南邮课内实验-运筹学-运输问题-第二次
第二次--运输问题
第二次 运输问题1．运输问题的一般提法设有m 个产地m A A A ,,,21 ，将生产的物资联合运往n 个销地n B B B ,,,21 ；各产地i A 的产量为i a ，各销地j B 的销量为j b ；从i A 产地到j B 销地的单位运价为j i c ，问如何组织运输，可使总的运费最少？如果总的产量=∑=mi i a 1总的销量∑=nj j b 1，则称它为产销平衡运输问题2．产销平衡运输问题的数学模型引入决策变量：用j i x 表示从i A 产地运到j B 销地的物资数量确定目标函数：使总运输费用最少 ∑∑===mi nj j i j i x c Z 11m i n写出约束条件：从i A 产地运出的物资数量应等于i A 产地的物资供应量 即i nj ji a x=∑=1m i ,,2,1 =运到j B 销地的物资数量应等于j B 销地的需求量 即j mi ji b x=∑=1n j ,,2,1 =j i x 取值非负。
说明：① 运输问题是一线性规划问题；② db a x j i j i ⋅=（其中∑∑====nj j m i i b a d 11）是运输问题的一个可行解，从而它有基本可行解；又{}j i j i b a x ,min ≤，故运输问题的任一可行解都是有限的，即可行域有界；因此运输 问题必有有限最优解且最优解同样可在基本可行解处得到。
③ 针对m 个产地n 个销地的产销平衡运输问题，其约束条件中共有n m +个方程，但这 n m +个方程中，任一方程都可以通过其余1-+n m 方程得到。
因此真正有效的方程个数是1-+n m 个，我们可以将多余的一个方程划掉。
这样以来，运输问题的基本可行解中只含1-+n m 个基变量。
④ 当m 和n 取值较大时，引入的决策变量较多，采用表格单纯形法计算量较大，通常采用 表上作业法求解运输问题。
3．求初始调运方案（初始基本可行解）1）左上角方法：从表格中左上角方格所对应的决策变量开始分配运输量，分配时让它取尽可能大的取值。
运筹学-运输问题2
《运筹学》
All Rights Reserved ,Lu Xinyuan (2013)
表上作业法
Page 3
例3.2 某运输资料如下表所示：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
B1 B 2 B 3 B 4 产量
3 11 3 10
7
1
9
2
8
4
7
4 10 5
9
3
6
5
6
问：应如何调运可使总运输费用最小？
15
5´ ù 10
115
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20
15
Page 11
C
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15
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15
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20
15
前一种按最小元素法求得，总运费是 Z1=10×8+5×2+15×1=105
后一种方案考虑到C11与C21之间的差额是8－2=6，先调运x21， 再是x22，其次是x12这时总运费
Z2=10×5+15×2+5×1=85<Z1。
表上作业法
Page 9
元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销 地的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额很大，就选最 小运价先调运，否则会增加总运费。例如下面两种运输方案。
最小元素法：
8 10 5
10
2 5 1 15
20
15
15
总运费是z=10×8+5×2+15×1=105
School of Information Management, CCNU
B1
B2
B3
B4
第二章 运输问题
行 差额
A1 A2 A3
列差额
11 3 10 9 2 8 4 10 5 5 1 2
7 6 2
A1 A2 A3
列差额
11 3 10 9 2 8 4 10 5 5 2 2
10 8 2
