高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结
∵AD平面ABC，
∴平面ABC⊥平面SBC.
证法二：∵SA=SB=SC=a,又 ∠ASB=∠ASC=60°, ∴△ASB,△ASC都是等边三角形. ∴AB=AC=a. 作AD⊥平面BSC于点D， ∵AB=AC=AS, ∴D为△BSC的外心. 又∵△BSC是以BC为斜边的直角三角形，
2 3
.
即CE与底面BCD所成角的正弦值为
2 3
.
【评析】求平面的斜线与平面所成的角的一般方法是： 在斜线上找一具有特殊性的点，过该点向平面作垂线， 连接垂足和斜足，即为斜线在平面上的射影，进而作出 斜线与平面所成的角，再解直角三角形求出线面角的大 小，同时要注意其取值范围.
在三棱锥O—ABC中，三条棱OA，OB，OC两两
又∵CE∩BE=E,
∴SA⊥平面BCE.∵BC平面BCE，
图2-4-2
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∴SA⊥BC. 又∵AD⊥BC,AD∩AS=A, ∴BC⊥平面SAD.
∵SH 平面SAD，∴SH⊥BC.
又∵SH⊥AD,AD∩BC=D, ∴SH⊥平面ABC.
【评析】证明线面垂直，需先有线线垂直，抓住条件中 两个等腰三角形共用一条边，抓住公共边的中点，通过 作辅助平面，找到所需要的另一条直线.
【分析】欲证面面垂直，需证线面垂直.故找出垂线是关键.
【证明】证法一：如图1-10-4所示,取BC的中点D，连
接AD，SD.
由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB=AC，
∴AD⊥BC,SD⊥BC. 令SA=a,在△SBC中，SD=2 a,
2
又AD=AC2 -CD=2 a,2
2
∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.
∴底面边长为2 3.
又∵V=
1 3
Sh=12.
∴OE= 3 ,高OP=3，
∴tan∠PEO= ∴∠PEO= π .
OP OE
=3.
3
即侧面与底面所成的二面角为
π
）
3
1.怎样理解线面垂直的判定定理？
直线和平面垂直的判定定理，应抓住“两条”和“相 交”这两个关键词语.要判断一条已知直线和一个平面 是否垂直，取决于在这平面内能否找出两条相交直线 和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直 线有公共点，是无关紧要的.
1.直线与直线垂直
两直线垂直是指它们的交角或平移后的交角为直角，两条 直线不一定相交.
在平面几何中，两直线垂直时，它们一定相交.
2.直线和平面垂直
（1）直线和平面垂直的定义可以用来判定线线垂直，即 当直线和平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何 直线，可以把它作为线线垂直的判定定理.
（2）要判定一条直线是否和一个平面垂直，取决于在这 个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这 两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.
在空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD. 求证：BD⊥AC.
如图，取BD的中点K，连接AK， CK. ∵AB=AD,K为BD中点， ∴AK⊥BD.同理CK⊥BD. ∵AK∩KC=K,∴BD⊥平面AKC.
∵AC 平面AKC，∴BD⊥AC.
学点二 直线与平面所成的角
在正四面体A—BCD中，E为AD的中点，求CE与 底面BCD所成角的正弦值.
【分析】如图2-4-3所示，要求CE 与底面BCD所成角的正弦值，首 先要作出该角，其次应将其放在 直角三角形内求解，所以应过E作 底面的垂线.此时垂足所在位置特 别关键.由A—BCD为正四面体， 那么E在底面BCD的垂足必在 ∠BDC的角平分线上，连接CF， 根据条件找出边长即可.
图2-4-3
【解析】如图2-4-4所示，作 AO⊥面BCD，O为垂足，连接 DO并延长和BC交于G，则G为 BC的中点.
互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的中点，则
OM与平面ABC所成角的正切值是
.
（如图，连接MC，则 ∠OMC为所求.在Rt△OMC
中，OM= 2 OA，
2
则tan∠OMC= OC
OM
= 2 .）
学点三 面面垂直的判定
如图1-10-3所示，过点S引三条不 共面的直线，使∠BSC=90°， ∠ASB=∠ASC=60°，若截取 SA=SB=SC. 求证：平面ABC⊥平面BSC.
判定定理 ，用符号表示为：
l⊥α
l β α⊥β.
学点一 线面垂直的判定
如图2-4-2所示，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，
作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H，
求证：
SH⊥平面ABC.
【分析】考查线面垂直的判定定理.
【证明】取SA的中点E， 连接EC，EB.
∵SB=AB,SC=AC,
∴SA⊥BE,SA⊥CE.
AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面ABD⊥平面BCD.
证明：取BD的中点E，连接AE，CE.则
AE⊥BD,BD⊥CE.
在△ABD中，AB=a,BE1= BD2=a ,
2
2
∴AE= 2 a,同理,CE= .2 a
2
2
在△AEC中，AE=EC=2 a ,AC=a, 2
∴AC2=AE2+EC2，即AE⊥EC.
高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂 直专题总结
4.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫
做 二面角 .这条直线叫做二面角的棱，这两个半平
面叫做 二面角的面 .棱为l，面分别为α,β的二面角
记作二面角α—l—β.在二面角α—l—β的棱l上任取一
点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直
于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的
∵BD∩EC=E,∴AE⊥平面BCD.
