中考数学总复习圆内接四边形专项练习题

圆内接四边形练习题初三

圆内接四边形练习题初三题目一：证明圆内接四边形的对角线互相垂直。

解析：我们已知圆内接四边形的定义是指四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四边形的边都是圆的切线。

在这个基础上，我们来证明该四边形的对角线互相垂直。

证明：设圆内接四边形的顶点为A、B、C、D，中点分别为M、N、P、Q，并连结AC和BD两条对角线。

首先，我们已知圆的切线与半径垂直，因此AM⊥AC，AN⊥AB，BM⊥BC，BN⊥BD。

同时，我们知道圆内接四边形的边都是圆的切线，所以AC和BD是垂直于半径的切线，即AM⊥CN，BN⊥PD。

而且根据切线定理，切线与半径的交点与切点连线互相垂直，所以AM⊥CN，BN⊥PD。

因此，四边形的对角线AC和BD互相垂直。

题目二：已知圆内接四边形ABCD，证明AD+BC=AB+CD。

解析：这是一个用勾股定理证明的题目。

我们已知圆内接四边形的定义是指四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四边形的边都是圆的切线。

在这个基础上，我们来证明该等式成立。

证明：设圆内接四边形的顶点为A、B、C、D，中点分别为M、N、P、Q。

根据圆的性质，由圆心到切点的距离等于切点到切线的距离，所以AM = MD，BN = NC，CP = PD。

根据平行四边形的性质，我们知道AM+BN=AB，CP+DM=CD。

将上述等式代入AD+BC的表达式中，得到：AD+BC = (AM+MD) + (BN+NC)= AM + BN + MD + NC= AB + CD因此，已证明AD+BC=AB+CD。

