2021北京市朝阳区九年级期末数学试卷
2020-2021北京市初三数学上期末试题含答案
2020-2021北京市初三数学上期末试题含答案一、选择题1．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A 、B 、C 三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的( )A ．MB ．PC ．QD ．R 2．把抛物线y ＝2(x ﹣3)2+k 向下平移1个单位长度后经过点(2，3)，则k 的值是( ) A ．2 B ．1C ．0D ．﹣13．把抛物线y ＝﹣2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．y ＝﹣2（x +1）2+1B ．y ＝﹣2（x ﹣1）2+1C ．y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣1D ．y ＝﹣2（x +1）2﹣14．已知y 关于x 的函数表达式是24y ax x a =--，下列结论不正确的是（ ） A ．若1a =-，函数的最大值是5B ．若1a =，当2x ≥时，y 随x 的增大而增大C ．无论a 为何值时，函数图象一定经过点(1,4)-D ．无论a 为何值时，函数图象与x 轴都有两个交点5．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．6．甲袋里有红、白两球，乙袋里有红、红、白三球，两袋的球除颜色不同外都相同，分别往两袋里任摸一球，则同时摸到红球的概率是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．167．抛物线2y x 2=-+的对称轴为 A ．x 2=B ．x 0=C ．y 2=D ．y 0=8．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝34°，则∠OAC 等于( )A．68°B．58°C．72°D．56°9．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．4233π-B．8433π-C．8233π-D．843π-10．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．11．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切，D为切点，若∠BCD＝125°，则∠ADP的大小为（）A．25°B．40°C．35°D．30°12．下列说法正确的是（）A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件B．某种彩票的中奖率为11000，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为1 3D．“概率为1的事件”是必然事件二、填空题13．“明天的太阳从西方升起”这个事件属于________事件（用“必然”、“不可能”、“不确定”填空）．14．如图，AB 为O e 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，已知8CD =，3OE =，则O e 的半径为______.15．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_______.16．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时 公交车用时的频数 线路 3035t ≤≤ 3540t <≤ 4045t <≤ 4550t <≤ 合计A 59 151 166 124 500B 50 50 122 278 500 C4526516723500早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．17．关于x 的一元二次方程2ax x 10+-=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______．18．一元二次方程22x 20-=的解是______．19．某校组织“优质课大赛”活动，经过评比有两名男教师和两名女教师获得一等奖，学校将从这四名教师中随机挑选两位教师参加市教育局组织的决赛，挑选的两位教师恰好是一男一女的概率为____．20．已知扇形的面积为12πcm 2，半径为12cm ，则该扇形的圆心角是_______.三、解答题21．已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．22．如图，在⊙O中，点C为»AB的中点，∠ACB＝120°，OC的延长线与AD交于点D，且∠D＝∠B．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若CE＝4，求弦AB的长．23．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE ⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．24．伴随经济发展和生活水平的日益提高，水果超市如雨后春笋般兴起．万松园一水果超市从外地购进一种水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据市场调查，这种水果在市场上的销售量y（吨）与销售价x（万元）之间的函数关系为y＝-x＋2.6（1）当每吨销售价为多少万元时，销售利润为0.96万元？（2）当每吨销售价为多少万元时利润最大？并求出最大利润是多少？25．2019年第六届世界互联网大会在乌镇召开，小南和小西参加了某分会场的志愿服务工作，本次志愿服务工作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员．请你用画树状图或列表法求出小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．【详解】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．2．A解析：A【解析】【分析】把点坐标代入y=2（x-3）2+k-1解方程即可得到结论．【详解】解：设抛物线y=2（x-3）2+k向下平移1个单位长度后的解析式为y=2（x-3）2+k-1，把点（2，3）代入y=2（x-3）2+k-1得，3=2（2-3）2+k-1，∴k=2，故选A．【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题关键．3．B解析：B【解析】【详解】∵函数y=-2x2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y=-2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+1，故选B．【点睛】二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．4．D解析：D【解析】【分析】将a的值代入函数表达式，根据二次函数的图象与性质可判断A、B，将x=1代入函数表达式可判断C，当a=0时，y=-4x是一次函数，与x轴只有一个交点，可判断D错误.【详解】当1a =-时，()224125=--+=-++y x x x ， ∴当2x =-时，函数取得最大值5，故A 正确； 当1a =时，()224125y x x x =--=--， ∴函数图象开口向上，对称轴为2x =， ∴当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，故B 正确； 当x=1时，44=--=-y a a ，∴无论a 为何值，函数图象一定经过(1,-4)，故C 正确；当a=0时，y=-4x ，此时函数为一次函数，与x 轴只有一个交点，故D 错误； 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，以及一次函数与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确． 故选D ． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．A解析：A 【解析】 【分析】先画树状图求出任摸一球的组合情况总数，再求出同时摸到红球的数目，利用概率公式计算即可． 【详解】 画树状图如下：分别往两袋里任摸一球的组合有6种：红红，红红，红白，白红，白红，白白；其中红红的有2种，所以同时摸到红球的概率是21 63 =．故选A．【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．B解析：B【解析】【分析】根据顶点式的坐标特点，直接写出对称轴即可．【详解】解∵：抛物线y=-x2+2是顶点式，∴对称轴是直线x=0，即为y轴．故选：B．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h．8．D解析：D【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOC，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题．【详解】∵∠ADC=34°，∴∠AOC=2∠ADC=68°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA12=（180°﹣68°）=56°．故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．C解析：C【解析】【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．【详解】解：连接OD，在Rt△OCD中，OC＝12OD＝2，∴∠ODC＝30°，CD＝2223OD OC+=∴∠COD＝60°，∴阴影部分的面积＝260418223=23 36023π⨯-⨯⨯π-，故选：C．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．10．D解析：D【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；B不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；D即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故选D.考点：轴对称图形和中心对称图形识别11．C解析：C【解析】【分析】连接AC，OD，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB是直角，求出∠ACD的度数，根据圆周角定理求出∠AOD的度数，再利用切线的性质即可得到∠ADP的度数．【详解】连接AC，OD．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=125°﹣90°=35°，∴∠AOD=2∠ACD=70°．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠ADO=55°．∵PD与⊙O相切，∴OD⊥PD，∴∠ADP=90°﹣∠ADO=90°﹣55°=35°．故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理及推论，正确作出辅助线是解答本题的关键．12．D解析：D【解析】试题解析：A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；B. 某种彩票的中奖概率为11000，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B错误；C. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次,出现正面朝上的概率为12.故C错误；D. “概率为1的事件”是必然事件,正确.故选D.二、填空题13．不可能【解析】根据所学知识可知太阳应该从东方升起所以明天的太阳从西方升起这个事件属于不可能事件故答案为:不可能解析：不可能【解析】根据所学知识可知太阳应该从东方升起,所以”明天的太阳从西方升起”这个事件属于不可能事件,故答案为:不可能.14．5【解析】【分析】连接OD根据垂径定理求出DE根据勾股定理求出OD即可【详解】解：连接OD∵CD⊥AB于点E∴DE=CE=CD=×8=4∠OED=90°由勾股定理得：OD=即⊙O的半径为5故答案为：解析：5【解析】【分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出OD即可．【详解】解：连接OD，∵CD⊥AB于点E，∴DE=CE= 12CD=12×8=4，∠OED=90°，由勾股定理得：2222345OE DE+=+=,即⊙O的半径为5．故答案为：5．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，能根据垂径定理求出DE的长是解此题的关键．15．(x+1)2=25【解析】【分析】此图形的面积等于两个正方形面积的差据此即可列出方程【详解】根据题意得：（x+1）2-1=24即：（x+1）2=25故答案为（x+1）2=25【点睛】本题考查了一元二解析：(x+1)2=25【解析】【分析】此图形的面积等于两个正方形面积的差，据此即可列出方程.【详解】根据题意得：（x+1）2 -1=24，即：（x+1）2 =25．故答案为（x+1）2 =25．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——图形问题，解题的关键是明确图中不规则图形的面积计算方法.16．C【解析】分析：样本容量相同观察统计表可以看出C线路上的公交车用时超过分钟的频数最小即可得出结论详解：样本容量相同C 线路上的公交车用时超过分钟的频数最小所以其频率也最小故答案为C 点睛：考查用频率估计解析：C 【解析】分析：样本容量相同，观察统计表，可以看出C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，即可得出结论.详解：样本容量相同，C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，所以其频率也最小，故答案为C ．点睛：考查用频率估计概率，读懂统计表是解题的关键.17．且【解析】【分析】由关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根即可得判别式继而可求得a 的范围【详解】关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根解得：方程是一元二次方程的范围是：且故答案为：且【点睛】本题解析：1a 4>-且a 0≠ 【解析】 【分析】由关于x 的一元二次方程2ax x 10++=有两个不相等的实数根，即可得判别式0V >，继而可求得a 的范围． 【详解】Q 关于x 的一元二次方程2ax x 10+-=有两个不相等的实数根，()22b 4ac 14a 114a 0∴=-=-⨯⨯-=+>V ，解得：1a 4>-， Q 方程2ax 2x 10-+=是一元二次方程，a 0∴≠，a ∴的范围是：1a 4>-且a 0≠，故答案为：1a 4>-且a 0≠． 【点睛】本题考查了一元二次方程判别式以及一元二次方程的定义，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．18．x1＝1x2＝－1【解析】分析：方程整理后利用平方根定义开方即可求出解详解：方程整理得：x2=1开方得：x=±1解得：x1=1x2=﹣1故答案为x1=1x2=﹣1点睛：本题考查了解一元二次方程﹣直接解析：x 1＝1，x 2＝－1【解析】分析：方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．详解：方程整理得：x2=1，开方得：x=±1，解得：x1=1，x2=﹣1．故答案为x1=1，x2=﹣1．点睛：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握直接开平方法是解答本题的关键．19．【解析】【分析】根据列表法求出所有可能及可得出挑选的两位教师恰好是一男一女的结果数而利用概率公式计算可得【详解】解：所有可能的结果如下表：男1 男2 女1 女2 男1 （男1男2）（男1女1解析：2 3【解析】【分析】根据列表法求出所有可能及可得出挑选的两位教师恰好是一男一女的结果数而利用概率公式计算可得．【详解】解：所有可能的结果如下表：的结果有8种，所以其概率为挑选的两位教师恰好是一男一女的概率为812=23，故答案为23．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．30°【解析】设圆心角为n°由题意得：=12π解得：n=30故答案为30°解析：30°【解析】设圆心角为n°，由题意得：212360nπ⨯=12π，解得：n=30，故答案为30°．三、解答题21．(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．【解析】试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC 的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．考点：一元二次方程的应用．22．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OA，由»»CA CB，得CA=CB，根据题意可得出∠O=60°，从而得出=∠OAD=90°，则AD与⊙O相切；（2）由题意得OC⊥AB，Rt△BCE中，由三角函数得AB的长．【详解】（1）证明：如图，连接OA，∵»»=CA CB，∴CA＝CB，又∵∠ACB＝120°，∴∠B＝30°，∴∠O＝2∠B＝60°，∵∠D＝∠B＝30°，∴∠OAD＝180°﹣（∠O+∠D）＝90°，∴AD与⊙O相切；（2）∵∠O＝60°，OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，∵∠ACB＝120°，∴∠ACB＝2∠ACO，AC＝BC，∴OC⊥AB，AB＝2BE，∵CE＝4，∠B＝30°，∴BC＝2CE＝8，∴BE22BC CE2284-3∴AB＝2BE＝3∴弦AB的长为3．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．23．（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为8833π．【解析】【分析】（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD ﹣S扇形OBC即可得到答案．【详解】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；（2）在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD=22228443-=-=DO OC∴S△OCD=43422⋅⨯=CD OC=83，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=16×π×OC2=83π，∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC ∴S阴影=83﹣83π，∴阴影部分的面积为83﹣83π．24．（1）当每吨销售价为1万元或2万元时，销售利润为 0.96万元；（2）每吨销售价为1.5万元时，销售利润最大，最大利润是1.21万元．【解析】【分析】（1）由销售量y=-x+2.6，而每吨的利润为x-0.4，所以w=y（x-0.4）；（2）解出（2）中的函数是一个二次函数，对于二次函数取最值可使用配方法.【详解】解：（1）设销售利润为w万元，由题意可得：w=（x-0.4）y=（x-0.4）（-x+2.6）=-x2+3x-1.04，令w=0.96，则-x2+3x-1.04=0.96解得x1=1，x2=2，答：当每吨销售价为1万元或2万元时，销售利润为 0.96万元；（2）w=-x2+3x-1.04=-（x-1.5）2+1.21，当x=1.5时，w最大=1.21，∴每吨销售价为1.5万元时，销售利润最大，最大利润是1.21万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是掌握题中的数量关系，列出相应方程和函数表达式.25．1 3【解析】【分析】分别用字母A，B，C代替引导员、联络员和咨询员岗位，利用列表法求出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】分别用字母A，B，C代替引导员、联络员和咨询员岗位，用列表法列举所有可能出现的结果：的结果中，小南和小西恰好被分配到同一个岗位的结果有3种，即AA，BB，CC，∴小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率=39＝13．【点睛】考查随机事件发生的概率，关键是用列表法或树状图表示出所有等可能出现的结果数，用列表法或树状图的前提是必须使每一种情况发生的可能性是均等的．。
