数学中的四个“心”
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2.5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90°+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
数学学习中的“眼、耳、口、手、心”
数学学习中的“眼、耳、口、手、心”乐安一中左海芳近几年来，旨在教会学生会学习、提高学生自学能力的学法指导的研究和实践已是基础教育改革的一个热门课题。
这一课题的提出和研究，不仅对当前提高基础教育质量、实施素养教育具有现实意义，而且对培养以后社会进展所需要的人才、促进科教兴国具有历史意义。
随着社会、经济、科技的高速进展，数学的应用越来越广，地位越来越高，作用越来越大。
不仅如此，数学教育的实践和历史还说明，数学作为一种文化，对人的全面素养的提高具有庞大的阻碍。
因此，提高基础教育中的数学教学质量，就显得尤为重要。
可目前由于受“应试教育”的阻碍，数学教学中违抗教育规律的现象和做法时有发生，为此更新数学教学思想、完善数学教学方法就显得更加迫切。
在数学教学中，开展学法指导，正是改革数学教学的一个突破口。
全面推进数学素养教育，使学生成为积极的探究者、摸索者，必须重视学生“学”的过程，抓好学生数学学习中的“眼、耳、口、手、心”。
数学学习中的“眼”眼到：确实是在听讲的同时看课本和板书，观看要有条理（按先后、空间、结构、特点），有深度（既注意外显特性，又注意隐藏特性，既注意意料之中的事，又注意意外情形的发生）。
关于观看既要有分析又要有比较。
要善于发觉事物的细微差别和共同特点，使观看有一定深度。
同时要对观看结果进行记录，及时整理，以便得出规律。
现代社会已进入信息化时代，要求人们不仅要“学会”，更要“会学”。
“会学”的基础当是会“眼”读，包括：1.1看教材教材是学生学习数学的要紧材料，它是数学课程教材编制专家在充分考虑学生生理心理特点、教育教学质量、数学学科特点等众多因素的基础上精心编写而成的，具有极高的阅读价值。
读教材包括课前、课堂、课后三个环节。
课前读教材属于了解教材内容，发觉疑难问题；课堂读教材则能更深刻地明白得教材内容，把握有关知识点；课后读教材是对前面两个环节的深化和拓展，达到对教材内容的全面、系统的明白得和把握。
数学四心知识的交汇
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x⇔O 是ABC ∆的重心.证法2：如图++2=+=∴2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD为2：1∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OAAC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，AB OC ⊥⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心.证明：bACc AB 、分别为方向上的单位向量， ∴bc +平分BAC ∠, (λ=∴b AC c AB +)，令cb a bc++=λBCD∴cb a bcAO ++=（b c +) 化简得)(=++++c b c b a∴=++c b a（4）==⇔O 为ABC ∆的外心。
典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的中点.AD AC AB 2=+∴λ2+=+= λ2=∴∴//∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .例2：（03全国理4）O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心分析：分别为方向上的单位向量，∴+BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的B CD（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足. +BC ⋅++=-=0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .练习：1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足=++，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ）A ．2B ．23C ．3D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=⋅OB OA ( ) A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 3．点O 在ABC ∆内部且满足22=++，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）A ．0B ．23 C ．45 D ．344．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222=+222+=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m =7．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C。
mba联考综合数学之三角形的“四心”
MBA 联考综合数学之三角形的“四心” 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
三角形四心性质在MBA 联考中常涉及，特别是重心的性质要多加注意。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。
二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径．3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：（MBA 考试重点内容）定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B A G C B A G y y y y x x x x ++=++=.4.三角形内部到三角形三个顶点和最小的点就是重心，即GC+GA+GB 最小。
初中数学竞赛辅导-三角形的四心
学科: 奥数教学内容：三角形的四心【内容综述】三角形的四心，指的是三角形的垂心。
重心、内心、外心，它们的性质在几何证明与计算中具有重要的作用。
（1）三角形的垂心是指三条高线的交点。
垂心常用字母H来表示。
