学年广东省深圳市龙岗区九年级上期末数学试卷
广东省深圳市龙岗区2022年数学九年级第一学期期末检测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，2DE =，8AB =，则O 的半径为（ ）A ．5B ．8C ．3D ．102．下列事件属于必然事件的是（ ）A ．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中B ．掷一次骰子，向上一面的点数是6C ．任意画一个五边形，其内角和是540°D ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯3．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何?”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺?”如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，根据题意列方程组正确的是（ ）A ． 4.5,12x y y x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩B ． 4.5,12x y y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩C ． 4.5,12x y x y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩D ． 4.5,12x y y x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩4．已知x 1=是一元二次方程2x mx 20+-=的一个解，则m 的值是( )A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．一个正比例函数的图象过点(2，﹣3)，它的表达式为（ ）A ．32y x =-B ．23y x =-C ．32y x =D ．23y x = 6．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE BD ⊥，垂足为点E ，5AE =，且2EO BE =，则OA 的长为（ ）A．5B．25C．35D．1513 137．坡比常用来反映斜坡的倾斜程度．如图所示，斜坡AB坡比为（）.A．2：4 B．22：1 C．1：3 D．3：18．下列说法正确的个数是（）①相等的弦所对的弧相等；②相等的弦所对的圆心角相等；③长度相等的弧是等弧；④相等的弦所对的圆周角相等；⑤圆周角越大所对的弧越长；⑥等弧所对的圆心角相等；A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，则AGAF的值是（）A．23B．32C．34D．4310．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A．4 B．2 C．3D．311．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）x …﹣1 0 1 2 …y …﹣5 1 3 1 …A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x=3时，y ＜0D ．方程ax 2+bx+c=0有两个相等实数根12．如图⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD 的长为（ ）A ．B ．4C ．D ．8二、填空题（每题4分，共24分）13．若关于x 的方程kx 2+2x ﹣1=0有实数根，则k 的取值范围是_____．14．已知x-2y=3，试求9-4x+8y=_______15．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，若cosA=35,则BC 的长为________.16．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB ，点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40 m ，点C 是AB 的中点，且CD ＝10 m ，则这段弯路所在圆的半径为__________m ．17．如图，在菱形ABCD 中，边长为10，60A ∠=︒．顺次连结菱形ABCD 各边中点，可得四边形1111D C B A ；顺次连结四边形1111D C B A 各边中点，可得四边形2222A B C D ；顺次连结四边形2222A B C D 各边中点，可得四边形3333A B C D ；按此规律继续下去…．则四边形2019201920192019A B C D 的周长是_________．18．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的点，弧AD=弧CD ．若∠CAB ＝40°，则∠CAD ＝_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax ax c =++（其中a 、c 为常数，且0a <）与x 轴交于点A ，它的坐标是()3,0-，与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的距离为4.（1）求抛物线的表达式；（2）求CAB ∠的正切值；（3）如果点P 是抛物线上的一点，且ABP CAO ∠=∠，试直接写出点P 的坐标.20．（8分）在平面直角坐标系中，点O （0，0），点A （﹣3，0）．已知抛物线y ＝﹣x 2+2mx+3（m 为常数），顶点为P ． （1）当抛物线经过点A 时，顶点P 的坐标为 ；（2）在（1）的条件下，此抛物线与x 轴的另一个交点为点B ，与y 轴交于点C ．点Q 为直线AC 上方抛物线上一动点．①如图1，连接QA 、QC ，求△QAC 的面积最大值；②如图2，若∠CBQ ＝45°，请求出此时点Q 坐标．21．（8分）已知：如图，AB 为⊙O 的直径，OD ∥AC ．求证：点D 平分BC ．22．（10分）如图，已知ABC ∆的三个顶点坐标为()2,3A -，()6,0B -，()1,0C -.（1）将ABC ∆绕坐标原点O 旋转180︒，画出旋转后的A B C '''∆，并写出点A 的对应点A '的坐标 ； （2）将ABC ∆绕坐标原点O 逆时针旋转90︒，直接写出点A 的对应点Q 的坐标 ；（3）请直接写出：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标 .23．（10分）如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，CD 切⊙O 于点C ，AE ⊥CD 于点E（1）求证：AC 平分∠DAE ；（2）若AB ＝6，BD ＝2，求CE 的长．24．（10分）某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB 长为10m ，坡角∠ABD ＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB ＝9°，请计算改造后的斜坡AC 的长度，（结果精确到0.01（sin9°≈0.156，cos9°≈0.988，tan9°≈0.158）25．（12分）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于(0，94)，点A坐标为(－1，2)，点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点F为线段AC上一动点，过点F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为点E，G，当四边形OEFG为正方形时，求出点F的坐标；（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．26．如图，△ABC的三个顶点和点O都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1．（1）将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画出△A2B2C2，使△A2B2C2和△ABC关于点O成中心对称．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】作辅助线，连接OA ，根据垂径定理得出AE=BE=4，设圆的半径为r ，再利用勾股定理求解即可.【详解】解：如图，连接OA ，设圆的半径为r ，则OE=r-2，∵弦AB CD ⊥,∴AE=BE=4，由勾股定理得出：()22242r r =+-，解得：r=5，故答案为：A.【点睛】本题考查的知识点主要是垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断或解答.2、C【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．【详解】解：A 、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件．B 、掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件．C 、任意画一个五边形，其内角和是540°，是必然事件．D 、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件．故选：C ．【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3、A【解析】本题的等量关系是：木长 4.5+=绳长，12⨯绳长1+=木长，据此可列方程组即可. 【详解】设木条长为x 尺，绳子长为y 尺，根据题意可得：4.5112x y y x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩. 故选：A .【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组.4、A【解析】把x =1代入方程x 2+mx ﹣2=0得到关于m 的一元一次方程，解之即可．【详解】把x =1代入方程x 2+mx ﹣2=0得：1+m ﹣2=0，解得：m =1．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．5、A【分析】根据待定系数法求解即可．【详解】解：设函数的解析式是y ＝kx ，根据题意得：2k ＝﹣3，解得：k ＝﹣32． 故函数的解析式是：y ＝﹣32x ． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用待定系数法求正比例函数的解析式，属于基础题型，熟练掌握待定系数法求解的方法是解题关键． 6、C【分析】由矩形的性质得到：,OA OB =设,BE x = 利用勾股定理建立方程求解x 即可得到答案． 【详解】解： 矩形ABCD ， ,OA OB ∴=2,EO BE =设,BE x =则2,3,OE x OA OB x ===⊥，AE BD222∴=+(3)(2)5,x x2x∴=525,∴==x x∴=OA故选C．【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．7、A【分析】利用勾股定理可求出AC的长，根据坡比的定义即可得答案.【详解】∵AB=3，BC=1，∠ACB=90°，∴=∴斜坡AB坡比为BC：AC=1：：4，故选：A.【点睛】本题考查坡比的定义，坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比；熟练掌握坡比的定义是解题关键.8、A【分析】根据圆的相关知识和性质对每个选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；故①错误；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；故②错误；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧；故③错误；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；故④错误；在同圆或等圆中，圆周角越大所对的弧越长；故⑤错误；等弧所对的圆心角相等；故⑥正确；∴说法正确的有1个；故选：A.【点睛】本题考查了弧，弦，圆心角，圆周角定理，要求学生对基本的概念定理有透彻的理解，解题的关键是熟练掌握所学性质定理.9、C【分析】先证明AG =GD ，得到GE 为△ADC 的中位线，由三角形的中位线可得GE 12=DC 12=BD ；由EG ∥BC ，可证△GEF ∽△BDF ，由相似三角形的性质，可得12GF GE FD BD ==；设GF =x ，用含x 的式子分别表示出AG 和AF ，则可求得答案．【详解】∵E 为AC 中点，EG ∥BC ，∴AG =GD ，∴GE 为△ADC 的中位线，∴GE 12=DC 12=BD ． ∵EG ∥BC ，∴△GEF ∽△BDF ， ∴12GF GE FD BD ==， ∴FD =2GF ．设GF =x ，则FD =2x ，AG =GD =GF +FD =x +2x =3x ，AF =AG +GF =3x +x =4x ， ∴3344AG x AF x ==． 故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理及性质，是解答本题的关键． 10、A【解析】试题分析：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于1，则正六边形的边长是1．故选A ．考点：正多边形和圆．11、C【解析】根据表格的数据，描点连线得，根据函数图像，得：抛物线开口向下；抛物线与y 轴交于正半轴；当x=3时，y ＜0 ；方程20ax bx c ++=有两个相等实数根.故选C.12、C【详解】∵直径AB 垂直于弦CD ，∴CE=DE=12CD ， ∵∠A=22.5°，∴∠BOC=45°，∴OE=CE ，设OE=CE=x ，∵OC=4，∴x 2+x 2=16，解得：2，即：2∴2，故选C ．二、填空题（每题4分，共24分）13、k≥-1【解析】首先讨论当0k =时，方程是一元一次方程，有实数根，当0k ≠时，利用根的判别式△=b 2-4ac=4+4k≥0，两者结合得出答案即可．【详解】当0k =时，方程是一元一次方程：210x -=，1,2x =方程有实数根； 当0k ≠时，方程是一元二次方程，24440b ac k =-=+≥，解得：1k ≥-且0k ≠.综上所述，关于x 的方程2210kx x +-=有实数根，则k 的取值范围是1k ≥-.故答案为 1.k ≥-【点睛】考查一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想在解题中的应用，不要忽略0k =这种情况.14、-3【分析】将代数式变形为9-4（x-2y ），再代入已知值可得．【详解】因为x-2y=3，所以9-4x+8y=9-4（x-2y ）=9-4×3=-3 故答案为：-3【点睛】考核知识点：求整式的值．利用整体代入法是解题的关键．15、1【分析】由题意先根据∠C=90°，AC=3，cos ∠A=35，得到AB 的长，再根据勾股定理，即可得到BC 的长． 【详解】解：∵△ABC 中，∠C=90°，AC=3，cos ∠A=35， ∴335AB =， ∴AB=5，∴故此空填1．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，以此并结合勾股定理分析求解．16、25m【分析】根据垂径定理可得△BOD 为直角三角形，且BD=12AB ，之后利用勾股定理进一步求解即可. 【详解】∵点C 是AB 的中点，∴OC 平分AB ，∴∠BOD=90°，BD=12AB=20m ， 设OB=x ，则：OD=(x-10)m ，∴()2221020x x =-+，解得：25x =，∴OB=25m ，故答案为：25m.【点睛】本题主要考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.17、20185532+ 【分析】根据菱形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长，得出规律求出即可．【详解】∵菱形ABCD 中，边长为10，∠A=60°，设菱形对角线交于点O ，∴30DAO ∠=︒，∴152OD AD ==，353AO OD ==， ∴10BD =，103AC =，顺次连结菱形ABCD 各边中点，∴△AA 1D 1是等边三角形，四边形A 2B 2C 2D 2是菱形，∴A 1D 1=A A 1=12AB =5，C 1D 1 =123，A 2B 2=C 2D 2=C 2B 2=A 2D 2=12AB=5， ∴四边形A 2B 2C 2D 2的周长是：5×4=20， 同理可得出：A 3D 3=5×12，C 3D 3=12C 1D 1=12⨯3 A 5D 5=5212⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，C 5D 5=12C 3D 3=212⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭3∴四边形A 2019B 2019C 2019D 2019553+故答案为：20185532+ 【点睛】 本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质和中点四边形的性质等知识，根据已知得出边长变化规律是解题关键．18、25°【分析】先求出∠ABC ＝50°，进而判断出∠ABD ＝∠CBD ＝25°，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论．【详解】解：如图，连接BC ，BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠CAB ＝40°，∴∠ABC ＝50°，∵弧AD=弧CD∴∠ABD ＝∠CBD ＝12∠ABC ＝25°， ∴∠CAD ＝∠CBD ＝25°．故答案为：25°．【点睛】本题考查的是圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，解本题的关键是作出辅助线.三、解答题（共78分）19、（1）223y x x =--+；（2）13；（2）点P 的坐标是()1,0或532,39⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点C 的坐标，设抛物线的解析式为y=a （x+1）2+4，将点（-2，0）代入求得a 的值即可；（2）先求得A 、B 、C 的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC 、AB 、AC 的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；（2）记抛物线与x 轴的另一个交点为D ．先求得D （1，0），然后再证明∠DBO=∠CAB ，从而可证明∠CAO=ABD ，故此当点P 与点D 重合时，∠ABP=∠CAO ；当点P 在AB 的上时．过点P 作PE ∥AO ，过点B 作BF ∥AO ，则PE ∥BF ．先证明∠EPB=∠CAB ，则tan ∠EPB=13，设BE=t ，则PE=2t ，P （-2t ，2+t ），将P （-2t ，2+t ）代入抛物线的解析式可求得t 的值，从而可得到点P 的坐标． 【详解】解：（1）抛物线的对称轴为x=-22a a =-1． ∵a ＜0，∴抛物线开口向下．又∵抛物线与x 轴有交点，∴C 在x 轴的上方，∴抛物线的顶点坐标为（-1，4）．设抛物线的解析式为y=a （x+1）2+4，将点（-2，0）代入得：4a+4=0，解得：a=-1，∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+2．（2）将x=0代入抛物线的解析式得：y=2，∴B （0，2）．∵C （-1，4）、B （0，2）、A （-2，0），∴BC=2，AB=22，AC=25，∴BC 2+AB 2=AC 2，∴∠ABC=90°．∴1tan 3BC CAB AB ∠==． 即CAB ∠的正切值等于13. （2）如图1所示：记抛物线与x 轴的另一个交点为D ．∵点D 与点A 关于x=-1对称，∴D （1，0）．∴tan ∠DBO=13． 又∵由（2）可知：tan ∠CAB=13．∴∠DBO=∠CAB．又∵OB=OA=2，∴∠BAO=∠ABO．∴∠CAO=∠ABD．∴当点P与点D重合时，∠ABP=∠CAO，∴P（1，0）．如图2所示：当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．∵BF∥AO，∴∠BAO=∠FBA．又∵∠CAO=∠ABP，∴∠PBF=∠CAB．又∵PE∥BF，∴∠EPB=∠PBF，∴∠EPB=∠CAB．∴tan∠EPB=1 3 .设BE=t，则PE=2t，P（-2t，2+t）．将P（-2t，2+t）代入抛物线的解析式得：y=-x2-2x+2得：-9t2+6t+2=2+t，解得t=0（舍去）或t=59．∴P（-53，329）．综上所述，点P的坐标为P（1，0）或P（-53，329）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含t的式子表示点P的坐标是解题的关键．20、（1）（﹣1，4）；（2）①278；②Q（﹣52，74）．【分析】（1）将点A 坐标代入抛物线表达式并解得：m=-1，即可求解；（2）①过点Q 作y 轴的平行线交AC 于点N ，先求出直线AC 的解析式，点Q(x ，﹣x 2﹣2x+3)，则点N(x ，x+3)，则△QAC 的面积S=12×QN×OA=﹣32x 2﹣92x ，然后根据二次函数的性质即可求解； ②tan ∠OCB=OB CO ＝13，设HM=BM=x ，则CM=3x ，BC=BM+CM=4x=10，解得：x=104，CH=10x=52，则点H(0，12)，同理可得：直线BH(Q)的表达式为：y=-12x+12，即可求解． 【详解】解：（1）将点A(﹣3，0)代入抛物线表达式并解得，0＝﹣9-6m+3∴m ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3=-(x+1)2+4…①，∴点P(﹣1，4)，故答案为：(﹣1，4)；（2）①过点Q 作y 轴的平行线交AC 于点N ，如图1，设直线AC 的解析式为y=kx+b ，将点A(﹣3，0)、C(0，3)的坐标代入一次函数表达式并解得，303k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得13k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的表达式为：y ＝x+3，设点Q(x ，﹣x 2﹣2x+3)，则点N （x ，x+3），△QAC 的面积S ＝12⨯QN×OA ＝12⨯(﹣x 2﹣2x+3﹣x ﹣3)×3＝﹣32x 2﹣92x ，∵﹣32＜0，故S有最大值为：278；②如图2，设直线BQ交y轴于点H，过点H作HM⊥BC于点M，tan∠OCB＝OBCO＝13，设HM＝BM＝x，则CM＝3x，BC＝BM+CM＝4x10，解得：x10CH10＝52，则点H(0，12)，同直线AC的表达式的求法可得直线BH（Q）的表达式为：y＝﹣12x+12…②，联立①②并解得：﹣x2﹣2x+3=﹣12x+12，解得x＝1（舍去）或﹣52，故点Q(﹣52，74)．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的图像与性质，锐角三角函数的定义，以及数形结合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．21、见解析.【分析】连接BC，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出OD⊥BC，根据垂径定理求出即可．【详解】证明：连接CB，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵OD ∥AC ，∴∠OEB ＝∠ACB ＝90°，即OD ⊥BC ，∵OD 过O ，∴点D 平分BC ．【点睛】本题考查了圆周角定理和垂径定理，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．