平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
( )养
·
合 作
(3)一个坐标对应于唯一的一个向量．
( )课
探
时
究
(4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对
分 层
释
作
疑 难
应．
( )业
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
返
首
页
·
11
·
情
课
境
堂
导
2．已知 a＝(3,5)，b＝(－3,2)，则 a＋b＝( )
小
学
结
·
探 新
第六章 平面向量及其应用
6.3 6.3.2 6.3.3
平面向量基本定理及坐标表示 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示
2
学习目标
核心素养
情 境
1.了解平面向量的正交分解，掌握
课 堂
导
学 向量的坐标表示．(难点)
小
1.通过力的分解引进向量的正交 结
·
探
提
新 知
2.理解向量坐标的概念，掌握两个
提 素
知
养
平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 a＝xi＋yj，
合
作 探
我们把有序数对 (x，y)
究
课
叫做向量 a 的坐标，记作 a＝(x，y)，其中
时 分
层
释 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，a＝(x，y)叫做 作
疑
业
难
向量 a 的坐标表示．
返 首 页
作 业
难
返 首 页
·
18
·
情 境
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
课 堂
导
小
学
∴∠COy＝30°.又 OC＝AB＝3，
结
·
探
提
新 知
∴C－32，3
2
3，
素 养
合
作 探 究
∴A→B＝O→C＝－32，3
2
3，
课 时 分 层
释
疑 难
即
b＝－32，3
2
3.
作 业
返 首 页
·
19
素
知
养
(1)平面向量的正交分解
合
作 探
课
把一个向量分解为两个互相 垂直 的向量，叫做把向量作正交分 时
究
分
层
释 解．
作
疑
业
难
返 首 页
·
6
·
情
(2)平面向量的坐标表示
课
境
堂
导 学
在平面直角坐标系中，设与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位 向量
小 结
·
探 新
分别为 i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量 a，由
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
4
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探
提
新
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为 G，
素
知
养
合 下滑力为 F1，木块对斜面的压力为 F2.
作
课
探
问题：这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
5
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探
提
新
1．平面向量的正交分解及坐标表示
作 业
难
(3)求点 B 的坐标．
返
首
页
·
17
·
情
课
境
堂
导 学
[解] (1)作 AM⊥x 轴于点 M，
小 结
·
探
提
新 知
则 OM＝OA·cos 45°＝4× 22＝2 2，
素 养
合 作 探
AM＝OA·sin 45°＝4× 22＝2 2，
究
课 时 分
层
释 疑
∴A(2 2，2 2)，故 a＝(2 2，2 2)．
·
8
·
2．平面向量加、减运算的坐标表示
情
课
境 导
已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有：
堂 小
学
结
探 加法
a＋b＝_(_x_1＋__x_2_，__y_1＋__y_2_)___
·
提
新
素
知
减法
a－b＝_(x_1_－__x_2_，__y1_－__y_2_) ___
养
合
作 探 究
重要 已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝ (x2－x1，y2－y1) .
疑
业
难
返 首 页
·
16
·
平面向量的坐标表示
情
课
境 导
【例 1】
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，OA＝4，AB＝3，
堂 小
学
结
·
探 新
∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，O→A＝a，A→B＝b.四边形 OABC 为平行四
提 素
知
养
边形．
合
作
课
探
(1)求向量 a，b 的坐标；
究
时 分
层
释 疑
(2)求向量B→A的坐标；
·
情 境
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
14
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
探
( 2， 2) [由题意知
·
提
新
素
知
a＝2cos 45°i＋2sin 45°j
养
合 作
＝ 2i＋ 2j
课
探
时
究
＝( 2， 2)．]
分 层
释
作
疑
业
难
返 首 页
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15
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
合作
探究
释疑
难
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
合
作 探
[答案] (3,2)
课 时
究
分层释作源自疑业难返 首 页
·
13
·
情
课
境
4．如图，在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴，y 轴方向相同 堂
导
小
学 探
的两个单位向量
i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量
a，
·
结 提
新
素
知 若|a|＝2，θ＝45°，则向量 a 的坐标为________．
合
作
课
探 究
纵坐标对应相等，即
a＝b⇔x1＝x2
且
y1＝y2，其中
a＝(x1，y1)，b＝(x2，
时 分
层
释 疑
y2)．
作 业
难
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·
10
·
情
境 导
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
学
探
(1)相等向量的坐标相同．
新
知
(2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标．
课 堂 小 结
( )提
分解，从而得出向量的坐标表示，
素 养
·
·
合 向量和、差的坐标运算法则．(重 提升数学抽象素养.