（2）三角形的垂心是指三条中线的交点。
重心常用字母G来表示。
重心到顶点的距离是它到对边中点距离的二倍。
（3）三角形的内心是指三条内角平分线的交点。
内心常用字母I来表示。
内心到三边的距离相等。
（4）三角形的外心是指三边的中垂线的交点外心常用字母O来表示。
外心到三角形三个顶点的距离相等。
【例题分析】★★★例1 已知G为△ABC的重心，不过三角形顶点的直线L过G点，从A、B、C三点向直线L引垂线AO， BE，CF，O，E，F为垂足。
求证：AO=BE+CF。
思路直接证AO=BE+CF比较困难。
可考虑连AG延长交BC于D，过D 作于H，则可知DH为梯形BCFE的中位线，问题即可得证。
证明如图3-15-1所示，连AG并延长交BC于D。
∵G是重心，BD=DC。
过D 点作于H，又∴DH为梯形BCFE的中位线，又∵△AOG∽△DHG,即因此，AO=BE+CF。
★★★例2 如图3-15-2， I 为△ABC的内心，且I，D，C，E在同一圆周上，若DE=1，试求ID和IE之长。
思路分析由I，D，C，E四点共圆可知，又由Ｉ为△ABC的内心知故可求得这时问题即可解决。
解∵I， D， C， E共圆，又∵I为△ABC的内心。
从而知连CI则∵I, D, C, E 共圆。
因而ID=IE。
在△DIE中，即由余弦定理解得★★★例3 已知△ABC的重心G和内心O的连线GO//BC，求证AB+CA=2BC。
思路1 由于题设中有内心O的条件，所以可考虑利用三角形内角平分线定理证之。
证明1 如图3-15-3，连AG， AO并延长交BC于M，T，连CO，则AG为中线，AO 和CO分别为的平分线。
又∵CO是∠ACB的平分线，得CA=2CT。
同理可证AB=2BT。
专题02 平面向量解析三角形的“四心”高一数学下学期同步讲义(人教A版2019必修第二册)
专题02 平面向量解析三角形的“四心”一．“四心”的概念介绍及平面向量表示1. 重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1.⇔=++O 是ABC ∆的重心.2. 垂心——高线的交点：高线与对应边垂直.⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.3. 内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等． 设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是ABC ∆的内心.O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心.4. 外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等．==⇔O 为ABC ∆的外心.二．考点讲解 考点一：三角形的重心例1：在ABC ∆中，已知 AB a =，BC b =，G 为ABC ∆的重心，用向量,a b 表示向量AG =______. 【答案】2133a b 【分析】利用平面向量的基本定理，结合重心性质即可得解.【详解】由重心的性质可知()111333BG BA BC b a =+=-， 所以11213333AG AB BG a b a a b =+=+-=+.故答案为：2133a b 【点睛】本题考查了重心的几何性质和平面向量基本定理，属于基础题.例2：若P 是ABC ∆内部一点，且满足2PA PB CB +=，则ABP ∆与ABC ∆的面积比为_______. 【答案】13【分析】利用向量的加法运算得出PA PB CP +=，取AB 的中点为O ，进而得出点P 为ABC ∆的重心，根据重心的性质即可得出答案.【详解】2PA PB CB PA PB CB BP CP +=⇒+=+= 取AB 的中点为O ，则2PA PB PO += 即2PO CP =，则点P 为ABC ∆的重心根据重心的性质可得，点P 到AB 的距离是点C 到AB 的距离的13则13ABP ABC S S ∆∆= 故答案为：13【点睛】本题主要考查了根据向量关系判断三角形的重心，属于常考题.考点二：三角形的垂心例3：已知点P 是ABC ∆所在平面内一点，且满足()()cos cos AB AC AP R AB BAC Cλλ=+∈，则直线AP 必经过ABC ∆的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】D【分析】两边同乘以向量BC ，利用向量的数量积运算可求得0AP BC ⋅=从而得到结论． 【详解】()cos cos AB AC AP R AB B AC C λλ⎛⎫⎪=+∈ ⎪⎝⎭两边同乘以向量BC ,得AP BC ∴⊥(1t ∈即点P 在BC 边的高线上，所以P 的轨迹过△ABC 的垂心， 故选D.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题． 考点三：三角形的内心例4：O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，[)0,μ∈+∞，则P 点的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【分析】先根据||ABAB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC→方向上的单位向量，确定||||A A B A A C C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，再由AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭可得到AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得答案．【详解】解：||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，∴||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，又AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，∴AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴向量AP →的方向与BAC ∠的角平分线一致∴P 点的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算和向量的数乘，以及对三角形内心的理解，考查化简运算能力． 