【精准解析】海南省海南中学2020届高三第四次月考数学试题
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
令 a 2 可知不等式解集为空集，充分性成立；当不等式解集为空集时， 2 a 2 ，必要性
不成立，由此得到结果.
【详解】当 a 2 时， x2 2x 1 x 12 0 解集为空集，充分性成立；
当 x2 ax 1 0 的解集为空集时， a2 4 0 ，解得： 2 a 2 ，必要性不成立，
结合等比数列通项公式可求得结果.
【详解】设等比数列an 的公比为 q，
当 q 1 时， S6 6a1 ， S3 3a1 ，6a1 27a1 ，即 a1 0 ，不合题意；
当 q
1时，由
S6
9S3 得：
a1
1 q6 1 q
9a1 1 q3 1 q
，1 q3 9 ，解得： q =
取值范围是（ ）．
A. 2,0
B. 1,
C. ,1
D.
, 2 0,
【答案】A 【解析】 【分析】
根 据 lg x2 10 1 和 函 数 图 象 可 将 不 等 式 化 为 f x2 2x 1 0 ， 由 图 象 可 知
x2 2x 1 1，解不等式求得结果.
【详解】 x2 10 10 ，lg x2 10 1 ，则由图象可知： f lg x2 10 0 ， f x2 2x 1 0 ， x2 2x 1 1，解得： 2 x 0 ，
2，
am a1qm1 a1 2m1 4a1 ，解得： m 3 .
故选： B .
【点睛】本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题.
9.如图所示，在 OAB 中，设 P
为
OAB
的外心，向量
OA
a
，OB
b
，OP
p
，若
a
4，
b
2
，则
p
a
b
等于（
）
-5-
A. 6
【答案】A 【解析】 【分析】
x
x
k
2
,
k
Z
，
B
错误；
-1-
对于 C ， y 1 的定义域为 0, ， C 正确；
x
对于 D ，
y
1 ex
的定义域为
R
， D 错误.
故选： C .
【点睛】本题考查函数定义域的求解，属于基础题.
3.“ a 2 ”是“关于 x 的不等式 x2 ax 1 0 的解集为空集”的（ ）
A. 充分而不必要条件
来求解，属于基础题.
5.已知函数 f x 3 sin 2x cos 2x x R 的图象与直线 y = - 1 在 y 轴的右侧交点按横
2
坐标由小到大的顺序记为 D1 ， D2 ， D3 ， ，则 D3D5 （ ）
A.
2
B.
3 C.
2
【答案】B
D. 2
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简 f x ，结合图象可知 D3D5 T ，利用正弦型函数最小正周期的求法可
4，
则符合条件的集合 N 有：3, 4 、1,3, 4 、2,3, 4、1, 2,3, 4，
因此，满足题意的集合 N 的个数为 4 ，选 D.
【点睛】本题考查符合条件的集合个数，一般将符合条件的集合列举出来即可，考查分析问 题和解决问题的能力，属于中等题.
2.下列函数中，与函数 y ln x 有相同定义域的函数是（ ）
边界上运动，并且总是保持 AP BD1 ，则以下四个结论正确的是（ ）
A.
VP AA1D
1 3
C. AP BC1
【答案】BD
【解析】
【分析】
B. 点 P 必在线段 B1C 上 D. AP// 平面 A1C1D
-9-
根据三棱锥体积公式求得 VP AA1D
1 6
，知
A 错误；以
D
为坐标原点建立空间直角坐标系，利
【详解】设 5 个人所得橘子数为： a 6 ， a 3 ， a ， a 3 ， a 6 ，
a 6 a 3 a a 3 a 6 60 ，解得： a 12 ，
5 人所得橘子数的中位数为12 . 故选： D .
【点睛】本题考查等差数列的应用问题，关键是能够根据等差数列的特点，采用待定系数法
实数 x 的取值范围为2, 0 .
故选： A .
【点睛】本题考查根据函数图象求解函数不等式的问题，关键是能够将不等式化简为函数值 的正负，从而确定自变量的范围.
7.已知函数 f x 为奇函数，当 x 0 时， f x x3 a ln x ，且曲线 y f x 在点
1, f 1 处的切线的斜率是 1，则实数 a （ ）
2
（）
-6-
A. 1 1 ln 2 2
【答案】D
1 B.
2
C. e 1
D. 1 ln 2 2
【解析】
【分析】
设 f a g b t ，可将 a b 表示为关于 t 的函数 ht ，利用导数可求得 ht 的最小值，
即为 a b 的最小值.
【详解】设 f a g b t ，即 ln a 1 e2b2 t ，
1 2
上单调递减；
当
t
1 2
,
时，
m
t
0
，即
h
t
0
，
则
h
t
在
1 2
,
上单调递增；
所以 t 1 取得极小值，也是最小值， 2
h t min
h
1 2
1
1 2
ln
1 2
1
1 2
ln
1 2
1 2
ln
2
，
-7-
即 a b 的最小值为 1 ln 2 .
2 故选： D .
【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值，关键是能够将所求最值转化为关于第三个变量 的函数的形式，通过导数确定函数的单调性，进而确定最值点.
A. 1
B. 1
C. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
D. 2
-4-
利用奇偶性可求得 x 0 时 f x 的解析式，根据切线斜率为 f 1 可构造方程求得结果.
【详解】当 x 0 时， x 0 ， f x x3 a ln x ，
f x 为奇函数， f x f x x3 a ln x x 0 ， f x 3x2 a ， f 1 3 a 1 ，解得： a 2 .
CP
BA
0 ，又 OC
1 2
a
b
，
BA
a
b
，
p
a
b
1 2
a
b
a
b
1 2
a
2
b
2
1 2
16
4
6
.
故选： A .
【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求数
量积进行转化.
10.已知函数 f x ln x 1 ， g x e2x2 ，若 f a g b 成立，则 a b 的最小值为
x 故选： C .
【点睛】本题考查导数几何意义的应用，涉及到利用函数奇偶性求解函数解析式的问题
8.在等比数列 an 中，已知 S6 9S3 ，且 am 4a1 ，则正整数 m 的值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
可验证出当公比 q 1 时不合题意；当 q 1时，由等比数列求和公式可构造方程求得公比，
共轭复数定义和对应点的坐标依次判断各个选项得到结果.
【详解】
x
1 i
y
1
2i
，
x
y
1 2 1
，解得：
x
y
1 1 ， z
1
i2
2i
.
对于 A ， z 的虚部为 2 ， A 错误；
对于 B ， z 2 ， B 正确；
对于 C ， z 的共轭复数为 2i ， C 正确；
对于 D ， z 对应 0, 2 ，不在第四象限， D 错误.
减少 2.3 个单位
B. 两个具有线性相关关系的变量，当相关指数 R2 的值越接近于 0，则这两个变量的相关性就
越强
C. 若两个变量的相关指数 R2 0.88 ，则说明预报变量的差异有 88%是由解释变量引起的
-8-
D. 在回归直线方程 yˆ 0.85x 2.3 中，相对于样本点 1,1.2 的残差为 0.25
子个数成公差为 3 的等差数列，问：5 人各得多少橘子．”根据这个问题，5 人所得橘子个数
的中位数是（ ）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数列定义可设 5 人所得橘子数分别为 a 6 ，a 3 ，a ，a 3 ，a 6 ，由橘子总数可
-2-
构造方程求得中位数.
2
a
t1
e2
，
b
1 2
ln
t
1，
设
ht
a
b
t1
e2
1
ln
t
1t
0
，
2
则
h t
t1
e2
1
t1
2te 2
1 ，
2t
2t
令 m t
t1
2te 2
1t
0 ，则 mt
t1
2e 2
2te
t
1 2
2 t
1
t1
e2
0
，
m
海南省海南中学2019-2020学年高三第四次月考数学试题
【点睛】
本题考查线性回归中的相关命题的辨析，涉及到线性回归直线、相关指数和残差的意义与计算，属于基础题.
13．BD
【解析】
【分析】
根据三棱锥体积公式求得 ，知 错误；以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得到 ， ， 垂直于平面 的法向量 ，由此可确定 的正误.
【详解】
对于 ， 在平面 上，平面 平面 ，
（3）在（2）的条件下，该市为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
（ⅰ）得分不低于 的可以获赠2次随机话费，得分低于 的可以获赠1次随机话费；
（ⅱ）每次获赠送的随机话费和对应的概率为：
赠送的随机话费（单元：元）
30
60
概率
0.75
0.25
现有市民甲要参加此次问卷调查，记 （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 的分布列与数学期望．
.
故选： .
【点睛】
本题考查平面向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化.
10．D
【解析】
【分析】
设 ，可将 表示为关于 的函数 ，利用导数可求得 的最小值，即为 的最小值.
【详解】
设 ，即 ，
， ，
设 ，
则 ，
令 ，则 ，
单调递增，又 ，
当 时， ，即 ，
则 在 上单调递减；
，即 ， 平面 ， 正确.
故选： .
【点睛】
本题考查立体几何中动点问题相关命题的辨析，涉及到三棱锥体积公式、动点轨迹、线线垂直关系和线面平行关系等知识；解题关键是熟练应用空间向量法来验证相关结论.
14．3
【解析】
【分析】
令 ，可利用各项系数和构造方程求得 ；根据展开式通项，代入 即可得到中间项.
海南省天一大联考2020届高三年级第四次模拟数学试题(解析版)
所以 ，所以 .故选：C
【点睛】本题主要考查了利用幂函数的单调性比较大小，属于中档题.
8.已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 为 的右支上一点，且 ， ，则双曲线 的离心率的最小值为（）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【分析】
设 ， ， ，由 ，得出 ，由双曲线的定义以及离心率公式得出 ，最后余弦函数的性质得出双曲线 的离心率的最小值.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
由题意可得阴影部分表示 ，求出集合 后计算 可得答案.
【详解】解：由题意可得阴影部分表示 ,
【详解】设 ， ，
因为 ，且 ，所以 ，则
所以
所以 .