作
课
探 究
点)
2.借助向量的线性运算，培养数学
时 分
层
释 疑
3.向量的坐标与平面内点的坐标 运算素养.
作 业
难
的区别与联系．(易混点)
返 首 页
3
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
情境
导学
探新
知
素 养
作
课
探
·
7
·
情
课
境
堂
导
小
学
(3)向量坐标与点的坐标之间的联系
·
结
探
提
新 知
在平面直角坐标系中，以原点 O 为起点作O→A＝a，设O→A＝xi＋
素 养
合 作 探
yj，则向量O→A的坐标(x，y)就是 终点A
究
释 坐标(x，y)也就是向量 a 的坐标．
疑
难
的坐标；反过来，终点 A 的
课 时
分
层
作
业
返 首 页
课 时 分
释 疑
结论
因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点
层 作 业
难
坐标减去 起点 的坐标.
返 首 页
·
9
·
情
课
境
堂
导 学
拓展：(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一
小 结
·
探
提
新 种应用形式，只是两个基向量 e1 和 e2 互相垂直．
素
知
养
人教A版(新教材)高中数学第二册 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示
A.(2，0)
B.(－3，6)
C.(6，2)
D.(－2，0)
解析 N→M＝3a＝(1，－2)＋(1，－2)＋(1，－2)＝(2，－4)＋(1，－2)＝(3，－6).设
N(x，y)，则N→M＝(5－x，－6－y)＝(3，－6)，所以5－－6x－＝y3＝，－6，即xy＝ ＝20.，
答案 A
题型二 平面向量的坐标运算 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则进行 【例 2】 (1)已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量A→C＝(－4，－3)，则向量B→C＝( )
3.平面向量的坐标运算 可类比实数的加减运算法则进行记忆
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
加法
文字描述
两个向量和的坐标分别等于这两个向
量相应坐标的__和___
符号表示 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向
量相应坐标的_差____
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
1.元素与集合的关系
UxAxCA
,UxCAxA
.
2.德摩根公式
( ) ; ( ) CU A B CU A CUB CU A B CU A CUB .
3.包含关系
ABAABB
UUABCBCA
UACB
UC A B R
4.容斥原理
card(A B) cardA cardB card(A B)
card(A B C) cardA cardB cardC card(A B)
励志
1、当世界给草籽重压时，它总会用自己的方法破土 而出。
2、既然人生的幕布已经拉开，就一定要积极的演出； 既然脚步已经跨出，风雨坎坷也不能退步；既然我已把希 望播在这里，就一定要坚持到胜利的谢幕……
平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加减运算的坐标表示【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
3．平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示
两个向量和的坐标分别等于这两 a＋b＝
加法 个向量相应坐标的__和___
__(_x_1＋__x_2_，__y_1＋__y_2_)____
两个向量差的坐标分别等于这两 a－b＝
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
(2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同.即 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＝b⇔xy11＝＝xy22，. 注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点 的坐标却可以不同.
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
2．区别：(1)书写不同，如a＝(1,2)，A(1,2). (2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于 向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向 量有无穷多个.因此，符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义， 它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量.为了加以区分，在叙 述中，常说点(x，y)或向量(x，y).
素养目标·定方向 2 平面向量的正交分解及坐标表示
[分析] 利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，进而求出D点的坐标. (2)当平行四边形的顶点顺序未确定时，要分类讨论. 2．区别：(1)书写不同，如a＝(1,2)，A(1,2). 点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量仅由大小和方向决定，与位置无关. 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表： 2．理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则. (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行. a－b＝___________________ a＋b＝___________________ 已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1，3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点. 3 平面向量加、减运算的坐标表示 (1)定义：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个___________分别为i，j，取{i，j}作为基底. 平面向量的正交分解及坐标表示 [知识解读] 点的坐标与向量坐标的区别和联系 我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y). [分析] 利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，进而求出D点的坐标. a＋b＝___________________
6-3-2 平面向量的正交分解及坐标表示 6-3-3 平面向量的加减法坐标运算 数学人教A版必修二
当向量起点为原点时，向量的 终点坐标，即为向量的坐标
课堂精讲
【例 1】 在平面直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方向如 图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别求出它们的坐标.
c1＝|c|cos(－30°)＝4× 23＝2 3， c2＝|c|sin(－30°)＝4×－12＝－2. 因此 a＝( 2， 2)，b＝－32，323， c＝(2 3，－2).
