高数线代

高数（上册）期末复习要点第一章：1、极限，基本上极限用洛必达法则和两个重要极限去求，实在求不出来可以采用夹逼准则，但是要注意用洛必达和两个重要极限时候的形式，不要套错了。

2、连续，一般是考用定义证明一个函数连续，不会太难，基本上就是习题集上的哪几种类型，关于证明的问题，一般不容易去想，所以必要时候，需要背诵下，考原题可能性很大，还有就是判断间断点类型，这个考的可能性不大，但也算考点第二章：1、导数首先考点还是用定义证明一个函数是否可导，连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则求导公式微分公式熟练掌握第三章：1、微分中值定理，还是会考到证明题，有时候形式会变，虽然不是证明题，但是需要证明的过程才能求出答案，基本都是考拉格朗日中值定理的形式比如在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，先用拉格朗日中值定理处理一下再说2、洛必达法则3、泰勒公式4、函数凹凸性、极值这是高中的东西，不要怎么复习，5、曲率公式曲率半径这些考个选择填空的很正常，所以需要牢记公式第四章、第五章：积分、不定积分：这个不需要说太多，重点内容，必考大题，所以，这块内容的复习唯一的办法就是把练习册的题都做了，都学会，其实需要花费的时间并不是很长，先把课本上的例题公式看懂，再看练习册就很简单了。

诸如两类换元法（变dx/变前面）、分部积分法（注意加C ），最好都自己推导一遍，好记。

反常积分就是一种极限形式，前面的明白了，这里看下就懂了。

还有事积分中值定理，这个注意下，有时候题解不出来可以从这里入手第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长高数解题技巧。

（高等数学、考研数学通用）第七章：微分方程，各种类型的微分方程求解，基本上前面几节讲的内容，都是根据原理解方程，后面的大多数讲的都是套公式，所以，牢记公式，尤其注意公式的形式，不要套错了去年我们考的是一阶线性非齐次微分方程和二阶常系数非齐次e的x次方型，具体今年考哪个到时候一般老师会告诉重点，根据重点复习，太难的，拿什么去衡量难度，就三方面，问老师、从历年试题里面看、看习题集。

另外非常重要的东西是习题集后面有几套综合试题，那都是历年的高数考题，必须看而且必须得全部懂。

实在不懂得记下答案也行。

附上去年高数的17个考点：1判定分段函数在分段点的连续性和可导性2 零点定理，罗尔定理的应用，（在解决考题时，这两个定理比拉格朗日中值定理好用）3参数方程及隐函数求导4函数单调性与极值5不等式证明6利用洛必达法则求极限7原函数与不定积分的概念8不定积分的换元与分部积分法9利用定积分求极限10定积分的性质（奇偶性、原函数奇偶性）11分段函数的定积分计算12变限函数的求导13定积分计算14无穷限的不定积分计算15平面曲线所围面积及旋转体体积16一阶线性非齐次微分方程求解17二阶常系数非齐次微分方程（解形式为e的x次方）西南交通大学2011－2012学年第(1)学期考试试卷课程代码6010500 课程名称 线性代数 考试时间 90分钟一、 单项选择题（每小题5分，共20分）。

1．已知四阶行列式4D 第1行的元素依次为1,2,1,1--，它们的余子式依次为2,2,1,0-，则4D 值为( A )。

（A ）5； （B ）3；（C ）5-；（D ）3-。

2．已知n 阶方阵111011001A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则A的所有元素的代数余子式和（B ）（A ）0； （B ）1； （C ）1-； （D ）2。

3. 设n 阶方阵,,A B C 满足关系ABC E =，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有（D ）（A ）ACB E =； （B ）CBA E =；（C ）BAC E =；（D ）BCA E =。

4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =则A 和B 的秩（ B ）。

姓 名订线 密封装订线（A ）必有一个等于零； （B ）都小于n ；（C ）一个小于n ，一个等于n ； （D ）都等于n 。

二、 填空题（每小题5分，共20分）。

1.设A 是n 阶矩阵，A*是A 的伴随矩阵，若A a =，B b =，则行列式2A O BA*=2n n a 。

2. 若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且四阶行列式1231,,,2αααβ=，四阶行列式1223,,,4ααβα=，则四阶行列式3221122,,,ααααββ++= 4 。