因为 ，所以当 时， 取得最大值
所以 ，所以双曲线 的离心率的最小值为 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质和离心率，涉及了三角函数的性质，属于中档题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
4.已知向量 ， ， ，则实数 的值为（）
A. 1B. C. D. -1
【答案】C
【分析】求出向量 的坐标，由 ，根据向量数量积的坐标表示，即求实数 的值.
【详解】 .
，
解得 .故选： .
【点睛】本题考查向量的坐标运算及数量积的坐标表示，属于基础题.
海南省海口市海南中学2021届高三上学期第四次月考数学试题(解析卷)
海南中学2021届高三第四次月考数学试题卷满分：150分考试时间：120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合(){},|2A x y x y =+=，(){}2,|B x y y x ==，则AB =（ ）A.(){}1,1B.(){}2,4-C.()(){}1,1,2,4-D. ∅【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知AB 实质是求交点，进而联立组成方程组求解即可.【详解】解：集合A 与集合B 均为点集，AB 实质是求2x y +=与2yx 的交点，所以联立组成方程组得22x y y x +=⎧⎨=⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩， 从而集合()(){}1,1,2,4A B ⋂=-， 故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题. 2. 已知(,)a bi a b R +∈是11ii-+的共轭复数，则a b +=（ ） A. 1- B. 12- C. 12D. 1【答案】D 【解析】 【分析】 首先计算11ii-+，然后利用共轭复数的特征计算,a b 的值. 【详解】21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ---===-++-，()a bi i i ∴+=--=， 0,1,1a b a b ∴==∴+=.故选:D .【点睛】本题考查复数的计算，属于基础题型.3. 3.设向量(1,1)a =，(1,3)=-b ，(2,1)c =，且()a b c λ-⊥，则λ=（ ） A. 3 B. 2 C. 2- D. 3-【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算法则先计算得出a b λ-，然后根据()a b c λ-⊥，利用向量垂直的坐标运算法则求解λ的值.【详解】因为(1,1)a =，(1,3)=-b ， 所以()1,13a b λλλ-=+-，当()a b c λ-⊥时，则有()()21130λλ++-=，解得3λ=. 故选：A.【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标运算公式，设向量11,ax y ，22,bx y ，则当a b ⊥时，12120x x y y +=.4. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N ≤∈个圆环所需的移动最少次数，若11a =.且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下6个环所需的最少移动次数为（ ）A. 13B. 16C. 31D. 64【分析】根据已知的递推关系求6a ，从而得到正确答案.【详解】11a =，1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数， ∴21211a a =-=，32224a a =+=，43217a a =-=，542216a a =+=，652131a a =-=，所以解下6个环所需的最少移动次数为31. 故选：C. 5. 已知,,2παπ⎛⎫∈-⎪⎝⎭且3cos28sin 50αα++=，则tan α=（ ） A. 23-B.C.D. 2-【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件结合二倍角余弦公式有23sin 4sin 40αα--=，求得sin α，又α的范围和sin α符号确定角的象限，进而由同角三角函数关系求cos α，即可求tan α值.【详解】3cos28sin 50αα++=知：23sin 4sin 40αα--=，解得2sin3或sin 2α=（舍）， 又,,2παπ⎛⎫∈-⎪⎝⎭2sin 03α=-<，所以α为第四象限角，即cos 0α>，∴由22sin cos 1αα+=，得：5cos α3，而sin 25tan cos 5. 故选：C6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，134+30,90,a a S ==设21log 3n n b a =，那么数列{}n b 的前15项和为（ ） A. 16B. 80C. 120D. 150【分析】根据134+30,90,a a S ==分1q =和1q ≠，利用“1,a q ”法求得n a ，进而求得n b n =，然后利用等差数列的前n 项和公式求解.【详解】因为134+30,90,a a S ==若1q =，则 14115,46090a S a ===≠，不成立， 所以1q ≠，则()412111+30,901a q a a q q-==-，解得16,2a q ==， 所以1132n n n a a q-==⋅，所以21log 3n n b a n ==， 所以数列{}n b 的前15项和为()()11515151511512022b b S ++===，故选：C .7. 已知3223ln 2ln 3,log ,23a b c ===，则（ ） A. a c b >> B. b c a >> C. a b c >> D. c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()ln xf x x =，利用导数判断单调性可判定,a c 大小，再求出b 即可得出结果. 【详解】设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，令()0f x '=，解得x e =， 则当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，()()ln 2ln 4ln 34,3243a f c f =====，a c ∴<， 且ln 2ln1022a =>=，3223log 1b ==-，【点睛】关键点睛：本题考查对数式的大小比较，解题的关键是构造函数()ln xf x x=判断单调性，从而先得出,a c 大小.8. 对于函数y =f (x )，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k >0)，则称y =f (x )为k 倍值函数.若f (x )=e x +3x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是（ ） A. (e +1e，+∞) B. (e +2e，+∞) C. (e +2，+∞) D. (e +3，+∞)【答案】D 【解析】 【分析】根据f (x )=e x+3x 是定义域R 上的增函数，易得()()f a kaf b kb⎧=⎪⎨=⎪⎩，即,a b 是方程3x e x kx +=的两个根，转化为3x e k x =+有两个根，令()3xe g x x =+，用导数法求解.【详解】因为f (x )=e x +3x 是定义域R 上的增函数，所以()()f a ka f b kb⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3,3a b e a ka e b kb +=+=，所以,a b 是方程3x e x kx +=的两个根， 显然0x =不是方程的根，所以3xe k x=+，令()3(0)xe g x x x=+≠，则()()21xe x g x x -'=，当0,01x x <<<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>， 所以当1x =时，()g x 取得极小值3e +，当0x →时，()g x →+∞，当x →-∞时，()3g x →， 画出函数()g x 图象，如下图所示：所以3k e >+所以实数k 的取值范围是(e +3，+∞)， 故选：D【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A. MA MB MC == B. 0MA MB MC ++= C. 1233CM CA CD =+ D. 2133BM BA BD =+ 【答案】BC【解析】 【分析】由题可知M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，由此依次计算判断即可得出结果. 【详解】M 为△ABC 的重心，∴M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，对于A ，由于△ABC 为任意三角形，故中线不一定相等，则,,MA MB MC 不一定相等，故A 错误； 对于B ，D 为BC 的中点，2MB M MD C +∴=，2MA MD =-，0MA MB MC ++=∴，故B 正确；对于C ，()22123333CM CA AM CA AD CA CD CA CA CD =+=+=+-=+，故C 正确； 对于D ，()22123333BM BA BA BA B AM AD BD BA A BD +=+=+-==+，故D 错误. 故选：BC.10. 已知函数f (x )=sin(3x +φ)(22ππφ-<<)的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A. 函数()12f x π+为偶函数B. 函数f (x )在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递増 C. 若|f (1x )−f (2x )|=2，则|1x −2x |的最小值为3π D. 函数f (x )的图象向右平移4π个单位长度得到函数y =−sin3x 的图象 【答案】CD 【解析】 【分析】利用()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，即可求出ϕ的值，从而得出()f x 的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可.【详解】因为()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈ ，得4k πϕπ=-+，k Z ∈，因为 22ππϕ-<<，所以0,4k πϕ==-，所以()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 对于A ：sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数，故选项A 错误；对于B ：123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，30,434x ππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数；故选项B 不正确；对于C ：因为()max 1f x =，()min 1f x =-，又因为()()122f x f x -=，所以12x x -的最小值为半个周期，即21323ππ⨯=，故选项C 正确； 对于D ：函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到 ()sin 3sin 3sin344y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选项D 正确；故选：CD11. 下列说法中正确的是（ ）A. 若数列{}n a 前n 项和n S 满足21n S n =+，则21n a n =-B. 在等差数列{}n a 中，满足1016S S =，则其前n 项和n S 中13S 最大C. 在等差数列{}n a 中，满足53a =，则数列{}n a 的前9项和为定值D. 若tan 2x =，则4sin 25x = 【答案】CD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，可判断ABC 选项；利用同角三角函数基本关系，结合二倍角公式，可判断D 选项.【详解】A 选项，因为数列{}n a 前n 项和n S 满足21n S n =+，所以()()221111212n n n a S S n n n n -=-=+---=-≥，又211112a S ==+=，不满足21n a n =-，所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故A 错；B 选项，在等差数列{}n a 中，满足1016S S =，则()()11121611161...332250a a a a a a d +++=+=+=，即1252a d =-； 当10a >时，0d <，1311202d a a d =+=->，1411302da a d =+=<，则n S 有最大值13S ；当10a <，0d >，1311202d a a d =+=-<，1411302da a d =+=>则n S 有最小值13S ；当10a d ==时，0n S =；故B 错；C 选项，在等差数列{}n a 中，满足53a =，则其前9项和为()19599272a a a +==为定值，故C 正确； D 选项，若tan 2x =，则2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15x x x x x x x ===++，故D 正确. 故选：CD.【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值的常用方法：（1）二次函数法：用求二次函数最值的方法（配方法）求其前n 项和的最值，但要注意*n N ∈； （2）图像法：利用二次函数图像的对称性来确定n 的值，使n S 取得最值；（3）项的符号法（邻项变号原则）：当100a d >⎧⎨<⎩时，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n ，使n S 取得最大值；当100a d <⎧⎨>⎩时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n ，使取得最小值；即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使nS 取最值的n 有两个.12. 关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ） A. ()f x 在(0,)+∞上是增函数 B. ()f x 存在唯一极小值点0x C. ()f x 在(,)π-+∞上有一个零点 D. ()f x 在(,)π-+∞上有两个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.