242直角三角形的性质
AB的中点，立柱 BC、DE垂直于横梁 AC ， AB=7.4 m,
∠A=30 °,立柱BC、DE要多长？
B
解：在Rt △ABC中，
D
Q ∠ACB=90?，∠A=30?，
? BC ? 1 AB. 2
A
Q AB=7.4m，? BC ? 3.7m.
EC
Q D是斜边AB的中点，且DE∥CB,
? DE是△ABC的中位线，
又Q ? EFA ? ? BFD , AF ? DF ， B
? △BFD ≌△EFA .? FE ? BF .
Q AD ? 9, AF ? DF ，? DF ? 4.5.
F
D
C
? FE ? BF ? DF 2 ? BD2 ? 7.5. ? BE ? FE +BF ? 15.
课堂小结
1.通过本节课的学习你学到了直 角三角形的哪些知识？
A
D
E
四边形 ABCD是长方形 BE=ED
B
C
请同学们准备好两个全等的含 30 °角的直角三
角形，把相等的边拼在一起组成平面图形，有几种
拼法？其中三角形有几个，各是一个怎样的三角形？
说说你的理由 .
A
D
A
A
B
B C
D
CB
C
D
矩形
等边三角形
等腰三角形
在等边三角形ABC中BD与BC存在怎样
的数量关系？ BD与AC存在这样的关系吗?
D
又∵ DE=CD，
∴四边形 ACBE是平行四边形 .
又∵ ∠ACB= 90°，
B
C
∴四边形 ACBE是矩形，
∴ CE=AB， ∴ CD ? 1 CE ? 1 AB.
2
2
已知：如图，在△ ABC中， ∠B= ∠C，AD是
∠BAC的平分线， E、F 分别为AB、AC的中点.
求证：DE=DF .
A
分析： 可证两条线段分别是两
为什么？
A
BD ? 1 BC 2
存在，因为三角形 ABC 是
等边三角形， AC ? BC , 所以
B
D
C BD ? 1 BC ? 1 AC.
2
2
通过拼图验证我们的猜想是成立的，你能 证明这个结论吗？
已知：在三角形 ABC 中，? A ? 30o，? B ? 90o，
D 是 AC的中点，求证： BC ? 1 AC .
FC
? △EDA ≌△FCD，
? AE ? DF .
2如图：AB=AC，AD ⊥BC于D，AF=FD ，
AE∥BC且交BF 的延长线于 E，若AD=9，BC=12，
求BE 的长 . 解：Q AD ? BC , AB=AC，
A E
??
ADB=90?，BD
?
DC
?
1 BC =6.
2
Q AE∥BC ,?? E ? ? FBD .
第24章 解直角三角形
24.2 直角三角形的性质
复习旧知 引入新课
已知：
1.在直角三角形中，两个锐角互余. 2.在直角三角形中，两条直角边的平 方和等于斜边的平方（勾股定理）.
探索论证 归纳定理
用直尺量一量直角三角形的斜边上的中 线和斜边的长度，你有什么发现？
直角三角形斜边 上的中线等于斜边的 一半.
? AD ? BD.
理解巩固 知识运用
1.在△ABC中， ∠ACB=90 ° ，D是AB
边的中点，点F 在AC边上，DE与CF 平行且相
等.求证：AE=DF .
B
证明：Q ? ACB=90?，D是AB的中点，
? DC ? AD ? DB.
ED
?? DAC ? ? DCA.
又 Q ED //CF ，且ED =CF ， A ?? EDA ? ? DAC ? ? DCA，
问题引导 新知探究
你能运用所学的知识来证明你们发现 的结论吗？
证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 .
已知：如图，在 Rt △ABC中， ∠ACB= 90°，
CD是斜边 AB上的中线 .
求证：CD ? 1 AB.
2
E
A
证明：延长 CD至点E，使DE =CD，
连结 AE、BE .
∵CD是斜边AB上的中线，∴ AD=DB.