北京市2021初三数学九年级上册期末试题和答案
北京市2021初三数学九年级上册期末试题和答案一、选择题1．关于x 的一元一次方程122a x m -+=的解为1x =，则a m -的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．22．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x 1＝0，x 2＝－3 3．二次函数y ＝3(x －2)2－1的图像顶点坐标是（ ） A ．（－2，1） B ．（－2，－1） C ．（2，1） D ．（2，－1） 4．方程(1)(2)0x x --=的解是（ ）A ．1x =B ．2x =C ．1x =或2x =D ．1x =-或2x =-5．分别写有数字﹣4，0，﹣1，6，9，2的六张卡片，除数字外其它均相同，从中任抽一张，则抽到偶数的概率是（ ） A ．16 B ．13C ．12 D ．236．已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为（ ）A B ．C D ．27．已知⊙O 的半径为4，点P 到圆心O 的距离为4.5，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．P 在圆内 B ．P 在圆上 C ．P 在圆外 D ．无法确定 8．一个扇形的半径为4，弧长为2π，其圆心角度数是（ ）A ．45B ．60C ．90D ．180 9．数据3、4、6、7、x 的平均数是5，这组数据的中位数是（ ） A ．4 B ．4.5 C ．5 D ．6 10．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ）A ．1B ．1：2C ．1：3D ．1：411．点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．321y y y >> B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y =>12．把函数212y x =-的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数()21112y x =--+的图象（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位13．如图，BC 是O 的直径，A ，D 是O 上的两点，连接AB ，AD ，BD ，若70ADB︒∠=，则ABC∠的度数是（）A．20︒B．70︒C．30︒D．90︒14．如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（）A．7 : 12 B．7 : 24 C．13 : 36 D．13 : 7215．如图，点P（x，y）（x＞0）是反比例函数y=kx（k＞0）的图象上的一个动点，以点P为圆心，OP为半径的圆与x轴的正半轴交于点A，若△OPA的面积为S，则当x增大时，S的变化情况是（）A．S的值增大B．S的值减小C．S的值先增大，后减小D．S的值不变二、填空题16．如图，已知正六边形内接于O，若正六边形的边长为2，则图中涂色部分的面积为______.17．设x1、x2是关于x的方程x2＋3x－5＝0的两个根，则x1＋x2－x1•x2＝________．18．如图，AB、CD、EF所在的圆的半径分别为r1、r2、r3，则r1、r2、r3的大小关系是____．（用“＜”连接）19．如图,利用标杆BE 测量建筑物的高度,已知标杆BE 高1.2m ,测得1.6,12.4AB m BC m ==,则建筑物CD 的高是__________m ．20．将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第_____行左起第_____个数．21．已知线段a 、b 、c ，其中c 是a 、b 的比例中项，若a ＝2cm ，b ＝8cm ，则线段c ＝_____cm ．22．一元二次方程x 2﹣4=0的解是．_________23．已知一个圆锥底面圆的半径为6cm ，高为8cm ，则圆锥的侧面积为_____cm 2．（结果保留π）24．如图，ABO 三个顶点的坐标分别为(24),(60),(00)A B ，，，，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是30（，），则点A '的坐标是______.25．△ABC 是等边三角形，点O 是三条高的交点．若△ABC 以点O 为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC 旋转的最小角度是____________． 26．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，则∠CAD ＝_____．27．一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中甲、乙两组学生人数都为6人，成绩如下：甲：7，9，10，8，5，9；乙：9，6，8，10，7，8． （1）请补充完整下面的成绩统计分析表：平均分 方差 众数 中位数甲组 89乙组5388（2）甲组学生说他们的众数高于乙组，所以他们的成绩好于乙组，但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出一条支持乙组学生观点的理由_____________________________．28．若圆弧所在圆的半径为12，所对的圆心角为60°，则这条弧的长为_____． 29．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A=110°，则∠BOD 等于________°.30．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）满足函数表达式21220h t t =-++，则火箭升空的最大高度是___m三、解答题31．（1）计算：()212cos6020202π-⎛⎫++-︒ ⎪⎝︒⎭（2）若关于x 的方程22210x x m ++-=有两个相等的实数根，求m 的值.32．解方程（1）x 2－6x －7＝0； （2） (2x －1)2＝9．33．在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋2 的图象与 x 轴交于 A （﹣3，0），B （1，0）两点，与 y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式 ，x 满足什么值时 y ﹤0 ?（2）点 p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P ，使△ACP 面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由（3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q ，使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．34．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB 方向匀速运动，到达点B 停止．连接DP 交AC 于点E ，以DP 为直径作⊙O 交AC 于点F ，连接DF 、PF ．（1）求证：△DPF 为等腰直角三角形； （2）若点P 的运动时间t 秒．①当t 为何值时，点E 恰好为AC 的一个三等分点；②将△EFP 沿PF 翻折，得到△QFP ，当点Q 恰好落在BC 上时，求t 的值．35．一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少？四、压轴题36．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD 内接于O ，对角线AC BD =，且AC BD ⊥．（1）求证：AB CD =； （2）若O 的半径为8，弧BD 的度数为120︒，求四边形ABCD 的面积；（3）如图2，作OM BC ⊥于M ，请猜测OM 与AD 的数量关系，并证明你的结论．37．如图，RtABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =.点P 从点A 出发，沿着A CB →→运动，速度为1个单位/s ，在点P 运动的过程中，以P 为圆心的圆始终与斜边AB 相切,设⊙P 的面积为S ，点P 的运动时间为t （s ）（07t <<）. （1）当47t <<时，BP = ；（用含t 的式子表示） （2）求S 与t 的函数表达式；（3）在⊙P 运动过程中，当⊙P 与三角形ABC 的另一边也相切时，直接写出t 的值.38．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=13 ，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：构造如图1所示的图形，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，所以∠ACB=90°，作CD ⊥AB 于D ．设∠BAC=α，则sinα=13BC AB =，可设BC=x ，则AB=3x ，…． 【问题解决】（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）（2）如图2，已知点M ，N ，P 为⊙O 上的三点，且∠P=β，sinβ=35 ，求sin2β的值．39．已知抛物线y ＝﹣14x 2+bx +c 经过点A （4，3），顶点为B ，对称轴是直线x ＝2．（1）求抛物线的函数表达式和顶点B 的坐标；（2）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，连接AC ，过A 作AD ⊥x 轴于点D ，E 是线段AC 上的动点（点E 不与A ，C 两点重合）；（i ）若直线BE 将四边形ACOD 分成面积比为1：3的两部分，求点E 的坐标； （ii ）如图2，连接DE ，作矩形DEFG ，在点E 的运动过程中，是否存在点G 落在y 轴上的同时点F 恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE 的长；若不存在，请说明理由． 40．一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果分割所得的两个三角形相似，我们就把这条对角线称为相似对角线.（1）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AD 的中点，点F ，H 分别在边AB 和CD 上，且1AF DH ==，线段CE 与FH 交于点G ，求证：EF 为四边形AFGE 的相似对角线；（2）在四边形ABCD 中，BD 是四边形ABCD 的相似对角线，120A CBD ∠=∠=，2AB =，6BD =CD 的长；（3）如图，已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，90A ∠=，8AB =，6AD =，点E 是AB 的中点，点F 是射线AD 上的动点，若EF 是四边形AECF 的相似对角线，请直接写出线段AF 的长度（写出3个即可）.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】满足题意的有两点，一是此方程为一元一次方程，即未知数x的次数为1；二是方程的解为x=1,即1使等式成立，根据两点列式求解.【详解】解：根据题意得，a-1=1,2+m=2,解得，a=2,m=0,∴a-m=2.故选：D.【点睛】本题考查一元一次方程的定义及方程解的定义，对定义的理解是解答此题的关键.2．D解析：D【解析】【分析】先移项，然后利用因式分解法求解．【详解】解：（1）x2=-3x，x2+3x=0，x（x+3）=0，解得：x1=0，x2=-3．故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．3．D解析：D【解析】【分析】由二次函数的顶点式，即可得出顶点坐标．【详解】解：∵二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标是（h，k），∴二次函数y=3（x-2）2-1的图象的顶点坐标是（2，-1）．故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标是（h，k）．4．C解析：C 【解析】 【分析】方程左边已经是两个一次因式之积，故可化为两个一次方程，解这两个一元一次方程即得答案. 【详解】解：∵(1)(2)0x x --=， ∴x －1=0或x －2=0， 解得：1x =或2x =. 故选：C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式解方程的方法是关键.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据概率公式直接计算即可． 【详解】解：在这6张卡片中，偶数有4张， 所以抽到偶数的概率是46＝23， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了随机事件的概率，随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，灵活利用概率公式是解题的关键.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据圆内接正六边形的边长是1可得出圆的半径为1，利用勾股定理可求出该内接正三角32，从而可得出面积． 【详解】解：由题意可得出圆的半径为1，∵△ABC为正三角形，AO=1，AD BC⊥，BD=CD，AO=BO，∴1DO2=，32AD=，∴223BD OB OD=-=，∴BC3=∴13333224 ABCS=⨯=．故选：C．【点睛】本题考查的知识点是正多边形的性质以及解直角三角形，根据圆内接正多边形的边长求出圆的半径是解此题的关键．7．C解析：C【解析】【分析】点到圆心的距离大于半径，得到点在圆外.【详解】∵点P到圆心O的距离为4.5，⊙O的半径为4，∴点P在圆外.故选：C.【点睛】此题考查点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离d的距离与半径r的大小确定点与圆的位置关系.8．C解析：C【解析】【分析】根据弧长公式即可求出圆心角的度数．【详解】解：∵扇形的半径为4，弧长为2π，∴4 2180nππ⨯=解得：90n =，即其圆心角度数是90︒故选C ．【点睛】此题考查的是根据弧长和半径求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键．9．C解析：C【解析】【分析】首先根据3、4、6、7、x 这组数据的平均数求得x 值，再根据中位数的定义找到中位数即可．【详解】由3、4、6、7、x 的平均数是5，即(3467)55++++÷=x得5x =这组数据按照从小到大排列为3、4、5、6、7，则中位数为5．故选C【点睛】此题考查了平均数计算及中位数的定义，熟练运算平均数及掌握中位数的定义是解题关键．10．D解析：D【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，∴这两个三角形们的面积比为1：4，故选：D ．【点睛】此题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决此题的关键．11．D解析：D【解析】试题分析：∵22y x x c =-++，∴对称轴为x=1，P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∵3＜5，∴23y y >，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，1y ）与（3，2y ）关于对称轴对称，故123y y y =>，故选D ．考点：二次函数图象上点的坐标特征．解析：C【解析】【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．【详解】抛物线212y x =-的顶点坐标是00（，），抛物线线()21112y x =--+的顶点坐标是11（，）， 所以将顶点00（，）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点11（，）， 即将函数212y x =-的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数()21112y x =--+的图象． 故选：C ．【点睛】 主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．13．A解析：A【解析】【分析】连接AC ，如图，根据圆周角定理得到90BAC ︒∠=，70ACB ADB ︒∠=∠=，然后利用互余计算ABC ∠的度数．【详解】连接AC ，如图，∵BC 是O 的直径，∴90BAC ︒∠=，∵70ACB ADB ︒∠=∠=，∴907020ABC ︒︒︒∠=-=．故答案为20︒．故选A ．【点睛】本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．解析：B【解析】【分析】根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ， ∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点, ∴12EF BD =, ∴14EFC BCDD S S =, ∴18EFC ABCD SS =四边形, ∴1176824AGH EFC ABCD S S S +=+=四边形=7∶24, 故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．15．D解析：D【解析】【分析】作PB ⊥OA 于B ，如图，根据垂径定理得到OB =AB ，则S △POB =S △PAB ，再根据反比例函数k 的几何意义得到S △POB =12|k |，所以S =2k ，为定值． 【详解】作PB⊥OA于B，如图，则OB=AB，∴S△POB=S△PAB．∵S△POB=12|k|，∴S=2k，∴S的值为定值．故选D．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．二、填空题16．【解析】【分析】根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO，得出涂色部分即为扇形A OB的面积，根据扇形面积公式求解.【详解】解：连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点∵正解析：2 3【解析】【分析】根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO，得出涂色部分即为扇形AOB的面积，根据扇形面积公式求解.