题目三：已知四边形ABCD是一个菱形，且AB=6cm，BC=10cm，求这个菱形的面积。

解析：我们已知菱形的定义是指四边形的四个边相等，并且对角线互相垂直。

在这个基础上，我们来求解这个菱形的面积。

解答：设菱形ABCD的对角线交点为O。

由菱形的性质可知，对角线互相垂直，所以AO⊥BO，CO⊥DO。

又因为菱形的两条对角线相等，所以AO=CO，BO=DO。

初中数学专题训练--圆--圆的内接四边形

例圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数．解：设∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为3x 、2x 、7x ．∵ABCD 是圆内接四边形．∴∠A +∠C=180°即3x+7x=180°，∴x=18°，∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°，又∵∠B+∠D=180°，∴∠D=180°一36°＝144°．说明：①巩固性质；②方程思想的应用．例（2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形ABC 的外接圆相交于D ．求证：DB=DC ．分析：要证DB=DC ，只要证∠BCD=∠CBD ，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决．证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ， ∵∠EAD 为圆内接四边形ABCD 的外角，∴∠BCD=∠EAD ，又∠CBD=∠DAC ，∴∠BCD=∠CBD ，∴DB=DC ．说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁．例如图，△ABC 是等边三角形，D 是上任一点，求证：DB+DC=DA ．分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明．证明：延长DB 至点E ，使BE=DC ，连AE ．在△AEB 和△ADC 中，BE=DC ．△ABC 是等边三角形．∴AB=AC ．∵ 四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABE=∠ACD ．∴△AEB ≌△ADC ． ∴∠AEB=∠ADC=∠ABC ． ∵∠ADE=∠ACB ，又 ∵∠ABC=∠ACB ＝60°， ∴∠AEB=∠ADE=60°．∴△AED 是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE ． ∵BE=DC ，∴DB+DC=DA ．说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视．典型例题四例如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，CD AH ⊥，如果︒=∠30HAD ，那么=∠B （）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解：,90,30︒=∠︒=∠AHD HADE︒=∠∴60D ，由圆内接四边形的对角和是180°，得︒=∠120B ，故选B. 说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用.典型例题五例如图，已知：⊙1O 与⊙2O 相交于点A 、B ，P 是⊙1O 上任意一点，P A 、PB 的延长线交⊙2O 于点C 、D ，⊙1O 的直径PE 的延长线交CD 于点M .求证：CD PM ⊥.分析：要证CD PM ⊥，即证︒=∠+∠90D DPM ，连结公共弦AB 及EB ，即得证.证明：连结AB 、EB ，在⊙中，PEB PAB ∠=∠.∵ABCD 为⊙2O 的内接四边形..,D PEB D PAB ∠=∠∠=∠∴∵PE 为⊙1O 的直径..90︒=∠PBE.90.90.90︒=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠∴DMP D DPM PEB DPM即CD PM ⊥.说明：连接AB 就构造出圆内接四边形性质定理的基本图形.典型例题六例如图，AD 是ABC ∆外角EAC ∠的平分线，AD 与ABC ∆外接⊙O 交于点D ，N 为BC 延长线上一点，且DN CD CN ,=交⊙O 于点M .求证：（1）DC DB =；（2）.2DN CM DC ⋅=分析：（1）由于DB 与DC 是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（2）欲证乘积式.2DN CM DC ⋅=，只须证比例式DC CM DN DC =，也即CNCMDN DC =，这只须要证明DCM ∆∽DNC ∆即可.证明（1）连结DC.∵AD 平分EAC ∠，∴.DBC DAC EAD ∠=∠=∠ 又ABCD 内接于⊙O ， ∴.DCB EAD ∠=∠ 故.DCB DBC ∠=∠ .DC DB =∴（2）.,180180NDC CDM DCN DCB DBC DMC ∠=∠∠=∠-︒=∠-︒=∠ ∴DMC ∆∽DCN ∆，故DNCMCN CM DN DC ==. ∴.2DN CM DC ⋅=说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法.本题曾是1996年南昌市中考试题.典型例题七例如图，已知四边形ABCD 是圆内接四边形，EB 是⊙O 的直径，且AD EB ⊥，AD 与BC 的延长线相交于.F 求证：DCBCFD AB =. 证明连结AC .∵ EB AD ⊥.∴.∴ DAB ACB ∠=∠.∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形，∴ .,ABC FDC DAB FCD ∠=∠∠=∠∴ FCD ACB ∠=∠. ∴ ABC ∆∽FDC ∆.∴DCBCFD AB =. 说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造ABC ∆，再证ABC ∆∽FDC ∆.易错点是不易想到证ACB FCD ∠=∠而使解题陷入困境或出现错误.典型例题八例如图，已知四边形ABCD 内接于半圆O ，AB 是直径，DC AD =，分别延长BA ，CD 交于点E ，EC BF ⊥，交EC 的延长线于F ，若12,==BC AO EA ，求CF 的长.解连结OD ，BD .∵DC AD =，的度数AOD ∠=.∴.//BC OD∴EBEOBC OD =. .24,16.8.3212,12,==∴=∴=∴===EB AB OD OD BC BO AO EAABCD 内接于⊙O ，∴.EBC EDA ∠=∠又 E ∠公用，∴EDA ∆∽EBC ∆. ∴EBEDEC EA BC AD ==. 设y ED x DC AD ===,，则有yx y x +==82412. ∴24=x . ∴24=AD .AB 为⊙O 的直径，∴.90︒=∠=∠F ADB 又.FCB DAB ∠=∠ ∴Rt ADB ∆∽Rt .CFB ∆∴.BCABCF AD =即.121624=CF ∴.23=CF 说明本题主要考查圆内接四边形的性质，解题关键是作出辅助线.典型例题九例（海南省，2000）如图，AB 是⊙O 的直径，弦（非直径）AB CD ⊥，P 是⊙O 上不同于D C ,的任一点.（1）当点P 在劣弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P 在优弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论（不要讨论P 点与A 点重合的情形）分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决.解 ∵弦AB CD ⊥，AB 是直径，∴∴（1）.APD APC ∠=∠（2）.180︒=∠+∠APD APC（如图中虚线所示）.选择题1．在圆的内接四边形ABCD 中，A ∠和它的对角C ∠的度数的比为1：2，那么A ∠为（）A ．30°B ．60°C ．90° C ．120°2．四边形ABCD 内接于圆，A ∠、B ∠、C ∠、D ∠的度数依次可以是（）A ．1：2：3：4B ．6：7：8：9C ．4：1：3：2D ．14：3：1：12 3.四边形ABCD 内接于圆，A ∠、B ∠、C ∠、D ∠的度数比依次可以是（） A ．4:3:2:1 B ．1:3:2:4 C ．2:1:3:4 D ．2:3:1:44.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，︒=∠110BOD ，那么BCD ∠的度数为（）A ．︒125B ．︒110C ．︒55D ．︒705. 如图，⊙1O 与⊙2O 交于A 、B 两点，且⊙2O 过⊙1O 的圆心1O ，若︒=∠40M ，则N ∠等于（）A ．︒40B ．︒80C ．︒100D ．︒70 6. 圆内接平行四边形一定是（）（A ）矩形（B ）正方形（C ）菱形（D ）梯形 7．已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，则四边形ADBC 一定是（）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形8、四边形ABCD 内接于圆，则∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数比可以是 ( ) （A ）1﹕2﹕3﹕4 （B ）7﹕5﹕10﹕8 （C ）13﹕1﹕5﹕17 （D ）1﹕3﹕2﹕49、若ABCD 为圆内接四边形，AE ⊥CD 于E ，∠ABC=130°，则∠DAE 为（）（A ）50° （B ）40° （C ）30° （D ）20° 10、如图，圆内接四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的延长线相交于P ，对角线AC 和BD 相交于点Q ，则图中共有相似的三角形 ( )（A ）4对（B ）3对（C ）2对（D ）1对11．如图，在ABC ∆，AD 是高，ABC ∆的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：（1）CD BD AD ⋅=2；（2）AE EG BE ⋅=2；（3）AC AB AD AE ⋅=⋅；（4）CG BG EG AG ⋅=⋅.其中正确的结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 12．已知：如图，劣弧，那么D B ∠+∠的度数是（）A ．320°B ．160°C ．150°D ．200° 13．钝角三角形的外心在（）A ．三角形内B ．三角形外C ．三角形的边上D ．上述三种情况都有可能 14．圆内接平行四边形的对角线（）A ．互相垂直B ．互相垂直平分C ．相等D ．相等且平分每组对角 15．如图，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且3,7,5====BE AC CD AB ，下列命题错误的是（）A ．DCE ABE ∆≅∆B ．︒=∠45BDAC ．5.24=ABCD S 四边形 D ．图中全等的三角形共有2对答案：1．B 2．D 3.C 4. A 5. D 6、A ；7．A 8、C ； 9、B ； 10、A. 11．B 12．B 13．B 14．D 15．D.填空题1. 已知ABCD 是圆内接四边形，若∠A 与∠C 的度数之比是1﹕2，则∠A 的度数是度．2. 若A ，B ，C ，D 四点共圆，且∠ACD 为36°，则所对的圆心角的度数是度．3. 圆内接四边形相邻三个内角的比是2﹕1﹕7，则这个四边形的最大角的度数为度．4. 圆上四点A 、B 、C 、D ，分圆周为四段弧，且=4:3:2:1，则圆内接四边形ABCD 的最大角是_________5. 圆内接四边形ABCD 中，若EBC ∠是ABC ∠相邻的一个外角，且︒=∠105EBC ，︒=∠93C ，则_____=∠D ，______=∠A ，若3:2:1::=∠∠∠C B A ，则_____=∠D ，______=∠A6. 四边形ABCD 内接于圆，A ∠、C ∠的度数之比是4:5，B ∠比D ∠大︒30，则______=∠A ，______=∠D7. 圆内接梯形是________梯形，圆内接平行四边形是_________8．圆内接四边形ABCD 中，如果4:3:2::=∠∠∠C B A ，那么______=∠D 度. 9．在圆内接四边形ABCD 中，5:3:4::=∠∠∠C B A ，则______=∠D .10．如图，在圆内接四边形ABCD 中，α=︒=∠=AC BAD AD AB ,30,，则四边形ABCD 的面积为________.11．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在的中点A '，若5=BC ，则折痕在ABC ∆内的部分DE 长为_______.答案：1. 60°；2. 72°；3.160°;4. ︒1265. ︒105，︒87，︒90，︒45;6. ︒100，︒757. 等腰，矩形.8．90 9．120° 10．243a 11．310.判断题1. 顶点在圆上的角叫做圆周角；（）2. 相等的圆周角所对的弧相等；（）3. 直角所对的弦是直径；（）4. 在圆中，同一弦上的两个圆周角相等或互补；（）5. 弓形含的圆周角为︒120，则弓形弧也为︒120；（）6. 四边形的对角互补.（）答案:1. ×2. ×3. ×4. √5. ×6. ×.解答题1、如图，已知：ABCD 为圆内接四边形，（1）若DB ∥CE ，求证：AD ﹕BC=CD ﹕BE ；（2）若AD ﹕BC=CD ﹕BE ，求证：DB ∥CE ．2、已知：⊙O 中，直径AB 垂直弦CD 于H ，E 是CD 延长线上一点，AE 交⊙O 于F ．求证：∠AFC=∠DFE ． 3．如图，已知四边形ABCD 内接于圆，DC 、AB 的延长线相交于E ，且D B A C B E ∠=∠，求证：BD EC BE AD ⋅=⋅4．如图，点A 、D 在⊙O 上，以点A 为圆心的⊙A 交⊙O 于B 、C 两点，AD 交⊙A 于点E ，交BC 于点F ，求证：AD AF AE ⋅=25．已知圆内接四边形，ABCD 中，4:5:2::=∠∠∠C B A ，求最小的角。

圆内接四边形综合题

例2：如图，正方形ABCD的面积为5，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P，求AP的长
例3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，CB=CD=4，AC与BD相交于E，AE=6，线段BE和DE 的长都是正整数，求BD的长
E
A
B D
P
F
E
D C
B
A
例5：如图，P 是⊙O 外一点，PA 与⊙O 切于点A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ，
求证： ::.PB BD PC CD
例6：如图，直线AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，P 为圆上一点，P 到AB 、AC 的距
离分别为6cm 、4cm ，求P 到BC 的距离
例7：在半⊙O 中，AB 为直径，一直线交半圆周于C 、D ，交AB 延长线与M （MB<MA ，
AC<MD ），设 K 是△AOC 与△DOB 的外接圆除点O 外的另一个交点，求证：∠MKO=90°
例8：如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，求：四边形ABCD的面积（用a表示）。

备战中考数学基础必练(浙教版)圆内接四边形(含解析)