【详解】由已知()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin xf x e x ''=-，(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，又34232()0,()0,(0)2042f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=>(0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，即00cos x e x =-， 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，又()00f e ππ--=+>，000000()sin sin cos 2sin()04xf x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误.故选：ABD.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数221,0()3,0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩若0()27f x =，则实数0x 的值为___________. 【答案】13或3- 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式分类讨论进行求解即可.【详解】当00x ≥时，因为0()27f x =，所以00212713x x +=⇒=，显然符合00x ≥；当00x <时，因为0()27f x =，所以2003273x x =⇒=±，而00x <，所以03x =-，故答案为：13或3-14. 若24x y +=，则24x y +的最小值是_________. 【答案】8. 【解析】 【分析】利用基本不等式可求出24x y +的最小值.【详解】由基本不等式得224228x y x y +=+≥==， 当且仅当22x y ==时，等号成立，因此，24x y +的最小值为8，故答案为8.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是对代数式进行配凑，考查运算求解能力，属于中等题.15. 已知a 、b 、c 为△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，向量m =（-1），n =（cosA ，sinA ），若m ⊥n ，且acosB +bcosA =csinC ，则角B 的大小为______． 【答案】3π【解析】 【分析】由m ⊥n ，可得m •n =-cosA sinA ＝0，解得A ．由acosB +bcosA ＝csinC ，利用正弦定理可得sinAcosB +sinBcosA ＝sinCsinC ，化简整理可得A ，进而得出B ＝π﹣A ﹣C ． 【详解】∵m ⊥n ，∴m •n =-cosA ＝0，解得tanA =A ∈（0，π）． ∴A 6π=．∵acosB +bcosA ＝csinC ， ∴sinAcosB +sinBcosA ＝sinCsinC ， ∴sin （A +B ）＝sinCsinC ，C ∈（0，π）． ∴sinC ＝sinCsinC ≠0， ∴sinC ＝1，解得C 2π=．∴B ＝π﹣A ﹣C 3π=．故答案为：3π． 【点睛】本题考查了正弦定理、数量积运算性质、和差公式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16. 设,n n S T 分别为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且211n n S n T n -=+.设点A 是直线BC外一点，点P 是直线BC 上一点，且178a a AP AB ACb λ+=+，则实数λ的值为_________. 【答案】58- 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式以及等差数列的性质可得432n n n a b n-=，设(43),(2)n n a k n b k n =-=，利用等差数列的性质以及向量共线26161λ+=，即可求解. 【详解】121121214343122n n n n n n a a a b b S n n n T n n b n-----=++⇒=⇒=+， 因此可设(43),(2)n n a k n b k n =-=，因此71826261616a a k b k +==，于是2615168λλ+=⇒=-. 故答案为：58-四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸l ，河岸l 边有一烟囱(AB 不计B 离河岸的距离)，河的另一侧是以O 为圆心，半径为12米的扇形区域OCD ，且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧的交点为.E 经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为45︒，30，和60︒.（1）求烟囱AB 的高度；（2）如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长. 【答案】（1）63（2）43.【解析】 【分析】（1）设AB 的高度为h ，利用直角三角形中的特殊角函数值及12OE =即可求h 的值. （2）由（1）确定,,OB OC CB 的长度，结合余弦定理求cos COB ∠，进而求CE 的长. 【详解】（1）设AB 的高度为.h 在CAB △中，45ACB ∠=︒，有CB h =.在OAB 中，因为30,60AOB AEB ∠=︒∠=︒，可得,3OB EB h ==.由题意得123OE h =-=，解得h =. （2）由（1）知，在OBC中18,12,OB OC CB ===5cos 6COB ∠=， 所以在OCE △中，2222cos CE OC OE OC OE COB =+-⋅⋅∠，得CE=答：AB的高为CE的长为.18. 设{a n }是等差数列，(n ∈N *)；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *).已知11b =，322b b =+，b 5=a 3+a 5，b 7=a 4+2a 6.（1）求S n 与a n ；（2）若n n c a =，求数列{}n c 前n 项和n T .【答案】（1）21nn S =-，1032n a n =-；（2）()()22527,352772,4n n n n T n n n ⎧-+≤⎪=⎨-+≥⎪⎩. 【解析】 【分析】（1）首先根据已知条件得到220q q --=，解得2q，从而得到21n n S =-，根据535174612616231364b a a a d b a a a d =+=+=⎧⎨=+=+=⎩，解方程组即可得到1032n a n =-. （2）首先根据1032n a n =-，得到前n 项和为2527n K n n =-，再分类讨论求数列{}n c 的前n 项和n T 即可.【详解】（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，且0q >. 由11b =，322b b =+，可得220q q --=， 因为0q >，可得2q，所以122112nn n S -==--.所以535174612616231364b a a a d b a a a d =+=+=⎧⎨=+=+=⎩，解得12210a d =-⎧⎨=⎩，1032n a n =-.（2）因为1032n a n =-，前n 项和为()22210325272n n n K n n -+-==-，当3n ≤时，0n a <，所以2n 527n T K n n =-=-+，当4n ≥时，0n a >，所以()()n 1221234n n T a a a a a a a a a =++++=-+++++…………()2333=252772n n K K K K K n n =-+--=-+.所以()()22527,352772,4n n n n T n n n ⎧-+≤⎪=⎨-+≥⎪⎩. 19.已知向量3sin 22a x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(sin ,cos )b x x =，()f x a b =⋅. （1）求f (x )的最大值及f (x )取最大值时x 的取值集合M ； （2）在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C的对边，若24C M π+∈，求ab 的取值范围.【答案】（1）f (x )的最大值为1，5,12M x x k k z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭；（2）⎫+∞⎪⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简得出()sin 232f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭－，解得求得最大值； （2）由24C M π+∈可得3C π=，利用正弦定理以及角的关系可得1tan 22a Bb =+，根据角B 的范围即可求解.【详解】（1）()cos ,a x x =，∴()21sin cos sin2sin 223f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅===-⎪⎝⎭－，()f x ∴的最大值为12-，此时2x 2,32k πππ-=+即512x k π=π+，k z ∈，5,12M x x k k z ππ⎧⎫∴==+∈⎨⎬⎩⎭（2）24C M π+∈，52412C k πππ∴+=+，23C k ππ=+， ()0,C π∈，3C π∴=，∴21sin()sin sin 1322tan sin sin cos 2B B Ba A Bb BB B π-+====+， 锐角△ABC 中，62B ππ<<，∴tan B >， ∴3a b >，即ab 的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎝⎭.【点睛】本题考查三角形中的取值范围，解题的关键是将所求利用正弦定理以及角的关系化为1tan 2a Bb =+，利用角的范围求解. 20. 已知函数32()22a f x x x bx =-++.（1）若函数()f x 在点(1，f (1))处的切线方程为3210x y -+=，求,a b 的值；（2）当02,0a b ≤≤=时，记函数()f x 在区间[]0,1上的最大值为M ，最小值为N ，求M -N 的最大值.【答案】（1）112a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2）最大值为1. 【解析】 【分析】(1)求导2()3f x x ax b '=-+，然后由3(1)32f a b '=-+=，(1)1222af b =-++=求解. （2）由0b =，求导2()3(3)f x x ax x x a '=-=-，由极值和端点值比较，得到M ，N 求解.【详解】(1)因为32()22a f x x x bx =-++， 所以2()3f x x ax b '=-+， 所以3(1)32f a b '=-+=，(1)1222af b =-++=， 解得112a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩（2）当0b =时，2()3(3)f x x ax x x a '=-=-，02a ≤≤，2133a ∴≤<， 当03ax <<时，()0f x '<，当13a x <<时，()0f x '>，所以()f x 在0,3a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭是单调减，()f x 在,13a ⎛⎤⎥⎝⎦是单调增，所以3()2354a a N f ==-，因为(0)(1)f f <，所以(1)32aM f ==-， 所以31254a a M N -=-+. 令3()1254a a g a =-+，29()0,(02)18a g a a -'=<≤≤，()g a 在[]0,2上减函数， ()g a 最大值为(0)1g =，即M -N 的最大值为1【点睛】方法点睛：(1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．21. 已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，12a =，0n a >且21112n n n S S a ++=+，其中*N n ∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11212n a n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11(2)n c n n =++，*123()n n S c c c c n N =⋅⋅∈，记数列1n n n b b nS +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：38n T ≥. 【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由递推关系可得出}{n a 是以12a =为首项，2为公差的等差数列，即可求出通项公式； （2）先求出n b 和n S ，再由裂项相消法可求出n T ，根据{}n T 是递增数列即可证明.【详解】（1）当2n ≥时，有211211212n n n n n n S S a S S a ++-⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减可得：()22112n n n n a a a a ++-=+因为0n a >，所以12n n a a +-=()2n ≥，当1n =时，由222122S a S -=-，可得24a =，所以122a a -=所以12n n a a +-=()*n N ∈则数列}{n a 是以12a =为首项，2为公差的等差数列. 所以2n a n =；（2）可得112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1(1)(1)1(2)(2)n n n c n n n n ++=+=++，则：12n n S c c c ⋅=2233(1)(1)1324(2)n n n n ⨯⨯++=⨯⨯⨯⨯⨯+2(1)2n n +=+， 111211(1)22(1)2n n n n n n b b n nS n n n n +++-+==-+⋅⋅+⋅， 12231111111()()()122222322(1)2n n n T n n +⎡⎤=-+-++-⎢⎥⨯⨯⨯⨯⋅+⋅⎣⎦1112(1)2n n +=-+⋅， 可得{}n T 是递增数列，所以1n T T ≥，即38n T ≥. 【点睛】思路点睛：利用n a 和n S 求通项的步骤： （1）当1n =时，利用11a S =求出1a ；（2）2n ≥时，将n 替换为1n -，得到关于1n S -的式子；（3）将两式相减，利用1n n n a S S -=-得到关于{}n a 的通项公式或递推关系； （4）利用递推关系求出数列通项公式； （5）验证1a 是否满足通项即可得出答案. 