22、（1）()2,3-；（2）()3,2--；（3）()7,3-或()5,3--或()3,3.【解析】（1）根据题意作出图形，即可根据直角坐标系求出坐标；（2）根据题意作出图形，即可根据直角坐标系求出坐标；（3）根据平行四边形的性质作出图形即可写出.【详解】解：（1）旋转后的A B C '''∆图形如图所示，点A 的对应点Q 的坐标为：()2,3-；（2）如图点A 的对应点A ''的坐标()3,2--；（3）如图以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为：()7,3-或()5,3--或()3,3【点睛】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知图形的旋转作图及平行四边形的性质.23、（1）见解析；（2）【解析】（1）连接OC．只要证明AE∥OC即可解决问题；（2）根据角平分线的性质定理可知CE=CF，利用面积法求出CF即可；【详解】（1）证明：连接O C．∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∵∠AEC＝90°，∴∠OCD＝∠AEC，∴AE∥OC，∴∠EAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAE．（2）作CF⊥AB于F．在Rt△OCD中，∵OC＝3，OD＝5，∴CD＝4，∵•OC•CD＝•OD•CF，∴CF＝，∵AC平分∠DAE，CE⊥AE，CF⊥AD，∴CE＝CF＝．【点睛】本题主要考查平行线的判定、角平分线的性质，熟练掌握这些知识点是解答的关键.24、32.05米【分析】先在Rt△ABD中，用三角函数求出AD，最后在Rt△ACD中用三角函数即可得出结论．【详解】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，∴AD＝ABsin∠ABD＝10×sin30°＝5（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝9°，sin9°＝AD AC，∴AC＝5sin9＝50.156≈32.05（m），答：改造后的斜坡AC的长度为32.05米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练利用锐角三角函数关系得出是解题关键．25、（1）y=﹣x2+；（2）（1，1）；（3）当△DMN是等腰三角形时，t的值为，3﹣或1．【解析】试题分析：（1）易得抛物线的顶点为（0，），然后只需运用待定系数法，就可求出抛物线的函数关系表达式；（2）①当点F在第一象限时，如图1，可求出点C的坐标，直线AC的解析式，设正方形OEFG的边长为p，则F （p，p），代入直线AC的解析式，就可求出点F的坐标；②当点F在第二象限时，同理可求出点F的坐标，此时点F不在线段AC上，故舍去；（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，由题可得0≤t≤2．然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2，分三种情况（①DN=DM，②ND=NM，③MN=MD）讨论就可解决问题．试题解析：（1）∵点B是点A关于y轴的对称点，∴抛物线的对称轴为y轴，∴抛物线的顶点为（0，），故抛物线的解析式可设为y=ax2+．∵A（﹣1，2）在抛物线y=ax2+上，∴a+=2，解得a=﹣，∴抛物线的函数关系表达式为y=﹣x2+；（2）①当点F在第一象限时，如图1，令y=0得，﹣x2+=0，解得：x1=3，x2=﹣3，∴点C的坐标为（3，0）．设直线AC的解析式为y=mx+n，则有，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x+．设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p）．∵点F（p，p）在直线y=﹣x+上，∴﹣p+=p，解得p=1，∴点F的坐标为（1，1）．②当点F在第二象限时，同理可得：点F的坐标为（﹣3，3），此时点F不在线段AC上，故舍去．综上所述：点F的坐标为（1，1）；（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，则OD=t，OE=t+1．∵点E和点C重合时停止运动，∴0≤t≤2．当x=t时，y=﹣t+，则N（t，﹣t+），DN=﹣t+．当x=t+1时，y=﹣（t+1）+=﹣t+1，则M（t+1，﹣t+1），ME=﹣t+1．在Rt△DEM中，DM2=12+（﹣t+1）2=t2﹣t+2．在Rt△NHM中，MH=1，NH=（﹣t+）﹣（﹣t+1）=，∴MN2=12+（）2=．①当DN=DM时，（﹣t+）2=t2﹣t+2，解得t=；②当ND=NM时，﹣t+=，解得t=3﹣；③当MN=MD时，=t2﹣t+2，解得t1=1，t2=3．∵0≤t≤2，∴t=1．综上所述：当△DMN是等腰三角形时，t的值为，3﹣或1．考点：二次函数综合题.26、解：（1）所画△A1B1C1如图所示．（2）所画△A2B2C2如图所示．【分析】（1）图形的整体平移就是点的平移，找到图形中几个关键的点，也就是A,B,C点，依次的依照题目的要求平移得到对应的点，然后连接得到的点从而得到对应的图形；（2）在已知对称中心的前提下找到对应的对称图形，关键还是找点的对称点，找法是连接点与对称中心O点并延长相等的距离即为对称点的位置，最后将对称点依次连接得到关于O点成中心对称的图形。
2022-2023学年广东省深圳市龙岗区龙城初级中学九年级(上)期末数学试卷-学生版
2022-2023学年广东省深圳市龙岗区龙城初级中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，共30分）1．（3分）一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，点D、E分别是△ABC上AB、AC边上的中点，△ADE为阴影部分．现有一小孩向其投一小石子且已投中，则石子落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．3．（3分）已知关于x的方程x2﹣6x+m﹣1＝0没有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜10B．m＝10C．m＞10D．m≥104．（3分）关于反比例函数，点（a，b）在它的图象上，下列说法中错误的是（）A．当x＜0时，y随x的增大而增大B．图象位于第二、四象限C．点（b，a）和（﹣b，﹣a）都在该图象上D．当x＜﹣1时，y＜25．（3分）下列命题是真命题的是（）A．四边相等的四边形是正方形B．物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的C．如果2a＝3b，则D．有一个角为120°的两个等腰三角形相似6．（3分）如图，把一根长为4.5m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1m处离地面的高度为0.6m，则石坝的高度为（）A．2.7m B．3.6m C．2.8m D．2.1m7．（3分）在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A．B．C．D．8．（3分）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为（）A．（）3B．（）7C．（）6D．（）69．（3分）定义新运算：a※b＝，例如：4※5＝，4※（﹣5）＝．那么函数y＝2※x（x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，反比例函数图象经过正方形OABC的顶点A，BC边与y 轴交于点D，若正方形OABC的面积为12，BD＝2CD，则k的值为（）A．3B．C．D．二.填空题（共5小题，共15分）11．（3分）已知正方形ABCD的对角线长为6cm，则正方形ABCD的面积为cm2．12．（3分）规定：在实数范围内定义一种运算“◎”，其规则为a◎b＝a（a+b），方程（x ﹣2）◎7＝0的根为．13．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，点D是AB的中点，连接CD，将△BCD沿射线CA方向平移，在此过程中，△BCD的边CD与Rt△ABC的边AB、AC 分别交于点E、F，当△AEF的面积是Rt△ABC面积的时，则△BCD平移的距离是．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，若∠BEC＝45°且AE＝4，ED＝2，则AB的长为．三.解答题（共7题，共55分）16．（8分）（1）计算：；（2）解方程：2y2+4y＝y+2．17．（7分）我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：（1）本次被调查的学生有名；补全条形统计图；（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是；（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．18．（6分）由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上．（1）在图1中，PC：PB＝；（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图2，在AB上找点P，使得AP：PB＝1：3；②如图3，在BC上找点P，使得△APB∽△DPC．19．（8分）如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长．20．（7分）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每周可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨1元，每周少卖出10件，每周销量不少于240件．（1）每件售价最高为多少元？（2）实际销售时，为尽快减少库存，每件在最高售价的基础上降价销售，每降1元，每周销量比最低销量240件多卖20件，要使利润达到6500元，则每件应降价多少元？21．（10分）小华同学学习函数知识后，对函数通过列表﹣描点﹣连线，画出了如图所示的图象．x……﹣4﹣3﹣2﹣1﹣﹣﹣01234……y……1241a0﹣4b﹣﹣1……请根据图象解答：（1）【观察发现】①完成描点，把图象补充完整；②表格中：a＝，b＝③写出函数的一条性质：；④若函数图象上的两点（x1，y1），（x2，y2）满足x1+x2＝0，则y1+y2＝0．（填“对或错”）（2）【延伸探究】如图2，将过A（−1，4），B（4，−1）两点的直线向下平移n（n≥0）个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点P，连接P A，PB．①求当n＝3时，直线l的解析式和△P AB的面积；②直接用含n的代数式表示△P AB的面积．22．（9分）【问题发现】数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：请你帮助解决（1）若四边形ABCD是菱形，边长为2，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，如图1，连接CE、DE，则BP与CE的数量关系为，DE长度的最小值为．【类比探究】数学小组对该问题进一步探究，请你帮助解决：（2）如图2，若四边形ABCD是正方形，边长为2，点O为BD中点，点P是射线BD 上一动点，以AP为斜边在AP边的右侧作等腰Rt△APE，∠AEP＝90°，连接OE、DE．求：①BP与OE的数量关系；②求DE长度的最小值．【拓展应用】（3）如图3，在（2）的基础上，当P是对角线BD的延长线上一动点时，以AP为直角边在AP边的右侧作等腰Rt△APE，∠APE＝90°，连接BE，若AB＝2，BE＝6，求△BPE的面积．。
2022-2023学年广东省深圳市龙岗区数学九上期末学业水平测试试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．下列事件为必然事件的是（）A．打开电视机，它正在播广告B．a取任一个实数，代数式a2+1的值都大于0C．明天太阳从西方升起D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上2．一组数据-3，2，2，0，2，1的众数是（）A．-3 B．2 C．0 D．13．随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m+8，n），则n＝（）A．0 B．3 C．16 D．95．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠ADE＝110°，则∠B＝（）A．80°B．100°C．110°D．120°6．小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A．12B．18C．38D．147．已知12a b =，则a b b +的值是（ ） A ．32 B ．23 C ．12 D ．12- 8．如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB ＝1.3cm ，当BC ＝2.6m 时，点B 离地面的距离BE ＝1m ，则此时点A 离地面的距离是（ ）A ．2.2mB ．2mC ．1.8mD ．1.6m9．圆的直径是13cm ，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm ，那么该直线和圆的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．相交或相切10．如图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC ∆的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin BAC ∠的值为（ ）A ．43B ．34C ．35D ．4511．我们知道：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直，如图，已知直线l 和l 外一点A ，用直尺和圆规作图作直线AB ，使AB ⊥l 于点A ．下列四个作图中，作法错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，下列条件中，能判定ACD ABC △∽△的是（ ）A ．BAC ABC ∠=∠B ．BAC ADC ∠=∠ C ．AD CD AC BC = D ．AC AD AB AC = 二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，AD 与BC 相交于点O ，如果13AO DO =，那么当BO CO的值是_____时，AB ∥CD ．14．如图，将二次函数y ＝12(x －2)2＋1的图像沿y 轴向上平移得到一条新的二次函数图像，其中A (1，m )，B (4，n )平移后对应点分别是A′、B′，若曲线AB 所扫过的面积为12(图中阴影部分)，则新的二次函数对应的函数表达是__________________．15．一元二次方程x （x ﹣3）=3﹣x 的根是____．16．如图，四边形OABF 中，90OAB B ∠=∠=︒，点A 在x 轴上，双曲线k y x=过点F ，交AB 于点E ，连接EF ．若23BF OA =，6BEF S ∆=，则k 的值为__．17．已知方程x 2﹣3x ﹣5=0的两根为x 1，x 2，则x 12+x 22=_________．18．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，∠B=45°，DE ⊥AC 于E 交AB 于F ，若BC=2CD ，AE=2，则线段BF=______.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B ，C ，D 的坐标分别(1,0)，(3,0)，(3,4)，以A 为顶点的抛物线2y ax bx c =++过点C ．动点P 从点A 出发，以每秒12个单位的速度沿线段AD 向点D 匀速运动，过点P 作PE x ⊥轴，交对角线AC 于点N ．设点P 运动的时间为t （秒）．（1）求抛物线的解析式；（2）若PN 分ACD 的面积为1:2的两部分，求t 的值；（3）若动点P 从A 出发的同时，点Q 从C 出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD 向点D 匀速运动，点H 为线段PE 上一点．若以C ，Q ，N ，H 为顶点的四边形为菱形，求t 的值．20．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB 于E ，连结AC 、OC 、BC ．求证：∠ACO=∠BCD ．21．（8分）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax ax c =++（其中a 、c 为常数，且0a <）与x 轴交于点A ，它的坐标是()3,0-，与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的距离为4.（1）求抛物线的表达式；（2）求CAB ∠的正切值；（3）如果点P 是抛物线上的一点，且ABP CAO ∠=∠，试直接写出点P 的坐标.22．（10分）金牛区某学校开展“数学走进生活”的活动课，本次任务是测量大楼AB 的高度.如图，小组成员选择在大楼AB 前的空地上的点C 处将无人机垂直升至空中D 处，在D 处测得楼AB 的顶部A 处的仰角为42︒，测得楼AB 的底部B 处的俯角为30︒.已知D 处距地面高度为12 m ，则这个小组测得大楼AB 的高度是多少？（结果保留整数.参考数据：tan 420.90︒≈，tan 48 1.11︒≈，3 1.73≈）23．（10分）如图，抛物线x 与轴交于()()A 1,0B 3,0-、两点，与y 轴交于点()0,3C-，设抛物线的顶点为点D ．（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标．（2）试判断BCD ∆的形状，并说明理由． （3）坐标轴上是否存在点P ，使得以P A C 、、为顶点的三角形与BCD ∆相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．24．（10分）综合与探究如图，已知抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ，顶点为D . (1)求抛物线的解析式及点D 坐标；(2)在直线l 上是否存在一点M ，使点M 到点B 的距离与到点C 的距离之和最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.(3)在x 轴上取一动点(,0)P m ，3<1m -<-，过点P 作x 轴的垂线，分别交抛物线，AD ，AC 于点E ，F ，G . ①判断线段FP 与FG 的数量关系，并说明理由②连接EA ，ED ，CD ，当m 为何值时，四边形AEDC 的面积最大？最大值为多少？25．（12分）已知在平面直角坐标系中,一次函数y ＝x+b 的图象与反比例函数y ＝k x的图象交于点A (1,m )和点B (－2,－1).（1）求k ,b 的值；（2）连结OA ,OB ,求△AOB 的面积.26．对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境，为了检查垃圾分类的落实情况，A B C D四个小区进行检查，并且每个某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的,,,小区不重复检查.请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率.参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】由题意直接根据事件发生的可能性大小进行判断即可．【详解】解：A、打开电视机，它正在播广告是随机事件；B、∵a2≥0，∴a2+1≥1，∴a取任一个实数，代数式a2+1的值都大于0是必然事件；C、明天太阳从西方升起是不可能事件；D、抛掷一枚硬币，一定正面朝上是随机事件；故选：B．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．注意掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2、B【解析】一组数据中出现次数最多的数据是众数，根据众数的定义进行求解即可得.【详解】数据-3，2，2，0，2，1中，2出现了3次，出现次数最多，其余的都出现了1次，所以这组数据的众数是2，故选B.【点睛】本题考查了众数的定义，熟练掌握众数的定义是解题的关键.3、B【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此依次判断即可.【详解】∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，∴A、C、D不符合，不是中心对称图形，B选项为中心对称图形.故选：B.【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解题关键.4、C【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是x＝m+1．故设抛物线解析式为y＝（x+m+1）2，直接将A（m，n）代入，通过解方程来求n的值．【详解】∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（m，n），B（m+8，n），∴对称轴是x＝82m m++＝m+1．又∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴设抛物线解析式为y＝（x﹣m﹣1）2，把A（m，n）代入，得n＝（m﹣m+1）2＝2，即n＝2．故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．5、C【分析】直接利用圆内接四边形的性质分析得出答案．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，∠ADE＝110°，∴∠B＝∠ADE＝110°．故选：C．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质. 熟练掌握圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；.圆内接四边形的外角等于它的内对角是解题的关键.6、B【分析】画出树状图，根据概率公式即可求得结果.【详解】画树状图，得∴共有8种情况，经过每个路口都是绿灯的有一种，∴实际这样的机会是18．故选：B．【点睛】本题考查随机事件的概率计算，关键是要熟练应用树状图，属基础题.7、A【解析】设a=k,b=2k,则233222a b k k kb k k++=== .故选A.8、A【分析】先根据勾股定理求出CE，再利用相似三角形的判定与性质进而求出DF、AF的长即可得出AD的长．【详解】解：由题意可得：AD∥EB，则∠CFD＝∠AFB＝∠CBE，△CDF∽△CEB，∵∠ABF＝∠CEB＝90°，∠AFB＝∠CBE，∴△CBE∽△AFB，∴BEFB＝BCAF＝ECAB，∵BC＝2.6m，BE＝1m，∴EC＝2.4（m），即1FB＝2.6AF＝2.41.3，解得：FB＝1324，AF＝169120，∵△CDF∽△CEB，∴DFEB＝CFCB，即132.624 1 2.6 DF-=解得：DF ＝1924， 故AD ＝AF+DF ＝1924+169120＝2.2（m ）， 答：此时点A 离地面的距离为2.2m ．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质，利用勾股定理，正确利用相似三角形的性质得出FD 的长是解题的关键．9、D【分析】比较圆心到直线距离与圆半径的大小关系，进行判断即可.【详解】圆的直径是13cm ，故半径为6.5cm. 圆心与直线上某一点的距离是6.5cm ，那么圆心到直线的距离可能等于6.5cm 也可能小于6.5cm ，因此直线与圆相切或相交.故选D.