等轴双曲线和圆相交时的几个优美性质
等轴双曲线的几个典型性质及其证明
等轴双曲线的几个典型性质及其证明
崔宝法
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2000(000)005
【摘要】在现行的人教版《平面解析几何》课本中，对双曲线的一种特例——等
轴双曲线虽有涉及，但没有进一步探求它的性质．事实上，等轴双曲线不但图象具有高度的对称美，而且还具备了它所独有的一些典型性质．下面给出其中几条性质，并加以证明．
【总页数】2页(P16-17)
【作者】崔宝法
【作者单位】浙江海盐县元济高级中学314300
【正文语种】中文
【中图分类】G633.65
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初中数学竞赛专题-第二十九章双曲线的性质及应用
第二十九章 双曲线的性质及应用【基础知识】双曲线具有一般圆锥曲线的性质外,还具有下述有趣性质：性质1双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点为1F ,2F ,其上任意一点()00,P x y 处的两条焦半径长,当0x a≥以时,10PF ex a=+,20PF ex a=-；当0x a≤时,()10PF ex a =-+,()200PF ex a a ex =--=-． 性质2以焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆外切．证明设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>,其上任一点()00,P x y ,设两焦点为1F ,2F ,2PF 的中点为M ,中心O 为12F F 的中点,则()101122OM PF ex a ==+,但以实轴为直径的圆222x y a +=与以2PF 为直径的圆的半径之和为()()200111222a PF a ex a ex a +=+-=+,即证． 性质3设1F ,2F 是双曲线()222210x y a b a b -=>>的左、右焦点,点P 是双曲线上异于顶点的任意一点,（I ）12PF PF ⋅的最小值为2b ；（Ⅱ）设122F PF θ∠=,则2122sin b PF PF θ⋅=,且1222cot F PF S b θ=⋅△；（Ⅲ）设12PF F α∠=,21PF F β∠=,则当点P 在双曲线右支上时,1tan cot 221e e αβ-⋅=+；当点P 在双曲线左支上时,1cottan221e e αβ-⋅=+．证明（I ）当P 为双曲线顶点时,即取最小值． （Ⅱ）在12PF F △中,由余弦定理,22212122cos24PF PF PF PF c θ+-⋅⋅=,由122PF PF a -=,有222121224PF PF PF PF a +-⋅=,两式相减,化简即得2212221cos2sin b b PF PF θθ⋅==-． 122121sin 2cot 2PF F S PF PF b θθ=⋅⋅=⋅△． （Ⅲ）P 在右支上时,由122PF PF a -=及正弦定理,有()1212sin sin sin PF PF F F βααβ==+．由等比定理,有()22sin sin sin c a αββα=+-．故()1tancotsin 22sin sin 1tan cot 22c e a αβαβαββα+⋅+===--⋅,故1tan cot 221e e αβ-⋅=+． P 点在左支上时,同理可证．性质4P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上异于顶点的一点,O 是中心,1F ,2F 为其左、右焦点,令OP d =,则22212PF PF d b a ⋅-=-．其证明与椭圆性质8的证明类似．性质5直线0Ax By C ++=与双曲线()222210,0x y a b a b-=±>>相交、相切、相离的充要条件是2222A a B b - 2C ±且22220A a B b -≠． 其证明与椭圆性质9的证明类似． 推论直线0Ax By C ++=与双曲线()()()222210,0x m y n a b a b ---=>>相交、相切、相离的充要条件是2222A a B b -()2Am Bn C ++．性质6设双曲线的一个焦点为F ,直线l 与过顶点A ',A 的切线相交于M ',M ,则 （1）0FM FM '⋅=⇔直线l 与双曲线相切或l 为双曲线的一渐近线； （2）0FM FM '⋅<⇔直线l 与双曲线相离；（3）0FM FM '⋅>⇔直线l 与双曲线相交（或相交于一点）．证明设双曲线方程()222210,0x y a b a b-=>>,(),0F c ,(),0A a '-,(),0A a ,直线l ：y kx m =+．()(),,FM FM a c m ka a c m ka '⋅=---⋅-+()22222c a m k a =-+-2222m b k a =+-．由22221x y a b y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去y ,得 ()()2222222220a kb x a kmx a m b -+++=．()2222224a b m b a k ∆=+-．（1）222222220000FM FM m b k a m a k b '⋅=⇔+-=⇔=-=⇔∆=或0m =,bk a=±⇔直线l 与双曲线相切或l 为双曲线的一渐近线；（2）222200FM FM m a k b '⋅<⇔<-⇔∆<⇔直线l 与双曲线要离；（3）2222222200FM FM m a k b m a k b '⋅>⇔>-⇔>-≠或222200m a k b >-=⇔∆>或l 平行于双曲线的一渐近线⇔直线l 与双曲线相交（或相交于一点）．