22. 已知()ln f x x =，213()22g x ax x =-+，()()()h x f x g x =+. （1）当2a =-时，求()h x 的单调区间；（2）若()h x 存在两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：12121()()(2)()2h x h x a x x -<--.【答案】（1）增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出23()ln 2h x x x x =--+，可得(21)(1)()x x h x x-+'=-，由()0h x '>得增区间，由()0h x '<得减区间；（2）求出21()ax x h x x-+'=，则12,x x 是210ax x -+=的两根，要证12x x <，即证明12121()()(2)()2h x h x a x x -<--， 即证1121221ln 21x x x x x x -<+，换元后再构造函数，利用导数研究函数的区间单调性，结合函数最值即可证明不等式.【详解】（1）当2a =-时，23()ln 2h x x x x =--+，即有(21)(1)()x x h x x-+'=-且(0,)x ∈+∞， 当()0h x '>时，有102x <<；当()0h x '<时，有12x >；∴()h x 的增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）由题意得：21()ax x h x x-+'=，又()h x 两个极值点12,x x ，即12,x x 是210ax x -+=的两根，可知121211x x a x x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当12x x <，证明12121()()(2)()2h x h x a x x -<--，即证221112*********(ln )(ln )(2)()22222x ax x x ax x a x x +-+-+-+<-- 即证221121212211ln()()(2)()22x a x x x x a x x x +---<-- 即证221121212212111ln()()(2)()22x x x x x a x x x x x +⨯---<--+ 即证1122ln2()x a x x x <- 即证1122122()lnx x x x x x -<+ 即证1121222(1)ln1x x x x x x -<+令12x t x =(01)t <<，则2(1)ln 1t t t -<+ 令2l ())1n 1(t F t t t -=-+，而()221()0(1)t F t t t -'=>+，即()F t 在(0,1)是增函数， ∴()(1)0F t F <=，故2(1)ln 1t t t -<+成立， ∴原不等式12121()()(2)()2h x h x a x x -<--成立. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等主要方法有两个，1、比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可； 2、综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.。
2020届海南省海南中学高三第四次月考数学试题解析
绝密★启用前2020届海南省海南中学高三第四次月考数学试题 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{}1,2M =，则满足条件{}1,2,3,4M N =U 的集合N 的个数是（）A ．1B ．3C ．2D ．4 解：因为集合{}1,2M =，则满足条件{}1,2,3,4M N =U 时，集合N 中的个数至少有3、4，则符合条件的集合N 有：{}3,4、{}1,3,4、{}2,3,4、{}1,2,3,4，因此，满足题意的集合N 的个数为4，选D.点评：本题考查符合条件的集合个数，一般将符合条件的集合列举出来即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．下列函数中，与函数ln y x =有相同定义域的函数是（）A ．3yx = B ．tan y x =- C ．y = D ．1xy e = 答案：C解：根据函数定义域的要求分别判断已知和选项中的函数的定义域即可得到结果. 解：函数ln y x =的定义域为()0,∞+，对于A ，3y x =的定义域为{}0x x ≠，A 错误； 对于B ，tan y x =-的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，B 错误； 对于C ，y=的定义域为()0,∞+，C 正确； 对于D ，1x y e=的定义域为R ，D 错误. 故选：C .点评： 本题考查函数定义域的求解，属于基础题.3．“2a =”是“关于x 的不等式210x ax -+<的解集为空集”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解：令2a =可知不等式解集为空集，充分性成立；当不等式解集为空集时，22a -≤≤，必要性不成立，由此得到结果.解：当2a =时，()222110x x x -+=-<解集为空集，充分性成立；当210x ax -+<的解集为空集时，240a ∆=-≤，解得：22a -≤≤，必要性不成立， ∴“2a =”是“关于x 的不等式210x ax -+<的解集为空集”的充分不必要条件. 故选：A .点评：本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到一元二次不等式的解的问题，属于基础题.4．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问：5人各得多少橘子．”根据这个问题，5人所得橘子个数的中位数是（）A ．6B ．8C ．10D ．12答案：D解：由等差数列定义可设5人所得橘子数分别为6a -，3a -，a ，3a +，6a +，由橘子总数可构造方程求得中位数.解：设5个人所得橘子数为：6a -，3a -，a ，3a +，6a +， ()()()()633660a a a a a ∴-+-+++++=，解得：12a =，5∴人所得橘子数的中位数为12.故选：D .点评：本题考查等差数列的应用问题，关键是能够根据等差数列的特点，采用待定系数法来求解，属于基础题.5．已知函数()()2cos2f x x x x R =+∈的图象与直线12y =-在y 轴的右侧交点按横坐标由小到大的顺序记为1D ，2D ，3D ，⋅⋅⋅，则35D D =（） A ．2π B ．π C ．32π D ．2π 答案：B解：利用辅助角公式化简()f x ，结合图象可知35D D T =，利用正弦型函数最小正周期的求法可求得结果.解：()3sin 2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 图象如下图所示：由图象可知：3522D D T ππ===. 故选：B .点评： 本题考查正弦型函数最小正周期的求解，关键是能够利用数形结合的方式确定所求距离为最小正周期.6．已知函数()y f x =的图象如图所示，若()()2221lg 100f x x f x ⎡⎤++⋅+≤⎣⎦，则实数x 的取值范围是（）．A ．[]2,0-B ．[)1,+∞C ．(],1-∞D ．(][),20,-∞-+∞U答案：A解：根据()2lg 101x +≥和函数图象可将不等式化为()2210f x x ++≥，由图象可知2211x x ++≤，解不等式求得结果.解：21010x +≥Q ，()2lg 101x ∴+≥，则由图象可知：()2lg 100f x ⎡⎤+≤⎣⎦， ()2210f x x ∴++≥，2211x x ∴++≤，解得：20x -≤≤，∴实数x 的取值范围为[]2,0-.故选：A .点评：本题考查根据函数图象求解函数不等式的问题，关键是能够将不等式化简为函数值的正负，从而确定自变量的范围.7．已知函数()f x 为奇函数，当0x <时，()()3ln f x x a x =+-，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率是1，则实数a =（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-答案：C解：利用奇偶性可求得0x >时()f x 的解析式，根据切线斜率为()1f '可构造方程求得结果.解：当0x >时，0x -<，()3ln f x x a x ∴-=-+， ()f x Q 为奇函数，()()()3ln 0f x f x x a x x ∴=--=->，()23a f x x x'∴=-，()131f a '∴=-=，解得：2a =. 故选：C .点评：本题考查导数几何意义的应用，涉及到利用函数奇偶性求解函数解析式的问题8．在等比数列{}n a 中，已知639S S =，且14m a a =，则正整数m 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：B解：可验证出当公比1q =时不合题意；当1q ≠时，由等比数列求和公式可构造方程求得公比，结合等比数列通项公式可求得结果.解：设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，616S a =，313S a =，11627a a ∴=，即10a =，不合题意； 当1q ≠时，由639S S =得：()()631119111a q a q q q --=--，319q ∴+=，解得：2q =， 1111124m m m a a q a a --∴==⋅=，解得：3m =.故选：B .点评：本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题.9．如图所示，在OAB V 中，设P 为OAB V 的外心，向量OA a →→=，OB b →→=，OP p →→=，若4a →=，2b →=，则p a b →→→⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭等于（）A ．6B ．5C ．3D ．1答案：A 解：取AB 中点C ，根据平面向量线性运算将所求数量积化为12a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，根据数量积的运算律可求得结果.解：取AB 中点C ，连接,CP OC ，P Q 为OAB V 的外心，CP ∴为AB 的垂直平分线，。
2020届海南省天一大联考高三年级第四次模拟数学试题(解析版)
天一大联考2019—2020学年海南省高三年级第四次模拟考试数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|14A x N x =∈-<<，{}0,1,4,9B =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.{}0,1,2B.{}1C.{}1,2D.{}0,1【答案】D 【分析】由题意可得阴影部分表示A B I，求出集合A 后计算A B I 可得答案.【详解】解：由题意可得阴影部分表示A B I ,可得：{}0,1,2,3A =，{}0,1,4,9B =，∴{}0,1A B =I ，故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，由题意得出阴影部分表示A B I 是解题的关键，相对简单.2.复数()21i -的虚部为（ ） A. -1 B. -2 C. i - D.2i -【答案】B 【分析】将原式子展开，求出复数的实部与虚部可得答案. 【详解】解：∵()22112=2i i i i -=-+-，∴复数的虚部为-2， 故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算和复数的基本概念，考查学生的计算能力，属于基础题型. 3.“[1,1]x ∀∈-，||x a <恒成立”的充要条件是（ ） A. 1a > B. 0a >C. 2a >D. 1a =【答案】A【分析】根据已知可得max ||1x =，只需a 大于max ||x 即可，再根据充分条件和必要条件判断即可. 【详解】因为[1,1]x ∀∈-，||x a <恒成立，故只需max ||ax >即可，因为[1,1]x ∈-，所以max ||1x =，所以1a >.反过来也成立， 故充要条件为1a >. 故选：A 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，同时考查恒成立的处理方法，属于基础题.4.已知向量()2,a m =-r ，()1,2b =r ，()1122a ab ⋅+=r r r ，则实数m 的值为（ ）A. 1B. 12 C. 12- D. -1【答案】C 【分析】求出向量2a b +r r的坐标，由()1122a ab ⋅+=r r r ，根据向量数量积的坐标表示，即求实数m 的值. 【详解】()()()2,,1,2,23,22a m b a b m =-=∴+=-+r r r rQ .()()()()11112,232222a a b m m ⋅+=∴-⨯-+⨯+=r r r Q ，解得12m =-.故选：C .【点睛】本题考查向量的坐标运算及数量积的坐标表示，属于基础题.5.若函数1()sin 22f x x x =+在[]2,πα上单调递增，则α的最大值为（ ）A. 3πB.52πC.73π D.136π【答案】D 【分析】由三角恒等变换化简函数解析式，求出正弦函数的单调增区间，即可得出α的最大值. 【详解】由题意可得()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令22,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得52266k x k k Z ππππ-≤≤+∈，，令1k =，得71366x ππ≤≤，所以α的最大值为136π. 故选：D【点睛】本题主要考查了利用正弦型函数的单调性求参数的范围，属于中档题.6.某校图书馆最近购买了6本不同的数学课外书，其中2本适合小学生，2本适合初中生，2本适合高中生.一位老师随机借阅了其中3本，则这3本书恰好分别适合小学生、初中生、高中生阅读的概率为（ ） A.15B.25C.815D.35【答案】B 【分析】6本不同书中借阅3本有36=20C 种方法，其中3本书恰好分别适合小学生、初中生、高中生阅读的结果数为111222=8C C C ，然后利用古典概率的计算公式可求得结果.【详解】解：根据题意，从6本书中借阅3本的结果数为36C ，这3本书恰好分别适合小学生、初中生、高中生阅读的结果数为111222C C C ，所以所求概率为1112223625C C C P C ==. 故选：B 【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7.