(新教材)2019-2020学年人教B版高中数学必修第二册第6章 平面向量初步 6.1.3 课时27
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一、选择题
1．如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，则B→C－C→D＋B→A等于( )
A．B→C
B．
→
DA
C．B→A
D．
→
AC
答案 A
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解析 B→C－C→D＋B→A＝B→C＋D→C＋B→A＝B→C＋0＝B→C.
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2．如图，已知 ABCDEF 是一正六边形，O 是它的中心，其中O→A＝a， O→B＝b， O→C＝c，则E→F等于( )
A．a＋b B．b－a C．c－b D．b－c 答案 D
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解析 E→F＝O→A＝C→B＝O→B－O→C＝b－c.
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5．设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，|B→C|2＝16，|A→B＋A→C |＝|A→B－A→C|，则|A→M|＝( )
A．2 B．4 C．16 D．8
答案 A
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解析 因为|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，又点 A 在直线 BC 外，故四边形 ABDC
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三、解答题 9. 如图所示，已知O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→E＝e，O→D＝d，O→F＝f， 试用 a，b，c，d，e，f 表示A→C，A→D，A→D－A→B，A→B＋C→F，B→F－B→D.
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解 A→C＝O→C－O→A＝c－a， A→D＝O→D－O→A＝d－a， A→D－A→B＝B→D＝O→D－O→B＝d－b， A→B＋C→F＝O→B－O→A＋O→F－O→C＝b－a＋f－c， B→F－B→D＝D→F＝O→F－O→D＝f－d.
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6．如图所示，已知在矩形 ABCD 中，|A→D|＝4 3，|A→B|＝8.设A→B＝a，B→C ＝b，B→D＝c，求|a－b－c|.
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解 如图，b＋c＝BD→′，a－b－c＝a－(b＋c)＝a－BD→′＝BB→′－BD→′ ＝D′→B′，
是以
AB，AC
为邻边的平行四边形且对角线相等，故
ABDC
为矩形，|
→
AM|
＝12|B→C|＝2.
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二、填空题
6．(1)( A→B＋M→B)＋(－O→B－M→O)＝________；
(2) A→B－A→D－D→C＝________.
答案
→
(1) AB
→
(2) CB
本课结束
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课时27 向量的减法
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知识点一 向量的减法运算
1.下列各式中不能化简为A→D的是( ) A．(A→B－D→C)－C→B B． A→D－(C→D＋D→C) C．－(C→D＋M→C)－(D→A＋D→M) D．－ B→M－D→A＋M→B
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知识点二 用已知向量表示其他向量
3.若平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且 O→A ＝a，O→B ＝b，用 a，b 表示向量 B→C 为( )
A．a＋b B．－a－b C．－a＋b D．a－b 答案 B
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则|a－b－c|＝|D′→B′| ＝ 2×4 32＋2×82＝8 7.
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易错点 不能运用向量加减法的几何意义作图致误 7.已知非零向量 a，b 满足|a|＝|b|＝|a－b|，则||aa＋ －bb||＝________. 易错分析 不能利用向量加减法的几何意义作图，并且不能根据线段长 度之间的关系得到图形的几何性质是造成问题难解、错解的主要原因．
－M→B－A→D＋M→B＝M→B＋A→D＋M→B＝A→D＋2M→B.故选 D.
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2.A→B－A→C－D→B＝________，A→B＋B→C－A→D＝________. 答案 C→D D→C 解析 A→B－A→C－D→B＝C→B－D→B＝C→B＋B→D＝C→D；A→B＋B→C－A→D＝A→C－ A→D＝D→C.
试作向量并分别求模：
(1)a＋b＋c； (2)a－b＋c.
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解 (1)如图，由已知得，a＋b＝A→B＋B→C＝A→C，
又A→C＝c，∴延长 AC 到 E， 使| C→E|＝|A→C|. 则 a＋b＋c＝A→E，且|A→E|2)如图，作B→F＝A→C， 则D→B＋B→F＝D→F， 而D→B＝A→B－A→D＝a－B→C＝a－b， ∴a－b＋c＝D→B＋B→F＝D→F且| D→F|＝2.
解析 由平行四边形对角线互相平分的性质知 O→A ＝－O→C，即O→C＝－a， B→C＝O→C－O→B＝－a－b.
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4．已知从点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A，B，C 的向量分别 为 a，b，c，则向量D→O 等于________．
答案 b－a－c
答案 D
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解析 因为(A→B－D→C)－C→B＝A→B＋C→D＋B→C＝A→C ＋C→D＝A→D；A→D－(C→D ＋D→C)＝A→D－0＝A→D；
－(C→D＋M→C)－(D→A＋D→M)＝－(C→D－C→M)－(D→A＋D→M)＝－M→D－D→A－ D→M＝D→M＋A→D－D→M＝A→D；
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8．已知如图，在正六边形 ABCDEF 中，与O→A－O→C＋C→D相等的向量有 ________(填序号)．
①C→F；②A→D；③B→E；④D→E－F→E＋C→D；⑤C→E＋B→C；⑥C→A－C→D；⑦A→B ＋A→E.
答案 ①④
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解析 O→A－O→C＋C→D＝C→A＋C→D＝C→F，①正确．④中D→E－F→E＋C→D＝D→E ＋E→F＋C→D＝D→F＋C→D＝C→F，故④正确．⑤C→E＋B→C＝B→C＋C→E＝B→E，⑤错误．⑥ C→A－C→D＝D→A，⑥错误．⑦A→B＋A→E＝A→D，⑦错误．
答案 3
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正解 如图，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝a＋b，则B→A＝O→A－O→B＝a－b，
∵|a|＝|b|＝|a－b|， ∴BA＝OA＝OB. ∴△OAB 为正三角形，设其边长为 1，
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则|a－b|＝|B→A|＝1，|a＋b|＝2× 23＝ 3. ∴||aa＋ －bb||＝ 13＝ 3.
解析 (1)原式＝(A→B＋M→B)＋B→O＋O→M＝A→B＋0＝A→B. (2)原式＝D→B－D→C＝C→B.
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7．已知O→A＝a，O→B＝b，若|O→A|＝12，|O→B|＝5，且∠AOB＝90°，则|a －b|的值为________．
答案 13 解析 a，b，a－b 构成了一个直角三角形， 则|a－b|＝ |a|2＋|b|2＝ 52＋122＝13.
当 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形 ABCD 为矩形；
当 a，b 满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形 ABCD 为 菱形；
当 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形 ABCD 为正方形．
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解析 如图，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
则O→D＝O→A ＋A→D＝O→A ＋B→C ＝O→A＋(O→C－O→B)＝a＋(c－b)＝a＋c－b.
故D→O＝－O→D＝b－a－c.
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知识点三 向量减法几何意义的应用
5. 如图，已知正方形 ABCD 的边长等于 1， A→B＝a， B→C＝b， A→C＝c，
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10．已知非零向量 a，b 满足|a|＝ 7＋1，|b|＝ 7－1，且|a－b|＝4，求 |a＋b|的值．
解 设O→A＝a，O→B＝b，则|B→A|＝|a－b|.以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，则|O→C|＝|a＋b|.
∵( 7＋1)2＋( 7－1)2＝42， ∴|O→A|2＋|O→B|2＝|B→A|2，∴OA⊥OB. ∴平行四边形 OACB 是矩形． ∵矩形的对角线相等， ∴|O→C|＝|B→A|＝4，即|a＋b|＝4.
A．A，B，C 三点必在一条直线上 B．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角 C．△ABC 必为直角三角形且∠B 为直角 D．△ABC 必为等腰直角三角形
答案 C
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解析 以B→A，B→C为邻边作平行四边形 ABCD，则 m＝A→B＋B→C＝A→C，n ＝A→B－B→C＝A→B－A→D＝D→B.由 m，n 的长度相等，可知两对角线相等，因此平 行四边形是矩形．故选 C.