1）分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运费的 差额，填入表格的最右列和最下行。 2）从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列中 的最小元素。B2列中的最小元素是4，可确定A3的产品先 满足B2的需要，同时将B2列运价划去。 3）对未划去的元素再分别计算出各行、各列的最小运 费和次最小运费的差额，重新填入表格的最右列和最下行 。重复1）2），直到找到初始调运方案。总运费为85元。 伏格尔法给出的初始解比用最小元素法给出的更接近 最优解。本例用伏格尔法给出的初始解就是最优解。
销地 B1 产地 A1 A2 A3 销量 B2 B3 B 4 产量
销地 产地
B1 B2
B3
B4
行 差额
5
3
6
3 6 5
2 1 3
6
7 4 9
A1 A2 A3
列差额
3 11 3 10 1 9 2 8 7 4 10 5 2 5 1 3
0 1 1
销地 产地
B1 3 1 7 2
B2
B3
B4
行 差额
销地 产地
检验数 1 2
(22)
(24) (31) (33)
(22)－(32)－(34)－(14)－(13) －(23)－(22)
(24)－(14)－(13)－(23)－(24) (31)－(34)－(14)－(13)－(23) －(21)－(31) (33)－(34)－(14)－(13)－(33)
南邮运筹学运输问题实验报告
南邮运筹学运输问题实验报告南邮运筹学运输问题实验报告1.实验目的：本次实验旨在通过针对不同运输问题的建模和解决过程，掌握运筹学在实际运输问题中的应用方法，提高运筹学实践能力。
2.实验内容：本次实验包括两个部分：单源最短路径问题和车辆路径规划问题。
（1）单源最短路径问题：通过建立带权有向图模型，使用Dijkstra算法和Bellman-Ford算法求解从起点到终点的最短路径及其长度。
（2）车辆路径规划问题：通过建立车辆路径规划模型，使用模拟退火算法和遗传算法求解最短路径和最短时间路径。
3.实验结果：（1）单源最短路径问题：使用Dijkstra算法求解起点到终点的最短路径和长度如下图所示：路径：1->3->4->5->7，路径长度为23。
使用Bellman-Ford算法求解起点到终点的最短路径和长度如下图所示：路径：1->3->4->5->7，路径长度为23。
（2）车辆路径规划问题：使用模拟退火算法求解最短路径和最短时间路径如下图所示：最短路径：1->4->5->2->3->1，路径长度为33；最短时间路径：1->3->4->5->2->1，路径时间为15。
使用遗传算法求解最短路径和最短时间路径如下图所示：最短路径：1->4->5->2->3->1，路径长度为33；最短时间路径：1->3->4->5->2->1，路径时间为15。
4.实验结论：本次实验通过求解单源最短路径问题和车辆路径规划问题，掌握了Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、模拟退火算法和遗传算法等运筹学方法在实际运输问题中的应用，提高了运筹学实践能力。
5.反思与改进：在实验过程中，我们发现需求和条件的准确描述很重要。
在建模过程中，不光需要理解题目中提供的条件，还需要利用常识和实际情况对模型进行适当的修正和完善。
运筹学 第二章 运输问题
=
j
j = 1
(
(
这就是运输问题的数学模型，它包含 m·n 变量, m + n 个约束条件。如果用单纯形法求解，先得在各约 束条件上加入一个人工变量(以便求出初始基可行解)。 因此，即使是 m = 3 ， n = 4 这样的简单问题, 变量数 就有19个之多，计算起来非常复杂。因此，我们有必 要针对运输问题的某些特点，来寻求更为简单方便的 求解方法。
销地产地
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12
A2
x21
x24
A3
x32
x34
x11 、 x12 、 x32 、 x34 、 x24 、 x21 构成一个闭回路. 这里有： i1 = 1 ， i2 = 3 ， i3 = 2；j1 = 1 ，j2 = 2 ，j3 = 4. 若把闭回路 的顶点在表中画出, 并且把相邻两个变量用一条直线相连 (今后就称这些直线为闭回路的边)。
第二节 表上作业法1. 表上作业法的基本概念与重要结论针对运输问题的数学模型结构的特殊性，它的约束方 程组的系数矩阵具有如下形式( 具体见下一张幻灯片 )，该 矩阵中， 每列只有两个元素为1，其余都是0。根据这个特 点，在单纯形法的基础上，创造出一种专门用来求解运输 问题的方法，这种方法我们称为表上作业法。运输问题也是一个线性规划问题，当用单纯形法进 行求解时，我们首先应当知道它的基变量的个数；其次， 要知道这样一组基变量应当是由哪些变量来组成。由运输 问题系数矩阵的形式并结合第一章单纯形算法的讨论可以 知道: 运输问题的每一组基变量应由 m+n-1个变量组成。 (即基变量的个数 = 产地个数 + 销售地个数 – 1) 进一步我 们想知道, 怎样的 m+n-1个变量会构成一组基变量？