2019备战中考数学基础必练（浙教版）-园内接四边形（含解析）一、单选题1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=100°，则∠ADC=（）A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°2.如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为（0，4），点M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙O的半径为（）A. 4B. 5C. 6D. 23.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E=∠F=35°，则∠A 的度数是（）A. 35°B. 55°C. 60°D. 65°4.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，若∠BAD ＝105°，则∠BCD的度数是（）A. 105°B. 95°C. 75°D. 60°5.蜂巢的构造非常复杂，科学，如图是由7个全等的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（）A. 10个B. 8个C. 6个D. 4个6.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，那么∠BCD是（）A. 120°B. 100°C. 80°D. 60°7.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=64°，则∠BCD的度数是（）A. 64°B. 90°C. 136°D. 116°8.圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比为2：3：6，∠D的度数为（）A. 45°B. 67.5°C. 135°D. 112.5°9.如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E=α，∠F=β，则∠A等于（）A. α+βB.C. 180°﹣α﹣βD.二、填空题10.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD=100°，则∠DCE的度数为________11.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E在AB的延长线上，BF是∠CBE的平分线，∠ADC=100°，则∠FBE=________°．12.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=137°，则∠AOC的度数为________．13.蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有________ ．14.如图，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上，D是AC上任一点(不与A、C重合)，则∠ADC 的度数是________.15.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AC= ________16.如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则= ________17.已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为 ________cm18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是________°．19.如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C 的另一点，则∠ADC的度数是________．三、解答题20.如图③，点E，D分别是正三角形ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以点C为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且△ABE与△BCD能相互重合，DB的延长线交AE于点F．（1）在图①中，求∠AFB的度数（2）在图②中，∠AFB的度数为________ 度，图③中，∠AFB的度数为________度（3）继续探索，可将本题推广到一般的正n边形情况，用含n的式子表示∠AFB的度数．21.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，求∠BCD的度数．22.阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：AB•r1+AC•r2= AB•h，∴r1+r2=h（1）理解与应用如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，试证明：r1+r2+r3=．（2）类比与推理边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于________（3）拓展与延伸若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…r n，请问r1+r2+…r n是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．23.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120°，点E在上．（1）求∠E的度数；（2）连接OD、OE，当∠DOE=90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ADC=180°﹣100°=80°．故选B．【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解．2.【答案】A【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：连接OC，如图所示：∵∠AOB=90°，∴AB为⊙C的直径，∵∠BMO=120°，∴∠BCO=120°，∠BAO=60°，∵AC=OC，∠BAO=60°，∴△AOC是等边三角形，∴⊙C的半径=OA=4．故选：A．【分析】连接OC，由圆周角定理可知AB为⊙C的直径，再根据∠BMO=120°可求出∠BAO 的度数，证明△AOC是等边三角形，即可得出结果．3.【答案】B【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠E+∠ECD，∠ABC=∠F+∠BCF，且∠E=∠F=35°，∠DCF=∠BCF，∴∠ADC=∠ABC，∵四边形ABCD内接⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°﹣∠E=55°．故选B．【分析】由∠E=∠F=35°，利用三角形外角的性质，易证得∠ADC=∠ABC，又由圆的内接四边形的性质，证得∠ADC+∠ABC=180°，继而求得∠ABC的度数，然后由三角形内角和定理，求得答案．4.【答案】C【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD ＝105°，∴∠BCD=180°-∠BAD =180°-105°=75°.故选C.【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可求解.5.【答案】A【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即，有6个直角三角形，AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4=10个．故选：A．【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．6.【答案】A【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解∵在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，∴∠A=60°，∴∠C=180°﹣60°=120°，故选：A．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠A=60°，再根据圆内接四边形的性质可得∠BCD的度数．7.【答案】D【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DAB+∠BCD=180°，又∠DAB=64°，∴∠BCD=116°，故选：D．【分析】根据圆内接四边形的对角互补列出算式，根据已知求出答案．8.【答案】D【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比为2：3：6，∴设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=6x，∵∠A+∠C=180°，即2x+6x=180°，解得x=22.5°，∴∠B=3x=3×22.5°=67.5°，∴∠D=180°﹣67.5°=112.5°．故选D．【分析】设∠A=x，则∠B=3x，∠C=4x，再根据圆内接四边形的对角互补求出x的值，进而得出∠B的度数，从而得出∠D的度数．9.【答案】D【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=．故选D．【分析】连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可．二、填空题10.【答案】50°【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵∠BOD=100°，∴∠A=∠BOD=50°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE=∠A=50°，故答案为：50°．【分析】根据圆周角定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质得出∠DCE=∠A，代入求出即可．11.【答案】50【考点】圆内接四边形的性质【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=100°，∴∠CBE=∠ADC=100°，【解析】∵BF是∠CBE的平分线，∴∠FBE= ∠CBE=50°，故答案为：50．【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠CBE=∠ADC=100°，根据角平分线定义求出即可．12.【答案】86°【考点】圆内接四边形的性质【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=137°，∴∠D=180°﹣137°=43°，【解析】∴∠AOC=2∠D=86°．故答案为：86°．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数，再由圆周角定理即可得出结论．13.【答案】10【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形，AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4=10个．故答案为：10．【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．14.【答案】120°【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC=180°-60°=120°.故答案为：120°.【分析】根据等边三角形的性质可得∠B的度数，再由圆的内接四边形性质可得∠ADC度数.15.【答案】2【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：作BG⊥AC，垂足为G．∵AB=BC，∴AG=CG，∵∠ABC=120°，∴∠BAC=30°，∴AG=AB•cos30°=2×=，∴AC=×2=2．故答案为2．【分析】作BG⊥AC，垂足为G．构造等腰三角形ABC，在直角三角形ABG中，求出AG的长，再乘二即可．16.【答案】5【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍，∴设S空白=x，则S阴影=6x﹣x=5x，∴=5．故答案为：5．【分析】根据边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍即可得出结论．17.【答案】【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，∵OA=2cm，∠AOG=30°，∴OG=OA•cos 30°=2×=（cm）．故答案为：．【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．18.【答案】105【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAB+∠DCB=180°，∵∠BAD=105°，∴∠DCB=180°﹣∠DAB=180°﹣105°=75°，∵∠DCB+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠DAB=105°．【分析】利用圆内接四边形对角互补，外角等于其内对角，可求出∠DCE=∠DAB=105°．19.【答案】60°或120°【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：连接OB．∵四边形OABC是菱形，∴AB=OA=OB=BC，∴△AOB是等边三角形，∴∠ADC=60°，∠A D′C=120°．故答案为：60°或120°．【分析】抓住已知点D是圆上异于A、B、C的另一点，可得出点D可能是优弧AC上的一点，也可能是劣弧AC上的一点，再利用圆内接四边形的对角互补，即可求解。

中考数学专题复习《圆与四边形的综合(圆的综合问题)》测试卷(附带答案)