第6章 6.2 6.2.3 平面向量的坐标及其运算-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册
(1)A [以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系， 因为 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以 2a＝(2,1)，b＝(1,3)， 所以 2a＋b＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即 2a＋b 在平面直角坐标系中 的坐标为(3,4)，故选 A.
]
(2)[解] ①作 AM⊥x 轴于点 M(图略)，
3，即
b＝－32，3
2
3.
②由①知B→A＝－A→B＝－b＝32，－3
2
3.
③O→B＝O→A＋A→B＝(2
2，2
2)＋－32，3
2
3
＝2
2－32，2
2＋3
2
3，
所以点 B 的坐标为2
2－32，2
2＋3
2
3.
求向量坐标的三个步骤
[跟进训练] 1．在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方 向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算 出它们的坐标． [解] 设 a＝(x1，y1)， 则 x1＝2·cos 45°＝ 2，y1＝2·sin 45°＝ 2， ∴a＝( 2， 2)．
[解] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)21a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
向量坐标运算的综合应用 [探究问题] 1．已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及O→P＝O→A＋tA→B.当 t 为何值 时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ [提示] ∵O→P＝O→A＋tA→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，
新教材 人教B版高中数学必修第二册 第六章 平面向量初步 知识点考点及解题方法提炼汇总
第六章 平面向量初步6.1 平面向量及其线性运算 (1)6.1.1 向量的概念 ........................................................................................................... 1 6.1.2 向量的加法 ........................................................................................................... 5 6.1.3 向量的减法 ......................................................................................................... 10 6.1.4 数乘向量 ............................................................................................................. 13 6.1.5 向量的线性运算 ................................................................................................. 16 6.2 向量基本定理与向量的坐标 . (19)6.2.1 向量基本定理 ..................................................................................................... 19 6.2.2 直线上向量的坐标及其运算 ............................................................................. 22 6.2.3 平面向量的坐标及其运算 ................................................................................. 24 6.3 平面向量线性运算的应用 .. (30)6.1 平面向量及其线性运算6.1.1 向量的概念知识点向量的定义与表示(1)定义：既有__大小__又有__方向__的量． (2)表示方法：①几何表示法：用以A 为始点，以B 为终点作__有向线段__AB→．②字母表示法：在印刷时，通常用__加粗__的__斜体小写__字母如a ，b ，c 、…表示向量，在书写时，可写成__带箭头__的小写字母如a →，b →，c →，…．(3)向量的模：向量的大小也称为向量的长度或模，如a ，AB →的模分别记作|a |，|AB→|． 思考：(1)定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特性？只描述其中一个方面可以吗？(2)由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量？提示：(1)向量不仅有大小，而且有方向．大小是代数特征，方向是几何特征．看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可．(2)要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点．知识点特殊向量(1)零向量：__始点__和__终点__相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：长度(或模)为__1__的向量称为单位向量．(3)相等向量：大小__相等__且方向__相同__的向量称为相等向量．向量a 与b 相等，记作a ＝B ．(4)平行向量或共线向量：方向__相同__或__相反__的非零向量称为平行向量，也称为共线向量．向量a 平行于b ，记作a ∥B ．规定__零__向量平行于任何向量．思考：(1)0与0相同吗？0是不是没有方向？ (2)若a ＝b ，则两向量在大小与方向上有何关系？ (3)“向量平行”与“几何中的平行”一样吗？提示：(1)0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.0有方向，其方向是任意的．(2)若a ＝b ，意味着|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同．(3)向量平行与几何中的平行不同，向量平行包括基线重合的情况，故也称向量共线．题型向量的有关概念典例剖析典例1 给出下列命题： (1)平行向量的方向一定相同； (2)向量的模一定是正数；(3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量AB→与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上． 其中正确的序号是__(3)__．[分析] 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，注意各自的特例对命题的影响．[解析] (1)错误．两向量方向相同或相反都视为平行向量．(2)错误．|0|＝0.(3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．(4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →必须在同一直线上．故填(3)．规律方法：要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键．题型相等向量与共线向量典例剖析典例2 如图，四边形ABCD 是平行四边形，四边形ABDE 是矩形．(1)找出与向量AB→相等的向量；(2)找出与向量AB→共线的向量．[分析] (1)找与向量AB →相等的向量，就是找与AB →长度相等且方向相同的向量．(2)找与AB→共线的向量，就是找与AB →方向相同或相反的向量． [解析] (1)由四边形ABCD 是平行四边形，四边形ABDE 是矩形知，DC →，ED →与AB→的长度相等且方向相同，所以与向量AB →相等的向量为DC →，ED →． (2)由题图可知DC→，ED →，EC →与AB →方向相同，BA →，CD →，DE →，CE →与AB →方向相反，所以与向量AB→共线的向量有DC →，ED →，EC →，BA →，CD →，DE →，CE →．规律方法：1.寻找相等向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向且共线的．2．寻找共线向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量．3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．若两向量相等，则两向量方向相同，模相等；若两向量共线，则两向量方向相同或相反．题型向量的表示与应用典例剖析典例3 (1)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A ，点C 为小正方形的顶点，且|AC→|＝5，画出所有的向量AC →；(2)如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 分别是AD ，BC 上的点，且CN→＝MA →.求证：DN →＝MB →．[分析] (1)根据方向与大小确定终点即可．(2)利用向量相等证明四边形ABCD ，CNAM 为平行四边形，进而得到DN →＝MB →．[解析] (1)画出所有的向量AC→，如图：(2)因为AB→＝DC →，所以|AB→|＝|DC →|，且AB ∥CD ， 所以四边形ABCD 是平行四边形． 所以|DA→|＝|CB →|，且DA ∥CB ． 又因为DA →与CB →的方向相同，所以CB→＝DA →． 同理可证四边形CNAM 是平行四边形，所以CM →＝NA →．因为|CB→|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|， 所以|MB→|＝|DN →|，DN ∥MB ， 即DN→与MB →的模相等且方向相同，所以DN →＝MB →． 易错警示典例剖析典例4 在□ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S }，且M ，N 不重合，则集合T 中元素的个数为__12__．[错解] S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，S 中任意两点连成的有向线段有：AB →，AC →，AD→，AO →；BA →，BC →，BD →，BO →；CA →，CB →，CD →，CO →；DA →，DB →，DC →，DO →；OA →，OB→，OC →，OD →，共有20个元素． [辨析] 求解时，若忽略对相等向量的考虑．