已知函数()3f x x =，23log 4a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，44log 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.c b a << B.a b c << C.c a b <<D. a c b <<【答案】C 【分析】由对数的运算性质得出124244log log 55⎛⎫= ⎪⎝⎭，比较1223,,4534⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小，结合幂函数的性质得出()f x 的单调性，利用单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系.【详解】1224224log 445log log 5log 45⎛⎫== ⎪⎝⎭，4949165<<，所以12233445⎛⎫ ⎪⎝⎭<< 因为()f x 在(,)-∞+∞上单调递增所以224234log log log 345<<，所以c a b <<. 故选：C【点睛】本题主要考查了利用幂函数的单调性比较大小，属于中档题.8.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 为C 的右支上一点，且12MF MF ⊥，21MF ≥，则双曲线C 的离心率的最小值为（ ）A.B.1C. 3D.1【答案】B 【分析】设12MF F θ∠=，12cos MF c θ=，22sin MF c θ=，由21MF ≥，得出,64ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，由双曲线的定义以及离心率公式得出11cos sin 4c e a πθθθ===-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后余弦函数的性质得出双曲线C 的离心率的最小值.【详解】设12MF F θ∠=，12cos MF c θ=，22sin MF c θ=因为21MF ≥，且21MF MF <，所以tan 13θ≤<，则,64ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 所以122cos 2sin 2MF MF c c a θθ-=-=所以11cos sin 4c e a πθθθ===-⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 因为51242πππθ≤+<，所以当6πθ=时，4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以1e ≥，所以双曲线C1.故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的性质和离心率，涉及了三角函数的性质，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.产能利用率是工业总产出对生产设备的比率，反映了实际生产能力到底有多少在运转发挥生产作用.汽车制造业的产能利用率的正常值区间为79%~83%，称为“安全线”.如图是2017年第3季度到2019年第4季度的中国汽车制造业的产能利用率的统计图.以下结论正确的是（ ）A. 10个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度有5个B. 10个季度中，汽车产能利用率的中位数为78.75%C. 2018年4个季度的汽车产能利用率的平均数为79.9%D. 与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是2019年第4季度 【答案】AC 【分析】由统计图可知，产能利用率低于“安全线”的季度为图表中的后5个季度，可知A 正确；对这10个数据从小到大（或从大到小）排列后求第5个和第6个的平均数可得其中位数；利用平均数的定义直接求平均数，由图可知汽车产能利用率变化最大的是2018年第1季度 【详解】10个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度为2018年第4季度到2019年第4季度， 共5个季度，A 正确；10个季度中，汽车产能利用率的中位数为79.6%78.5%79.05%2+=，B 错误；由图可知，2018年4个季度的汽车产能利用率的平均数为80.7%81.4%79.6%77.9%79.9%4+++=，C 正确；与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是2018年第1季度，与上一季度相差2.9%， 而2019年第4季度与上一季度相差2.4%，D 错误. 故选：AC 【点睛】本题考查统计中中位数、平均数等相关知识，考查学生识图能力，数据分析能力，是一道容易题.10.对于6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项B. 展开式中的常数项是-240C. 展开式中各项系数之和为1D. 展开式中的二项式系数之和为64【答案】CD 【分析】A 项，二项式()na b +的展开式共有1n +项；B 项，求出6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项1r T +，令x 的指数为0，求出r ，代入1r T +，即得常数项；C 项，令1x =，代入6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即得展开式中各项系数之和；D 项，二项式()na b +的展开式中的二项式系数之和为2n .【详解】6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式共有7项，故A 错误；6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为666316621(2)(1)2rr r r r r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令630,2r r -=\=，展开式中的常数项为2426(1)2240C -=，故B 错误；令1x =，则展开式中各项系数之和为()62111⨯-=，故C 正确；6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的二项式系数之和为6264=，故D 正确. 故选：CD .【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题. 11.已知数列{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则（ ）A. n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B. {}n a 为递增数列C.{}n a 的前n 项和1(1)24n n S n +=-⋅+D. 12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和22n n n T +=【答案】BD 【分析】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以可知数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而可求出12n n a n +=⋅，可得数列{}n a 为递增数列，利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和，由于111222n nn n a n n +++⋅==，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【详解】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的 等比数列，故A 错误；因为11422n n na n-+=⨯=，所以12n n a n +=⋅，显然递增，故B 正确； 因为23112222n n S n +=⨯+⨯++⋅L ，342212222n n S n +=⨯+⨯++⋅L ，所以231212222n n n S n ++-=⨯+++-⋅L ()22212212nn n +-=-⋅-，故2(1)24n n S n +=-⨯+，故C 错误；因为111222n n n n a n n +++⋅==，所以12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2(1)22nn n n n T ++==， 故D 正确. 故选：BD 【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n 项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 12.已知抛物线C ：()220ypx p =>的准线经过点()1,1M -，过C 的焦点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则下列结论正确的是（ ） A. 2p =B.AB DE +的最小值为16C. 四边形ADBE 的面积的最小值为64D. 若直线1l 的斜率为2，则90AMB ∠=︒【答案】ABD 【分析】由准线的概念可得p ，设直线1l 的斜率为()0kk ≠得直线1l 的方程，与抛物线方程联立方程组消元后，应用韦达定理得1212,x x x x +，由抛物线焦点弦长公式可得AB ，直线2l 斜率为1k-，同理可得CD ，利用基本不等式可判断B ，C ，计算MA MB ⋅u u u r u u u r，代入1212,x x x x +可判断D ． 【详解】 由题可知12p=，所以2p =，故A 正确. 设直线1l 的斜率为()0kk ≠，则直线2l 的斜率为1k-.设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ，直线1l ：()1y k x =-，直线2l ：()11y x k=--.联立 24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 整理得()2222240k x k x k -++=，所以212224k x x k ++=， 121=x x .所以2122224424k AB x x p k k+=++=+=+. 同理223421242441k DE x x p k k ⨯+=++=+=+， 从而2218416AB DE k k ⎛⎫+=++≥⎪⎝⎭，当且仅当1k =±时等号成立，故B 正确. 因为()22118112ADBE S AB DE k k ⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭四边形3232≥=，当且仅当1k =±时等号成立，故C 错误.()()11221,11,1MA MB x y x y ⋅=+-⋅+-u u u v u u u v()1212121211x x x x y y y y =++++-++，将123x x +=，121=x x 与122y y +=，124y y =-代入上式，得0MA MB ⋅=u u u r u u u r，所以90AMB ∠=︒，故D 正确.故选：ABD ．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的焦点弦长，掌握抛物线的焦点弦长公式是解题关键．抛物线22(0)y px p =>的焦点弦AB 的两端点为1122(,),(,)A x y B x y ，则12AB x x p =++．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+ 设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 14.已知42παβ=-，3cos 5α=，则sin 2β=______. 【答案】35【分析】 由42παβ=-，得出22πβα=-，所以sin 2sin 2πβα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式进行化简，即可得出答案. 【详解】解：由题可知，42παβ=-，则22πβα=-，∴3sin 2sin cos 25πβαα⎛⎫=-==⎪⎝⎭.故答案为：35. 【点睛】本题考查运用诱导公式进行化简求值，属于基础题.15.海南盛产各种名贵树木，如紫檀、黄花梨等.在实际测量单根原木材体积时，可以检量木材的实际长度（检尺长）和小头直径（检尺径），再通过国家公布的原木材积表直接查询得到，原木材积表的部分数据如下所示：若小李购买了两根紫檀原木，一根检尺长为2m ，检尺径为10cm ，另一根检尺长为2.5m ，检尺径为20cm ，根据上表，可知两根原木的材积之和为______3m . 【答案】0.111 【分析】由图表找到对应的数据，直接求和即可.【详解】根据图表，检尺长为2m ，检尺径为10cm 的原木的材积为30.019m ，检尺长为2.5m ，检尺径为20cm 的原木的材积为30.092m ，则材积之和为30.111m . 故答案为：0.111【点睛】此题考查了学生由统计表处理数据的能力，属于基础题.16.一个封闭的正方体容器的外接球的表面积为212m ，则其棱长为______m ；若该容器里面有34m 的水，将该容器任意旋转，当容器里水面的高度最大时，水面对应的平面图形的周长为______m . 【答案】 (1). 2 (2). 【分析】设该容器的外接球的半径为R .由外接球的表面积，可求出R .又正方体的体对角线的长为其外接球的直径，可求其棱长.正方体容器旋转的新位置的最大高度为正方体的体对角线的长，故容器里的水面平行于水平面，且水面过正方体的体对角线的中点.，即求水面对应的平面图形的周长.【详解】设该容器的外接球的半径为R . 由题意，2412R ππ=，∴R =.设正方体的棱长为a .2a =∴=.∴正方体的体积为8，水的体积是正方体体积的一半.又正方体容器旋转的新位置的最大高度为正方体的体对角线的长，∴容器里水面的最大高度为正方体的体对角线长的一半，且容器里的水面平行于水平面. 设正方体为1111ABCD A B C D -，O 为1BD中点.把点B 放在水平面上，且1BD 垂直于水平面.分别取1AA ，1CC ，11A B ，11B C的中点G ，H ，E 和F .可证1⊥BD EF ，1BD GE ⊥，进而可证1BD ⊥平面GEFH ， ∴平面GEFH 即为水面所在的位置.将平面GEFH 延展，与正方体的各个面相交，可得水面对应的平面图形为正六边形，边长为，∴水面对应的平面图形的周长为故答案为：2；【点睛】本题考查几何体的外接球及空间几何体的截面，考查学生的空间想象能力，属于中档题. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =.设F 为线段AC 上一点，CF ，有下列条件：①2c =；②b =222a b c +-=.请从以上三个条件中任选两个，求CBF ∠的大小和ABF V 的面积. 