考点四：三角形的外心例5：在ABC ∆中，2AC =，6BC =，60ACB ∠=︒，点O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OC mOA nOB =+（,m n ∈R 且1m n +≠）． （1）证明：11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心，求m 、n 的值； （3）若点O 为ABC ∆的外心，求m 、n 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1m =-，1n =-；（2）3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【分析】（1）根据条件OC mOA nOB =+,结合向量的加法运算,化简即可证明. （2）根据重心的向量表示为0OA OB OC ++=,即可求得m 、n 的值. （3）根据点O 为ABC ∆的外心,求得21||2CO CB CB ⋅=,21||2CO CA CA ⋅=,CA CB ⋅,再根据已知分别求得CO CB ⋅,CO CA ⋅,结合平面向量基本定理即可求得m 、n 的值. 【详解】（1）CO mAO nBO =+()()m AC CO n BC CO =+++mAC mCO nBC nCO =+++即CO mAC mCO nBC nCO =+++ 所以CO mCO nCO mAC nBC --=+ 则()1m n CO mAC nBC --=+ 所以11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心则0OA OB OC ++= 因为OC mOA nOB =+ 所以0mOA nOB OC --+= 则1m =-,1n =-（3）由O 是ABC 的外心 得21||182CO CB CB ⋅==,21||22CO CA CA ⋅==,6CA CB ⋅=, 所以,1111m n CO CB CA CB CB CB m n m n m n CO CA CA CA CB CAm n m n ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎪+-+-⎨⎪⋅=⋅+⋅⎪+-+-⎩即23321m n m n -=⎧⎨+=-⎩,解得3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查了平面向量加法和减法的运算,三角形重心和外心的向量表示,对向量线性运算的化简要熟练掌握,属于中档题.三．课后作业1．在ABC ∆中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．重心 B ．内心C ．外心D ．垂心【答案】A【分析】设sin sin a B b A CH ==，则()mCP a b CH=+，再利用平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，即可得答案；【详解】如图，sin sin a B b A CH ==，∴()m OP OC a b CH =++，()mCP a b CH=+， 由平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，∴P 的轨迹一定通过ABC 的重心.故选：A.【点睛】本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.2．已知点O 是ABC ∆所在平面上的一点，ABC 的三边为,,a b c ，若0a OA bOB c OC →→→→++=，则点O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【分析】在AB ，AC 上分别取单位向量,AD AE →→，作AF AD AE →→→=+，则AF 平分BAC ∠，用,,OA AB AC →→→表示出,OB OC →→代入条件式，用,AB AC →→表示出AO→，则可证明A ，F ，O 三点共线，即AO 平分BAC ∠．【详解】在AB ，AC 上分别取点D ，E ，使得AB AD c →→=，AC AE b →→=，则||||1AD AE →→==．以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADFE ，如图，则四边形ADFE 是菱形，且AB AC AF AD AE c b→→→→→=+=+．AF ∴为BAC ∠的平分线．0aOA bOB cOC →→→→++=()()0a OA b OA AB c OA AC →→→→→→∴⋅+⋅++⋅+=，即()0a b c OA b AB c AC →→→→++++=，∴()b c bc AB AC bc AO AB AC AF a b c a b c a b c c b a b c→→→→→→=+=+=++++++++．A ∴，O ，F 三点共线，即O 在BAC ∠的平分线上．同理可得O 在其他两角的平分线上，O ∴是ABC 的内心．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题.3．点M ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，满足MA MB MC ++=0，|NA NB NC ==∣，且PA PB ⋅=PB PC PC PA ⋅=⋅，则M 、N 、P 依次是ABC ∆的（）A ．重心，外心，内心B ．重心，外心，垂心C ．外心，重心，内心D ．外心，重心，垂心【答案】B【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案． 【详解】解：0MA MB MC ++=，∴MA MB MC +=-，设AB 的中点D ，则2MA MB MD +=，C ∴，M ，D 三点共线，即M 为ABC ∆的中线CD 上的点，且2MC MD =．M ∴为ABC 的重心．||||||NA NB NC ==， ||||||NA NB NC ∴==，N ∴为ABC 的外心；PA PB PB PC =，∴()0PB PA PC -=，即0PB CA =，PB AC ∴⊥， 同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴为ABC 的垂心；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题． 4．（多选）已知M 为ABC ∆的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．MA MB MC == B ．0MA MB MC ++= C ．1233CM CA CD =+ D ．2133BM BA BD =+ 【答案】BC【分析】由题可知M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，由此依次计算判断即可得出结果. 