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，需注意圆的半径为6.5cm ，那么圆心与直线上某一点的距离是6.5cm 是指圆心到直线的距离可能等于6.5cm 也可能小于6.5cm.10、D【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，首先根据勾股定理求出AC ，然后在Rt ACD ∆中即可求出sin BAC ∠的值．【详解】如图，过C 作CD AB ⊥于D ，则=90ADC ∠︒，∴AC ＝222234=+=+AC AD CD 1．∴4sin 5CD BAC AC ∠==． 故选D ．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．11、C【分析】根据垂线的作法即可判断．【详解】观察作图过程可知：A ．作法正确，不符合题意；B ．作法正确，不符合题意；C ．作法错误，符号题意；D ．作法正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了作图-复杂作图、垂线，解决本题的关键是掌握作垂线的方法．12、D【分析】根据相似三角形的各个判定定理逐一分析即可．【详解】解：∵∠A=∠A若BAC ABC ∠=∠，不是对应角，不能判定ACD ABC △∽△，故A 选项不符合题意；若BAC ADC ∠=∠，不是对应角，不能判定ACD ABC △∽△，故B 选项不符合题意； 若AD CD AC BC=，但∠A 不是两组对应边的夹角，不能判定ACD ABC △∽△，故C 选项不符合题意； 若AC AD AB AC=，根据有两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似可得ACD ABC △∽△，故D 选项符合题意．故选D ．【点睛】此题考查的是使两个三角形相似所添加的条件，掌握相似三角形的各个判定定理是解决此题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、13【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，据此可得结论. 【详解】13AO DO =， ∴当13BO CO =时，AO BO DO CO=，//AB CD . 故答案为13. 【点睛】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 14、y=0.2(x-2)2+2【解析】解：∵函数y =12（x ﹣2）2+1的图象过点A （1，m ），B （4，n ），∴m =12（1﹣2）2+1=112，n =12（4﹣2）2+1=1，∴A （1，112），B （4，1），过A 作AC ∥x 轴，交B ′B 的延长线于点C ，则C （4，112），∴AC =4﹣1=1．∵曲线段AB 扫过的面积为12（图中的阴影部分），∴AC •AA ′=1AA ′=12，∴AA ′=4，即将函数y =12（x ﹣2）2+1的图象沿y 轴向上平移4个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y =12（x ﹣2）2+2．故答案为y =0.2（x ﹣2）2+2．点睛：本题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA ′是解题的关键． 15、x 1=3，x 2=﹣1．【分析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可.【详解】x （x ﹣3）=3﹣x ，x （x ﹣3）-（3﹣x ）=0，（x ﹣3）（x+1）=0，∴x 1=3，x 2=﹣1，故答案为x 1=3，x 2=﹣1．16、1【分析】过点F 作FC ⊥x 轴于点C ，设点F 的坐标为（a ，b ），从而得出OC=a ，FC=b ，根据矩形的性质可得AB=FC=b ，BF=AC ，结合已知条件可得OA=3a ，BF=AC=2a ，根据点E 、F 都在反比例函数图象上可得EA=3b ，从而求出BE ，然后根据三角形的面积公式即可求出ab 的值，从而求出k 的值．【详解】解：过点F 作FC ⊥x 轴于点C ，设点F 的坐标为（a ，b ）∴OC=a ，FC=b∵90OAB B FCA ∠=∠=∠=︒∴四边形FCAB 是矩形∴AB=FC=b ， BF=AC ∵23BF OA = ∴23BF OA =,即AC 23OA = ∴OC=OA －AC 13OA ==a 解得：OA=3a ，BF=AC=2a∴点E 的横坐标为3a∵点E 、F 都在反比例函数的图象上∴3E k ab a y ==•∴点E 的纵坐标3E b y =，即EA=3b ∴BE=AB －EA=23b ∵6BEF S ∆= ∴162BE BF •= 即122623b a ⨯⨯= 解得：9ab =∴9k ab ==故答案为：1．【点睛】此题考查的是反比例函数与图形的面积问题，掌握矩形的判定及性质、反比例函数比例系数与图形的面积关系和三角形的面积公式是解决此题的关键．17、1．【解析】试题解析：∵方程2350x x --=的两根为12,x x ，12123,5x x x x ∴+==-，222121212()291019.x x x x x x ∴+=+-=+=故答案为1.点睛：一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别为12,.x x1212,.b c x x x x a a+=-=18【分析】连接BD ，延长BA ，CD 交于点G ，根据∠BAD=∠BCD=90°可得点A 、B 、C 、D 四点共圆，根据圆周角定理可得CBD CAD ∠=∠，根据DE ⊥AC 可证明△AED ∽△BCD ，可得112DE AE ==，利用勾股定理可求出AD 的长，由∠ABC=45°可得△ABG 为等腰直角三角形，进而可得△ADG 是等腰直角三角形，即可求出AG 、DG 的长，根据BC=2CD 可求出CD 、BC 、AB 的长，根据ADE FDA ∠=∠，90FAD AED ∠=∠=︒可证明△AED ∽△FAD ，根据相似三角形的性质可求出AF 的长，即可求出BF 的长.【详解】连接BD ，延长BA ，CD 交于点G ，∵90BAD BCD ∠=∠=︒，∴A B C D 、、、四点共圆，∴CBD CAD ∠=∠，∵DE AC ⊥，∴90AED BCD ∠=︒=∠，∴△AED ∽△BCD ，∴::2:1AE DE BC CD ==， ∴112DE AE ==，∴∵45,90ABC BCD ∠=︒∠=︒∴BCG ∆是等腰直角三角形，∵BC=2CD ，∴22BC CG CD DG ===∴CD=DG ，∵45,90G GAD ∠=︒∠=︒，∴ADG ∆是等腰直角三角形， ∴5,10AG AD DG ===，∴10,210,245CD BC BG BC ====， ∵ADE FDA ∠=∠，90FAD AED ∠=∠=︒，∴△AED ∽△FAD ，∴::2:1AF AD AE DE ==，∴225AF AD == ∴5BF BG AF AG =--=.【点睛】本题考查圆周角定理、勾股定理及相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.三、解答题（共78分）19、（1）2y x 2x 3=-++；（2）t 的值为33或63；（3）t 的值为2013或2085- 【分析】（1）运用待定系数法求解； （2）根据已知，证33AP =，APN ADC △∽△，可得23AP AP AD ==或223AP AP AD ==； （3）分两种情况：当CN 为菱形的对角线时：由点P ，N 的横坐标均为112t +，可得122CE t =-．求直线AC 的表达式为26y x =-+，再求N 的纵坐标，得4EN t =，根据菱形性质得CQ MH t CH ===，可得(4)42EH t t t =--=-．在Rt CHE △中，得22212(42)2t t t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．同理，当CN 为菱形的边时：由菱形CQNH性质可得，CQ CN t ==．由于12AP BE t ==，所以122CE t =-．结合三角函数可得122sin sin 5t BAC ENC t-∠=∠==. 【详解】解：（1）因为，矩形ABCD 的顶点B ，C ，D 的坐标分别(1,0)，(3,0)，(3,4)，所以A 的坐标是（1,4），可设函数解析式为：()214y a x =-+把(3,0)代入可得，a=-1所以()214y x =--+，即2y x 2x 3=-++．（2）因为PE ∥CD所以可得APN ADC △∽△．由PN 分ACD 的面积为1:2的两部分，可得:1:3APN ACD S S ∆∆=所以2AP AP AD ==，解得AP =． 所以，t的值为3÷12=3（秒）．或2AP AP AD ==，解得3AP =． 所以，t12=． 综上所述，t． （3）当CN 为菱形的对角线时：由点P ，N 的横坐标均为112t +，可得 122CE t =-． 设直线AC 的解析式为y kx b =+，把A,C 的坐标分别代入可得430k b k b +=⎧⎨+=⎩解得26k b =-⎧⎨=⎩所以直线AC 的表达式为26y x =-+．将点N 的横坐标112t +代入上式，得 121642y t t ⎛⎫=-++=- ⎪⎝⎭． 即4EN t =．由菱形CQNH 可得，CQ MH t CH ===．可得(4)42EH t t t =--=-．在Rt CHE △中，得22212(42)2t t t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 解得，12013t =，t 2=4（舍）． 当CN 为菱形的边时：由菱形CQNH 性质可得，CQ CN t ==．由于12AP BE t ==， 所以122CE t =-． 因为5sin 5BC BAC AC ∠==． 由BAC EMC ∠=∠，得1252sin sin 5t BAC ENC t-∠=∠==． 解得，2085t =-，综上所述，t 的值为2013或2085-．考核知识点：相似三角形，二次函数，三角函数.分类讨论，数形结合，运用菱形性质和相似三角形性质或三角函数定义构造方程，再求解是解题关键.20、证明见解析【分析】根据圆周角定理的推论即可求得.【详解】证明：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴BC BD =．∴∠A=∠1．又∵OA=OC ，∴∠1=∠A ．∴∠１＝∠1．即：∠ACO=∠BCD ．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论：在同圆或等圆中同弧或等弧所对圆周角相等.21、（1）223y x x =--+；（2）13；（2）点P 的坐标是()1,0或532,39⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点C 的坐标，设抛物线的解析式为y=a （x+1）2+4，将点（-2，0）代入求得a 的值即可；（2）先求得A 、B 、C 的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC 、AB 、AC 的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；（2）记抛物线与x 轴的另一个交点为D ．先求得D （1，0），然后再证明∠DBO=∠CAB ，从而可证明∠CAO=ABD ，故此当点P 与点D 重合时，∠ABP=∠CAO ；当点P 在AB 的上时．过点P 作PE ∥AO ，过点B 作BF ∥AO ，则PE ∥BF ．先证明∠EPB=∠CAB ，则tan ∠EPB=13，设BE=t ，则PE=2t ，P （-2t ，2+t ），将P （-2t ，2+t ）代入抛物线的解析式可求得t 的值，从而可得到点P 的坐标． 【详解】解：（1）抛物线的对称轴为x=-22a a =-1．∴抛物线开口向下．又∵抛物线与x 轴有交点，∴C 在x 轴的上方，∴抛物线的顶点坐标为（-1，4）．设抛物线的解析式为y=a （x+1）2+4，将点（-2，0）代入得：4a+4=0，解得：a=-1，∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+2．（2）将x=0代入抛物线的解析式得：y=2，∴B （0，2）．∵C （-1，4）、B （0，2）、A （-2，0），∴BC=2，AB=22，AC=25，∴BC 2+AB 2=AC 2， ∴∠ABC=90°．∴1tan 3BC CAB AB ∠==． 即CAB ∠的正切值等于13. （2）如图1所示：记抛物线与x 轴的另一个交点为D ．∵点D 与点A 关于x=-1对称，∴D （1，0）．∴tan ∠DBO=13． 又∵由（2）可知：tan ∠CAB=13． ∴∠DBO=∠CAB ．又∵OB=OA=2，∴∠BAO=∠ABO ．∴∠CAO=∠ABD ．∴当点P与点D重合时，∠ABP=∠CAO，∴P（1，0）．如图2所示：当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．∵BF∥AO，∴∠BAO=∠FBA．又∵∠CAO=∠ABP，∴∠PBF=∠CAB．又∵PE∥BF，∴∠EPB=∠PBF，∴∠EPB=∠CAB．∴tan∠EPB=1 3 .设BE=t，则PE=2t，P（-2t，2+t）．将P（-2t，2+t）代入抛物线的解析式得：y=-x2-2x+2得：-9t2+6t+2=2+t，解得t=0（舍去）或t=59．∴P（-53，329）．综上所述，点P的坐标为P（1，0）或P（-53，329）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含t的式子表示点P的坐标是解题的关键．22、这个小组测得大楼AB的高度是31 m.【分析】过点D作DE AB⊥于点E，本题涉及到两个直角三角形△BDE、△ADE，通过解这两个直角三角形求得DE、AE的长度，进而可解即可求出答案．【详解】过点D作DE AB⊥于点E，则12m BE CD ==，在Rt BDE 中，30BDE ︒∠=， ∵tan BE BDE DE ∠=，∴123an 303DE ︒==，∴123DE =. 在Rt ADE 中，42ADE ︒∠=，∵tan AE ADE DE∠=，tan 420.9123︒=≈， ∴1230.918.68m AE =≈， ∴18.681231m AB AE BE =+=+≈. 答：这个小组测得大楼AB 的高度是31 m. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题． 23、（1）223y x x =--，()1,4D -；（2）BCD ∆是直角三角形，理由见解析；（3）存在，()()12310,0,0,,9,03P P P ⎛⎫⎪⎝⎭．【分析】（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式，进而可用配方法或公式法求得顶点D 的坐标．（2）根据B 、C 、D 的坐标，可求得△BCD 三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可．（3）假设存在符合条件的P 点；首先连接AC ，根据A 、C 的坐标及（2）题所得△BDC 三边的比例关系，即可判断出点O 符合P 点的要求，因此以P 、A 、C 为顶点的三角形也必与△COA 相似，那么分别过A 、C 作线段AC 的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P 点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP 的长，也就得到了点P 的坐标．【详解】（1）设抛物线的解析式为2y ax bx c =++． 由抛物线与y 轴交于点()0,3C-，可知3c =-即抛物线的解析式为23y ax bx =+-把()()A 1,0B 3,0-、代入309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得1,2a b ==-∴抛物线的解析式为223y x x =-- ∴顶点D 的坐标为()1,4- （2）BCD ∆是直角三角形．过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F 在Rt BOC △中，3,3OB OC == ∴22218BC OB OC =+=在Rt CDF 中，1,431DF CF OF OC ==-=-= ∴2222CD DF CF =+=在Rt BDE 中，4,312DE BE OB OE ==-=-= ∴22220BD DE BE =+= ∴222BC CD BD += ∴BCD ∆是直角三角形．（3）连接AC ，根据两点的距离公式可得：CD BC BD ===222CD CB BD +=，可得Rt COA Rt BCD △∽△，得符合条件的点为()0,0O ．过A 作1AP AC ⊥交y 轴正半轴于1P ，可知1Rt CAP Rt COA Rt BCD △∽△∽△，求得符合条件的点为110,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭过C 作2CP AC ⊥交x 轴正半轴于2P ，可知2Rt P CA Rt COA Rt BCD △∽△∽△，求得符合条件的点为()29,0P ∴符合条件的点有三个：()()12310,0,0,,9,03P P P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了抛物线的综合问题，掌握抛物线的性质以及解法是解题的关键．24、 (1)223y x x =--+，点D 坐标为(1,4)-；(2)点M 的坐标为(1,2)-；(3)①2PF FG =；②当m 为-2时，四边形AEDC 的面积最大，最大值为4.【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线解析式，然后化为顶点式求出点D 的坐标即可；（2）利用轴对称-最短路径方法确定点M ，然后用待定系数法求出直线AC 的解析式，进而可求出点M 的坐标； （3）①先求出直线AD 的解析式，表示出点F 、G 、P 的坐标，进而表示出FG 和FP 的长度，然后即可判断出线段FP 与FG 的数量关系；②根据割补法分别求出△AED 和△ACD 的面积，然后根据AED ADC AEDC S S S ∆∆=+四边形列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解即可.【详解】解：(1)由抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于(3,0)A -，(1,0)B 两点得96020a c a c ++=⎧⎨-+=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩，故抛物线解析式为223y x x =--+， 由2223(1)4yx x x 得点D 坐标为(1,4)-；(2)在直线l 上存在一点M ，到点B 的距离与到点C 的距离之和最小. 根据抛物线对称性MA MB =， ∴MB MC MA MC +=+，∴使MB MC +的值最小的点M 应为直线AC 与对称轴:1l x =-的交点， 当0x =时，3y =，∴(0,3)C ，设直线AC 解析式为直线y kx b =+， 把(3,0)A -、(0,3)C 分别代入y kx b =+得303k b b -+=⎧⎨=⎩，解之得：13k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 解析式为3y x ，把1x =-代入3y x 得，2y =，∴2()1,M -，即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为(1,2)-； (3)①2PF FG =， 理由为：设直线AD 解析式为''y k x b =+，把(3,0)A -、(1,4)D -分别代入直线''y k x b =+得3''0''4k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解之得：'2'6k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AD 解析式为26y x =+， 则点F 的坐标为(,26)m m +， 同理G 的坐标为(,3)m m +，则(26)(3)3FG m m m =+-+=+，262(3)FP m m =+=+， ∴2FP FG =；②∵(3,0)A -，D (1,4)-，2()1,M -， ∴AO=3，DM=2， ∴S △ACD =S △ADM +S △CDM =1123322DM AO ⋅=⨯⨯=. 设点E 的坐标为2(,23)m m m --+，222(23)(26)43(2)1EF m m m m m m =--+-+=---=-++，∴AED AEF EFD S S S ∆∆∆=+11[((3)](1)22EF m EF m =⨯--+⨯-- 211(31)2(2)122EF m m EF EF m =⨯+--=⨯⨯==-++， ∴当m 为-2时，AED S ∆的最大值为1.∴22(2)13(2)4AED ADC AEDC S S S m m ∆∆=+=-+++=-++四边形， ∴当m 为-2时，四边形AEDC 的面积最大，最大值为4.【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一般式与顶点式的互化，轴对称最短的性质，坐标与图形的性质，三角形的面积公式，割补法求图形的面积，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解答本题的关键. 25、（1）k=2；b=1；（2）32【解析】（1）把B (－2,－1)分别代入ky x=和y x b =+即可求出k ,b 的值； （2）直线AB 与x 轴交于点C ，求出点C 的坐标，可得OC 的长，再求出点A 的坐标，然后根据AOB AOC BOC S S S =+△△△求解即可.【详解】解：（1）把B (－2,－1)代入ky x=,解得2k =, 把B (－2,－1)代入y x b =+,解得1b =. （2）如图,直线AB 与x 轴交于点C , 把y=0代入1y x =+，得 x=-1，则C 点坐标为(－1,0), ∴OC =1.把A (1,m )代入1y x =+得2m =, ∴A 点坐标为A (1,2) .1131211222AOB AOC BOC S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△.【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图形上点的坐标特征，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，以及三角形的面积公式，运用数形结合的思想是解答本题的关键. 26、112. 【分析】利用树状图得出所有可能的结果数和甲组抽到A 小区，同时乙组抽到C 小区的结果数，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A 小区，同时乙组抽到C 小区的结果数为1， ∴甲组抽到A 小区，同时乙组抽到C 小区的概率=112． 【点睛】本题考查了求两次事件的概率，属于常考题型，熟练掌握用树状图或列表法求解的方法是解题的关键．。