12
课堂精讲
平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向 量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行.
13
课堂精炼
【训练 2】 已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量A→C＝(－4，－3)， 则向量B→C＝( )
解 如图，以 O 为原点，向量O→A所在的直线为 x 轴建立平 面直角坐标系. ∵|a|＝2，∴a＝(2，0).设 b＝(x1，y1)，
∴x1＝|b|cos 150°＝1×－ 23＝－ 23， y1＝|b|sin 150°＝1×21＝21，
22
课堂精炼
【训练 3】 已知 O 是△ABC 内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设O→A ＝a，O→B＝b，O→C＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试建立恰当的坐标系，并求 出A→B，B→C，A→C的坐标.
17
课堂精讲
角度 1 由向量相等求参数的值 【例 3】 已知点 A(2，3)，B(5，4)，A→C＝(5λ，7λ).若A→P＝A→B＋A→C(λ∈R)，试 求 λ 为何值时： (1)点 P 在第一、三象限的角平分线上； (2)点 P 在第三象限内.
平面向量的正交分解及坐标表示 6
高一数学人教A 版（2019）必修第二册课前导学6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示+6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示+6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示一、新知自学1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相 的向量，叫做把向量作 .2.平面向量的坐标表示：对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x y ，，使得=a ，把有序数对 叫做向量a 的坐标，记作()x y =a ，.3.平面向量的坐标运算设向量1122()()x y x y λ==∈R a b ，，，，，则有下表： 11AB = 1122，其中≠0b ，的充要条件是存在实数λ，使 .用坐标表示，向量()≠0a b b ，共线的充要条件是 .二、问题思考1.求点和向量坐标的常用方法有哪些？2.平面向量坐标运算的方法有哪些？3.如何判定向量共线？4.利用向量平行的条件求参数值的思路是什么？三、练习检测1.已知向量(2,6),(1,)λ==-b a .若//a b ，则λ=( )A.3B.3-C.13D.13- 2.若向量(1,2),(1,4)AC AB BC =-=-，则AB =( )A.(-1，1)B.(0，6)C.(-2，2)D.(0，3)3.设,x y ∈R ，向量(, 1) ,(2,)x y ==a b ，且2(5,3)+=-a b ，则x y +=( )A.1B.2C.1-D.2-4.已知向量(3,2),(2,1)==-a b ，若非零向量m n +a b 与2+a b 共线，其中,m n ∈R ，则m n等于___________.【答案及解析】一、新知自学1.垂直 正交分解2.x y +i j ()x y ，3.1212()x x y y ++，1212()x x y y --， 11()x y λλ， 2121()x x y y --， 4.λ=a b 12210x y x y -=二、问题思考1.（1）求一个点的坐标：可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.（2）求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.2.（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差、数乘的运算法则进行运算.（2）若已知有向线段两端点的坐标，则先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.（3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.3.（1）利用向量共线定理，由()λ=≠0a b b 推出a b .（2）利用向量共线的坐标表达式12210x y x y -=直接求解.4.（1）利用共线向量定理()λ=≠0a b b 列方程组求解.（2）利用向量平行的坐标表达式直接求解.三、练习检测1.答案：B解析：因为向量(2,6),(1,),//λ==-a b a b ，所以26λ=-，解得3λ=-.故选B.2.答案：D解析：依题意，得(1,2)AB BC AC +==，所以(1,2),(1,4)AB BC AB BC ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，两式相加得2(0,6)AB =，所以(0 3) AB =，.故选D.3.答案：C解析：由于向量(,1),(2,)x y ==a b ，故2(4,12)(5,3)x y +=++=-a b ，45,123x y ∴+=+=-，解得1,2,1x y x y ==-∴+=-.故选C.4.答案：12解析：由(3,2),(2,1)==-a b ，可得(32,2),2(7,0)m n m n m n +=+-+=a b a b . 因为m n +a b 与2+a b 共线，所以1470m n -=，即可得12m n =.故答案为12.。
新教材高中数学6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示课件新人教A版必修二
(2)O→A＝(1,2)，P→B＝(3－3t,3－3t)． 若四边形 OABP 为平行四边形，则O→A＝P→B，
所以33－－33tt＝＝12，， 该方程组无解． 故四边形 OABP 不能为平行四边形. (1)O→P＝(1＋3t,2＋3t)，利用点在坐标轴及象限的特征求解． (2)若四边形 OABP 为平行四边形，则有O→A＝P→B.