中考数学专题复习《圆与四边形的综合（圆的综合问题）》测试卷(附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________ 1．如图AB是O的直径点C是BD的中点过点C的切线与AD的延长线交于E连接CD AC．(1)求证：CE AE⊥(2)若CD AB∥1DE=求O的面积．2．如图ABC内接O点A为BC的中点D为BC边上一点DAC ACE∠=∠AE是O的切线112AF BD AB===连接CF．(1)求证：CE CF=(2)当点A 到弦BC 的距离为1时求AE 的值．3．如图1 已知AB 是O 的直径弦CD AB ⊥于点E 点P 是线段DC 延长线上的一点连结PA 交O 于点F 连接DF 交AB 于点G 连接AD 和CF ．(1)求证：PFC AFD ∠=∠．(2)若91AE BE ==，且CF CD = 求DF 的长．(3)如图2 连接OF OD ，若四边形FODC 为平行四边形求PFC DFA S S △△的值（直接写出答案）．4．如图在平面直角坐标系中 AB OC ∥(0,A ()4,0C - 且2AB =．以BC为直径作1O 交OC 于点D 过点D 作直线DE 交线段OA 于点E 且30EDO ∠=︒．(1)求证：DE 是1O 的切线(2)若线段BC 上存在一点P 使以点P 为圆心 PC 为半径的P 与y 轴相切求点P 的坐标．5．如图以ABC 的边AB 为直径作O 交AC 于D 且OD BC ∥ O 交BC 于点E ．(1)求证：CD DE =(2)若12AB = 4=AD 求CE 的长度．6．如图四边形ABCD 是O 的内接四边形点F 是CD 延长线上的一点且AD 平分BDF ∠ AE CD ⊥于点E ．(1)求证：AB AC =．(2)若9BD = 1DE = 求CD 的长．7．已知：A B C 三点不在同一直线上．(1)若点A B C 均在半径为R 的O 上（i ）如图① 当45A ∠=︒ 1R =时求BOC ∠的度数和BC 的长（ii ）如图① 当A ∠为锐角时求证：sin 2BC A R= (2)若定长线段BC 的两个端点分别在MAN ∠的两边AM AN （B C 均与A 不重合）滑动如图① 当60MAN ∠=︒ 2BC =时分别作BP AM ⊥ CP AN ⊥ 交点为P 试探索在整个滑动过程中 P A 两点间的距离是否保持不变？请说明理由．8．已知矩形ABCD 3AB = 3AD = 点O 是AD 的中点以AD 为直径作圆点A '是圆上的点．(1)如图1 连接A B ' 若A B '是圆O 的切线①求证：AB A B '=①设A O '与BC 交于点F 求OF 的长．(2)若动点G 从点B 向C 运动连接OG 作四边形AOGB 关于直线GO 对称图形四边形A OGB '' 如图2．求点G 在运动过程中线段A B ''扫过的面积．9．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形其中这个角叫做美角．∠的度数(1)如图1 若四边形ABCD是圆美四边形．求美角BAD(2)在（1）的条件下若O的半径为4．①求BD的长①连接CA若CA平分BCD∠如图2 请判断BC CD AC之间有怎样的数量关系并说明理由．10．如图点E为正方形ABCD的边BC上的一点O是ABE的外接圆与AD交于点F ∠=∠．G是CD上一点且DGF AEB(1)求证：FG是O的切线(2)若4AB=1DG=求O半径的长．11．如图在菱形ABCD中点P在对角线AC上且PA PD=O是PAD的外接圆．(1)求证：AB是O的切线(2)若18tan2AC BAC=∠=，求O的直径．（请用两种方法作答）12．已知 AB 为O 的直径弦CD 与AB 交于点E 点A 为弧CD 的中点．(1)如图1 求证：AB CD ⊥(2)如图2 点F 为弧BC 上一点连接BF BD 2FBA DBA ∠=∠ 过点C 作CG AB ∥交BF 于点G 求证：12CG AB =．(3)如图3 在（2）的条件下连接DF 交OE 于点L 连接LG 若4FG = tan GLB =∠ 求线段LF 的长．13．已知O 为ABC 的外接圆 O 的半径为6．(1)如图AB是O的直径点C是AB的中点．①尺规作图：作ACB∠的角平分线CD交O于点D连接BD（保留作图痕迹不写作法）：①求BD的长度．(2)如图AB是O的非直径弦点C在AB上运动60ACD BCD∠=∠=︒点C在运动的过程中四边形ADBC的面积是否存在最大值若存在请求出这个最大值若不存在请说明理由．14．如图以AB为直径的O与AH相切于点A点C在AB左侧圆弧上弦CD AB⊥交O于点D连接AC AD点A关于CD的对称点为E直线CE交O于点F交AH 于点G．(1)求证：CAG AGC∠=∠(2)当点E在AB上连接AF交CD于点P若25EFCE=求DPCP的值(3)当点E在射线AB上2AB=四边形ACOF中有一组对边平行时求AE的长．15．圆内接四边形若有一组邻边相等则称之为等邻边圆内接四边形．(1)如图1 四边形ABCD 为等邻边圆内接四边形 AD CD = 60ADC ∠=︒ 则ABD ∠=________(2)如图2 四边形ABCD 内接于O AB 为O 的直径 10AB = 6AC = 若四边形ABCD 为等邻边圆内接四边形求CD 的长(3)如图3 四边形ABCD 为等邻边圆内接四边形 BC CD = AB 为O 的直径且48AB =．设BC x = 四边形ABCD 的周长为y 试确定y 与x 的函数关系式并求出y 的最大值．参考答案：1．（1）证明：连接OC①OC CE ⊥①90OCE ∠=︒①点C 是BD 的中点①CD BC =①DAC CAB ∠=∠①OA OC =①CAB OCA ∠=∠①OCA DAC ∠=∠①OC AD ∥①180AEC OCE ∠+∠=︒①90AEC ∠=︒①CE AE ⊥．（2）解：连接OD①CD AB ∥ OC AE ∥①四边形AOCD 是平行四边形①OA OC =①平行四边形AOCD 是菱形①AD CD OA ==①AD OA OD ==①ADO △是等边三角形①60OAD ∠=︒①CD AB ∥①60CDE OAD ∠=∠=︒①30DCE ∠=︒①2212CD DE ==⨯=①2OA CD ==①O 的面积为：224ππ⨯=．2．（1）证明：如图连接OA 交BC 于点M①点A 为BC 的中点①,OA BC AB AC ⊥=①AE 与O 相切①AE OA ⊥①,AE BC EAC ACB ABD∠=∠=∠∥又①BD AF =①()SAS ABD CAF ≌①AD CF =①DAC ACE ∠=∠①CE AD ∥①四边形ADCE 为平行四边形①AD CE =①CE CF =（2）解：如图①112AF BD AB ===①2AB AC ==①BM CM =①点A 到弦BC 的距离为1 即1AM =在Rt ABM 中 222A A M B M B -= ①22213BM -①|31DM BM BD =-=313231CD DM MC ∴=+==由（1）可知四边形ADCE 为平行四边形 ①231AE CD ==．3．（1）解：①弦CD AB ⊥于点E ①12CB DB CB DB CD ===， ①AB 是O 的直径①AB AB AB CB AB DB =-=-，即AC AD AFD ADC =∠=∠，①四边形ADCE 是O 的内接四边形①180AFC ADC ∠+∠=︒180PFC AFC ∠+∠=︒PFC ADC ∴∠=∠①PFC AFD ∠=∠（2）解：如图：连接OE OC OC ，，与FD 相交于一点H①91AE BE ==， ①1911052AB AE BE OC AB =+=+===， ①弦CD AB ⊥于点E①2CD CE =在Rt OCE 中 ()22222OC OE CE OB BE CE =+=-+即()222551CE =-+解得3CE =①236CD =⨯=①CF CD =①62H CF CD OC FD DF F =⊥==，，设5OH x HC x ==-，在Rt OFH △中 222FH OF OH =-在Rt CFH △中 222FH CF CH =-即2222OF OH CF CH -=-①()2225365x x -=-- 解得75x =①482225DF FH ==== （3）解：如图连接BF①四边形FODC 为平行四边形且易知OF OD =①四边形FODC 为菱形①四边形ADCE 是O 的内接四边形①180180FAD FCD FCD PCE ∠+∠=︒∠+∠=︒， ①FAD PCE ∠=∠①由（1）知PFC AFD ∠=∠①PFC DFA ∽ ①FC PF PC FA DF DA== ①AB 是O 的直径①90AFB ∠=︒①四边形FODC 为菱形①FC OF OF CD =，①CD AB ⊥①OF AB ⊥①45AF BF FAB FBA =∠=∠=︒，①()()222222222AF BF AF AB OF CF +==== ①22FC FA ①212PFC DFA S FC S FA ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 4．（1）证明：连接1O D BD 如图①(0,3A ()4,0C -23OA ∴= 4OC =． ①以BC 为直径作1O 交OC 于点D90BDC ∴∠=︒．,AB OC OC OA ⊥∥AB OA ∴⊥①四边形ABDO 为矩形2,OD AB BD OA ∴====2CD OC OD ∴=-=4BC ∴112O C O D ∴==1O CD ∴为等边三角形1160O CD O DC ∴∠=∠=︒30EDO ∠=︒1118090O DE O DC EDO ∴∠=︒-∠-∠=︒1O D DE ∴⊥1O D 为1O 的半径DE ∴是1O 的切线（2）解：①线段BC 上存在一点P 使以点P 为圆心 PC 为半径的P 与y 轴相切①点P 到y 轴的距离等于PC ．过点P 作PF y ⊥轴于点F PH x ⊥轴于点H 如图则PF PC =．由（1）知：60BCD ∠=︒12CH PC ∴= PH =．PF y ⊥轴 PH x ⊥轴 OA OC ⊥①四边形PHOF 为矩形OH PF PC ∴==142OC CH OH PC PC ∴=+=+= 83PC 83PF OH ∴== 84333PH == ①点P 的坐标为8433⎛- ⎝⎭．5．（1）证明：①四边形ABED 内接于O 180DEB A ∴∠+∠=︒又180DEB DEC ∠+∠=︒DEC A ∴∠=∠OD BC ∥C ADO ∴∠=∠①OA OD =①CAO ADO ∠=∠①C DEC ∠=∠①CD DE =（2）解：如图所示连接AE①AB 为直径①90AEB ∠=︒90CAE C ∴∠+∠=︒ 90AED DEC ∠+∠=︒ 由（1）CD DE = C DEC ∠=∠CAE AED ∴∠=∠①AD DE =①AD DC =①28AC AD ==由（1）可得BAC ADO ∠=∠ C ADO ∠=∠ 则C BAC ∠=∠①12AB BC ==设CE x = 则12BE x =-2222AC CE AB BE -=-()222281212x x ∴-=-- 解得：83x = ①83CE =．6．（1）证明：①AD 平分BDF ∠∴ADF ADB ∠=∠ ①四边形ABCD 是O 的内接四边形∴180ABC ADC ∠+∠=︒180ADC ADF ∠+∠=︒ABC ADF ADB ∴∠=∠=∠ACB ADB ∠=∠ACB ABC ∴∠=∠AB AC ∴=．（2）解：过点A 作AG BD ⊥于点G90AGD ∴∠=︒①AD 平分BDF ∠∴ADF ADB ∠=∠AE CD ⊥90AED ∴∠=︒在AGD △和AED △中90AGD AED ADF ADBAD AD∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AGD AED ∴≌1GD DE ∴== AG AE =在Rt AEC △和Rt AGB △中AE AGAB AC =⎧⎨=⎩()Rt Rt HL AEC AGB ∴≌CE BG ∴=又9BD = 1DE =918BG BD GD ∴=-=-=8∴=CE817CD CE ED =-=-=7CD ∴=．7．（1）（i ）证明：①A B C 均在O 上 ①224590BOC A ∠=∠=⨯︒=︒①1OB OC ==在Rt BOC 中根据勾股定理 ①2BC =（ii ）证法一：如图① 连接EB 作直径CE 则E A ∠=∠ 2CE R =①90EBC ∠=︒ ①sin sin 2BCA E R ==证法二：如图①．连接OB OC 作OH BC ⊥于点H 则12A BOC BOH ∠=∠=∠ 12BH BC = ①12sin sin 2BC BH BC A BOH OB R R=∠===．（2）如图① 连接AP 取AP 的中点K 连接BK CK 在Rt APC △中 12CK AP AK PK === 同理得：BK AK PK ==①CK BK AK PK ===①点A B P C 都在K 上①由（1）（ii ）可知sin 60BC AP ︒=①2sin 60AP ==︒ 故在整个滑动过程中 P A 两点间的距离不变．8．（1）①①矩形ABCDAD = 点O 是AD 的中点①90AO DO A ==∠=︒①BA 是圆O 的切线①A B '是圆O 的切线。