广东省深圳市龙岗区九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷题号 一二三四总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 分）1. 已知反比率函数y=- 12x 的图象上，那么以下各点中，在此图象上的是（ ）A. (3,4)B. (-2,6)C. (-2,-6)D. (-3,-4)2. 方程 x 2=3x 的解为（）A. x=3B.C. x1=0 ，x2=-3D. 3. 如图几何体的主视图是（）x=0x1=0 ， x2=3A. B. C. D.4. 某省 2013 年的快递业务量为 1.5 亿件，得益于电子商务发展和法治环境改良等多重要素，快递业务迅猛发展． 若 2015 年的快递业务量达到4.5 亿件．设 2014 年与 2013 年这两年的均匀增加率为x ，则以下方程正确的选项是（）A. B. C.D.5.在同一时辰，身高 1.6m 的小强， 在太阳光芒下影长是，旗杆的影长是 6m ，则旗杆高为（）A.B. 6mC. 8mD. 9m6. 一元二次方程2）x -x+1=0 的根的状况是（A. 无实数根B. 有两不等实数根C. 有两相等实数根D. 有一个实数根7.△ABC 与 △A ′B ′C ′是位似图形，且 △ABC 与 △A ′B ′C ′位似比是 1： 2，已知 △ABC 的面积是 10，则 △A ′B ′C ′的面积是（ ）A. 10B. 20C. 40D. 808. 按序连结一个四边形的各边中点， 获取了一个正方形， 则这个四边形最可能是 （）A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形9.如图，在 Rt △ABC 中， ∠C=90 °，D 是斜边 AB 上的中点，已 知 CD=2， AC=3，则 sinB 的值是（）A. 23B. 34C. 35D. 45A.B. 反比率函数y=kx(k ≠ 0)的图象的对称轴只有 1 条将二次函数y=x2 的图象向上平移 2 个单位，获取二次函数y=(x+2)2的图象C.两个正六边形必定相像D.菱形的对角线相互垂直且相等11.如图，点 O 是正方形 ABCD 对角线的交点，以 BO 为边结构菱形 BOEF 且 F 点在 AB 上，连结 AE，则tan∠EAD 的值为（）A.25B.22C.2-1D.2-212.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）图象的一部分，对称轴为直线 x=-1 ，经过点（ 1，0），且与 y 轴的交点在点（0， -2）与（ 0， -3）之间．下列判断中，正确的选项是（）A.b2<4acB.2a+b=0C.a-3b+c>0D.43<b<2二、填空题（本大题共 4 小题，共12.0 分）13.若 ab=35 ，则 a+bb 的值是 ______ ．14.一个不透明的盒子里装有 120 个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其余完整同样，每次摸球前先将盒子里的球摇匀随意摸出一个球记下颜包后再放回盒子，通过大批重复摸球试验后发现，摸到黄球的频次稳固在，那么预计盒子中红球的个数为 ______．15.如图，已知正比率函数y=kx（k≠0）和反比率函数y=mx（m≠0）的图象订交于点 A（-2，1）和点 B，则不等式 kx＜ mx 的解集是______．16.如图，在△ABC 中，AB=AC，tan∠ACB=2 ，D 在△ABC内部，且 AD=BD ，∠ADB=90°，连结 CD ，若 AB=2 5，则△BCD 的面积为 ______．三、计算题（本大题共 1 小题，共 5.0 分）17.计算：12 -2cos30 -tan60° +°（-1）2018．四、解答题（本大题共 6 小题，共47.0 分）18.从两副完整同样的扑克牌中，抽出两张黑桃 6 和两张黑桃10，现将这两四张扑克牌反面向上放在桌子上，并洗匀．（ 1）从中随机抽取一张扑克牌，是黑桃 6 的概率是多少？（2）请利用画树状或列表的方法，求从中随机抽取的两张扑克牌能成为一对的概率．19. 为加速城乡对接，建设全域漂亮农村，某地域对 A 、B 两地间的公路进行改建．如图，A、B 两地之间有一座山．汽车本来从 A 地到 B 地需门路 C 地沿折线 ACB 行驶，现开通地道后，汽车可直接沿直线 AB 行驶．已知 AC =20 千米，∠A=30°，∠B=45°．（ 1）开通地道前，汽车从 A 地到 B 地大概要走多少千米？（ 2）开通地道后，汽车从 A 地到 B 地大概能够少走多少千米？（结果精准到 1 千米）（参照数据： 2 ≈， 3≈）20.如图，已知反比率函数y=mx （ x＞ 0）的图象与一次函数y=kx+4 的图象交于 A 和 B（6， 1）两点．（1）求反比率函数与一次函数的分析式；21.某商铺经销一种销售成本为每千克40 元的水产品，规定试销时期销售单价不低于成本价．据试销发现，月销售量y（千克）与销售单价x（元）切合一次函数y=-10x+1000．若该商铺获取的月销售收益为W 元，请回答以下问题：（ 1）请写出月销售收益W 与销售单价x 之间的关系式（关系式化为一般式）；（ 2）在使顾客获取优惠的条件下，要使月销售收益达到8000 元，销售单价应定为多少元？（ 3）若赢利不得高于70%，那么销售单价定为多少元时，月销售收益达到最大？22.如图 1，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，B 点坐标是（8，4），将△AOC 沿对角线 AC 翻折得△ADC， AD 与 BC 订交于点 E．（1）求证：△CDE≌△ABE；（2）求 E 点坐标；（3）如图 2，若将△ADC 沿直线 AC 平移得△A′D′C′（边 A′C′一直在直线 AC 上），能否存在四边形 DD ′C′C 为菱形的状况？若存在，请直接写出点 C′的坐标；若不存在，请说明原因．23.如图 1，抛物线 y=-x2+kx+c 与 x 轴交于 A 和 B（ 3， 0）两点，与 y 轴交于点 C（ 0，3），点 D 是抛物线的极点．（ 1）求抛物线的分析式和极点 D 的坐标；（ 2）点 P 在 x 轴上，直线DP 将△BCD 的面积分红1： 2 两部分，恳求出点P 的坐标；（ 3）如图 2，作 DM ⊥x 轴于 M 点，点 Q 是 BD 上方的抛物线上一点，作QN⊥BD 于 N 点，能否存在 Q 点使得△DQN ∽△DBM ？若存在，请直接写出 Q 坐标；若不存在，请说明原因．答案和分析1.【答案】 B【分析】解：A ．把 x=3 代入 y= 得：y= =-4，即A 项错误， B ．把 x=-2 代入 y= 得：y= =6，即B 项正确， C ．把 x=-2 代入 y= 得：y= =6，即C 项错误， D ．把 x=-3 代入 y= 得：y==4，即D 项错误，应选：B ．挨次把各个 选项的横坐标代入反比率函数 y=的分析式中，获取纵坐标的值，即可获取答案．本题考察了反比率函数 图象上点的坐 标特色，正确掌握代入法是解 题的重点．2.【答案】 D【分析】解：∵x 2-3x=0，∴x （x-3）=0，则 x=0 或 x-3=0，解得：x=0 或 x=3，应选：D ．因式分解法求解可得．本题主要考察解一元二次方程的能力，熟 练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，联合方程的特色 选择合适、简易的方法是解 题的重点．3.【答案】 A【分析】解：由图可得，几何体的主视图是：依照从该几何体的正面看到的图形，即可获取主视图．本题主要考察了三视图，解题时注意：视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．4.【答案】C【分析】解：设 2014 年与 2013 年这两年的均匀增长率为 x，由题意得：2（1+x），应选：C．2依据题意可得等量关系：2013 年的快递业务量×（1+增加率）=2015年的快递业务量，依据等量关系列出方程即可．本题主要考察了由实质问题抽象出一元二次方程，关键是掌握均匀变化率的方法，若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，均匀变化率为 x，则经过两次变2为 a 1±x化后的数目关系（）=b．5.【答案】C【分析】解：设旗杆高为 hm，由题意得，=，解得 h=8，即旗杆的高度为 8m．应选：C．设旗杆高为 hm，依据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．本题考察了相像三角形的应用，熟记同时同地物高与影长成正比是解题的关键．6.【答案】A【分析】解：△=b 2 2 ××，（）-4ac= -1 -4 1 1=-3∵-3＜0，∴原方程没有实数根．先计算出根的判别式△的值，依据△的值就能够判断根的状况．本题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的根的鉴别式△=b 2-4ac．当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程没有实数根．7.【答案】C【分析】解：∵△ABC 与△A′B′是C′位似图形，且△ABC 与△A′B′位C′似比是 1：2，∴△ABC ∽△A′ B′，C相′似比为 1：2，2∴=（）=，∵△ABC 的面积是 10，∴△A′ B′的C面′积是 40，应选：C．依据位似变换的性质获取△ABC ∽△A′B′，C′依据相像三角形的面积比等于相似比的平方是解题的重点．本题考察的是位似变换，掌握位似变换的观点、相像三角形的面积比等于相似比的平方是解题的重点．8.【答案】D【分析】解：如图点 E，F，G，H 分别是四边形 ABCD 各边的中点，且四边形 EFGH 是正方形．∵点 E，F，G，H 分别是四边形各边的中点，且四边形EFGH 是正方形．∴EF=EH，EF⊥EH ，∵BD=2EF，AC=2EH ，∴AC=BD ，AC ⊥BD ，即四边形 ABCD 知足对角线相等且垂直，选项 D 知足题意．利用连结四边形各边中点获取的四 边形是正方形，则联合正方形的性 质及三角形的中位 线的性质进行剖析，从而不难求解．本题考察了利用三角形中位 线定理获取新四 边形各边与相应线段之间的数量关系和地点．娴熟掌握特别四 边形的判断是解 题的重点．9.【答案】 B【分析】解：∵∠C=90°，D 是斜边 AB 上的中点，∴AB=2CD=4 ，∴sinB== ，应选：B ．依据直角三角形的性 质求出 AB ，依据正弦的定义计算即可．本题考察的是直角三角形的性 质，锐角三角函数的定 义，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解 题的重点．10.【答案】 C【分析】解：反比率函数 y=（k ≠0）的图象的对称轴是 y=x 和 y=-x ，有两条，应选项 A错误；将二次函数 y=x 2 的图象向上平移 2 个单位，获取二次函数 y=x 2+2，应选项 B错误；两个正六 边形对应角相等，对应边成比率，应选项 C 正确；菱形的对角线相互垂直但不必定相等，故 选项 D 错误 ．应选：C ．依据反比率函数，二次函数，多 边形相像，菱形等知识对选项进 行逐一判断即可得出 结论．本题考察了反比率函数，二次函数，多边形相像，菱形等知识，娴熟掌握它们的性质是解题的重点．11.【答案】 C【分析】解：如图，设 OE 与 AD 交于 M ，AC 与 EF 交于 N ，∵四边形 ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∠OAB= ∠DAO=45°，∵四边形 BOEF 是菱形，∴BO ∥FE ，OE ∥AB ，∴OE ⊥AD ，EF ⊥AO ，∠EON=∠OAB=45°，∠NFA= ∠ABO=45°， ∴△EON ，△AFN ，△OMA 是等腰直角三角形，设 MO=AM=x ，则 AO=BO=OE=x ，∴EM= （ -1）x ，∴tan ∠EAD== -1，应选：C ．如图，设 OE 与 AD 交于 M ，AC 与 EF 交于 N ，依据正方形的性质获取 AC ⊥BD ，∠OAB= ∠DAO=45°，依据菱形的性质获取 BO ∥FE ，OE ∥AB ，推出△EON ，△AFN ，△OMA 是等腰直角三角形， 设 MO=AM=x ，则 AO=BO=OE=x ，根据三角函数的定 义即可获取 结论．本题考察了正方形的性 质，菱形的性质，等腰直角三角形的判断和性 质，三角函数的定 义，正确的辨别图形是解题的重点．12.【答案】 D【分析】解：∵对称轴为直线 x=-1，经过点（1，0），∴抛物 线与 x 轴的另一个交点 为（-3，0），∴△=b 2-4ac ＞ 0，∴b 2＞ 4ac ，故A 选项错误 ；∴2a-b=0，故B 选项错误 ；∵抛物线的张口向上，∴a ＞0，当 x=-3 时，9a-3b+c ＜ 0，∴-3b+c ＜ -9a ，∴a-3b+c ＜-9a+a=-8a ＜ 0， ∴a-3b+c ＜0，故C 选项错误 ；∵抛物 线与 y 轴的交点在点（0，-2）与（0，-3）之间，∴-3＜c ＜-2 ，当 x=1 时，a+b+c=0，∴c=-a-b ，∵a= b ，∴c=- b ，∴-3＜- b ＜-2，∴ ＜ b ＜ 2，故 D 选项正确，应选：D ．依据抛物 线与 x 轴有两个交点故获取 b 2＞4ac ，故A 选项错误 ；依据对称轴方程获取 2a-b=0，故B 选项错误 ；由抛物线的张口向上，获取 a ＞0，当 x=-3 时，9a-3b+c ＜0，获取a-3b+c ＜0，故C 选项错误 ；因为抛物线与 y 轴的交点在点（0，-2）与（0，-3）之间，获取-3＜c ＜ -2，当x=1 时，a+b+c=0，求得c=-a-b ，获取a= b ，解不等式组获取 ＜ b ＜ 2，故D 选项正确．本题考察二次函数 图象与系数的关系、抛物 线与 x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性 质解答．13.【答案】 85【分析】解：∵=，∴a= b ，第11 页，共 18页∴==．故答案为：．依据比率的性质用 b 表示出 a，而后辈入比率式进行计算即可得解．本题考察了比率的性质，依据比率的性质用 b 表示出 a 是解题的重点．14.【答案】72【分析】解：设盒子中红球的个数为 x，依据题意，得：，解得：x=72，即盒子中红球的个数为 72，故答案为：72．依据利用频次预计概率得摸到黄球的频次稳固在，从而可预计摸到黄球的概率，依据概率公式列方程求解可得．本题考察了利用频次预计概率：大批重复实验时，事件发生的频次在某个固定地点左右摇动，而且摇动的幅度愈来愈小，依据这个频次稳固性定理，可以用频次的集中趋向来预计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的全部可能结果不是有限个或结果个数好多，或各样可能结果发生的可能性不相等时，一般经过统计频率来预计概率．15.【答案】-2＜x＜0或x＞2【分析】解：∵正比率函数 y=kx （k≠0）和反比率函数 y=（m≠0）的图象订交于点A（-2，1），和点B，∴B（2，-1），∴不等式 kx ＜的解集是-2＜x＜0或x＞2，故答案为：-2＜ x＜ 0 或 x ＞2．依据对于原点对称的点的坐标特色求得 B（2，-1），而后依据函数的图象的交点坐标即可获取结论．本题考察了反比率函数与一次函数的交点问题，重点是注意掌握数形 联合思想的应用．16.【答案】 2【分析】解：过 A 作 AH ⊥BC 于 H ，过 D 作 DG ⊥BC 于 G ，∵AB=AC=2，tan ∠ACB= =2，∴设 AH=2x ，CH=x ，∴AC== x=2 ，∴x=2，∴AH=4 ，CH=BH=2 ， ∴BC=4，过 D 作 DE ⊥AH 于 E ，则四边形 DEHG 是矩形，∴∠EDG=∠DGH= ∠DEH=90°， ∴∠ADE= ∠BDG ，在 △ADE 与△BDG 中，，∴△ADE ≌△BDG （AAS ）， ∴AE=BG ，∵∠ADB=90°， ∴BD=AB=，设 DG=x ，∴BG=AH=4-x ，∵BD 2=DG 2+BG 2，2 2∴10=x +（4-x ），∴x=1 或 x=3（不合题意舍去），∴DG=1，∴△BCD 的面积= ×4×1=2，故答案为：2．过 A 作 AH ⊥BC 于 H ，过 D 作 DG ⊥BC 于 G ，设 AH=2x ，CH=x ，依据勾股定理获取 AC=过则四边= x=2 ，获取BC=4 ， D 作 DE⊥AH 于 E，形 DEHG 是矩形，依据矩形的性质获取∠EDG=∠DGH=∠DEH=90°，依据全等三角形的性质获取 AE=BG ，求得 BD=AB= ，设 DG=x ，依据勾股定理和三角形的面积公式即可获取结论．本题考察了等腰三角形的判断与性质、全等三角形的判断与性质、三角形面积的计证问题的关键，并利用方程的思算；明三角形全等得出 AH=BG 是解决想解决问题．17.【答案】解：原式=23-2×32-3+1=1 ．【分析】先计算每一项的值，再计算即可．本题主要考察了实数运算，正确化简各数是解题重点．18.【答案】解：（1）随机抽取一张扑克牌是黑桃 6 的概率 =24=12 ；（ 2）设两张黑桃 6 分别为： a， b，两张黑桃10 分别为 m， n，画树状图以下：共有 12 种状况，成对的有ba， ab， mn， nm，则从中随机抽取的两张扑克牌能成为一对的概率为：412 =13 ．【分析】（1）依据两张黑桃 6 和两张黑桃 10，共4 张扑克牌，再依据概率公式即可得出答案；（2）先画树状图得出全部可能出现的结果，再从此中抽取两张扑克牌成为一对的占 4 种，而后利用概率公式求解即可．本题考察了列表法与树状图法：先经过树状图法展现一个实验发生的全部等可能的结果，再从中找出某事件发生的结果数，而后依据概率公式：概率 =所讨状况数与总状况数之比，求这个事件的概率．19.【答案】解：（1）作CD⊥AB于D点，由题意可知： AC=20 ，∠A=30°，∠B=45°，∴CD =12 AC=10，∵∠B=45 °，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴BD =CD =10 ，BC= CD=102，∴ 2∴AC+BC =20+102 ，即开通地道前，汽车从 A 地到 B 地大概要走（ 20+10 2）千米；（2）由（ 1）知 CD=10 ，∵CD ⊥AB，∠B=45 °，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴CD =BD =10 ，∵AD =32 AC=103，∴AB=103 +10 ≈ 17.3+10=27.，3∵AC+BC =20+102 ≈∴≈7，答：开通地道后，汽车从 A 地到 B 地大概能够少走7 千米．【分析】（1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，在直角△ACD 中，解直角三角形求出CD，从而解答即可；（2）在直角△CBD 中，解直角三角形求出 BD，再求出 AD ，从而求出答案．本题考察认识直角三角形的应用，求三角形的边或高的问题一般能够转变为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．20.【答案】解：（1）将B（6，1）代入y=mx得：m=6，即反比率函数的分析式为：y=6x ；将 B（6， 1）代入 y=kx+4 得： 1=6k+4，解得： k=-12 ，即一次函数的分析式为 y=-12x+4 ；（ 2）解 y=6xy=-12x+4得：x1=2y1=3，x2=6y2=1，∴A（ 2， 3），作 AE⊥x 轴于 E， BF ⊥x 轴于 F，则 AE=3 ， BF=1，设直线 y=-12x+4 与 x 轴交于 C 点，由 y=-12 x+4=0 得 x=8，即 C（ 8， 0），∴S△AOB=S△AOC -S△BOC =12 ×8×3-12 ×8×1=8．【分析】（1）先把B 点坐标代入 y= 与一次函数 y=kx+4 中，求出 m，k 的值即可；（2）分别过点 A 、B 作 AE⊥x 轴，BF⊥x 轴，垂足分别是 E、F 点．直线 AB 交 x 轴于 C 点，S△AOB =S△AOC -S△BOC，由三角形的面积公式能够直接求得结果．本题考察了反比率函数与一次函数的交点问题：先由点的坐标求函数分析式，而后解由分析式 构成的方程 组求出交点的坐 标，表现了数形联合的思想．21.【答案】 解：（ 1）依据题意得， W=（ x-40）（ -10x+1000）2=-10 x +1000x+400x-40000 2=-10 x +1400x-40000；（ 2）当 W=-10x 2 +1400x-40000=8000 时，获取 x 2-140x+4800=0 ， 解得： x 1=60 ，x 2=80， ∵使顾客获取优惠，∴x=60．答：销售单价应定为 60 元，（ 3） W=-10x 2+1400x-40000 =-10 （ x-70） 2+9000∵赢利不得高于 70%，即 x-40 ≤ 40 × 70%， ∴x ≤ 68．∴当 x=68 时， W 最大 =8960 ． 答：销售单价定为68 元时，月销售收益达到最大．【分析】（1）依据题意依据获取函数分析式；（2）解方程即可获取结论；（3）把函数分析式化为极点式，依据二次函数的性 质即可获取 结论 ．本题考察二次函数的 应用，解答本题的重点是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性 质和数形联合的思想解答．22.【答案】 解：（ 1）证明： ∵四边形 OABC 为矩形，∴AB=OC ， ∠B=∠AOC=90 °， ∴CD =OC=AB ， ∠D =∠AOC=∠B ，又 ∠CED =∠ABE ， ∴△CDE ≌△ABE （ AAS ）， ∴CE=AE ；（ 2） ∵B （ 8， 4），即 AB=4， BC=8．∴设 CE=AE=n ，则 BE=8- n ，222可得（ 8-n ） +4 =n ， 解得： n=5， ∴E （ 5， 4）；（ 3）设点 C 在水平方向上向左挪动 m 个单位，则在垂直方向上向上挪动了 m2 个单位，则点 C ′坐标为（ -m ， 4+12 m ）， 则 ∵四边形 DD ′C ′C 为菱形，2 2 +m 2 2 2∴CC ′= （ -m（ 12 = 54 m =CD =64 ，））解得： m=± ，855故点 C ′的坐标为（ - 855 ， 4+455 ）或（ 855 ， 4-455 ）． 【分析】（1）用角角边定理即可证明；（2）设 CE=AE=n ，则 BE=8-n，利用勾股定理即可求解；（3）设点 C 在水平方向上向左移动 m 个单位，则在垂直方向上向上移动了个单位，利用 CC′=CD，即可求解．本题为一次函数综合题，主要考察图形平移、三角形全等等知识点，难度不大．23.【答案】解：（1）将B（3，0）、C（0，3）代入y=-x2+kx+c得：-9+3b+c=0c=3 ，解得： b=2c=3 ，∴抛物线表达式为： y=-x2 +2x+3，则点 D 的坐标为（ 1， 4）；（ 2）取 BC 的三平分点 E、 F，作 EG⊥x 轴于点 G， FH ⊥x 轴于点 H，∵B（ 3， 0）∴由平行线分线段成比率的性质可得：OG=GH=HB =1．由 B（3， 0）、 C（ 0，3）可得 BC 的直线表达式为：y=-x+3，∴E（ 1， 2）、 F（ 2， 1），∴P1坐标为（ 1， 0），由 D（ 1， 4）、 F （ 2， 1）得 DF 的直线表达式为： y=-3x+7，当 y=0 时， x=73 ，即点 P 坐标为（ 73， 0），故点 P 的坐标为（ 1， 0）或（ 73 ，0）；（ 3）存在，原因：设点 Q 坐标为（ m，n）， n=-x2+2x+3，延伸 QN 交 DM 于点 Q′，∵△DQN ∽△DBM ，∴∠MDB =∠BDQ ，而 DN⊥QN，∴DQ ′=DQ，直线 BD 表达式中的k 值为： -2，故直线QQ′表达式中的k 值为 12 ，将点 Q 的坐标代入一次函数表达式并解得，直线 QQ 的表达式为： y=12 x+（n-12 m），则点 Q′的坐标为（ 1， 12+n-12 m），DQ 2=（ m-1）2 +（ n-4）2=（ m-1）2（ m2-2m+2），DQ ′=4- 12 -n+12m，由 DQ′=DQ ，解得： m=74 ，故点 Q 的坐标为（ 74 ，5516 ）．【分析】（1）将B（3，0）、C（0，3）代入y=-x 2+kx+c，即可求解；（2）取BC 的三平分点 E、F，作EG⊥x 轴于点 G，FH⊥x 轴于点 H，由平行线分线段成比率的性质即可求解；（3）由△DQN∽△DBM ，得∠MDB= ∠BDQ ，而DN ⊥QN，故：DQ′=DQ，即可求解．主要考察了二次函数的分析式的求法和与几何图形联合的综合能力的培养．要会利用数形联合的思想把代数和几何图形联合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
广东深圳龙岗区2023-2024学年上学期九年级期末数学模考试卷及参考答案