【解析】 (1)方法一 设 C(x，y)，则A→C＝(x，y－1)＝(－4，
－3)，所以xy＝ ＝－ －42， ， 从而B→C＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故 选 A.
方法二 A→B＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， B→C＝A→C－A→B＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，故选 A. (2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a＝3(－1,2)＝(－3,6)， 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)． 【答案】 (1)A (2)见解析
方法一先求 C 点坐标，再求B→C. 方法二先求A→B，再求B→C.
方法归纳
平面向量坐标(线性)运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘 的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标， 然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．
3．平面向量的坐标运算
(1)已知向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数 λ，那么 a＋b＝__(x_1_＋__x_2_，__y_1＋__y_2_) _， a－b＝_(_x_1_－__x2_，__y_1_－__y_2)__． (2)已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，O 为坐标原点，则A→B＝O→B－O→A ＝(x2，y2)－(x1，y1)＝___(x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1_) ． 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终__点 __的坐标 减去始__点__的坐标．
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
人教A版高中数学必修第二册《平面向量的正交分解及加、减运算的坐标表示》名师课件
探究新知
探究：将表示向量的有向线段的起点放在坐标原点后
有何结论呢？
y
A(2,3)
a OA (2,3)
2
结论：以原点O为起点的向量
A
3
a
1
j
OA的坐标与点A的坐标相同
此时向量坐标就由这条有向线
段的终点坐标唯一确定了.
o
1
i
2
3
x
探究新知
问题:若已知点A、点B的坐标,如何求向量AB的坐标呢？
复习引入
平面向量的基本定理
= +
其实质：同一平面内任一向量都可以用两个不共线向量来表示.
人教A版同步教材名师课件
平面向量的正交分解及加、
减运算的坐标表示
学习目标
学习目标
核心素养
通过平面向量基本定理及正交分解,可以导出平面向
数学抽象
量的坐标表示,利用向量的加、减法及数乘运算法则,
解析
(1)因为 m＋n＝(2m＋n,m－2n)＝(9,－8),
Ԧ
所以ቊ
= 2,
＋ = 9,
所以ቊ
所以m－n＝2－5＝－3.故填－3.
= 5,
－ = −8,
(2)由A(2,－4),B(－1,3),C(3,4),得＝(2－3,－4－4)＝(－1,－8),＝(－1－3,3－4)
(2) ＝(2 ,6)－( ,－1)＝( ,7)．
方法归纳
求点和向量坐标的常用方法
(1)在求一个向量时,可以第一求出这个向量的起点坐标A(x1,y1)和终点坐标
B(x2,y2),则＝(x1,y1), ＝(x2,y2),＝－＝(x2,y2)－(x1,y1)＝(x2－x1,
量数乘的运算法则进行．
高中数学人教A版必修(第二册)- 平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的加减运算的坐标表示
一、平面向量加、减运算的坐标表示 高中数学人教A版必（修20（19第）二必册修）（第- 二平册面）向量6.的3.正2-交6.分3.解3 及平坐面标向表量示的、正平交面分向解量及的坐加标减表运示算、的平坐面标向表量示的加减运算的坐标表示（共10张PPT）
已知 a =(x1,y1)，b =(x2,y2)，你能得出 ab、a-b 的坐标吗?
四、典型例题 高中数学人教A版（2019）必修（第二册）6.3.2-6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的加减运算的坐标表示（共10张PPT）
例 如右图，分别用基底 { i,j }表示向量 a、 b、 c、 d，并求出它们的坐标.
解：由图可知 aAA1AA2 2i 3j 所以 a=(2,3)
设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分 y
别为 i 、j ，根据平面向量基本定理可知，有且
a
只有一对实数x、y，使得
a =x i +y j
j
有序数对(x,y)叫做a 的坐标,记作 a =(x,y). O i
x
此式叫做向量 a 的坐标表示.x、y叫做 a 分别在x轴、y轴上的坐标.
