Rt △AEF 中可求得AF ＝2，再证明△GFP 为等边三角形，所以PF ＝FG ＝AG ﹣AF ＝6﹣2＝4．【详解】解：（Ⅰ）连接OG ，∵CD ⊥AB 于E ，∴∠AEF ＝90°，∵∠A ＝20°，∴∠EFA ＝90°﹣∠A ＝90°﹣20°＝70°，∴∠GFP ＝∠EFA ＝70°，∵OA ＝OG ，∴∠OGA＝∠A＝20°，∵PG与⊙O相切于点G，∴∠OGP＝90°，∴∠AGP＝∠OGP﹣∠OGA＝90°﹣20°＝70°．（Ⅱ）如图，连结BG，OG，OD，AD，∵E为半径OA的中点，CD⊥AB，∴OD＝AD＝OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∠AOD＝30°，∴∠AGD＝12∵DG∥AB，∴∠BAG＝∠AGD＝30°，∵AB为⊙O的直径，OA＝3∴∠AGB＝90°，AB＝3∴AG＝AB•cos30°＝6，．∵OG＝OA，∴∠OGA＝∠BAG＝30°，∵PG与⊙O相切于点G，∴∠OGP＝90°，∴∠FGP＝90°﹣30°＝60°，∵∠AEF＝90°，AE＝，∠BAG＝30°，∴AF＝2，∠GFP＝∠EFA＝60，∴△GFP为等边三角形，∴PF＝FG＝AG﹣AF＝6﹣2＝4．26. 【答案】（1）30︒；（2）60︒【分析】（1）连接AO ，根据ABC ∆为等边三角形得到60ABC ∠=，根据圆周角定理得到2120AOC ABC ∠=∠=，进而求得60AOP ∠=，再由切线的性质的PAO 90∠=，然后根据三角形内角和得到结果.（2））连接AO ，由已知条件证的2∠=∠OAD PAD ，根据切线的性质推出30PAD ∠=，进而求得答案.【详解】（1）连接AOABC ∆∴为等边三角形;60ABC ∴∠=;2120AOC ABC ∴∠=∠=;180AOC AOP ∴∠+∠=;60AOP ∴∠=; PA 为O 的切线，A 为切点;PA AO ∴⊥;即PAO 90∠=;90P AOP ∴∠+∠=;90906030P AOP ∴∠=-∠=-=;（2）连接AOPD AD =;P PAD ∴∠=∠;OA OD =;ADO OAD ∴∠=∠;2ADO P PAD PAD ∠=∠+∠=∠;2OAD PAD ∴∠=∠; PA 为O 的切线，A 为切点;PA AO ∴⊥;即PAO 90∠=;90PAD OAD ∴∠+∠=;290PAD PAD ∴∠+∠=;30PAD ∴∠=;260ADO PAD ∴∠=∠=;即ADC 60∠=;60ABC ADC ∴∠=∠=;27. 【答案】（Ⅰ）30P ∠=︒；（Ⅱ）①30F ∠=︒；②43AF =【分析】（Ⅰ）如图①中，连接OC ．利用切线的性质解决问题即可； （Ⅱ）①证明OC ∥BF ，即可解决问题；②证明△OBC 是等边三角形，利用勾股定理即可解决问题．【详解】（Ⅰ）如图，连接OC ．∵O 与PC 相切于点C ，∴OC PC ⊥，即90OCP ∠=︒，∵30A ∠=︒，∴260BOC A ∠=∠=︒，在Rt OPC △中，90POC P ∠+∠=︒ ，∴906030P ∠=︒-︒=︒；（Ⅱ）①由（I ）得90OCP ∠=︒，又∵BF PC ⊥，即90PEB ∠=︒∴//OC BF∴30F ACO A ∠=∠=∠=︒；②由①F A ∠=∠，∴AB BF =，连接BC ，∵AB 是直径，∴90BCA ∠=︒，即BC AF ⊥，=∴AC CF∵60=，BOC∠=︒，OC OB∴OBC是等边三角形，∴2BC OC==，∴2222-=-=4223 AC AB BC∴43AF=。
2018-2019学年天津市南开区九年级(上)期中数学试卷
2018-2019学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.方程x2-x=0的解为（）A. B.C. ，D. ，2.下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是（）A. B.C. D.3.用配方法解方程3x2-6x+1=0，则方程可变形为（）A. B. C. D.4.在下列二次函数中，其图象对称轴为直线x=2的是（）A. B. C. D.5.如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角α的大小可以是（）A. B. C. D.6.下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂宜于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中错误的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.函数y=ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（）A. B.C. D.8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则∠A的度数为（）A.B.C.D.9.已知函数y=ax2-2ax-1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A. 当时，函数图象经过点B. 当时，函数图象与x轴没有交点C. 若，函数图象的顶点始终在x轴的下方D. 若，则当时，y随x的增大而增大10.如图，AB是圆O的弦，AB=20，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是（）A. 10B.C.D. 2011.如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示的位置，第2秒中P点位于点C的位置，……，则第2018秒点P所在位置的坐标为（）A. B. C. D.12.如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx-8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A.B.C. 1D. 3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.已知圆的直径是13cm，圆心到某条直线的距离是6cm，那么这条直线与该圆的位置关系是______．14.已知点P（a+1，1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是______．15.已知点A的坐标为（a，b），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，则点A1的坐标为______．16.如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借一段墙体（墙体的最大可用长度a=10m），设AB的长为xm，所围的花圃面积为ym2，则当x=______时，y的值最大．17.在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是______．18.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段即把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）19.已知，关于x的方程（m-1）x2-（m-2）x m=0（1）当m取何值时方程有一个实数根？（2）当m取何值时方程有两个实数根？（3）请你在（2）的条件下，取m的一个适当数值代入方程，并求出方程的解．20.2（1）求该二次函数的解析式；（2）m的值为______；（3）若A（p，y1）、B（p+1，y2）两点都在该函数的图象上，且p＜0，试比较y1与y2的大小．21.数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面的问题：已知：平面内一点A，求作：∠A，使得∠A=30°．小明同学的作法如下：如图①作射线AB；②在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB交于点C；③以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD，∠DAB即为所求作的角．老师说小明的作法是正确的．（1）请你按照小明提示的作法完成作图；（2）请你对小明的作图方法的正确性进行证明．22.如图，AB=AC=8，∠BAC=90，直线l与以AB为直径的⊙O相切于点B，点D是直线l上任意一动点，连结DA交⊙O点E．（1）当点D在AB上方且BD=6时，求AE的长；（2）当CE恰好与⊙O相切时，求BD的长为多少？23.我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元（x＞0）时，平均每天可盈利y元．（1）写出y与x的函数关系式；（2）当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？（3）该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由．24.