[正解] 在上面20个向量中，由平行四边形的性质可知(如图)，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，BA →＝CD →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB→，OD →＝BO →， 又集合中元素具有互异性，所以集合T 中的元素共有12个．6.1.2 向量的加法知识点向量加法的定义及其运算法则(1)向量加法的定义定义：求两个向量和的运算． (2)向量求和的法则三角形法则已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB→＝a ，BC →＝b作出向量AC →，则向量__ AC →__称为a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB→＋BC →＝AC →．平行四边形法则已知两个__不共线__向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，以__AB→__，__ AD →__为邻边作□ABCD ，则对角线上的向量AC→＝__a ＋b __.|| __≤__||__≤__||b |．思考：(1)向量求和的三角形法则中求和的两个向量的起点与终点是怎样连接的？和向量的起点与终点是怎样的？(2)利用向量求和的三角形法则时，若向量a ，b 中有零向量怎么办？若两向量共线时，能否利用三角形法则求和？(3)向量求和的平行四边形法则中“不共线”是否多余，去掉可以吗？ (4)平行四边形法则中，求和的两个向量与和向量的起点有什么特点？和向量是怎样产生的？提示：(1)求和的两个向量“首尾连接”，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量．(2)对于零向量与任一向量a ，规定0＋a ＝a ＋0＝A ． 当两向量共线时，仍可以使用三角形法则求和．(3)不可以，因为如果两个向量共线，就无法以它们为邻边作出平行四边形，也不会产生和向量．(4)求和的两个向量与和向量共起点，和向量是以求和的两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量．知识点多个向量相加为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为__始点__，最后一个向量的终点为__终点__的向量，就是这些向量的和，如图所示．知识点向量加法的运算律交换律 结合律a ＋b ＝b ＋a(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )思考：(a ＋提示：成立，向量的加法运算满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．题型向量的加法法则典例剖析典例1 (1)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，点F 为线段DE 延长线上一点，DE ∥BC ，AB ∥CF ，连接CD ，那么(在横线上只填上一个向量)：①AB→＋DF →＝__AC →__；②AD →＋FC →＝__AB →__．(2)下列说法正确的是__①③__． ①若|a |＝3, |b |＝2, 则|a ＋b |≥1,②若向量a ，b 共线，则|a ＋b |＝|a |＋|b |， ③若|a ＋b |＝|a |＋|b |，则向量a ，b 共线．(3)如图所示，已知向量a 、b 、c 不共线，求作向量a ＋b ＋C ．[解析] (1)如题图，由已知得四边形DFCB 为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：①AB→＋DF →＝AB →＋BC →＝AC →； ②AD→＋FC →＝AD →＋DB →＝AB →． (2)①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1；②中描述的只是向量同向时的情况，故不正确，反之正确，即③正确．(3)a 、b 、c 不共线中隐含着a ，b ，c 均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．解法一：(三角形法则)：如图(1)所示，作AB→＝a ，BC →＝b ，则AC →＝a ＋b ，再作CD→＝c ，则AD →＝AC →＋CD →＝(a ＋b )＋c ，即AD →＝a ＋b ＋C ．解法二：(平行四边形法则)：∵a 、b 、c 不共线，如图(2)所示． 在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA→、OB →为邻边作□OADB ， 则对角线OD→＝a ＋b ，再作OC →＝c ，以OC→、OD →为邻边作□OCED ． 则OE→＝a ＋b ＋C ． 规律方法：1.向量求和的注意点：(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用． (2)两个向量的和向量仍是一个向量．(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．题型向量加法的运算律典例剖析典例2 化简或计算：(1)CD →＋BC →＋AB →＝__AD →__．(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝__0__．(3)□ABCD 中(如图)，对角线AC ，BD 交于点O ．则①AD→＋AB →＝__AC →__； ②CD→＋AC →＋DO →＝__AO →__； ③AB→＋AD →＋CD →＝__AD →__； ④AC→＋BA →＋DA →＝__0__． [解析] (1)CD→＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →．(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋F A →＝AC →＋CF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0．(3)①AD→＋AB →＝AC →，②CD→＋AC →＋DO →＝CO →＋AC →＝AO →， ③AB→＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →， ④AC→＋BA →＋DA →＝DC →＋BA →＝0． 规律方法：(1)解决该类题目要灵活应用向量加法的运算律和向量加法法则，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0．(2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．题型利用向量加法证明几何问题典例剖析典例3 在□ABCD 的对角线BD 的延长线及反向延长线上，取点F ，E ，使BE ＝DF (如图)．用向量的方法证明：四边形AECF 也是平行四边形．[解析] ∵AE→＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →．又∵AB→＝DC →，BE →＝FD →，∴AE →＝FC →， 即AE ，FC 平行且相等， ∴四边形AECF 是平行四边形．规律方法：用向量证明几何问题的一般步骤： (1)要把几何问题中的边转化成相应的向量． (2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系．易错警示典例剖析典例4 如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H .则OP →＋OQ →＝( C )A ．OH →B ．OG →C ．FO →D ．EO→ [错解] A[辨析] 选错的原因是没有认真根据向量的三角形法则(或平行四边形法则)作出图形．[正解] 以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，如图所示，则OP →＋OQ →＝OM →，由OM→和FO →的模相等，方向相同，得OM →＝FO →，即OP →＋OQ →＝FO →．6.1.3 向量的减法知识点相反向量定义：如果两个向量大小__相等__，方向__相反__，那么称这两个向量是相反向量．性质：(1)对于相反向量有：a ＋(－a )＝__0__．(2)若a ，b 互为相反向量，则a ＝__－b __，a ＋b ＝0． (3)__零向量__的相反向量仍是零向量．思考：有人说：相反向量即方向相反的向量，定义中“大小相等”是多余的，对吗？提示：不对，相反向量要从“模”与“方向”两个方面去理解，不是仅方向相反，还必须大小相等．知识点向量的减法(1)定义：平面上任意两个向量a ，b ，如果向量x 满足__b ＋x __＝a, 则称x 为向量a ，b 的差，记作x ＝a －B ．(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝__BA →__，如图所示．a －b 可以表示为从向量__b __的终点指向向量__a __的终点的向量． (3)向量减法的三角形法则：当向量a ，b 不共线时，向量a ，b ，a －b 正好能构成一个三角形，因此求两向量差的作图方法也常称为向量作差的三角形法则．(4)a －b ＝a ＋(－b )．思考：(1)由向量减法作图方法，求差的两个向量的起点是怎样的？差向量的方向如何？(2)由向量减法的定义，你认为向量的减法与加法有何联系？提示：(1)求差的两个向量是共起点的，差向量连接两向量终点，方向指向被减向量．(2)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →，就可以把减法转化为加法．题型向量的减法典例剖析典例1 (1)在△ABC 中，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点，则AF →－DB →等于( D )A ．FD →B ．FC → C ．FE→ D ．BE→ (2)如图，已知向量a ，b ，c ，求作a －b －C ．[解析] (1)由题意可知AF→－DB →＝DE →－DB →＝BE →．(2)如图，以A 为起点分别作向量AB→和AC →，使AB →＝a ，AC →＝B ．连接CB ，得向量CB →，再以点C 为起点作向量CD →，使CD →＝C ．连接DB ，得向量DB →.则向量DB →即为所求作的向量a －b －C ．规律方法：1.作两向量的差的步骤 移—平移向量使之共起点 ↓连—连接两向量的终点，方向指向被减向量. 2．求两个向量的减法的注意点(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后用加法a ＋(－b )即可．(2)向量减法的三角形法则对共线向量也适用． 题型向量的加减法运算典例剖析典例2 化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( D ) A ．AB→B ．AD →C ．BC→ D ．0[解析] (1)解法一：AC→－BD →＋CD →－AB →＝AC →－BD →＋CD →＋BA →＝(AC →＋CD →)＋(BA →－BD →)＝AD →＋DA →＝0． 解法二：AC→－BD →＋CD →－AB →＝AC →＋DB →＋CD →＋BA →＝(AC→＋CD →)＋(DB →＋BA →)＝AD →＋DA →＝0． 