【详解】M 为△ABC 的重心，∴M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，对于A ，由于△ABC 为任意三角形，故中线不一定相等，则,,MA MB MC 不一定相等，故A 错误； 对于B ，D 为BC 的中点，2MB M MD C +∴=，2MA MD =-，0MA MB MC ++=∴，故B 正确；对于C ，()22123333CM CA AM CA AD CA CD CA CA CD =+=+=+-=+，故C 正确； 对于D ，()22123333BM BA BA BA B AM AD BD BA A BD +=+=+-==+，故D 错误. 故选：BC.5．ABC ∆中，3AB =，6AC =，G 为ABC ∆的重心，O 为ABC ∆的外心，则AO AG ⋅=______． 【答案】152【分析】根据三角形的外心的性质，得出212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，由三角形的重心的性质，得出1()3AO AG AO AB AC ⋅=⋅+，通过向量的数量积运算，即可求出AO AG ⋅的值. 【详解】解：因为G 为ABC 的重心，O 为ABC 的外心，所以212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，所以111()333AO AG AO AB AC AO AB AO AC ⋅=⋅+=⋅+⋅221166AB AC =+93615662=+=， 即152AO AG ⋅=. 故答案为:152．【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，考查三角形的重心和外心的向量表示，考查计算能力. 6．已知A ，B ，C 是平面内不共线的三点，O 为ABC ∆所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足()()()122123OP OD OC R λλλ⎡⎤=-++∈⎣⎦，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的______（填“内心”“外心”“垂心”或“重心”）. 【答案】重心【分析】根据已知条件判断,,P C D 三点共线，结合重心的定义，判断出P 的轨迹过三角形ABC 的重心. 【详解】∵点P 满足()()()122123OP OD OC λλλ⎡⎤=-++∈⎣⎦R ，且()()112212133λλ-++=， ∴P ，C ，D 三点共线.又D 是AB 的中点，∴CD 是边AB 上的中线，∴点P 的轨迹一定过ABC ∆的重心. 故答案为：重心【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查三角形的重心的知识，属于基础题. 7．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG PQ λ=，将OG 用λ，OP ，OQ 表示； (2)设OP xOA =，OQ yOB =，证明：11x y+是定值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）寻找包含OG 的图形OPG ，利用向量的加法法则知OG OP PG +＝ ，再根据PG PQ λ=和PQ OQ OP -＝ 即可（2）根据（1）结合OP xOA =，OQ yOB =知：()()11OGOP OQ xOA yOB λλλλ-+-+＝＝ ，再根据G 是OAB 的重心知：()2211133233OG OM OA OB OA OB ⨯++＝＝＝ ，最后根据OA OB 、 不共线得到关于x y λ，， 的方程组即可求解 【详解】(1)解＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)证明 一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x ＋λy ；① 另一方面，△G 是△OAB 的重心，△＝＝× (＋)＝＋.②而，不共线，△由①②，得解得△＋＝3(定值)．【点睛】本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题．。
高中数学高考数学专题复习三角形四心的向量问题
三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
● 与“重心”有关的向量问题【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的重心．如图⑴.A'A【命题2】已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.【解析】由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.● 与“垂心”有关的向量问题【命题3】P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0P B P A P C ⋅-=，即0P B C A ⋅=，所以PB CA ⊥．同图⑴图⑵理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.【命题4】已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭， 由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭， 即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB BAC C⋅⋅+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.【命题5】若H 为ABC △所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC △的垂心 证明:2222HA HB CA BC -=-()()HA HB BA CA CB BA ∴+∙=+∙得()0HA HB CA CB BA +--∙= 即()0HC HC BA +∙= AB HC ∴⊥图⑶ 图⑷A同理,AC HB BC HA ⊥⊥， 故H 是△ABC 的垂心 与“内心”有关的向量问题【命题6】已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的内心．【解析】∵IB IA AB =+，IC IA AC =+，则由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+ ⎪⎝⎭， ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+ ⎪++⎝⎭．∵AB AB 与AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.【命题7】已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭uu u r uuu r uu u r uu r uu u r uuu r ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心． 【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，∴当(0)λ∈+∞，时，AP 表示BAC ∠的平分图⑸图⑹B。