【答案】4CBF π∠=；ABF V 的面积为1【分析】若选①②，则2a c ==，b =23ABC π∠=，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和得出6A C π==，再根据正弦定理求出4CBF π∠=，通过三角形内角和关系求得ABF AFB ∠=∠，则2AF AB ==，最后利用三角形面积公式即可求出ABF V 的面积；若选②③，2a =，b =222a b c +=，可求得2c =，根据余弦定理即可求出6C π=，三角形的内角和得出6A C π==，再根据正弦定理求出4CBF π∠=，通过三角形内角和关系求得ABF AFB ∠=∠，则2AF AB ==，最后利用三角形面积公式即可求出ABF V 的面积；若选①③，则2a c ==，222a b c +-=，由余弦定理可求出6C π=，由a c =，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和得出6A C π==，由三角形内角和关系得出23ABC A C ππ∠=--=，再根据正弦定理求出4CBF π∠=，通过三角形内角和关系求得ABF AFB ∠=∠，则2AF AB ==，最后利用三角形面积公式即可求出ABF V 的面积. 【详解】（解法一）选①②，则2a c ==，b =由余弦定理可得：2221cos 22a cb ABC ac +-∠==-，又()0,ABC π∠∈，∴23ABC π∠=， ∴6A C π==，在BCF V 中，由正弦定理可得sin sin CF BFCBF C =∠，∵CF =，∴sin CBF ∠=， 又23CBF ABC π∠<∠=，∴4CBF π∠=，∴253412ABF πππ∠=-=，5512612AFB ππππ∠=--=， 则在ABF V 中，ABF AFB ∠=∠，∴2AFAB ==，∴122sin 126ABF S π=⨯⨯⨯=△.（解法二）选②③，∵2a =，b =222a b c +-=， ∴2c =，由余弦定理可得：222cos 22a b c C ab +-==， 又()0,C π∈，∴6C π=，∴6A C π==，∴23ABC A C ππ∠=--=， 在BCF V 中，由正弦定理可得sin sin CF BFCBF C=∠，∵CF =，∴sin CBF ∠=. 又23CBF CBA π∠<∠=，∴4CBF π∠=， ∴253412ABF πππ∠=-=，5512612AFB ππππ∠=--=， 则在ABF V 中，ABF AFB ∠=∠，∴2AFAB ==，∴122sin 126ABF S π=⨯⨯⨯=△.（解法三）选①③，则2a c ==，222a b c +=，则：222a b c +-=，由余弦定理可得：222cos 22a b c C ab +-==， 又()0,C π∈，∴6C π=， ∵a c =，∴6A C π==，∴23ABC A C ππ∠=--=， 在BCF V 中，由正弦定理可得sin sin CF BFCBF C =∠，∵CF =，∴sin 2CBF ∠=， 又23CBF CBA π∠<∠=，∴4CBF π∠=， ∴253412ABF πππ∠=-=，5512612AFB ππππ∠=--=， 则在ABF V 中，ABF AFB ∠=∠，∴2AFAB ==，∴122sin 126ABF S π=⨯⨯⨯=△. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形和三角形的面积公式，还涉及三角形的内角和以及等腰三角形的性质，考查运算能力. 18.已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2nSn n =+，在等比数列{}n a 中，11a b =，48a b =.（1）求{}n b 与{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 中去掉{}n a 的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c ，求{}n c 的前20项和.【答案】（1）2nn a =；2n b n =（2）588【分析】 （1）利用11,1,2nnn S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n b 的通项公式.由18,b b 求得14,a a ，由此求出数列{}n a 的公比，进而求得数列{}n a 的通项公式.（2）先判断出()()12201225125c c c b b b a a a +++=+++-+++LL L ，结合等差数列前n 项和公式以及等比数列前n 项和公式，求得{}n c 的前20项和.【详解】（1）∵2n S n n =+，∴当2n ≥且*n N ∈时12n n n b S S n -=-=. 又112b S ==也符合上式，∴2n b n =. ∵112a b ==，4816a b ==， ∴等比数列{}n a 的公比为2，∴2nn a =.（2）∵12a =，24a =，38a =，416a =，532a =，2550b =，∴()()12201225125c c c b b b a a a +++=+++-+++LL L()12525222S =-+++L()52212252512-=+--65062588=-=.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式与前n 项和，属于基础题.19.近几年，中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植和销售红玫瑰和白玫瑰.该农户从去年的销售数据中随机抽取了红玫瑰10天的销量数据如下（单位：枝）： 615，575，625，590，600，600，570，615，580，630. （1）求这10天红玫瑰销量的平均数x 和方差2s ； （2）若这个大棚红玫瑰的日销量X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ，2σ可分别用（1）中的x 和2s 代替，白玫瑰的日销量Y 服从正态分布()2280,40N ，又已知红玫瑰的售价为2元/枝，白玫瑰的售价为4元/枝，预计今年哪种玫瑰的日销售额超过1280元的天数更多. 【答案】（1）x =600=，2s =400.（2）预计今年白玫瑰的日销售额超过1280元的天数更多【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式，计算出平均数和方差. （2）由（1）求得()2~600,20X N ，首先求得,X Y 的范围，然后根据正态分布的对称性以及3σ原理，判断出(640)(320)P X P Y ><>. 【详解】（1）由条件可知，1(615575625590600600570615580630)10x =+++++++++ 600=，()222222222115252510003015203010s =+++++++++ 400=.（2）由（1）可知()2~600,20X N .若红玫瑰的日销售额超过1280元，则需640600220X >=+⨯. 若白玫瑰的日销售额超过1280元，则需320280140Y>=+⨯.根据正态分布的特征可知(640)(320)P X P Y ><>，即白玫瑰的日销售额超过1280元的概率更大，故预计今年白玫瑰的日销售额超过1280元的天数更多. 【点睛】本题考查样本的数字特征和正态分布，属于中档题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAP BAD ∠=∠=︒，E 是棱BC 的中点，2AF FP =u u u r u u u r .（1）证明：//PC 平面DEF ； （2）设O 是线段AB 的中点，且PO ⊥平面ABCD ，求二面角F DE A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）53737【分析】 （1）连接AC ，交DE 于点G ，连接FG ，通过证明//PC FG ，证得//PC 平面DEF .（2）建立空间直角坐标系，通过平面DFE 和平面AED 的法向量，计算出二面角F DE A --的余弦值. 【详解】 （1）如图，连接AC ，交DE 于点G ，连接FG .易知~AGD CGE △△，所以2AG ADGC EC==. 由2AF FP =u u u r u u u r可得2AFFP=， 所以//PC FG .又FG ⊂平面DEF ，PC ⊄平面DEF ，所以//PC 平面DEF . （2）因为PO ⊥平面ABCD ，所以PO AB ⊥，又O 是线段AB 的中点，所以PA PB =.因为60BAP BAD ∠=∠=︒，故ABP △，ABD △均是等边三角形. 连接OD ，易知PO OD ⊥，⊥OD AB . 如图，以O 为原点，OA u u u r ，OD uuu r ，OP uuur 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系.不妨设2AB =，则()1,0,0A ，()3,0D ，(3P ，()1,0,0B -，1233F ⎛ ⎝⎭. 由AD BC =u u u r u u u r，得()3,0C -，所以BC的中点33,,022E⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以33,,022DE⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u r，123,3,33DF⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r.设平面DFE的一个法向量为()1111,,n x y z=u r，则11DF nDE n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u vu u u v u v，即111111233033322x y zx y⎧-+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩.得方程组的一组解为1111353xyz⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，即1531,3,n⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭u r.又平面AED的一个法向量为()20,0,1n=u u r，所以12121253537325133cos,n nn nn n⋅=⋅==++u r u u ru r u u ru r u u r.所以二面角F DE A--的余弦值为53737.【点睛】本题考查线面位置关系及二面角的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21.已知函数()()lnf x x x ax a R=-∈.（1）讨论()f x在()1,+∞上的单调性；（2）当1a=时，求()()cosF x f x x=+在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的零点个数.【答案】（1）当1a≤时，()f x在()1,+∞上单调递增；当1a>时，()f x在()11,a e-上单调递减，在()1,ae-+∞上单调递增（2）有1个零点【分析】 （1）求得()f x 的导函数()'f x ，对a 分成1a ≤和1a >两种情况，分类讨论()f x 的单调性.（2）当1a =时，利用()F x 的二阶导数判断出一阶导数()'F x 的单调性，结合零点存在性定理求得()'F x 的零点，由此判断出()F x 的单调区间，再结合零点存在性定理，判断出()F x 在区间上的零点个数.【详解】 （1）因为()ln f x x x ax =-，所以()'ln 1f x x a =+-.因为()1,x ∈+∞，所以ln 0x >.①当10a -≥，即1a ≤时，()'0f x >，所以()f x 在()1,+∞上单调递增.②当10a -<，即1a >时，令()'ln 10f x x a =+-=，得1a x e -=.当()11,a x e -∈时，0ln 1x a <<-，所以()'0f x <， 当()1,a x e -∈+∞时，ln 1x a >-，所以()'0f x >，所以()f x 在()11,a e -上单调递减，在()1,a e -+∞上单调递增.综上所述，当1a ≤时，()f x 在()1,+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在()11,a e -上单调递减，在()1,a e -+∞上单调递增. （2）当1a =时，()ln cos F x x x x x =-+，则()'ln sin F x x x =-.设()ln sin hx x x =-，则()1'cos h x x x=-. 当3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()1'cos 0h x x x =->，所以()'F x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 因为33'1ln 022F ππ⎛⎫=+>⎪⎝⎭，'ln 1022F ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以存在03,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0'0F x =， 且在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上()F'0x <，()F x 单调递减，在03,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上()'0F x >，()F x 单调递增. 所以()0Fx 为()F x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值.又因为333ln 10222F πππ⎛⎫⎛⎫=->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ln 10222F πππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()Fx 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有1个零点. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的零点，考查零点存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22.已知点O 为坐标原点，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，P 为椭圆C 上一点，椭圆C 上异于P 的两点A ，B 满足AFO BFO ∠=∠，当PF 垂直于x 轴时，32PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线PA ，PB 分别与x 轴交于点(),0M m ，(),0N n ，问：mn 的值是否为定值？若是，请求出mn的值；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）是定值；4mn =【分析】（1）根据已知条件得到2,b c a的值，结合222a b c =+求得22,a b ，由此求得椭圆C 的标准方程.（2）根据对称性设出,A B 的坐标，设出P 点的坐标，根据PA PM k k =求得mn 的表达式，化简后求得4mn =为定值.【详解】（1）设椭圆半焦距为c，根据题意可得1c =.当PF 重直于x 轴时，232b PF a ==.因为222a b c =+，由此解得24a =，23b =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由AFO BFO ∠=∠，可得A ，B 关于x 轴对称. 设()11,Ax y ，()11,B x y -，()00,P x y ，易知10x x ≠，10y y ≠，0x m ≠.∵PA PM k k =，∴100100y y y x x x m-=--.∴()100010x x y x m y y --=-，∴()100011001010x x y x y x y m x y y y y --=-=--. 同理，得011010x y x y n y y +=+.∴222201100110011022101010x y x y x y x y x y x y mn y y y y y y -+-=⋅=-+-. 又2200143x y +=，2211143x y +=，∴2200413y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2211413y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∴2222011022220110222210104141334y y y y x y x y mn y y y y ⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===--，为定值. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.。