又∵AE 平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BCD.
学点四 二面角大小的求法 如图2-4-8所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中， AB=2，BC=BB1=1，E为D1C1的中点，求二面角 E—BD—C的正切值.
【分析】求二面角大小，关键作 出二面角的平面角.由于E在平面 DCC1D1内且平面DCC1D1⊥平面 BCD，因此易作出平面角.
,
而EF=1，在△EFG中，
tan∠EGF=
EF GF
1 1
5
.
5
∴所求二面角的正切值为5.
【评析】二面角的“作、证、求”是解决二面角的 必由之路，二面角的平面角的作法是解决问题的关 键，二面角的平面角的作法通常有：
（1）定义法：在棱上任取一适宜点，分别在二面角 两半平面内作棱的垂线.
（2）垂面法：过一点作棱的垂面，交线所成角即为 平面角.
∠AOB叫做
二面角的平面角.二面角的大小可
以用它的
平面角来度量，二面角的平面角是多
少度，就说这个二面角是多少度.平面角是
直角 的二面角叫做直二面角.一般地，两个平面相交，
如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平
面
互相垂. 直
5.一个平面过另一个平面的 垂线 ，则这两 个平面垂直.这个定理叫做两个平面互相垂直的
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(2)画二面角的平面角时,使平面角的两边分别平行于 表示两个半平面的平行四边形的一组对边,即表明垂 直于二面角的棱,平面角∠AOB的大小与D点的位置 无关. (3)二面角的计算方法: ①定义.作二面条射线组成二面角的平面角.利 用定义作二面角的平面角,关键在于找棱及棱上的特殊点. 学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用. ②用垂面法.作二面角的平面角——作垂直于二面角的棱 或二面角的两个半平面的垂面,则该垂面与二面角的两个 半平面交线所成的角就是二面角的平面角.
∴DG⊥BC.
又AO⊥BC，∴BC⊥面ADG.
作EF⊥DG,F为垂足，则BC⊥EF,
∴EF⊥面BCD.
连接FC，则∠ECF是斜线CE与 平面BCD所成的角.
图2-4-4
设正四面体的棱长为a，
则AO= a2 ( 3a)2 6a .
3
3
故EF=
1 2
AO=
6a .
6
又CE= 3 a ,
2
∴sin∠ECF=
（3）教材中例1可以作为结论使用： 过一点和已知平面垂直的直线只有一条. （4）如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直 线平行，可作为两直线平行的一种判定方法. 3.（1）线面垂直的定义中的“任何一条直线”这一 词语，它与“所有直线”是同义词，即直线和平面内 的所有直线垂直. （2）线面垂直的判定定理的条件中，“平面内的两 条相交直线”是关键性词语，证明时一定要明确指出， 弄清定理的条件是掌握好定理的关键. （3）转化思想在本学案中的应用: 线线垂直 线面垂直. 在转化时要弄清相互转化的条件，根据具体问题灵活 选取恰当的证明方法.
（3）投影法：利用S投影面=S被投影面·cosθ.
（4）对无棱二面角一般通过在两个面内寻找共面直 线，作出棱.
已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则 π
侧面与底面所成的二面角等于 3 .
（设O为底面ABCD的中心，E为BC边
的中点，则∠PEO即为侧面与底面所成
二面角的平面角，
∵底面对角线的长为2 6 ，
谢谢各位的聆听
图2-4-8
【解析】如图2-4-9所示，
∵ABCD—A1B1C1D1是长方体，
图2-4-9∴过E作EF⊥CD于F，则EF⊥面BCD，且F为CD中点， 过F作FG⊥BD于G，连接EG，则EG⊥BD.于是∠EGF为二面 角E—BD—C的平面角.
∵BC=1，CD=2，
∴GF=
1BC CD 121 2 BD 25 5
∴D为 BC的中点，
故AD 平面ABC. ∴平面ABC⊥平面SBC.
【评析】证明面面垂直有两个途径：一是定义，二是 证明线面垂直.两者都是通过线线垂直来完成.如果题 目中给出了线段长度、角度等条件，可考虑用勾股定 理证线线垂直，所以空间问题平面化是解决立体几何 问题的重要思想.