点，BC ? 1 AC ，求证 ? A ? 30o.
2
证明：Q D是AC的中点，
A
? AD ? CD.
又Q BC ? 1 AC,? BC ? CD.
D
2
又Q BD是中线，? BD ? CD.
? BC ? CD ? BD.
B
C ?? C ? 60o,?? A ? 30o.
运用性质 规范格式
例1：如图是屋架设计图的一部分，点 D是斜梁
2.通过定理的学习过程给你带来 了哪些收获和体会？
作业布置： 1.必做题：教材第104页练习第1~3题. 2.选做题：习题24.2第1~3题.
谢谢大家！
2
A
证明：由题意知：
∠C =60?，BD ? 1 AC ? CD,
D
2
? ∠DBC =60?，
? △BCD是等边三角形，
BC
? BC ? CD ? 1 AC. 2
在直角三角形中如果一条直角边是斜边的 一半，能不能得到这条直角边所对角是30°呢？ 写出已知和求证并证明你的结论.
已知：在直角三角形 ABC 中, D 是AC 的中
DB
A
EC
例2：已知如图 ,在Rt △ACB中， ∠C=90 ° ，
AB=16 ，BC=8，BD平分∠ ABC.
A
求证： AD=BD.
证明：Q ? A ? 30o,? C ? 90o,
D
?? ABC ? 60o,
又Q BD平分? ABC,
B
C
?? ABD ? ? DBC ? 30o，
?? A ? ? ABD，
直角三角形的斜边上的中线，再证 E
F
两斜边相等即可证得 .
B
C
D
证明：∵ ∠B= ∠C，∴ AB=AC.
又∵ AD是∠BAC的平分线， ∴ AD⊥BC.
又∵ E、F 分别为AB、AC的中点，
∴ED ? 1 AB, FD ? 1 AC.直角三角形的一条较 长直角边重合，现在我们将图形变化使斜边重合， 我们可以得到哪些结论 ?
? DE ? 1 BC ? 1.85m. 2
变式一：若 D变成AB上使CD ⊥AB于D的
点，其他条件不变，如图，你能分解出30 °
角的直角三角形吗？可以求出哪些线段的长？
D B △ACD、△BCD、
△DEC、△AED 、
A
E C △ABC.
所有线段的长都可求出.
变式二：如上图BD与AB有何数量关系， 此结论与AB的长度有关吗？（课后讨论）
新华师大版九年级上册初中数学 24-2 直角三角形的性质 教学课件
的一半的性质．
第十六页，共二十页。
课堂小结
1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 3.有斜边上的中点，要考虑构造斜边上的中线或中位线.
第十七页，共二十页。
当堂小练
已知直角三角形两条直角边的长分别为1cm和 cm.求斜边3 上中线的长.
角形斜边上的中线等于斜边的一半)
∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△CDB是等边三角形.
∴BC=BD=
1 AB
2
第十一页，共二十页。
新课讲解
1. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的
直角边等于斜边的一半．本性质是用角的特殊性来揭示直角 三角形中直角边与斜边的数量关系的．
2．拓展：直角三角形的性质的选用
现了边、角之间的转化．
(4) 当已知直角三角形中两边的长求第三边时，我们选用勾股定 理．
第十三页，共二十页。
新课讲解
例3
如图24.25，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选 择一点C，使∠ACB＝15°，然后朝着旗杆方向前 进到点D，测得∠ADB＝30°，量得CD＝13 m，
求旗杆AB的高度．
导引：根据三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的和 求出∠CAD的度数，再根据等角对等边的性 质可得AD＝CD，然后根据直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
1
2
证明：延长CD至点E,使DE= CD，连结AE、BE
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD = DB.又∵ DE = CD,
∴四边形ACBE是平行四边形.