探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足______关系时，线段BE、DF和EF之间依然有①中的结论存在，请你写出该结论的证明过程；（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D、E均在边BC 上，且∠DAE=45°，若BD=1，求DE的长．25.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：x2-x=0，x（x-1）=0，∴x=0或x-1=0，∴x1=0，x2=1，故选：C．通过提取公因式x对等式的左边进行因式分解，然后解两个一元一次方程即可．此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是旋转变换图形，故本选项错误；D、是旋转变换图形，故本选项错误．故选：A．根据中心对称，轴对称，平移变换的性质对各选项分析判断即可得解．本题考查中心对称的性质，关键是根据中心对称，轴对称，平移变换的性质解答．3.【答案】D【解析】解：原方程为3x2-6x+1=0，二次项系数化为1，得x2-2x=-，即x2-2x+1=-+1，所以（x-1）2=．故选D．本题考查分配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．4.【答案】D【解析】解：A、y=（x+2）2-3的对称轴为x=-2，所以选项A错误；B、y=2x2-2的对称轴为x=0，所以选项B错误；C、y=-2x2-2的对称轴为x=0，所以选项C错误；D、y=2（x-2）2对称轴为x=2，所以选项D正确；故选：D．根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．本题考查了二次函数的对称轴，形如y=a（x-h）2+k的顶点为（h，k），对称轴是直线x=h；也可以把抛物线解析式化为一般形式，再根据对称轴公式x=-求出对称轴．5.【答案】C【解析】解：∵∠AOB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°．∵△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，∴OA=OA′．∴△OAA′是等边三角形．∴∠AOA′=60°，即旋转角α的大小可以是60°．故选：C．根据旋转的性质：旋转变化前后，图形的大小、形状都不改变，进行分析．本题考查图形旋转的性质及等边三角形的知识．难度中等．6.【答案】C【解析】解：：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；③平分弦的直径垂宜于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；④圆内接四边形对角互补；正确；故选：C．根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可；本题考查确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】C【解析】解：在函数y=ax2+ax+a（a≠0）中，当a＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误；当a＞0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确；故选：C．根据函数y=ax2+ax+a（a≠0），对a的正负进行分类讨论，只要把选项中一定错误的说出原因即可解答本题．本题考查二次函数的图象，解题的关键是运用分类讨论的数学思想解答问题．8.【答案】A【解析】解：由圆周角定理得，∠A=∠BOD，由圆内接四边形的性质得，∠A+∠BCD=180°，∴3∠A=180°，解的，∠A=60°，故选：A．根据圆周角定理得到，∠A=∠BOD，根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠BCD=180°，计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：A、当a=1时，函数解析式为y=x2-2x-1，当x=-1时，y=1+2-1=2，∴当a=1时，函数图象经过点（-1，2），∴A选项不符合题意；B、当a=-2时，函数解析式为y=-2x2+4x-1，令y=-2x2+4x-1=0，则△=42-4×（-2）×（-1）=8＞0，∴当a=-2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，∴B选项不符合题意；C、∵y=ax2-2ax-1=a（x-1）2-1-a，∴二次函数图象的顶点坐标为（1，-1-a），当-1-a＜0时，有a＞-1，∴C选项不符合题意；D、∵y=ax2-2ax-1=a（x-1）2-1-a，∴二次函数图象的对称轴为x=1．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，∴D选项符合题意．故选：D．A、将a=1代入原函数解析式，令x=-1求出y值，由此得出A选项不符合题意；B、将a=2代入原函数解析式，令y=0，根据根的判别式△=8＞0，可得出当a=-2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，即B选项不符合题意；C、利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零，可得出a的取值范围，由此可得出C选项不符合题意；D、利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D选项符合题意．此题得解．本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：连接OA、OB，如图，∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴OA=AB=×20=20，∵点M、N分别是AB、BC的中点，∴MN=AC，当AC为直径时，AC的值最大，∴MN的最大值为20．故选：D．连接OA、OB，如图，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=90°，则OA=AB=20，再根据三角形中位线性质得到MN=AC，然后利用AC为直径时，AC的值最大可确定MN的最大值．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形中位线性质．11.【答案】B【解析】解：作PE⊥OA于E，∵OP=1，∠POE=45°，∴OE=PE=，即点P的坐标为（，），则第2秒P点为（0，1），根据题意可知，第3秒P点为（-，），第4秒P点为（-1，0），第5秒P点为（-，-），第6秒P点为（0，-1），第7秒P点为（，-），第8秒P点为（1，0），2018÷8=252……2，∴第2018秒点P所在位置的坐标为（0，1），故选：B．作PE⊥OA于E，根据等腰直角三角形的性质得到点P的坐标为（，），根据题意分别求出第3秒、第4秒、第5秒、第6秒、第7秒、第8秒点P的坐标，根据规律解答．本题考查的是考查的是点的坐标规律，圆心角、弧、弦的关系定理，正确找出各个时间点的坐标规律是解题的关键．12.【答案】B【解析】解∵关于x的方程ax2+bx-8=0，有一个根为4，∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），∵抛物线的对称轴为x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），∴方程的另一个根为x=-2．故选：B．根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案．本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性．13.【答案】相交【解析】解：∵圆的直径为13 cm，∴圆的半径为6.5 cm，∵圆心到直线的距离6cm，∴圆的半径＞圆心到直线的距离，∴直线与圆相交，故答案为：相交．欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．14.【答案】a＜-1【解析】解：∵P（a+1，1）关于原点对称的点在第四象限，∴P点在第二象限，∴a+1＜0，解得：a＜-1，故答案为：a＜-1．首先根据题意判断出P点在第二象限，再根据第二象限内点的坐标符号（-，+），可得到不等式a+1＜0，然后解出a的范围即可．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，以及各象限内点的坐标符号，关键是判断出P点所在象限．15.【答案】（-b，a）【解析】解：不妨设A在第一象限，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，如图所示．∵A（a，b），∴OB=a，AB=b，∴A1B1=AB=b，OB1=OB=a，因为A1在第二象限，所以A1（-b，a），A在其它象限结论也成立．画出草图分析．不妨设A在第一象限，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，如图所示．