性质7设P ,Q 是双曲线()222210x y b a a b -=>>上的两点,O 为中心,若OP OQ ⊥,则22221111a b OPOQ+=-．证明设OP 的倾斜角为α,将其参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）代入双曲线方程,得2222222cos sin a b t b a αα=-,故22222221cos sin b a a b OPαα-=． 同理,22222221sin cos b a a b OQαα-=．两式相加即证． 注类似地可证明如下结论：（Ⅰ）AB ,CD 是过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>焦点F 的弦,若AB CD ⊥,则（i ）当弦AB ,CD 的端点均在双曲线的同一支或均在两支上时,有2221111a AB CD a b⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭；（ii ）当弦AB 与CD 的端点一组在双曲线的同一支上,另一组在两支上时,有2221111a AB CD a b-=-． （Ⅱ）AB 是过双曲线()222210x y b a a b -=>>焦点F 的弦,O 为中心,Q 为双曲线上一点,若OQ AB ⊥,则（i ）当A ,B 在双曲线的两支上时,有2222211a AB ab OQ +=-；（ii ）当A ,B 在双曲线的同一支时,有2222211a ABb aOQ -=-． 性质8过双曲线的一个焦点,（I ）且与双曲线交于同支的弦,以通径为最短,对于大于通径长的任何一个长度L ,在同一支上过焦点可作两条不同的弦；（Ⅱ）且与双曲线交于异支的弦,以其实轴长为最短,对于大于实轴长的一个长度L ,过一个焦点可作两条交于异支的弦．证明设双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>．由双曲线的对称性,不妨设弦过双曲线的右焦点,弦的端点分别为()11,A x y ,()22,B x y ,AB L =．当焦点弦为通径时,容易求得22b L a=,且该弦是唯一的．当焦点弦不是通径时,设弦所在直线方程为()y k x c =-,并代入双曲线方程得()2222222222220ba k x a ck x a c k ab -+--=．由此,得22122222a ck x x a k b +=-．（I ）当焦点弦与双曲线交于右支上两点时, 易知222212222222a c ab k ab L AB x x c a a k b ⎛⎫+==+-⋅= ⎪-⎝⎭．于是()()22222b a L k a La b +=-． ①若22b L a <,则220La b -<,①式右边为负数,k 无实数解,即不存在小于通径的同支焦点弦；若22b L a >,则①中k 的两解为k =易知此时bk a>,所以交于右支的弦有两条． （Ⅱ）当焦点弦的端点A ,B 在双曲线异支上时, 易知222212222222a c ab k ab L AB x x c a b a k ⎛⎫+==--⋅= ⎪-⎝⎭． 于是()()22222b L a k a La b-=+． ②若2L a <,则②式右边为负,k 无实数解,即不存在小于实数的交于异支的焦点弦；若2L a =,则0k =,即交于异支的焦点弦以实轴为最短；若2L a >,则②中k 的两解为k =且易知0bk a<<,即交于异支的焦点弦有两条．注由上述性质,可得如下易于操作的结论：（1）若22min 2,b L a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭,则这样的焦点弦不存在；（2）若22min 2,b L a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,且双曲线非等轴,则弦唯一；（3）若双曲线等轴,且2L a =,则焦点弦有两条,分别为实轴和通径；（4）若a b <（或b a <）且当222b a L a <<（或222b L a a<<）时,焦点弦有两条,它们都交于异支（或同支）上；（5）若222b L a a =>（或222b L a a=>）,焦点弦有三条,一条为实轴,另两条交于同支（或一条为通径,另两条于异支）上；（6）若22max 2,b L a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭,焦点弦有四条,两条交于同支上,另两条交于异支上．性质9等轴双曲线222x y a -=上点()00,P x y 对弦AB 的张角为直角的充要条件是0AB y k x =-． 性质10设()00,M x y ,双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>,对于直线l 的方程00221x x y y a b -=,则（1）当M 在双曲线上时,l 为双曲线的切线；（2）当M 在双曲线外时,l 为双曲线的切点弦直线；（3）当M 在双曲线内时,l 为以M 为中点的弦平行且过此弦端点切线交点的直线．事实上,这可由第二十五章的性质7推论后的注即得,这里,其实l 为点M 关于双曲线的极线． 【典型例题与基本方法】例1过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l 交双曲线于A ,B 两点,若实数λ使得AB λ=的直线l 恰有3条,则λ=_____________ （1997年全国高中联赛题）解填4．