【详解】解：连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点∵正六边形内接于O,∴∠BOA=∠AOC=60°,OA=OB=OC=4,∴∠BOC=120°，OD⊥BC,BD=CD∴∠OCB=∠OBC=30°,∴OD=1122OB OA DA ,∵∠CDA=∠BDO,∴△CDA≌△BDO,∴S△CDA=S△BDO,∴图中涂色部分的面积等于扇形AOB的面积为：26022 3603ππ⨯=.故答案为：23π.【点睛】本题考查圆的内接正多边形的性质，根据圆的性质结合正六边形的性质将涂色部分转化成扇形面积是解答此题的关键.17．2【解析】【分析】先根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，代入即可得出结论．【详解】解：∵x1，x2是关于 x 的方程x2＋3x－5＝0的两个根，根据根与系数的关系，得，x1+x2=解析：2【解析】【分析】先根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，代入即可得出结论．【详解】解：∵x1，x2是关于 x 的方程x2＋3x－5＝0的两个根，根据根与系数的关系，得，x1+x2=-3，x1x2=-5，则 x1+x2-x1x2=-3-（-5）=2，故答案为2．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，求出x1+x2=-3，x1x2=-5是解题的关键．18．r3 ＜r2 ＜r1【解析】【分析】利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径，从而进行比较即可.解：利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径∴r3 ＜r2 ＜r1故答案为：r解析：r3＜r2＜r1【解析】【分析】利用尺规作图分别做出AB、CD、EF所在的圆心及半径，从而进行比较即可.【详解】解：利用尺规作图分别做出AB、CD、EF所在的圆心及半径∴r3＜r2＜r1故答案为：r3＜r2＜r1【点睛】本题考查利用圆弧确定圆心及半径，掌握尺规作图的基本方法，准确确定圆心及半径是本题的解题关键.19．5【解析】【分析】先证△AEB∽△ABC，再利用相似的性质即可求出答案.【详解】解：由题可知，BE⊥AC，DC⊥AC∵BE//DC，∴△AEB∽△ADC，∴，即：，解析：5【解析】【分析】先证△AEB∽△ABC，再利用相似的性质即可求出答案.【详解】解：由题可知，BE⊥AC，DC⊥AC∵BE//DC，∴△AEB∽△ADC，∴BE AB CD AC=，即：1.2 1.61.612.4 CD=+，∴CD＝10.5（m）.故答案为10.5.【点睛】本题考查了相似的判定和性质.利用相似的性质列出含所求边的比例式是解题的关键. 20．4【解析】【分析】根据图形中的数字，可以写出前n行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．【详解】解：由图可知，第一行1个数，第二行2个数，第解析：4【解析】【分析】根据图形中的数字，可以写出前n行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．【详解】解：由图可知，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则第n行n个数，故前n个数字的个数为：1+2+3+…+n＝(1)2n n+，∵当n＝63时，前63行共有63642⨯＝2016个数字，2020﹣2016＝4，∴2020在第64行左起第4个数，故答案为：64，4．【点睛】本题考查了数字类规律探究，从已有数字确定其变化规律是解题的关键. 21．4【解析】【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．【详解】∵线段c是a、b的比例中项，线段a＝2cm，b＝8cm，∴＝，∴c2＝ab＝2×8＝16，∴c1＝4，c2＝﹣4（舍解析：4【解析】【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．【详解】∵线段c是a、b的比例中项，线段a＝2cm，b＝8cm，∴ac＝cb，∴c2＝ab＝2×8＝16，∴c1＝4，c2＝﹣4（舍去），∴线段c＝4cm．故答案为：4【点睛】本题考查了比例中项的概念：当两个比例内项相同时，就叫比例中项．这里注意线段不能是负数．22．x=±2【解析】移项得x2=4，∴x=±2．故答案是：x=±2．解析：x=±2【解析】移项得x2=4，∴x=±2．故答案是：x=±2．23．60π【解析】试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.由题意得圆锥的母线长∴圆锥的侧面积．考点：勾股定理，圆锥的侧面积点评：解题的关键是熟练掌握圆锥的侧解析：60π【解析】试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.由题意得圆锥的母线长∴圆锥的侧面积．考点：勾股定理，圆锥的侧面积点评：解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积底面半径×母线. 24．（1，2）【解析】解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2）．故答案为（1，2）．解析：（1，2）【解析】解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，∴点A′的坐标是（2×12，4×12），即（1，2）．故答案为（1，2）．25．120°．【解析】试题分析：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．考点：旋转对称图形解析：120°．【解析】试题分析：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．考点：旋转对称图形．26．36°．【解析】【分析】由正五边形的性质得出∠BAE=(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，得出 ==，由圆周角定理即可得出答案．【详解】∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，解析：36°．【解析】【分析】由正五边形的性质得出∠BAE=15(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，得出BC=CD=DE，由圆周角定理即可得出答案．【详解】∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BAE=15(n﹣2)×180°=15(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，∴BC=CD=DE，∴∠CAD=13×108°=36°；故答案为：36°．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆的关系，以及圆周角定理的应用；熟练掌握正五边形的性质和圆周角定理是解题的关键．27．（1），8.5，8；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【解析】【分析】（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中解析：（1）83，8.5，8；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【解析】（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中位数；（2）根据（1）中表格数据，分别从反应数据集中程度的中位数和平均分及反应数据波动程度的方差比较甲、乙两组，由此找出乙组优于甲组的一条理由．【详解】（1）甲组方差：()()()()()()22222218789810888589863⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣⎦ 甲组数据由小到大排列为：5，7，8，9，9，10故甲组中位数：（8+9）÷2=8.5乙组平均分：(9+6+8+10+7+8)÷6=8填表如下：故答案为：83，8.5，8；两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【点睛】本题考查数据分析，熟练掌握反应数据集中趋势的中位数、众数和平均数以及反应数据波动程度的方差的计算公式和定义是解题关键．28．4π【解析】【分析】直接利用弧长公式计算即可求解．【详解】l ＝＝4π，故答案为：4π．【点睛】本题考查弧长计算公式，解题的关键是掌握：弧长l ＝（n 是弧所对应的圆心角度数）解析：4π【解析】直接利用弧长公式计算即可求解．【详解】l ＝6012180π⨯＝4π， 故答案为：4π．【点睛】 本题考查弧长计算公式，解题的关键是掌握：弧长l ＝180n r π（n 是弧所对应的圆心角度数） 29．140【解析】试题解析：：∵∠A=110°∴∠C=180°-∠A=70°∴∠BOD=2∠C=140°．解析：140【解析】试题解析：：∵∠A=110°∴∠C=180°-∠A=70°∴∠BOD=2∠C=140°．30．56【解析】【分析】将函数解析式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．【详解】解：∵==，∵，∴抛物线开口向下，当x=6时，h 取得最大值，火箭能达到最大高度为56m ．故解析：56【解析】【分析】将函数解析式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．【详解】解：∵21220h t t =-++=2(23636)120t t -+-+-=2(6)56t --+，∵10a =-<，∴抛物线开口向下，当x=6时，h 取得最大值，火箭能达到最大高度为56m ．故答案为：56．【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握配方法及二次函数的性质，是解题的关键．三、解答题31．（1）6；（2）1m =.【解析】【分析】（1）根据负指数幂和0次幂法则，特殊三角函数值分别算出原算式中的每一项，然后进行实数运算即可.（2）根据一元二次方程根的判别式与根个数的关系，可得出b 2-4ac=0,列方程求解.【详解】解：（1）()2012cos6020202π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭︒ 12412=⨯++ 6=；（2）∵22210x x m ++-=有两个相等的实数根，∴b 2-4ac=22-4(2m-1)=0,∴m=1.【点睛】本题考查实数运算和一元二次方程根的判别式与根个数的关系，掌握负指数幂，0次幂和特殊三角形函数值及根的判别式是解答此题的关键.32．（1）x 1＝7，x 2＝－1；（2）x 1＝2，x 2＝－1【解析】【分析】（1）根据配方法法即可求出答案．（2）根据直接开方法即可求出答案；【详解】解：（1）x 2－6x ＋9－9－7＝0(x －3) 2＝16x －3＝±4x 1＝7，x 2＝－1（2）2x －1＝±32x ＝1±3x 1＝2，x 2＝－1【点睛】本题考查了解一元二次方程，观察所给方程的形式，分别使用配方法和直接开方法求解.33．（1）24233y x x =--+，13x <- 或21>x ；（2）P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）1234(5,0),(1,0),(2(2--Q Q Q Q【解析】【分析】（1）将点A （﹣3，0），B （1，0）带入y ＝ax 2＋bx ＋2得到二元一次方程组，解得即可得出函数解析式；又从图像可以看出x 满足什么值时 y ﹤0；（2）设出P 点坐标224233m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，利用割补法将△ACP 面积转化为PAC PAO PCO ACO S S S S =+-，带入各个三角形面积算法可得出PAC S 与m 之间的函数关系，分析即可得出面积的最大值；（3）分两种情况讨论，一种是CM 平行于x 轴，另一种是CM 不平行于x 轴，画出点Q 大概位置，利用平行四边形性质即可得出关于点Q 坐标的方程，解出即可得到Q 点坐标.【详解】解：（1）将A （﹣3，0），B （1，0）两点带入y ＝ax 2＋bx ＋2可得：093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数解析式为24233y x x =--+. 由图像可知，当x 3<-或x 1>时y ﹤0； 综上：二次函数解析式为24233y x x =--+，当x 3<-或x 1>时y ﹤0； （2）设点P 坐标为224233m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，如图连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N.PM=224233m m --+，PN=m -，AO=3. 当x 0=时，24y 002233=-⨯-⨯+=，所以OC=2 111222PAC PAO PCO ACO SS S S AO PM CO PN AO CO =+-=+- ()221241132232323322m m m m m ⎛⎫=⨯--++⨯--⨯⨯=-- ⎪⎝⎭， ∵a 10=-<∴函数23PAC Sm m =--有最大值， 当()33m 212-=-=-⨯-时，PAC S 有最大值，此时35P ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭； 所以存在点35P ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，使△ACP 面积最大. （3）存在，1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--+-Q Q Q Q假设存在点Q 使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形①若CM 平行于x 轴，如下图，有符合要求的两个点12Q Q 、，此时1Q A =2.Q A CM =∵CM ∥x 轴，∴点M 、点C （0,2）关于对称轴x 1=-对称，∴M （﹣2,2），∴CM=2.由1Q A =22Q A CM ==，得到12(5,0),(1,0)--Q Q ； ②若CM 不平行于x 轴，如下图，过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，易证△MGQ ≌△COA ，得QG=OA=3，MG=OC=2，即2M y =-.设M （x ，﹣2），则有242=233--+-x x ，解得：x 17=- 又QG=3,∴327Q G x x =+= ∴34(27,0),(27,0)Q Q综上所述，存在点P 使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，Q 点坐标为：1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--Q Q Q Q .【点睛】本题考查二次函数与几何综合题目，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，通过函数图像得出关于二次函数不等式的解集，平面直角坐标系中三角形面积的计算通常利用割补法，并且将所要求得点的坐标设出来，得出相关方程；在解答（3）的时候注意先画出大概图像再利用平行四边形性质进行计算和分析.34．（1）详见解析；（2）①1；51．【解析】【分析】（1）要证明三角形△DPF 为等腰直角三角形，只要证明∠DFP ＝90°，∠DPF ＝∠PDF ＝45°即可，根据直径所对的圆周角是90°和同弧所对的圆周角相等，可以证明∠DFP ＝90°，∠DPF ＝∠PDF ＝45°，从而可以证明结论成立；（2）①根据题意，可知分两种情况，然后利用分类讨论的方法，分别计算出相应的t 的值即可，注意点P 从A 出发到B 停止，t ≤4÷2＝2；②根据题意，画出相应的图形，然后利用三角形相似，勾股定理，即可求得t 的值．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠DAC ＝45°，∵在⊙O 中，DF 所对的圆周角是∠DAF 和∠DPF ，∴∠DAF ＝∠DPF ，∴∠DPF＝45°，又∵DP是⊙O的直径，∴∠DFP＝90°，∴∠FDP＝∠DPF＝45°，∴△DFP是等腰直角三角形；（2）①当AE：EC＝1：2时，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，∴△DCE∽△PAE，∴DC CEPA AE=，∴4221t=，解得，t＝1；当AE：EC＝2：1时，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，∴△DCE∽△PAE，∴DC CEPA AE=，∴4122t=，解得，t＝4，∵点P从点A到B，t的最大值是4÷2＝2，∴当t＝4时不合题意，舍去；由上可得，当t为1时，点E恰好为AC的一个三等分点；②如右图所示，∵∠DPF＝90°，∠DPF＝∠OPF，∴∠OPF＝90°，∴∠DPA+∠QPB＝90°，∵∠DPA+∠PDA＝90°，∴∠PDA＝∠QPB，∵点Q落在BC上，∴∠DAP＝∠B＝90°，∴△DAP∽△PBQ，∴DA DP PB PQ=，∵DA＝AB＝4，AP＝2t，∠DAP＝90°，∴DP＝PB＝4﹣2t，设PQ ＝a ，则PE ＝a ，DE ＝DP﹣a ＝222t +﹣a ，∵△AEP ∽△CED ，∴AP PE CD DE =， 即22424t t a=+-， 解得，a ＝2242t t t++， ∴PQ ＝2242t t t++， ∴224244224t t t t +=-+，解得，t 1＝﹣5﹣1（舍去），t 2＝5﹣1，即t 的值是5﹣1．【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.35．38【解析】【分析】本题先利用树状图，求出医院某天出生了3个婴儿的8中等可能性，再求出出现1个男婴、2个女婴有三种，概率为38.【详解】解：用树状图来表示出生婴儿的情况，如图所示．在这8种情况中，一男两女的情况有3种，则概率为38．【点睛】本题利用树状图比较合适，利用列表不太方便．一般来说求等可能性，只有两个层次，既可以用树状图，又可以用列表；有三个层次时，适宜用树状图求出所有的等可能性．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．四、压轴题36．（1）见解析；（2）96；（3）AD=2OM，理由见解析【解析】【分析】（1）根据弦、弧、圆心角的关系证明；（2）根据弧BD的度数为120°，得到∠BOD=120°，利用解直角三角形的知识求出BD，根据题意计算即可；（3）连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM=AE，证明结论．【详解】解：（1）证明：∵AC=BD，∴AC BD，则AB DC，∴AB=CD；（2）如图1，连接OB、OD，作OH⊥BD于H，∵弧BD的度数为120°，∴∠BOD=120°，∴∠BOH=60°，则BH=32OB=3∴BD=3则四边形ABCD的面积=12×AC×BD=96；（3）AD=2OM，连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图2，∵OE⊥AD，∴AE=DE，∵∠BOC=2∠BAC，而∠BOC=2∠BOM，∴∠BOM=∠BAC，同理可得∠AOE=∠ABD，∵BD⊥AC，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠BOM+∠AOE=90°，∵∠BOM+∠OBM=90°，∴∠OBM=∠AOE，在△BOM和△OAE中，OMB OEAOBM OAEOB OA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOM≌△OAE（AAS），∴OM=AE，∴AD=2OM．【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键．。
2021_2012北京市朝阳区九年级上期末数学分类汇编——圆(学生版)
cm．
