高等数学---3.4函数单调性的判别法
大一高等数学第三章第四节函数单调性的判定法全文
s(t)
5t 7.5 .
(0.5 t)2 (4 2t)2
令s(t) 0,
得唯一驻点 t 1.5. 故得我军从B处发起追击后 1.5 分钟射击最好.
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数;
(2)求最值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点的 函数值即为所求的最(或最小)值．
例10某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？
但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时, f '( x)
符号相同,则 f ( x) 在x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
x (是极值点情形)
y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
x0
x
(不是极值点情形)
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
步骤:
1.求驻点和不可导点;
函数的单调性与极值 最值
例8
判断函数 y = x − ln x 的单调性
解
函数的定义域为 (0,+∞ ) x −1 1 Q y′ = 1 − = x x 当 0 < x < 1 时数在 ( 0,1) 内单调减少。 单调减少。
内单调增加。 在 (1, +∞ ) 内单调增加。
x >1
时， y′ > 0,
y
f ( x1 )
( 2)
则称函数 f ( x )在区间 I上是单调减少的 ;
f ( x2 )
y = f ( x)
o
x1
x2
x
I
一、函数的单调性
y
2.判别方法 判别方法
y A y = f (x) B
y = f (x)
A
B
o
a
f ′( x ) ≥ 0
b
x
o a
f ′( x ) ≤ 0
b x
在区间(a,b)上单调上升 若 y = f (x)在区间 上单调上升 在区间(a,b)上单调下降 若 y = f (x)在区间 上单调下降
y
间断
∴ 单增区间为 (−∞, −2) , ( 2, +∞ ) 单减区间为 (−2, 0) , (0, 2)
x < ln(1 + x ) < x . 复习 证明当 x > 0 时, 1+ x 课本P124 课本 证法一设 f ( t ) = ln(1 + t ) t ∈ [0, x ]
足拉格朗日中值定理的条件. 则 f ( x ) 在 [0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件. 故
∴ 在(−∞ ,1]上单调增加； −∞ 上单调增加；
f ′( x ) < 0, ∴ 在[1,2]上单调减少； 上单调减少；
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：
凹
凸
曲线凹 导函数递增？
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
高等数学：函数的单调性及其极值
函数的单调性及其极值单调性是函数的重要性态之一，它既决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。
本节将以导数为工具，给出函数单调性的判别法及极值的求法。
一、函数的单调性1、函数单调性的判定为利用导数研究函数的单调性，我们首先来看图133--)(a 、)(b 。
图133--)(a 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向上升，除点))(,(ξξf 处的切线平行于x 轴外，)(a )(b 图133--曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为锐角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为正；而图133--)(b 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向下降，除个别点外，曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为钝角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为负。
由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。
反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面我们利用拉格朗日中值定理来讨论。
设函数)(x f 在区间I 内可导，在I 内任取两点1x 和2x （21x x <），在区间],[21x x 上应用拉格朗日中值定理，得)()()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （21x x <<ξ） （1）由于在（1）式中012>-x x ，因此，若在I 内导数)(x f '的符号保持为正，即0)(>'x f ，那么也有0)(>'ξf ，于是0)()()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f <表明函数)(x f 在区间I 上单调增加。
同理，若在I 内导数)(x f '的符号保持为负，即0)(<'x f ，那么也有0)(<'ξf ，于是0)()()()(1212<-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f > 表明函数)(x f 在区间I 上单调减少。
高等数学第三章 单调性及其判定
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [ 2, ).
例3
确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间.
2 33 x
解 D : ( , ).
二、单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法:用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点
来划分函数 f ( x )的定义区间 , 然后判断区间内导 数的符号.
单调性及其判定
Lagrange定理 y f ( x0 x ) x 给出了 函数在某区间上的增量与函数在区间内某点处的 导数之间的关系，为利用导数反过来研究函数的 性质或曲线的形态提供了一座桥梁。本节我们就 来讨论这方面的问题，主要介绍：单调性、极值 最值、凹凸、拐点和曲率。
一、单调性的判别法
f ( 0 ) 0, 在[0,)上单调增加；
当x 0时，x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).
例5
证
证明 x 0时 1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2
令 f ( x ) 1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调增加 .
