尺规作图方法大全(正式)
八年级尺规作图
NMB OA③A'N'B'M'O'A'尺规作图五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线； 1.题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图,线段a 。
求作:线段AB,使AB = a . 作法：⑴作射线AP ；⑵在射线AP 上截取AB=a 。
则线段AB 就是所求作的图形.2.题目二：作已知线段的中点。
已知:如图，线段MN 。
求作:点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点)。
作法:⑴分别以M 、N 为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧相交于P ，Q ； ⑵连接PQ 交MN 于O.则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。
3。
题目三:作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB ，求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）.作法：⑴以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA,OB 于M ，N;⑵分别以M 、Ｎ为圆心，大于 的相同线段为半径画弧, 两弧交∠AOB 内于Ｐ； ⑶作射线OP 。
则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
4。
题目四：作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB. 求作：∠A ’O ’B ’，使∠A ’O ’B'=∠AOB作法:（1）作射线O ’A ’；(2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ； （3）以O'为圆心,以OM 的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’； (4）以M ’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N'； （5)过点N ’画射线O ’B ’,则∠A'O ’B ’ =∠AOB. 则∠A ’O ’B ’就是所求作的角.5。
题目五:已知三边作三角形。
已知：如图,线段a ，b ，c.求作：△ABC ，使AB = c,AC = b ，BC = a 。
正三、四、五、六、八、十、十二边形的尺规做法
正三、四、五、六、⼋、⼗、⼗⼆边形的尺规做法
正多边形的尺规作图⼀直以来都是⼈们⾮常感兴趣的问题．正三边、正四边、正六边形相对来
说⽐较容易作⼀些，正五边形就相对难⼀点了，但⼈们也找到了正五边形的直规作图⽅法．
正七边形的尺规作图是容易⼀些，还是困难⼀些呢？⼈们很久很久都没有找到正七边形的尺规
做法，这使⼈怀疑：究竟⽤尺规能否作出正七边形来？⼈们迅速地解决了正三、四、五、六边
形的尺规作图问题，却在正七边形⾯前⽌步了：究竟能作不能作，得不出结论来．这个悬案⼀
直悬⽽未决两千余年．直到⼀位德国数学家⾼斯，在他仅20岁左右之时发现，当正多边形的边
数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更⼀般的结论：正n边形可尺规作图的充分且必要
的条件是n=2k（2的k次幂）或2k×p1×p2×…×ps，（1，2…s为右下⾓标）
其中，p1，p2，…，ps是费马素数．
正7边形可否尺规作图呢？否！因为7是素数，但不是费马素数．
倒是正17边形可尺规作图，⾼斯最初的⼀项成就就是作出了正17边形．根据⾼斯的理论，还有
⼀位德国格丁根⼤学教授作了正257边形．
就这样，⼀个悬⽽未决两千余年的古⽼⼏何问题得到了圆满的解决．
下⾯是⼀些优秀⽼师做出的正三、四、五、六、⼋边形的尺规作图法动态图，给⼤家整理以便
学习。
正三⾓形
正⽅形
正五边形
正六边形
正⼋边形
再来两个，正⼗边形
正⼗⼆边形
上⾯这些绘图的难点在于如何进⾏圆等分，算料宝的【常⽤计算】⾥⾯有圆等分计算，可
以计算出任意多边形的各种数据。
剩余的就是使⽤等分弦长进⾏分割处理了。
尺规作图九种基本作图
aM尺规作图【知识回顾】1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
2、五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线； （1）题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a .求作：线段AB ，使AB = a . 作法：（1） 作射线AP ；（2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。
（2）题目二：作已知线段的垂直平分线。
已知：如图，线段MN.求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法：（１）分别以M 、N 为圆心，大于MN 21的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ； （２）连接PQ 交MN 于O ．则点PQ 就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。
（3）题目三：作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB ，求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。