理由是：首先注意到,过双曲线2212y x -=的右焦点且与右支交于两点的弦,当且仅当该弦与x 轴垂直时,取得最小长度224ba =．（事实上,在极坐标系中,可设双曲线的方程为ρ=,设()1,A ρθ,()()212,0,0B ρθρρ=π+>>,则24413cos AB θ=+=-≥,当2θπ=时,等号成立．其次,满足题设条件的直线恰有三条时,只有两种可能：（i ）与双曲线左、右两支都相交的只有一条,而仅与右支相交的有两条．此时,与双曲线左、右两支都相交的必是x 轴,而其两交点间的距离为22a =．但仅与右支相交的两条的弦长4λ>,这不满足题设条件．（ii ）与双曲线左、右两支都相交的有两条,而仅与右支相交的只有一条,且这条弦必与x 轴垂直（否则,由对称性知仅与右支相交的有两条弦）,此时,4AB λ==,且与双曲线左、右两支都相交的弦长也可满足这个条件．所以4λ=．例21F ,2F 为双曲线221445x y -=的两个焦点,P 是双曲线上一点,已知2PF ,1PF ,12F F 成等差数列（或12122PF PF F F =+）,且公差大于0．试求12F PF ∠．解由题设,知24a =,245b =,则7c =． 又1222PF PF c =+,则12214PF PF -=．而1224PF PF a -==,从而求得110PF =,26PF =．于是由性质3（Ⅱ）,知22122260sin 1cos2b b PF PF θθ=⋅==-,即得1cos 2θ=-． 从而120θ=︒,即12120F PF ∠=︒．例31F ,2F 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点,ab ,直线l 与2F 与x 轴的夹角为θ,tan θ=且22QP PF =∶．求双曲线方程． （1991年全国高考题）解设()1,0F c -,()2,0F c ,在2Rt OQF △中,由tan θ=可得0,Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．于是1116PF c =,256c PF =,223736OP c =．由性质4,有222255373636c c b a -=-,即223b a =,与已知223a b =联立求得21a =,23b =．故所求双曲线方程为2233x y -=．例4求过点()6,7P ,且与双曲线221916x y -=相切的方程．解运用性质5,联立方程670A B C ++=与222916A B C -=消去C ,可得()()359130A B A B ++=．求得53A B =-或139A B =-,因此求得3C B =或53C B =,即所求切线方程为5303Bx By B -++=与135093Bx By B -++=,即5390x y --=与139150x y --=为所求． 例5设点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支异于顶点的一点,1F ,2F 分别为其左、右焦点,试证：12PF F △的1F ∠的内角平分线上的旁心的轨迹方程为：()()()()222c a x c a y c a c x c --+=->．证明设12PF F α∠=,21PF F β∠=,由性质3（Ⅱ）,在12PF F △中,有()1212sin sin sin PF PF F F βααβ==+,即()22sin sin sin a c βααβ=-+,从而亦即tan cot 22c ac aαβ-⋅=+．设1F ∠的内角平分线上的旁心(),Q x y ,则1QF y k x c =+,2QF yk x c=-．由22MF QF ⊥,有12tancot22QF QF k k αβ⋅=⋅,即y y c ax c x c c a-⋅=+-+,故 ()()()()222c a x c a y c a c x c --+=->．例6设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上任意一点,过点P 的直线与两渐近线1l ：b y x a =,2l ：by x a =-分别交于点1P ,2P ,设入12P P PP λ=．求证：()12214OP P S ab λλ+=△．证明依题意,设111,b P x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,b P x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(),P x y ,则有121x x x λλ+=+,且121211b bx x y y a a y λλλλ-+==++．即121x x x λλ+=+,①且121x x a y b λλ-=+．② 由①2-②2得()222122241x x a x y b λλ-=+． 即()()()()222222222222122222111444x y x x b xa y ab a bb a b λλλλλλ+++⎛⎫=-=⋅-= ⎪⎝⎭． 从而222221211221221b b b OP OP x x x x x x a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅++-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()222222211144b a a b a λλλλ++⎛⎫=+⋅⋅=+ ⎪⎝⎭．