小学工程问题归纳与经典练习题

解工程问题的方法工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。

这三者之间的关系是：工作效率×工作时间 =工作量工作量÷工作时间 =工作效率工作量÷工作效率 =工作时间根据上面的数量关系，只要知道三者中的任意两种量，就可求出第三种量。

由于工作量的已知情况不同，工程问题可分为整数工程问题和分数工程问题两类。

在整数工程问题中，工作量是已知的具体数量。

解答这类问题时，只要按照上面介绍的数量关系计算就可解题，计算过程中一般不涉及分率。

在分数工程问题中，工作量是未知数量。

解这类题时，也要根据上面介绍的数量关系计算，但在计算过程中要涉及到分率。

一、工作总量是具体数量的工程问题例1 建筑工地需要 1200 吨水泥，用甲车队运需要 15 天，用乙车队运需要10 天。

两队合运需要多少天？（适于四年级程度）解：这是一道整数工程问题，题中给出了总工作量是具体的数量1200 吨，还给出了甲、乙两队完成总工作量的具体时间。

先根据“工作量÷工作时间 =工作效率”，分别求出甲、乙两队的工作效率。

再根据两队工作效率的和及总工作量，利用公式“工作量÷工作效率 =工作时间”，求出两队合运需用多少天。

甲车队每天运的吨数：（甲车队工作效率）1200÷15=80 （吨）乙车队每天运的吨数：（乙车队工作效率）1200÷10=120 （吨）两个车队一天共运的吨数：80+120=200 （吨）两个车队合运需用的天数：1200÷200=6 （天）综合算式：1200÷（1200÷15+1200÷10）=1200÷（80+120 ）=1200÷200=6 （天）答略。

*例 2 生产 350 个零件，李师傅 14 小时可以完成。

如果李师傅和他的徒弟小王合作，则 10 小时可以完成。

如果小王单独做这批零件，需多少小时？（适于四年级程度）解：题中工作总量是具体的数量，李师傅完成工作总量的时间也是具体的。

李师傅 1 小时可完成：350÷14=25 （个）由“如果李师傅和他的徒弟小王合作，则 10 小时可以完成”可知，李师傅和徒弟小王每小时完成：350÷10=35 （个）小王单独工作一小时可完成：35-25=10 （个）小王单独做这批零件需要：350÷10=35 （小时）综合算式：350÷（350÷10-350 ÷14）=350÷（ 35-25=350÷10=35 （小时）答略。

*例 3 把生产 2191 打毛巾的任务，分配给甲、乙两组。

甲组每小时生产毛巾128 打，乙组每小时生产毛巾 160 打。

乙组生产 2 小时后，甲组也开始生产。

两组同时完工时超产 1 打。

乙组生产了多长时间？（适于四年级程度）解：两组共同生产的总任务是：2191-160 ×2+1=1872 （打）两组共同生产的时间是：1872÷（160+128 ） =6.5（小时）乙组生产的时间是：6.5+2=8.5 （小时）综合算式：（2191-160×2+1）÷（ 160+128 ）+2 =1872÷288+2 =6.5+2=8.5 （小时）答略。

练习题：1、筑路队疾患修筑一条长 2400 米的公路，甲队单独做需要 20 天完成，乙队单独需要 30 天完成。

如果两队同时开工共同修筑，只需几天就可以完成？2、甲、乙两个工程队合修一条长 42 千米的水泥路，甲队每天修 0.5 千米，比乙队的 2 倍多 0.1 千米。

（1）乙队每天修多少千米？（2）两队合修多少天可以修完？3、红星服装厂计划生产 2800 套夏季学生服，已经生产了 5 天，每天生产 80 套，剩下的 20 天完成，平均每天要生产多少套？4、王师傅加工一种零件，由原来的每个用 12 分钟降低到每个 8 分钟，原来每天加工 300 个，现在每天加工多少个？5、用两台机器生产 108 个齿轮。

第一台 4.5 小时能生产 18 个，第二台 1.6 小时能生产 8 个。

两台机器一同生产一段时间以后，还剩 45 个。

两台机器一同生产了多少小时？综合算式：答略。

二、工作总量不是具体数量的工程问题工程问题方法总结一：基本数量关系：工效×时间 =工作总量二：基本特点：设工作总量为“1”，工效 =1/ 时间三：基本方法：算术方法、比例方法、方程方法。

四：基本思想：分做合想、合做分想。

五：类型与方法：一：分做合想:1. 合想 ,2. 假设法 ,3. 巧抓变化 ( 比例 ),4.假设法。

二：等量代换：方程组的解法→代入法，加减法。

三：按劳分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配四：休息请假：方法： 1. 分想：划分工作量。

2. 假设法：假设不休息。

五：休息与周期：1.已知条件的顺序：①先工效，再周期，②先周期，再天数。

2.. 天数：①近似天数，②准确天数。

3.列表确定工作天数。

六：交替与周期：估算周期，注意顺序！七：注水与周期： 1. 顺序， 2. 池中原来是否有水， 3. 注满或溢出。

八：工效变化。

九：比例： 1. 分比与连比， 2. 归一思想， 3. 正反比例的运用， 4. 假设法思想(周期)。

十：牛吃草问题： 1. 新生草量， 2. 原有草量， 3. 解决问题。

工程问题当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也就是知道了所需的时间比。

因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些 .两个人的问题标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.（一）两个人的问题例1．1 一件工作，由 A 做 20 天完成， B 做 15 天完成。

（ 1）两队合做 5 天可以完成工程的几分之几？（ 2）两队合做 6 天，还剩下工程的几分之几？（ 3）两队合做几天完成？解：（1）(11) 57 201512（2）1 (11 )63 201510（3）1 (11 )6084(天) 201577答：（ 1）两队合做 5 天可以完成工程的7。