根据旋转的性质，A1B1=AB，OB1=OB．综合A1所在象限确定其坐标，其它象限解法完全相同．不失一般性，可设点A在某一象限，以点带面求解．16.【答案】【解析】解：由题意得：y=x（24-3x），即y=-3x2+24x，∵x＞0，且10≥24-3x＞0∴≤x＜8；故y与x的函数关系为y=-3x2+24x，（≤x＜8）；∵y=-3x2+24x=-3（x-4）2+48（≤x＜8）；∵开口向下，对称轴为4，∴当x=时，花圃有最大面积，答：当x为时，面积最大，故答案为：．设AB长为x米，则BC长为：（24-3x）米，该花圃的面积为：（24-3x）x；进而得出函数关系即可；根据x的取值范围，判断出最大面积时x的取值，代入解析式便可得到最大面积．本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解答本类题目的关键．17.【答案】【解析】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵AB=2，∴AE=，PA=2，∴PE=1．∵点D在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=．∵⊙P的圆心是（2，a），∴点D的横坐标为2，∴OC=2，∴DC=OC=2，∴a=PD+DC=2+．故答案为：2+．过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．18.【答案】4【解析】解：连接OP、OB，∵图形BAP的面积=△AOB的面积+△BOP的面积+扇形OAP的面积，图形BCP的面积=△BOC的面积+扇形OCP的面积-△BOP的面积，又∵点P是半圆弧AC的中点，OA=OC，∴扇形OAP的面积=扇形OCP的面积，△AOB的面积=△BOC的面积，∴两部分面积之差的绝对值是2S△BOP=OP•OC=4．连接OP、OB，把两部分的面积均可转化为规则图形的面积，不难发现两部分面积之差的绝对值即为三角形BOP的面积的2倍．此题要能够把不规则图形的面积转化为规则图形的面积．注意根据已知条件发现面积相等的图形．19.【答案】解：（1）当m-1=0，即m=1时，该方程为一元一次方程，方程有一个实数根：x=-；（2）当m-1≠0，即m≠1时，该方程为一元二次方程；当△=[-（m-2）]2-4（m-1）×m≥0时，方程有两个实数根．解得：m≤，且m≠1，∴当m≤，且m≠1时方程有两个实数根；（3）当m=0时，方程可化为-x2+2x=0，解得：x1=0，x2=2．【解析】（1）m-1=0即m=1时，方程是一元一次方程，据此可得；（2）由m-1≠0即m≠1时，该方程为一元二次方程，利用判别式求解可得；（3）把m=0代入方程，解方程即可得到结论．本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的定义和解法．20.【答案】0【解析】解：（1）把点（-1，0），（2，-3），（0，-3）分别代入y=ax2+bx+c中，得，解得，∴这个二次函数的关系式为：y=x2-2x-3；（2）由已知表格可得函数的对称轴为x=1，∴m=0．故答案是：0；（3）∵p＜0，∴p＜p+1＜1，∵对称轴为x=1，A、B两点位于对称轴的左侧，又因为抛物开口向上，∴y1＞y2，故答案为0，y1＞y2．（1）从表格中选取3组解利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）观察表格知x=1是二次函数的对称轴，x=3关于x=-1对称，可得m=0；（3）根据函数的增减性来判断较y1与y2的大小．此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，此题从表格中找函数的对称轴，从而来运用函数的增减性来解题．21.【答案】解：（1）如图，∠A即为所求．（2）连接OD、OC，由作图知，OB=OC=CD，∴△OCD为等边三角形，则∠COD=60°，∴∠DAC=∠COD=30°．【解析】先根据作图得出OB=OC=CD，即△OCD为等边三角形，据此可得∠COD=60°，再根据圆周角定理知∠DAC=∠COD=30°，从而得出答案．本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和圆周角定理．22.【答案】解：（1）∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵BD为切线，∴AB⊥BD，∴∠ABD=90°，在Rt△ABD中，AD===10，∵BE•AD=AB•BD，∴BE==，在Rt△ABE中，AE==；（2）连接OC，如图，∵∠BAC=90°，∴CA为⊙O的切线，∵CE为⊙O的切线，∴CA=CE，而OA=OE，∴OC垂直平分AE，∴∠1+∠3=90°，而∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，而AB=CA，∠CAO=∠ABD，∴△ABD≌△CAO，∴BD=AO=4．【解析】（1）利用圆周角定理得∠AEB=90°，利用切线的性质得∠ABD=90°，则利用勾股定理可计算出AD=10，再利用面积法计算出BE=，然后利用勾股定理可计算出AE的长；（2）连接OC，如图，利用切线长定理得到CA=CE，则快乐判断OC垂直平分AE，根据等角的余角相等得到∠2=∠3，则可判断△ABD≌△CAO，从而得到BD=AO=4．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了勾股定理和圆周角定理．23.【答案】解：（1）根据题意得，y与x的函数关系式为y=（20+2x）（60-40-x）=-2x2+20x+400；（2）当y=400时，400=-2x2+20x+400，解得x1=10，x2=0（不合题意舍去）．故当该专卖店每件童装降价10元时，平均每天盈利400元；（3）该专卖店不可能平均每天盈利600元．当y=600时，600=-2x2+20x+400，整理得x2-10x+100=0，∵△=（-10）2-4×1×100=-300＜0，∴方程没有实数根，即该专卖店不可能平均每天盈利600元．【解析】（1）根据总利润=每件利润×销售数量，可得y与x的函数关系式；（2）根据（1）中的函数关系列方程，解方程即可求解；（3）根据（1）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得．本题主要考查二次函数的应用、一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键．24.【答案】∠B+∠D=180°【解析】解：（1）①如图1，∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∠B=∠ADG=90°，∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠ADG=90°∴F、D、G共线，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中，∵∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=DF+DG=BE+DF；②解：∠B+∠D=180°，理由是：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC+∠ADG=180°，∴C、D、G在一条直线上，与①同理得，∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；故答案为：∠B+∠D=180°；（2）解：∵△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC==4，如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，∵∠DAE=45°，∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°，∴∠FAD=∠DAE=45°，在△FAD和△EAD中∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF=DE，设DE=x，则DF=x，∵BC=4，∴BF=CE=4-1-x=3-x，∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，∴∠FBD=90°，由勾股定理得：DF2=BF2+BD2，x2=（3-x）2+12，解得：x=，即DE=．（1）①根据旋转的性质得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案；②根据旋转的性质作辅助线，得出AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案；（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°，BC=4，根据旋转的性质得出AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，求出∠FAD=∠DAE=45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF=DE，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3-x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．