3. 设n 阶方阵A 满足23A A O +=，则()12A E -+=()12A E + 。

4. 设2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭, E 为2阶单位矩阵，矩阵满足2BA B E =+，则B = 2 。

三、 解答下列各题（每小题8分，共40分）。

1. 求行列式x a a aa x a a D a ax a a a a x=的值解：原式12,,00,000k k n x a a a a xx a r r a xx a a xx a=-------…………………….4’12,,(1)000,0000k k nx n aa a a x a C C x a x a=+--+--……………………….6’[]1(1)()n x n a x a -=+--……………………………………………………………………8’2. 设3101806100001A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，130110002A *⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求A 解 由38A =-得2A =-，…………………………………………………2’有AA A E *=可得 ()12A A -*=-…………………………………………...4’()113022110221002A -*⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，………………………………………………….6’ 故130110001A -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭…………………………………………………………8’3. 求矩阵11110112343517a A a ⎛⎫⎪-⎪= ⎪⎪⎝⎭的秩解31411111111120110112340122335170224r r a a a a r r ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭32421111110012200042r r a a a r r a ⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪--- ⎪-⎝⎭…….4’即()()142A a a =--，故当1a ≠且2a ≠时()4r A =。

…………………………….6’当1a =或2a =时()3r A =……………………………………………………………..8’4. 已知矩阵01011111,2011153A B -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，且矩阵X满足X AX B =+，求X解 由题意得()E A X B -=，从而()1X E A B -=-…………………………….2’()213111011,1012010253r r E A B r r--⎛⎫- ⎪-=- ⎪- ⎪-⎝⎭110110*********--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭32r r - 110110111100333--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭313r11011011110111--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭23r r + 110110102000111--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭12r r +100310102000111-⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭，故312011B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭……………………………………………….8’ 5 已知,AP PB =其中100001010B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100210211P ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭，求20A ，解 注意到1P =-，可知P 可逆。

由AP PB =得1A PBP -=………..2’故()()()20111201A PBP PBP PBP PB P ----== ………………………..4’注意到2B E =，可得20A E =………..………………………………….8’四、证明（每小题5分，共10分）。

1设A 不可逆，证明A *也不可逆。

证明：由A 不可逆，可得A A A E O *==……………………………………2’若A*可逆，则有()()11A A A AO --***=，即A O =，则必有A O *=则与A *可逆矛盾，故A *也不可逆。

………………………………………5’2 设A 是5阶矩阵，证明T A A -不可逆。

证明()()TTT T TT A A A AA A-=-=-()T T A A A A =-=--……….…….3’()51T T A A A A --=--，则0T A A -=，故T A A -不可逆。

……………..5’线代期末复习要点第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算即具体行列式，N 阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等），考也都是练习册或者历年试题原题； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）基本的东西就不多说了； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识 一、行列式 行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则，熟练掌握可以验证选择题，比如题设给出n 阶体行列式，算起来复杂，就可以采用一个符合题意的一二三阶行列式，用特殊值法做 二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算加减、数乘、乘法运算的条件、结果； 关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB ＝BA ，称A 、B 是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|以上这些基本定义要烂熟于心，多看课本3．矩阵的秩秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。

4．逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；（3）可逆的条件：（4）逆的求解伴随矩阵法A^-1=(1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵~)②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:A^-1）5．用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（A^-1）B；XB=A，则X=B(A^-1)；AXB=C，则X=(A^-1)C(B^-1)三、线性方程组1．线性方程组解的判定定理：(1) r(A,b)≠r(A) 无解；(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)<n 有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组AX=0(1) r(A)=n 只有零解；(2) r(A)<n 有非零解；再特别，若为方阵，(1)|A|≠0 只有零解(2)|A|=0 有非零解2．齐次线性方程组（1）解的情况：r(A)=n，（或系数行列式D≠0）只有零解；r(A)<n，（或系数行列式D＝0）有无穷多组非零解。