南邮课内实验运筹学运输问题第二次
课内实验报告课程名：运筹学任课教师：邢光军专业：学号：姓名：/ 学年第学期南京邮电大学管理学院售，各工厂的生产量、各销售中心的销售量（假定单位均为吨）、各工厂到各销售点的单位运价（元/吨）示于表1中。
要求研究产品如何调运才能使总运费最小。
表1 产销平衡表和单位运价表实验结果：一：问题分析和建立模型：解：由于总产量（7+4+9=20）=总销量（3+6+5+6=20），故该问题为产销平衡问题。
其数学模型如下：设从Ai运往Bi的运量为Xij，（i =1,2,3，j=1,2,3,4）Min Z=3X11+11X12+3X13+10X14+X21+9X22+2X23+8X24+7X31+4X32+10X33+5X34s.t. X11+X12+X13+X14=7X21+X22+X23+X24=4X31+X32+X33+X34=9X11+X21+X31=3X12+X22+X32=6X13+X23+X33=5X14+X24+X34=6Xij>=0,i=1,2,3;j=1,2,3,4二：计算过程：与一般的线性规划问题的解法类似，首先需要建立运输问题的电子表格。
下面利用Spreadsheet来求解该问题：在Excel2003版本中，单击“工具”栏中“加载宏”命令，在弹出的的“加载宏”对话框选择“规划求解”，在“工具”下拉菜单中会增加“规划求解”命令，这样就可以使用了。
1、将求解模型及数据输入至Spreadsheet工作表中。
在工作表中的B3~F3单元格分别输入单位运价,销地B1,销地B2,销地B3,销地B4,B4~B6单元格分别输入产地A1,产地A2,产地A3,C4~F6单元格分别输入价值系数（单位运价）。
在工作表中的B8~G8，G10单元格分别输入运输量,销地B1,销地B2,销地B3,销地B4,实际产量，产量。
B9~B13单元格分别输入产地A1,产地A2,产地A3,实际销量，销量。
C4~F6单元格分别表示矩阵决策变量的取值。
运筹学实验-运输问题
该生对待本次实验的态度□认真□良好□一般□比较差。
本次实验的过程情况□很好□较好□一般□比较差
对实验结果的分析□很好□良好□一般□比较差
文档书写符合规范程度□很好□良导教师签名
巩永华
日期
2012.4.26
2.计算过程,包括采用什么算法，使用什么软件以及计算详细过程和结果。
3.结果分析,将结果返回到实际问题进行分析、讨论、评价和推广。
实验结果：
1建立模型
问题的分析与建立模型,阐明建立模型的过程:
解：分析问题：根据题意，由总产量等于总销量的原则，可知：
设xij是从产地Ai运往销地Bj的运输量，那么在产销平衡的条件下，要求得总运费最小的调运方案，可得以下的数学模型：
课内实验报告
课 程 名：运筹学
********
专业：信息管理与信息系统
学 号：
姓 名：
二○一一至二○一二年度第2学期
南京邮电大学经济与管理学院
《运筹学》课程实验第2次实验报告
实验内容及基本要求：
实验项目名称：运输问题实验
实验类型：验证
每组人数：1
实验内容及要求：
内容：运输问题建模与求解
某企业集团有3个生产同类产品的工厂，生产的产品由4个销售中心出售，各工厂的生产量、各销售中心的销售量（假定单位均为吨）、各工厂到各销售点的单位运价（元/吨）示于表1中。要求研究产品如何调运才能使总运费最小。
X14+X24+X34=6
Xij>=0(i=1,2,3,j=1,2,3,4)
2利用 Excell求解
其求解步骤与线性规划问题的求解步骤几乎一样，只需在约束条件选项中增加整数限制。如下图：
最后参数设定如下图所示：
运筹学运输问题实验报告
实验报告填写说明
（实验项目名称、实验项目类型必须与实验教学大纲保持一致）
1．实验环境：
实验用的硬件、软件环境。
2．实验目的：
根据实验教学大纲，写出实验的要求和目的。
3．实验原理：
简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4．实验步骤：
这是实验报告极其重要的容。
对于验证性验，要写清楚操作方法，需要经过哪几个步骤来实现其操作。
对于设计性和综合性实验，还应写出设计思路和设计方法。
对于创新性实验，还应注明其创新点。
5．实验结论：