又∵ ∠ ACB=90°，
直角三角形的性质
直角三角形的性质直角三角形是指一个角为90度的三角形。
直角三角形有以下几个性质：性质一：勾股定理直角三角形中，较长的一边叫做斜边，较短的两边叫做直角边。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
即假设直角边分别为a和b，斜边为c，则有c²=a²+b²。
性质二：两个尖角的和等于90度直角三角形中，除了直角外还有两个尖角。
这两个尖角的和等于90度。
也就是说，如果一个三角形中的两个角的和等于90度，那么这个三角形就是直角三角形。
性质三：直角三角形的两个锐角互余直角三角形中，两个锐角互余，即两个锐角的和等于90度。
例如，如果一个三角形中一个角为30度，那么另外一个角就是60度，它们的和为90度。
性质四：直角三角形的高与边的关系直角三角形中，以斜边为底的高等于直角边的乘积的一半。
即假设直角边为a和b，斜边为c，高为h，则有h=(a*b)/c。
性质五：直角三角形的面积直角三角形的面积等于直角边的乘积的一半。
即假设直角边为a和b，面积为S，则有S=(a*b)/2。
性质六：直角三角形的边比例在直角三角形中，两个直角边的比值和它们与斜边的比值相等。
即假设直角边分别为a和b，斜边为c，那么有a/c=b/c。
以上是直角三角形的一些基本性质，可以帮助我们在解决相关问题时进行推理和计算。
在实际应用中，直角三角形的性质被广泛运用在航海、测量、建筑等领域。
通过运用这些性质，我们可以解决直角三角形相关的长度、角度和面积等问题，帮助我们更好地理解和应用几何知识。
华东师大初中数学九上《24.2直角三角形的性质》PPT课件 (4)
C
变式：已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC= ∠ADC=90°，M是AC的中点，N是BD的中点.试判 断MN与BD的位置关系，并加以证明.
D
A
M N
C
B
例2、已知：如图，AB与直线 l 相交于一点，过 点A，B作 AC l 于C，BD l 于D，M为AB的中
点，连结MC，MD. 求证：MC=MD
A
E
G
B
F P HC
练一练
（6）一张平行四边形纸片如图,现要求剪一刀， 把它分成两部分，然后做适当的图形变换，把 剪开的两部分拼成一个矩形，说明你的剪法和 所采用的变换.
A
D
B
C
探究2
已知：在RtΔABC中，∠ACB=Rt∠, ∠A= 30°
求证：BC= 1 AB 2
解：取斜边AB的中点D,连接CD, ∴CD=BD=AD
课外作业
• 见课本第104页习题第1，2，3题。
题： （1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当ᇫABC满足什么条件时，
四边形ADEF是矩形？
E
D
F
A
B
C
证明一条线段是另一条线段的1/2或2倍， （１）常用的定理：
“三角形的中位线定理”和“直角三角形的斜边上 的中线等于斜边的一半” （2）添辅助线的方法：
延长短的一倍，再证它与长的线段相等；或在长的 上截取中点,再证中点取得的一半等于短的，
D
B
C
（__有__一___个__角__是__直___角__的__平__行___四__边__形__是___矩__形__）
∴CE=AB
（___矩__形__的__对__角__线__相__等___________），∴CD=
【九年级数学试题】九年级数学上24.2直角三角形的性质同步练习(含答案和解释)
九年级数学上24.2直角三角形的性质同步练习(含答案和
解释)
华师大版数学九年级上册第24解直角三角形242直角三角形的性质同步练习
一、选择题
1、将一副直角三角尺如图放置，若∠AD=60°=30°
故选D
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解
5、【答案】c
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】∵直角三角形的一个锐角是23°，
∴另一个锐角是90°-23°=67°
故选c
【分析】直角三角形的两个锐角互余
6、【答案】B
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】设较小的锐角是x ，则另一个锐角是2x ，由题意得，x+2x=90°，
解得x=30°，
即此三角形中最小的角是30°
故选B
【分析】设较小的锐角是x ，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可
7、【答案】D
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】A∵∠c=∠A+∠B ，
∴∠c=90°，是直角三角形，故本选项错误；
B∵32+42=25=52，。
直角三角形的性质
直角三角形的性质直角三角形是一种特殊的三角形，除了具有一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质。
以下是一些直角三角形的性质：1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
这是勾股定理的一种表现，也就是说，如果直角三角形的两个直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，那么a² + b² = c²。
2.在直角三角形中，两个锐角互余。
也就是说，如果一个锐角为α，那么另一个锐角就是90° - α。
3.直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