2023-2024学年第一学期广东省深圳市龙岗区九年级期末模考试卷一．选择题（每题3分，共30分）1 . 如图所示的几何体的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．2． 二次函数y ＝3(x －1)2＋2图象的顶点坐标是（ ）A ．(2，1)B ．(－2，－1)C ．(－1，2)D ．(1，2)3. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ） A. 13 B. 12 C. 23 D. 344 . 如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，6BC =，CE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．3D ．55. 函数y ＝﹣2x 2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）A ．y ＝﹣2（x ﹣1）2+2B ．y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣2C ．y ＝﹣2（x +1）2+2D ．y ＝﹣2（x +1）2﹣2 6 .在同一直角坐标系中，函数y =kx -k 与k y x=（k ≠0）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7 .如图，在A 处测得点P 在北偏东60°方向上，在B 处测得点P 在北偏东30°方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（ ）A ．3米BC ．2米D ．1米8． 如图，在ABC 中，8cm AB =，16cm BC =，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2cm/s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4cm/s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么经过（ ）秒时QBP △与ABC 相似．A ．2秒B ．4秒C ．2或0.8秒D ．2或4秒9. 如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在反比例函数4y x=()0x >与2y x =−()0x <的图像上， 点C 、D 在x 轴上，AB BD 、分别交y 轴于点E 、F ，则阴影部分的面积等于（ ）A ．103B ．2C ．116D ．5310 .二次函数2(0)y ax bx c a ++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)−，对称轴为直线x ＝1，下列结论：①0abc ＜；②b c ＜；③30a c +=；④当0y ＞时，13x −＜＜. 其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（每题3分，共15分）11. 若23a b =，则a b b += ． 12. 在一个不透明的盒子中装有n 个除颜色外完全相同的球，其中有4个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则n 的值大约为_______13. 如图所示，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则sin AOB ∠的值是 ．14 .如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，已知斜边DF 保持水平并且边DE 与点B 在同一直线上，若DE ＝40cm ，EF ＝20cm ．DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝8m ，则树的高度AB ＝ 米．15 .如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝10，AB ＝8，将AB 沿AE 翻折，使点B 落在B ′处，AE 为折痕；再将EC 沿EF 翻折，使点C 恰好落在线段EB '上的点C ′处，EF 为折痕，连接AC ′．若CF ＝3，则tan B AC ′′∠＝ ．三．解答题（共55分）16 . ()1011tan 602π− ++−° ． 17. 解下列方程：(1)2240x x −−=(2)()()3454x x x −−18. 某中学决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：(1)共有_______名学生参与了本次问卷调查；(2)“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度；(3)小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．19. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC 表示车后盖，已知1m =AB ，0.6m BC =，123ABC ∠=°，该车的高度 1.7m AO =．如图2，打开后备箱，车后盖ABC 落在AB C ′′处，AB ′与水平面的夹角27B AD ′∠=°．（1）求打开后备箱后，车后盖最高点B ′到地面l 的距离；（2）若小琳爸爸的身高为1.8m ，他从打开的车后盖C ′处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．（结果精确到．．．．．001m ．，参考数据：sin 270.454°≈，cos 270.891°≈，tan 270.510°≈ 1.732≈） 20. 某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数关系 如图所示．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．（2）若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？21. （1）如图1，ABC 和DEC 均为等边三角形，直线AD 和直线BE 交于点F ．填空：①线段AD ，BE 之间的数量关系为________；②AFB ∠的度数为______．（2）如图2所示，ABC 和DEC 均为等腰直角三角形，90ABC DEC AB BC DE EC ∠=∠=°==，，， 直线AD 和直线BE 交于点F ，请判断AFB ∠的度数及线段AD ，BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3所示，ABC 和ADE 均为直角三角形，9030ACB AED BAC DAE ∠°=∠=°∠=∠=，，53AB AE ==，，当点B 在线段ED 的延长线上时，求线段BD 和CE 的长度．22. 如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上一动点，连接PB ，PC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点P 在直线BC 上方时，过点P 作PD 上x 轴于点D ，交直线BC 于点E ．若PE ＝2ED ，求△PBC 的面积；（3）抛物线上存在一点P ，使△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标．2023-2024学年第一学期广东省深圳市龙岗区九年级期末模考试卷解析一．选择题（每题3分，共30分）1 . 如图所示的几何体的主视图为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】解：从正面看到的是两个矩形，中间的线是实线，故选：D．2．二次函数y＝3(x－1)2＋2图象的顶点坐标是（）A．(2，1) B．(－2，－1) C．(－1，2) D．(1，2)【答案】D【分析】由顶点式y=3（x-1）2+2可得顶点坐标为（1，2）．【详解】解：∵y=3（x-1）2+2，∴抛物线顶点为（1，2）．故选：D．3.从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（）A. 13B. 12C.23D.34【答案】B【解析】【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案．【详解】解：根据题意，画树状图如下：∴一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，61122P ∴，故选：B ．4 .如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，6BC =，CE 的长为（）A ．2B ．4C ．3D ．5【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】∵AD ：AF=3：5，∴AD ：DF=3：2，∵AB ∥CD ∥EF ， ∴ADBCDF CE =，即362CE =，解得，CE=4，故选B ．5. 函数y ＝﹣2x 2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）A ．y ＝﹣2（x ﹣1）2+2B ．y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣2C ．y ＝﹣2（x +1）2+2D ．y ＝﹣2（x +1）2﹣2【答案】B【分析】根据二次函数图像的平移方法“左加右减，上加下减”直接进行求解即可．【详解】解：抛物线y ＝﹣2x 2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣2． 故选：B ．6 .在同一直角坐标系中，函数y =kx -k 与k y x =（k ≠0）的图象大致是（ ） A ．B ．C ． D ．【答案】D【分析】根据k 的取值范围，分别讨论0k ＞和0k ＜时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．【详解】解：①当0k ＞时，一次函数y kx k =−经过一、三、四象限，反比例函数的k y x=（k ≠0）的图象经过一、三象限，没有符合条件的选项， ②当0k ＜时，一次函数y kx k =−经过一、二、四象限，反比例函数的k y x=（k ≠0）的图象经过二、四象限，故D 选项的图象符合要求．故选：D ． 7 .如图，在A 处测得点P 在北偏东60°方向上，在B 处测得点P 在北偏东30°方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（ ）A ．3米B 米C ．2米D ．1米【答案】B 【分析】设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，根据正切的定义用x 表示出AC 、BC ，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，在Rt APC △中，tan PC AC PAC ==∠，在Rt BPC △中，tan PC BC x PBC ==∠，2=，解得，x =)，故选：B ．8． 如图，在ABC 中，8cm AB =，16cm BC =，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2cm/s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4cm/s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么经过（ ）秒时QBP △与ABC 相似．A ．2秒B ．4秒C ．2或0.8秒D ．2或4秒【答案】C 【分析】设经过t 秒时, QBP △与ABC 相似,则2cm,82)cm,4(cm AP t BP t BQ t ==−=,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当BP BQ BA BC =时,BPQ BAC ∽ ,即 824;816t t −=当 BP BQ BC BA=时,BPQ BCA △∽△,即 824,168t t −=然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过t 秒时, QBP △与ABC 相似,则2cm,82)cm,4(cm AP t BP t BQ t ==−= PBQ ABC ∠=∠ ,∴当 BP BQ BA BC=时,BPQ BAC ∽ , 即 824,816t t −= 解得：2t =当 BP BQ BC BA=时,BPQ BCA △∽△ , 即824,168t t −= 解得：0.8t =综上所述：经过0.8s 或2s 秒时,QBP △与ABC 相似故选：C9. 如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在反比例函数4y x =()0x >与2y x=−()0x <的图像上， 点C 、D 在x 轴上，AB BD 、分别交y 轴于点E 、F ，则阴影部分的面积等于（ ）A ．103 B ．2 C ．116 D ．53【答案】D【分析】设4A a a（，）、0a ＞，根据题意：利用函数关系式表示出线段OD OE OC OF EF 、、、、， 然后利用三角形的面积公式计算即可．【详解】解：设点A 的坐标为4A a a （，），0a ＞．则4OD a OE a==，． ∴点B 的纵坐标为4a．∴点B 的横坐标为2a −． ∴2a OC =． ∴2a BE =． ∵AB CD ∥，∴BEF DOF ， ∴12EF BE OF OD ==． ∴1428,3333EF OE OF OE a a====． ∴114122323BEF a S EF BE a ∆=×=××=． 11842233ODF S OD OF a a ∆=×⋅=××=． ∴145333BEF ODF S S S =+=+=阴影 ． 故选：D ．10 .二次函数2(0)y ax bx c a ++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)−，对称轴为直线x ＝1，下列结论：①0abc ＜；②b c ＜；③30a c +=；④当0y ＞时，13x −＜＜. 其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①对称轴位于x a ，b 异号，即0ab ＜．抛物线与y 轴交于正半轴，则0c ＞．0abc ∴＜．故①正确；②∵抛物线开口向下，0a ∴＜． ∵抛物线的对称轴为直线12b x a=−=， 2b a ∴＝﹣1x ＝﹣时，0y ＝，0a b c ∴+﹣＝，而2b a ＝﹣， 3c a ∴＝﹣，230b c a a a ∴+﹣＝﹣＝＜，即b c ＜，故②正确；③1x ＝﹣时，0y ＝， 0a b c ∴+﹣＝，而2b a ＝﹣，3c a ∴＝﹣，30a c ∴+＝．故③正确；④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x 轴的另一交点坐标是（3，0）．∴当0y ＞时，13x -＜＜故④正确．综上所述，正确的结论有4个．故选D ．二．填空题（每题3分，共15分）11. 若23a b =，则a b b += ． 【答案】53【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解．【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得2113a b +=+，通分得53a b b +=． 故答案为：53．12. 在一个不透明的盒子中装有n 个除颜色外完全相同的球，其中有4个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则n 的值大约为_______【答案】20【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：由题意可得，100%=20%4n×， 解得：20n =，经检验20n =是原方程的根，故答案为：1a ≥−且0a ≠．13. 如图所示，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则sin AOB ∠的值是 ．【分析】由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB ，设小正方形的边长为1，可以求出OA 、OB 、AB 的长度，由勾股定理的逆定理可得ABO 是直角三角形，再根据三角函数的定义可以求出答案.【详解】连接AB 如图所示：设小正方形的边长为1，∴2OA =23+1=10，22BA =3+1=10，222OB =4+2=20，∴ABO 是直角三角形，∴BA sin AOB=OB ∠14 .如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，已知斜边DF 保持水平并且边DE 与点B 在同一直线上，若DE ＝40cm ，EF ＝20cm ．DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝8m ，则树的高度AB ＝ 米．【答案】5.5【分析】根据DEF DCB ∽△△可得DE EF DC BC=，可求得BC 的长，树高AB BC AC =+即可求出树高． 【详解】400.4DE cm m ==，200.2EF cm m ==，8CD m = 90DEF DCB ∠=∠=°，EDF CDB ∠=∠，∴DEF DCB ∽△△ ∴DE EF DC BC= ∴0.40.28BC=∴4BC =，1.5AC =∴4 1.5 5.5AB BC AC =+=+=故答案为：5.5．15 .如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝10，AB ＝8，将AB 沿AE 翻折，使点B 落在B ′处，AE 为折痕；再将EC 沿EF 翻折，使点C 恰好落在线段EB '上的点C ′处，EF 为折痕，连接AC ′．若CF ＝3，则tan B AC ′′∠＝ ．【答案】14【分析】连接AF ，设CE ＝x ，用x 表示AE 、EF ，再证明∠AEF ＝90°，由勾股定理得通过AF 进行等量代换列出方程便可求得x ，再进一步求出B ′C ′，便可求得结果．【详解】解：连接AF ，设CE ＝x ，则C ′E ＝CE ＝x ，BE ＝B ′E ＝10﹣x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝8，AD ＝BC ＝10，∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∴AE 2＝AB 2+BE 2＝82+（10﹣x ）2＝164﹣20x +x 2， EF 2＝CE 2+CF 2＝x 2+32＝x 2+9，由折叠知，∠AEB ＝∠AEB ′，∠CEF ＝∠C ′EF ，∵∠AEB +∠AEB ′+∠CEF +∠C ′EF ＝180°，∴∠AEF ＝∠AEB ′+∠C ′EF ＝90°， ∴AF 2＝AE 2+EF 2＝164﹣20x +x 2+x 2+9＝2x 2﹣20x +173，∵AF 2＝AD 2+DF 2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x 2﹣20x +173＝125，解得，x ＝4或6，当x ＝6时，EC ＝EC ′＝6，BE ＝B ′E ＝8﹣6＝2，EC ′＞B ′E ，不合题意，应舍去，∴CE ＝C ′E ＝4，∴B ′C ′＝B ′E ﹣C ′E ＝（10﹣4）﹣4＝2，∵∠B ′＝∠B ＝90°，AB ′＝AB ＝8，∴tan ∠B 'AC ′＝''''B C A B =2184=． 故答案为：14． 三．解答题（共55分）16 . ()1011tan 602π− ++−° ． 【答案】3【解析】【分析】根据绝对值的意义、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值分别计算后， 再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案．()1011tan 602π− ++−°21=++3=．17. 解下列方程：(1)2240x x −−=(2)()()3454x x x −−【答案】(1)11x =21x =(2)14x =，253x = 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：2240x x −−=方程两边同时加上5，即225x x −+=即()215x −=，∴1x −=，解得：11x =+21x =−（2）解：()()3454x x x −−∴()()4350x x −−=， ∴40,350x x −=−=， 解得：14x =，253x =．18. 某中学决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：(1)共有_______名学生参与了本次问卷调查；(2)“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度；(3)小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．【答案】(1)120(2)99(3)小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为1 3【分析】（1）用“礼仪”的人数除以占比得到总人数；（2）用“陶艺”的人数除以总人数再乘以360°，即可求解；（3）用画树状图法求得概率即可求解．【详解】（1）解：3025%=120÷（人）故答案为：120．（2）“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是33360=99 120×°°，故答案为：99．（3）把“礼仪”“陶艺”“编程”三门校本课程分别记为A 、B 、C共有9种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有3种， ∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为3193=． 19. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC 表示车后盖，已知1m =AB ，0.6m BC =，123ABC ∠=°，该车的高度 1.7m AO =．如图2，打开后备箱，车后盖ABC 落在AB C ′′处，AB ′与水平面的夹角27B AD ′∠=°．（1）求打开后备箱后，车后盖最高点B ′到地面l 的距离；（2）若小琳爸爸的身高为1.8m ，他从打开的车后盖C ′处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．（结果精确到．．．．．001m ．，参考数据：sin 270.454°≈，cos 270.891°≈，tan 270.510°≈ 1.732≈） 【答案】（1）车后盖最高点B ′到地面的距离为2.15m（2）没有危险,详见解析【解析】【分析】（1）作B E AD ′⊥，垂足为点E ，先求出B E ′的长，再求出B E AO ′+的长即可；（2）过C ′作C F B E ′′⊥，垂足为点F ，先求得63AB E ′∠=°，再得到60C B F AB C AB E ′′′′′∠=∠−∠=°，再求得cos 600.3B F B C ′′′=⋅°=，从而得出C ′到地面的距离为2.150.3 1.85−=，最后比较即可．【小问1详解】如图，作B E AD ′⊥，垂足为点E在Rt AB E ′△中∵27B AD ′∠=°，1AB AB ′== ∴sin 27B E AB ′°=′∴sin 2710.4540.454B E AB ′′=°≈×=∵平行线间的距离处处相等∴0.454 1.7 2.154 2.15B E AO ′+=+=≈答：车后盖最高点B ′到地面的距离为2.15m ．【小问2详解】没有危险，理由如下：过C ′作C F B E ′′⊥，垂足为点F∵27B AD ′∠=°，90B EA ′∠=°∴63AB E ′∠=°∵123AB C ABC ′′∠=∠=°∴60C B F AB C AB E ′′′′′∠=∠−∠=°在Rt B FC ′′ 中，0.6B C BC ′′==∴cos 600.3B F B C ′′′=⋅°=．∵平行线间的距离处处相等∴C ′到地面的距离为2.150.3 1.85−=．∵1.85 1.8>∴没有危险．20. 某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数关系 如图所示．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．（2）若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）10300y x =−+，1030x ≤≤； （2）当该品种的草莓定价为20元时，每天销售获得的利润最大，为1000元．