25.【答案】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），把点A（0，4）代入上式得：a=，∴y=（x-1）（x-5）=x2-x+4=（x-3）2-，∴抛物线的对称轴是：直线x=3；（2）P点坐标为（3，）．理由如下：∵点A（0，4），抛物线的对称轴是直线x=3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y=kx+b，把A′（6，4），B（1，0）代入得，解得，∴y=x-，∵点P的横坐标为3，∴y=×3-=，∴P（3，）．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2-t+4）（0＜t＜5），如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=-x+4，把x=t代入得：y=-t+4，则G（t，-t+4），此时：NG=-t+4-（t2-t+4）=-t2+4t，∵AD+CF=CO=5，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AD×NG+NG×CF=NG•OC=×（-t2+4t）×5=-2t2+10t=-2（t-）2+，∴当t=时，△CAN面积的最大值为，由t=，得：y=t2-t+4=-3，∴N（，-3）．【解析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，可求出直线BA′的解析式，即可得出点P的坐标．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2-t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用．。
天津市南开区2019-2020学年九年级数学上期末考试模拟试卷(pdf版,含解析)
天津市南开区2019-2020学年九年级数学期末考试模拟试卷一．选择题（共11小题）1．下列交通标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O顺时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是（）A．（3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）3．关于概率，下列说法正确的是（）A．某地“明天降雨的概率是90%”表明明天该地有90%的时间会下雨B．13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月C．“打开电视正在播放新闻节目”是不可能事件D．经过有交通信号灯的路口，一定遇到红灯4．已知二次函数y＝x2﹣2x+m2﹣3（m为常数）当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣3，则m的值为（）A．1B．0或﹣1C．0或1D．﹣1或1 5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（）A．B．2C．2D．86．抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）．若关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．﹣4≤t＜0B．﹣4≤t＜5C．0＜t＜5D．0≤t＜5 7．已知反比例函数y＝﹣图象上三个点的坐标分别是A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C （2，y3），能正确反映y1、y2、y3的大小关系的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y18．如图，正方形ABCD 和正△AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC 、CD 分别相交于点G 、H ，则的值是（）A ．B ．C ．D ．29．直线y 1＝k 1x 与双曲线y 2＝分别交于第一，三象限A 、B 两点，其中点A 的横坐标为1，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是（）A ．x ＜﹣1或x ＞1B ．﹣1＜x ＜1且x ≠0C ．x ＜﹣1或0＜x ＜1D ．﹣1＜x ＜0或x ＞110．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且43OE EA ，则FG BC ＝（）A ．47B ．43C ．34D ．7411．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的顶点A ，B 分别在y 轴、x 轴上，OA ＝2，OB ＝1，斜边AC ∥x 轴．若反比例函数y ＝（k ＞0，x ＞0）的图象经过AC 的中点D ，则k 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．812．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，且a ≠0）图象的一部分，它与x 轴的一个交点A 在点（2，0）和点（3，0）之间，图象的对称轴是x ＝1，对于下列说法：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④③二．填空题（共6小题）13．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是__千米．14．如图，在矩形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为．15、若一个袋子中装有形状与大小均完全相同有4张卡片，4张卡片上分别标有数字﹣2，﹣1，2，3，现从中任意抽出其中两张卡片分别记为x，y，并以此确定点P（x，y），那么点P落在直线y＝﹣x+1上的概率是．16．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．17．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过点A（﹣2，0），B（3，0）两点．若关于x的一元二次方程a（x﹣h+m）2+k＝0的一个根是1，则m的值为．18．如图，在边长都是1的小正方形组成的网格中，、、、均为格点，线段相交于点．（Ⅰ）线段的长等于______；（Ⅱ）请你借助网格，使用无刻度．．．的直尺画出以为一个顶点的矩形，满足点为其对角线的交点，并简要说明这个矩形是怎么画的（不要求证明）______．三．解答题（共7题）19．一项答题竞猜活动，在6个式样、大小都相同的箱子中有且只有一个箱子里藏有礼物．参与选手将回答5道题目，每答对一道题，主持人就从6个箱子中去掉一个空箱子．而选手一旦答错，即取消后面的答题资格，从剩下的箱子中选取一个箱子．（1）一个选手答对了4道题，求他选中藏有礼物的箱子的概率；（2）已知一个选手选中藏有礼物的箱子的概率为，则他答对了几道题？20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C．（1）求一次函数的解析式；（2）若反比例函数y＝﹣，当y≤﹣2时，x的取值范围是．（3）根据函数的图象，直接写出不等式kx+b≥﹣的解集．（4）点P是x轴上一点，且△BOP的面积是△BOA面积，求点P的坐标．21．在一次测量旗杆高度的活动中，某数学兴趣小组使用的方案如下:AB表示某同学从眼睛到脚底的距离，CD表示一根标杆，EF表示旗杆，AB，CD，EF都垂直于地面，若AB=1.6米，CD=2米，人与标杆之间的距离BD=1米，标杆与旗杆之间的距离DF=30米，求旗杆EF的高.22、已知点A.B在半径为1的O上，直线AC与O相切，OC⊥OB，连接AB交OC 于点D.(Ⅰ)如图①,若∠OCA=60∘，求OD的长；(Ⅱ)如图②,OC与O交于点E,若BE∥OA，求OD的长。