重难点突破之奔驰定理与“四心”问题 学生版-高中数学
重难点突破之奔驰定理与“四心”问题【常用结论】考点一．四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．考点二．奔驰定理---解决面积比例问题(1)重心定理：三角形三条中线的交点．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标为G (x 1+x 2+x 33，y 1+y 2+y 33)．注意：(1)在△ABC 中，若O 为重心，则OA +OB +OC =0．(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：AG =13AB +13AC．奔驰定理：S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0，则△AOB 、△AOC 、△BOC 的面积之比等于λ3:λ2:λ1奔驰定理证明：如图，令λ1OA =OA 1 ，λ2OB =OB 1 ，λ3OC =OC 1 ，即满足OA 1+OB 1+OC1=0S △AOB S △A 1OB 1=1λ1λ2，S △AOC S △A 1OC 1=1λ1λ3，S △BOC S △B 1OC 1=1λ2λ3，故S △AOB :S △AOC :S △BOC =λ3:λ2:λ1．考点三．三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 ．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0．考点四．常见结论(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上．AB ⋅PC +BC ⋅PC +CA⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心．(2)外心：P A =PB =PC⇔P 为△ABC 的外心．(3)垂心：P A ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅P A⇔P 为△ABC 的垂心．(4)重心：P A +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心．【奔驰定理和四心的性质及证明】1、【重心】：若O 为△ABC 重心(1)S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =1:1:1；(2)OA +OB +OC =0 ；(3)动点P 满足OP =OA +λ(AB +AC)，λ∈(0，+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的重心(4)动点P 满足OP =OA +λAB AB sin B +ACACsin C，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心(5)重心坐标为：x A +x B +x C 3，y A +y B +y C3.2、【垂心】：若O 为△ABC 垂心(1)OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA(2)OA 2+BC 2=OB 2+CA 2=OC 2+AB2(3)动点P 满足OP =OA +λAB AB cos B +ACACcos C，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心(4)S △BOC :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C(5)tan A •OA +tan B •OB +tan C •OC =0.3、【内心】：若O 为△ABC 内心(1)S △BOC :S △COA :S △AOB =a :b :c(2)a •OA +b •OB +c •OC =0 (3)动点P 满足OP =OA+λAB|AB |+AC|AC |，λ∈[0,+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的内心(4)OA ⋅AC |AC |-AB|AB |=OB ⋅BC|BC |-BA BA=OC ⋅CA |CA |-CB|CB |=04、【外心】：若O 为△ABC 外心(1)OA 2 =OB 2=OC 2 ；(2)动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB AB cos B +ACACcos C，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心；(3)若OA +OB ⋅AB =OB +OC ⋅BC =OA +OC ⋅AC=0，则O 是△ABC 的外心；(4)S △BOC :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ；(5)sin2A •OA +sin2B •OB +sin2C •OC =0.5、奔驰定理以及四心的向量式证明：已知O 是ΔABC 内的一点，ΔBOC ,ΔAOC ,ΔAOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，求证：S A •OA +S B •OB +S C •OC =0【解答】如图，延长OA 与BC 边相交于点D 则BDDC=S ΔABD S ΔACD =S ΔBOD S ΔCOD =S ΔABD -S ΔBOD S ACD -S ΔCOD =S CS BOD =DC BC OB +BD BC OC=S BS B +S C OB +S C S B +S COC∵ODOA =S BOD S BOA =S COD S COA =S BOD +S COD S BOA +S COA =S A S B +S C ∴OD =-S A S B +S COA∴-S A S B +S C OA =S BS B +S C