故()()12222121222111sin 2241OP P ba S OP OP POP ab b a λλ⋅+=⋅⋅∠=⋅⋅+⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭△ ()214ab λλ+=．【解题思维策略分析】1．注意曲线方程形式的巧设例7过双曲线上任一点P 作倾斜角为α（定值）的直线l 与双曲线两渐近线交于Q ,R ,则PQ PR ⋅为定值．证明双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>,则渐近线方程为0bx ay ±=．设00P x y （，）是双曲线上的点,则过P 的直线l 的参数方程为00cos ,sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数） 由()()00cos sin 0b x t a y t αα+±+=,可得001sin cos bx ay t a b αα+=-+,002sin cos bx ay t a b αα-=-．于是22122222sin cos a b PQ PR t t a b αα⋅=⋅=-（定值）． 例8过双曲线上任一点P 的切线与双曲线两渐近线交于A ,B 两点．求证：点P 是线段AB 的中点,证明设双曲线方程为22221x y a b -=,两渐近线方程为22220x y a b-=．过双曲线上任意一点()11,P x y 的切线方程为11221x x y ya b-=,切线方程与渐近线方程联立消去y ,整理得()22222224211120b x a y x a b x x a b --⋅+=,即22120x x x a -+=．由韦达定理,知AB 的中点的横坐标1x x =,代入切线方程得1y y =,从而AB 的中点坐标为()11,x y 和点P 坐标相同,由此即证． 2．关注以坐标轴为渐近线的等轴双曲线问题例9求双曲线1xy =在第一象限内一支上的一定点(),Q a b 与它在第三象限内一支上的一动点Px y （，）之间的最短距离（以a 的解析式表示）．解当以点Q 为中心,QP 为半径的圆与双曲线()10,0xy x y =<<相切时,QP 达到最小值．此时过点P 的双曲线1xy =（0x <,0y <）的切线与QP 垂直．设切点P 的坐标为()11,x y ,过()11,P x y 的双曲线的切线方程为112y x x y +=（即用112y x x y+代xy ）,故11111y b y x a x ⎛⎫-⋅-=- ⎪-⎝⎭,且111x y =,1a b ⋅=．于是11111111x a x x a x -⋅=-,即211ax =-,从而131x a -=-,131y a -=-．所以()()22211QP x a y b =-+-223112213333a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故322233min QP a a-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 例10设双曲线1xy =的两支1C ,2C 如图29-1,正三角形PQR 的三顶点位于此双曲线上．（Ⅰ）求证：P ,Q ,R 不能都在双曲线的同一支上；（Ⅱ）设11P -（，）在2C 上,Q ,R 在1C 上,求顶点Q ,R 的坐标．（1997年全国高中联赛题）（I ）证法1假设P ,Q ,R 在双曲线1xy =的同一支如1C 上,其坐标分别为111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,221,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,331,x x ⎛⎫⎪⎝⎭．设1230x x x <<<,则直线PQ 的斜率1121k x x =-,直线QR 的斜率2231k x x =-,()2121212123tan 011x x x k k PQR k k x x x --∠==<++． 因此,PQR ∠是钝角,这与PQR △是正三角形相矛盾,故P ,Q ,R 不能都在双曲线1xy =的同一支上． 注由1230x x x <<<,有123y y y >>,于是()()()()()()222222222122313122313PQ QR PR x x x x x x y y y y y y ⎡⎤⎡⎤+-=-+---+-+---=⎣⎦⎣⎦()()()()()()22212231321223132123212322232222220xx x x x x x y y y y y y y x x x x y y y y --++--+=--+--<．即PQR △为钝角三角形．证法2设111,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,221,Q x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,331,R x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭是双曲线1xy =上的三点,易得直线PR 的斜率1131k x x -=,PR 边上的高线方程为()13221y x x x x x -=-．同理,QR 边上的高线方程为()23111y x x x x x -=-． 联立上述两方程得PQR △的垂心1231231,H x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,它显然在双曲线1xy =上．