备战中考数学基础必练(浙教版)圆内接四边形(含解析)

2019备战中考数学基础必练（浙教版）-园内接四边形（含解析）一、单选题1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=100°，则∠ADC=（）A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°2.如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为（0，4），点M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙O的半径为（）A. 4B. 5C. 6D. 23.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E=∠F=35°，则∠A 的度数是（）A. 35°B. 55°C. 60°D. 65°4.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，若∠BAD ＝105°，则∠BCD的度数是（）A. 105°B. 95°C. 75°D. 60°5.蜂巢的构造非常复杂，科学，如图是由7个全等的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（）A. 10个B. 8个C. 6个D. 4个6.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，那么∠BCD是（）A. 120°B. 100°C. 80°D. 60°7.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=64°，则∠BCD的度数是（）A. 64°B. 90°C. 136°D. 116°8.圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比为2：3：6，∠D的度数为（）A. 45°B. 67.5°C. 135°D. 112.5°9.如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E=α，∠F=β，则∠A等于（）A. α+βB.C. 180°﹣α﹣βD.二、填空题10.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD=100°，则∠DCE的度数为________11.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E在AB的延长线上，BF是∠CBE的平分线，∠ADC=100°，则∠FBE=________°．12.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=137°，则∠AOC的度数为________．13.蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有________ ．14.如图，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上，D是AC上任一点(不与A、C重合)，则∠ADC 的度数是________.15.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AC= ________16.如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则= ________17.已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为 ________cm18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是________°．19.如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C 的另一点，则∠ADC的度数是________．三、解答题20.如图③，点E，D分别是正三角形ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以点C为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且△ABE与△BCD能相互重合，DB的延长线交AE于点F．（1）在图①中，求∠AFB的度数（2）在图②中，∠AFB的度数为________ 度，图③中，∠AFB的度数为________度（3）继续探索，可将本题推广到一般的正n边形情况，用含n的式子表示∠AFB的度数．21.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，求∠BCD的度数．22.阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：AB•r1+AC•r2= AB•h，∴r1+r2=h（1）理解与应用如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，试证明：r1+r2+r3=．（2）类比与推理边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于________（3）拓展与延伸若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…r n，请问r1+r2+…r n是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．23.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120°，点E在上．（1）求∠E的度数；（2）连接OD、OE，当∠DOE=90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ADC=180°﹣100°=80°．故选B．【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解．2.【答案】A【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：连接OC，如图所示：∵∠AOB=90°，∴AB为⊙C的直径，∵∠BMO=120°，∴∠BCO=120°，∠BAO=60°，∵AC=OC，∠BAO=60°，∴△AOC是等边三角形，∴⊙C的半径=OA=4．故选：A．【分析】连接OC，由圆周角定理可知AB为⊙C的直径，再根据∠BMO=120°可求出∠BAO 的度数，证明△AOC是等边三角形，即可得出结果．3.【答案】B【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠E+∠ECD，∠ABC=∠F+∠BCF，且∠E=∠F=35°，∠DCF=∠BCF，∴∠ADC=∠ABC，∵四边形ABCD内接⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°﹣∠E=55°．故选B．【分析】由∠E=∠F=35°，利用三角形外角的性质，易证得∠ADC=∠ABC，又由圆的内接四边形的性质，证得∠ADC+∠ABC=180°，继而求得∠ABC的度数，然后由三角形内角和定理，求得答案．4.【答案】C【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD ＝105°，∴∠BCD=180°-∠BAD =180°-105°=75°.故选C.【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可求解.5.【答案】A【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即，有6个直角三角形，AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4=10个．故选：A．【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．6.【答案】A【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解∵在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，∴∠A=60°，∴∠C=180°﹣60°=120°，故选：A．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠A=60°，再根据圆内接四边形的性质可得∠BCD的度数．7.【答案】D【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DAB+∠BCD=180°，又∠DAB=64°，∴∠BCD=116°，故选：D．【分析】根据圆内接四边形的对角互补列出算式，根据已知求出答案．8.【答案】D【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比为2：3：6，∴设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=6x，∵∠A+∠C=180°，即2x+6x=180°，解得x=22.5°，∴∠B=3x=3×22.5°=67.5°，∴∠D=180°﹣67.5°=112.5°．故选D．【分析】设∠A=x，则∠B=3x，∠C=4x，再根据圆内接四边形的对角互补求出x的值，进而得出∠B的度数，从而得出∠D的度数．9.【答案】D【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=．故选D．【分析】连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可．二、填空题10.【答案】50°【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵∠BOD=100°，∴∠A=∠BOD=50°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE=∠A=50°，故答案为：50°．【分析】根据圆周角定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质得出∠DCE=∠A，代入求出即可．11.【答案】50【考点】圆内接四边形的性质【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=100°，∴∠CBE=∠ADC=100°，【解析】∵BF是∠CBE的平分线，∴∠FBE= ∠CBE=50°，故答案为：50．【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠CBE=∠ADC=100°，根据角平分线定义求出即可．12.【答案】86°【考点】圆内接四边形的性质【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=137°，∴∠D=180°﹣137°=43°，【解析】∴∠AOC=2∠D=86°．故答案为：86°．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数，再由圆周角定理即可得出结论．13.【答案】10【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形，AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4=10个．故答案为：10．【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．14.【答案】120°【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC=180°-60°=120°.故答案为：120°.【分析】根据等边三角形的性质可得∠B的度数，再由圆的内接四边形性质可得∠ADC度数.15.【答案】2【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：作BG⊥AC，垂足为G．∵AB=BC，∴AG=CG，∵∠ABC=120°，∴∠BAC=30°，∴AG=AB•cos30°=2×=，∴AC=×2=2．故答案为2．【分析】作BG⊥AC，垂足为G．构造等腰三角形ABC，在直角三角形ABG中，求出AG的长，再乘二即可．16.【答案】5【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍，∴设S空白=x，则S阴影=6x﹣x=5x，∴=5．故答案为：5．【分析】根据边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍即可得出结论．17.【答案】【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，∵OA=2cm，∠AOG=30°，∴OG=OA•cos 30°=2×=（cm）．故答案为：．【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．18.【答案】105【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAB+∠DCB=180°，∵∠BAD=105°，∴∠DCB=180°﹣∠DAB=180°﹣105°=75°，∵∠DCB+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠DAB=105°．【分析】利用圆内接四边形对角互补，外角等于其内对角，可求出∠DCE=∠DAB=105°．19.【答案】60°或120°【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：连接OB．∵四边形OABC是菱形，∴AB=OA=OB=BC，∴△AOB是等边三角形，∴∠ADC=60°，∠A D′C=120°．故答案为：60°或120°．【分析】抓住已知点D是圆上异于A、B、C的另一点，可得出点D可能是优弧AC上的一点，也可能是劣弧AC上的一点，再利用圆内接四边形的对角互补，即可求解。