海南省海口市2019-2020学年中考数学第四次调研试卷含解析
海南省海口市2019-2020学年中考数学第四次调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．小明调查了班级里20位同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成了如图的统计图．在这20位同学中，本学期购买课外书的花费的众数和中位数分别是（）A．50，50 B．50，30 C．80，50 D．30，502．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积为12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为( )A．5 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm3．如图，点D在△ABC边延长线上，点O是边AC上一个动点，过O作直线EF∥BC，交∠BCA的平分线于点F，交∠BCA的外角平分线于E,当点O在线段AC上移动（不与点A，C重合）时，下列结论不一定成立的是（）A．2∠ACE=∠BAC+∠B B．EF=2OC C．∠FCE=90°D．四边形AFCE 是矩形4．为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有()A．1种B．2种C．3种D．4种5．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A ．a+c ＞0B ．b+c ＞0C ．ac ＞bcD ．a ﹣c ＞b ﹣c6．如图，等边三角形ABC 的边长为3，N 为AC 的三等分点，三角形边上的动点M 从点A 出发，沿A→B→C 的方向运动，到达点C 时停止．设点M 运动的路程为x ，MN 2=y ，则y 关于x 的函数图象大致为A ．B ．C ．D ． 7．李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是( )已知：如图，在ABC V 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE //BC ，DF//AC ， 求证：ADE V ∽DBF V ．证明：①又DF//AC Q ，DE //BC Q ②，A BDF ∠∠∴=③，ADE B ∠∠∴=④，ADE ∴V ∽DBF V ．A ．③②④①B ．②④①③C ．③①④②D ．②③④①8．中华人民共和国国家统计局网站公布，2016年国内生产总值约为74300亿元，将74300亿用科学计数法可以表示为( )A ．1074310⨯B ．1174.310⨯C ．107.4310⨯D ．127.4310⨯9．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x 人，物价为y 钱，以下列出的方程组正确的是( )A．8374y xy x-=⎧⎨-=⎩B．8374y xx y-=⎧⎨-=⎩C．8374x yy x-=⎧⎨-=⎩D．8374x yx y-=⎧⎨-=⎩10．下列计算正确的是（）A．3a2﹣6a2=﹣3B．（﹣2a）•（﹣a）=2a2C．10a10÷2a2=5a5D．﹣（a3）2=a611．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（）A．1000（1+x）2＝1000+440 B．1000（1+x）2＝440C．440（1+x）2＝1000 D．1000（1+2x）＝1000+44012．抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（）A．（﹣2，5）B．（﹣2，﹣5）C．（2，5）D．（2，﹣5）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF，连接AE，EF．若AB=2，AD=3，则tan∠AEF的值是_____．14．如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是36，则它的表面积是_______.15．如图，在△ABC中，AB=AC=25，BC=1．点E为BC边上一动点，连接AE，作∠AEF=∠B，EF 与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点F．当EF⊥AC时，EF的长为_______．16．如果正比例函数y=(k-2)x 的函数值y 随x 的增大而减小，且它的图象与反比例函数y=k x 的图象没有公共点，那么k 的取值范围是______．17．月球的半径约为1738000米，1738000这个数用科学记数法表示为___________．18．在实数范围内分解因式：226x - =_________ 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）先化简，再求值：13a -﹣219-a ÷126-a ，其中a ＝1． 20．（6分）如图，四边形AOBC 是正方形，点C 的坐标是（42，0）．正方形AOBC 的边长为 ，点A 的坐标是 ．将正方形AOBC 绕点O 顺时针旋转45°，点A ，B ，C 旋转后的对应点为A′，B′，C′，求点A′的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；动点P 从点O 出发，沿折线OACB 方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q 从点O 出发，沿折线OBCA 方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t 秒，当它们相遇时同时停止运动，当△OPQ 为等腰三角形时，求出t 的值（直接写出结果即可）．21．（6分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m 2？22．（8分）先化简，22211121x x x x x x x --+⋅-++，其中x ＝12． 23．（8分）已知点P ，Q 为平面直角坐标系xOy 中不重合的两点，以点P 为圆心且经过点Q 作⊙P ，则称点Q 为⊙P 的“关联点”，⊙P 为点Q 的“关联圆”．（1）已知⊙O 的半径为1，在点E （1，1），F （﹣123，M （0，-1）中，⊙O 的“关联点”为______；（2）若点P（2，0），点Q（3，n），⊙Q为点P的“关联圆”，且⊙Q的半径为5，求n的值；（3）已知点D（0，2），点H（m，2），⊙D是点H的“关联圆”，直线y＝﹣43x+4与x轴，y轴分别交于点A，B．若线段AB上存在⊙D的“关联点”，求m的取值范围．24．（10分）如图1，一枚质地均匀的正六面体骰子的六个面分别标有数字，，，，，，如图2，正方形的顶点处各有一个圈，跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子朝上的那面上的数字是几，就沿正方形的边按顺时针方向连续跳几个边长。
2019-2020年高三下学期第四次月考数学理试题含答案
2019-2020年高三下学期第四次月考数学理试题含答案一. 选择题（每小题5分，共50分） 1.设全集是实数集 R,,,则（ ） A. B. C. D.2•已知向量，，贝U 可以为（） A.B •C •D •3. 已知命题命题，则 （ ） A.命题是假命题 B. C.命题是假命题D.4. 正项等比数列中，若，则等于 （）的销量为（）零售价（元/瓶）销量（瓶）50 44 43 40 35 28A.-16B. 10C. 16D.2565.某小卖部销售一品牌饮料的零售价（元/瓶）与销量（瓶）的关系统计如下:已知的关系符合线性回归方程 其中 •当单价为元时，估计该小卖部销售这种品牌饮料命题是真命题 命题是真命题A •B •C • 6.执行如图所示程序框图，则输出的 A. B. xx C.) D. xx7•若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体外接球的表面积是（ A.8. 占八、、A. ） 6 B • C. 过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线 ，若，且则双曲线的离心率为（B. C. D.D •FE 交该双曲线右支于 ）9.函数，关于x 的方程曲）5曲）°恰有三个不同实数解，则实数的取值范围为（10. 若存在满足且为常量）的变量使得表达式有最大值，则的取值范围是A. B. C. D.二.填空题（每小题5分，共25分）11. 设是虚数单位，复数12. 已知圆尸（工网E） l|rn >0）与直线相交于、两点，则当的面积为时，实数的值为________ .13. 将6名教师全部安排去开发四门课程，要求每门课程至少有一名教师开发，每名教师只开发一门课程，且这6名中甲、乙两人不开发课程，则不同的安排方案共有_______________ 种（用数字作答）.考生注意：14、15、16三题选做两题.14. 如图，圆的直径与弦交于点，，，则________ .15 •已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程（3x = -|i + 2.是,y=5*（为参数）•设直线与轴的交点是，是曲线一动点，则的最大值为___________ .16. 不等式的解为.三.解答题（共75分）17. 某种食品是经过、、三道工序加工而成的，、、工序的产品合格率分别为、、.已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；有两道合格为二等品；其它的为废品，不进入市场.（I）正式生产前先试生产1袋食品，求其为废品的概率；（n）设为某件产品在三道加工工序中合格的次数，求的分布列和数学期望.18. 如图，菱形的边长为，对角线交于点，.（1）求证：;（2）若，上一点满足，求直线与平面所成角的正弦值19. 已知向量，.(1)当时，求的值；(2)设函数，已知在中，内角的对边分别为，若，，求()的取值范围20.已知V bn ln ul /( t) ：i-l 处的切线为(I) 求的值；(II) 若的极值；(II)设，是否存在实数(，为自然常数)时，函数的最小值为3.21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，两个顶点分别为过点的直线交椭圆于两点, 直线与的交点为.(1)求实数的值；（3）求证：点 在一条定直线上.22.已知数列的前项和为且 '（1） 求数列的通项公式11 1»a +3 3Z “还（2） 设求证： 込％心&兔1叭%21时，若椭圆上恰有两个点使得和的面积为，求的取值范围;重庆市巴蜀中学高XX 级高三（下）第四次月考数学答案.选择题 AADCD BCBDA .填空题 11. 12. 13. 14. 15. 16.10.解：设过点的直线与轴的正半轴分别交于点，点为坐标原点，且设，则有■,而f(ff) =l+m + wi- ------- ~2_^ -------------- 务 --- 2^. = 1十 曲 一 nrtann - V tr3 V . 2 cr 2 on —cos —cos -------- SD —2 2 2 21-f2=+—— 二2 + 2祈一[喊40 + ——]令那么，要使有最大值，必有在上有最小值，因为2 [ 2 . _____________ + ---- > 2 祕纤 D ---- = 2 血云当且仅当时等号成立，根据的范围可求得17.解：(I)为废品的概率 (n)甩“二Q -纭Q -亠(1一3)二丄4 35 60fl(^ = l) = -x-x- 4 3 5 I 2 1 I 1 4 +-X-X-+-X-X-4 35 4 3 5 20 1 2 4 3 1 4 J 2 1 13 -x-x-+-x-x-+-x-x-=—4 35 4 3 5 4 3 5 30.^=^—+ 2x —+3x-^ —20 30 5 6018.解析：（1）略 （2）建系如图所示： 梵珂-厉厂丽二（0厂M ）设r+y-Jr + //（和）1十曲+呎门<#\ +设平面BCE 的法向量为，则取,AF - n灯耳11.设直线AF 和平面BCE 所成的角为，贝U sin 三可以看出，当时，函数有极小值(皿)机Q 代© g(v) V hit In v 11 (r ? f 1) m In r血(i)五=A(fi) = £»-l-la=:-①当时，，所以在上单调递减， (舍)②当时,,(i)当时，，在上恒成立風©區二凤即=眩一1=戈關二一所以在上单调递减，(舍)(ii)当时，，当时，所以在上递减 当时，在上递增V ail 瓦二一cosJC * an x-0,/. Ian r=—4 42・- cos 2x-2sinxcosr l-2laix 8CDS JC —sm 2x= J ---------------------- , -------- = ------------ J —=- sinx fcos x 1+tan x 5 =2(盘 = &rin(2x+兰)(2) ^ ' +:—] 可得鈕ji =由正弦定理得sin J?v XE [0,—],/. 2x+ — e[— s因为，所以， -</(i) + 4ais(2A+-)<^/2-l19.解析：(1) 或ff -4込2当4所以^ .20.解：(I )易得 (n )时,定义域为极小值XJCcos则所以，所以满足条件•综上，存在使时有最小值。
2020届海南省海南中学高三第四次月考数学试题(解析版)
设 ，即 ，
， ，
设 ，
则 ，
令 ，则 ，
单调递增，又 ，
当 时， ，即 ，
则 在 上单调递减；
当 时， ，即 ，
则 在 上单调递增；
所以 取得极小值，也是最小值，
，
即 的最小值为 .