规律方法：向量减法运算的常用方法 常用方法⎩⎪⎨⎪⎧可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点引入点O ，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一题型向量加减运算几何意义的应用典例剖析典例3 (1)已知非零向量a ，b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且|a －b |＝4，则|a ＋b |的值为__4__．(2)如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a, AC→＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →．[解析] 如图，令OA→＝a ，OB →＝b ，则|BA →|＝|a －b |．以OA 与OB 为邻边作平行四边形OACB ，则|OC →|＝|a ＋b |.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42.故|OA→|2＋|OB →|2＝|BA →|2，所以△OAB 是∠AOB 为90°的直角三角形，从而OA ⊥OB ，所以平行四边形OACB 是矩形．根据矩形的对角线相等有|OC →|＝|BA →|＝4，即|a ＋b |＝4．(2)因为四边形ACDE 是平行四边形， 所以CD→＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a，故BD→＝BC →＋CD →＝b －a ＋C ． 规律方法：1.解决用已知向量表示未知向量问题的思路应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．2．利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤：(1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量．(2)利用三角形法则和平行四边形法则、对向量的加、减法进行运算．(3)构造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形的边、角关系解题．易错警示典例剖析典例4写出下列各式成立时，向量a、b应满足的条件．(1)|a＋b|＝|a－b|；(2)|a＋b|＝|a|＋|b|；(3)|a＋b|＝|a|－|b|; (4)|a－b|＝|a|＋|b|．[错解](1)a、b垂直．(2)a、b方向相同．(3)a、b方向相反，且|a|＞|b|．(4)a、b方向相反．[辨析]忽略“a、b中至少一个为零向量”的条件，使答案不完整．[正解](1)a、b垂直或a、b中至少一个为零向量．(2)a、b方向相同或a、b中至少一个为零向量．(3)a、b方向相反且|a|＞|b|，或b＝0．(4)a、b方向相反，或a、b中至少一个为零向量．6.1.4数乘向量知识点向量的数乘运算定义：实数λ与向量a的积是一个__向量__，这种运算简称数乘向量，记作λA．规定：(1)当λ≠0 且a≠0时，|λa|＝|λ||a|，且①当λ＞0时，λa的方向与a的方向__相同__；②当λ＜0时，λa的方向与a的方向__相反__．(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝__0__．思考：(1)定义中“是一个向量”告诉了我们什么信息？(2)若把|λa|＝|λ||a|写成|λa|＝λ|a|可以吗？为什么？提示：(1)数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又有方向．(2)不可以，当λ＜0时不成立．知识点向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则λ(μa )＝__(λμ)__a ； 特别地，我们有(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )．思考：这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？提示：不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立．知识点向量共线的条件如果存在实数λ，使得b ＝λa ，则b ∥A ．思考：“若向量b ∥a ，则存在实数λ，使得b ＝λA ．”成立吗？ 提示：不成立，若a ＝0，b ≠0，则λ不存在． 题型数乘向量的定义典例剖析典例1 设a 是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有__②③__． ①|－λa |≥|a |； ②a 与λ2a 方向相同； ③|－2λa |＝2|λ|·|a |．[分析] 根据数乘向量的概念解决．[解析] 当0＜λ＜1 时，|－λa |＜|a |，①错误；②③正确．规律方法：数乘向量与原来向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小．题型数乘向量的运算典例剖析典例2 下列各式化简正确的是__②③__． ①－3×2a ＝－5a ； ②12a ×3×(－2)＝－3a ； ③－2×AB →＝2BA →；④0×b ＝0．[分析] 根据向量数乘的运算律解决．[解析] 因为－3×2a ＝－6a ，12a ×3×(－2)＝－3a ，－2×AB→＝－2AB →＝2BA →，0×b ＝0.所以，①④错误，②③正确．规律方法：λa 中的实数λ称为向量a 的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数．题型数乘向量的应用典例剖析角度1 判断向量共线典例3 已知a ＝2e, b ＝－4e, 判断a ，b 是否平行，求|a |∶|b |的值；若a ∥b ，说出它们是同向还是反向．[分析] 利用数乘向量的定义解决．[解析] 因为b ＝－4e ＝－2(2e )＝－2a ，所以a ∥b ，且2|a |＝|b |，即|a |∶|b |＝1∶2.向量a ，b 反向．母题探究：把本例条件改为“a ＝2e ，b ＝3e ，”其他条件不变，试判断a 与b 是否平行，求|a |∶|b |的值；若a ∥b ，说明它们是同向还是反向．[解析] 因为b ＝3e ＝32(2e )＝32a ，所以a ∥b ， 且32|a |＝|b |，即|a |∶|b |＝2∶3.向量a ，b 同向．角度2 判断三点共线典例4 已知AB →＝e ，BC →＝－3e ，判断A ，B ，C 三点是否共线，如果共线，说出点A 是线段BC 的几等分点．[分析] 利用数乘向量的定义解决．[解析] 因为BC→＝－3e ＝－3AB →，所以AB →∥BC →， 且有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线，又因为BC ＝3AB ，且向量AB →，BC →反向，如图，所以点A 是线段BC 的三等分点．规律方法：数乘向量的应用(1)如果存在实数λ，使得b ＝λa ，则b ∥A ．(2)如果存在实数λ，使得AB →＝λAC →，则AB →∥AC →，且AB 与AC 有公共点A ，所以A ，B ，C 三点共线．易错警示典例剖析典例5 若点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则AC →＝__35 __AB →，BC →＝__－25__AB→． [错解] 35 25 设AC ＝3k ，则CB ＝2k ，所以AB ＝5k ，故AC →＝35AB →，BC →＝25AB →．[辨析] 解决有关数乘向量的问题，注意向量的方向的对应性．[正解] 因为C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，所以AC →与AB →方向相同，BC →与AB →方向相反，且AC AB ＝35，BC AB ＝25，所以AC→＝35AB →，BC →＝－25AB →．6.1.5 向量的线性运算知识点向量的加法与数乘向量的混合运算规定：一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，要先算__数乘向量__，再算__向量加法__．运算律：设对于实数λ，μ以及向量a ，b ，有(1)λa ＋μa ＝__(λ＋μ)a __.(2)λ(a ＋b )＝__λa ＋λb __．思考：(1)向量的加法与数乘向量能进行混合运算的根本原因是什么？ (2)这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？ 提示：(1)向量的加法与数乘向量的结果仍是一个向量．(2)不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立．知识点向量的线性运算向量的加、减、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算． 题型向量的线性运算典例剖析典例1 (1)化简6a －[4a －b －5(2a －3b )]＋(a ＋7b )；(2)把满足3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b 的向量x 、y 用a 、b 表示出来． [分析] 求解的依据是运算律，采用与代数式的运算相似的方法． [解析] (1)原式＝6a －(4a －b －10a ＋15b )＋a ＋7b ＝(6－4＋10＋1)a ＋(1－15＋7)b ＝13a －7B ．(2)由已知得⎩⎨⎧3x －2y ＝a ，①－4x ＋3y ＝b .②①×3＋②×2得x ＝3a ＋2b ，①×4＋②×3，得y ＝4a ＋3B ． ∴x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3B ．规律方法：熟练掌握和运用运算律(实数与向量的积满足的结合律与分配律)，即当λ、μ为实数时，有：①(λμ)a ＝λ(μa )；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③λ(a ＋b )＝λa ＋λB ．题型用已知向量表示相关向量典例剖析典例2 (1)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__12__．(2)如图所示，已知□ABCD 的边BC ，CD 上的中点分别为K ，L ，且AK →＝e 1，AL →＝e 2，试用e 1，e 2表示BC →，CD →．[解析] (1)由已知DE→＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →， 所以λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12．(2)设BC →＝x ，则BK →＝12x ，AB →＝AK →＋KB →＝e 1－12x ，DL →＝12e 1－14x ，又AD →＝x ，由AD→＋DL →＝AL →，得x ＋12e 1－14x ＝e 2，解方程得x ＝43e 2－23e 1，即BC→＝43e 2－23e 1，由CD →＝－AB →，AB →＝e 1－12x ，得CD →＝－43e 1＋23e 2． 