这是直角三角形斜边中线定理，也就是说，如果斜边长度为c，那么斜边上的中线长度就是c/2。
4.直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
5.直角三角形垂心位于直角顶点。
这是指直角三角形三条高的交点位于直角顶点。
6.直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和减去斜边的差的一半。
也就是说，如果直角三角形的两个直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，那么内切圆半径r = (a + b - c) / 2。
7.直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项。
8.直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
由此，直角三角形两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。
9.含有30°角的直角三角形三边之比为1:根号3:2。
10.含有45°角的直角三角形三边之比为1:1:根号2。
以上都是直角三角形的一些基本性质，这些性质在解决与直角三角形相关的问题时非常有用。
直角三角形的性质
直角三角形的性质直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个角度为90度的直角。
本文将探讨直角三角形的性质，包括勾股定理、边长关系以及特殊的三角函数关系。
1. 勾股定理直角三角形的最重要性质之一就是勾股定理。
勾股定理指出，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，数学表达式为：a² + b²= c²，其中c表示斜边，a和b表示直角边。
这个定理由古希腊数学家毕达哥拉斯发现，因此也称为毕达哥拉斯定理。
2. 边长关系在直角三角形中，边长之间存在着特定的关系。
第一个关系是斜边与直角边的关系。
根据勾股定理，斜边的长度可以通过直角边的平方和开平方得到。
另外，直角三角形的直角边之间也存在一定的比例关系。
例如，如果一个直角三角形的直角边长度为a，那么另一个直角边的长度为a的比例为1:1，即两个直角边相等。
3. 三角函数关系直角三角形中的角度与边长之间也存在特定的三角函数关系。
三角函数是用角度的度数来计算三角形的边长比例的数学函数。
在直角三角形中，常见的三角函数有正弦、余弦和正切。
其中，正弦定义为直角三角形的对边与斜边的比值，余弦定义为邻边与斜边的比值，正切定义为对边与邻边的比值。
三角函数可以帮助我们计算未知边长或未知角度。
4. 特殊直角三角形除了一般的直角三角形性质之外，还有一些特殊的直角三角形值得注意。
其中，最常见的是45-45-90和30-60-90三角形。
45-45-90三角形的两个直角边长度相等，斜边长度为直角边长度的√2倍。
30-60-90三角形的比例关系为1:√3:2，其中最短边为直角边对应的边，中间边为直角边的√3倍，斜边为直角边的2倍。
直角三角形的性质是数学中的基础内容，在实际生活中也有许多应用。
例如，在测量和建筑领域，我们可以使用直角三角形来测量难以到达的高度或距离。
此外，直角三角形的性质也是其他几何概念的基础，如三角比例、三角恒等式等等。
总之，直角三角形具有勾股定理、边长关系以及特殊的三角函数关系。
直角三角形的性质
直角三角形的性质直角三角形是一种特殊的三角形，它具有特定的性质。
直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
在本文中，我们将详细讨论直角三角形的性质。
性质一：直角三角形的两条边相互垂直在直角三角形中，直角的两条边相互垂直。
垂直性质是直角三角形的最基本性质之一，也是直角三角形得名的原因之一。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
性质二：直角三角形的三条边之间满足勾股定理勾股定理是直角三角形的重要性质。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于直角边的平方和。
用公式表示为：c^2 = a^2 + b^2，其中c表示斜边的长度，a和b分别表示直角边的长度。
性质三：直角三角形中较短的直角边对应较小的斜边在直角三角形中，直角边和对应的斜边之间存在一种关系。
较短的直角边对应较小的斜边，而较长的直角边对应较大的斜边。
这是由勾股定理决定的。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的长度是直角边长度的函数，因此直角边越长，斜边就越长。
性质四：直角三角形的两个锐角之和为90度直角三角形的另一个性质是，其两个锐角之和等于90度。
由于直角三角形包含一个直角（90度角），那么其余两个角度的和必须是90度，以满足三角形内角和为180度的性质。
性质五：直角三角形的特殊比例关系直角三角形中，直角边和斜边之间存在一种特殊的比例关系。
称为正弦、余弦和正切。
正弦定义为直角边与斜边之比，余弦定义为另一个直角边与斜边之比，正切定义为直角边与另一个直角边之比。
这些比例关系在解决直角三角形问题时非常有用。
综上所述，直角三角形具有多个特殊的性质，包括直角的两条边垂直、满足勾股定理、较短的直角边对应较小的斜边、两个锐角之和为90度以及特殊的比例关系。
通过了解这些性质，我们可以更好地理解和解决与直角三角形相关的问题。
24.2直角三角形的性质
∴ ∠AED=60⁰.