第5页（共16页）
19．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等边△ABC 的顶点 A 在 y 轴的正半轴上，B（﹣5，0），
C（5，0），点 D（11，0），将△ACD 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△ABE，则 的长度
为
，线段 AE 的长为
，图中阴影部分面积
为
．
20．如图，线段 AB 经过⊙O 的圆心，AC，BD 分别与⊙O 相切于点 C，D．若 AC＝BD＝1，
A．2
B．
C．
5．如图，利用刻度尺和三角尺测得圆的直径是（ ）
D．3
A．
6．如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上的两点，若 AB＝14，BC＝7．则∠BDC 的度数
是（ ）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
第2页（共16页）
7．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点 C 为中心，把△ABC 逆时针旋转 45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（ ）
45．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以点 A（2，3）为圆心的⊙A 交 x 轴于点 B，C，BC ＝8，求⊙A 的半径．
46．如图，在△ABC 中，BA＝BC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC，BC 于点 D，E，BC 的 延长线与⊙O 的切线 AF 交于点 F． （1）求证：∠ABC＝2∠CAF； （2）若 AC＝2 ，CE：EB＝1：4，求 CE，AF 的长．
B．30°
C．35°
D．40°
12．如图，A，B，C 是⊙O 上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB 的度数为（ ）
A．35°
B．55°
C．65°
13．如图，AB 是⊙O 的直径，∠AOC＝130°，则∠D 等于（
2024年北京朝阳区初三九年级上学期期末数学试题和答案
张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植．随机摸出一张卡片写有“珍的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为R，所在一定范围内变化时，l与S都随R的变第12题图第14题图试题13．某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据：估计这批产品合格的产品的概率为．14．如图，AB 是半圆O 的直径，将半圆O 绕点A 逆时针旋转30°，点B 的对应点为B '，连接A B '，若AB ＝8，则图中阴影部分的面积是_______.15．对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度h ，初速度v ，抛出后所经历的时间t ，这三个量之间有如下关系：221gt vt h -=（其中 g 是重力加速度，g 取10m/s 2）．将一物体以v=21m/s 的初速度v 向上抛，当物体处在离抛出点18m 高的地方时，t 的值为 ．16．已知函数y 1＝kx ＋4k －2（k 是常数，k ≠0），y 2＝ax 2＋4ax －5a （a 是常数，a ≠0），在同一平面直角坐标系中，若无论k 为何值，函数y 1和y 2的图象总有公共点，则a 的取值范围是_______.三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程x 2-1 =6x ．18．关于x 的一元二次方程x 2-(m +4)x +3(m +1)=0 ．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一根小于0，求m 的取值范围．抽取的产品数n 5001000150020002500300035004000合格的产品数m 476967143119262395288333673836合格的产品频率nm0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959图2图3图1图1 图2试题北京市朝阳区2023～2024学年度第一学期期末检测九年级数学试卷参考答案及评分标准(选用)2024.1一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案DABCACAC二、填空题（共16分，每题2分）三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17．解：方程化为x 2 -6x =1．x 2 -6x+9 =10．1032=-）（x ．103±=-x ．1031+=x ，1032-=x ．18．（1）证明:依题意，得=[-(m +4)]2-4×3(m +1) =(m -2)2．∵(m -2)2≥0，∴0≥∆∴该方程总有两个实数根．（2）解：解方程，得x =．∴x 1= m +1，x 2=3．依题意，得m +1<0．∴m <-1．19．解：（1）根据题意，设该二次函数的解析式为 y 2=a (x -1)2+4．当x =0时，y 2 =3∴a =-1．∴y 2=-x 2+2x +3．题号9101112答案x 1=3，x 2=-3相切（1，3）140题号13141516答案答案不唯一，如0.9593438+π1.2或3a ＜0或a ≥52线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.由题意可知，抛物线顶点C ），（9254．设抛物线对应的函数解析式)4(2+-=x a y试题26. 解：（1）由题意知，a +b +c = 9a +3b +c .∴b = -4a .∴22=-=a b t . （2）∵a >0，∴当x ≥t 时，y 随x 的增大而增大；当x ≤t 时，y 随x 的增大而减小.设抛物线上的四个点的坐标为A (t -1，m A ) ，B （t ，m B ），C （2，n C ），D （3，n D ）.点A 关于对称轴x =t 的对称点为A'（t +1，m A ）∵抛物线开口向上，点B 是抛物线顶点，∴m A ＞m B .ⅰ 当t ≤1时，n C < n D∴t +1≤2.∴m A ≤n C ，∴不存在m ＞n ，不符合题意.ⅱ 当1<t ≤2时，n C < n D∴2<t ＋1≤3.∴m A ＞n C .∴存在m ＞n ，符合题意.ⅲ当2<t ≤3时，∴n 的最小值为m B .∵m A ＞m B .. ∴存在m ＞n ，符合题意.ⅳ 当3<t <4时，n D <n C .∴2<t －1＜3.∴m A ＞n D .∴存在m ＞n ，符合题意.ⅴ 当t ≥4时，n D <n C .∴t -1≥3.∴m A ≤n D ，∴不存在m ＞n ，不符合题意.综上所述，t 的取值范围是1<t <4.）解：补全图1，如图.证明：延长AF到点G，使得GF=AF，连接，连接GE并延长，与AB的延长。
2021-2022学年朝阳区九年级第一学期数学期末测试及参考答案
北京市朝阳区2021 ~ 2022学年度第一学期期末检测九年级数学试卷（选用） 2022.1（考试时间120分钟 满分100分）学校_________________ 班级_________________ 姓名_________________ 考号_________________ 考 生 须 知1．本试卷共6页，共三道大题，25道小题．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号． 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．3．在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4 506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（A ） （B ） （C ） （D ）2．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠C ＝130°，则∠BOD 的度数为（A ）50° （B ）100° （C ）130°（D ）150°3．对于二次函数y =-(x -1)2的图象的特征，下列描述正确的是（A ）开口向上 （B ）经过原点 （C ）对称轴是y 轴 （D ）顶点在x 轴上 4．若关于x 的一元二次方程22(1)0a x a x a −+−=有一个根是x =1，则a 的值为（A ）-1（B ）0（C ）1（D ）-1或15．如图，A ，B ，C 是正方形网格中的三个格点，则ABC 是（A ）优弧 （B ）劣弧 （C ）半圆（D ）无法判断6．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x 人参加活动，可列方程为（A ）1(1)102x x −= （B ）(1)10x x −= （C ）1(1)102x x +=（D ）2(1)10x x −=7．投掷一枚质地均匀的硬币m 次，正面向上n 次，下列表达正确的是（A ）n m 的值一定是12 （B ）n m 的值一定不是12（C ）m 越大，n m 的值越接近12（D ）随着m 的增加，n m 的值会在12附近摆动，呈现出一定的稳定性8．已知二次函数y =ax 2+bx +c ，当-1≤x ≤1时，总有-1≤y ≤1，有如下几个结论： ①当b =c =0时，a ≤1； ②当a =1时，c 的最大值为0； ③当x =2时，y 可以取到的最大值为7． 上述结论中，所有正确结论的序号是（A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）①②③二、填空题（共24分，每题3分）9．在平面直角坐标系中，点A （-3，2）关于原点对称的点的坐标是 ． 10．将抛物线22y x =向上平移一个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ． 11．若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正 边形． 12．用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．13．某件商品的销售利润y （元）与商品销售单价x （元）之间满足y =-x 2+6x -7，不考虑其他因素，销售一件该商品的最大利润为 元．14．如图，一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6个大小相同的扇形，指针是固定的，当转盘停止时，指针指向任意一个扇形的可能性相同（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．把部分扇形涂上了灰色，则指针指向灰色区域的概率为 ．15．抛物线y = ax 2+bx +c 的对称轴及部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根为 ．16．为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60 cm 和180 cm ，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN 的长度为 cm ．第14题图第15题图 第16题图180 cm60 cmNMA三、解答题（共52分，17-22题，每题5分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 17．解方程：229100x x −+=．18．已知：如图，A 为⊙O 上的一点．求作：过点A 且与⊙O 相切的一条直线． 作法：①连接OA ；②以点A 为圆心，OA 长为半径画弧，与⊙O 的一个交点为B ，作射线OB ； ③以点B 为圆心，OA 长为半径画弧，交射线OB 于点P （不与点O 重合）； ④作直线P A ． 直线P A 即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接BA ．由作法可知BO =BA =BP ．∴点A 在以OP 为直径的圆上．∴∠OAP =90°（ ）（填推理的依据）．∵OA 是⊙O 的半径，∴直线P A 与⊙O 相切（ ）（填推理的依据）．19．已知关于x 的一元二次方程()2210x a x a −+++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个根都是正整数．．．，求a 的最小值．20．小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y 与x 的对应值．x … -2 -1 0 1 2 … y…343-5…（1）求该二次函数的表达式； （2）该二次函数的图象与直线y =n 有两个交点A ，B ，若AB >6，直接写出n 的取值范围．21．一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：活动1 从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为P1；活动2 从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为P2．请你猜想P1，P2的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的圆恰好与AB相切，切点为D，⊙O与AC的另一个交点为E．（1）求证：BO平分∠ABC；（2）若∠A=30°，AE=1，求BO的长．23．在等边△ABC中，将线段AB绕点A顺时针旋转α（0°<α<180°）得到线段AD．（1）若线段DA的延长线与线段．．BC相交于点E（不与点B，C重合），写出满足条件的α的取值范围；（2）在（1）的条件下连接BD，交CA的延长线于点F．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE，AF，CE之间的数量关系，并证明．24．在平面直角坐标系xOy 中，点（-1，y 1），（1，y 2），（2，y 3）在抛物线2y ax bx =+上．（1）若a =1，b =-2，求该抛物线的对称轴并比较y 1，y 2，y 3的大小； （2）已知抛物线的对称轴为x =t ，若y 2<0<y 3<y 1，求t 的取值范围．25．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 和点P 给出如下定义：Q 为图形M 上任意一点，若P ，Q 两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P 为图形M 的“二分点”．已知点N （3，0），A （1，0），B （0，3），C （3，-1）． （1）①在点A ，B ，C 中，线段ON 的“二分点”是 ；②点D （a ，0），若点C 为线段OD 的“二分点”，求a 的取值范围；（2）以点O 为圆心，r 为半径画圆，若线段AN 上存在⊙O 的“二分点”，直接写出r 的取值范围．北京市朝阳区2021 ~ 2022学年度第一学期期末检测九年级数学参考答案及评分标准（选用） 2022.1一、选择题（共24分，每题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBDABADD二、填空题（共24分，每题3分）三、解答题（共52分，17-22题，每题5分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）17．解：1102492=⨯⨯−−=∆）（， …………………………………………………………………3分由求根公式，得9122x ±=⨯． ……………………………………………………………………4分 x 1=2，x 2=52． ……………………………………………………………………………………5分 18．（1）补全图形如图所示．……………………………………………3分（2）直径所对的圆周角是直角； …………………………………………………………………4分经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．…………………………………5分19．（1）证明：2[(2)]4(1)a a ∆=−+−⨯+2a =．……………………………………………………………………………………2分∵2a ≥0，∴方程总有两个实数根．…………………………………………………………………3分（2）解：由求根公式，得(2)2a ax +±=． ∴11x =，2x a =+1． ……………………………………………………………………4分 ∵方程的两个根都是正整数，∴a 的最小值为0． ………………………………………………………………………5分题号 9 10 11 12答案 （3，-2） y =2x 2+1 六 1 题号 13 14 15 16 答案 2 12x 1=-1，x 2=3 240220．解：（1）由列表可知，该二次函数的图象经过点（-2，3），（0，3）． ∴该二次函数的图象的对称轴为x =-1，顶点坐标为（-1,4）． …………………………2分 设该二次函数的表达式为y =a (x +1)2+4．……………………………………………………3分把（0，3）代入，得a +4=3． 解得a =-1．∴该二次函数的表达式为y =-(x +1)2+4．……………………………………………………4分（2）n <-5． ………………………………………………………………………………………5分21．解：P 1 < P 2． ………………………………………………………………………………………1分根据题意可以画出两个活动的树状图： 活动1…………………3分 活动2…………4分可知P 1=13，P 2=49． ……………………………………………………………………………5分 ∴P 1<P 2．22．（1）证明：如图，连接OD ． …………………………………………………………………………1分 ∵以OC 为半径的⊙O 恰好与AB 相切，切点为D ， ∴OD ⊥AB ．…………………………………………2分 ∵∠ACB =90°，OD =OC ， ∴点O 在∠ABC 的平分线上．∴BO 平分∠ABC ．…………………………………3分（2）解：∵∠A =30°，∠ACB =90°， ∴∠ABC =60°． ∵BO 平分∠ABC ， ∴∠ABO =30°=∠A ．∴BO =AO ．…………………………………………………………………………………4分 ∵∠A =30°，∠ADO =90°， ∴AO =2OD ．设OD =OE =r ，红球2红球1白球第二次摸球第一次摸球红球2红球1白球白球红球2红球1白球红球2白球红球1白球红球2红球2红球1红球1红球1红球2白球第一次摸球第二次摸球则r +1=2r ． 解得r =1． ∴AO =2．∴BO =2． …………………………………………………………………………………5分23．（1）120°<α<180°． ……………………………………………………………………………………1分 （2）①补全的图形如图所示．……………………………………………2分②AE = AF +CE ．……………………………………………………………………………………3分 证明：如图，在AC 上截取AG =CE ，连接BG ． ……………………………………………4分 ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =AC ，∠BAC =∠C =60°．∴△ABG ≌△CAE ．……………………………………5分 ∴BG =AE ，∠ABG =∠CAE ． 由题意可知AB =AD ．∴∠D =∠ABD ．∵∠GFB =∠D +∠DAF =∠D +∠CAE ，∠GBF =∠ABD +∠ABG ， ∴∠GFB =∠GBF ．∴BG =FG ．………………………………………………………………………………6分 ∴AE =FG = AF +AG = AF +CE ． ………………………………………………………7分24．解：（1）当a =1，b =-2时，抛物线的表达式为22y x x =−， ∴对称轴为2bx a=−=1．……………………………………………………………………1分把x =-1，x =1，x =2分别代入22y x x =−，可得，y 1=3，y 2=-1，y 3=0．…………………………………………………………………2分∴y 2<y 3<y 1． …………………………………………………………………………………3分（2）法一：把x =-1，x =1，x =2分别代入2y ax bx =+，可得，y 1=a -b ，y 2=a +b ，y 3=4a +2b ． ∵y 2<y 1， ∴a +b <a -b ．∴b <0． ……………………………………………………………………………4分 ∵y 3>0， ∴4a +2b >0．∴a >0． ……………………………………………………………………………5分 ∴12bt a=−<． ∵y 2<0， ∴a +b <0． ∴1ba−>． ∴122b t a =−>． …………………………………………………………………6分 由图象的对称性可知，此时也满足y 3< y 1．………………………………………7分 综上，t 的取值范围是112t <<． 法二：∵抛物线的表达式为2y ax bx =+，∴抛物线经过原点O （0，0）． …………………………………………………4分 设该抛物线与x 轴的另一个交点为（m ，0）． ∵y 2<0<y 3，∴1<m <2． …………………………………………………………………………5分 ∵02mt +=， ∴112t <<． …………………………………………………………………6分 由图象的对称性可知，此时也满足y 3< y 1． ……………………………………7分 综上，t 的取值范围是112t <<．25．解：（1）①B，C；…………………………………………………………………………………2分②作CH⊥x轴于点H．由C（，-1），可求OC=2，CH=1．……………………………………………4分i若点H在线段OD上，则CH必为点C到线段OD上的点的距离的最小值．∴OC为点C到线段OD上的点的距离的最大值．a≤≤．……………………………………………………………………5分ii若点H不在线段OD上，则OC必为点C到线段OD上的点的距离的最小值．∴CD为点C到线段OD上的点的距离的最大值，等于4．∴a=………………………………………………………………………6分综上，a的取值范围是a≤a=（2）113r≤≤或39r≤≤．…………………………………………………………………8分说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.祝各位老师寒假愉快！。