规律方法：用已知向量表示未知向量的技巧(1)由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律．(2)当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解． 题型向量平行、三点共线问题典例剖析典例3 如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB →＝a ，AC→＝B ．(1)用a ，b 分别表示向量AE→，BF →；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．[解析] (1)∵AD→＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，∴AE →＝23AD →＝13(a ＋b )， ∵AF→＝12AC →＝12b ， ∴BF→＝AF →－AB →＝－a ＋12B ． (2)由(1)知BF→＝－a ＋12b ，BE→＝－23a ＋13b ＝23(－a ＋12b )， ∴BE→＝23BF →． ∴BE→与BF →共线． 又BE ，BF 有公共点B ， ∴B ，E ，F 三点共线．规律方法：1.证向量平行，用b ＝λA ．2．证三点共线，除证明两向量平行外还需要两向量有公共点．易错警示典例剖析典例4 设a ，b 是两个不共线的向量，若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝__－4__．[错解] ±4[辨析] 本题容易出现得到k ＝±4的错误，出错的原因是忽视了条件方向相反对k 取值的限制．因此由两个向量共线求参数时要注意两向量的方向．[正解] 因为向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，所以k a ＋2b ＝λ(8a ＋k b )⇒⎩⎨⎧2＝λk ，k ＝8λ⇒k ＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k ＜0)．6.2 向量基本定理与向量的坐标6.2.1 向量基本定理知识点共线向量定理如果__a ≠0__，且b ∥a ，则存在__唯一__的实数λ，使得b ＝λA ． 如果A ，B ，C 是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得AB→＝λAC →． 思考：(1)定理中的条件“a ≠0”能否省略，为什么？ (2)这里的“唯一”的含义是什么？提示：(1)不能．如果a ＝0，b ≠0，不存在实数λ，使得b ＝λA ．如果a ＝0，b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λA ．(2)如果还有b ＝μa ，则有λ＝μ． 知识点平面向量基本定理(1)定理：如果平面内的两个向量a ，b __不共线__，则对该平面内的__任意一个__向量c ，__存在唯一__的实数对(x ，y )，使得c ＝x a ＋y B ．(2)基底：平面内__不共线__的两个向量a ，b 组成的集合{a ，b }称为该平面上向量的__一组基底__．思考：(1)定理中的“不共线”能否去掉？ (2)平面内的每一个向量都能用a ，b 唯一表示吗？提示：(1)不能，两个共线向量不能表示平面内的任意向量，不能做基底． (2)是的，在平面内任一向量都可以表示为两个确定的不共线的向量的和，且这样的表示是唯一的．题型共线向量定理的应用典例剖析典例1 已知向量m ，n 不是共线向量，a ＝3m ＋2n ，b ＝6m －4n ，c ＝m＋x n ．(1)判断a ，b 是否平行； (2)若a ∥c ，求x 的值．[解析] (1)显然a 为非零向量，若a ∥b ，则存在实数λ，使得b ＝λa ，即6m －4n ＝λ(3m ＋2n )，∴⎩⎨⎧ 6＝3λ，－4＝2λ，∴⎩⎨⎧λ＝2，λ＝－2，∴λ不存在．∴a 与b 不平行． (2)∵a ∥c ，∴存在实数r ，使得c ＝r A ． ∴m ＋x n ＝r (3m ＋2n ) ∴⎩⎨⎧1＝3r ，x ＝2r ，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝13，x ＝23，x ＝23．规律方法：1.利用共线向量基本定理可解决两类向量问题：(1)判定向量平行(先假设平行，用基本定理列方程，根据λ1e 1＋μ1e 2＝λ2e 1＋μ2e 2，其中e 1，e 2不共线，列实数方程组，求解)；(2)已知向量求参数．2．判定向量平行还可用结论“当存在实数λ，使得b ＝λa 时，b ∥a ”． 3．证三点共线：用三点共线的两个充要条件． 题型平面向量基本定理的理解典例剖析典例2 (1)设e 1、e 2是不共线向量，则下面四组向量中，能作为基底的组数是( C )①e 1和e 1＋e 2 ②e 1－2e 2和e 2－2e 1 ③e 1－2e 2和4e 2－2e 1 ④e 1＋e 2和e 1－e 2 A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么( A ) A ．若实数λ1、λ2，使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，这里λ1、λ2是实数C ．对实数λ1、λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内D ．对平面α中的任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2有无数对 [分析] (1)根据基底的构成条件判断． (2)由平面向量基本定理的内容理解判断．[解析] (1)③中，∵4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)，∴两向量共线，其他不共线，故选C ．(2)平面α内任一向量都可写成e 1与e 2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B 不正确；对任意实数λ1、λ2，向量λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a ，实数λ1、λ2是唯一的．规律方法：对平面向量基本定理的理解(1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝x a ＋y b ，且x ＝y ＝0．(2)对于固定的不共线向量a ，b 而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．题型用基底表示向量典例剖析典例3 如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM→＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB ＝a ，AC→＝b ， 试用a ，b 将MN→，NP →，PM →表示出来．[解析] NP→＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN→＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝－13b －23(a －b )＝－23a＋13B ．PM→＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )． 规律方法：平面向量基本定理的作用及注意点(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．(2)解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．易错警示典例剖析典例4 如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设A D →＝a ，A B →＝b ，若A B →＝2D C →，则A O →＝__23a ＋13b __(用a 和b 表示)．[错解] 2a ＋b 设A O →＝λAC →，则A O →＝λ(A D →＋D C →)＝λ(A D →＋12A B →)＝λAD →＋12λAB →．∵D 、O 、B 三点共线，∴λ－12λ＝1，∴λ＝2． ∴A O →＝2A D →＋A B →＝2a ＋B ．[辨析] 不能正确应用直线的向量参数方程致错．[正解] 23a ＋13a 设A O →＝λAC →，则A O →＝λ(A D →＋D C →)＝λ(A D →＋12A B →)＝λAD →＋12λAB →．因为D 、O 、B 三点共线，所以λ＋12λ＝1， 所以λ＝23，所以A O →＝23A D →＋13A B →＝23a ＋13B ．6.2.2 直线上向量的坐标及其运算知识点直线上向量的坐标给定一条直线l 及这条直线上一个单位向量e ，对于这条直线上的任意一个向量a ，一定存在__唯一__的实数x ，使得a ＝x e ，此时x 称为向量a 的__坐标__．在直线上指定原点O ，以e 的方向为正方向，如果把向量a 的始点平移到原点O ，那么a 的终点对应的数就是向量a 的坐标．思考：向量a 的坐标x 能刻画它的模与方向吗？ 提示：能．(1)|a |＝|x e |＝|x ||e |＝|x |．(2)当x ＞0时，a 的方向与e 的方向相同；当x ＝0时，a 是零向量；当x ＜0时，a 的方向与e 的方向相反．知识点直线上向量的运算与坐标的关系如果直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2．(1)a＝b的充要条件是__x1＝x2__．(2)a＋b的坐标为__x1＋x2__，a－b的坐标为__x1－x2__，λa的坐标为__λx1__．(3)设A(x1)，B(x2)是数轴上的两点，M(x)是线段AB的中点，则AB＝__|x2－x1|__，x＝__x1＋x22__．题型求直线上的向量坐标典例剖析典例1已知e是直线l上的一个单位向量，向量a与b都是直线l上的向量，分别在下列条件下写出a与b的坐标：(1)a＝2e，b＝－3e；(2)a＝－13e，b＝4e．[解析](1)∵e的坐标为1，又a＝2e，b＝－3e，∴a的坐标为2，b的坐标为－3．(2)∵e的坐标为1，又a＝－13e，b＝4e，∴a的坐标为－13，b的坐标为4．规律方法：为了求出直线上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种：(1)将向量用单位向量表示出来．(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标．题型直线上向量坐标的线性运算典例剖析典例2已知直线上向量a的坐标为－3，b的坐标为4，求下列向量的坐标：(1)a－b；(2)15b；(3)－2a＋3B．[解析](1)a－b的坐标为－3－4＝－7．(2)15b的坐标为15×4＝45．(3)－2a＋3b的坐标为(－2)×(－3)＋3×4＝18．规律方法：若a，b的坐标分别为x1，x2，则a＋b的坐标为x1＋x2，a－b的坐标为x1－x2，λa的坐标为λx1，u a＋v b的坐标为ux1＋v x2，u a－v b的坐标为ux1－v x2．。
【新教材】高中数学 新人教B版必修第二册 第六章 平面向量初步 章末复习 课件
本课结束
则有A→G＝λa－2λb，B→G＝－μ2a＋μb.
又有A→G＝A→B＋B→G＝1－μ2a＋(μ－1)b，
∴ λ－＝2λ1＝－μμ2－，1，
解得 λ＝μ＝23.