【解析】【分析】（1）由图象可知每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间是一次函数的关系，设y kx b =+，将(10,200)，(15,150)代入解析式求解即可；（2）设利润为w 元，求得w 与x 的关系式，然后利用二次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：由图象可知每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间是一次函数的关系，设y kx b =+，将(10,200)，(15,150)代入解析式，可得 1020015150k b k b += +=，解得10300k b =− = 即10300y x =−+， 由题意可得，10x ≥，103000x −+≥，解得1030x ≤≤即10300y x =−+，1030x ≤≤， 【小问2详解】解：设利润为w 元，则2(10)(10300)104003000w x x x x =−−+=−+−，∵100−<，开口向下，对称轴为20x ，1030x ≤≤∴当20x 时，w 有最大值，为1000元，21. （1）如图1，ABC 和DEC 均为等边三角形，直线AD 和直线BE 交于点F ．填空：①线段AD ，BE 之间的数量关系为________；②AFB ∠的度数为______．（2）如图2所示，ABC 和DEC 均为等腰直角三角形，90ABC DEC AB BC DE EC ∠=∠=°==，，，直线AD 和直线BE 交于点F ，请判断AFB ∠的度数及线段AD ，BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3所示，ABC 和ADE 均为直角三角形，9030ACB AED BAC DAE ∠°=∠=°∠=∠=，，53AB AE ==，，当点B 在线段ED 的延长线上时，求线段BD 和CE 的长度．【答案】（1）①AD BE =；②60AFB ∠=°；（2）45AFB ∠=°；AD =；（3）4BD =−32EC =− 【分析】（1）①根据SAS 证明≌ACD BCE ，即可得出AD BE =；②根据全等三角形的性质得出CAD CBF ∠=∠，设BC 交AF 于点O ，根据AOC BOF ∠=∠， 结合三角形内角和定理，得出60BFO ACO ∠=∠=°即可得出结果；（2）证明ACD BCE ∽△△，可得ADAC BE BC ==CBF CAF ∠=∠，根据三角形的外角得出，AOB AFB CBF ACB CAF =∠+∠=∠+∠∠，即可得结论；（3）根据勾股定理求出4BE ，根据三角函数求出DE =求出4BD BE DE =−BAD CAE ∽，求出cos30EC AC BD AB ==°=32EC =． 【详解】解：（1）①∵ABC 和CDE 均为等边三角形，∴CA CB =，CD CE =，60ACB DCE °∠=∠=， ∴ACB DCB DCE DCB ∠−∠=∠−∠，即ACD BCE ∠=∠， ∴≌ACD BCE ，∴AD BE =；故答案为：AD BE =；②∵≌ACD BCE ，∴CAD CBF ∠=∠， 设BC 交AF 于点O ，∵AOC BOF ∠=∠， ∴60BFO ACO ∠=∠=°， 即60AFB ∠=°． 故答案为：60AFB ∠=°．（2）结论：45AFB ∠=°， AD =．理由如下： ∵90ABC DEC AB BC DE EC ∠=∠=°==，，， ∴45ACD BCD BCE ∠=°+∠=∠，又∵ACDC BC EC ==∴ACD BCE ∽△△，∴ADAC BE BC ==CBF CAF ∠=∠，∴AD =，∵AOB AFB CBF ACB CAF =∠+∠=∠+∠∠，∴45AFB ACB ∠=∠=°．（3）在Rt ABE △中，4BE ，在Rt ADE △中，tan30DE AE AE =°×=∴4BD BE DE =−，∵30DAE BAC ∠=∠=°， ∴BAD CAE ∠=∠， ∵cos30AE AC AD AB==°， ∴ AE AD AC AB=， ∴BAD CAE ∽，∴cos30EC AC BD AB==°=∴32EC ==． 22. 如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上一动点，连接PB ，PC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点P 在直线BC 上方时，过点P 作PD 上x 轴于点D ，交直线BC 于点E ．若PE ＝2ED ，求△PBC 的面积；（3）抛物线上存在一点P ，使△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标．【答案】（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）3；（3）点P 的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）先求得点C 的坐标，再用待定系数法求得直线BC 的解析式；由PE ＝2ED 可得PD ＝3ED ，设P （m ，﹣m 2+2m +3），则E （m ，﹣m +3），用含m 的式子表示出PD 和DE ，根据PD ＝3ED 得出关于m 的方程，解得m 的值，则可得PE 的长，然后按照三角形的面积公式计算即可；（3）分两种情况：①点C 为直角顶点；②点B 为直角顶点．过点C 作直线P 1C ⊥BC ，交抛物线于点P 1，连接P 1B ，交x 轴于点D ；过点B 作直线BP 2⊥BC ，交抛物线于点P 2，交y 轴于点E ，连接P 2C ，分别求得直线P 1C 和直线BP 2的解析式，将它们分别与抛物线的解析式联立，即可求得点P 的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0），B （3，0），∴()2210330b c b c −−−+= −++=， 解得23b c = =， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）在y ＝﹣x 2+2x +3中，当x ＝时，y ＝3，∴C （0，3）．设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，将B （3，0），C （0，3）代入，得：330b k b = +=， 解得13k b =− = ， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3，若PE ＝2ED ，则PD ＝3ED ，设P （m ，﹣m 2+2m +3），∵PD 上x 轴于点D ，∴E（m，﹣m+3），∴﹣m2+2m+3＝3（﹣m+3），∴m2﹣5m+6＝0，解得m1＝2，m2＝3（舍），∴m＝2，此时P（2，3），E（2，1），∴PE＝2，∴S△PBC＝1×2×3＝3．2∴△PBC的面积为3；（3）∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形，∴有两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，如图所示：∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴∠BCO＝∠OBC＝45°．∵P1C⊥BC，∴∠DCB＝90°，∴∠DCO＝45°，又∵∠DOC＝90°，∴∠ODC＝45°＝∠DCO，∴OD＝OC＝3，∴D（﹣3，0），∴直线P1C的解析式为y＝x+3，联立2233y x xy x=−++=+，解得14xy==或3xy==（舍）；∴P1（1，4）；∵P1C⊥BC，BP2⊥BC，∴P1C//BP2，∴设直线BP2的解析式为y＝x+b，将B（3，0）代入，得0＝3+b，∴b＝﹣3，∴直线BP2的解析式为y＝x﹣3，联立2233y x xy x=−++=−，解得25xy=−=−或3xy==（舍），∴P2（﹣2，﹣5）．综上，点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）第24页/共24页。
龙岗九年级上期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. 3C. -1/2D. 0.1010010001...2. 已知等差数列{an}的前三项分别为a1、a2、a3，若a1 + a3 = 10，a2 = 6，则公差d是（）A. 2B. 4C. 6D. 83. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于y轴的对称点是（）A. （2，3）B. （-2，-3）C. （-2，3）D. （2，-3）4. 若sinθ = 1/2，且θ是第一象限的角，则cosθ的值是（）A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/25. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x)的值域为[1, 5]，则自变量x的取值范围是（）A. [2, 4]B. [1, 5]C. [0, 2]D. [1, 6]6. 下列命题中，正确的是（）A. 所有奇数都是无理数B. 所有偶数都是整数C. 所有实数都是有理数D. 所有无理数都是实数7. 在三角形ABC中，∠A = 45°，∠B = 60°，则∠C的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°8. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根分别为x1和x2，则x1 + x2的值是（）A. 2B. 5C. 6D. 109. 若sinα = 3/5，且α是第二象限的角，则cosα的值是（）A. -4/5B. 4/5C. -3/5D. 3/510. 在平面直角坐标系中，点P（-1，2）关于x轴的对称点是（）A. （-1，-2）B. （1，2）C. （-1，2）D. （1，-2）二、填空题（每题5分，共20分）11. 若等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则第10项an的值为______。
12. 已知sinθ = 4/5，且θ是第三象限的角，则tanθ的值是______。
广东省深圳市龙岗区九年级(上)期末数学试卷
2011-2012学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）期末数学试卷一、仔细地选一选（每小题3分，共30分）1．（3分）（2012•银海区一模）sin30°的值是（）A．B．C．D．12．（3分）（2011•烟台）从不同方向看一只茶壶，你认为是俯视效果图的是（）A．B．C．D．3．（3分）（2011•东莞）在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（）A．B．C．D．4．（3分）（2011•菏泽）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折5．（3分）（2011•衡阳）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5cm，则坡面AB的长是（）A．10m B．m C．15m D．m6．（3分）（2011•上海）抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）7．（3分）下面给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）A．一组邻角互补，一组对角相等B．一组对边平行，一组邻角相等C．一组对边相等，一组对角相等D．一组对边相等，一组邻角相等8．（3分）（2011•济宁）在x2□2xy□y2的空格□中，分别填上“+”或“﹣”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是（）A．1B．C．D．9．（3分）（2010•哈尔滨）反比例函数y=的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥3 10．（3分）（2011•芜湖）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y=bx+c在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．二、认真填一填（每小题3分，共18分）11．（3分）小亮和他弟弟在阳光下散步，小亮的身高为1.75米，他的影子长2米．若此时他的弟弟的影子长为1.6米，则弟弟的身高为_________米．12．（3分）顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是_________形．13．（3分）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PD⊥OB于点D，PC∥OB，交OA于点C．若PD=6，则OC=_________．14．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为4，P是三角形内角任意一点，过点P作三边的垂线PD、PE、PF，垂足分别为D、E、F．则PD+PE+PF=________、、15．（3分）如图，双曲线y=交矩形OABC的边分别于点D、E，若BD=2AD，且四边形ODBE的面积为8，则k=_________．16．（3分）（2011•肇庆）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是_________．三、细心算一算（6分）17．（6分）（﹣1）2+2cos45°+（π﹣3.14）0﹣（）﹣2．四、勇敢闯一闯（第19、20题，每题6分，第18、21、22题，每题8分，第23题10分，共46分）18．（8分）（2011•肇庆）如图．矩形ABCD的对角线相交于点O．DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的而积为，求AC的长．19．（6分）（2011•淮安）图1为平地上一幢建筑物与铁塔图，图2为其示意图．建筑物AB与铁塔CD都垂直于地面，BD=30m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为60°．求铁塔CD的高度．20．（6分）（2011•南充）在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．随机地摸取出一张纸牌然后放回，再随机摸取出一张纸牌，（1）计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；（2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．21．（8分）商场某种商品平均每天可销售32件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品降价1元，商场平均每天可多售出2件，请问：（1）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达2160元？（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利的最大值是多少？22．（8分）（2011•衡阳）如图．已知A、B两点的坐标分别为A（0，），B（2，0）．直线AB与反比例函数的图象交于点C和点D（﹣1，a）．（1）求直线AB和反比例函数的解析式．（2）求∠ACO的度数．（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少时，OC′⊥AB，并求此时线段AB’的长．23．（10分）（2011•绵阳）已知抛物线y=x2﹣2x+m﹣1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．（1）求m的值；（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图．请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．。
2020-2021学年广东省深圳市龙岗区九年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）方程x2＝2x的根是（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x1＝0，x2＝﹣2D．x1＝0，x2＝2 2．（3分）下面四个几何体中，主视图为三角形的是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．4．（3分）将抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线对应的函数表达式是（）A．y＝2（x+3）2+2B．y＝2（x﹣3）2+2C．y＝2（x+3）2﹣2D．y＝2（x﹣3）2﹣25．（3分）函数y＝和y＝kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．6．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．14B．12C．6D．47．（3分）疫情促进了快递行业高速发展，某家快递公司2020年5月份与7月份完成投递的快递总件数分别为100万件和144万件，设该快递公司5月到7月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．100（1+2x）＝144B．100（1+x）2＝144C．100（1﹣2x）＝144D．100（1﹣x）2＝1448．（3分）下列命题中，错误的是（）A．顺次连接矩形四边的中点所得到的四边形是菱形B．反比例函数的图象是轴对称图形C．线段AB的长度是2，点C是线段AB的黄金分割点且AC＜BC，则AC＝﹣1 D．对于任意的实数b，方程x2﹣bx﹣3＝0有两个不相等的实数根9．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别在CD、AD边上，且CE＝DF，连接BE、CF相交于G点．则下列结论：①BE＝CF；②S△BCG＝S四边形DFGE；③CG2＝BG•GE；④当E为CD中点时，连接DG，则∠FGD＝45°．正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．410．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（1，2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，则下列结论中正确的是（）A．a＜﹣1B．b＞2C．2a+b＞0D．k为任意实数，关于x的方程ax2+bx+c+k2＝0没有实数根二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）若＝，则＝．12．（3分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OE＝EA，则＝．13．（3分）对于实数a、b，定义新运算“⊗”：a⊗b＝a2﹣ab，如4⊗2＝42﹣4×2＝8．若x⊗4＝﹣4，则实数x的值是．14．（3分）如图，直角坐标系原点O为Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，A（﹣5，0），且tan A＝，反比例函数y＝（k≠0）经过点C，则k的值是．15．（3分）已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝6，E是BC边上一点且CE＝2BE，F是CD边的中点，连接AF、BF、DE相交于M、N两点，则△FMN的面积是．三、解答题（本大题共7题。
2022-2023学年广东省深圳市龙岗区九年级(上)期末数学试卷-学生版
2022-2023学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）1．（3分）下列几何体中，左视图是圆的是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠BDC＝60°，BE＝1，则AB的长为（）A．3B．2C．D．3．（3分）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则sin B的值为（）A．B．C．D．4．（3分）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC分别与直线l1，l2，l3，交于A、B、C三点，直线DF分别与直线l1，l2，l3交于D、E、F三点，AC与DF交于点O，若BC＝2AO＝2OB，OD＝1．则OF的长是（）A．1B．2C．3D．45．（3分）一元二次方程x2﹣5x+5＝0的根的情况为（）A．无实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．不能判定6．（3分）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（）实验次数10020030050080010002000频率0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.333 A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5D．抛一枚硬币，出现反面的概率7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF 位似，原点O是位似中心．若C（1，3），则点F的坐标是（）A．（2，6）B．（2.5，4.5）C．（3，9）D．（4，8）8．（3分）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则所列方程正确的为（）A．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600B．（30+2x）（40+2x）＝600C．30×40﹣2×30x﹣2×40x＝600D．30×40+2×30x+2×40x＝6009．（3分）已知二次函数y＝ax2+2x﹣3，则该函数的图象可能为（）A．B．C．D．10．（3分）如图，在菱形ABCD中，过点C分别作AB，AD边上的高CE，CF，连接BF 交CE于点G，若点E是AB的中点，则＝（）A．B．C．D．二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）11．（3分）若，则的值为．12．（3分）计算：tan45°+cos45°＝．13．（3分）若m、n是方程x2﹣4x+3＝0的两根，则mn的值为．14．（3分）如图，A是反比例函数y1＝图象上一点，B是反比例函数y2＝图象上一点，连接AB交y轴于点C，若AC＝BC，S△AOB＝3，则k＝．15．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是BC的中点，F是CD边上一点，将△CEF沿EF折叠得到△GEF，连接CG并延长分别交EF，AB于O，H两点，若G是OH 的中点，则CF＝．三、解答题（本大题共7题.其中16题5分，17题7分，18题6分，19题8分，20题9分，21题10分，22题10分，共55分）16．（5分）解方程：2x（x+1）＝x+117．（7分）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．（1）随机抽取1人，甲恰好被抽中的概率是；（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．18．（6分）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O 三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米．（1）求建筑物OB的高度；（2）求旗杆的高AB．19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的长．20．（9分）某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）直接写出工厂每天的利润y元与每千克降价x元之间的函数关系式（要求化为一般式）；（2）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则降价应为多少元？（3）当降价为多少元时，有最大利润，最大利润是多少？21．（10分）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图1，即F1×L1＝F2×L2），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧10cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为1kg的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的重量忽略不计）（1）图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．则y关于x的函数解析式是；若0＜y＜50，则x的取值范围是．（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图3．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．完成下列问题：①y关于x的函数解析式是；②完成下表：x/kg…0.250.5124…y/cm……③在直角坐标系中画出该函数的图象．22．（10分）【探究发现】如图1，正方形ABCD的对角线交于点O，E是AD边上一点，作OF⊥OE交AB于点F．学习小队发现，不论点E在AD边上运动过程中，△AOE与△BOF 恒全等．请你证明这个结论；【类比迁移】如图2，矩形ABCD的对角线交于点O，∠ABD＝30°，E是BA延长线上一点，将OE绕点O逆时针旋转60°得到OF，点F恰好落在DA的延长线上，求的值；【拓展提升】如图3，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝12，点E是BC 边上一点，以BE为边在BC的上方作等边△BEF，连接CF，取CF的中点M，连接AM，当AM＝时，直接写出BE的长．。