当P ,Q ,R 在双曲线的同一支如1C 上,则1230x x x -<,而H 在另一支2C 上,即H 在PQR △的外部,即PQR △为钝角三角形,故P ,Q ,R 不能都在双曲线的同一支上．（Ⅱ）设Q ,R 的坐标分别为111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,221,x x ⎛⎫⎪⎝⎭,这时QR 边上的高线方程为()1211y x x x +=+,它必过线段QR 的中点,因此QR 的中点的坐标满足上述方程,于是有121212111122x x x x x x ++⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,即()()()121212121120x x x x x x x x -+++=⎡⎤⎣⎦．因10x >,20x >,上式中括号的式子显然大于0,则1210x x -=,即121x x =．于是Q 点的坐标为221,x x ⎛⎫⎪⎝⎭,而R 点的坐标为221,x x ⎛⎫⎪⎝⎭,这说明Q ,R 关于直线y x =对称．PQ ,PR 所在的直线分别为过P 点与直线y x =交成30︒角的相互对称的两条直线,易见其倾斜角分别为75︒和15︒．不妨设PQ 的倾斜角为75︒,这时它的方程为()1tan 751y x +=︒⋅+,即(()121y x +=+．将其与双曲线方程1xy =联立,解得Q点坐标为(22-+,由对称性知R点的坐标为(22+-．注由（Ⅰ）的证法2,使我们获得如下结论：三个顶点都在同一等轴双曲线上的三角形的垂心也在此双曲线上．由此也启发我们：在处理某些等轴双曲线问题时,可考虑以坐标轴为渐近线的等轴双曲线来讨论． 例11一直角三角形的三顶点在等轴双曲线上．求证：直角顶点处的切线垂直于斜边．证明如图29-2,设等轴双曲线方程为2xy c =,直角三角形ABC 的三顶点在等轴双曲线上,直角顶点,c A ct t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,其余两顶点1,c B ct t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,22,c C ct t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,直线AB ,AC ,BC 的斜率分别为11AB k tt =-,21AC k tt =-,121BC k t t =-．图29-2由AB AC ⊥,有21211t t t =-． 过点A 的切线为22x t y ct +=,此切线斜率为21k t =-,于是21211BC k k t t t ⋅==-,故直角顶点处的切线垂直于斜边．3．借用双曲线知识,求解函数等其他问题 例12求函数3y x =+解令3u x =,0,v v u =≥≥,则y u v =+且221188u v -=．视y 为参数,在uOv 坐标系中,作出直线系v u y =-+及双曲线部分()2210188u v v -=>,如图29-3．图29-3当直线过点()0时,直线在v轴上的截距y =,由切线公式y kx =y =故函数y 的值域是(),⎡-∞+∞⎣∪． 例13求二元函数()()221,1f x y x y x y ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭的最小值．（1998年“希望杯”竞赛题） 解因()()221,1f x y x y x y ⎛⎫=-+--- ⎪⎝⎭可看作直线10x y ++=上的点(),1x x --和双曲线1xy =上的点1,y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离的平方式．由作图可知,所求最小值为12．4．注意知识的综合运用例13设直线l ：y kx m =+（其中k ,m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A 、B ,与双曲线221412x y -=交于不同两点C 、D ,问是否存在直线l ,使得向量0AC BD +=．若存在,指出这样的直线有多少条？若不存在,请说明理由． 解由22,1,1612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理,得()2223484480k xkmx m +++-=．设()11,A x y ,()22,B x y ,则122834kmx x k +=-+．()()()222184344480km k m ∆=-+->．①由22,1,412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理,得()22232120k xkmx m ----=．设()33,C x y 、()44,D x y ,则34223kmx x k+=-． ()()()2222243120km k m ∆=-+-+>．②因为0AC BD +=,所以()()42310x x x x -+-=． 此时()()42310y y y y -+-=． 由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-． 于是20km =或2241343k k -=+-．从而由前一式解得0k =或0m =． 当0k =时,由①、②得m ->m 是整数,所以m 的值为3-,2-,1-,0,1,2,3． 当0m =时,由①、②得k <k 是整数,所以1,0,1k =-． 于是,满足条件的直线有9条． 【模拟实战】习题A1．