高一数学必修2立体几何知识点详细总结
立体几何一、立体几何网络图：（1）线线平行的判断：⑴平行于同一直线的两直线平行。
⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
⑿垂直于同一平面的两直线平行。
（2）线线垂直的判断：⑺在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
⑻在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
（3）线面平行的判断：⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
⑸两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（4）线面垂直的判断：⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
（5）面面平行的判断：⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。
（6）面面垂直的判断：⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
二、其他定理：（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线；（2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂直是它的特殊情况）；平面与平面的位置关系：相交；；平行；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。
高中数学证明几何的题的知识点总结 线面垂直线面平行点面面面的证明
高中数学证明几何的题的知识点总结线面垂直线面平行点面面面的证明几何证明是高中数学中的重要组成部分，它不仅锻炼了学生的逻辑思维能力，还培养了严密的数学推理能力。
本文针对高中数学中常见的线面垂直、线面平行以及点面、面面关系证明的知识点进行总结，以帮助学生更好地掌握几何证明的技巧和方法。
一、线面垂直的证明1.定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与该平面垂直。
2.判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直。
3.证明方法：（1）利用垂直的定义，找出直线与平面内任意一条直线垂直的关系。
（2）利用判定定理，找出直线与平面内两条相交直线垂直的关系。
二、线面平行的证明1.定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都没有公共点，则这条直线与该平面平行。
2.判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条平行直线都平行，则这条直线与该平面平行。
3.证明方法：（1）利用平行的定义，找出直线与平面内任意一条直线没有公共点的关系。
（2）利用判定定理，找出直线与平面内两条平行直线都平行的关系。
三、点面关系的证明1.定义：如果一点在一个平面内，则这个点与该平面有公共点。
2.判定定理：如果一点与一个平面内的任意一条直线都有且只有一个公共点，则这个点在该平面内。
3.证明方法：（1）利用定义，找出点与平面内任意一条直线有公共点的关系。
（2）利用判定定理，找出点与平面内任意一条直线有且只有一个公共点的关系。
四、面面关系的证明1.定义：如果两个平面有公共点，则这两个平面相交。
2.判定定理：如果两个平面内分别有两条相交直线互相平行，则这两个平面平行。
3.证明方法：（1）利用定义，找出两个平面有公共点的关系。
（2）利用判定定理，找出两个平面内分别有两条相交直线互相平行的关系。
通过以上对高中数学几何证明知识点的总结，相信同学们在解决相关问题时会更加得心应手。
高一数学必修2线、面垂直的判定与性质
α β a A 线、面垂直的判定与性质一、线、面垂直的判定与性质1.线面垂直的定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面α 互相垂直.2.线面垂直的判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 直线与平面垂直3.（1）的射影所成的角（2）（3一条直线与平面所成的角的取值范围是 4.二面角相关概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. ∠AOB即为二面角α-AB-β的平面角注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上.（2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱.二面角的取值范围 5.面面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记为β⊥α6.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．7.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行8.面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 面面垂直⇒线面垂直二、例题解析 α⊥l 记为⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫l a l ⊥b l ⊥α⊂a α⊂b A b a = 斜线PA 与平面所成的角为PAB ]90,0[0[]]0[180,000π，或a β⊂a α⊥面⇒βα⊥ //a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭a b αa bl a a l αβαββ⊥⎫⎪=⎪⎬⊂⎪⎪⊥⎭a α⇒⊥题型一、判断问题例1、直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定变式：如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直()A．①③B．①②C．②④D．①④例2、已知直线a∥平面α，a⊥平面β，则( )A．α⊥βB．α∥βC．α与β不垂直D．以上都有可能变式：下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β例3、已知b⊥平面α，a⊂α，则直线a 与直线 b 的位置关系是( )A．a∥b B．a⊥b C．直线a 与直线b 垂直相交D．直线a 与直线b 垂直且异面变式1：下面四个命题，其中真命题的个数为( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l 与平面α不垂直，则直线l 和平面α内的所有直线都不垂直；④如果直线l 与平面α不垂直，则平面α内也可以有无数条直线与直线l 垂直．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个变式2：已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是()①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任何一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. A．4 B．3C．2D．1题型二：求角问题（线面角、面面角）例1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值．(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．变式：如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5且它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面ABC所成角的正弦值．例2、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面角是()A．∠ABC B．∠ABB1C．∠ABA1D．∠ABC1变式：如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝3，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3，求二面角P －CD －B 的大小．题型三：证明问题例1、如图，在三棱锥 A-BCD 中，AD ，BC ，CD 两两互相垂直，M ，N分别为 AB ，AC 的中点．(1)求证：BC ∥平面 MND ；(2)求证：平面 MND ⊥平面 ACD .