若在(a , b)内， f ( x ) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
高等数学《函数单调性与凸性的判别法》
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
定义 设f (x)在区间I上连续,若对任意两点
x1, x2 I (x1 x2 ), 恒有 :
f
x1
2
x2
1
2
f
(x1)
f
(x2 )
则称曲线y=f (x)在I内是下凸的（或称凹弧）;如果恒有
f
x1
2
x2
1
2
f
(x1)
f
(x2 )
则称曲线y=f (x)在I内是上凸的（或称凸弧）。
在[a, b]上单调增加； （2）如果 x (a,b) , 有f ( x) 0 , 则函数 f ( x)
在[a, b]上单调减少 .
备注 如果 把区间[a,b] 换成其他各种类型的区间 (包括无穷区间) , 定理结论仍成立.
证 在 [a,b] 上任取两点 x1, x2 ,且 x1 x2 ,
在 [ x1, x2 ] 上应用拉格朗日中值定理 , 得
f ( x)
不存在
y f (x) 下凸
0
上凸
曲线在区间(,0]向下凸 , 在区间[0,]向上凸 , 点 (0,0) 为曲线的拐点.
注意: 若 f ( x0 ) 不存在 , 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x) 的拐点.
结论：
若曲线 y=f (x) 在点 x0 连续 ,
y 注意 拐点处若存在切线，
则必在拐点处穿过曲线. o
x
2) 拐点的求法
定理 2 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
数,则点x0 , f ( x0 )是拐点的必要条件是 f "( x0 ) 0.
求拐点的方法:
高等数学方明亮34函数的单调性与曲线的凹凸性
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理 1 (函数单调性的判定法） 设函数 y f (x) 在 [a,b] 上 连 续 , 在 (a,b) 内 可 导 ．（ 1 ） 如 果 在 (a,b) 内 ， f (x) 0 ，则 y f (x) 在 [a,b] 上单调增加；（2）如果在 (a,b) 内， f (x) 0 ，则 y f (x) 在[a,b] 上单调减少．
2019年9月14日星期六
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定义 设函数 f (x) 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意
两点 x1, x2 （不妨设 x1 x2 ）及任意正数 (0 1) ，恒
有
f [x1 (1 ))x2 ] f (x1) (1 ) f (x2 ),
解：已知 f (x0 ) 0 ，不妨设 f (x0 ) 0 ， 由于 f (x0 ) 在 x x0 的某邻域内连续，
因此必存在 0 ，当 x (x0 , x0 ) 时 f (x) 0
又已知 f (x0 ) 0
从而当 x (x0 , x0 ) 时 f (x) f (x0 ) 0 ，函数凸
则称曲线 y f (x) 在 I 上是凹的．
类似地，可给出曲线是凸的定义，若上式中不等 号反向，则称曲线 y f (x) 在 I 上是凸的．
直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的，
下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性．
2019年9月14日星期六
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苏教高等数学教材目录
苏教高等数学教材目录第一章函数与极限1.1 实数1.2 数列的极限1.3 函数的极限1.4 无穷小量与无穷大量1.5 极限运算法则1.6 函数的连续性第二章导数与微分2.1 函数的导数2.2 常用函数的导数2.3 高阶导数2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 微分中值定理第三章微分中值定理与应用3.1 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理3.2 洛必达法则与柯西中值定理3.3 泰勒公式与应用3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性第四章不定积分4.1 不定积分的概念4.2 基本积分公式4.3 第一换元法4.4 第二换元法4.5 分部积分法4.6 有理函数的积分4.7 反常积分第五章定积分与应用5.1 定积分的概念5.2 定积分的性质5.3 牛顿-莱布尼兹公式5.4 平面图形的面积5.5 曲线的弧长5.6 物理应用题6.1 微分方程的概念6.2 一阶常微分方程6.3 可降阶的二阶常微分方程6.4 高阶线性常微分方程第七章多元函数及其极限7.1 二元函数的极限7.2 多元函数的连续性7.3 偏导数7.4 全微分7.5 隐函数及其导数第八章多元函数的微分学8.1 多元函数的导数8.2 链式求导法则8.3 方向导数与梯度8.4 多元函数的极值及其判别8.5 条件极值与拉格朗日乘数法9.1 二重积分的概念与性质9.2 二重积分的计算9.3 二重积分的应用9.4 三重积分的概念与计算9.5 三重积分的应用第十章曲线积分与曲面积分10.1 曲线积分的概念与性质10.2 第一类曲线积分10.3 第二类曲线积分10.4 曲面积分的概念与性质10.5 曲面积分的计算第十一章常微分方程与线性方程组11.1 高阶线性微分方程11.2 齐次线性微分方程11.3 非齐次线性微分方程11.4 常系数线性微分方程11.5 线性方程组与矩阵的运算第十二章向量代数与空间解析几何12.1 向量的概念与性质12.2 向量的点乘与叉乘12.3 平面方程及其相关问题12.4 空间直线及其相关问题12.5 空间曲线及其相关问题第十三章空间解析几何13.1 空间曲面及其相关问题13.2 球面坐标系13.3 柱面坐标系13.4 抛物面坐标系13.5 椭球面坐标系13.6 坐标系的转变第十四章多元函数积分学14.1 重积分的概念与性质14.2 重积分的计算14.3 曲线积分与曲面积分的概念与计算14.4 格林公式与高斯公式14.5 斯托克斯公式第十五章曲线积分与曲面积分15.1 曲线积分的概念与性质15.2 第一类曲线积分15.3 第二类曲线积分15.4 曲面积分的概念与性质15.5 曲面积分的计算第十六章常微分方程与线性方程组16.1 高阶线性微分方程16.2 齐次线性微分方程16.3 非齐次线性微分方程16.4 常系数线性微分方程16.5 线性方程组与矩阵的运算这是苏教高等数学教材的目录，按章节顺序给出了各个章节的内容概要。