作法：（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA ，OB 于M ，N ；③②①PBA P（2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于MN 21的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线OP 。
则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
（4）题目四：作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB 。
求作：∠A ’O ’B ’，使A ’O ’B ’=∠AOB作法：（1）作射线O ’A ’；（2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ； （3）以O ’为圆心，以OM 的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’； （4）以M ’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ’； （5）连接O ’N ’并延长到B ’。
则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。
（5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。
尺规作图的方法和步骤
尺规作图的方法和步骤
尺规作图的方法和步骤
在几何里把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称基本作图。
2. 基本作图包括：
①作一角等于已知角；
②平分已知角；
③经过一点作已知直线的垂线；
④作线段的垂直平分线；
⑤若两已知圆相交，可求其交点。
原理都是已经证明的定理，如平分角，利用的就是边边边公理，以定点为圆心化圆交角两点，角平分线的任一点，到两点的距离相等的原理（很容易证明这是个全等三角形）。
作图公法
以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公法，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：
通过两个已知点可作一直线。
已知圆心和半径可作一个圆。
若两已知直线相交，可求其交点。
若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。
若两已知圆相交，可求其交点。
尺规作图基本作图方法
已知：如图，线段a .A求作：线段AB,使AB=a .作法：
(1)作射线AP；
(2)在射线AP上截取AB=a .
则线பைடு நூலகம்AB就是所求作的图形
(2) 题目二：作已知 线段的垂直平分线。 已知：如图，线段MN.求作：点O,使MO=NO
(即0是MN的中点).作法：
(1)分别以M、N为圆心，大于丄MN
2的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P,Q;
(2)连接PQ交MN于0.
则点PQ就是所求作的MN的垂直平分线
(3)题目三：作已知角的角平分线 已知：如图，/AOB,求作：射线0P，使/AOP=ZBOP(即OP平分/AOB)。作法：
(1)以0为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA，0B于M，N;
(2)分别以M、N为圆心，大于」mn的线
1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没 有刻度的直尺和圆规作图。最基本，最常用 的尺规作图，通常称基本作图。一些复杂的 尺规作图都是由基本作图组成的。
2、五种基本作图:
1、
作一条线段等于已知线
段；
2、
作一个角等于已知角；
3、
作已知线段的垂直平分
线；
4、
作已知角的角平分线；
5、
过一点作已知直线的垂
线；
(1)题目一：作一条a
五种基本的尺规作图
在建筑设计中，尺规作图被广泛 应用于绘制平面图、立面图和剖 面图等，以确保建筑的准确性和
美观性。
机械工程
在机械制图中，尺规作图是绘制精 确零件图和装配图的重要工具，有 助于提高机械制造的精度和效率。
艺术设计
在美术、设计等艺术领域，尺规作 图也被用于创作具有几何美感的作 品，展现出独特的艺术魅力。
技巧分享
分享一些在尺规作图中常用的技巧和注意事项，如如何准确确定切点、如何绘制 垂直直线等，以提高作图的准确性和效率。同时，也可以介绍一些在实际应用中 可能会遇到的特殊情况和处理方法。
06 综合应用与拓展
五种基本尺规作图的综合应用
作一条已知线段的垂直平分线
利用直尺和圆规，可以准确作出已 知线段的垂直平分线，这在几何作 图中非常有用。
技巧分享
在绘制大圆时，可以将圆规两脚间距离调整得稍大一些，以提高绘制效率；在绘制小圆时 ，则需要更加精细地调整圆规两脚间距离，以确保绘制出的圆足够准确。
注意事项
在实例演示和技巧分享中，要强调保持圆规两脚间距离不变的重要性，以及注意调整圆规 两脚间距离的方法。同时，还可以分享一些在绘制过程中可能遇到的问题和解决方法，例 如如何避免圆规针尖滑动导致绘制出的圆不准确等问题。
五种基本的尺规作图
目 录
• 五种基本尺规作图概述 • 直线与角平分线作图 • 垂直平分线与平行线作图 • 圆的作图 • 圆弧连接与切线作图 • 综合应用与拓展
01 五种基本尺规作图概述
定义与分类
定义
尺规作图是指使用无刻度的直尺和圆 规进行作图的方法，是几何学中的基 本作图技能之一。
分类
五种基本的尺规作图包括作一条线段 等于已知线段、作一个角等于已知角 、作已知角的平分线、作线段的垂直 平分线以及作已知线段的中点。
初中尺规作图详细讲解(含图)
初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形,因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种。