圆内接四边形的性质精选题36道

圆内接四边形的性质精选题36道一．选择题（共12小题）1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A．45°B．50°C．60°D．75°2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为（）A．130°B．100°C．65°D．50°4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°5．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（）A．30°B．50°C．70°D．80°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3B．3C．4D．27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC的大小是（）A．80°B．100°C．60°D．40°8．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．80°B．120°C．100°D．90°9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是（）A．88°B．92°C．106°D．136°10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°11．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．70°B．55°C．35.5°D．35°12．如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（）A．48°B．96°C．114°D．132°二．填空题（共14小题）13．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB ＝．14．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B+∠E＝°．15．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠E+∠C＝°．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB ＝40°，则∠ABC＝．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为．18．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，则∠CBD＝度．19．如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝．20．如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为．21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝°．22．如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD＝．23．如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝°．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD＝°．25．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，∠A＝50°，则∠E+∠F＝．三．解答题（共10小题）27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．（1）求证：BD＝ED；（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．28．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°．（1）求证：BD＝CD；（2）若圆O的半径为3，求的长．29．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．（1）求证：AB＝AC．（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．30．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF．（1）求证：AB＝AC；（2）若AC＝5cm，AD＝3cm，求DE的长．31．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB ＝45°．求⊙O半径的长．32．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD．（1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长；（2）求证：BC+CD＝AC．33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝2，AC＝2（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．34．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DAB＝120°，BC＝CD，AD＝4，AC＝7，求AB的长度．35．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，连接BD交AC于点P．（1）求∠EDC的度数；（2）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值；（3）若∠DPC＝45°，PD2+PB2＝8，求AC的长．36．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．（1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长；（2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．圆内接四边形的性质精选题36道参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A．45°B．50°C．60°D．75°【分析】设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β，由题意可得，求出β即可解决问题．【解答】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠ABC＝∠AOC；∵∠ADC＝β，∠ADC＝α；而α+β＝180°，∴，解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，故选：C．【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．∵＝，∠BAC＝25°，∴∠DCE＝∠BAC＝25°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为（）A．130°B．100°C．65°D．50°【分析】先根据补角的性质求出∠ABC的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由等腰三角形的性质求得∠DAC的度数．【解答】解：∵∠CBE＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣50°＝130°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣130°＝50°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝＝65°，故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC＝100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．【解答】解：连接OA，OB，OC，∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，∵，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠ABC＝∠AOC＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．5．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（）A．30°B．50°C．70°D．80°【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．【解答】解：∵，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3B．3C．4D．2【分析】连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．【解答】解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了勾股定理．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC的大小是（）A．80°B．100°C．60°D．40°【分析】根据圆内接四边形的性质求得∠ABC＝40°，利用圆周角定理，得∠AOC＝2∠B＝80°．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣140°＝40°．∴∠AOC＝2∠ABC＝80°．故选：A．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出∠B的度数是解题关键．8．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．80°B．120°C．100°D．90°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是（）A．88°B．92°C．106°D．136°【分析】首先根据∠BOD＝88°，应用圆周角定理，求出∠BAD的度数多少；然后根据圆内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD＝180°，据此求出∠BCD的度数是多少即可．【解答】解：∵∠BOD＝88°，∴∠BAD＝88°÷2＝44°，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣44°＝136°，即∠BCD的度数是136°．故选：D．【点评】（1）此题主要考查了圆内接四边形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A＝180°，∴∠C＝180°﹣40°＝140°．故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．11．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．70°B．55°C．35.5°D．35°【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答．【解答】解：连接OB，如图所示，∵点B是的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝70°，由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝35°，故选：D．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．12．如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（）A．48°B．96°C．114°D．132°【分析】根据平行线的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理解答．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠DAB＝132°，∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠D＝180°﹣∠B＝48°，由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D＝96°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．二．填空题（共14小题）13．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB ＝70°．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．【解答】解：∵＝，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ADB＝∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故答案为：70°．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．14．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B+∠E＝215°．【分析】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC＝180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED＝∠CAD，然后求解即可．【解答】解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是圆内接五边形，∴四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠B+∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝35°，∴∠B+∠E＝180°+35°＝215°．故答案为：215．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．15．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠E+∠C＝155°．【分析】连接EA，根据圆周角定理求出∠BEA，根据圆内接四边形的性质得到∠DEA+∠C＝180°，结合图形计算即可．【解答】解：连接EA，∵为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为：155．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB ＝40°，则∠ABC＝70°．【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠CAB＝∠DAB＝20°，∠ACB＝90°，计算即可．【解答】解：连接AC，∵点C为弧BD的中点，∴∠CAB＝∠DAB＝20°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查的是圆周角定理的应用、圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为110°．【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案．【解答】解：∵∠B＝110°，∴∠ADE＝110°．故答案为：110°．【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是熟练掌握圆内接四边形的性质定理．18．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，则∠CBD＝38度．【分析】由已知我们可以将点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，从而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得即可．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，∴∠CBD是弧CD对的圆周角，∠CAD是弧CD对的圆心角；∵∠CAD＝76°，∴∠CBD＝∠CAD＝×76°＝38°．【点评】本题利用了同弧对的圆周角是圆心角的一半的性质求解．19．如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝60°．【分析】设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β，由题意可得，求出β即可解决问题．【解答】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠ABC＝∠AOC；∵∠ADC＝β，∠AOC＝α；而α+β＝180°，∴，解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，故答案为：60°．【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．20．如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为8．