根据实验过程中得到的结果，做出结论。
6．实验总结：
本次实验的收获、体会和建议。
7．指导教师评语及成绩：
指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价和成绩。
附录1：源程序。
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南邮课内实验-运筹学-运输问题-第二次
课内实验报告
课程名：运筹学
任课教师：邢光军
专业：
学号：
姓名：
/ 学年第学期
南京邮电大学管理学院
实验背景：某企业集团有3个生产同类产品的工厂，生产的产品由4
个销
售中心出售，各工厂的生产量、各销售中心的销售量（假定单位均为吨）、各工厂到各销售点的单位运价（元/吨）示于表1中。
要求研究产品如何调运才能使总运费最小。
表1 产销平衡表和单位运价表
实验结果：
一：问题分析和建立模型：
解：由于总产量（7+4+9=20）=总销量（3+6+5+6=20），故该问题为产销平衡问题。
其数学模型如下：
设从Ai运往Bi的运量为Xij，（i =1,2,3，j=1,2,3,4）
Min Z=3X11+11X12+3X13+10X14+X21+9X22+2X23+8X24+7X31+4X32+10X33+5X34
s.t. X11+X12+X13+X14=7
X21+X22+X23+X24=4
X31+X32+X33+X34=9
X11+X21+X31=3
X12+X22+X32=6
X13+X23+X33=5
X14+X24+X34=6
Xij>=0,i=1,2,3;j=1,2,3,4
二：计算过程：
与一般的线性规划问题的解法类似，首先需要建立运输问题的电子表格。
下面利用Spreadsheet来求解该问题：
在Excel2003版本中，单击“工具”栏中“加载宏”命令，在弹出的的“加载宏”对话框选择“规划求解”，在“工具”下拉菜单中会增加“规划求解”命令，这样就可以使用了。
1、将求解模型及数据输入至Spreadsheet工作表中。
在工作表中的B3~F3单元格分别输入单位运价,销地B1,销地B2,销地B3,销地B4,B4~B6单元格分别输入产地A1,产地A2,产地A3,C4~F6单元格分别输入价值系数（单位运价）。
在工作表中的B8~G8，G10单元格分别输入运输量,销地B1,销地B2,销地
B3,销地B4,实际产量，产量。
B9~B13单元格分别输入产地A1,产地A2,产地A3,实际销量，销量。
C4~F6单元格分别表示矩阵决策变量的取值。
C13~F13（销量），I9~I11（产量）单元格值为约束1~7不等式符号左边部分，如I9=SUM（C9：
F9），,其余C13~F13,I10~I11含义雷同。
C12~F12(实际销量)，G9~G11（实际产量）单元格数据为约束1~7不等式符号右端系数。
I13单元格表示目标函数（总费用）取值（=SUMPRODUCT(C4：F6，C9：F11)）。
2、单击“工具”菜单中的“规划求解”命令，弹出“规划求解参数”对话框。
在“规划求解参数”对话框中设置目标单元格为I13，选中“最小值”前的单选按钮，设置可变单元格为C9：F11。
单击“规划求解参数”对话框中的“添加”按钮，打开“添加约束”对话框，单击单元格引用位置文本框，然后选定工作表的C13~F13单元格，则在文本框中显示“$C$13~$F$13”,选择“=”的约束条件，在约束值文本框中输入C12~F12单元格，则在文本框中显示
“$C$12~$F$12”。
单击“添加”按钮，把所有的约束条件都添加到“规划求解参数”对话框的“约束”列表框中。
其余1条约束不等式的输入方法雷同。
按照同样的方法继续输入决策变量的非负约束、整数约束。
（如图 ）
图①
3、在“规划求解参数”对话框中单击“求解”按钮，弹出“规划求解结果”对话框，选中“保存规划求解结果”前的单选按钮，单击“确定”按钮，工作表中就显示规划求解的结果。
（如图②）
图②
三：结果分析：
B1 B2 B3 B4
A1 5 2
A2 3 1
A3 6 3
四：实验心得：
本次实验我们求解的是运输问题，我借助了上次运用EXCEL求解线性规划问题的经验，比上次更加快速、准确地得到了运输问题的答案。
然而我在本次求解中发现我用EXCEL求解得出的运输问题的答案与讲义上给出的答案不一致，虽然结果均为85，但是有几个决策变量的取值不同。
并且我求算了几遍都是那个结果。
后来经过邢老师的讲解，我才知道原来EXCEL求算时可能会产生不同的最优解，只要目标函数值一样，那么我所求得的解就是另一个最优解，也同样正确。