限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法。
最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆;⑶两已知直线;一已知直线和一已知圆；或两已知圆,如果相交,可以求出交点；以上三条，叫做作图公法。
用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点。
一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题。
历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题:作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍;⑶化圆为方问题：作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题"。
直至1837年,万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π（即当圆半径1r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的,而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目,当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。
数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规,作正六边形。
尺规作图资料(完整)
1：尺规作出正三角形2尺规作出正方形3：尺规作出正六边形4：尺规作出正十边形5：尺规作出正十六边形6:尺规作出正十七边形7：尺规作出正十五边形8：尺规作出正五边形9:单尺作出正八边形10：单尺作出正方形11：单尺作出正六边形12：单尺作出正五边形13：单规找出两点间的三等分点14：单规找出两点间的中点15:单规作出等边三角形16：单规作出正八边形17：单规作出正方形18：单规作出正六边形19：单规作出正十边形20:单规作出正十二边形21：单规作出正十六边形22：单规作出正十五边形23单规作出正五边形24：只有两个刻度的直尺作出正三角形25:只有两个刻度的直尺作出正方形初中数学尺规作图专题讲解张远波尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。
平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。
这件事的重要性并不在于这个角的实际作出,而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中。
初等平面几何研究的对象,仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具,习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种。
限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法。
最简单的尺规作图有如下三条:⑴经过两已知点可以画一条直线;⑵已知圆心和半径可以作一圆;⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆,如果相交，可以求出交点;以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆;用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数,作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则,就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍;⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。
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尺规作图
【知识回顾】
1、 尺规作图的定义： 尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
最基本 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
2、 五种基本作图： ,最常用的尺规作图，通常称基本作图。
(1)题目一：作一条线段等于已知线段。
已知 如图，线段 a .
求作 线段 AB, 使 AB = a .
作法
(1)
作射线AP
(2) 在射线AP 上截取AB=a .
则线段AB 就是所求作的图形。
(2)
题目二：作已知线段的中点。
已知 如图，线段 MN.
求作 点 0,使MO=N (即0是MN 的中点). 作法
|M
N
(1： 分别以M N 为圆心，大于 5 1、作一条线段等于已知线段; 、作一个角等于已知角；
、作已知线段的垂直平分线；
、作已知角的角平分线； 、过一点作已知直线的垂
线； (2) 则点
(3) 已知: 求作: 作法: (1) 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P, Q 连接PQ 交MN 于0. 0就是所求作的MN 的中点。
题目三：作已知角的角平分线。
如图，/ AOB 射线0P,使/ AOP=Z BOP (即卩0P 平分/ N
AOB 。
以0为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA 0B 于 M, N; 分别以M N 为圆心，大于
［的线 为半径画弧，两弧交/ AOB 内于P; (3)