（ 2）两队合做 6 天，还剩下12工程的3。

（ 3）两队合做84天完成。

107【解析】此题是工作效率问题。

A 用 20 天完成，总工程是“ 1 ”，所以甲队的工作效率是 1201 ，乙对的工作效率是 1 15 1 。

2015问题（ 1）要求完成的工程量，用工作效率×工作时间；问题（ 2）要求剩余工程量，可先求出已做的工程量，用总工程量“ 1”减去已做工程量；问题（ 3）要求完成时间，用总工程量“ 1 ”÷总工效。

例 1.2 、一工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成，现在甲、乙做了3 天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？解：（ 1） 1 (11) 319 66（2） 11 1(天)66答：乙需要做 1 天可以完成全部工作。

【解析】要解决此题， 就要清楚此工程的过程，此工程是甲和乙完成一件工作，先是甲和乙一起做，之后转由乙单独完成，求的是乙单独完成剩下的工作时间。

总工程是“ 1 ”，就可以知道：甲的工作效率是 1 91，乙对的工作效率1 。

9是 1 66求乙单独完成剩下的工作时间， 还需要知道乙的工作总量， 乙的工作总量 =1-甲乙一起 3 天做的工作量。

甲和乙 3 天的工作总量：工作效率×工作时间＝工作总量(11) 3，9 6剩下：1 111 (6 ) 39 6乙完成剩下的工作时间：利用工作总量÷工作效率＝工作时间11 1( 天 )66练习一1、 一项工程，甲队单独做 24 天完成，乙队单独做 16 天完成。

甲、乙两队合做，多少天可以完成？（适于六年级程度）解：把这项工程的工作总量看作1。

甲队单独做 24 天完成，做 1 天完成答略。

2、一项工程，由甲工程队修建需要20 天，由乙工程队修建需要30解：把这项工程的工作总量看作1，由甲工程队修建需要20 天，知甲工3、一项工程，甲、乙合做 5 天可以完成，甲单独做 15 天可以完成。

乙单独做多少天可以完成？（适于六年级程度）解：把这项工程的工作量看作1。

甲、乙合做 5 天可以完成，甲、乙合需要多长的时间。

=7.5 （天）答：乙单独做 7.5 天可以完成。

例 2.1 ：一件工作，甲做 9天可以完成，乙做 6天可以完成。

现在甲先做了 3 天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？解一：把这件工作看作 1，甲每天可完成这件工作的九分之一，做 3天完成的1/3。

乙每天可完成这件工作的六分之一，（1-1/3）÷1/6=4（天）答：乙需要做 4天可完成全部工作 .解二：9与 6的最小公倍数是 18.设全部工作量是 18份.甲每天完成 2份，乙每天完成 3份.乙完成余下工作所需时间是（18- 2×3）÷3= 4（天）.解三：甲与乙的工作效率之比是6∶ 9= 2∶ 3.甲做了 3天，相当于乙做了 2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天） .练习二1、一项工程，甲独做需 15 天，乙独做需 12 天，现在甲乙合作若干天后，乙再接着做 3 天，就完成了全部工程，问甲乙合作了多少天？2、一项工程，甲队单独做需 20 天完成，如果甲乙合作 12 天可以完成，如果乙队单独做，多少天可以完成？●例 3.1 ：一件工作，甲、乙两人合作 30天可以完成，共同做了 6天后，甲离开了，由乙继续做了 40天才完成 .如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？解：共做了 6天后，原来，甲做24天，乙做24天，现在，甲做 0天，乙做 40=（ 24+16）天 .这说明原来甲 24天做的工作，可由乙做 16天来代替 .因此甲的工作效率如果乙独做，所需时间是50天如果甲独做，所需时间是75天答：甲或乙独做所需时间分别是75天和 50天 .练习三1、甲乙两人合作生产一批零件， 6 天可以完成任务，甲先做 5 天，因有事外出，1这时只完成任务的4，如果接下来由乙完成，还需要多少天？12、一批零件，先由 20 人生产了 10 天完成任务的4，余下的工程要提前 10 天完成，还要增加多少人？3、甲乙二人合作一批零件需 20 天，甲比乙多做了这批零件的 1/9 ，甲单独做需多少天完成？4、一项工程，甲乙两队需10 天完成，甲乙两队合作了几天，因乙队有事调离，由甲队又干了 8 天，又知甲队独做需 20 天完成，问甲、乙两队合干了多少天？例4.1 ：一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成 .现在两队合作，其间甲队休息了 2天，乙队休息了 8天（不存在两队同一天休息） .问开始到完工共用了多少天时间？解一：甲队单独做 8天，乙队单独做 2天，共完成工作量余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是2+8+ 1= 11（天） .答：从开始到完工共用了11天.解二：设全部工作量为 30份.甲每天完成 3份，乙每天完成 1份 .在甲队单独做8 天，乙队单独做 2天之后，还需两队合作（30- 3×8- 1×2）÷（3+1）= 1（天）.解三：甲队做 1天相当于乙队做 3天 .在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量 .相当于乙队要做2×3=6（天） .乙队单独做 2天后，还余下（乙队） 6-2=4（天）工作量 .4=3+1，其中 3天可由甲队 1天完成，因此两队只需再合作 1天.解四：方法：分休合想（题中说甲乙两队没有在一起休息，我们就假设他们在一起休息 .) 甲队每天工作量为 1/10，乙为 1/30，因为甲休息了 2天，而乙休息了8天，因为8>2，所以我们假设甲休息两天时，乙也在休息。