变式： 如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，AB=2，,侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ；（2）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角.三、巩固练习1．在三棱锥V -ABC 中，VA ＝VC ，AB ＝BC ，则下列结论一定成立的是( )A ．VA ⊥BCB ．AB ⊥VCC ．VB ⊥ACD ．VA ⊥VBBC A B C D P2．若A ∈α，B ∈α，A ∈l ，B ∈l ，P ∈l ，则( )A ．P ⊂αB ．P αC ．l αD ．P ∈α3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．不能确定4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.2 65C.155D.1055．设x ，y ，z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x ，y ，z 均为直线；②x ，y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x ，y 是平面；④x ，y ，z 均为平面．其中使“x ⊥z ，且y ⊥z ⇒x ∥y ”为真命题的是( )A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②6．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与A 1D 所成的角等于__________．7如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则二面角C 1-BD -C 的正切值为________．8.如图，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图所示的三棱锥A -BCF ，其中BC ＝22. (1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F -DEG 的体积V F -DEG .。
专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直
专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直一、知识点（1）线面垂直性质定理（2）线面垂直判定定理（3）面面垂直性质定理（2）面面垂直判定定理线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1．如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ．证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A AAC A =，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2234MO a =． 在Rt △11A C M 中，22194A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1A O OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ．评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．利用面面垂直寻求线面垂直2．如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ．证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ．因为平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ，AD ⊂平面PAC ，且AD ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC ．∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ．评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．3．如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．证明：∵SA ⊥平面ABCD ， ∴SA BC ⊥．∵A B B C ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ⊂平面SAB ，∴B C A E ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥． 评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．4．如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥．∵AD BD =，∴DF AB ⊥．又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B =，∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =，∴ AH ⊥平面BCD ．评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．5．如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA⊥平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．⊥．证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴AC BC∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，Array⊥．∴BC⊥平面APC．∴PA BC∵BC⊂平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．10．如图, 在空间四边形SABC中, SA⊥平面ABC, ∠ABC = 90︒, AN⊥SB于N, AM⊥SC于M。
高中数学必修2立体几何专题-线面垂直方法总结精编版38页PPT
高中数学必修2立体几何专题-线面垂 直方法总结精编版
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
1
0
、
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容
膝
之
易
安
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谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
线面垂直、面面垂直知识点总结、经典例题及解析、高考题练习及答案
考纲说明】1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。
2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
知识梳理】一、直线与平面垂直的判定与性质1、 直线与平面垂直（1）定义：如果直线 l 与平面 α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 α互相垂直，记作 l ⊥α，直线 l叫做平面 α的垂线，平面 α叫做直线 l 的垂面。
如图，直线与平面垂直时 ,它们唯一公共点 P 叫做垂足。
（ 2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作 . a/ /b b a 3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
即 a ,b a / /b由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。
2、 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。
直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是 00 的角。
3、 二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，的面。
如果记棱为 l ，那么两个面分别为 、 的二面角记作 l .在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足， 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线， 则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。