2021北京市朝阳区初三数学期末试题及答案
2021年北京市朝阳区第一学期期末检测初三数学 2021． 1一、选择题（本题共24分，每小题3分．第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1．下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A B C D2．用配方法解方程23620x x -+=，将方程变为21()3x m -=的形式，则m 的值为( )A ．9B ．9-C ．1D ．1-3．正方体的棱长为x ，表面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为( )A ．16y x =B ．6y x =C ．26y x =D ．6y x=4．若O 的内接正n 边形的边长与O 的半径相等，则n 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．75．下列方程中，无实数根的方程是( ) A ．230x x +=B ．2210x x +-=C ．2210x x ++=D ．230x x -+=6．如图，一个可以自由转动的转盘被分为8个大小相同的扇形，颜色标注为红，黄，绿，指针的位置固定，转动转盘停止后，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则下列说法正确的( )A．指针指向黄色的概率为2 3B．指针不指向红色的概率为3 4C．指针指向红色或绿色的概率为1 2D．指针指向绿色的概率大于指向黄色的概率7．如图，在半径为1的扇形AOB中，90AOB∠=︒，点P是上任意一点（不与A，B重合），OC AP⊥，OD BP⊥，垂足分别为C，D，则CD的长为( )A．1 2B．2 2C．3 2D．18．如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线2y ax bx c=++与直线y kx=交于M，N两点，则二次函数2()y ax b k x c=+-+的图象可能是( )A B C D二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为________cm ．10．如图所示的正方形网格中，A ，B ，C ，D ，P 是网格线交点．若APB α∠=，则BPC ∠的度数为_______（用含α的式子表示）．11．一元二次方程2310x x -+=的根为_________． 12．下列事件①通常加热到C ，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机app 购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180°，其中是随机事件的是__________(只填序号即可)．13．在同一个平面直角坐标系xOy 中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x =的图象如 图所示，则1a ，2a ，3a 的大小关系为__________．14．响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的 土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份 盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x ，根据题意，可列方 程为__________．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等边ABC △的顶点A 在y 轴的正半轴上，B (-5,0)，C (5,0)，点D (11,0)，将ACD △绕点A 顺时针旋转60 得到ABE △，则的长度为__________，线段AE 的长为__________，图中阴影部分的面积为_________．16．不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．下面有四个推断：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．所有合理推断的序号是__________．三、解答题（本题共31分，第17-20题，每小题5分，第21小题6分，第22题5分）17．关于x的一元二次方程22x m x m m+-++-=有两个不相等的实数根．(21)20（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，写出一个符合条件的m的值并求出此时方程的根．18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC和点D（A，B，C，D是网格线交点）．（1）画出一个△DEF，使它与△ABC全等，且点D与点A是对应点，点E与点B是对应点，点F与点C是对应点（要求：△DEF是由△ABC经历平移、旋转得到的，两种图形变化至少各一次）．（2）在（1）的条件下，在网格中建立平面直角坐标系，写出点C和点F的坐标．19．已知：如图，△ABC中，．求作：ÐCPB=ÐA，使得顶点P在AB的垂直平分线上．作法：①作AB的垂直平分线l，交AB于点O；②以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O与直线l的一个交点为P（点P与点C在AB的两侧）；③连接BP，CP．ÐCPB就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OC，∵l为AB的垂直平分线．∴OA=_______．∵ÐACB=90°，∴OA=OB=OC．∴点A，B，C都在⊙O上．又∵点P在⊙O上，∴ÐCPB=ÐA（______）（填推理依据）．20．12月4日是全国法制宣传日．下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同） 在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表：（1）频数分布表中，m =_______；（2）从70≤x <75中，随机抽取2名学生，那么所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率是多少？21．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是的中点，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ，连接AD ． （1）求证：DE 是O 的切线；（2）连接CD ，若30CDA ∠=，AC =2，求CE 的长．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线成绩x 人数 班级70≤x <75 75≤x <80 80≤x <85 85≤x <90 90≤x <95 95≤x ≤100一班 2 0 3 7 8 0 二班 0 1 5 7 7 0 三班 0 1 4 7 7 1 四班m375223y ax bx =+-与直线1y x =--交于点A (1,0)-，B (m ,-3)，点P 是线段AB 上的动点． （1）①m =____________；②求抛物线的解析式．（2）过点P 作直线l 垂直于x 轴，交抛物线23y ax bx =+-于点Q ，求线段PQ 的长最大时，点P 的坐标．四、解答题（本题共21分，每小题7分）23．在等腰直角△ABC中，AB=AC，90∠=，过点B作BC的垂线l．点P为直线ABA上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形．①求证：BDP PCB∠=∠；②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．图1 备用图24．已知抛物线y=ax2+2ax+3a2-4．（1）该抛物线的对称轴为__________；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求抛物线的解析式；（3）设点M (m ,y 1)，N (2,y 2)在该抛物线上，若21y y ＞，求m 的取值范围．25．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为2，A ，B 为O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，使线段AB 的一个端点落在O 上，其他部分不在O 外，点A ，B 的对应点分别为点A '，B '，线段AA '长度的最大值称为线段AB 到O 的“极大距离”，记为d (AB ,⊙O )．（1）若点A (-4,0)①当点B 为(-3,0)，如图所示，平移线段AB ，在点）（0,21-P ，）（0,12-P ，P 3(1,0)，P 4(2,0) 中，连接点A 与点_______的线段的长度就是(,)d AB O ；②当点B 为(-4,1)，求线段AB 到O 的“极大距离”所对应的点A '的坐标． （2）若点A (-4,4)，d (AB ,⊙O )的取值范围是_______．2021年北京市朝阳区第一学期期末检测初三数学（答案）一、选择题（本题共24分，每小题3分）二、填空题（本题24分，每小题3分） 9. 1.5 10. 90α︒-11. 123322x x +-==12. ②13. 123a a a <<14. 224000(1)34560x += 15.103π；14；16π 16. ②③三、解答题（本题共31分，第17-20题每小题5分，第21题6分，第22题5分）. 17. 解：（1）由题意，22(21)4(2)0m m m ∆=--+->，解得98m <．（2）1m =．此时方程为20x x +=．∴方程的根为10x =；21x =-．18. 答案不唯一，如： （1）（2）C (0,0)；F (4,2). 19. （1）（2）OB ； 同弧所对的圆周角相等． 20. （1）3．（2）一班有2人，分别记为A ，B ；四班有3人，分别记为C ，D ，E ．随机抽取2人的情况有：AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ． 至少1人是一班学生的情况有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ．所以至少有1人是一班学生的概率是710．ACBD E F21.（1）证明：如图1，连接OD ，∵D 是的中点，∴BAD CAD ∠=∠． ∵OA OD =， ∴BAD ODA ∠=∠． ∴CAD ODA ∠=∠．∴//OD AE ． ∵DE AC ⊥, ∴DE OD ⊥． 图1∴DE 是⊙O 的切线． （2）解：如图2，连接OC ，∵30CDA ∠=︒，∴2 60AOC CDA ∠=∠=︒． ∴△AOC 是等边三角形．∴由（1）可得，四边形ACDO 是菱形． ∴2CD AC ==，30CDE ∠=︒． ∴1CE =．图222. 解：（1）① 2．②由①得，点(23)B -，． ∵点(10)A -， ，(23)B -，在抛物线23y ax bx =+-上， ∴30423 3.a b a b ⎧⎪⎨⎪⎩--=+-=-，解得12.a b ⎧⎪⎨⎪⎩==-，∴抛物线的解析式为22 3.y x x =--BOACED（2）设点P 的横坐标为x ，其中12x -≤≤． ∴点(1)P x x --，，点2(23)Q x x x --，． ∴22PQ x x =-++． ∴当12x =时，PQ 最大． 此时点P 的坐标是(12,-32)．四、解答题（本题共21分，每小题7分） 23. 解：（1）补全图形，如图：①证明：如图①，设PD 与BC 的交点为E ．根据题意可知，90CPD ∠=︒． ∵BC ⊥l ， ∴90DBC ∠=︒．∴ 90BDP BED PCB PEC ∠+∠=∠+∠=︒. ∴BDP PCB ∠=∠．图1②BC BD -=．证明：如图②，过点P 作PF ⊥BP 交BC 于点F ． ∵90AB AC A =∠=︒，，∴45ABC ∠=︒． ∴45BP PF PFB =∠=︒，． ∴135PBD PFC ∠=∠=︒． ∴△BPD ≌△FPC ． ∴BD FC =．∴BF =， 图2∴BC BD -=． （2）BD BC -=． 24．解：（1）直线1x =-．（2）∵抛物线顶点在x 轴上，∴顶点坐标为()1,0-． 解得1a =-或43a =． ∴抛物线解析式为221y x x =---或2484333y x x =++．（3）∵抛物线的对称轴为直线1x =-，∴()22,N y 关于直线1x =-的对称点为()24,N y '- （i ）当0a >时，若12y y >，则4m <-或2m >； （ii ）当0a <时，若12y y >，则42m -<<．25．解：（1）①3P．②如图，A B x''⊥轴于点M．∴M为A B''中点．∴12A M'=．∴2 OM=．∴A'(2,-12)．（2）()1,422d AB O+≤≤+．。
2021-2022学年北京人大附中本部九年级(上)期末数学模拟练习试卷(五)
2021-2022学年北京人大附中本部九年级（上）期末数学模拟练习试卷（五）的图象经过点（2，3），则k=（）1.（单选题，3分）已知反比例函数y= kxA.2B.3C.-6D.62.（单选题，3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A.B.C.D.3.（单选题，3分）不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为（）A. 13B. 12C. 23D.14.（单选题，3分）如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE || BC．若AE=2，AC=4，AD=3，则AB为（）A.9B.6C.3D. 325.（单选题，3分）在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（）A.x-1=0B.x2+x=0C.x2-1=0D.x2+1=06.（单选题，3分）如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则BĈ的长为（）πA. 14πB. 13πC. 23D.π7.（单选题，3分）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据CD=10m，α=45°，β=50°A.x=（x-10）tan 50°B.x=（x-10）cos50°C.x-10=x tan 50°D.x=（x+10）sin 50°8.（单选题，3分）如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y，定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域，已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④ 中，则下面叙述中正确的是（）A.点A的横坐标有可能大于3B.矩形1是正方形时，点A位于区域②C.当点A沿双曲线向下移动时，矩形1的面积减小D.当点A位于区域① 时，矩形1可能和矩形2全等9.（填空题，3分）写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是___ ．的图象上，则a，b的大10.（填空题，3分）若点（1，a），（2，b）都在反比例函数y= 4x小关系是：a___ b（填“＞”、“=”或“＜”）．11.（填空题，3分）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，若腰AB与⊙O相切，则AC与⊙O的位置关系为___ （填“相交”、“相切”或“相离”）．12.（填空题，3分）若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的一个根为1，则m的值为___ ．13.（填空题，3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＞AD，E，F分别是AB，DC的中点，将矩形ABCD沿EF所在直线对折，若得到的两个小矩形都和矩形ABCD相似，则用等式表示AB与AD的数量关系为___ ．14.（填空题，3分）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB=1.5m，同时量得BC=2m，CD=12m，则旗杆高度DE=___ m．15.（填空题，3分）已知双曲线y=- 3与直线y=kx+b交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．x（1）若x1+x2=0，则y1+y2=___ ；（2）若x1+x2＞0时，y1+y2＞0，则k___ 0，b___ 0（填“＞”，“=”或“＜”）．16.（填空题，3分）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP=2，过点P作直线l，使l⊥PA．（1）点O到直线l距离的最大值为___ ；（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为___ ．17.（问答题，5分）解方程：x2-4x+3=0．18.（问答题，5分）如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B=∠ACD=90°，AC平分∠BAD．（1）证明：△ABC∽△ACD；（2）若AB=4，AC=5，求BC和CD的长．19.（问答题，5分）在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，P为BC边上一点，△APD为等腰三角形．