设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>,两焦点为()1,0F c -,()2,0F c ,点Q 是双曲线右（或左）支上除顶点外任一点,从焦点1F （或2F ）作12F QF ∠的角平分线的垂线,垂足为P ,则P 点的轨迹是以原点为圆心,a为半径的圆（除点(),0a -,(),0a ）．2．求曲线22916144x y +=与22732224x y -=的公切线方程．3．一直线截双曲线()222210,0x y a b a b -=>>于P ,Q 两点,与渐近线交于P ',Q '两点．求证：PP QQ ''=．4．已知双曲线中心为原点,焦点在x 轴上,离心率53e =,且与直线8160x +-=相切．求双曲线方程．习题B1．已知双曲线C ：()2222211a x a y a a -=>+（）,设该双曲线上支的顶点为A ,且上支与直线y x =-交于P 点,一条以A 为焦点,()0,M m 为顶点,开口方向向下的抛物线通过P 点,且PM 的斜率为k 满足1143k ≤≤．求实数a 的取值范围． 2．已知双曲线222210,0,x y a b a a b-=>>≡()b 上有一定点A ,点P ,Q 为满足PA QA ⊥的异于点A 的任意两点．求证：PQ 过定点．第二十九章 双曲线的性质及应用 习题A1．延长1F P 与2QF 的延长线交于R 点．由Q 在双曲线上,且1F ,2F 为其焦点,则22122F R QR QF QF QF a =-=-=,即212OP F R a ==．反之,可证以原点为圆心,a 为半径的圆（除点(),0a -,(),0a ）上的点满足条件．2．曲线化为标准方程为221169x y +=与221327x y -=．由直线与两曲线相切的充要条件,有222222169,327A B c A B c⎧+=⎪⎨-=⎪⎩求得5A B C B =⎧⎨=±⎩或5A B C B =-⎧⎨=±⎩ 从而所求公切线方程为50x y +±=与50x y -±=．3．过P ,Q 点分别作两渐近线的垂线PA ,PB ,QC ,QD ,显然PBQ QCQ ''△∽△,则QQ QCPQ PB'='．同理PP PA QP QD '='．由于双曲线上任一点到两渐近线距离之积为定值,即PA PB QC QD ⋅=⋅,故QC PAPB QD=,即QQ PP PQ QP ''='',亦即QQ PP QQ PQ PP QP ''=''''++,故PP QQ ''=． 4．设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>因为2413b e a =-=,可设29a λ=,()2160b λλ=>,所以双曲线方程为221916x y λλ-=．因直线827160x y +-=与其相切,由性质5,有2649281616λλ⋅-⋅=,得2λ=,故所求双曲线方程为2211832x y -=．习题B1．在方程可化为()22221/1x y a a -=-．由1a >知2201a a >-．又()0,1A ,于是以A 为焦点,()0,M m 为顶点开口向下的抛物线方程为()()241x m y m =---．联立y x =-与()22221a x a y a -+=得(),P a a -． 又P 在抛物线上,有()()241a m a m =---．（*）而MP m ak a-=,即有MP m ak a =+并代入()*式,得()24410MP MP ak a k a +--=．因1143MP k ≤≤,且40a >,则关于MP k 的二次方程的判别式()241440a a a ∆=-+⋅⋅>⎡⎤⎣⎦成立．令()()2441f k ak a k a =+--,而此抛物线的对称轴方程为()411242a a k a a --=-=⋅,由1a >,则102aa-<．联立40a >与11043f f ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤,即114441401693a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⋅+--⋅⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤,即17410493a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤,故1247a ≤≤为所求． 2．设()sec ,tan A a b θθ,()11sec ,tan P a b αα,()22sec ,tan Q a b αα,则PQl ：()()()()112112sec tan tan tan sec sec x a b b y b a a αααααα--=--,即PQl ：121212cossincos0222b x a y ab αααααα-++--⋅=．又11cos2sin 2AP b k a αθαθ-=+,22cos2sin 2AQ b k a αθαθ-=+,因此221211cos cos sin 222AP AQk k b a αθαθαθ--+⋅=-⇔⋅+⋅2221212121212sin0cos )cos cos cos )0cos 222222b a b αθααααααααααθθ++--+-⎡⎤⎡⎤=⇔-++-+=⇔⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()222212122222sin sin cos 022cos cos a a b b a b a ab b a a b θααααθθ++++-⋅-=--２．由此式,知直线PQ 恒过定点22222222sec ,tan a b a b a b b a a b θθ⎛⎫++⋅⋅ ⎪--⎝⎭．。