其作用是衡量二面角的大 小；范围： 001800.二、平面与平面垂直的判定与性质 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直 .l2、判定：一个平面过另一个平面的垂线， 则这两个平面垂直。
简述为 “线面垂直， 则面面垂直 ”，记作 .l直线平面垂直的判定与性质一条直线垂直于平面， 该 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角经典例题】【例 1】（2012浙江文）设l 是直线 ,a, β是两个不同的平面（ ）A ．若l ∥a,l ∥β则, a ∥βB ．若 l ∥a,l ⊥β则,a ⊥βC ．若 a ⊥ βl ,⊥ a,则 l ⊥βD ．若 a ⊥β, l ∥a,则l ⊥β 【答案】 B【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的 ,∵l ∥a,l ⊥β则, a ⊥β如.选项 A:l ∥a,l ∥β时, a ⊥β或 a ∥ β选;项 C:若 a ⊥βl ,⊥a,l ∥ β或 l;选项 D:若若 a ⊥β, l ⊥a,l ∥β或l ⊥β.【例 2】（2012 四川文）下列命题正确的是（ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等 ,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 ,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面 ,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面 ,则这两个平面平行 【答案】 C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等 ,这两条直线可能平行 ,也可能为异面直线 ,也可能相交 ,所以 A 错;一个平 面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等 ,则这两个平面平行 ,故 B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行 ,也可以垂直 ;故 D 错;故选项 C 正确.【例 3】（2012 山东）已知直线 m 、n 及平面α，其中 m ∥n ，那么在平面 α内到两条直线 m 、n 距离相等的点的集 合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是 （ ）A ．①②③B ．①④C ．①②④D ．②④ 【答案】 C【解析】如图 1，当直线 m 或直线 n 在平面α内时有可能没有符合题意的点；如图 2，直线 m 、n 到已知平面α的距离相等且所在平面与已知平面 α垂直，则已知平面 α为符合题意的点；如图 3，直线 m 、n 所在平面与已知平面 α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选 C.如图，在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，M 、中点，则异面直线 A 1M 与 DN 所成的角的大小是 ______________________________________________________ 答案】 90o3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作lm mlm.例 4】（ 2012 四川理） N 分别是 CD 、CC 1的 AB解析】 方法一 :连接 D 1M,易得 DN ⊥A 1D 1 ,DN ⊥D 1M, 所以,DN ⊥平面 A 1MD 1,又 A 1M 平面 A 1MD 1,所以 ,DN ⊥A 1D 1,故夹角为 90o方法二 :以 D 为原点 ,分别以 DA, DC, DD 1 为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系 D —xyz.设正方体边长为 2,则 D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A 1(2,0,2) 故,DN (0,2,1)，MA 1 (2， 1,2)所以,cos< DN ，MA 1 |D D N N ||M M A A 11 | = 0,故 DN ⊥D 1M,所以夹角为 90o例 5】(2012 大纲理)三棱柱 ABC A 1B 1C 1中,底面边长和侧棱长都相等 , BAA 1 CAA 1 60 ,则异面直线 AB 1与 BC 1 所成角的余弦值为 ____________ . 答案】 66答案】 2解析】 ∵EF ∥面 AB 1C ，∴ EF ∥AC.又 E 是 AD 的中点，∴ F 是 DC 的中点．解析】 设该三棱柱的边长为 则|AB 1 |2 (AB AA 1)2|BC 1 |2 (AC AA 1 AB) 1,依题意有 AB 1 AB AA 1,BC 1 AC AA 1 AB ,2AB 2AB AA 1 AA 1 2 2cos60 322AA 1 AB 2AC AA 1 2AC AB 2AA 1 AB 22 AC 2而 AB 1 BC 1 (AB AA 1) (AC AA 1 AB)AB AC AB AA 1 AB AB AA 1 AC AA 1 AA 1 AA 1 AB 11111112 2 2 2cos AB 1, BC 1BC 6 |AB 1 ||BC 1 | 2 3 6例 6】(2011·福建) 如图，正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上，若 EF ∥平 面 AB 1C ，则线段 EF 的长度等于 ．∴ EF＝21AC＝ 2.例 7】（2012年山东文）如图,几何体 E ABCD 是四棱锥 ,△ABD为正三角形 ,CB CD,EC BD. （ 1）求证 : BE DE ;（ 2）若∠ BCD 120 ,M 为线段 AE 的中点 , 求证 :DM ∥平面 BEC .解析】（ 1）设BD中点为 O,连接 OC,OE,则由 BC CD知CO BD , 又已知 CEBD ,所以BD 平面 OCE.所以 BD OE ,即 OE 是 BD 的垂直平分线 ,所以BE DE .（2）取 AB中点 N,连接MN,DN ,∵M 是AE的中点 ,∴MN ∥ BE,∵△ABD是等边三角形 ,∴ DN AB.由∠BCD=120°知,∠CBD=30°, 所以∠ABC=60°+30°=90°,即 BC AB,所以 ND∥BC,所以平面 MND ∥平面 BEC,又 DM 平面 MND,故 DM∥平面 BEC.另证:延长AD,BC 相交于点F ,连接 EF.因为 CB=CD, ABC 900.因为△ABD为正三角形 ,所以BAD 600, ABC 900,则AFB 300,1 所以AB 1AF ,又AB AD ,2 所以 D 是线段 AF 的中点 ,连接 DM, 又由点 M 是线段 AE 的中点知DM //EF ,而DM 平面 BEC, EF 平面 BEC,故 DM ∥平面 BEC.例 8】（2011天津）如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形∠ ADC＝45°，AD＝AC＝1，O 为AC 的中点， PO⊥平面 ABCD ，PO＝2，M为 PD 的中点．1）证明： PB∥平面 ACM ；2）证明： AD ⊥平面 PAC；3）求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值．【解析】（1）证明：连接 BD ，MO ，在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为AC的中点，所以 O为 BD的中点．又 M 为 PD 的中点，所以 PB∥MO.因为 PB? 平面 ACM ，MO? 平面 ACM ，所以 PB∥平面 ACM.（ 2）证明：因为∠ ADC＝45°，且 AD＝AC＝1，所以∠ DAC ＝90°，即 AD⊥AC，又 PO⊥平面 ABCD，AD? 平面 ABCD，所以 PO⊥AD.而 AC ∩PO＝O，所以 AD⊥平面 PAC.1（3）取 DO 中点 N，连接 MN，AN.因为 M 为 PD 的中点，所以 MN∥PO，且 MN＝2PO＝ 1.由 PO⊥平面ABCD，1得 MN ⊥平面 ABCD ，所以∠ MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角，在 Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝2，所以 DOP-ABCD 中,PA ⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是等腰梯形 ,AD ∥BC,AC⊥BD.1）证明 :BD ⊥PC;2）若 AD=4,BC=2, 直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30°,求四棱锥 P-ABCD 的体积 .