① i (1 _ 0_, ) j、 ( 0 _ _ 1 , ) 0 、 ( 0 _ _ 0 , ) y
a b (1 ix y 1 j ) (2 ix y 2 j ) (1xx2)i(1yy2)j 即 ab(1x x2， 1y2)
同理 a-b 可 (1- x得 x 2 ， 1-y y 2)
这样我们就得到平面向量加、减运算的坐标表示： a + b=(x1+x2,y1+y2) a - b=(x1-x2,y1-y2)
三、平面向量的坐标表示 高中数学人教A版（2019）必修（第二册）6.3.2-6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的加减运算的坐标表示（共10张PPT）
《平面向量的坐标运算》教学设计【高中数学人教A版必修2(新课标)】
《平面向量的坐标运算》教学设计 本节内容包括“平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算、平面向量共线的坐标表示”，这些内容是上一节所讨论问题的深入，为平面向量的坐标表示奠定理论基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算．（1）借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示；会用坐标表示平面向量的线性运算；能用坐标表示向量共线的条件．（2）体会平面向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解；引入向量的坐标表示可使向量运算代数化；不仅向量的线性运算可以通过坐标来实现，向量的位置关系也可以通过坐标研究．（3）建立数与形的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题；理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.【问题1】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行 于斜面的力1F 的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力2F ．问重力G 与力1F 和2F 有什么关系？【设计意图】通过学生熟悉的力的分解问题，引出本节的主题，由此可以使学生感受到向量的正交分解与现实的联系．任意一个向量可以分解为两个不共线的向量，实际上是平面向量基本定理的一个应用．【师生活动】（1）学生：12G F F =+．（2）老师：由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a 均可以分解为不共线的两个向量11a λ和22a λ，使1122a a a λλ=+.（3）老师：在不共线的向量中，垂直是一种重要的特殊情形.把一个向量分解为两个互相垂◆ 教学过程◆ 教学目标◆ 教材分析 G F 1 F 2直的向量，叫做向量正交分解.正交分解是向量分解中常见的一种情形.【问题2】在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对直角 坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？【设计意图】通过类比平面直角坐标系中点用有序数对表示，提示学生思考在直角坐标系中 表示一个平面向量的方法．【师生活动】（1）老师：结合平面向量基本定理，如何在平面直角坐标系中选两个向量作为基底？（2）学生：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.（3）教师：对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数,x y ， 使得a xi y j =+.所以a 就由,x y 唯一确定.有序数对(,)x y 叫做向量的坐标，记作 (,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，(,)a x y =叫做向量的坐标表示.【问题3】设OA xi y j =+，则向量OA 的坐标与点A 的坐标有什么关系？【设计意图】使学生知道向量的的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．【师生活动】（1）老师：O（2）学生：向量OA 的坐标(,)x y 就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(,)x y 也就是向量OA 的坐标.（3）老师：在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示. 例1.如图，分别用基底i 、j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标.【设计意图】平面向量正交分解的应用，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标．【问题4】已知1122(,),(,)a x y b x y ==，你能得出,,a b a b a λ+-的坐标吗？【设计意图】运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和、差、以及 数乘运算的坐标运算．（1）学生1：11221212()()()()a b x i y j x i y j x x i y y j +=+++=+++1212(,)a b x x y y ∴+=++.