再谈等轴双曲线的性质
再谈等轴双曲线的典型性质浙江省海盐元济高级中学（314300）崔宝法 《中学数学研究》2006年第7期发表江西师范大学《中学数学研究》月刊2000年第5期曾刊登了本人的拙作《等轴双曲线的几个典型性质及其证明》，文中给出并证明了具有高度对称美的等轴双曲线所独有的五个典型性质。
经过本人的进一步研究，发现等轴双曲线还有另外几个典型性质。
下面一一列出，并加以证明。
性质一 等轴双曲线上关于实轴对称的两点分别与此双曲线两个顶点的连线互相垂直。
证明：如图1，设等轴双曲线方程为222x y a -=两顶点为(,0)A a 、(,0)A a '-， 双曲线上关于实轴对称的两点为11(,)P x y 、11(,)P x y '-，则22211x y a -=，且AP 、A P ''、AP '、A P '诸直线的斜率分别为：11AP y k x a =-，11A P y k x a ''-=+， 11AP y k x a '-=-，11A P y k x a'=+。
∴2211222111AP A P y y k k x a y ''--⋅===--,2211222111AP A Py y k k x a y ''--⋅===--， 即AP A P ''⊥，AP A P ''⊥。
性质二 等轴双曲线上一点张直角之弦平行于过此点的法线。
证明：设等轴双曲线的参数方程为x ctc y t =⎧⎪⎨=⎪⎩，点P 的坐标为(,)c P ct t ，在点P 张直角之弦的两端点1Q 、2Q 的坐标分别为11(,cct t 、22(,c ct t ， 则12Q Q 的斜率为12121212111()Q Q c t t k c t t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭==--。
同理，1PQ 、2PQ 的斜率分别为111PQ k tt =-，221PQ k tt =-。
双曲线的性质及应用
设P( x, y ), | AP |2 = ( x − 5) 2 + y 2 x2 + k 5 k 2 2 = ( x − 5) + = ( x − 4) + 5 − 4 4 4 当k > 0时，x ≥ k 或x ≤ − k k 2 若 k ≤ 4，即0 < k ≤ 16时, x = 4时，AP | min = 5 − = 6 ⇒ k = −4(舍) | 4 5k k 2 若 k > 4，即k > 16时, x = k时，AP | min = | - 10 k + 25 − = 6 4 4 2 ⇒ k = (5 + 6 ) 2 , k = (5 − 6 )（舍)
2
6
此时双曲线方程为 : 4 y 2 − x 2 = 4
x2 y2 例：已知 a > b > 0, 求与椭圆 2 + 2 = 1有公共焦点的双曲 a b 线方程，使椭圆与双曲 线的四个交点为顶点的 四边形面
A x2 y2 D 设双曲线 : 2 − 2 = 1, 与椭圆交于 m n A, B, C , D四点, 设D ( x1 , y1 ) O F1 F2 x ∴ S ABCD = 4 x1 y1 C B 2 2 x1 y1 x1 y1 ab ∵1 = 2 + 2 ≥ 2 ⇒ x1 y1 ≤ a b ab 2 x1 y1 2 当且仅当 = = 时等号成立 a b 2 2 2 2 2 ( a) ( b) 此时 2 2 − 2 2 = 1也成立 m n
1 ∴| OP |= | MF1 |= ± a 2
∴ P的轨迹方程：x 2 + y 2 = a 2 ( y ≠ 0)
F1
O
F2 x
例：是否存在同时满足 下列条件的双曲线 (1) 渐近线方程 x ± 2 y = 0 ( 2 ) A(5,0 )到双曲线上动点 P 的距离的最小值为 6
高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条
椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质------（必背的经典结论）（必背的经典结论）高三数学备课组椭圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7.椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =−(1(,0)F c −,2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q,A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=−，即0202y a xb K AB −=。
椭圆与双曲线的经典性质31条(已经修改版)
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=. 8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=. 8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
高考数学椭圆与双曲线的经典性质条_OK
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以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
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以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的 圆内切.