2020-2021学年天津市南开区九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选中只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）方程（x﹣1）（x+3）＝0的解是（）A．x＝1B．x＝﹣3C．x1＝1，x2＝3D．x1＝﹣3，x2＝1 2．（3分）下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）已知⊙O中，最长的弦长为16cm，则⊙O的半径是（）A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm4．（3分）下列各点中，在二次函数y＝x2﹣8x﹣9图象上的点是（）A．（1，﹣16）B．（﹣1，﹣16）C．（﹣3，﹣8）D．（3，24）5．（3分）如图，在圆O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C做CD⊥OC 交圆O于点D，则CD的最大值为（）A．2B．2C．D．6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误的是（）A．AD＝BD B．∠ACB＝∠AOE C．D．OD＝DE 7．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则∠BAD 的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．（3分）如图，若△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后与△AB1C1重合，则∠AB1B＝（）A．50°B．55°C．60°D．65°9．（3分）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．x（x+1）＝110B．x（x﹣1）＝110C．x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝11010．（3分）关于二次函数y＝2x2+x﹣1，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为﹣11．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），c（5，y3）在二次函数y＝﹣3x2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2 12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.13．（3分）点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是．14．（3分）用配方法将二次函数y＝x2﹣6x+11化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，其结果为．15．（3分）如图，小正方形方格的边长都是1，点A、B、C、D、O都是小正方形的顶点．若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转°．16．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝6，则⊙O的半径是．17．（3分）已知一等腰三角形的一边长为5，另一边长为方程x2﹣8x+12＝0的根，该等腰三角形的周长为．18．（3分）当m﹣2≤x≤m时，函数y＝x2﹣4x+4的最小值为4，则m的值为．三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解一元二次方程：（1）（x﹣2）2＝9；（2）x2+2x﹣1＝0．20．（8分）已知，关于x的方程x2+2（2﹣k）x+3﹣6k＝0．（Ⅰ）若x＝1是方程的一个根，求k的值及方程的另一根；（Ⅱ）若k为任意实数，判断此时方程的根情况．21．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的对称轴为x＝1，请你解答下列问题：（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求出抛物线与x轴的交点；（Ⅲ）当y随x的增大而减小时x的取值范围是．（Ⅳ）当y＜0时，x的取值范围是．22．（10分）大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨x元（x为非负整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？（3）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？这时每件商品的利润率是多少？23．（10分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，求EC的长．24．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，点B，与y轴负半轴交于点C，且OC＝OB，其中B点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若在x轴上方有一点P（m，n），连接P A后满足∠P AB＝∠CAB，记△PBC的面积为S，求S与m的函数关系．25．（10分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D．（Ⅰ）如图1，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接AF交CD于点G，求证：AG＝GF；（Ⅱ）如图2，点E是线段CB上一点（CE＜CB），连接ED，将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF交CD于点G，若AC＝BC＝7，CE＝2，求DG的长．2020-2021学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选中只有一项是符合题目要求的。
天津市南开区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
天津市南开区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图所示，在O 中，»»AB AC =，36A ∠=︒，则B ∠等于（）A ．72︒B ．70︒C ．68︒D ．66︒3．已知一元二次方程的两根分别为13x =，24x =-，则这个方程可能为（）A ．()()340x x -+=B ．()()340x x +-=C ．()()340x x ++=D ．()()340x x --=4．下列各点在二次函数221y x =-的图象上的是（）A ．()2,7--B ．()2,7-C ．()7,2--D ．()7,2-5．若正比例函数y kx =的图象过第二、四象限，则关于x 的一元二次方程20x x k ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根6．关于二次函数()213y x =+-，下列说法正确的是（）A ．图象的顶点为()1,3-B ．图象可由抛物线()21y x =+向下平移3个单位长度得到C ．图象的轴对称为直线1y =-D ．当自变量x 取1-时，函数有最大值37．我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”．其大意思为：有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是81平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，如图，设正方形的边长是x 步，则列出的方程是（）A ．226812x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭B ．()22681x x π+-=C ．()22381x x π+-=D ．223812x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭8．如图，在ABC V 中，70CAB ∠=︒．在同一平面内，将ABC V 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△，若CC AB '∥，则BAB ∠'为（）A ．36︒B ．38︒C ．40︒D ．42︒9．如图，平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点0,3，()2,3B ，()3,2C ，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，则下列说法中正确的是（）A ．这条圆弧所在圆的半径为52B ．这条圆弧所在圆的圆心为()1,1C ．原点0,0在这条圆弧所在圆上D ．点()3,0M 在这条圆弧所在圆外10．如图1，O 的半径为3，A 为O 上一点．如图2所示，按以下步骤作图：①连接OA ；②以点A 为圆心，3为半径作弧，交O 于点B ；③在射线OB 上截取BC OB =；④连接AC ．则下列说法中错误的是（）A ．60AOB ∠=︒B ．AC 为O 的切线C ．6AC =D ．30ACO ∠=︒11．如图，平面直角坐标系中，点0,0，0,3，(),5B m ，连接AB ，并将线段AB 绕点A 顺时针旋转90︒，点B 旋转到点B '，连接OB '．则AOB '!周长的最小值为（）AB ．8C ．5D ．312．