【分析】如图，连接AC，BD．由△ABC≌△ADE（SAS），推出∠BAC＝∠DAE，AC＝AE ＝4，S△ABC＝S△ADE，推出S四边形ABCD＝S△ACE，由此即可解决问题；【解答】解：如图，连接AC，BD．∵∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，∵AB＝AD，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，∴∠CAE＝∠BAD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ACE＝×4×4＝8．故答案为8．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝130°．【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠BOD＝100°，∴∠A＝50°．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．22．如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD＝140°．【分析】根据已知条件利用圆周角定理求出∠BAD的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可求出∠BCD的度数．【解答】解：∵∠BAD为所对的圆周角且∠BOD＝80°，∴∠BAD＝＝＝40°，又∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣40°＝140°，故答案为：140°．【点评】本题考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理与圆内接四边形对角互补的性质是解题的关键．23．如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝80°．【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣100°＝80°．故答案为：80．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD＝140°．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，∴∠BOD＝2∠C＝140°．故答案为：140．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．25．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为．【分析】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，再由AD＝AB可得出△ABD是等边三角形，则DE＝AD，∠ODE＝∠ADB＝30°，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°．∵AD＝AB＝2，∴△ABD是等边三角形．∴DE＝AD＝1，∠ODE＝∠ADB＝30°，∴OD＝＝．故答案为【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，∠A＝50°，则∠E+∠F＝80°．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，∴∠EDC+∠FBC＝180°，∴∠E+∠F＝360°﹣180°﹣50°﹣50°＝80°，故答案为：80°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．三．解答题（共10小题）27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．（1）求证：BD＝ED；（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠A＝∠DCE，证明△ABD≌△DCE，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过点D作DM⊥BE于M，根据等腰三角形的性质求出BM，进而求出CM，根据正切的定义求出DM，根据正切的定义计算，得到答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝∠DCE，∵∠1＝∠2，∴＝，∴AD＝DC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴BD＝ED；（2）解：过点D作DM⊥BE于M，∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB，∴BE＝BC+EC＝10，∵BD＝ED，DM⊥BE，∴BM＝ME＝BE＝5，∴CM＝BC﹣BM＝1，∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，∴∠2＝30°，∴DM＝BM•tan∠2＝5×＝，∴tan∠DCB＝＝．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的对角互补、锐角三角函数的定义是解题的关键．28．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°．（1）求证：BD＝CD；（2）若圆O的半径为3，求的长．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB＝∠DBC求出答案；（2）首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠DCB+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝105°，∴∠DCB＝180°﹣105°＝75°，∵∠DBC＝75°，∴∠DCB＝∠DBC＝75°，∴BD＝CD；（2）解：∵∠DCB＝∠DBC＝75°，∴∠BDC＝30°，由圆周角定理，得，的度数为：60°，故＝＝＝π，答：的长为π．【点评】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理等知识，根据题意得出∠DCB的度数是解题关键．29．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．（1）求证：AB＝AC．（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．【分析】（1）根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答；（2）过点A作AG⊥BD，分别证明Rt△AED≌Rt△AGD和Rt△AEC≌Rt△AGB，根据全等三角形的性质计算．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDF，∴∠ADF＝∠ADB，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠ABC，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，在Rt△AED和Rt△AGD中，，∴Rt△AED≌Rt△AGD，∴GD＝ED＝2，在Rt△AEC和Rt△AGB中，，∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），∴BG＝CE，∵BD＝11，∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，∴CE＝BG＝9，∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．30．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF．（1）求证：AB＝AC；（2）若AC＝5cm，AD＝3cm，求DE的长．【分析】（1）由圆内接四边形的性质，可求得∠ABC＝∠2；由于∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故∠ABC＝∠4，由此得证．（2）证△ABD∽△AEB，通过相似三角形的对应成比例线段，求出AE及DE的值．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，∴∠ABC＝∠4，∴AB＝AC；（2）解：∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，∴△ABD∽△AEB，∴，∵AB＝AC＝5cm，AD＝3cm，∴AE＝＝，∴DE＝＝（cm）．【点评】本题综合考查了角平分线，相似三角形，圆内接四边形的性质，是中学阶段的常规题目．31．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB ＝45°．求⊙O半径的长．【分析】根据圆周角定理得∠ABC＝90°，然后在Rt△ABC利用勾股定理计算即可．【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠ADB＝45°，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∵AB＝2，∴BC＝AB＝2，∴AC＝，∴⊙O半径的长为．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．32．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD．（1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长；（2）求证：BC+CD＝AC．【分析】（1）先利用圆周角定理得∠BAD＝∠BCD＝90°，则根据勾股定理可计算出BD ＝13cm，再证明△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到AB的长；（2）把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，如图，根据旋转的性质得到∠CAE ＝∠BAD＝90°，CA＝CE，∠ABC＝∠ADE，再证明E点在CD的延长线上，于是可判断△ACE为等腰直角三角形，所以CE＝AC，从而得到结论．【解答】（1）解：∵BD为直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，在Rt△BCD中，BD＝＝＝13（cm），∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，∴AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝BD＝cm；（2）证明：把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，如图，则∠CAE＝∠BAD＝90°，CA＝CE，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADE+∠ADC＝180°，∴E点在CD的延长线上，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，而CE＝CD+DE＝CD+CB，∴BC+CD＝AC．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理和旋转的性质．33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝2，AC＝2（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．【分析】（1）连接OA，作OH⊥AC于H，根据勾股定理的逆定理得到∠AOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质解答；（2）根据圆周角定理求出∠B，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【解答】解：（1）连接OA，作OH⊥AC于H，OA2+OC2＝8，AC2＝8，∴OA2+OC2＝AC2，∴△AOC为等腰直角三角形，∴OH＝AC＝，即点O到AC的距离为；（2）由圆周角定理得，∠B＝∠AOC＝45°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝180°﹣45°＝135°．【点评】本题考查度数圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理的逆定理，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．34．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DAB＝120°，BC＝CD，AD＝4，AC＝7，求AB的长度．【分析】根据圆周角定理得出∠DAC＝∠CAB，进而利用勾股定理得出AF的值以及三角函数解答即可．【解答】解：作DE⊥AC，BF⊥AC，∵BC＝CD，∴，∴∠CAB＝∠DAC，∵∠DAB＝120°，∴∠DAC＝∠CAB＝60°，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝∠DEC＝90°，∴sin60°＝，cos60°＝，∴DE＝2，AE＝2，∵AC＝7，∴CE＝5，∴DC＝，∴BC＝，∵BF⊥AC，∴∠BF A＝∠BFC＝90°，∴tan60°＝，BF2+CF2＝BC2，∴BF＝AF，∴，∴AF＝2或AF＝，∵cos60°＝，∴AB＝2AF，当AF＝2时，AB＝2AF＝4，∴AB＝AD，∵DC＝BC，AC＝AC，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠ADC＝∠ABC，∵ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，但AC2＝49，，AC2≠AD2+DC2，∴AB＝4（不合题意，舍去），当AF＝时，AB＝2AF＝3，∴AB＝3．【点评】此题考查圆内接四边形的性质，关键是根据圆周角定理和勾股定理以及三角函数解答．35．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，连接BD交AC于点P．（1）求∠EDC的度数；（2）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值；（3）若∠DPC＝45°，PD2+PB2＝8，求AC的长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ADC＝90°，结合平角的定义可求解；（2）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值；（3）过点O作OG⊥BD于点G，由垂径定理可得BG＝DG，利用PD2+PB2＝8，可求半径为2，即可求解．【解答】解：（1）∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵∠ADC+∠EDC＝180°，∴∠EDC＝90°；（2）∵∠CAE+∠E＝90°，∠CAE+∠ACD＝90°，∴∠E＝∠ACD，又∠ACE＝∠ADC＝90°，∴△ACE∽△ADC，∴，即AC2＝AD•AE．设DE＝x，则AC＝x，即（x）2＝AD（AD+x）．整理，得AD2+AD•x﹣20x2＝0．解得AD＝4x或AD＝﹣5x（舍去）．∴DC＝＝2x．∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2；（3）如图，过点O作OG⊥BD于点G，由垂径定理，得BG＝DG，设BG＝DG＝m，则PD＝m+PG，PB＝m﹣PG，∵PD2+PB2＝8，∴（m+PG）2+（m﹣PG）2＝8，整理，得2m2+2PG2＝8，即m2+PG2＝4．∵∠DPC＝45°，∴OG＝PG．∴OD2＝DG2+OG2＝m2+PG2＝4，∴⊙O的半径为2．∴AC＝4．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据题意表示出AD，DC的长是解题关键．36．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．（1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长；（2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．【分析】（1）如图1，先利用圆周角定理得到BD为直径，即BD＝12，再证明△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形求出AB；（2）如图2，作BH⊥AC于H，先利用圆周角定理得到BD为直径，利用勾股定理计算出BD＝，再证明△CDB为等腰直角三角形得到BC＝BD＝，接着在Rt△ABH中计算出AH＝BH＝，然后在Rt△BCH中计算出CH＝，从而得到AC 的长．【解答】解：（1）∵∠DAB＝90°∴BD是直径，∴BD＝12，∴2AB2＝144，∴AB＝；（2）如图2，连接BD，∵∠DAB＝90°，AD＝5，AB＝3，∴BD＝，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∴＝，∴DC＝CB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∵∠DAB＝90°，∴∠DCB＝90°，∴BC＝，作BH⊥AC，∵∠CAB＝45°，∴AH＝BH＝，CH＝，∴AC＝．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质．。