作射线0P 则射线0P 就是/ AOB 的角平分线。
(4) 题目四：作一个角等于已知角。
已知：如图，/ AOB 求作：/ A O B',使 A ' O B' =/AOB (2)
作法: (1) 作射线O' A ;
(2)
以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交 OA 于M 交OB 于N; (3) 以O 为圆心，以 OM 的长为半径画弧，交 O A '于M ； (4) 以M 为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于 N'; (5) 连接O N'并延长到B '。
则/ A O' B '就是所求作的角。
(5)题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。
已知：如图，P 是直线 AB 上一点。
求作：直线 CD,是CD 经过点P,且CD 丄ABo A P
B
作法： (1)以P 为圆心，任意长为半径画弧，交
AB 于M N; 1 (2) 分别以M N 为圆心，大于-MN 的长为半径画弧，两弧交于点 Q; 2 (3) 过D Q 作直线CD 则直线CD 是求作的直线。
* P (6)题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线 已知：如图，直线 AB 及外一
点P o 求作: 直线CD,使CD 经过点P, 且 CDL ABo A B
作法:
(1) 以P 为圆心，任意长为半径画弧，交
AB 于M N 1；
a
1 (2) 分别以M N 圆心，大于-MN 长度的
2 (3) 过P 、Q 作直线CD 0 则直线CD 就是所求作的直线。
(5)题目七：已知三边作三角形。
已知：如图，线段 a , b , c. 求作：△ ABC 使 AB = c , AC = b , BC = a. 作法： (1)
作线段AB = c ; (2)
以A 为圆心，以b 为半径作弧， 以B 为
圆心，以a 为半径作弧与 前弧相交于C;
(3) 连接 AC, BG 则厶ABC 就是所求作的三角形。
题目八：已知两边及夹角作三角形。
已知：如图，线段 m n ，/ a . 求作：△ ABC 使/ A=Z ： , AB=m AC=n. 半为半径画弧，两弧交于点 Q
c
n
作法：
(1) 作/ A=/ ;
(2) 在AB上截取
AB=m ,AC=n；
(3) 连接BC
则厶ABC就是所求作的三角形。
题目九：已知两角及夹边作三角形。
已知：如图，/ .工，/ :,线段m .
求作：△ ABC 使/ A=Z a，/ B=/ B ,AB=m.
作法：
（1）作线段AB=m
（2）在AB的同旁
作/ 2—,作/ B=/ I，
/ A与/ B的另一边相交于C o
则厶ABC就是所求作的图形（三角形）
【考点练习】
1、如图：107国道0A和320国道OB在某市相交于点O,在/ AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使P到OA 0B 的距离相等且PC=PD用尺规作出货站P的位置（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
2、三条公路两两相交，交点分别为A, B, C,现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，问满足要求的加
油站地址有几种情况？用尺规作图作出所有可能的加油站地址。
3、过点C作一条线平行于AB
C
«
m
C
a
4、如图，平行四边形纸条ABCD中，E、F分别是边AD BC的中点。
张老师请同学们将纸条的下半部分平行四边形
ABEF沿EF翻折，得到一个V字形图案。
请你在原图中画出翻折后的图形平行四边形A1B仆E （用尺规作图，不写
5、如图，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形，/ AOB画在方格纸上，请用利用格点和直尺（无刻度）作出
/ AOB的平分线。
6、小芸在班级办黑板报时遇到一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助他设计一个合理的等
分方案，图中AB为直径，0为圆心（要求用尺规作图，保留作图痕迹）。
7、已知线段AB和CD,如下图，求作一线段，使它的长度等于AB+ 2CD.
A B C D
、------------- > ■- ■
9、如图，画一个等腰△ ABC使得底边BC=a，它的高AD=h
h
•---------------- ■
10、如图，有A, B, C三个村庄，现要修建一所希望小学，？使三个村庄到学校的距离相等，学校的地址应选在什么地方？请你在图中画出学校的位置并说明理由( ？保留作图痕迹)•
B.
11、如图，A、B两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水.
(1)若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？
(2)若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？
请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹.
^/l
O N
12、如图，A 为/ MON 内一点，试在 OM ON 边上分别作出一点 B 。
，使厶ABC 勺周长最小. 13、如图，已知两点 P 、Q 在锐角/ AOB^，分别在 OA OB 上求点M N,使PW MZ NQ 最短.
18•如图所示，EFGH 是一矩形的台球台面，有黑白两球分别位于
A 、
B 两点位置上，试问：怎样撞击黑球 球先碰撞台边EF 反弹后再击中白球 B ?
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B*
A
♦
A,使黑。