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象开口向下，与x 轴交于点()3,0-，其对称轴为直线12x =-，有下列结论：①0abc >；②30a c +>；③当0x <时，y 随x 的增大而增大；④对于任意非零实数m ，若()1212,x x x x <为方程()()2320a x x m +-+=的两个根，则13x <-且22x >．其中，正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．点()2,5A -关于原点的对称点为点B ，则点B 的坐标是．14．抛物线22y x bx c =++经过()0,2A 和()3,2B -两点，则该抛物线的对称轴为直线．15．把方程2610x x --=转化成()2x a b +=的形式，则a b +的值是．16．已知O 的圆心到直线l 的距离是一元二次方程2200x x --=的一个根，若O 与直线l 相离，则O 的半径可以为（写出一个即可）．17．如图，Rt ABC △中，8AB =，2BC =，90BCA ∠=︒，将Rt ABC △绕着点A 顺时针旋转，得到Rt AB C ''△，点B ，C 的对应点分别为B '，C '，连接CC '，交AB 于点M ，点M 恰为AB 边中点．（1）AMC 的面积为；（2）线段C M '的长为．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．A ，B ，C 为O 上三点，其中A 为格点，B ，C 点为圆与网格线交点，连接AB ，AC ，BC ，AO ，BO ．（1）若116AOB ∠=︒，则ACB ∠等于（度）；（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出O 上的点P ，使CB 平分ACP ∠．简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题19．计算(1)()22218x -=；(2)()()1356x x x ++=+．20．关于x 的一元二次方程()2220x a x a +++=．(1)当方程有两个相等的实数根时，求a 的值及此时方程的根；(2)当方程有两个不相等的实数根p 和q ，且满足226p q +=时，求a 的值．21．已知二次函数2y mx x n =++（m ，n 为常数，0m ≠），其图象与x 轴交于点A ，B （A在B 的左侧），与y 轴交于点30,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，顶点为D ，且图象的对称轴为直线1x =．(1)求二次函数解析式及顶点D 的坐标；(2)请在给出的平面直角坐标系中，画出三次函数2y mx x n =++的图象；(3)连接AC ，BC ，根据图象直接回答问题：①ABC V 面积为______；②关于x 的方程232mx x n ++=的解为______；③若该二次函数图象上有两点116,5P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭和2231,10P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1y ______2y （从符号<，≤，≥，>，=中选择一个填空）；④当12x -<<时，则y 的取值范围是______．22．如图，四边形ABCD 内接于O ，对角线AC 与BD 相交于点E ，直线AF 与O 相切于点A ，且直线AF 与CB 的延长线相交于点F ，弦BD AF ∥．(1)如图1，50F ∠=︒，AC 恰为O 的直径，求ACB ∠和ACD ∠的大小；(2)如图2，若5AB =，8BD =，求O 的半径．23．某商店以20元/千克的价格采购一款商品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于35元/千克．经市场调查发现：每天的销售量y （千克）与销售价格x （元/千克）之间的函数关系如图所示．(1)直接写出y 与x 的函数关系式，及自变量x 的取值范围；(2)当该商店销售这款商品每天获得的销售利润为128元时，求此时商品的销售价格；(3)当商品的销售价格定为多少元时，该商店销售这款商品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？24．如图1，在平面直角坐标系中，Rt ABO △的顶点()8,6A ，0,0，点B 在x 轴上，90∠=︒ABO ．将Rt ABO △绕点A 逆时针旋转得到Rt AB O ''△，点B ，O 的对应点分别为B '，O '，连接OO '，BB '，直线OO '与BB '交于点M ，旋转角记为0°<<360°．(1)如图2，点B 恰好落在线段AO '上．①求点O '的坐标；②证明：点M 为OO '的中点；(2)旋转过程中，当ABB ' 为等边三角形时，直接写出BM 的长．25．抛物线2y x bx c =++的顶点坐标为()3,4-，与x 轴从左到右依次交于A ，B 两点，抛物线与y 轴交于点C ．定点,2c D c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 在直线OD 下方的抛物线上，过点P 作PE y ∥轴，交直线OD 于点E ，设点P 的横坐标为m ．(1)直接写出抛物线2y x bx c =++和直线OD 的解析式；(2)当9PE =时，求m 的值；(3)连接DP ，OP ，记OPD △的面积为S ．①求S 的最大值和此时点P 的坐标；②在①的情况下，连接CP ，线段CP 与x 轴交于点F ．若M ，N 分别是线段OC 和线段OP 上的点，且始终满足OM ON =，连接MF ，NF ．直接写出MF NF +的最小值，及此时点M 的坐标．。
2019-2020学年天津市南开区八年级(上)期末数学试卷(解析版)
2019-2020学年天津市南开区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 4 的算术平方根是（ ）A.2B.﹣2 C ．±2 D. ±- ⋅A. 2B. ﹣2C.±2D. ﹣1（ 第 ８ 题 ） （ 第 ９ 题 ）A ．众数是 6 吨B ．中位数是 5 吨4. 将直角坐标系中的点（﹣1，﹣3）向上平移 4 个单位，再向右平移 2 个单位后的点的C ． 平 均 数 是 5 吨D ． 方 差 是439. 如图，Rt △ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN ，则线段 BN 的长为（ ）坐标为（ ）A ．（3，﹣1）B ．（﹣5，﹣1）C ．（﹣3，1）D ．（1，1）A ．53B ．5 2C ．4D ．55. 若正比例函数 y ＝kx （k ≠0）经过点（﹣1，2），则 k 的值为（）10. 一次函数 y ＝kx+b 满足 kb ＞0，且 y 随 x 的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限28．已知是正整数，则满足条件的最大负整数m 为（ ）A ．﹣10B ．﹣40C ．﹣90D ．﹣1609．已x +＝3，则的值是（ ）A ．9B ．8C ．D ．10．如图，△ABC 的面积为8cm 2，AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为（ ）A ．2cm 2B ．3cm 2C ．4cm 2D ．5cm 2二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案直接填在答题纸中对应的横线上 13．已知点A （x ，3）和B （4，y ）关于y 轴对称，则（x +y ）2019的值为 ．14．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ＝4，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB ＝∠C ．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为 ．15．如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简：a +＝ ．16．如图，已知等边三角形ABC 的边长为3，过AB 边上一点P 作PE ⊥AC 于点E ，Q 为BC 延长线上一点，取BA ＝CQ ，连接PQ ，交AC 于M ，则EM 的长为 ．17．如果代数式m 2+2m ＝1，那么÷的值为 ．18．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点．∠MDN＝90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF＝EF；⑤S＝AD2，四边形AEDF其中正确结论是（填序号）三、解答题（共46分）19．（12分）计算（Ⅰ）﹣（）﹣1﹣+|﹣2|（Ⅱ）因式分解，（x+2）（x﹣6）+16（Ⅲ）先化简，再求值：•﹣，其中x＝220．（5分）解分式方程：﹣1＝．21．（6分）如图所示，△ABC中，AB＝AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD＝AE，连接DE．求证：DE⊥BC．22．