解析】（1）因为 PA 平面 ABCD,BD 平面ABCD,所以PA BD.又 AC BD , PA, AC 是平面 PAC 内的两条相较直线 ,所以 BD 平面 PAC, 而 PC 平面 PAC, 所以 BD PC . （2）设 AC 和 BD 相交于点 O,连接 PO,由（Ⅰ） 知,BD 平面 PAC, 所以 DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角 ,从而 DPO 30 .由 BD 平面 PAC, PO 平面 PAC,知 BD PO . 在 Rt POD 中 ,由 DPO 30 ,得 PD=2OD.因为四边形 ABCD 为等腰梯形 ,AC BD ,所以 AOD, BOC 均为等腰直角三角形111从而梯形 ABCD 的高为 AD BC （4 2） 3, 于是梯形 ABCD 面积2221S （4 2） 3 9.2在等腰三角形 AOD 中,OD2,AD 2 2,＝ 25，从而 AN ＝21DO ＝ 45.在Rt △ANMMN 1 4 5 tan ∠ MAN ＝ AN ＝ 5＝ 5 ，即直线4中，AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 45 5 例 9】（ 2012 湖南文） 如图，在四棱锥21所以PD 2OD 4 2,PA PD2 AD2 4.11故四棱锥P ABCD的体积为V S PA 9 4 12.331例 10】（2012 新课标理） 如图 ,直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中, AC BC 2（ 1）证明 : DC 1 BC（ 2）求二面角 A 1 BD C 1的大小 . 解析】（1）在 Rt DAC 中,AD AC 得 : ADC 45同理 : A 1DC 1 45 CDC 1 90得:DC 1 DC , DC 1 BD DC 1 面 BCD DC 1 BC（2）DC 1 BC, CC 1 BC BC 面 ACC 1A 1 BC AC取A 1B 1的中点 O ,过点 O 作OH BD 于点 H ,连接C 1O,C 1HA 1C 1B 1C 1 C 1O A 1B 1 ,面 A 1B 1C 1 面 A 1BD C 1O 面 A 1BD OH BD C 1H BD 得 :点 H 与点 D 重合且C 1DO 是二面角 A 1 BD C 1 的平面角设 AC a ,则C 1O2a,C 1D 2a 2C 1O C 1DO 302 1 1 1既二面角 A 1 BD C 1 的大小为 30课堂练习】1．（2012浙江理） 已知矩形 ABCD ,AB=1,BC= 2.将 ABD 沿矩形的对角线 中A ．存在某个位置 ,使得直线 AC 与直线 BD 垂直B ．存在某个位置 ,使得直线 AB 与直线 CD 垂直C ．存在某个位置 ,使得直线 AD 与直线 BC 垂直D ．对任意位置 ,三直线“AC 与BD ” ,A “B 与 CD ” ,A “D 与 BC ”均不垂直 2．（2012 四川理） 下列命题正确的是A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等 ,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 ,则这两个平面平行AA 1 , D 是棱 AA 1的中点 ,DC 1 BDBD 所在的直线进行翻着，在翻着过程11. （2010江西理） 过正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点 A 作直线 L ，使 L 与棱 AB ，AD ， AA 1所成的角都相等， 这样的直线 L 可以作（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4 条12.（ 2012 大纲）已知正方形 ABCD A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别为 BB 1 , CC 1的中点 ,那么异面直线 AE 与D 1F 所成角 的余弦值为 ___ _.13.（2010上海文） 已知四棱椎 P ABCD 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱 PA 底面 ABCD ，且 PA 8，则 该四棱椎的体积是 .A ． 2 3B ． 3 3 2C ． 3D ． 6 3 9.（ 2010 全国Ⅱ卷理） 已知正四棱锥 S ABCD 中， S A 2 3 ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A ．1 B ． 3 C ．2 D ．3 10.（ 2010 全国Ⅰ卷） 已知在半径为 2 的球面上有 A ． B ． C ．D 四点，若 AB=CD=2 ，则四面体 ABCD 的体积的最 大值为（ ）A ． 2 3B ． 4 3C ． 2 3D ． 8 3 3 33正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1中，B B 1与平面 AC D 1所成角的余弦值为（ 8.（ 2010 全国卷））3． 4． 5．6． 7. C ．若一条直线平行于两个相交平面 ,则这条直线与这两个平面的交线平行 D ．若两个平面都垂直于第三个平面 ,则这两个平面平行 （2011 重庆） 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 （ ） A ．只有 1 个 B ．恰有 3 个 C ．恰有 4 个 D ．有无穷多个 （2012上海） 已知空间三条直线 l ，m ，n 若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则 A ． m 与 n 异面 . B ． C ．m 与 n 平行 . D ． 2011烟台）已知 m ，n 是两条不同的直线， α， 则 α⊥β；②若 m ∥α， n ∥β， m ⊥ n ，则 α∥β； 则 m ⊥ n. 其中正确命题的个数为 （ ）A ．1C ．3 （2011潍坊） 已知 m 、n 是两条不同的直线， γ∥β ? β，则 α∥β n ∥α α∥β A 若 α⊥ γα⊥，则 B ． 若 m ∥ n ， m? α， C ． 若 m ∥ n ， m ∥ α，D 若 n ⊥ αn ⊥β，则m 与 n 相交. m 与 n 异面、相交、平行均有可能 . β为两个不同的平面， 有下列四个命题： ③若 m ⊥α，n ∥β， m ⊥n ，则 ①若 m ⊥ α，n ⊥ β，m ⊥ n ， n ∥β， α∥ β， B ． D ． β、γ是三个不同的平面，则下列命题正2010 全国卷文） 直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，若 BAC 90 ， AB AC AA 1 ，则异面直线BA 1 与 AC 1所 成的角等于（)B ．45°C ．60°D ．90°19.（ 2012 课标文） 如图 ,三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1中,侧棱垂直底面 AA 1,D 是棱 AA 1 的中点 . （1）证明 :平面 BDC 1 ⊥平面 BDC 12）平面 BDC 1 分此棱柱为两部分 ,求这两部分体积的比14.（ 2010 四川卷） 如图，二面角l 的大小是 60°，线段 AB .B l ， AB 与 l 所成的角为 30 °.则 AB与平面 所成的角的正弦值是 15.（江西卷文） 长方体 ABCD A 1B 1C 1D1 的顶点均在同一个球面上， AB A 1A 1 ，BC 2 ，则 A ， B两点间的球面距离为 16.（2010 湖南理） 如图所示，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1中， E 是棱 DD 1的中 点。
高一数学必修二复习知识点归纳
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全版高中数学必修2立体几何专题-线面垂直方法总结.ppt
求当 B1P 等于多少时， PB
PO 平面D1AC ?
演示课件
【解析】1 证明：
因为ABCD为菱形， 所以AC BD. 连结B1D1. 因为D1D 底面ABCD， 所以AC D1D. 又BD I D1D＝D，所以AC 平面BB1D1D. 因为D1P 平面BB1D1D，所以D1P AC.
演示课件
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长 为 2 ， M 是 AD1 上 任 意 一 点 ， M 到 平 面 BCB1的距离是___2____.