（1）小明画出了一个满足条件的△APD，其中PA=PD，如图1所示，则tan∠BAP的值为___ ；（2）请你在图2中再画出一个满足条件的△APD （与小明的不同），并求此时tan∠BAP 的值．20.（问答题，5分）文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表：混入“HB”铅笔数1 2 盒数6 mn（1）用等式写出m ，n 所满足的数量关系 ___ ； （2）从20盒铅笔中任意选取1盒：① “盒中没有混入‘HB’铅笔”是 ___ 事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）； ② 若“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为 14 ，求m 和n 的值．21.（问答题，6分）一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系y=- 112 x 2+ 23 x+c ，其图象如图所示．已知铅球落地时的水平距离为10m ．（1）求铅球出手时离地面的高度；（2）在铅球行进过程中，当它离地面的高度为 1112 m 时，求此时铅球的水平距离．22.（问答题，6分）用长为6米的铝合金条制成如图所示的框，若窗框的高为x米，窗户的透光面积为y平方米（铝合金条的宽度不计）．（1）y与x之间的函数关系式为___ （不要求写自变量的取值范围）；（2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出最大面积．23.（问答题，6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，2），B（4，2），以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段（x＞0）的图象上．CD．已知点B在反比例函数y= kx（1）求反比例函数的解析式，并画出图象；（2）判断点C是否在此函数图象上；（3）点M为直线CD上一动点，过M作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点N．若MN≥AB，直接写出点M横坐标m的取值范围．24.（问答题，7分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．（1）求证：OA=OB；（2）连接AD，若AD= √7，求⊙O的半径．25.（问答题，7分）在平面直角坐标系xOy中，点P（m，y1）在二次函数y=x2+bx+c的图象上，点Q（m，y2）在一次函数y=-x+4的图象上．（1）若二次函数图象经过点（0，4），（4，4）．① 求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；② 判断m＜0时，y1与y2的大小关系；（2）若只有当m≥1时，满足y1•y2≤0，求此时二次函数的解析式．26.（问答题，0分）已知∠MON=α，A为射线OM上一定点，OA=5，B为射线ON上一动点，连接AB，满足∠OAB，∠OBA均为锐角．点C在线段OB上（与点O，B不重合），满足AC=AB，点C关于直线OM的对称点为D，连接AD，OD．（1）依题意补全图1；（2）求∠BAD的度数（用含α的代数式表示）；，点P在OA的延长线上，满足AP=OC，连接BP，写出一个AB的值，使得（3）若tanα= 34BP || OD，并证明．27.（问答题，0分）（1）如图1，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC=2，BC=1，则△BCD的周长为___ ；（2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF的周长等于AD的长．① 在图2中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；② 在图3中补全图形，求∠EOF的度数；③ 若AFCE =89，则OFOE的值为___ ．28.（问答题，0分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点，那么称点P独立于图形W．（1）如图1，已知点A（-2，0），以原点O为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于点B．在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于AB̂的点是___ ；（2）如图2，已知点C（-3，0），D（0，3），E（3，0），点P是直线l：y=2x+8上的一个动点．若点P独立于折线CD-DE，求点P的横坐标x p的取值范围；（3）如图3，⊙H是以点H（0，4）为圆心，半径为1的圆．点T（0，t）在y轴上且t＞-3，以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为（0，t+3），将正方形KLMN在x轴及x轴上方的部分记为图形W．若⊙H上的所有点都独立于图形W，直接写出t的取值范围．。
2020-2021学年北京市朝阳区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年北京市朝阳区九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列图形中：①线段，②角，③等腰三角形，④有一个角是30°的直角三角形，其中一定是轴对称图形的个数()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.若|a+b−5|+(a−2b+4)2=0，则(a−b)2017的值等于()A. −1B. 1C. −22017D. 220173.某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后开了200km时，油箱中的汽油大约消耗了四分之一，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km，油箱中的剩油量为y L，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是()A. y=0.0625x，x>0B. y=50−0.0625x，x>0C. y=0.0625x，0≤x≤800D. y=50−0.0625x，0≤x≤8004.刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S−S1的值为()(π≈3.14)A. 0B. 0.14C. 0.5D. 15.一元二次方程x2−(3a+1)x−a=0有两个相等实根，则a为()A. −1B. 19C. a=−1，a=−19D. a=1，a=196.A、B、C、D、E、F、G、H为⊙O上的八个等分点，任取三点能组成直角三角形的概率是()A. 34B. 47C. 37D. 277.若一个直角三角形的两边长为12、13，则第三边长为()A. 5B. 17C. 5或17D. 5或√313x−1上，则y1，y2的大小关系是()8.已知点A(−3,y1)和B(−2,y2)都在直线y=−12A. y1>y2B. y1<y2C. y1=y2D. 大小不确定二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.如图，PB是半径为5的圆O的一条割线，PA，PB的长是方程x2−10x+16=0的两个根(PA<PB)，PC是圆O的一条切线，C是切点．则四边形PAOC的面积是______ ．10.如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是______厘米 2．11.方程x2−4=|2x+1|的解是______ ．12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，点D在边AB上，将△BCD沿CD折叠，点B落在点B′处．若B′D//AC，则∠BDC=______13.将抛物线y=(x+m)2−1向右平移2个单位长度后，对称轴是y轴，那么m的值是______．14.如，在一块长为22米、宽为17米的矩形地上，修建同宽的两互相垂直的道(两条各矩形的一边平行)，剩余部分种草坪使草面积30方米．若设道宽为x，则根据意可列方程为______ ．15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=16，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E．(1)当AC=2时，求⊙O的半径；(2)设AC=x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式是______ ．16.已知一次函数y=kx+b，k从2，−3中随机取一个值，b从1，−1，−2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为．三、解答题（本大题共9小题，共52.0分）17.解方程：2x(x+1)=x+118.图①、图②均是6×6的正方形网格每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A在格点上试在网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形(1)在图①中，画出一个以点A为顶点的非特殊的平行四边形；(2)在图②中，画出一个以点A为对角线交点的非特殊的平行四边形．19.如图1，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC//弦AD(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)如图2，连AC交BD于E.若AE=CE，求tan∠ACB的值．20.某次模拟考试后，抽取m名学生的数学成绩进行整理分组，形成如下表格(x代表成绩)，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图(横坐标表示成绩，单位：分)．A组140<x≤150B组130<x≤140C组120<x≤130D组110<x≤120E组100<x≤110(1)m的值为______，扇形统计图中D组对应的圆心角是______°.(2)请补全频数分布直方图，并标注出相应的人数．(3)若此次考试数学成绩130分以上的为优秀，参加此次模拟考的学生总数为2000，请估算此次考试数学成绩优秀的学生人数．21. 如图，AB为圆O的直径，C是圆O上一点，D是圆外一点，OD交圆O于点E，交AC于点F，F是AC的中点，BE交AC于点G，连接CE，且∠CAD=2∠C．(1)求证：AD为圆O的切线；(2)若EG=6，tanC=1，求直径AB的长．222. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数与y轴交于点C，连接AC，BC，求△ABC的面积．23. 已知如图：在等边△ABC中，AB=6cm，AD⊥BC于点D动点F从点B出发，沿BC方向以1cm/s的速度向点D运动，同时，动点P也从点B出发，沿BA方向以3cm/s的速度向点A运动，过点P作PE//BC与边AC交于点E与AD交于点G连结EDPF，设运动时间为t(s)(0<t<2)．(1)当t为何值时，四边形PEDF为平行四边形？(2)设四边形PEDF面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；(3)连结PD、E，当t为何值时，PD⊥EF？24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一条抛物线经过A，O，B三点，点B在x轴的正半轴上，且OA=OB=4，∠AOB=120°.求这条抛物线的解析式．25. 已知：AB、CD为⊙O的直径，弦BE交CD于点F，连接DE交AB于点G，GO=GD．(1)如图1，求证：DE=DF；(2)如图2，作弦AK//DC，AK交BE于点N，连接CK，求证：四边形KNFC为平行四边形；(3)如图3，作弦CH，连接DH、AE，∠CDH=3∠EDH，CH=2√11，AE=3，求BE的长．参考答案及解析1.答案：C解析：解：①线段，是轴对称图形；②角，是轴对称图形；③等腰三角形，是轴对称图形；④有一个角是30°的直角三角形，不是轴对称图形．故选：C ．利用轴对称图形的定义，分别分析得出答案．此题主要考查了轴对称图形，正确理解轴对称图形的定义是解题关键．2.答案：A解析：解：∵|a +b −5|+(a −2b +4)2=0，∴{a +b −5=0 ①a −2b +4=0 ②， ①−②，可得：3b =9，解得b =3，把b =3代入①，解得a =2，∴原方程组的解是{a =2b =3， ∴(a −b)2017=(2−3)2017=−1．故选：A ．根据|a +b −5|+(a −2b +4)2=0，可得：{a +b −5=0 ①a −2b +4=0 ②，据此求出a 、b 的值各是多少，即可求出(a −b)2017的值等于多少．此题主要考查了解二元一次方程组的方法，以及绝对值、偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握，注意代入法和加减法的应用．3.答案：D解析：解：由题意可得，y =50−50×14200x =50−0.0625x ，当y =0时，0=50−0.0625x ，解得x =800，即y 与x 之间的函数解析式是y =50−0.0625x(0≤x ≤800)，故选：D ．根据加满汽油后开了200km时，油箱中的汽油大约消耗了四分之一，可以计算出每千米的耗油量，然后即可写出y与x之间的函数解析式，再令y=0求出相应的x的值，即可得到x的取值范围．本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式和自变量的取值范围．4.答案：B解析：解：∵⊙O的半径为1，∴⊙O的面积S=π，∴圆的内接正十二边形的中心角为360°12=30°，∴过A作AC⊥OB，如图所示：∴AC=：12OA=12，∴圆的内接正十二边形的面积S1=12×12×1×12=3，∴S−S1=π−3≈0.14，故选：B．根据圆的面积公式得到⊙O的面积S=π，求得圆的内接正十二边形的面积S1=3，即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．5.答案：C解析：解：∵一元二次方程x2−(3a+1)x−a=0有两个相等实根，∴△=[−(3a+1)]2−4×1×(−a)=0，解得：a=−1或−19，故选：C．根据根的判别式得出△=[−(3a+1)]2−4×1×(−a)=0，求出方程的解即可．本题考查了根的判别式和解一元二次方程，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．6.答案：C解析：解：根据圆上的八个点如图，那么只要有两点过圆心，则一定有直角存在，∴任取三点能构成直角三角形的概率是2456=37．故选：C．首先确定构成的直角三角形在所有三角形中占的比例，根据这个比例即可求出能构成直角三角形的概率．本题考查了本题主要考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn，难度适中．7.答案：D解析：解：当12，13为两条直角边时，第三边=√122+132=√313，当13，12分别是斜边和一直角边时，第三边=√132−122=5．故选：D．本题考查了勾股定理的知识，题目中渗透着分类讨论的数学思想．根据告诉的两边长，利用勾股定理求出第三边即可．注意13，12可能是两条直角边也可能是一斜边和一直角边，所以得分两种情况讨论．8.答案：A解析：先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据−3<−2即可得出结论．解：∵一次函数y=−12x−1中，k=−12<0，∴y随x的增大而减小，∵−3<−2，∴y1>y2．故选A．9.答案：14解析：解：连接PO，过点O作OD⊥AB于点D，∵x2−10x+16=(x−2)(x−8)=0，∴x=2或8，∵PA，PB的长是方程x2−10x+16=0的两个根(PA<PB)，∴PA=2，PB=8，∵PB是半径为5的圆O的一条割线，PC是圆O的一条切线，∴PC2=PA⋅PB，∴PC=4，∴S△PCO=12PC⋅OC=10，∵AB=6，∴AD=3，∴OD=4，∴S△PAO=12PA⋅OD=4，∴四边形PAOC的面积=4+10=14，故答案为：14．连接PO，过点O作OD⊥AB于点D，分别求出△PCO和△AOP的面积，即可得到则四边形PAOC的面积．本题考查了切线的性质、用因式分解法解一元二次方程、切割线定理的运用、勾股定理的运用以及三角形面积公式的运用，正确的添加辅助线把四边形的面积分割为两个三角形的面积是解题关键．10.答案：25617解析：解：设BC=a，则CE=√16−a2，∵∠BEC+∠EBC=90°，∠BEC+∠DEF=90°，∴∠DEF=∠CBE，又∵∠BCE=∠EDF=90°，∴△BCE∽△EDF，得DE=34a，又DE+EC=DC，即34a+√16−a2=a，解得a2=25617．故答案为：25617．设BC=a，根据勾股定理可以求得CE的长，易证△BCE∽△EDF得DE=34a，再根据DE+EC=DC 即可求得a的值，即可求得正方形的面积，即可解题．本题考查了相似三角形的证明和相似三角形对应边比值相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据DE+EC=DC求a的值是解题的关键．11.答案：x=1+√6或x=−3解析：解：分两种情况：①x>−12时，原方程可变形为：x2−2x−5=0，∴x1=1+√6，x2=1−√6(舍去)；②x≤−12时，原方程变形为：x2+2x−3=0，即(x+3)(x−1)=0，∴x1=−3，x2=1(舍去)．因此本题的解为x=1+√6或x=−3．故答案为x=1+√6或x=−3．分两种情况：①x>−12；②x≤−12.先化为一般形式，再根据方程的特点选用合适的方法求解即可．本题考查了一元二次方程的解法和绝对值的性质．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是公式法与因式分解法．12.答案：115°解析：解：由折叠可得∠B′=∠B=40°，∵B′D//AC，∴∠ACB′=∠B′=40°，又∵∠ACB=90°，∴∠BCB′=50°，由折叠可得，∠BCD=12∠BCB′=25°，∴△BCD中，∠BDC=180°−40°−25°=115°．故答案为：115°．依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到∠BCD的度数，再根据三角形内角和定理，即可得出结论．本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．13.答案：2解析：解：将抛物线y=(x+m)2−1向右平移2个单位长度后，得到抛物线解析式为y=(x+m−2)2−1，其对称轴为：x=2−m=0，解得m=2．故答案是：2．根据平移规律“左加右减，上加下减”填空．主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．14.答案：(22−x)(17−x)=300解析：此题要考查了由实实问题抽象出一元二次程，中间建的两条道别移到矩地面的最上边和最左边是做本题的关键．把修的两条道路分别平移到矩的最上边和，则剩草坪是个长方形，据长方形的面积公式列方．解：设道的宽应为x 米，由题意得：(22−x)(17−x)=300，故答案为(22−x)(17−x)=300．15.答案：y =−116x 2+x(0<x <16) 解析：解：(1)连接OE ，OD ，在△ABC 中，∠C =90°，AC +BC =16，∵AC =2，∴BC =14，∵以O 为圆心的⊙O 分别与AC ，BC 相切于点D ，E ，∴∠ODC =∠OEC =90°，∵∠C =90°，OD =OE ，∴四边形OECD 是正方形，∴DC =OD ，∵OD//BC ，∴△ADO∽△ACB ，∴AD AC =OD BC ，即2−OD 2=OD14，解得，OD =74，即⊙O 的半径为74；(2)∵AC +BC =16，AC =x ，∴BC =16−x ，由(1)可知，AD AC =OD BC ，即x−yx =y16−x ，整理得，y =−116x 2+x(0<x <16)，故答案为：y =−116x 2+x(0<x <16)．