广东省深圳市龙岗区2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷(解析版)
2022-2023学年第一学期期末质量监测试题九年级数学注意事项：1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6、本学科试卷共22题，考试时量90分钟，满分100分．一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）1. 下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据三视图的法则可得出答案. 【详解】解：左视图为从左往右看得到的视图， A.球的左视图是圆， B.圆柱的左视图是长方形， C.圆锥的左视图是等腰三角形， D.圆台的左视图是等腰梯形， 故符合题意的选项是A.【点睛】错因分析 较容易题.失分原因是不会判断常见几何体的三视图.2. 如图，在矩形ABCD 中，已知AE BD ⊥于E ，60BDC ∠=°，=1BE ，则AB 的长为（ ）A. 3B. 2C. D.【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质可得=60ABD ∠°，因为AE BD ⊥，所以30BAE ∠=°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．【详解】解： 四边形ABCD 为矩形，60BDC ∠=°，=60ABD ∴∠°，AE BD ⊥，30BAE =∴∠°，AB 2∴=，故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 3. 如图，在Rt ABC △中，已知90C ∠=°，1AC =，2BC =，则sin B 的值是（ ）A.12B.C.D.255【答案】C 【解析】【分析】根据勾股定理可得AB =【详解】解：AB ==sin AC B AB ∴=，故选：C ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边，余弦等于邻边比斜边，正切等于对边比邻边．4. 如图，已知直线l 1//l 2//l 3，直线AC 分别与直线l 1，l 2，l 3，交于A 、B 、C 三点，直线DF 分别与直线l 1，l 2，l 3交于D 、E 、F 三点，AC 与DF 交于点O ，若BC ＝2AO ＝2OB ，OD ＝1．则OF 的长是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】∵BC ＝2AO ＝2OB ， ∴OC ＝3AO ， ∵直线l 1∥l 2∥l 3， ∴AO ODOC OF =， ∴AO OD OC OF =＝13， ∵OD ＝1， ∴OF ＝3， 故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是分清楚对应线段. 5. 一元二次方程2550x x −+=的根的情况为（ ） A. 无实数根B. 有两个不相等的实数根C. 有两个相等的实数根D. 不能判定【答案】B 【解析】【分析】利用判别式24b ac ∆=−，判断其结果的符号即可得出结论． 【详解】解：()224541550b ac ∆=−=−−××=> ，2550x x ∴−+=有两个不相等的实数根，故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式0∆>时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．6. 某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ） 实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.333A. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃B. 抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”D. 抛一枚硬币，出现反面的概率 【答案】C 【解析】【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．【详解】解：A 、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为14，不符合题意；B 、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为16，不符合题意； C 、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是13，符合题意；D 、抛一枚硬币，出现反面的概率为12，不符合题意， 故选C ．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．7. 如图，在平面直角坐标系中，已知()1.50A ，，()4.50D ，，ABC 与DEF 位似，原点O 是位似中心．若()13C ，，则点F 坐标是（ ）的A. ()26，B. ()2.54.5，C. ()39，D. ()48，【答案】C 【解析】【分析】根据位似图形的性质得出求出13OCOA OF OD ==，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵()1.5,0A ，()4.5,0D ， ∴ 1.5 4.5OA OD ==，， ∵ABC 与DEF 位似， ∴13OC OA OF OD ==， ∴ABC 与DEF 的位似比为1：3，∵点()13C ，， ∴F 点的坐标为()1333××，， 即F 点的坐标为（3，9）， 故选：C ．【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出ABC 与DEF 的位似比是解题的关键．8. 如图，把一块长为40cm ，宽为30cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为2600cm ，设剪去小正方形的边长为cm x ，则所列方程正确的为（ ）A. (302)(402)600x x −−=B. (302)(402)600x x ++=C. 3040230240600x x ×−×−×=D. 3040230240600x x ×+×+×=【答案】A 【解析】【分析】由题意易得该无盖纸盒的底面长为()402cm x −，宽为()302cm x −，然后问题可求解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长为cm x ，则由题意可列方程为(302)(402)600x x −−=， 故选A ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 9. 已知二次函数223y ax x =+−，则该函数的图象可能为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据30c =−<，可排除A 、C 两项，再分别讨论a<0和0a >时，对称轴的位置即可判断出答案．【详解】解：30c =−< ， 所以可排除A 、C 两个选项，当0a >时，对称轴02bx a=−<，故B 选项不符合题意， 当a<0时，对称轴bx 02a=−>，故D 选项符合题意， 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．10. 如图，在菱形ABCD 中，过点C 分别作AB AD ，边上的高CE CF ，，连接BF 交CE 于点G ,若点E 是AB 的中点，则EGCG=（ ）A.14B.15C.13D.【答案】A 【解析】【分析】作FH CE ⊥交CE 于H ，可证得()DFC BEC AAS △≌△，又通过平行和角度关系可得DFC CHF ∽，即CD CFCF FH=和FHG BEG ∽，即FH HG BE EG =，设BE x =，则DF BE x ==，2CD AB BC x ===，CF CE ==，根据比例关系即可求出EGCG的值． 【详解】解：如图所示：作FH CE ⊥交CE 于H ，90D EBC DFC BEC CD BC ∠=∠∠=∠=°= ，，， ()DFC BEC AAS ∴ ≌，BE DF CF CE DCF BCE ∴==∠=∠，，， AD BC CF AD ⊥ ∥，，90FCB ∠∴=°，同理：90DCE ∠=°9090FCE DCF D DCF ∠+∠=°∠+∠=° ，， D FCE ∴∠=∠，FH CE ⊥ ， DFC CHF ∴ ∽， CD CFCF FH∴=， 设BE x =，则DF BE x ==，2CD AB BC x ===，CF CE ==，， 32FH x ∴=，CH x ∴，FH CE CE AB ⊥⊥ ，， FHG BEG ∴ ∽， 32=xFH HG BE EG x ∴=，HE CE CH x =− ，HGx GE x ∴==，，14EG CG ∴=， 故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质及应用，相似三角形的判定和性质，作出辅助线，找出边之间的比例关系是解题的关键．二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）11. 已知23a b=，则a a b+的值为 _____． 【答案】25##0.4【解析】【分析】根据比例性质和分式的基本性质求解即可．详解】解：设23a bk ==， ∴2a k =，3b k =， ∴a ab +=2222355k k k k k ==+，故答案为：25． 【点睛】本题考查比例性质、分式基本性质，熟练掌握比例性质是解答的关键． 12. 计算：cos45°=______． 【答案】2． 【解析】【分析】要想解得此题要熟知三角函数的正切，与余弦函数的特殊角的函数值， 【详解】解：∵tan45°=1，， ∴原式=2． 【点睛】本题考查了三角函数特殊角的值．本题不难，属于基础题，只要熟知各特殊角的三角函数值就可求之．13. 若m n 、是方程2430x x −+=的两根，则mn 的值为______． 【答案】3 【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求得答案． 【详解】解： m n 、是方程2430x x −+=的两根，3mn ∴=故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．14. 如图，A 是反比例函数()120y x x−=<图象上一点，B 是反比例函数()20ky x x =>图象上一点，连接AB 交y 轴于点C ，若AC BC =，3AOB S =△，则k =______．【【答案】4 【解析】【分析】作AD y ⊥轴于点D ，BE y ⊥于点E ，可证得()ADC BEC AAS ≌，从而将AOB S 转化为+AOD BOE S S ，设2A a a，-，则k B a a − ，-，再根据面积公式列出等式()()121322k a a a a×−⋅−+×−⋅−=，即可求出k 的值． 【详解】解：如图：作AD y ⊥轴于点D ，BE y ⊥于点E ，90AC BC ADC BEC =∠=∠=° ，，ACD BCE ?， ()ADC BEC AAS ∴ ≌，AD BE ∴=，Δ=+AOB AOD BOE S S S ， 设2A a a，-，则k B a a−，-，()()121=+=322AOB AOD BOE k S S S a a a a ∆ ∴×−⋅−+×−⋅−=， 解得：4k =， 故答案为：4．【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，作出辅助线，根据面积公式列出等式是解题的关键．15. 如图，在正方形ABCD 中，6AB =，E 是BC 的中点，F 是CD 边上一点，将CEF △沿EF 折叠得到GEF △，连接CG 并延长分别交EF ，AB 于O ，H 两点，若G 是OH 的中点，则CF =______．【答案】【解析】【分析】先求出90B?，132CEBE AB ===由折叠的性质知EF 垂直平分CG ，得到OG OC =，90COE ∠=°，得到13OGGH OC CH ===，设OC x =，则3CH x =，证明COE CBH △∽△，求得CO =OC CF =，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴90B?，∵6AB =，E 是BC 的中点，∴132CEBE AB ===， ∵CEF △沿EF 折叠得到GEF △， ∴EF 垂直平分CG ， ∴OG OC =，90COE ∠=° ∵G 是OH 的中点， ∴OG GH =，∴13OGGH OC CH ===， 设OC x =，则3CH x =，∵90COE B ∠=∠=°，OCE BCH ∠=∠， ∴COE CBH △∽△，∴CO CEBC CH =， ∴363x x=，∴x =，∴CO =∴OE ，∴sin OE OCE CE ∠=， ∵90CFO OCF OCE OCF ∠+∠=∠+∠=°， ∴CFO OCE ∠=∠，∴sin sin OC CFO OCE CF ∠=∠=∴CF =，故答案为：【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、轴对称的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和解直角三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共7题．其中16题5分，17题7分，18题6分，19题8分，20题9分，21题10分，22题10分，共55分）16. 解方程：()211x x x +=+. 【答案】x=-1或x=0.5. 【解析】【分析】移项后提取公因式x+1后求解可得 【详解】∵2x(x+1)=x+1. ∴2x （x+1）-（x+1）=0， （x+1）（2x-1）=0， 则x+1=0或2x-1=0， 解得：x=-1或x=0.5.【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 17. 某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选． （1）随机抽取1人，甲恰好被抽中的概率是______；（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率． 【答案】（1）34（2）12 【解析】【分析】（1）根据随机事件的定义即可解决问题；（2）从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T 表示，其余3人均是共产党员用G 表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，然后利用树状图即可解决问题．小问1详解】解：若从四个人中随机抽取一人，共有四种可能：团员、党员、党员、党员，抽到党员的概率34P =党员． 故答案为：34． 【小问2详解】 解：如图，共有：团党、团党、团党、党团、党党、党党、党团、党党、党党、党团、党党、党党十二种可能，所以两名护士都是党员的概率为：61122=． 答：随机抽取2人，被抽到的两名护士恰好都是党员的概率为12，【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB 的影长OC 为16米，OA 的影长OD 为20米，小明的影长FG 为2.4米，其中O 、C 、D 、F 、G 五点在同一直线上，A 、B 、O 三点在同一直线上，且AO OD ⊥，EF FG ⊥．已知小明的身高EF 为1.8米．【（1）求建筑物OB 的高度； （2）求旗杆的高AB ．【答案】（1）12米 （2）3米 【解析】【分析】（1）根据题意利用相似三角形的判定和性质得出BOC EFG △∽△，BO OCEF FG=，然后代入求解即可；（2）根据题意利用相似三角形的判定和性质得出AOD EFG △∽△，AO ODEF FG=，得出15AO =，再结合（1）中结论求解即可． 【小问1详解】解：根据题意得：BC EG ∥， ∴BCO EGF ∠=∠，90AOD EFG ∠=∠=° ，∴BOC EFG △∽△， ∴BO OC EF FG =，即161.82.4BO =， ∴12BO =米； 【小问2详解】根据题意得：AD EG ， ∴ADO EGF ∠=∠，90AOD EFG ∠=∠=° ，∴AOD EFG △∽△， ∴AO OD EF FG =，即201.82.4AO =， ∴15AO =米， 由（1）得12BO =米，∴15123AB AO BO =−=−=（米）， ∴旗杆的高AB 是3米．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定．19. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AD BC ∥，AC 平分DAB ∠，连接BD 交AC 于点O ，过点C 作CEAB ⊥交AB 延长线于点E ．（1）求证：四边形ABCD 为菱形； （2）若4OA =，3OB =，求CE 的长． 【答案】（1）见详解 （2）245【解析】【分析】（1）由题意可得，四边形ABCD 为平行四边形，因为AC 平分DAB ∠，所以BAC BCA ∠=∠，从而可得AB BC =，即可证明出四边形ABCD 为菱形；（2）菱形的对角线互相垂直，由勾股定理可得5AB =，在根据AOB AEC △∽△，即可求得CE 的长． 【小问1详解】证明：AB CD AD BC ∥，∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，DAC BCA ∠=∠，AC 平分DAB ∠，DAC CAB ∴∠=∠，ACB CAB ∴∠=∠，AB CB ∴=，∴四边形ABCD 是菱形．【小问2详解】解：由（1）得，28AO OB AC OA ⊥==，，5AB ∴=，CE AB OAB EAC ⊥∠=∠ ，， OAB EAC ∴ ∽，OB CEAB AC∴=，即358CE =，245CE ∴=，故CE 的长为：245．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定定理、三角形相似、勾股定理的应用，熟练的运用这些定理是解题的关键．20. 某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）直接写出工厂每天的利润y 元与每千克降价x 元之间的函数关系式（要求化为一般式）； （2）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则降价应为多少元？ （3）当降价为多少元时，有最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）2504009000y x x =−++ （2）5 （3）4，9800 【解析】【分析】（1）根据利润=销售量×（单价－成本），列出函数关系式即可；（2）根据（1）求得的函数关系式，当9750y =时，可求出x 的值，再根据题意选取x 的值即可； （3）根据（1）求得的函数关系式进一步利用分配方法求出答案即可． 【小问1详解】 解：由题意得：()()483050050y x x =−−+()()1850050x x =−+2504009000x x =−++，∴y 与x 之间的函数关系式为：2504009000y x x =−++；【小问2详解】解：根据题意可得：9750y =，即25040090009750x x −++=，解得：1235x x ==，， 让利于民，13x ∴=不合题意，舍去，5x ∴=，故工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则降价应为5元； 【小问3详解】解：由（1）得，()225040090005049800y x x x =−++=−−+，500−< ，4x ∴=时，y 最大，为9800，所以当降价为4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元．【点睛】此题考查二次函数的实际应用，解题的关键是求得函数解析式，进一步利用函数的性质解决问题．21. 杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图1，即1122F L F L ×=×），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm ），确定支点O ，并用细麻绳固定，在支点O 左侧10cm 的A 处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为1kg 的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与称砣绳长的重量忽略不计）（1）图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O 右侧的B 处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB 的长度随之变化．设重物的质量为x kg ，OB 的长为y cm ．则y 关于x 的函数解析式是______；若050y <<，则x 的取值范围是______．（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O 右侧的B 处，使秤杆平衡，如图3．设重物的质量为x kg ，OB 的长为y cm ．完成下列问题： ①y 关于x 的函数解析式是______； ②完成下表：x /kg… 0.25 0.5 1 2 4 …y /cm … ______ ______ ______ ______ ______ …③在直角坐标系中画出该函数的图象．【答案】（1）10y x =，05x << （2）10y x=①；② 40，20，10，5，2.5；③画出图如图所示． 【解析】【分析】（1）根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂即可求出关系式，再根据y 的范围即可求得x 的范围； （2）①根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂即可求得关系式；②根据①中求得y 关于x 的解析式为：10y x =，将x 的值分别取0.25,0.5,1，2,4代入解析式求出y 的值即可；③在图中根据②算出来的坐标值，进行描点连线即可． 【小问1详解】解： 阻力×阻力臂＝动力×动力臂，OA OB ∴×=×重物质量秤砣质量，即101x y ⋅=×， ∴y 关于x 的解析式为：10y x =，050y << ， 01050x ∴<<，05x ∴<<，∴x 的取值范围为：05x <<．