演示课件
3.如图，在正方形SG1G2G3中， E，F分别是G1G2，G2G3的中 点，D是EF的中点，现沿SE， SF及EF把这个正方形折成 一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这 样，下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥ 平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD； ⑤GD⊥平面SEF.其中正确的是__①__④___.
演示课件
【证明】(1)连结AC，取其
中点O，连结NO、MO，并
延长MO交CD于R.
因为N为PC的中点，
所以NO为△PAC的中位线，所以NO∥PA.
而PA⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，所
以NO⊥CD.
又四边形ABCD是矩形，M为AB的中点，O为
AC的中点，所以MO⊥CD.
而MO∩NO＝O， 所以CD⊥平面MNO，所 以
【变式练习1】 如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角 边 AC 和 斜 边 AB 的 中 点 ， 沿 EF 将 △ AEF 折 起 到 △ A1EF 的 位 置 ， 连 结 A1B ， A1C. 求 证 ： (1)EF⊥平面A1EC； (2)AA1⊥平面A1BC.
高中数学必修2立体几何专题线面垂直方法总结
线垂直还是选择面面垂直；要证明结论或要得
到哪个结论，就必须满足什么条件等．
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【变式练习1】 如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角 边 AC 和 斜 边 AB 的 中 点 ， 沿 EF 将 △ AEF 折 起 到 △ A1EF 的 位 置 ， 连 结 A1B ， A1C. 求 证 ： (1)EF⊥平面A1EC； (2)AA1⊥平面A1BC.
又 E F B C， 所 以 A A1 B C，
又 A1C B C＝ C ， 所 以 A A1 平 面 A1B C .
6
用线面垂直的性质 定理证明线线垂直
【例2】 已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，ACB＝90， CB＝1，CA＝3，，C1C＝6，M是CC1的中点， 求证：A1BAM.
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2
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C， 所以AE⊥平面PCD. 而PD 平面PCD，所以AE⊥PD. 又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB. 由已知得AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥ 平面PAD. 又PD 平面PAD，所以AB⊥PD. 因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.
3
本题考查直线及直线垂直、直线及平面垂
直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证
能力．立体几何的证明关键是学会分析和掌握
一些常规的证明方法．如：已知中点证明垂直
时要首先考虑等腰三角形中的“三线合一”；
已知线段或角度等数量关系较多时最好标示出
来，充分进行计算，从而发现蕴含的垂直等关
系；已知线面垂直时会有哪些结论，是选择线
11
2 当
B1P ＝1时 PB
，
PO
平面
D1AC .
线面垂直、面面垂直知识点总结、经典例题与解析、高考题练习与答案
直线、平面垂直的判定与性质【考纲说明】1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。
2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
【知识梳理】一、直线与平面垂直的判定与性质 1、 直线与平面垂直（1）定义：如果直线l 与平面α的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。
如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。
（2）判定定理：一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
即,//a b a b αα⊥⊥⇒.由定义知：直线垂直于平面的任意直线。
2、 直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面，则此直线与平面所成的角是00的角。
3、 二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。
其作用是衡量二面角的大小；围：00180θ<<.二、平面与平面垂直的判定与性质1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作l l βαβα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭.3、性质：两个平面垂直，则一个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作l m m m lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭I .【经典例题】【例1】（2012文）设l 是直线,a,β是两个不同的平面（ ）A ．若l ∥a,l ∥β,则a ∥βB ．若l ∥a,l ⊥β,则a ⊥βC ．若a ⊥β,l ⊥a,则l ⊥βD ．若a ⊥β, l ∥a,则l ⊥β 【答案】B【解析】利用排除法可得选项B 是正确的,∵l ∥a,l ⊥β,则a ⊥β.如选项A:l ∥a,l ∥β时, a ⊥β或a ∥β;选项C:若a ⊥β,l ⊥a,l ∥β或l β⊂;选项D:若若a ⊥β, l ⊥a,l ∥β或l ⊥β.【例2】（2012文）下列命题正确的是 （ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D 错;故选项C 正确. 【例3】（2012）已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是 （ ）A ．①②③B ．①④C ．①②④D ．②④ 【答案】C【解析】如图1，当直线m 或直线n 在平面α时有可能没有符合题意的点；如图2，直线m 、n 到已知平面α的距离相等且所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m 、n 所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.【例4】（2012理）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是____________. 【答案】90ºN MB 1A 1C 1D 1BD C【解析】方法一:连接D1M,易得DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M,所以,DN⊥平面A1MD1,又A1M⊂平面A1MD1,所以,DN⊥A1D1,故夹角为90º方法二:以D为原点,分别以DA, DC, DD1为x, y, z轴,建立空间直角坐标系D—xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2)故,），（），（2,121,2,01-==MADN所以,cos<|MA||DN|111MADNMADN•=〉〈，= 0,故DN⊥D1M,所以夹角为90º【例5】（2012大纲理）三棱柱111ABC A B C-中,底面边长和侧棱长都相等,1160BAA CAA∠=∠=︒,则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为_____________.【答案】66【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有1111,AB AB AA BC AC AA AB=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r,则22221111||()222cos603AB AB AA AB AB AA AA=+=+⋅+=+︒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2222211111||()2222BC AC AA AB AC AA AB AC AA AC AB AA AB=+-=+++⋅-⋅-⋅= u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r而1111()()AB BC AB AA AC AA AB⋅=+⋅+-u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1111111111112222AB AC AB AA AB AB AA AC AA AA AA AB=⋅+⋅-⋅+⋅+⋅-⋅=+-++-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11111116cos,6||||23AB BCAB BCAB BC⋅∴<>===⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u ru u u r u u u u r【例6】（2011·）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．