(1)连接OE，OD，根据切线的性质、正方形的判定定理得到四边形OECD是正方形，进而得到DC=OD，证明△ADO∽△ACB，根据相似三角形的性质列式计算即可；(2)根据相似三角形的性质列出比例式，把含x、y的式子代入，化简即可．本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、函数关系式的确定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．16.答案：解析：本题主要考查一次函数的性质以及树状图法求概率.熟练地应用一次函数知识得出k，b的符号是解决问题的关键.根据已知画出树状图，再利用一次函数的性质该一次函数的图象经过二、三、四象限时，k<0，b<0，即可得出答案．解：∵k从2，−3中随机取一个值，b从1，−1，−2中随机取一个值，∴可以画出树状图：∴该一次函数的图象经过二、三、四象限时，k<0，b<0，∴当k=−3，b=−1时符合要求，∴当k=−3，b=−2时符合要求，∴该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为：．故答案为．17.答案：解：2x(x+1)−(x+1)=0，(x+1)(2x−1)=0，x+1=0或2x−1=0，所以x1=−1，x2=1．2解析：先移项得到2x(x+1)−(x+1)=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．18.答案：解：(1)如图，平行四边形ABCD即为所求．(2)如图，平行四边形EFGH即为所求．解析：(1)画出底为3，高为2的平行四边形ABCD即可．(2)利用数形结合的思想解决问题即可．本题考查作图−应用与设计，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会题数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．19.答案：(1)证明：如图1中，连接BD、OD，BD与OC交于点E．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵AD//OC，∴OC⊥BD，ED=BE，∵OD=OB，∴∠DOC=∠BOC，∵BC是⊙O切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，在△OCD和△OCB中，{OD=OB∠DOC=∠BOC OC=OC，∴△OCD≌△OCB，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O切线．(2)如图2中，连接OC交BD于点M，连接OE，∵AO=OB，AE=EC，∴OE//BC，∴OE=12BC，∠AEO=∠ACB，∴OEBC =EMBM=12，设EM=a，BM=2a，∠AOE=∠ABC=90°，∵∠OEM=∠OEB，∠OME=∠EOB=90°，∴△EOM∽△EBO，∴EO2=EM⋅EB=a⋅3a，∴EO=√3a，同理BO2=BM⋅BE=6a2，∴BO=AO=√6a，∵∠AEO=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠AEO=AOOE =√6a√3a=√2．解析：本题考查切线的性质和判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会添加常用辅助线．(1)欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°，只要证明△OCD≌△OCB即可．(2)如图2中，连接OC交BD于点M，连接OE，设EM=a，BM=2a，利用△EOM∽△EBO，得EO2= EM⋅EB，求出EO、OB即可解决问题．20.答案：解：(1)50，72；(2)C组人数为50×30%=15人，E组人数为50−(10+15+16+4)=5(人)，补全图形如下：=800(人).(3)估算此次考试数学成绩优秀的学生人数为2000×16+450解析：本题考查的是频数分布直方图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．频数分布直方图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．(1)由A组人数及其所占百分比可得总人数m的值，用360°乘以D组人数占总人数的比例即可得；(2)总人数乘以C组的百分比求得其人数，再由各组人数之和等于总人数求得E组的人数即可补全图形；(3)用样本估计总体的思想解决问题；=72°，解：(1)m=4÷8%=50(人)，扇形统计图中D组对应的圆心角是360°×1050故答案为：50，72；(2)见答案；(3)见答案．21.答案：(1)证明：∵F是AC的中点，∴OF⊥AC，∴AE⏜=CE⏜，∴∠C=∠B，∵OB=OE，∴∠B=∠OEB，∴∠AOE=∠OEB+∠B=2∠B，∵∠CAD=2∠C．∴∠CAD=∠AOE，∵∠OAF+∠AOF=90°，∴∠CAD+∠OAF=90°，即∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∴AD为圆O的切线；(2)解：连接AE，如图，∵AE⏜=CE⏜，∴∠C=∠CAE=∠B，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，在Rt△AEG中，tan∠GAE=EGAE =tanC=12，∴EG=2EG=2×6=12，在Rt△ABE中，tan∠B=AEBE =12，∴BE=2AE=24，∴AB=√122+242=12√5，解析：(1)利用垂径定理得到OF⊥AC，AE⏜=CE⏜，根据圆周角定理得到∠C=∠B，再证明∠CAD=∠AOE，从而得到∠CAD+∠OAF=90°，则OA⊥AD，则根据切线的判定得到结论；(2)连接AE，如图，利用圆周角得到∠C=∠CAE=∠B，∠AEB=90°，先在Rt△AEG中利用正切的定义求出EG=12，再在Rt△ABE中求出BE，然后利用勾股定理计算AB的长．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了切线的判定、圆周角定理和垂径定理．22.答案：解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，∴{a−b+c=09a+3b+c=0 c=3，解得{a=−1 b=2c=3，∴这个二次函数的解析式为y=−x2+2x+3；(2)∵A(−1,0)，B(3,0)，∴AB=4，∵C(0,3)，∴△ABC的面积=12×4×3=6．解析：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．(1)将A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c，然后解方程组即可解决；(2)根据三角形的面积公式即可求解．23.答案：解：(1)由题意得：PB=3t，BF=t，则AP=6−3t，∵四边形PEDF是平行四边形，∴PE//DF，PE=DF，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠APE=∠AEP=60°，∴△APE是等边三角形，∴PE=AP=6−3t，∵AD⊥BC，∴BD=12×6=3，∴DF=3−t，∴3−t=6−3t，2t=3，t =32； (2)如图1，过P 作PH ⊥BC 于H ， ∵AB =6，BD =3， ∴AD =3√3， ∵∠B =60°， ∴sin60°=PH PB ， ∴PH =√32×3t =3√3t2，∴S =S △ABC −S △APE −S △PBF −S △EDC ，=12×6×3√3−12(6−3t)√32(6−3t)−12t ⋅3√3t2−12×3×3√3t2，=9√3−√34(6−3t)2−3√3t 24−9√3t4，=−3√3t 2+27√34t ；S =−3√3t 2+27√34t =−3√3(t −98)2+243√364；∵−3√3<0，∴当t =98时，S 有最大值243√364；(3)如图2，由(1)得：EH =3√32t ，∵PD ⊥EF ，∴∠FOD =90°，∴∠OFD +∠ODF =90°，∵∠ODF +∠PDG =90°，∴∠PDG =∠OFD ，∴tan∠PDG =tan∠OFD =EH FH =PGDG ，∴3√3t 26−t−32t =6−3t23√3t 2，∴2t 2+11t −12=0，解得：t 1=−11+√2174，t 2=−11−√2174(舍)．则当t =−11+√2174时，PD ⊥EF ．解析：(1)根据四边形PEDF为平行四边形得：PE=DF，列式可得结论；(2)根据面积差可得y与t之间的函数关系式；根据二次函数的关系式，配方后可得结论；(3)证明∠PDG=∠OFC，利用等角的三角函数列式：tan∠PDG=tan∠OFD=EHFH =PGDG，得一元二次方程，解出可得结论．本题是三角形和四边形的综合题，主要考查了等边三角形、直角三角形的性质，四边形的面积，三角函数，二次函数的最值问题，一元二次方程等知识点，有难度，熟练掌握各知识点是关键，并注意利用三角函数列比等式可得方程来解决问题．24.答案：解：过点A作AC⊥x轴于点C，如图，B(4,0)，∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，∴∠OAC=30°，∵OA=OB=4，∴OC=2，AC=2√3，∴A(−2,2√3)，而B(4,0)，设抛物线解析式为y=ax(x−4)，把A(−2,2√3)代入得−2a·(−2−4)=2√3，解得a=√36，∴抛物线解析式为y=√36x(x−4)，即y=√36x2−2√33x.解析：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．过点A作AC⊥x轴于点C，如图，B(4,0)，易得∠OAC=30°，则可计算出OC=2，AC=2√3，从而得到A(−2,2√3)，再设交点式设抛物线解析式为y=ax(x−4)，然后把A点坐标代入求出a即可．25.答案：解：(1)如图1，设∠D=α，∠GOD=α则∠COB=α∵CO=OB∴∠OBC=∠OCB=90°−1 2α∵∠EDC=∠EBC=α∴在△BFC中∠CFB=90°−1 2α∴∠E=∠FCB=∠EFD=∠CFB∴DE=DF(2)如图2，连接KD、KB设∠E=α∵DE=DF∴∠EFD=α，∠D=180°−2α∵GD=GO∴∠AOD=180°−2α∴∠DOB=2α∴∠AKD=90°−α，∠BKC=90°−α，∠DKB=α∴∠NKC=180°−α∵∠KNF=∠ENA=α∴KC//NF∵NK//CF ∴四边形NKCF是平行四边形(3)如图3，作CM⊥HO，垂足为M设半径为r，∠EDH=α则∠HDC=3α∴∠HOC=6α，∠EOH=2α，∠COB=∠GOD=4α∴∠EOB=12α∴∠EAB=6α∴△AEB∽△MOC∴AEAB=MOOC∴MO=3 2在Rt△HMC和Rt△MOC中HC2−HM2=OC2−OM2∴(2√11)2−(r−32)2=r2−(32)2解得r1=−4，r2=112在Rt△AEB中BE2=AB2−AE2∴BE=4√7解析：(1)设角度为参数，用参数标识角，利用圆周角和圆心角的关系，推导∠E=∠EFD；(2)通过两组对边平行来证明平行四边形，已知NK//CF，只需证明KC//NF，通过设置参数标识角度，利用圆心角和圆周角的关系，标识∠AKC和∠KNF，获得互补关系，从而证明四边形KNFC为平行四边形．(3)同(2)问相同，设置角参数，从而得到∠HOC=∠EAB，证明两角所在三角形的相似关系，在△HOC 中，用两次勾股定理建立方程，求出BE长．本题考查了圆的基本性质，重点考查了圆心角和圆周角的关系，难点在于需要设置角度参数，标识各个圆周角和圆心角，从而发现隐藏的角关系，获得平行结论和相似结论，求出线段长，本题计算难度不大，关键在于分析和探究图形内部的边角关系，需要学生有一个较好的分析问题的习惯，是一道很好的证明问题．。
北京市2021-2022学年各区九年级期末考试数学试题分类-代数综合-试题及答案
北京市2021-2022学年各区九年级期末考试数学试题分类——代数综合（昌平）1．在平面直角坐标系xOy 中，点（1，m ）和点（3，n ）在二次函数y ＝x 2＋bx 的图象上． （1）当m ＝-3时．①求这个二次函数的顶点坐标；②若点（-1，y 1），（a ，y 2）在二次函数的图象上，且y 2＞y 1，则a 的取值范围是____； （2）当mn ＜0时，求b 的取值范围．（东城）2．在平面直角坐标系xOy 中，点（1，m ）和（2，n ）在抛物线2y x bx =−+上． （1）若m ＝0，求该抛物线的对称轴；（2）若mn ＜0，设抛物线的对称轴为直线x t =，①直接写出t 的取值范围； ②已知点（－1，y 1），（32，y 2），（3，y 3）在该抛物线上．比较y 1，y 2，y 3的大小，并说明理由．（海淀）3．在平面直角坐标系xOy 中，点(4,3)在抛物线23(0)y ax bx a =++>上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知0m >，当222+m x m −≤≤时，y 的取值范围是13y −≤≤，求a ，m 的值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数n ，当2n x n −<<时，y 的取值范围是3335n y n −<<+，若存在，直接写出n 的值；若不存在，请说明理由．（通州）4. 二次函数()20y ax bx a a =++<的图象与y 轴交于点A ，将点A 向右平移4个单位长度，得到点B ，点B 在二次函数()20y ax bx a a =++<的图象上．（1）求点B 的坐标（用含a 的代数式表示）； （2）二次函数的对称轴是直线 ；（3）已知点（1m −，1y ），（m ，2y ），（2m +，3y ）在二次函数()20y ax bx a a =++<的图象上．若01m <<， 比较1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由．（石景山）5．在平面直角坐标系xOy 中，()11,A m y −，()23,B y 是抛物线2224y x mx m =−+−上 两点．（1）将2224y x mx m =−+−写成2()y a x h k =−+的形式； （2）若0=m ，比较1y ，2y 的大小，并说明理由； （3）若12y y <，直接写出m 的取值范围．（大兴）6．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图象经过点（0，– 3），（3，0）． （1）求二次函数的表达式；（2）将二次函数2y x bx c =++的图象向上平移n （n ＞0）个单位后得到的图象记为G ，当502x ≤≤时，图象G 与x 轴只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围． c bx x y ++=2（门头沟）7．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线224y ax ax =−+（a ＞0）．（1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a 的代数式表示）；（2）如果该抛物线的顶点恰好在x 轴上，求它的表达式；（3）如果()11,A m y −，()2,B m y ，()32,C m y +三点均在抛物线224y ax ax =−+上，且总有y 1＞y 3＞y 2，结合图象，直接写出m 的取值范围．（平谷）8.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线)0(22>−++=a a bx ax y 的对称轴是直线x ＝1. （1）用含a 的式子表示b ；（2）若当－2≤x ≤3时，y 的最大值是7，求a 的值；（3）若点A （-2，m ）B （3，n ）为抛物线上两点，且mn <0,求a 的取值范围.（西城）9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2()8=−−y a x h a 的顶点为A ，0＜h ＜． （1）若a =1，①点A 到x 轴的距离为________；②求此抛物线与x 轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A 到x 轴的距离为4，此抛物线与直线21=−+y x 的两个交点分别为B （1x ，1y ），C （2x ，2y ），其中1x ＜2x ．若点D （D x ，D y ）在此抛物线上，当1x ＜D x ＜2x 时，D y 总满足2y ＜D y ＜1y ，求a 的值和h 的取值范围．（密云）10. 在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数y =x 2-2ax +b 与y 轴相交于点（0，-3）． （1）当抛物线的图象经过点（1，-4）时，求该抛物线的表达式； （2）求这个二次函数的对称轴（用含a 的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），其中x 1-y 1=0，x 2+y 2=0．当x 1<0，x 2>0 时，总有x 1+x 2>0，求a 的取值范围．72（丰台）11．在平面直角坐标系xOy 中，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是抛物线2221y x mx m =−+−上任意两点.（1）求抛物线的顶点坐标（用含m 的式子表示）；（2）若x 1=m －2，x 2=m +2，比较y 1与y 2的大小，并说明理由； （3）若对于－1≤x 1＜4，x 2＝4，都有y 1≤y 2，直接写出m 的取值范围.（顺义）12. 已知抛物线2(1)21y m x mx m =−−++. ⑴ 求证：该抛物线与x 轴有两个交点；⑵ 求出它的交点坐标（用含m 的代数式表示）；⑶ 当两交点之间的距离是4时，求出抛物线的表达式.（燕山）13．在平面直角坐标系xOy 中，，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧）. （1）抛物线的对称轴为直线3x =，4AB =.求抛物线的表达式；（2）将（1）中的抛物线，向左平移两个单位后再向下平移，得到的抛物线经过点O ，且与x 正半轴交于点C ，记平移后的抛物线顶点为P ，若OCP △是等腰直角三角形，求点P 的坐标；（3）当4b =时，抛物线上有两点()11,M x y 和()22,N x y ，若12x <，22x >，124x x +>，试判断1y 与2y 的大小，并说明理由.（朝阳）14．在平面直角坐标系xOy 中，点（-1，y 1），（1，y 2），（2，y 3）在抛物线2y ax bx =+上．（1）若a =1，b =-2，求该抛物线的对称轴并比较y 1，y 2，y 3的大小； （2）已知抛物线的对称轴为x =t ，若y 2<0<y 3<y 1，求t 的取值范围．答案1.（昌平）解：（1）当m ＝-3时．①把点（1，-3）代入y ＝x 2＋bx ，得b ＝-4．…………………………………………………… 1分 二次函数表达式为y ＝x 2 -4x ＝(x -2)2 -4．所以顶点坐标为（2，-4）．……………………………………………………………………… 2分②a ＜-1或a ＞5．…………………………………………………………………………………… 4分（2）将点（1，m ），（3，n ）代入y ＝x 2＋bx ，可得m ＝1＋b ，n ＝9＋3b ．当mn ＜0时，有两种情况： ①若00.m n >⎧⎨<⎩，把m ＝1＋b ，n ＝9＋3b 代入可得1+0930.b b >⎧⎨+<⎩，此时不等式组无解.②若00.m n <⎧⎨>⎩，把m ＝1＋b ，n ＝9＋3b 代入可得1+0930.b b <⎧⎨+>⎩，解得-3＜b ＜-1．．所以-3＜b ＜-1．………………………………………………………………………………… 6分2.（东城）解：（1）∵点（1，m ）在抛物线2y x bx =−+上，m ＝0， ∴10b −+=． ∴1b =．∴该抛物线的对称轴为12x =． ……………..2分 （2）①11.2t <<……………..4分 ②312y y y <<． 理由如下：由题意可知，抛物线过原点．