（7分）如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．若AB＝10，AC＝8，求BE长．23．（7分）2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南﹣北京西”全程大约500千米，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的（两列车中途停留时间均除外）．经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟．求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间．24．（9分）如图，在△ABC中，BC＝5，高AD、BE相交于点O，BD＝CD，且AE＝BE．（1）求线段AO的长；（2）动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B 出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△POQ的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；（3）在（2）的条件下，点F是直线AC上的一点且CF＝BO．是否存在t值，使以点B、O、P 为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．2018-2019学年天津市南开区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：根据轴对称图形的概念，A、B、C都不是轴对称图形，D是轴对称图形．故选：D．【点评】本题主要考查轴对称图形，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．2．【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：∴x≥﹣3且x≠0故选：C．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的有意义的条件，本题属于基础题型．3．【分析】根据因式分解的意义即可判断．【解答】解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解；（B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；（D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；故选：C．【点评】本题考查因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．4．【分析】过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC＝PD，再根据垂线段最短解答即可．【解答】解：作PD⊥OB于D，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA，∴PD＝PC＝6cm，则PD的最小值是6cm，故选：A．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．5．【分析】根据轴对称的定义列式求出点B的横坐标，然后解答即可．【解答】解：设点B的横坐标为x，∵点A（4，3）与点B关于直线x＝﹣3对称，∴＝﹣3，解得x＝﹣10，∵点A、B关于直线x＝﹣3对称，∴点A、B的纵坐标相等，∴点B（﹣10，3）．故选：D．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，熟记对称的性质并列出方程求出点B的横坐标是解题的关键．6．【分析】根据完全平方公式是和的平方加减积的2倍，可得m的值．【解答】解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式，∴m＝±3，故选：B．【点评】本题考查了完全平方公式，完全平方公式是两数的平方和加减积的2倍，注意符合条件的m值有两个．7．【分析】根据二次根式的概念列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，a≤0，a+3≥0，解得，a≤0，a≥﹣3，则a的取值范围是﹣3≤a≤0，故选：A．【点评】本题考查的是二次根式的性质和化简，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．8．【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：∵是正整数，∴满足条件的最大负整数m为：﹣10．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．9．【分析】由x+＝3得x2+＝7，将待求分式分子、分母都除以x2可得原式＝，代入计算可得．【解答】解：∵x+＝3，∴（x+）2＝9，即x2+2+＝9，∴x2+＝7，则原式＝＝＝，故选：D．【点评】本题主要考查分式的值，解题的关键是掌握完全平方公式和分式的基本性质．10．【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．【解答】解：延长AP交BC于E，∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠BPE＝90°，在△APB和△EPB中，∴△APB≌△EPB（ASA），∴S△APB ＝S△EPB，AP＝PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC ＝S△PCE，∴S△PBC ＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝4cm2，故选：C．【点评】本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出S △PBC ＝S △PBE +S△PCE＝S △ABC ．11．【分析】根据余角的性质，可得∠DCA 与∠CBE 的关系，根据AAS 可得△ACD 与△△CBE 的关系，根据全等三角形的性质，可得AD 与CE 的关系，根据线段的和差，可得答案． 【解答】解：AD ⊥CE ，BE ⊥CE ， ∴∠ADC ＝∠BEC ＝90°．∵∠BCE +∠CBE ＝90°，∠BCE +∠CAD ＝90°， ∠DCA ＝∠CBE ，在△ACD 和△CBE 中，，∴△ACD ≌△CBE （AAS ）， ∴CE ＝AD ＝3，CD ＝BE ＝1， DE ＝CE ﹣CD ＝3﹣1＝2， 故选：B ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质．12．【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；关键角平分线的性质判断④． 【解答】解：∵∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点O ，∴∠OBA ＝∠CBA ，∠OAB ＝∠CAB ， ∴∠AOB ＝180°﹣∠OBA ﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA ﹣∠CAB ＝180°﹣（180°﹣∠C ）＝90°+∠C ，①正确； ∵EF ∥AB ，∴∠FOB ＝∠ABO ，又∠ABO ＝∠FBO ， ∴∠FOB ＝∠FBO ， ∴FO ＝FB ， 同理EO ＝EA ，∴AE+BF＝EF，②正确；当∠C＝90°时，AE+BF＝EF＜CF+CE，∴E，F不是AC，BC的中点，③错误；作OH⊥AC于H，∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴点O在∠C的平分线上，∴OD＝OH，＝×CF×OD×CE×OH＝ab，④正确．∴S△CEF故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质、角平分线的定义，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案直接填在答题纸中对应的横线上13．【分析】直接利用关于y轴对称点的性质，纵坐标相同，横坐标互为相反数得出x，y的值，进而得出答案．【解答】解：∵点A（x，3）和B（4，y）关于y轴对称，∴x＝﹣4，y＝3，∴（x+y）2019的值为：﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．14．【分析】根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小，则结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD＝∠CBD，由角平分线性质即可得AD＝DP，由AD的长可得DP 的长．