【小问2详解】解：① 阻力×阻力臂＝动力×动力臂，=OA OB ∴××秤砣质量重物质量，即110=x y ×⋅，的10y x∴=，∴ y 关于x 的函数解析式是：10y x=； ②当0.25x =时，40y =，当0.5x =时，20y =， 当1x =时，10y =， 当2x =时，5y =， 当4x =时， 2.5y =； ③画出图如图所示：【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，以及列表、描点、连线、画函数图象的方法，求出函数解析式是解答本题的关键．22. 【探究发现】如图1，正方形ABCD 的对角线交于点O ，E 是AD 边上一点，作OF OE ⊥交AB 于点F ．学习小队发现，不论点E 在AD 边上运动过程中，AOE △与BOF 恒全等，请你证明这个结论； 【类比迁移】如图2，矩形ABCD 的对角线交于点O ，30ABD ∠=°，E 是BA 延长线上一点，将OE 绕点O 逆时针旋转60°得到OF ，点F 恰好落在DA 的延长线上，求AEAF的值； 【拓展提升】如图3，等腰ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=°，12BC =，点E 是BC 边上一点，以BE 为边在BC 的上方作等边BEF △，连接CF ，取CF 的中点M ，连接AM ，当AM =接写出BE 的长．【答案】 2 【解析】【分析】（1）由题意可得，45OA OB EAO FBO =∠=∠=°，，又由OF OE ⊥可知AOE BOF ∠=∠，所以可以得到AOE BOF △≌△；（2）连接DE ，根据矩形的性质和已知条件可证得()ODE OAF SAS ≌，从而得到AF DE =，将AEAF转化到DEA △中，在根据三角函数即可得到答案； （3）连接AE ，将ABE 绕点A 逆时针旋转120°得到ACN △，连接EM MN ，，FN ，则可证明四边形ECNF 是平行四边形，则可得EM MN =，作AG BC ⊥于G ，则可得G 为BC 中点，且可求得AG 的长，再在Rt AME △中可求得AE ，从而可求得EG 的长，最后求得BE 的长．【详解】（1）证明： 正方形ABCD 的对角线交于点O ，45OA OB EAO FBO OA OB ∴=∠=∠=°⊥，，，OFOE ⊥，+AOE AOF BOF AOF ∴∠∠=∠+∠，AOE BOF ∴∠=∠， ()AOE BOF ASA ∴ ≌，即不论点E 在AD 边上运动过程中，AOE △与BOF 恒全等； （2）解：如图所示，连接DE ，四边形ABCD 对角线相交于点O ，OD OA OB ∴==，30ABD ∠=° ，60AOD ∴=°∠，由旋转性质可知，60OE OF EOF =∠=°，，DOE EOA EOA AOF ∴∠+∠=∠+∠，=DOE AOF ∴∠∠，()ODE OAF SAS ∴ ≌，120AF DE ODE OAF ∴=∠=∠=°，，60EDA ODE ADB ∴∠=∠−∠=°，=sin sin 60AE AE EDA AF DE ∴=∠=°， （3）解：连接AE ，将ABE 绕点A 逆时针旋转120°得到ACN △，连接EM MN ，，FN ，如图，120BAC ABC ∠=° ，等腰三角形，30ABC ACB ACN ∴∠=∠=∠=°，60BCN ACB ACN ∴∠=∠+∠=°，BEF 为等边三角形，BE EF CN ∴==，60FEB BCN ∠=∠=°，CN EF ∴∥，∴四边形FECN 为平行四边形，为M为对角线FC的中点，∴M为平行四边形FECN对角线的交点，∴=，EM NMEAN，120∠=°，=AE AN∴∠=∠=°⊥，，AEN ANE AM EN30∴==AE AM2⊥于G，作AG BC1230=∠=°，，BC ABC∴AG4∴=，EG∴=−=−=．642BE BG EG【点睛】本题考查了矩形、正方形、三角形的综合几何题的求解与证明，熟悉矩形、正方形、三角形的相关性质与定理是解题的关键．。
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2015-2016学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：以下每题只有一个正确的选项，请将答题卡上的正确选项涂黑，每小题3分，共36分．1．（3分）如图所示几何体的俯视图是（）A．B．C．D．2．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（）A．12个B．16个C．20个D．25个3．（3分）1m长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影子长度为0.8m，同一时刻，某电视塔的影子长度为100m，则该电视塔的高度为（）A．150m B．125m C．120m D．80m4．（3分）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．12B．14C．12或14D．以上都不对5．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A．B．C．D．6．（3分）下列命题中，错误的是（）A．三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是正方形7．（3分）某旅游景点2015年六月份共接待游客25万人次，八月份共接待游客64万人次，设六至八月每月游客人次的平均增长率为x，则可列方程为（）A．25（1+x）2=64B．25（1﹣x）2=64C．64（1+x）2=25D．64（1﹣x）2=258．（3分）一元二次方程ax2+x﹣2=0有两个不相等实数根，则a的取值范围是（）A．a B．a=C．a且a≠0D．a且a≠0 9．（3分）将抛物线y=﹣5x2+1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y=﹣5（x+3）2﹣2B．y=﹣5（x+3）2﹣1C．y=﹣5（x﹣3）2﹣2D．y=﹣5（x﹣3）2﹣110．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=4，BC=3，则tan∠ACD的值为（）A．B．C．D．11．（3分）如图，已知A是双曲线y=（x＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y=﹣（x＜0）于点B，若OA⊥OB，则的值为（）A．B．C．D．12．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＜0；④16a+4b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共4小题，每题3分，共12分，请将答案填入答题卡指定位置上．13．（3分）方程4x（2x+1）=3（2x+1）的解为．14．（3分）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为．15．（3分）如图，直线y=x﹣1与坐标轴交于A、B两点，点P是曲线y=（x ＞0）上一点，若△PAB是以∠APB=90°的等腰三角形，则k=．16．（3分）如图：是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆20（即n=20）根时，需要的火柴棍总数为根．三、解答题：共52分．17．（5分）计算：|tan60°﹣2|+（2015﹣π）0﹣（﹣）﹣2+．18．（6分）如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）小红从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；（2）小明从这四张纸牌中随机摸出两张，用树状图或表格法，求摸出的两张牌面图形都是中心对称图形的概率．19．（6分）某中学九年级学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度，如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进20米到达点D，又测得点A的仰角为45°，请根据这些数据，求这幢教学楼的高度．（最后结果精确到1米，参考数据≈1.732）20．（7分）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．（1）求证：AB=DF；（2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值．21．（9分）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是反比例函数y=的图象和一次函数y=ax+b的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出不等式ax+b﹣＜0的解集．22．（9分）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，所有房间刚好可以住满，根据经验发现，每个房间的定价每增加10元，就会有1个房间空闲，对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间支出每天20元的各种费用．设每个房间的定价增加x元，每天的入住量为y个，客房部每天的利润为w元．（1）求y与x的函数关系式；（2）求w与x的函数关系式，并求客房部每天的最大利润是多少？（3）当x为何值时，客房部每天的利润不低于14000元？23．（10分）如图①，已知二次函数y=﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．（1）求△ABC的面积．（2）点M在OB边上以每秒1个单位的速度从点O向点B运动，点N在BC边上以每秒个单位得速度从点B向点C运动，两个点同时开始运动，同时停止．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，以B、M、N为顶点的三角形与△BOC相似？（3）如图②，点P为抛物线上的动点，点Q为对称轴上的动点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、C、B为顶点的四边形是平行四变形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：以下每题只有一个正确的选项，请将答题卡上的正确选项涂黑，每小题3分，共36分．1．（3分）如图所示几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从上面看中间是一个正方形，左右各一个矩形，故选：D．2．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（）A．12个B．16个C．20个D．25个【解答】解：设盒子中有红球x个，由题意可得：=0.2，解得：x=16，故选：B．3．（3分）1m长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影子长度为0.8m，同一时刻，某电视塔的影子长度为100m，则该电视塔的高度为（）A．150m B．125m C．120m D．80m【解答】解：设电视塔的高度应是x，根据题意得：=，解得：x=125，故选：B．4．（3分）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．12B．14C．12或14D．以上都不对【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0，得x1=5，x2=7，即第三边的边长为5或7．∵三角形两边的长是3和4，∴1＜第三边的边长＜7，∴第三边的边长为5，∴这个三角形的周长是3+4+5=12．故选：A．5．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A．B．C．D．【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB=4，BD=4，∴cos∠B==．故选：B．6．（3分）下列命题中，错误的是（）A．三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是正方形【解答】解：A、三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，所以A选项为真命题；B、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以B选项为真命题；C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，所以C选项为真命题；D、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以D选项为假命题．故选：D．7．（3分）某旅游景点2015年六月份共接待游客25万人次，八月份共接待游客64万人次，设六至八月每月游客人次的平均增长率为x，则可列方程为（）A．25（1+x）2=64B．25（1﹣x）2=64C．64（1+x）2=25D．64（1﹣x）2=25【解答】解：设六至八月每月游客人次的平均增长率为x，依题意得25（1+x）2=64．故选：A．8．（3分）一元二次方程ax2+x﹣2=0有两个不相等实数根，则a的取值范围是（）A．a B．a=C．a且a≠0D．a且a≠0【解答】解：∵一元二次方程ax2+x﹣2=0有两个不相等实数根，∴b2﹣4ac=12﹣4a•（﹣2）＞0，解得：a＞﹣且a≠0，故选：C．9．（3分）将抛物线y=﹣5x2+1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y=﹣5（x+3）2﹣2B．y=﹣5（x+3）2﹣1C．y=﹣5（x﹣3）2﹣2D．y=﹣5（x﹣3）2﹣1【解答】解：把抛物线y=﹣5x2+1向左平移3个单位得到抛物线y=﹣5（x+3）2+1的图象，再向下平移2个单位得到抛物线y=﹣5（x+3）2+1﹣2的图象，即y=﹣5（x+3）2﹣1．故选：B．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=4，BC=3，则tan∠ACD的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴∠CDA=90°，∠A+∠B=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，tanB=，∴tanB=，∴tan∠ACD=，故选：A．11．（3分）如图，已知A是双曲线y=（x＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y=﹣（x＜0）于点B，若OA⊥OB，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵A点在双曲线y=（x＞0）上一点，∴设A（，m），∵AB∥x轴，B在双曲线y=﹣（x＜0）上，∴设B（﹣，m），∴OA2=+m2，BO2=+m2，∵OA⊥OB，∴OA2+BO2=AB2，∴+m2++m2=（+）2，∴m2=，∴===，∴=，故选：C．12．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＜0；④16a+4b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由开口向上，可得a＞0，又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c ＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故②正确；由抛物线的对称轴为直线x=1，可得b=﹣2a，再由当x=﹣1时y＜0，即a﹣b+c ＜0，3a+c＜0，故③正确；根据对称轴和图可知，抛物线与x轴的另一交点在3和4之间，所以当x=4时，y＞0，即可得16a+4b+c＞0，故④正确，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每题3分，共12分，请将答案填入答题卡指定位置上．13．（3分）方程4x（2x+1）=3（2x+1）的解为x1=﹣，x2=．【解答】解：移项得4x（2x+1）﹣3（2x+1）=0，∴（2x+1）（4x﹣3）=0，∴2x+1=0或4x﹣3=0，∴x1=﹣，x2=．故答案为x1=﹣，x2=．14．（3分）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为2．【解答】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，∵PC∥OA，∴∠CPO=∠POD，又∠AOP=∠BOP=15°，∴∠CPO=∠BOP=15°，又∠ECP为△OCP的外角，∴∠ECP=∠COP+∠CPO=30°，在直角三角形CEP中，∠ECP=30°，PC=4，∴PE=PC=2，则PD=PE=2．故答案为：2．15．（3分）如图，直线y=x﹣1与坐标轴交于A、B两点，点P是曲线y=（x ＞0）上一点，若△PAB是以∠APB=90°的等腰三角形，则k=4．【解答】解：作PC⊥x轴，PD⊥y轴，如图，∴∠COD=∠ODM=∠OCM=90°，∴四边形OCPD是矩形．在△APD和△BPC中，，∴△APD≌△BPC（AAS），∴AD=BC，DP=CP，∴四边形OCPD是正方形，∴OC=OD，∵OA=1，OB=5，设OD=x，则AD=x+1，BC=5﹣x，∵AD=BC，∴x+1=5﹣x，解得：x=2，即OD=OC=2，∴点P的坐标为：（2，2），∴k=xy=4，故答案为：4．16．（3分）如图：是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆20（即n=20）根时，需要的火柴棍总数为630根．【解答】解：n=1时，有1个三角形，需要火柴的根数为：3×1；n=2时，有3个三角形，需要火柴的根数为：3×（1+2）；n=3时，有6个三角形，需要火柴的根数为：3×（1+2+3）；…；n=20时，需要火柴的根数为：3×（1+2+3+4+…+20）=630．故答案为：630．三、解答题：共52分．17．（5分）计算：|tan60°﹣2|+（2015﹣π）0﹣（﹣）﹣2+．【解答】解：原式=2﹣+1﹣9+3=﹣3﹣．18．（6分）如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）小红从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；（2）小明从这四张纸牌中随机摸出两张，用树状图或表格法，求摸出的两张牌面图形都是中心对称图形的概率．【解答】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有2种，所以摸到正面是中心对称图形的纸牌的概率是；（2）列表得：A B C DA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是中心对称图形的有2种，即（B，C）（C，B）∴P（两张都是中心对称图形）==．19．（6分）某中学九年级学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度，如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进20米到达点D，又测得点A的仰角为45°，请根据这些数据，求这幢教学楼的高度．（最后结果精确到1米，参考数据≈1.732）【解答】解：由已知，可得：∠ACB=30°，∠ADB=45°，∴在Rt△ABD中，BD=AB．又在Rt△ABC中，∵tan30°==，∴=，即BC=AB．∵BC=CD+BD，∴AB=CD+AB，即（﹣1）AB=20，∴AB=10（+1）≈27米．答：教学楼的高度为27米．20．（7分）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．（1）求证：AB=DF；（2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，∴∠DAF=∠AEB．∵DF⊥AE，AE=BC，∴∠AFD=90°，AE=AD．∴△ABE≌△DFA；∴AB=DF；（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．∴AB=DF=6．在Rt△ADF中，AF=，∴EF=AE﹣AF=AD﹣AF=2．∴tan∠EDF==．21．（9分）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是反比例函数y=的图象和一次函数y=ax+b的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出不等式ax+b﹣＜0的解集．【解答】解：（1）把B（2，﹣4）代入y=的得m=2×（﹣4）=﹣8，所以反比例函数解析式为y=﹣，把A（﹣4，n）代入y=﹣得﹣4n=﹣8，解得n=2，把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b得，解得．所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；（3）不等式kx+b﹣＜0的解集为﹣4＜x＜0或x＞2；故答案为：﹣4＜x＜0或x＞2．22．（9分）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，所有房间刚好可以住满，根据经验发现，每个房间的定价每增加10元，就会有1个房间空闲，对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间支出每天20元的各种费用．设每个房间的定价增加x元，每天的入住量为y个，客房部每天的利润为w元．（1）求y与x的函数关系式；（2）求w与x的函数关系式，并求客房部每天的最大利润是多少？（3）当x为何值时，客房部每天的利润不低于14000元？【解答】解：（1）由题意得：y=60﹣；（2）w=（200+x）（60﹣）﹣20×（60﹣）=﹣x2+42x+10800∵w=﹣x2+42x+10800=﹣（x﹣210）2+15210，∴当x=210时，w有最大值，且最大值是15210元；（3）当W=14000时，即﹣（x﹣210）2+15210=14000，解得：x1=100，x2=320，故当100≤x≤320时，每天的利润不低于14000元．23．（10分）如图①，已知二次函数y=﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．（1）求△ABC的面积．（2）点M在OB边上以每秒1个单位的速度从点O向点B运动，点N在BC边上以每秒个单位得速度从点B向点C运动，两个点同时开始运动，同时停止．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，以B、M、N为顶点的三角形与△BOC相似？（3）如图②，点P为抛物线上的动点，点Q为对称轴上的动点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、C、B为顶点的四边形是平行四变形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当x=0时，y=3，即C（0，3），当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1，x=3，即A（﹣1，0），B（3，0）；S△ABC=AB•OC=×[3﹣（﹣1）]×3=6；（2）若∠BMN=90°，如图1：，BM=（3﹣t），BN=t，BC==3，△BMN∽△BOC，=，即=．t=（3﹣t），解得t=；若∠BNM=90°时，如图2：，BM=（3﹣t），BN=t，BC==3，△BMN∽△BCO，=，即=，3﹣t=×t，解得t=1；综上所述：t=1或t=；（3）如图3：，若CB为对角线，即CP∥QB，CP 1=Q1B=3﹣1=2，y=y C=3，P1（2，3）；CB为边，即CB∥PQ，CB=PQ，设P（a，b），D（1，b），Q（1，a+b﹣1）．PQ=CB，即（a﹣1）2+（1﹣a）2=18，化简，得a2﹣2a﹣8=0．解得a=﹣2或a=4．当a=﹣2时，b=﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3=﹣5，即P2（﹣2，﹣5）；当a=4时，b=﹣42+2×4+3=﹣5，即P3（4，﹣5）；综上所述：P1（2，3），P2（﹣2，﹣5），P3（4，﹣5）．。