设抛物线与x 轴另一交点的横坐标为x ´． ∵抛物线经过点(1，m )，(2，n )，mn ＜0 ∴1＜x ´＜2． ∴112t <<． 设点（－1，y 1）关于抛物线的对称轴x t =的对称点为01(,)x y ． ∵点（－1，y 1）在抛物线上， ∴点01(,)x y 也在抛物线上． 由(1)x t t −=−− 得21x t =+．∵112t <<， ∴1＜2t ＜2． ∴2＜2t ＋1＜3． ∴023x <<．由题意可知，抛物线开口向下． ∴当x t >时，y 随x 的增大而减小. ∵点（32，y 2），01(,)x y ，（3，y 3）在抛物线上，且0332t x <<<， ∴312y y y << ……………..6分 3.（海淀）（1）解：依题意，∵ 抛物线23y ax bx =++过点（0，3），（4，3）， ∴ 该抛物线的对称轴为直线2x =. （2）解：∵ 抛物线23y ax bx =++对称轴为直线2x =，∴ 22ba−=，即4b a =− ①. ∵ 0m >，∴ 2222m m −<<+. ∵ 0a >，抛物线开口向上，∴ 当2x =时，函数值在222m x m −≤≤+上取得最小值1−. 即 4231a b ++=− ②.联立①②，解得1a =，4b =−. ∴ 抛物线的表达式为243y x x =−+，即()221y x =−−． ∵0m >，∴ 当22m x −≤≤时，y 随x 的增大而减小，当2x m =−时取得最大值， 当222x m ≤≤+时，y 随x 的增大而增大，当22x m =+时取得最大值， ∵对称轴为2x =，∴2x m =−与2x m =+时的函数值相等. ∵2222m m <+<+，∴ 当22x m =+时的函数值大于当2x m =+时的函数值，即2x m =−时的函数值. ∴ 当22x m =+时，函数值在222m x m −≤≤+上取得最大值3. 代入有2413m −=，舍去负解，得1m =. （3）存在，1n =．4.（通州）解：（1）∵令0x =，∴200y a b a a =⋅+⋅+=， ∴点A 的坐标为（0，a ）， ………………… 1分 ∵将点A 向右平移4个单位长度，得到点B ，∴点B 的坐标为（4，a ）. ………………… 2分 （2）2x = ………………… 3分 （3）∵对称轴是直线2x =，01m <<，∴点（1m −，1y ），（m ，2y ）在对称轴2x =的左侧，点（2m +，3y ）在对称轴2x =的右侧， ………………… 4分 ∵01m <<， ∴10m −<−<，∴()2213m <−−<， ………………… 5分 122m <−<， ………………… 6分 0221m <+−< ∵0a <，∴321y y y >>. ………………… 7分5.（石景山）解：（1）()24y x m =−−.………………2分（2）12y y <.理由如下：当0m =时，抛物线的对称轴是直线0x =.∵点()11,y −在抛物线24y x =−上，∴点()11,y 在抛物线24y x =−上.∵0a >，∴抛物线开口向上.∴当0x ≥时，y 随x 的增大而增大.∵抛物线过点()11,y ，()23,y ，∴12y y <. ………………4分 （3）2m <或4>m . ………………6分6.（大兴）解：（1）∵二次函数的图象经过点（0，－3），（3，0），∴∴0=32＋3b －3.∴∴二次函数的表达式为． ……………3分（2） ≤n ＜3或n = 4 ．………………………………………6分 7.（门头沟）（1）由题意得()22241 4.y ax ax a x a =−+=−−+∴ 对称轴为直线1x =，顶点坐标为()1,4.a −+………………………………2分（2）∵抛物线的顶点恰好在x 轴上，∴40.a −+=解得 4.a =∴ 抛物线的表达式为248 4.y x x =−+……………………………………………4分（3）10.2m <<…………………………………………………………………………6分8.（平谷）解：（1）2b a =−； (1)（2）由题意，抛物线222(0)y ax ax a a =−+−>过点（-2,7） (2)∴4a+4a+a-2=7解得a=1 (3)（3）当抛物线222(0)y ax ax a a =−+−>过点（-1,0）时，12a = (4)当抛物线222(0)y ax ax a a =−+−>过点（-2,0）时，29a = (5)∴2192a << (6)c bx x y ++=2．3−=c ．2−=b 322−−=x x y 47 －图19．（西城）1）① 8； ·················································································································· 1分②令y =0，2()80−−=x h ． ··············································································· 2分解得1=+x h，2=−x h ．∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离为12−=x x ····························· 3分（2）∵点A 到x 轴的距离为4， ∴84−=a ． ∴12=a 或12−． ①当12=a 时，21()42=−−y x h ． ∵当1x ＜D x ＜2x 时，D y 总满足2y ＜D y ＜y ∴h ≥2x ．如图1，当点A （h ，4−）在直线2=−+y x 421−=−+h ，解得52=h ． ∴h ≥52． ········································································································ 5分 ∵0＜h ＜72， ∴52≤h ＜72． ②当12=−a 时，21()42=−−+y x h ． 如图2所示，不符合题意，∴12=−a 舍去． 综上，12=a ，52≤h ＜72． ············································································· 6分图210.（密云）（1）解：y =x 2-2ax +b 与y 轴相交于点（0，-3）∴y =x 2-2ax -3 ………………………………1分∵抛物线的图象经过点（1，-4）∴1-2a -3=-4∴ a =1∴ y =x 2-2x -3 …………………………2分 （2）解： …………………………3分（3）解：当a=0时 当a>0时 当a<0时此时， ，x 1+x 2=0； 此时， ，x 1+x 2>0； 此时， ，x 1+x 2<0； ∴综述所述，a>0 ………………………………6分11. （丰台）（1）（m ，－1） ........................ 2分（2）∵22221()1y x mx m x m =−+−=−−，且点P 、Q 在抛物线上，∴21(2)13y m m =+−−=，22(2)13y m m =−−−=．∴12y y =． ........................ 4分（3）32m ≤． ........................ 6分12. （顺义）解：（1）根据题意得,∵ 224(2)4(1)(1)40b ac m m m ∆=−=−−−+=>∴ 该抛物线与x 轴有两个交点 …………………………1分1m ≠2221b a x a a −=−=−=⨯12x x =12x x <12x x >⑵ 令y =0 ，则2(1)210m xmx m −−++= 解方程，得 12212(1)1m m x m m ++==−−，22212(1)m x m −==−………………3分 所以，抛物线与x 轴的两个交点坐标是（1， 0）和（11m m +− ， 0）…4分 ⑶ 当两交点之间的距离是4时 ，有 151m m +=− 或131m m +=−− ∴ 32m = 或12m = ………………………………………………5分∴ 抛物线的表达式为215322y x x =−+ 或21322y x x =−−+ ……6分13. （燕山）14. （朝阳）解：（1）当a =1，b =-2时，抛物线的表达式为22y x x =−，∴对称轴为2b x a =−=1．……………………………………………………………………1分把x =-1，x =1，x =2分别代入22y x x =−，可得，y 1=3，y 2=-1，y 3=0．…………………………………………………………………2分∴y 2<y 3<y 1． …………………………………………………………………………………3分 （2）法一：把x =-1，x =1，x =2分别代入2y ax bx =+，可得，y 1=a -b ，y 2=a +b ，y 3=4a +2b ．∵y 2<y 1，∴a +b <a -b ．∴b <0． ……………………………………………………………………………4分 ∵y 3>0，∴4a +2b >0．∴a >0． ……………………………………………………………………………5分 ∴12b t a=−<． ∵y 2<0，∴a +b <0． ∴1b a−>． ∴122b t a =−>． …………………………………………………………………6分 由图象的对称性可知，此时也满足y 3< y 1．………………………………………7分 综上，t 的取值范围是112t <<． 法二：∵抛物线的表达式为2y ax bx =+，∴抛物线经过原点O （0，0）． …………………………………………………4分 设该抛物线与x 轴的另一个交点为（m ，0）．∵y 2<0<y 3，∴1<m <2． …………………………………………………………………………5分 ∵02m t +=， ∴112t <<． …………………………………………………………………6分 由图象的对称性可知，此时也满足y 3< y 1． ……………………………………7分综上，t的取值范围是11 2t<<．。
2021-2022学年北京人大附中本部九年级(上)期末数学模拟练习试卷(六)
2021-2022学年北京人大附中本部九年级（上）期末数学模拟练习试卷（六）1.（单选题，3分）在抛物线y=x2-4x-5上的一个点的坐标为（）A.（0，-4）B.（2，0）C.（1，0）D.（-1，0）2.（单选题，3分）在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（）A.πcmB.2πcmC.3πcmD.6πcm3.（单选题，3分）将抛物线y=x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A.y=（x+3）2+5B.y=（x-3）2+5C.y=（x+5）2+3D.y=（x-5）2+34.（单选题，3分）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中心，点A'是线段OA的中点，那么以下结论正确的是（）A.四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：1B.四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：2C.四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为3：1D.四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为4：15.（单选题，3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB=32°，则∠ABC等于（）A.68°B.64°C.58°D.32° 6.（单选题，3分）若抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过A （1，0），B （3，0）两点，则抛物线的对称轴为（ ）A.x=1B.x=2C.x=3D.x=47.（单选题，3分）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x ，则可列出关于x 的方程为（ ）A.2.44（1+x ）=6.72B.2.44（1+2x ）=6.72C.2.44（1+x ）2=6.72D.2.44（1-x ）2=6.728.（单选题，3分）现有函数y= {x +4(x ＜a)x 2−2x (x ≥a )如果对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x=m 时，y=n ，那么实数a 的取值范围是（ ）A.-5≤a≤4B.-1≤a≤4C.-4≤a≤1D.-4≤a≤59.（填空题，3分）若正六边形的边长为2，则它的半径为 ___ ．10.（填空题，3分）若抛物线y=ax 2（a≠0）经过A （1，3），则该抛物线的解析式为___ ．11.（填空题，3分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=9，则sinB=___ ．12.（填空题，3分）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的示意图如图所示，则a___ 0，b___ 0，c___ 0（填“＞”，“=”或“＜”）．13.（填空题，3分）如图，AB为⊙O的直径，AB=10，CD是弦，AB⊥CD于点E，若CD=6，则EB=___ ．14.（填空题，3分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若OA=2，∠APB=60°，则PB=___ ．15.（填空题，3分）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，OD=DA=CB，DC=AB=BE，在点A，E处分别装上画笔．画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．原理：若连接OA，OE，可证得以下结论：① △ODA和△OCE为等腰三角形，则∠DOA= 12（180°-∠ODA），∠COE= 12（180°-∠___ ）；② 四边形ABCD为平行四边形（理由是___ ）；③ ∠DOA=∠COE，于是可得O，A，E三点在一条直线上；④ 当DCCB =35时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的___ 倍得到的．16.（填空题，3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P（4，3），⊙O经过点P．点A，点B在y轴上，PA=PB，延长PA，PB分别交⊙O于点C，点D，设直线CD与x轴正方向所夹的锐角为α．（1）⊙O的半径为 ___ ；（2）tanα=___ ．17.（问答题，5分）计算：2sin60°-tan45°+cos230°．18.（问答题，5分）已知关于x的方程x2+2x+k-4=0．（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若k=1，求该方程的根．19.（问答题，6分）借助网格画图并说理：如图所示的网格是正方形网格，△ABC的三个顶点是网格线的交点，点A在BC边的上方，AD⊥BC于点D，BD=4，CD=2，AD=3．以BC为直径作⊙O，射线DA交⊙O于点E，连接BE，CE．（1）补全图形；（2）填空：∠BEC=___ °，理由是 ___ ；（3）判断点A与⊙O的位置关系并说明理由；（4）∠BAC ___ ∠BEC（填“＞”，“=”或“＜”）．20.（问答题，5分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x=1时，函数的最小值为-4．（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；（2）直线x=m与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）和直线y=x-3的交点分别为点C，点D，点C 位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．21.（问答题，5分）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D在⊙O外，∠BCD=∠A，OD交⊙O于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；，求DE的长．（2）若CD=4，AC=2.7，cos∠BCD= 92022.（问答题，5分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险．① 请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？并说明理由．② 如果海伦从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？直接写出结论，不用说明理由．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）23.（问答题，7分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上，BE=1，F为BC边的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD，点P在线段EF上运动（点P可与点E，点F重合），作矩形PMDN，其中M，N两点分别在CD，AD边上．设CM=x，矩形PMDN的面积为S．（1）DM=___ （用含x的式子表示），x的取值范围是___ ；（2）求S与x的函数关系式；（3）要使矩形PMDN的面积最大，点P应在何处？并求最大面积．24.（问答题，7分）已知：点A（-1，-4）和P是一次函数y=kx+b与反比例函数y= m图象x的两个不同交点，点P关于y轴的对称点为P′，直线AP以及AP′分别与x轴交于点M和N．的表达式；（1）求反比例函数y= mxMN，求k的取值范围．（2）若PP′≥ 3225.（问答题，7分）已知抛物线y=- 1x2+x．2（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y轴的交点坐标；（2）已知该抛物线经过A（3n+4，y1），B（2n-1，y2）两点．① 若n＜-5，判断y1与y2的大小关系并说明理由；② 若A，B两点在抛物线的对称轴两侧，且y1＞y2，直接写出n的取值范围．26.（问答题，0分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx经过点（3，3）．（1）用含a的式子表示b；（2）直线y=x+4a+4与直线y=4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．27.（问答题，0分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC= √3．将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，点A，点C旋转后的对应点分别为点A'，点C'．（1）如图1，当点C'恰好为线段AA'的中点时，α=___ °，AA'=___ ；（2）当线段AA'与线段CC'有交点时，记交点为点D．① 在图2中补全图形，猜想线段AD与A'D的数量关系并加以证明；② 连接BD，请直接写出BD的长的取值范围．28.（问答题，0分）对于平面内的图形G1和图形G2，记平面内一点P到图形G1上各点的最短距离为d1，点P到图形G2上各点的最短距离为d2，若d1=d2，就称点P是图形G1和图形G2的一个“等距点”．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），B（0，2 √3）．（1）在R（3，0），S（2，0），T（1，√3）三点中，点A和点B的等距点是 ___ ；（2）已知直线y=-2．① 若点A和直线y=-2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为 ___ ；② 若直线y=a上存在点A和直线y=-2的等距点，求实数a的取值范围；x，以原点O为圆心作半径为r的⊙O．若⊙O上（3）记直线AB为直线l1，直线l2：y=- √33有m个直线l1和直线l2的等距点，以及n个直线l1和y轴的等距点（m≠0，n≠0），当m≠n时，求r的取值范围．。