答案
∴A→G＝23a－13b，C→G＝C→A＋A→G＝－a＋23a－13b＝－13a－13b＝23×12(－a－ b)．
而C→F＝12(－a－b)，∴C→G＝23C→F. ∴点 G 在 CF 上．∴三角形三条中线交于一点．
答案
A→F＝A→B＋B→F＝a＋14b. H→M＝－M→H＝a＋14b， M→D＝H→D－H→M＝12b－a＋14b＝－a＋14b. ∴A→M＝a＋34b，M→H＝－a－14b，A→F＝a＋14b， M→D＝－a＋14b.
答案
[典例 5] 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且C→M＝3C→A，C→N＝
∴O→C＝O→B＋B→C＝52， 23＋(－1，
3)＝32，3
2
3，
∴B52，
23，C32，3
2
3.
答案
(2)证明：∵O→C＝32，3 2 3，A→B＝12， 23， ∴O→C＝3A→B，∴O→C∥A→B. 又易知 OA 与 BC 不平行，|O→A|＝|B→C|＝2， ∴四边形 OABC 为等腰梯形．
解析 如图，连接 BD 交 EF 于点 M，连接 MH，MG，则四边形 AEMG 和四边形 MFCH 都是平行四边形，所以E→M＝A→G，D→H＝H→C＝M→F.则有E→F＝ E→M＋M→F＝A→G＋D→H.故选 C．
答案 C
解析
答案
[典例 2] 化简下列各式： (1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＋2(c－3b)； (2)234a－3b＋13b－146a－7b. 解 (1)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＋2c－6b＝(2－3)a＋(3＋2－6)b ＋(－1－1＋2)c＝－a－b＝－(a＋b)． (2)原式＝234a－3b＋13b－32a＋74b＝234－32a＋－3＋13＋74b ＝2352a－1112b＝53a－1118b.
(新教材)2019-2020学年人教B版高中数学必修第二册第6章 平面向量初步 6.1.5 课时29
所以O→A＋O→C＝2O→E＝－3O→B.
知识对点练
课时综合练
解析
所以O→B＝－23O→E， |O→B|＝23|O→E|. 设点 A 到 BD 的距离为 h，则 S△AOB＝12|O→B|·h，S△AOC＝2S△AOE＝|O→E|·h.
1→ 1→ 所以SS△△AAOOCB＝2|O|→OEB|·|·hh＝2|O|→OEB||＝12×23＝13.
求证：D→E＝13(b－a)．
知识对点练
课时综合练
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证明 ∵CDDA＝EABE＝12，∴D→A＝23C→A＝23b，A→E＝13A→B＝13(A→C＋C→B)＝13(－b －a)＝－13b－13a.
∴D→E＝D→A＋A→E＝23b－13b－13a＝13b－13a＝13(b－a).
知识对点练
知识对点练
课时综合练
正解 因为 D 为 BC 的三等分点， 当 BD＝13BC 时，如图 1，
B→D＝13B→C，
知识对点练
课时综合练
答案
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所以A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C ＝A→B＋13(A→C－A→B) ＝23A→B＋13A→C ＝23a＋13b.
知识对点练
课时综合练
答案 C
知识对点练
课时综合练
答案
解析 找出一个非零实数 λ 使得 a＝λb 即可判断 a∥b.A 项中 a＝－12b； B 项中 a＝4b；D 项中 a＝－32b，故 A，B，D 三项中 a∥b，而 C 项中 a＝e1 －2e2，b＝－2e1＋e2，所以 C 项 a 与 b 不一定共线，故选 C.
知识对点练
课时综合练
解析
3．(1)已知 3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中 a，b 为已知向量)， 求 x；
第6章 6.2 6.2.1 向量基本定理-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册课件
(2)证明：设线段 EL 的中点为 P1，则 O→P1＝12(O→E＋O→L)＝14(a＋b＋c)． 设 FM，GN 的中点分别为 P2，P3，同理可求得 O→P2＝14(a＋b＋c)，O→P3＝14(a＋b＋c)． ∴O→P1＝O→P2＝O→P3， 即 EL，FM，GN 交于一点，且互相平分．
1．任意一向量基底表示的唯一性的理解
1．共线向量基本定理 如果 a≠0 且 b∥a，则存在_唯一____的实数 λ，使得_b_＝__λ_a_. 在共线向量基本定理中： (1)b＝λa 时，通常称为 b 能用 a 表示． (2)其中的“唯一”指的是，如果还有 b＝μa，则有 λ＝μ.
思考 1：在共线向量基本定理中，为什么要求 a≠0? [提示] 若 a＝0，则 0∥b，但是 λ0＝0，从而 b＝λa 中的实数 λ 具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数 λ，使得 b＝λa.
(变结论)例 2 中，用A→E，A→F表示A→B. [解] A→B＝A→E＋E→B＝A→E＋F→E＝A→E＋(A→E－A→F)＝2A→E－A→F.
用基底表示向量的方法 (1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形 法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优 化与组合． (2)将向量 c 用 a，b 表示，常采用待定系数法，其基本思路是设 c＝xa＋yb，其中 x，y∈R，然后得到关于 x，y 的方程组求解．
2019_2020学年新教材高中数学第6章平面向量初步 共线向量基本定理练习(含解析)新人教B版必修第二册
课时30 共线向量基本定理知识点一 共线向量基本定理1.已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( ) ①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0； ③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b . A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④ 答案 A解析 由2a －3b ＝－2(a ＋2b )得到b ＝－4a ，故①可以；∵λa －μb ＝0，∴λa ＝μb ，故②可以；当x ＝y ＝0时，有x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线，故③不可以；梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．2．已知e 1，e 2不共线，若a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2，且a ∥b ，则k 的值为( ) A ．8 B ．－8 C ．3 D ．－3 答案 B解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，即3e 1－4e 2＝6m e 1＋mk e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝6m ，－4＝mk ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，k ＝－8.3. 如图所示，已知OA ′ →＝3OA →，A ′B ′ →＝3AB →，则向量OB →与OB ′ →的关系为( )A ．共线B ．同向C ．共线且同向D ．共线、同向，且OB ′ →的长度是O B →的3倍 答案 D解析 由题意，知OB →＝OA →＋AB →，OB ′→＝OA ′→＋A ′B ′→＝3OA →＋3AB →＝3OB →，故选D.知识点二 共线向量基本定理的应用4.已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，且3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，设△ABC 的面积为S ，则△PAC 的面积为( )A.34SB.23SC.12SD.25S 答案 C解析 如图，由于3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，则3(PA →＋PB →)＝－2(PB →＋PC →)， 3(PA →＋PB →)2＝－2(PB →＋PC →)2. 设AB ，BC 的中点分别为M ，N ，则PM →＝12(PA →＋PB →)，PN →＝12(PB →＋PC →)，即3PM →＝－2PN →，则点P 在中位线MN 上，则△PAC 的面积是△ABC 的面积的一半．5．设AB →＝22(a ＋5b )，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则共线的三点是________．答案 A ，B ，D解析 BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ，AB →＝22BD →，即A ，B ，D 三点共线．6．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个平行的向量，则k ＝________.答案 13或－2解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，∴k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2＝m (2e 1＋3e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝2m ，1－52k ＝3m ，即3k 2＋5k －2＝0，∴k ＝13或－2.7．设O 为△ABC 内任一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，且D ，E 分别是BC ，CA 的中点，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3∶1解析 如图，OB →＋OC →＝2OD →，OA →＋OC →＝2OE →，∴OA →＋2OB →＋3OC →＝(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝2(2OD →＋OE →)＝0，即2OD →＋OE →＝0， ∴DO →与OE →共线，即D ，E ，O 共线， ∴2|OD →|＝|OE →|，∴S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，即S △ABCS △AOC＝3.8．已知梯形ABCD ，AB ∥DC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．用向量法证明：EF ∥AB ，EF ＝12(AB ＋DC )．证明 如图，延长EF 到点M ，使FM ＝EF ，连接CM ，BM ，EC ，EB ，得平行四边形ECMB ，由平行四边形法则得EF →＝12E M →＝12( EB →＋EC →)．由于AB ∥DC ，所以AB →， DC →共线且同向，根据向量共线定理，存在正实数λ，使AB →＝λDC →.由三角形法则得EB →＝EA →＋AB →， EC →＝ED →＋DC →且ED →＋EA →＝0，∴EF →＝12(E B →＋EC →)＝12(E A →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝1＋λ2D C →， ∴EF →∥DC →.