（2）学生2：11221212()()()()a b x i y j x i y j x x i y y j -=+-+=-+-1212(,)a b x x y y ∴-=--.（3）学生3：1111()a x i y j x i y j λλλλ=+=+11(,)a x y λλλ∴=.（4）教师：以上推导过程体现了向量的坐标形式与向量形式的相互转化.练习1：已知1122(,),(,)A x y B x y ，求AB 的坐标.（5）学生：22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--.（6）教师：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.（7）教师：如何在平面直角坐标系中标出坐标为2121(,)x x y y --的点P ？有什么发现？（8）学生：向量AB 的坐标与以原点为起点、点P 为终点的向量的坐标是相同的.（9）教师：试求向量AB 的模长.（10）学生：222121()()AB OP x x y y ==-+-.例2. 如图，已知ABCD 的三个顶点,,A B C 的坐标分别是(2,1)(1,3)(3,4--、、），试求顶点D 的坐标.（1）学生：利用AB DC =，求出点D 的坐标.（2）学生：利用OD OB BD OB BA BC =+=++，求出点D 的坐标.（3）学生：利用11()()22OM OB OD OA OC =+=+，求出点D 的坐标. 【设计意图】让学生熟悉向量的坐标运算．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位 置关系（主要是平行关系），数形结合，将顶点的坐标表示为已知点的坐标.【问题5】设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠.若a 与b 共线，这两个向量的坐标会有 什么关系？【设计意图】向量的线性运算可以通过坐标运算实现，引导学生思考向量的共线、垂直的坐 标表示.【师生活动】（1）学生：若a 与b 共线，则当且仅当存在实数λ，使得a b λ=，从而1122(,)(,)x y x y λ=，所以1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩ 消去λ得到12210x y x y -=. 例3.已知(11)(13),(25A B C --，，，，），试判断A B C ，，三点的位置关系.【设计意图】引导学生三点共线的实质是从同一点出发的两个向量共线.（1）学生：口述解题思路，书写解题过程.（2）老师：引导学生总结思想方法.例4.设点P 是线段12P P 上的一点，12P P 、的坐标分别是1122(,)(,)x y x y 、. （1）当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标；（2）当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标.【设计意图】本例实际上是给出了线段的中点坐标公式，线段的三等分点坐标公式.引导学生推导线段的定比分点公式.利用向量共线的坐标表示求线段的定比分点坐标公式，只要通过简单的向量线性运算就可实现，这是向量的坐标运算带来的优越性.【师生活动】（1）学生：利用121()2OP OP OP =+，求得点P 的坐标. （2）学生：利用121233OP OP OP =+（或122133OP OP OP =+），求得点P 的坐标. （3）老师：三等分点有两种可能的位置，如果学生没有回答全面，要引导学生讨论补充.（4）老师：当12PP PP λ=时，点P 的坐标是什么？ （5）学生：由学生类比求得中点坐标及三等分点坐标的过程，给出一般定比分点的坐标公式，进一步熟练向量的坐标运算，体会其中的数学思想方法.【问题6】你能够总结一下本节课我们学习的内容吗？【设计意图】课堂小结，由学生完成，概括本节课所学习的基本概念和运算法则，由教师提炼和总结本节课获得基本原理的数学研究方法.【习题检测】1.课中检测:（完成练习，拍照上传）练习1.已知点(0,0)O ，向量(2,3),(6,3),OA OB ==-点P 是线段AB 的三等分点，求点P 的坐标.练习2.已知(2,3),(4,3)A B -，点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =,求点P 的坐 标.2.课后检测请完成课后练习，检测学习效果．。
学高中数学平面向量平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算教师用书教案新人教A版必修
２.３．２平面向量的正交分解及坐标表示２.３．３平面向量的坐标运算学习目标核心素养１．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．（难点）２．理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．（重点）３．向量的坐标与平面内的点的坐标的区别与联系．（易混点）１．通过力的分解引进向量的正交分解，从而得出向量的坐标表示，提升学生的数学建模和数学抽象素养.２．通过向量坐标运算，培养学生的数学运算素养.１．平面向量的正交分解及坐标表示（１）平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．（２）平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝（x，y）叫做向量的坐标表示．