OB +S C S B +S COC∴S A •OA +S B •OB +S C •OC =0推论:O 是ΔABC 平面内的一点，且x •OA +y •OB +z •OC =0，则S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =x :y :z ②S △BOC S △ABC=xx +y +z 6、【奔驰定理与三角形四心向量式】1、O 是ΔABC 的重心⇔S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =1:1:1⇔OA +OB +OC =02、O 是ΔABC 的内心⇔S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =a :b :c ⇔a •OA +b •OB +c •OC =03、O 是ΔABC 的外心⇔S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =sin2A :sin2B :sin2C⇔sin2A •OA +sin2B •OB +sin2C •OC =04、O 是ΔABC 的垂心⇔S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =tan A :tan B :tan C⇔tan A •OA +tan B •OB +tan C •OC =0证明：如图O 为三角形的垂心，tan A =CD AD,tan B =CDDB ⇒tan A :tan B =DB :ADS ΔBOC :S ΔCOA =DB :AD ∴S ΔBOC :S ΔCOA =tan A :tan B同理得S ΔCOA :S ΔAOB =tan B :tan C ，S ΔBOC :S ΔAOB =tan A :tan C ∴S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =tan A :tan B :tan C奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一重难点题型(一)四心的识别1.已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA+λAB AB cos B +AC AC cos C ，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()．A.重心B.外心C.内心D.垂心2.O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足OP =OA +λAB AB sin B +ACACsin C，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.内心B.重心C.外心D.垂心3.O 是△ABC 所在平面上一点，若OA +OB ⋅AB =OB +OC ⋅BC =OA +OC ⋅AC=0，则O 是△ABC 的()．A.重心B.外心C.内心D.垂心4.已知O 是△ABC 所在平面上一点，若OA 2 =OB 2 =OC 2 ，则O 是△ABC 的()．A.重心B.外心C.内心D.垂心重难点题型(二)奔驰定理1.(23-24高一下·甘肃·期末)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知M 是△ABC 内一点，△BMC ，△AMC ，△AMB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，且S A ⋅MA +S B ⋅MB +S C ⋅MC =0.若M 为△ABC 的垂心，3MA +4MB +5MC=0，则cos ∠AMB =()A.-63B.-66C.66D.632.已知点P 是ΔABC 所在平面内一点，满足2P A +5PB +3PC =0，S ΔABC =s ，则S ΔPBC =3.(22-23高一下·上海奉贤·阶段练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A 、S B 、S C ，则有S A OA +S B OB +S C OC =0，设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题错误的是()A.若OA +OB +OC =0 ，则O 为△ABC 的重心B.若OA +2OB +3OC =0 ，则S A :S B :S C =1:2:3C.则O 为△ABC (不为直角三角形)的垂心，则tan ∠BAC ⋅OA +tan ∠ABC ⋅OB +tan ∠ACB ⋅OC =0D.若OA =OB =2，∠AOB =5π6，2OA +3OB +4OC =0 ，则S △ABC =924.(22-23高三上·江西·阶段练习)奔驰定理：已知点O 是△ABC 内的一点，若△BOC ,△AOC ,△AOB 的面积分别记为S 1,S 2,S 3，则S 1⋅OA +S 2⋅OB +S 3⋅OC =0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是△ABC 的垂心，且OA +2OB +3OC =0，则cos C =()A.31010B.1010C.255D.55重难点题型(三)四心的相关的计算1.(2024·新疆·二模)已知椭圆x 29+y 28=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为ΔMF 1F 2的内心和重心，则IG ⋅F 1F 2=()A.0B.1C.22D.32.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，M 为BC 中点，且AB =5，AC =4，则下列各式正确的有．①AG ⋅BC =-3 ②AO ⋅BC=-6③OH =OA +OB +OC ④AB +AC =4OM +2HM3.(23-24高一下·四川·期末)△ABC 中，AB =2，点P 为△ABC 平面内一点，且PB ⋅BC =-12,PC ⋅BC=12,O 、H 分别为△ABC 的外心和内心，当tan ∠BAC 的值最大时，OH 的长度为()A.2-22B.3-222C.22D.14.(23-24高一下·山东烟台·阶段练习)在斜△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，46a sin2C =3a 2+b 2-c 2sin B ，b =4，点O 满足2OA +OB +OC =0 ，且cos ∠CAO =14，则△ABC 的面积为()A.152B.10C.215D.45重难点题型(四)奔驰定理与四心的综合题1.