全国初中数学竞赛试题汇编---几何解答题及答案

全国初中数学竞赛试题汇编---几何解答题1、如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.解:（1）连,,,OA OB OC AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=°−∠=°−∠=∠，所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上.（2）设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aSl y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=.因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以△BDO ∽△ABC ，所以BD BO AB AC =，即2r a l y =，故2alr y=.所以22223222()4422a l a aS S a Sr y y y y ==⋅=⋅≥，即r ≥其中等号当a y =时成立，这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r .2、如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明．因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽Rt △EAB ．于是可得CD DF BE AB =⋅．同理可得CEEG AD AB=⋅．又因为tan AD BEACB CD CE ∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅，于是可得DF EG =．解法2：结论是DF EG =．下面给出证明连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=°，所以A ，B ，D ，E 四点共圆，故CED ABC ∠=∠．又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠．所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．3、是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC ？证明你的结论．解：存在满足条件的三角形．当△ABC 的三边长分别为6=a ，4=b ，5=c 时，B A ∠=∠2．………………5分如图，当B A ∠=∠2时，延长BA 至点D ，使b AC AD ==．连接CD ，则△ACD 为等腰三角形．因为BAC ∠为△ACD 的一个外角，所以2BAC D ∠=∠．由已知，2BAC B ∠=∠，所以D B ∠=∠．所以△CBD 为等腰三角形．又D ∠为△ACD 与△CBD 的一个公共角，有△ACD ∽△CBD ，于是BDCDCD AD =，即cb aa b +=，所以()c b b a +=2．而264(45)=×+，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形．………………15分说明：满足条件的三角形是唯一的．若B A ∠=∠2，可得()c b b a +=2．有如下三种情形：（i ）当b c a >>时，设1+=n a ，n c =，1−=n b （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2，得()()()21121n n n +=−−，解得5=n ，有6=a ，4=b ，5=c ；（ⅱ）当b a c >>时，设1+=n c ，n a =，1−=n b （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2，得()n n n 212⋅−=，解得2=n ，有2=a ，1=b ，3=c ，此时不能构成三角形；（ⅲ）当c b a >>时，设1+=n a ，n b =，1−=n c （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2，得()()1212−=+n n n ，即0132=−−n n ，此方程无整数解．所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件．4、△ABC 的三边长,,,,,BC a AC b AB c a b c === 都是整数，且,a b 的最大公约数是2.点G和点I 分别为△ABC 的重心和内心，且90oGIC ∠=，求△ABC 的周长.解：如图，连结GA ，GB ，过G ，I 作直线交BC 、AC 于点E 、F ，作△ABC 的内切圆I ，切BC 边于点D 。

记△ABC 的半周长为P ，内切圆半径为r ，BC ，AC 边上的高线长为,a bh hABC S rp ∆==∵r ∴=易知：CD p c =−,在Rt CIE ∆中，2r DE p c=−即()()p a p b DEp−−=∴()()()p a p b abCE CD DE p c p p−−=+=−+=又∵,CI EF CI ACB ⊥∠平分，所以CE ＝CF 由G EG FG FE ABCAB B A C S S S S S ∆∆∆∆∆=+++　得：ABC S 111))2323232a b ABC h h ab ab abS rp p p∆∆+×−×+×−×+×××＝（a （b 即ABC 2S 11()()32323ABC a b p b p a ab S h h rp p p p∆∆−−+×××+×××+×＝a b 整理得223p cp ab −=，即232(2)()ab p cp p p c P a b =−=−=+设△ABC 的周长为m ，则62abm p a b==+为整数。

由已知(,)2a b =，设2,2,(,)1,,a s b t s t s t ===且都是正整数，代入上式，得12stms t=+∵(,)1,(,)1s s t t s t +=+=，∴s t +是12的约数，即s t +＝1，2，3，4，6，12不妨设s t ≥，则1s t （，）＝，得12351171,1,1,1,1,5689101135s s s s s s t t t t t t m m m m m m ======⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪======⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪======⎩⎩⎩⎩⎩⎩经检验，只有7535s t m =⎧⎪=⎨⎪=⎩符合题意，所以：14,10,11a b c ===或10,14,11a b c ===，即所求△ABC 的周长为35。

5、设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I 的长解作1I E ⊥AB 于E ，2I F ⊥AB 于F.在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5=.又CD ⊥AB ，由射影定理可得2AC 9A D =AB 5=，故16BD =AB AD 5−=，12CD =5=.因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以1I E ＝13(AD CD AC)25+−=.连接D 1I 、D 2I ，则D 1I 、D 2I 分别是∠ADC 和∠BDC 的平分线，所以∠1I DC ＝∠1I DA ＝∠2I DC＝∠2I DB ＝45°，故∠1I D 2I ＝90°，所以1I D ⊥2I D，1113I E 5DI sin ADI sin 45===∠°同理，可求得24I F 5=，2D I =所以1I 2I=.6、已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB .解因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠.又因为CH ⊥AB ，所以CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=°−∠=°−∠=∠，因此CQ NC =.又F 是QN 的中点，所以CF ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=°=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆.又FBH =FBC ∠∠，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上.同理可证，点E 在CH 的中垂线上.因此EF ⊥CH.又AB ⊥CH ，所以EF ∥AB.7、如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME .证明设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ，∴△PNE ∽△PBC ，∴PCPEPB PN =,ADEF MN P∴PC PN PE PB ⋅=⋅.又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PFPEPB PM =,∴PF PM PE PB ⋅=⋅.∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPCPN PM =又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC ∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED.∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.8、如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE·AC=CE·KB ．证明：因为AC ∥PB ，所以∠KPE=∠ACE ．又PA 是⊙O 的切线，所以∠KAP=∠ACE ，故∠KPE=∠KAP ，于是△KPE ∽△KAP ，所以KPKEKA KP =，即KA KE KP ⋅=2．由切割线定理得KA KE KB ⋅=2,所以KB KP =．…10分因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是ACKPCE PE =故ACKBCE PE =，即PE·AC=CE·KB ．…………15分9、锐角ΔABC 中，AB ＞AC ，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，DE 与BC 的延长线于交于T ，过D 作BC 的垂线交BE 于F ，过E 作BC 的垂线交CD 于G ，证明：F 、G 、T 三点共线。