由于E ，D 不共点，∴EF ∥DC ∥AB ，又|EF →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12( AB →＋DC →)＝12(|AB →|＋|D C →|)，∴EF ＝12(AB ＋DC )，所以结论得证.易错点 对共线向量基本定理理解不透致误9.如果向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线且方向相反，则k ＝________.易错分析 出错的根本原因是对共线向量基本定理b ＝λa 理解不透，误认为向量反向时，参数k 的值应该为负值，实质应是λ的值为负值．答案 2正解 因为向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线， 所以k 2－4＝0，解得k ＝±2，当k ＝－2时，b ＝2a ，此时a 与b 方向相同，不符合题意，应舍去，因此k ＝2.一、选择题1．已知向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1＋2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定 答案 B解析 a ＋b ＝3e 1＋e 2，∴c ＝6e 1＋2e 2＝2(a ＋b )． ∴c 与a ＋b 共线．2．下面向量a ，b 共线的有( ) ①a ＝2e 1，b ＝－2e 2；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2(e 1，e 2不共线)． A ．②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④答案 A解析 对于①，e 1与e 2不一定共线，故a 与b 不一定共线；对于②，a ＝－12b ，∴a ，b 共线；对于③，a ＝4b ，∴a ，b 共线；对于④，若a ，b 共线，则存在一实数λ，使得b ＝λa ，即2e 1－2e 2＝λ(e 1＋e 2)，得(2－λ)e 1＝(λ＋2)e 2，当λ＝2时，得e 2＝0，e 1，e 2共线，矛盾，当λ≠2时，e 1＝λ＋22－λe 2，则e 1，e 2共线，矛盾．故a 与b 不共线．综上，选A. 3．若M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →共线的是( ) A ．AB →＋BC →＋AC →B ． AM →＋MB →＋BC → C ． AM →＋BM →＋CM →D ．3A M →＋AC →答案 C解析 设D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，根据点M 是△ABC 的重心， AM →＋BM →＋CM →＝23( AD →＋BE →＋CF →)＝23(AB →＋B D →＋BC →＋CE →＋CA →＋AF →)＝0，而零向量与任何向量共线，所以与AB →共线．4．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上答案 B解析 ∵CB →＝λPA →＋PB →，∴CB →－PB →＝λPA →，即CP →＝λPA →.∴点P ，A ，C 共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上． 二、填空题5．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为________．答案 1解析 由于c 与d 同向，所以可设c ＝k d (k >0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]， 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又k >0，所以λ>0，故λ＝1.6．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝4DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为________． 答案 85解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＝4DB →，∴CD →＝45CB →，即CD →＝45AB →－45AC →，∴r ＝45，s ＝－45，∴3r ＋s ＝85.7．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA →＋PB →＋P C →＝A B →，则点P 在边AC 的________等分点处．答案 三解析 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，所以PC →＝2AP →，从而点P 在边AC 的三等分点处．三、解答题8．已知非零向量e 1，e 2不共线，(1)如果AB →＝e 1＋e 2， BC →＝2e 1＋8e 2， CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2，B D →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB →与BD →共线，且AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，且此两向量均为非零向量， ∴存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线， 只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.9．如图，平行四边形OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E .求证：BE ＝14BA .证明 如图，设E ′是线段BA 上的一点，且BE ′＝14BA ，只要证E ，E ′重合即可．设OA →＝a ， OB →＝b ，则BD →＝13a ， OD →＝b ＋13a .∵BE ′ →＝OE ′ →－b ，E ′A →＝a －OE ′ →，3BE ′ →＝E ′A →， ∴3(OE ′ →－b )＝a －OE ′ →， ∴OE ′ →＝14(a ＋3b )＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13a ，即OE ′ →＝34O D →，∴O ，E ′，D 三点共线，∴E 与E ′重合．∴BE ＝14BA .10．已知OA →，OB →是不共线的两个向量，设OM →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .求证：M ，A ，B 三点共线． 证明 ∵λ＋μ＝1，∴μ＝1－λ. ∴OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋OB →－λOB →. ∴OM →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BM →＝λBA →(λ∈R )，∴BM →，BA →共线． 又∵BM ，BA 有公共点B ， ∴M ，B ，A 三点共线．11．如图所示，点P 在直线AB 上，O 为直线外任意一点，且OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求证：λ＋μ＝1.证明 OP →＝λOA →＋μOB →＝λ(OP →＋PA →)＋μ(OP →＋PB →) ＝(λ＋μ)OP →＋λPA →＋μPB →， 又点P 在直线AB 上，不妨设PA →＝kPB →， 则(λ＋μ－1)OP →＋(λk ＋μ)PB →＝0又OP →与PB →不共线，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ－1＝0，λk ＋μ＝0，得λ＋μ＝1.12．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，且AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解 (1)AD →＝AB →＋BD →＝a ＋12BC →＝a ＋12AC →－12AB →＝12b ＋12a ，AE →＝23AD →＝13b ＋13a ， AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13b ＋13a －a＝13b －23a . (2)证明：BF →＝AF →－AB →＝12AC →－AB →＝12b －a ，BE →＝13b －23a ，∴23BF →＝BE →，故BF →∥BE →， 又BF 与BE 有公共点B ，∴B ，E ，F 三点共线．。
2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.3平面向量线性运算的应用课件新人教B版必修第二册
课前篇自主预习
一
二
二、向量在物理中的应用
1.填空.
(1)物理问题中常见的向量有力,速度,加速度,位移等.
(2)向量的加减法运算体现在力,速度,加速度,位移的合成与分解.
2.做一做:一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的
方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,则河水的流速为( )
20 5
=4.
由v3=v1+v2,
得v2=v3-v1
=(0,4)-(-3,4)=(3,0),
所以|v2|=3,即水流速度的大小为3 m/s. 方法点睛根据图形合理地选用向量的加减法,通过建系求出所求
量.
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
1.在矩形 ABCD 中,|������������|=4,|������������|=2,则|������������ + ������������ + ������������|=( )
v2=(20,0),
则帆船的行驶速度 v=v1+v2=(10,10 3)+(20,0)=(30,10 3),
所以|v|= 302 + (10 3)2=20 3(km/h).
因为 tan α=10303 = 33(α 为 v 和 v2 的夹角,α 为锐角),所以 α=30°. 所以帆船向北偏东 60°的方向行驶,速度为 20 3 km/h.
最小值为2 5,
5
∴|������������ + ������������|∈ 2 5,2 2 ,故答案为 2 5,2 2 .
5
5
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
人教高中数学必修二B版《向量基本定理与向量的坐标》平面向量初步说课复习(向量基本定理)
)
2
A.9
答案:C
1
B.3
4
C.9
4
D.3
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
解析:由题意知:G 是△ABC 的重心,延长 AG 与边 BC 交于点 D.∴
2
1
1
= 3 = 3 + 3 ,
又因为点 E 为 AB 边的中点,点 F 为 AC 边的中点,故
因为 = + ,
1
1
2
2
所以 n(a+b)= b+m - ,
-1
即(n-m)a+ +
2
b=0.
因为向量 a,b 不共线,于是有
1
1
- = 0,
+
-1
2
解得 m=n=3,所以 = 3 .
2
同理 = 3 .
所以 = = ,故 AR=RT=TC.
课前篇自主预习
一
二
二、平面上向量的运算与坐标的关系
1.填空.
(1)向量加法与减法运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
①ua+vb=(ux1+vx2,uy1+vy2);②ua-vb=(ux1-vx2,uy1-vy2).