【答案】 2【解析】∵EF∥面AB1C，∴EF∥AC.又E是AD的中点，∴F是DC的中点．∴EF ＝12AC ＝ 2.【例7】（2012年文）如图,几何体EABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形,,CB CD EC BD =⊥.（1）求证:BE DE =;（2）若∠120BCD =︒,M 为线段AE 的中点, 求证:DM ∥平面BEC .【解析】（1）设BD 中点为O ,连接OC ,OE ,则由BC CD =知CO BD ⊥,又已知CE BD ⊥,所以BD ⊥平面OCE .所以BD OE ⊥,即OE 是BD 的垂直平分线,所以BE DE =.（2）取AB 中点N ,连接,MN DN ,∵M 是AE 的中点,∴MN ∥BE ,∵△ABD 是等边三角形,∴DN AB ⊥.由∠BCD =120°知,∠CBD =30°, 所以∠ABC =60°+30°=90°,即BC AB ⊥,所以ND ∥BC ,所以平面MND ∥平面BEC ,又DM ⊂平面MND ,故DM ∥平面BEC .另证:延长BC AD ,相交于点F ,连接EF.因为CB=CD,090=∠ABC . 因为△ABD 为正三角形,所以090,60=∠=∠ABC BAD ,则030=∠AFB , 所以AF AB 21=,又AD AB =, 所以D 是线段AF 的中点,连接DM,又由点M 是线段AE 的中点知EF DM //,而⊄DM 平面BEC , ⊂EF 平面BEC ,故DM ∥平面BEC . 【例8】（2011）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．（1）证明：PB ∥平面ACM ； （2）证明：AD ⊥平面P AC ；（3）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．【解析】（1）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM . （2）证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC ，又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面P AC .（3）取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝12PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角，在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝12，所以DO＝52，从而AN ＝12DO ＝54.在Rt △ANM 中， tan ∠MAN ＝MN AN ＝154＝455，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455.【例9】（2012文）如图，在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD,底面ABCD 是等腰梯形,AD ∥BC,AC ⊥BD.（1）证明:BD ⊥PC;（2）若AD=4,BC=2,直线PD 与平面PAC 所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD 的体积.D【解析】（1）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 的两条相较直线,所以BD ⊥平面PAC, 而PC ⊂平面PAC,所以BD PC ⊥.（2）设AC 和BD 相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD ⊥平面PAC, 所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角,从而DPO ∠30=o . 由BD ⊥平面PAC,PO ⊂平面PAC,知BD PO ⊥. 在Rt POD V中,由DPO ∠30=o ,得PD=2OD. 因为四边形ABCD 为等腰梯形,AC BD ⊥,所以,AOD BOC V V 均为等腰直角三角形,从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积 1(42)39.2S=⨯+⨯=在等腰三角形AOD 中,2ODAD == 所以2 4.PD OD PA ===故四棱锥P ABCD -的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【例10】（2012新课标理）如图,直三棱柱111ABC A B C -中,112AC BC AA ==,D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1 （1）证明:BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小. 【解析】（1）在Rt DAC ∆中,AD AC =得:45ADC ︒∠=同理:1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=得:111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥ 取11A B 的中点O ,过点O 作OH BD ⊥于点H ,连接11,C O C H1111111AC B C C O A B =⇒⊥,面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥ 得:点H 与点D 重合且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角 设AC a =,则122aC O =,1112230C D a C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒【课堂练习】1．（2012理）已知矩形ABCD ,AB =1,BC =2.将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中（ ）A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直 2．（2012理）下列命题正确的是（ ） A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 3．（2011）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( )A ．只有1个B ．恰有3个C ．恰有4个D ．有无穷多个 4．（2012）已知空间三条直线l ，m ，n 若l 与m 异面,且l 与n 异面,则 （ ）A ．m 与n 异面.B ．m 与n 相交.C ．m 与n 平行.D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能. 5．（2011）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n .其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．（2011潍坊）已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αD ．若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β 7.（2010全国卷文）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8.（2010全国卷）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为（ ）A ．3B ．3C ．23D ．39.（2010全国Ⅱ卷理）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）A ．1BC ．2D ．310.（2010全国Ⅰ卷）已知在半径为2的球面上有A ．B ．C ．D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）A ．B C ． D ． 311.（2010理）过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线L ，使L 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等，这样的直线L 可以作（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12.（2012大纲）已知正方形1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为1BB ,1CC 的中点,那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为___ _.13.（2010文）已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是 .α•AB•β14.（2010卷）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 . 15.（卷文）长方体1111ABCD A B C D -的顶点均在同一个球面上，11AB AA ==，BC =A ，B 两点间的球面距离为16.（2010理）如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点。