故选： .
【点睛】
本题考查利用导数求解函数的最值，关键是能够将所求最值转化为关于第三个变量的函数的形式，通过导数确定函数的单调性，进而确定最值点.
【详解】
， ，解得： ， .
对于 ， 的虚部为 ， 错误；
对于 ， ， 正确；
对于 ， 的共轭复数为 ， 正确；
对于 ， 对应 ，不在第四象限， 错误.
故选： .
【点睛】
本题考查复数相关定义的辨析，涉及到复数虚部定义、模长求解、共轭复数定义和对应点的坐标；关键是能够利用复数相等和复数乘法运算求得复数.
【点睛】
本题考查符合条件的集合个数，一般将符合条件的集合列举出来即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
2．下列函数中，与函数 有相同定义域的函数是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据函数定义域的要求分别判断已知和选项中的函数的定义域即可得到结果.
【详解】
函数 的定义域为 ，
对于 ， 的定义域为 ， 错误；
8．在等比数列 中，已知 ，且 ，则正整数 的值为（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】可验证出当公比 时不合题意；当 时，由等比数列求和公式可构造方程求得公比，结合等比数列通项公式可求得结果.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，
当 时， ， ， ，即 ，不合题意；
海南中学2021届高三第一学期第四次月考数学试题及答案
海南中学2021届高三第四次月考数学试题卷满分：150 分 考试时间：120 分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{(,)|2}A x y x y =+=，{}2(,)|B x y y x ==，则AB =（ ）A.{(1,1)}B.{(2,4)}-C.{(1,1),(2,4)}-D.∅2. 已知(,)a bi a b +∈R 是11ii -+的共轭复数，则a b +=（ ） A.1- B.12- C.12D.13. 3.设向量(1,1)=a ，(1,3)=-b ，(2,1)=c ，且()λ-⊥a b c ，则λ=( )A.3B.2C.2-D.3-4. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1．且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下6个环所需的最少移动次数为（ ）A ．13B ．16C ．31D ．645. 已知,,2⎪⎭⎫⎝⎛-∈ππα且05sin 82cos 3=++αα，则αtan =（ ） .A 32- .B 35 .C 552- .D 25- 6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，134+30,90,a a S ==设21log 3n n b a =，那么数列{}n b 的前15项和为( )A ．16B ．80C ．120D ． 1507. 已知3223ln 2ln 3,log ,23a b c ===，则（ ） .A b c a >> .B a c b >> .C c b a >> .D b a c >>8. 对于函数y= f(x)，若存在区间[a,b]，当x ∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0)，则称y=f(x)为k 倍值函数.若f(x)=e x+3x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是( ) A. (e+1e，十∞) B.(e+2e,十∞) C.(e+2, +∞) D.(e+3, +∞)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．MA MB MC ==B ．MA →+MB →+MC →=0→C ．CM →=13CA →+23CD → D ．BM →=23BA →+13BD →10. 已知函数f(x)=sin(3x+φ)(22ππφ-<<)的图象关于直线4x π=对称,则( )A. 函数()12f x π+为偶函数B. 函数f(x)在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递増 C. 若|f(x 1)−f(x 2)|=2,则|x 1−x 2|的最小值为3πD. 函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=−sin3x 的图象11. 下列说法中正确的是（ ）.A 若数列{}n a 前n 项和n S 满足12+=n S n ，则12-=n a n.B 在等差数列{}n a 中，满足1016S S =，则其前n 项和n S 中13S 最大.C 在等差数列{}n a 中，满足35=a ，则数列{}n a 的前9项和为定值 .D 若2tan =x ，则542sin =x 12. 关于函数f(x)=e x + sinx, x ∈(-π, +∞)，下列结论正确的有( )A.f(x)在(0, +∞)上是增函数B.f(x)存在唯一极小值点x 0C.f(x)在(-π, +∞)上有一个零点D.f(x)在(-π, +∞)上有两个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数()⎩⎨⎧<≥+=.0,3,0,122x x x x x f 若f (x 0)＝27，则实数x 0的值为 .14. 若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是 .15. 已知三边c b a 、、为△ABC 的三个内角C B A 、、的对边，向量()1,3m →=-，向量()A A n sin ,cos =→，若→→⊥n m ，且C c A b B a sin cos cos =+，则角=B .16. 设,n n S T 分别为等差数列，的前项和，且211n n S n T n -=+.设点是直线外一点，点是直线上一点，且178a a AP AB ACb λ+=+，则实数的值为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸l ，河岸l 边有一烟囱AB(不计B 离河岸的距离)，河的另一侧是以O 为圆心，半径为12米的扇形区域OCD ，且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧的交点为E.经测{}n a {}n b n A BC P BC λ量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为 45° ，30°，和60°． (1)求烟囱AB 的高度；(2)如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．18. 设{a n }是等差数列，(n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 5＝a 3＋a 5，b 7＝a 4＋2a 6. (1)求S n 与a n ；(2)若n n c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .19. 已知向量3sin 22a x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，b ＝（sinx ，cosx ），f （x ）＝a b ⋅．（1）求f （x ）的最大值及f （x ）取最大值时x 的取值集合M ； （2）在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边,若24C M π+∈，求a b的取值范围.20. 已知函数32()22a f x x x bx =-++. （1）若函数()f x 在点（1，f(1)）处的切线方程为3210x y -+=，求,a b 的值； （2）当02,0a b ≤≤=时，记函数()f x 在区间[]0,1上的最大值为M ，最小值为N,求M-N 的最大值.21. 已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，12a =，0n a >且21112n n n S S a ++=+，其中*N n ∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设 11212n a n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11(2)n c n n =++，*123()n n S c c c c n N =⋅⋅∈，记数列1n n n b b nS +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：38nT ≥.22. 已知()ln f x x =，213()22g x ax x =-+，()()()h x f x g x =+. （1）当2a =-时，求()h x 的单调区间；（2）若()h x 存在两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：12121()()(2)()2h x h x a x x -<--.海南中学2021届高三第四次月考试题数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 22 小题，共 150 分，考试时间 120 分钟。
海南中学2020届高三第四次周考试卷
若获得一等奖的是D，则只有甲同学说的话对.故获得一等奖的作品是B.
答案B
14.若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为____.
答案
【解析】根据题意，分2步分析：
①先从5个人里选2人，其位置不变，有 种选法，
②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，
当k＜0时，k2x＋k＋1＝k(kx＋1)＋1＞0，无零点；
(4)当x≤0，kx＋1＞0时，y＝f(f(x))＋1＝ln(kx＋1)＋1.
当k＞0时，有一个零点x＝ ；
当k＜0时，无零点.
综上，当k＞0时，有4个零点，当k＜0时，只有一个零点.
答案AD
二、填空题。
13.学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下，
∴cosC＝ .
(2)∵c＝4，2b＝3c，∴b＝6.
∵C∈(0，π)，∴sinC＝ ＝ ，
sinB＝sin 2C＝2sinCcosC＝ ，
cosB＝cos 2C＝cos2C－sin2C＝ ，
sinA＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)
＝sinBcosC＋cosBsinC＝ × ＋ × ＝ .
∴S△ABC＝ bcsinA＝ ×6×4× ＝ .
记 ①
则 ②
② ①得， ，
所以
.………………12分
19.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4).
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；