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注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
3 y x , y x 0 0, 但在( ,)上单调增加. 例如,
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
x . 证 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 f ( x ) 1 x
一、单调性的判别法
y
y f ( x)
A
B
y
A y f ( x)
B
o
a
f ( x ) 0
b
x
o a
f ( x ) 0
b x
定理 设函数 y f ( x )在[a, b]上连续，在 ( a, b )内可 导（ . 1） 如果在( a, b )内f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调增加； ( 2) 如果在 ( a, b )内 f ( x ) 0， 那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调减少.
方法: 用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点
来划分函数 f ( x )的定义区间 , 然后判断区间内导 数的符号.
例2 确定函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2
12 x 3的单调区间.
解 D : ( , ).
f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
二、 确定下列函数的单调区间：
10 1、 y ； 3 2 4x 9x 6x 2、 y 3 ( 2 x a )(a x ) 2
( a 0 )；
三、 证明下列不等式： 1、 当 x 0时，1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2 ； 1 2、 若 x 0，则 sin x x x 3 . 6 （圆扇形面积＝1/2 半径 2×角度）
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [ 2, ).
例3
确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间.
解 D : ( , ).
f ( x ) 2 33 x , ( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时，f ( x ) 0, 在( ,0]上单调减少； 当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导，f ( x ) 0,
f ( 0 ) 0, 在[0,)上单调增加；
当x 0时，x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).
三、小结
定理中的区间换成其它有限或无限区间， 结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性证明不等式.
提示: 利用 f ( x) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
练习题
一、 填空题： 1、 函 数 y 2 x 3 6 x 2 18 x 7 单 调 区 间 为 ________ _____________. 2x 2、 函数 y 在区间________上单调增， 2 1 x 在_________上单调减.
说明:
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,
y y 3 x2
o y
x
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
o
y x3
x
f ( x) 0( f ( x) 0)
是判断函数单调增加的充分条 件，而不是必要条件。如：
Y=x3,D=R.为单调增加函数，但y’|x=0 =0
二、单调区间求法
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点．
思考与练习
1. 设在 [0 ,1] 上 f ( x) 0 , 则 f (0) , f (1) , f (1) f (0)
或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
( A) ( B) (C ) ( D)
f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (1) f (0) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0)
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
当 x 1时， f ( x ) 0, 在( ,1]上单调增加； 当1 x 2时，
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
例1 讨论函数y e x x 1的单调性.
解 y e x 1. 又 D : ( ,).
在( ,0)内, y 0,
函数单调减少；
在(0,)内, y 0,
函数单调增加 .
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．