(2)模长公式:设 a=(x,y),则|a|= 2 + 2
(3)平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
共线,则 λ=(
)
A.-1
B.-2
C.-2 或 1 D.-1 或 2
答案:D
解析:∵A,B,C 三点共线,
新教材人教版高中数学必修第二册 第六章 平面向量及其应用(章末知识梳理与能力提升)
[典例] 一条河的两岸平行，河的宽 度d＝500 m，一艘船从A处出发航行到河 的正对岸B处．船航行的速度|v1|＝10 km/h，水流速度|v2|＝4 km/h.那么，
(1)v1与v2的夹角θ(精确到1°)多大时，船才能垂直到达对岸 B处？船行驶多少时间(精确到0.1 min)?
―→ －| AO |2＝r2－r2＝0，
第十五页，共二十二页。
∴பைடு நூலகம்
―→ AD
⊥
―→ BD
即AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，所以直径所
对的圆周角为直角．
综上所述，利用向量的知识可以解决代数、几何，甚至
物理中的一些问题，它可以使一些复杂的问题变得简单，使
抽象的问题变得具体．只要我们在平时的学习中合理使用向
新教材人教版高中数学必修第二册 第六章 平面向量及其应用（章末知识 梳理与能力提升）
科 目：数学
适用版本：新教材人教版
适用范围：【教师教学】
第六章 章末知识梳理与能力提升
第一页，共二十二页。
[本章知识结构——建体系]
第二页，共二十二页。
【核心知识点拨】
一、平面向量的线性运算及运算律 1．平面向量的加、减、数乘运算 (1)向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即―AB→＋ ―BC→＝―AC→； 向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平 行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和． 加法满足交换律、结合律．
第四页，共二十二页。
2．向量共线及平面向量基本定理 (1)共线向量定理：向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使得 b＝λa. 共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重 要方法． 特别地，平面内一点 P 位于直线 AB 上的条件是存在实数 x，使―A→P ＝x―AB→，或对直线外任意一点 O，有―O→P ＝x―O→A ＋y―O→B (x＋y＝1)．
2019_2020学年新教材高中数学第6章平面向量初步 向量的加法练习(含解析)新人教B版必修第二册
课时26 向量的加法知识点一 向量加法的三角形法则1.已知向量a ，b ，c ，那么下列结论中正确的是( )A ．a ＋b ＝cB ．b ＋c ＝aC ．a ＋c ＝bD ．|a |＋|b |＝|c |答案 B解析 根据向量加法的三角形法则可得b ＋c ＝a .故选B.2．当a ，b 满足下列哪种条件时，等式|a ＋b |＝|a |－|b |成立？( ) A ．a 与b 同向且|a |≥|b | B ．a 与b 反向且|a |≤|b | C ．a 与b 同向且|a |≤|b | D ．a 与b 反向且|a |≥|b | 答案 D解析 当a 与b 反向且|a |≥|b |时，|a ＋b |＝|a |－|b |.知识点二 向量加法的平行四边形法则3.如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO → 答案 C解析 设a ＝OP →＋OQ →，利用平行四边形法则作出向量OP →＋OQ →，再平移即发现a ＝FO →. 4．如下图，在正六边形OABCDE 中，若OA →＝a ，OE →＝b ，试用向量a ，b 将OB →，OC →，OD →表示出来．解 由题意知四边形ABPO ，AOEP 均为平行四边形， 由向量的平行四边形法则，知OP →＝OA →＋OE →＝a ＋b . ∵AB →＝OP →，∴AB →＝a ＋b .在△AOB 中，根据向量的三角形法则，知OB →＝OA →＋AB →＝a ＋a ＋b ＝2a ＋b ， ∴OC →＝OB →＋BC →＝2a ＋b ＋b ＝2a ＋2b .OD →＝OE →＋ED →＝OE →＋AB →＝b ＋a ＋b ＝a ＋2b . 知识点三 多个向量相加 5.化简下列各式：(1) AB →＋MB →＋BO →＋OM →；(2) MB →＋AC →＋BM →；(3) OA →＋OC →＋BO →＋CO →.解 (1)原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →.(2)原式＝(MB →＋BM →)＋AC →＝AC →.(3)原式＝OA →＋BO →＝BO →＋OA →＝BA →.6．向量a ，b ，c ，d ，e 如图所示，据图回答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用a ，b ，e 表示EC →.解 由题图知AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e . (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a . (2)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝e ＋a ＋b .一、选择题1．已知非零向量a ，b ，c ，则向量(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(b ＋a )，c ＋(a ＋b )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 根据向量加法的运算律解答．2. 如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 答案 D解析 由于BA →＝DE →，故BA →＋ CD →＋EF →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →. 3．若C 是线段AB 的中点，则AC →＋BC →等于( ) A ． AB →B ．BA →C ．0D ．以上均不正确答案 C解析 AC →与BC →的模相等而方向相反，因此AC →＋BC →＝0.4．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( ) A ．0 B ．3 C. 2 D ．2 2 答案 D解析 ∵A B →＋BC →＝AC →，∴|a ＋b ＋c |＝|2c |， ∵|c |＝2，∴|a ＋b ＋c |＝2 2.故选D.5．已知向量a ，b 均为非零向量，下列说法不正确的是( ) A ．向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 B ．向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 C ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与a 的方向相同 D ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与b 的方向相同 答案 B解析 ∵a 与b 方向相反，|a |<|b |，∴a ＋b 与a 的方向相反，故B 不正确． 6．已知平行四边形ABCD ，设AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝a ，且b 是一非零向量，则下列结论： ①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a |＋|b |.其中正确的是 ( ) A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．①② 答案 A解析 a ＝0，①③正确，②错误；|a ＋b |＝|0＋b |＝|b |＝|a |＋|b |，④错误． 二、填空题7．设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________． 答案 20 4解析 当a ，b 共线同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |＝8＋12＝20， 当a ，b 共线反向时，|a ＋b |＝||a |－|b ||＝4. 当a ，b 不共线时，||a |－|b ||<|a ＋b |<|a |＋|b |， 即4<|a ＋b |<20，所以最大值为20，最小值为4.8．小李从家里出发，先到小卖部买了一瓶矿泉水，再到小区门口，这样走的路程________(填“大于”“小于”“不大于”“不小于”或“等于”)他从家里直接到小区门口的距离．(假设这几条路都是直的)答案 不小于解析 由性质|a ＋b |≤|a |＋|b |，小李从家里出发先到小卖部再到小区门口走的路程不小于他从家里直接到小区门口的距离．9．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝2，则|BC →＋DC →|＝________. 答案 2 3解析 如图所示，设菱形对角线交点为O .BC →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →.∵∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形． 又∵|AB →|＝2，∴|OB →|＝1. 在Rt △AOB 中，|AO →|＝ |AB →|2－|OB →|2＝3，∴|AC →|＝2|AO →|＝2 3. 三、解答题10. 如图，已知向量a ，b .(1)用平行四边形法则作出向量a ＋b ；(2)用三角形法则作出向量a ＋b .解 (1)如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，连接OC ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b .(2)如图，在平面内任取一点O ′，作O ′D →＝a ，DE →＝b ，连接O ′E ，则O ′E →＝O ′D →＋DE →＝a ＋b .11．如图，∠AOB ＝∠BOC ＝120°，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，求OA →＋OB →＋OC →.解 如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，由向量加法的平行四边形法则，易知OA →＋OB →＝OD →.∵∠AOB ＝120°，| OA →|＝| OB →|， ∴∠BOD ＝60°，|OB →|＝|OD →|. ∵∠BOC ＝120°，|OB →|＝|OC →|， ∴OD →＋OC →＝0，故OA →＋OB →＋OC →＝0.12. 已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，AC ，AB 的中点．求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.证明 连接EF ，由题意知，AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →. 由D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，AC ，AB 的中点可知，EF →＝CD →，BF →＝FA →.∴AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →)＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →)＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋FA →＝AF →＋FA →＝0.。