【解答】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，∵BD⊥CD，即∠BDC＝90°，又∠A＝90°，∴∠A＝∠BDC，又∠ADB＝∠C，∴∠ABD＝∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，∴AD＝DP，又AD＝4，∴DP＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、角平分线的性质，解题的关键在于确定好DP垂直于BC．15．【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．【解答】解：由数轴可得：0＜a＜2，则a+＝a+＝a+（2﹣a）＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a的取值范围是解题关键．16．【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证△PFM≌△QCM，推出FM＝CM，推出ME＝AC即可．【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F，如图所示：∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFM＝∠QCM，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ，在△PFM和△QCM中，，∴△PFM≌△QCM（AAS），∴FM＝CM，∵AE＝EF，∴EF+FM＝AE+CM，∴AE+CM＝ME＝AC，∵AC＝3，∴ME＝，故答案为：．【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．17．【分析】先化简，再整体代入解答即可．【解答】解：÷＝＝m2+2m，因为m2+2m＝1，所以÷的值为1，故答案为：1【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．【分析】先由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE＝CF，DE＝FD；再由全等三角形的性质得到BE+CF＝AB，由勾股定理求得EF与AB的值，通过比较它们的大小来判定④的正误；先得出S四边形AEDF ＝S △ADC ＝AD 2，从而判定⑤的正误．【解答】解：∵Rt △ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 中点，∴∠C ＝∠BAD ＝45°，AD ＝BD ＝CD ，∵∠MDN ＝90°，∴∠ADE +∠ADF ＝∠ADF +∠CDF ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDF ．在△AED 与△CFD 中，，∴△AED ≌△CFD （ASA ），∴AE ＝CF ，ED ＝FD ．故①②正确；又∵△ABD ≌△ACD ，∴△BDE ≌△ADF ．故③正确；∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，ED ＝FD ，∴BE +CF ＝BE +AE ＝AB ＝BD ，∵EF ＝ED ，BD ＞ED ， ∴BE +CF ＞EF ．故④错误；∵△AED ≌△CFD ，△BDE ≌△ADF ，∴S 四边形AEDF ＝S △ADC ＝AD 2．故⑤错误．综上所述，正确结论是①②③．故答案是：①②③．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．三、解答题（共46分）19．【分析】（Ⅰ）先化简各二次根式，根据负整数指数幂和绝对值性质计算、化简，再合并同类二次根式即可得；（Ⅱ）先将原式展开、合并，再根据完全平方公式因式分解即可得；（Ⅲ）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再将x 的值代入计算可得．【解答】解：（Ⅰ）原式＝2﹣4﹣+2﹣＝﹣2；（Ⅱ）原式＝x2﹣4x﹣12+16＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2；（Ⅲ）原式＝•﹣＝﹣＝﹣＝，当x＝2时，原式＝＝．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算、因式分解与分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式与分式的混合运算顺序和运算法则．20．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x2﹣x2+2x＝x﹣2，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21．【分析】过A作AM⊥BC于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BAC＝2∠BAM，由三角形外角的性质及等边对等角的性质得出∠BAC＝2∠D，则∠BAM＝∠D，根据平行线的判定得出DE∥AM，进而得到DE⊥BC．【解答】证明：如图，过A作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠BAM，∵AD＝AE，∴∠D＝∠AED，∴∠BAC＝∠D+∠AED＝2∠D，∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠D，∴∠BAM＝∠D，∴DE∥AM，∵AM⊥BC，∴DE⊥BC．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判定等知识，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．22．【分析】首先连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF ⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD＝BD，DF＝DE，继而可得AF ＝AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE＝CF，继而求得答案．【解答】解：如图，连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，∴AE＝AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE＝CF，∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，∵AB＝10，AC＝8，∴BE＝1．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．23．【分析】设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x小时，则“和谐号”列车的行驶时间需要x小时，根据速度＝路程÷时间结合“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x小时，则“和谐号”列车的行驶时间需要x小时，根据题意得：＝+40，解得：x＝，经检验，x＝是原分式方程的解，∴x+＝．答：乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要小时．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．24．【分析】（1）只要证明△AOE≌△BCE即可解决问题；（2）分两种情形讨论求解即可①当点Q在线段BD上时，QD＝2﹣4t，②当点Q在射线DC上时，DQ＝4t﹣2时；（3）分两种情形求解即可①如图2中，当OP＝CQ时，BOP≌△FCQ．②如图3中，当OP＝CQ时，△BOP≌△FCQ；【解答】解：（1）如图1中，∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∵BE是高，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠EAO+∠ACD＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，∴∠EAO＝∠EBC，在△AOE和△BCE中，，∴△AOE≌△BCE，∴AO＝BC＝5．（2）∵BD＝CD，BC＝5，∴BD＝2，CD＝3，由题意OP＝t，BQ＝4t，①当点Q在线段BD上时，QD＝2﹣4t，∴S＝•t（2﹣4t）＝﹣2t2+t（0＜t＜）．②当点Q在射线DC上时，DQ＝4t﹣2，∴S＝•t（4t﹣2）＝2t2﹣t（＜t≤5）．（3）存在．①如图2中，当OP＝CQ时，∵OB＝CF，∠POB＝∠FCQ，∴△BOP≌△FCQ．∴CQ＝OP，∴5﹣4t═t，解得t＝1，②如图3中，当OP＝CQ时，∵OB＝CF，∠POB＝∠FCQ，∴△BOP≌△FCQ．∴CQ＝OP，∴4t﹣5＝t，解得t＝．综上所述，t＝1或s时，△BOP与△FCQ全等．【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。