∴ ∠CAE= ∠C=30⁰.
对应练习
思路引导： 实际上，本题是 计算AD的长.
北
60⁰
A
【解 过点A作AD⊥OB，则
D ∠AOD=______________. O 直角三角形30⁰所对直 ∴ AD=____________( 角边等于斜边的一半 B ). 东
求证： ΔABC是直角三角形 1 证明：延长CD到E，使DE=CD = CE，
连接AE，BE。
∵CD是边AB上的中线， ∴AD=DB 又∵CD=DE， ∴四边形AEBC是平行四边形
2
E D
A
B
C
1 又 CD AB 2
∴CE=AB
∴四边形AEBC是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）
∴∠ACB=90° ∴△ABC是直角三角形
例1
如图，在Rt∆ABC中， ∠ACB=90⁰，CD是AB边上的中线. 已知∠A=30⁰，求∠CDB的度数； C
【解】
A D ∵ ∠ACB=90⁰， CD是AB边上的中线， ∴ DA=DC ， ∴∠ACD= ∠A=30⁰. ∴∠CDB=∠ACD+ ∠A=60⁰. B
例2
思路引导：
斜边AB的中线
B
∴作AB边的中线CD,则CD=___________. D 这样以来，只需证明 CD=__________. BC 30⁰ A
∟
C
3、如图，在△ABC中，BD、CE是高，M、N分别是BC、ED的中点，试说明： MN⊥DE. 解：连结EM、DM. ∵BD、CE是高，M是BC中点， ∴在Rt△BCE和Rt△BCD中，
24.2直角三角形的性质
在直角三角形中，如果有一个锐角等于 300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
例
已知：如图24.2.3，在RtΔABC 中，∠ACB=900, ∠A= 30°
求证：BC= 1 AB 2
A
D
B
C
证明：
作斜边AB的中线CD，
2
解： ∵CD是中线，CD=
1AB，
∴AD=CD，CD=BD 2
C
∴∠A=∠1，∠B=∠2
12
∵∠A+∠1+∠B+∠2=180°
∴2(∠A+∠B)=2(∠1+∠2)=180°
∴∠A+∠B=90°
A
D
B
∴ △ABC是直角三角形。
一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
已知：在ΔABC中，CD是边AB上的中线，且CD 1 AB
M
A
1
BM=AM=CM= AC
2
∠C=∠1
2
1
B
∠A=∠2
C
性质定理3
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
练习3：
2、已知：在Rt△ABC中,∠ABC=90°，BM是AC边上的中线 （3）若BD是AC边上的高，则与∠A相等的角有__2___个.
A D
A D
M
C
C
B
B A M
B C
已知：如图，在△ ABC中，AD ⊥ BC， E、F分别是AB、 AC的中点，中且点DE=DF 求证：AB=AC.
a=9,b=12
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边; (2)可用勾股定理建立方程.