(23-24高一下·陕西西安·阶段练习)已知△ABC 中，A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ,若O ,P ,H 为△ABC 所在平面内点，则下列说法正确的个数为()①若PO =13(P A +PB +PC )，则O 为三角形ABC 的重心；②若HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2，则点H 是△ABC 的垂心；③若O 是△ABC 的外心，则sin2A ⋅OA +sin2B ⋅OB +sin2C ⋅OC =0；④若O 是△ABC 的内心，则a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0.A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ΔABC 内一点，若分别满足下列四个条件：①aOA +bOB +cOC =0 ；②tan A ⋅OA +tan B ⋅OB +tan C ⋅OC =0；③sin2A ⋅OA +sin2B ⋅OB +sin2C ⋅OC =0；④OA +OB +OC =0 ；则点O 分别为ΔABC 的()A.外心、内心、垂心、重心B.内心、外心、垂心、重心C.垂心、内心、重心、外心D.内心、垂心、外心、重心3.(2024高一下·上海·专题练习)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是△ABC 内一点，△BMC ,△AMC ,△AMB 的面积分别为S A ,S B ,S C ，且S A ⋅MA +S B ⋅MB +S C ⋅MC =0．以下命题错误的是()A.若S A :S B :S C =1:1:1，则M 为△ABC 的重心B.若M 为△ABC 的内心，则BC ⋅MA +AC ⋅MB +AB ⋅MC =0C.若∠BAC =45°,∠ABC =60°，M 为△ABC 的外心，则S A :S B :S C =3:2:1D.若M 为△ABC 的垂心，3MA +4MB +5MC =0 ，则cos ∠AMB =-664.(23-24高一下·福建莆田·期中)(多选题)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是△ABC 内一点，△BMC ，△AMC ，△AMB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，且S A ⋅MA +S B ⋅MB+S C ⋅MC =0．以下命题正确的有()A.若S A :S B :S C =1:1:1，则M 为△ABC 的重心B.若M 为△ABC 的内心，则BC ⋅MA +AC ⋅MB +AB ⋅MC =0C.若M 为△ABC 的外心，则MA +MB ⋅AB =MB +MC ⋅BC =MA +MC ⋅AC=0D.若M 为△ABC 的垂心，3MA +4MB +5MC =0 ，则cos ∠AMB =665.奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ,S B ,S C 则S ，S A ⋅OA+S B ⋅OB +S C ⋅OC=0“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedes benz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若O 是锐角△ABC 内的一点，A ，B ，C 是△ABC 的一个内角，且点O 满足则OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA，则()A.O 为△ABC 的垂心B.∠AOB =π-CC.OA :OB :OC=sin A :sin B :sin CD.tan A ⋅OA +tan B ⋅OB +tan C ⋅OC =06.(20-21高一下·江苏苏州·期中)(多选题)奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ,S B ,S C ，则S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若O 是锐角△ABC 内的一点，A ,B ,C 是△ABC 的三个内角，且点O 满足OA ⋅OB=OB ⋅OC =OC ⋅OA ，则()A.O 为△ABC 的垂心B.∠AOB =π-CC.OA :OB :OC=sin A :sin B :sin CD.tan A ⋅OA +tan B ⋅OB +tan C ⋅OC =07.(2021·四川凉山·三模)如图，P 为△ABC 内任意一点，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .总有优美等式S △PBC P A +S △P AC PB +S △P AB PC =0成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：①若P 是△ABC 的重心，则有P A +PB +PC =0 ；②若aP A +bPB +cPC =0成立，则P 是△ABC 的内心；③若AP =25AB +15AC ，则S △ABP :S △ABC =2:5；④若P 是△ABC 的外心，A =π4，P A=mPB +nPC ，则m +n ∈-2,1 .则正确的命题有.8.(23-24高一下·湖南·期中)已知△ABC 中AB =2，点D 满足BD =2DC ，且AD=AB 2⋅AC +AC 2⋅ABAB 2+AC2，点O 是△ABC 的外心，则AO ⋅BC =．。
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数学中的四个“心”
在数学中几何等等题目中经常出现外心，内心，重心，垂心，这些名词在我们的题目中出现的频率很高，所以我们有必要把这四个“心”单独列出来，彻底的弄清楚。
.外心：指三角形三条边的垂直平分线的相交点。
用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。
性质：到外心到三角形的三个顶点距离相等
内心：内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
性质：内心到三边的距离相等。
重心：重心是三角形三边中线的交点。
性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
垂心：三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
性质：1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.
2、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。