显然，i＝（１,0），j＝（0,１），0＝（0,0）．２．平面向量的坐标运算设向量a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝（x１＋x２，y１＋y２）减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a—b＝（x１—x２，y１—y２）数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa＝（λx１，λy１）重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!＝（x２—x１，y２—y１）[提示] 向量的坐标只与起点和终点的相对位置有关，是终点坐标减去起点坐标，而与它们的具体位置没有关系．１．已知M（２,３），N（３,１），则错误!的坐标是（）Ａ．（２，—１）Ｂ．（—１,２）Ｃ．（—２,１）Ｄ．（１，—２）B[错误!＝（２,３）—（３,１）＝（２—３,３—１）＝（—１,２）．]２．已知向量a＝（—１,２），b＝（１,0），那么向量３b—a的坐标是（）Ａ．（—４,２）Ｂ．（—４，—２）Ｃ．（４,２）Ｄ．（４，—２）D[３b—a＝３（１,0）—（—１,２）＝（４，—２）．]３．如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝２，θ＝４５°，则向量a的坐标为________．（错误!，错误!）[由题意知a＝（２cos ４５°i,２sin ４５°j）＝（错误!i，错误!j）＝（错误!，错误!）．]４．已知A（３，—５），B（—１,３），点C在线段AB上，且错误!＝３错误!，则点C的坐标是________．（0,１）[由错误!＝３错误!得错误!—错误!＝３错误!—３错误!，∴４错误!＝错误!＋３错误!，即错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，∴C的坐标为错误!（３，—５）＋错误!（—１,３）＝（0,１）．]平面向量的坐标表示【例１】OAB＝１0５°，错误!＝a，错误!＝b.四边形OABC为平行四边形．（１）求向量a，b的坐标；（２）求向量错误!的坐标；（３）求点B的坐标．[解] （１）作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos ４５°＝４×错误!＝２错误!，AM＝OA·sin ４５°＝４×错误!＝２错误!，∴A（２错误!，２错误!），故a＝（２错误!，２错误!）．∵∠AOC＝１80°—１0５°＝7５°，∠AOy＝４５°，∴∠COy＝３0°.又OC＝AB＝３，∴C错误!，∴错误!＝错误!＝错误!，即b＝错误!.（２）错误!＝—错误!＝错误!.（３）错误!＝错误!＋错误!＝（２错误!，２错误!）＋错误!＝错误!.∴点B的坐标为错误!.求点、向量坐标的常用方法：（１）求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．（２）求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．错误!１．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示错误!，错误!，错误!，并求出它们的坐标．[解] 由图形可知，错误!＝6i＋２j，错误!＝２i＋４j，错误!＝—４i＋２j，它们的坐标表示为错误!＝（6,２），错误!＝（２,４），错误!＝（—４,２）.平面向量的坐标运算【例２】１２a＋３b；２a—３b；３错误!a—错误!b.（２）已知A（—２,４），B（３，—１），C（—３，—４），且错误!＝３错误!，错误!＝２错误!，求M，N及错误!的坐标．思路点拨：（１）运用向量坐标运算的公式进行求解．（２）法一：设点M，N的坐标，用向量相等的坐标表示列方程求值．法二：用向量线性运算的几何意义直接计算错误!，错误!的坐标．[解] （１）∵a＝（—１,２），b＝（２,１），∴２a＋３b＝２（—１,２）＋３（２,１）＝（—２＋6,４＋３）＝（４,7）．a—３b＝（—１,２）—３（２,１）＝（—１—6,２—３）＝（—7，—１）错误!a—错误!b＝错误!（—１,２）—错误!（２,１）＝错误!＝错误!（２）法一：（待定系数法）由A（—２,４），B（３，—１），C（—３，—４），可得错误!＝（—２,４）—（—３，—４）＝（１,8），错误!＝（３，—１）—（—３，—４）＝（6,３），所以错误!＝３错误!＝３（１,8）＝（３,２４），错误!＝２错误!＝２（6,３）＝（１２,6）．设M（x１，y１），N（x２，y２），则错误!＝（x１＋３，y１＋４）＝（３,２４），所以x１＝0，y１＝２0；错误!＝（x２＋３，y２＋４）＝（１２,6），所以x２＝9，y２＝２，所以M（0,２0），N（9,２），错误!＝（9,２）—（0,２0）＝（9，—１8）．法二：（几何意义法）设点O为坐标原点，则由错误!＝３错误!，错误!＝２错误!，可得错误!—错误!＝３（错误!—错误!），错误!—错误!＝２（错误!—错误!），从而错误!＝３错误!—２错误!，错误!＝２错误!—错误!，所以错误!＝３（—２,４）—２（—３，—４）＝（0,２0），错误!＝２（３，—１）—（—３，—４）＝（9,２），即点M（0,２0），N（9,２），故错误!＝（9,２）—（0,２0）＝（9，—１8）．平面向量坐标的线性运算的方法：１若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.