九年级数学：圆内接四边形练习(含答案)

九年级数学：圆内接四边形练习（含答案）1．圆内接四边形的对角________．2．圆内接四边形的外角等于内对角．A组基础训练1．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠C＝80°，则∠A等于( )A．120° B．100° C．80° D．90°第1题图2．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为( )第2题图A．100° B．120° C．140° D．160°3．圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C＝1∶2∶5，则∠D等于( )A．60° B．120° C．140° D．150°4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若∠BOD＝120°，则∠BCD的度数为( ) A．120° B．90° C．60° D．30°第4题图5.如图，已知∠BAE＝125°，则∠BCD＝________度．6．平行四边形ABCD 为圆内接四边形，则此平行四边形是________． 7．⊙O 的内接四边形ABCD ，∠AOC ＝140°，∠D ＞∠B ，则∠D ＝________．8．如图，已知四边形ABCD 内一点E ，若EA ＝EB ＝EC ＝ED ，∠BAD ＝70°，则∠BCD ＝________．第8题图9．如图，已知AD 是△ABC 的外角平分线，与△ABC 的外接圆交于点D. (1)求证：DB ＝DC ；(2)若过D 作DP⊥AC 于点P ，DQ ⊥BA 于点Q ，求证：△CDP≌△BDQ.第9题图10．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于点E ，交BC ︵于点D. (1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)连结CD ，设∠CDB ＝α，∠ABC ＝β，试找出α与β之间的一种关系式，并予以证明．B 组自主提高8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连结CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连结AC.若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )第11题图A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°12．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点O 在四边形ABCD 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD 的度数为________．第12题图13．如图所示，AB ＝AC ，AB 为⊙O 的直径，AC 、BC 分别交⊙O 于E 、D ，连结ED 、BE. (1)试判断DE 与BD 是否相等，并说明理由； (2)如果BC ＝6，AB ＝5，求BE 的长．第13题图C组综合运用14.如图，正方形ABCD，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P.(1)BE、CF有怎样的数量关系和位置关系？(2)判断点P，F，A，B共圆吗？(3)直接写出∠FPA相等的角．(4)求证：AP＝AB.第14题图3．6 圆内接四边形【课堂笔记】 1．互补【课时训练】 1－4.BCBA 5. 125 6. 矩形 7.110° 8.110°9．(1)∵AD 是∠EAC 的平分线，∴∠DAC ＝∠DAE.∵四边形ABCD 内接于圆，∴∠DCB ＝∠DAE，∵∠DAC ＝∠DBC，∴∠DCB ＝∠DBC，∴DB ＝DC ； (2)∵AD 平分∠EAC，DP ⊥AC ，DQ ⊥BA ，∴DP ＝DQ ，又∵DB＝DC ，∴△CDP ≌△BDQ(HL)．10．(1)不同类型的正确结论有：①BE＝CE ；②BD ︵＝CD ︵；③∠BED＝90°；④∠BOD ＝∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE 2＋BE 2＝OB 2；⑧S △ABC ＝BC·OE；⑨△BOD 是等腰三角形等； (2)α与β的关系式主要有如下两种形式：①α－β＝90°.证明如下：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠ABC＝90°①.又∵四边形ACDB 为⊙O 的内接四边形，∴∠A ＋∠CDB＝180°②.②－①，得∠CDB－∠ABC＝90°，即α－β＝90°. ②α>2β.证明如下：∵OD＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD.又∵∠OBD＝∠ABC＋∠CBD，∴∠ODB>∠ABC.∵OD ⊥BC ，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD ，∴∠CDO ＝∠ODB＝12∠CDB ，∴12∠CDB>∠ABC ，即α>2β.11．B 12．60°13．(1)连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即AD⊥BC，∵AB ＝AC ，∴∠CAD ＝∠BAD，即∠EAD＝∠BAD，∴DE ＝BD ； (2)∵AD⊥BC，AB ＝AC ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝3，∴ADAB 2－BD 2＝4，∵S △ABC ＝12×BC ·AD ＝12AC ×BE ，∴12×6×4＝12×5×BE ，∴BE ＝245.14．(1)BE ＝CF ，BE ⊥CF ，理由：证△BCE≌△CDF(SAS)得BE ＝CF ，∠CBE ＝∠DCF，∵∠DCF ＋∠BCF＝90°，∴∠CBE ＋∠BCF＝90°，即BE⊥CF； (2)点P ，F ，A ，B 共圆．理由：∵BE⊥CF，∠A＝90°，∴点P，F，A，B共圆．(3)∠FPA＝∠FBA＝∠FCD＝∠EBC.(4)证明：∵∠FPA＝∠FBA＝∠FCD＝∠EBC，∴∠APB＝90°－∠FPA＝90°－∠EBC＝∠ABP，∴AP ＝AB.。

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