２若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.３向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.错误!２．若A，B，C三点的坐标分别为（２，—４），（0,6），（—8,１0），求错误!＋２错误!，错误!—错误!错误!的坐标．[解] ∵错误!＝（—２,１0），错误!＝（—8,４），错误!＝（—１0,１４），∴错误!＋２错误!＝（—２,１0）＋２（—8,４）＝（—２,１0）＋（—１6,8）＝（—１8,１8），错误!—错误!错误!＝（—8,４）—错误!（—１0,１４）＝（—8,４）—（—５,7）＝（—３，—３）.向量坐标运算的综合应用[探究问题]１．已知A，B点坐标，O为坐标原点，若错误!＝错误!＋t错误!，如何求点P在坐标轴上，在某象限内时的t值或范围．提示：错误!＝错误!＋t错误!＝错误!＋t（错误!—错误!）＝（１—t）错误!＋t错误!，把A，B点坐标代入上式，从而求出P点坐标（x，y）．若P在x轴上，则y＝0，若P在y轴上，则x＝0，若P在第一、三象限角平分线内，则x＝y，若P在第一象限，则x＞0且y＞0，求其他范围时，只要x，y满足关系式或不等式即可．２．对于探究１条件不变，O，A，B，P能否为四边形？请说明理由．提示：由条件可知，错误!＝（１—t）错误!＋t错误!，而（１—t）＋t＝１，所以点P，A，B三点共线，故O，A，B，P不能构成四边形．【例３】（１）已知向量a＝（２，—３），b＝（１,２），p＝（9,４），若p＝m a＋n b，则m＋n＝________.（２）已知点A（２,３），B（５,４），C（7,１0）．若A错误!＝A错误!＋λA错误!（λ∈R），试求λ为何值时，１点P在一、三象限角平分线上；２点P在第三象限内．思路点拨：（１）（１）7 [由已知得m a＋n b＝m（２，—３）＋n（１,２）＝（２m＋n，—３m＋２n）．又p＝（9,４）且p＝m a＋n b，所以错误!解得错误!所以m＋n＝7．]（２）[解] 设点P的坐标为（x，y），则A错误!＝（x，y）—（２,３）＝（x—２，y—３），A错误!＋λA错误!＝[（５,４）—（２,３）]＋λ[（7,１0）—（２,３）]＝（３,１）＋λ（５,7）＝（３＋５λ，１＋7λ）．∵A错误!＝A错误!＋λA错误!，∴错误!则错误!１若点P在一、三象限角平分线上，则５＋５λ＝４＋7λ，∴λ＝错误!，∴当λ＝错误!时，点P在一、三象限角平分线上．２若点P在第三象限内，则错误!∴λ<—１，∴当λ<—１时，点P在第三象限内．１．若本例（２）条件不变，试求λ为何值时，点P在第四象限．[解] 若P在第四象限，由本例（２）的解析得错误!解得—１＜λ＜—错误!.２．若本例（２）条件“错误!＝错误!＋λ错误!”改为“错误!＝错误!＋λ错误!”，其他条件不变，应如何解答？[解] 设点P的坐标为（x，y），则错误!＝（x—５，y—４），错误!＋λ错误!＝（—３，—１）＋λ（２,6）＝（—３＋２λ，—１＋6λ）．因为错误!＝错误!＋λ错误!，所以错误!则错误!１若点P在一、三象限角平分线上，则２＋２λ＝３＋6λ，解得λ＝—错误!.２若点P在第三象限内，则错误!解得λ＜—１．１．解答本题可用待定系数法．此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程（组）求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．２．坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．１．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．２．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A（x A，y A），B（x B，y B），则错误!＝（x B—x A，y B—y A）．３．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积．１．给出下面几种说法：１相等向量的坐标相同；２平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；３一个坐标对应于唯一的一个向量；４平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４C[由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故３错误．]２．已知向量a＝（１,２），２a＋b＝（３,２），则b＝（）Ａ．（１，—２）Ｂ．（１,２）Ｃ．（５,6）Ｄ．（２,0）A[令b＝（x，y），则２＋x＝３且４＋y＝２，解得x＝１，y＝—２，故选Ａ．]３．已知A（２，—３），错误!＝（３，—２），则点B和线段AB的中点M坐标分别为（）Ａ．B（５，—５），M（0,0）Ｂ．B（５，—５），M错误!Ｃ．B（１,１），M（0,0）Ｄ．B（１,１），M错误!B[错误!＝错误!＋错误!＝（２，—３）＋（３，—２）＝（５，—５），错误!＝错误!＋错误!错误!＝（２，—３）＋错误!（３，—２）＝错误!.]４．已知点A（１,３），B（４，—１），则与向量错误!同方向的单位向量为________．错误![错误!＝（３，—４），则与错误!同方向的单位向量为错误!＝错误!（３，—４）＝错误!.]５．在平行四边形ABCD中，若错误!＝（２,４），错误!＝（１,３），则错误!用坐标表示________．（—１，—１）[根据平行四边形法则，错误!＝错误!—错误!＝（１,３）—（２,４）＝（—１，—１）．]。