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若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
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8
若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、 P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
• 已知椭圆（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.
• 设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .
• 设A、B是椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则
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（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平 分线与长轴交点分别称为内、外点.）
• 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
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椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心 的比例中项.
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椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
– 双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是. – 已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且. • （1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.
• 过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x 轴于P，则.
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以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
2021/8/10
圆与双曲线的一组相关性质
圆与双曲线的一组相关性质作者：田富德来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2008年第10期摘要：本文将《圆与椭圆的一组相关性质》一文中介绍的一些性质进行类比，得到了关于圆x2+y2=a2与双曲线-=1的一组相关性质.关键词：圆；双曲线定理1 如图1所示，点A，B分别为双曲线-=1（a>0，b>0）的左顶点和右顶点，点F1，F2分别为双曲线-=1的左焦点和右焦点，过双曲线-=1上异于点A，B的任一点P，引双曲线-=1的切线，交圆x2+y2=a2于点M，N（两交点中偏左的一点记为M，偏右的一点记为N），直线AM，BN的交点记为Q，则（1）MF1∥NF2；（2）kAM·kBN为定值；（3）PQ与x轴垂直.[F1][F2][B][O][M][A][N][Q][P][x][y]图1证明设P（asecθ，btanθ)，M（x1，y1），N（x2，y2），其中x1由点P易得切线MN：x－y=1，又由⇒（a2sin2θ+b2）x2－2ab2xcosθ+a2b2cos2θ－a4sin2θ=0（因b2=c2－a2）⇒（c2－a2cos2θ）x2－2a（c2－a2）xcosθ+a2（c2cos2θ－a2）=0⇒［（c－acosθ）x－（accosθ－a2）］［（c+acosθ）x－（accosθ+a2）］=0（2）由点A，M得kAM=，由点B，N得kBN=.故kAM·kBN=×==.（3）由（2）得直线MA：y=（x+a），直线NB：y=（x－a），⇒PQ与x轴垂直.综上，定理1得证.定理2 如图2所示，点A，B分别为双曲线-=1（a>0，b>0）的左顶点和右顶点，点F，F 分别为双曲线-=1的左焦点和右焦点，过圆x2+y2=a2上异于点A，B的任一点P引双曲线-=1的两切线PM，PN，切点分别为M，N（两切点中偏左的一点记为M，偏右的一点记为N），直线AM，BN的交点记为Q，则（1）F1M∥OP∥F2N；（2）kAM·kBN为定值；（3）PQ与x轴垂直.[F1][F2][B][A][M][O][P][Q][y][x][N]证明设P（acosθ，asinθ），M（x1，y1）， N（x2，y2），其中x1由点P易得切线方程为x－y=1，又由⇒（a2sin2θ－b2cos2θ）x2+2ab2cosθx－a2b2－a4sin2θ=0（因b2=c2－a2）⇒（a2－c2cos2θ）x2+2a（c2－a2）cosθx+a2（a2cos2θ－c2)=0⇒［（a－ccosθ）x－（a2cosθ－ac）］［（a+ccosθ）x－（a2cosθ+ac）］=0⇒x1=，x2=（易得x1⇒y1=，y2=（1）由点F1，F2，M，N，O，P易得⇒=（0，csinθ）⇒PQ与x轴垂直.综上，定理2得证.定理3 如图3所示，点A，B分别为双曲线-=1（a>0，b>0）的左顶点和右顶点，点F1，F2分别为双曲线-=1的左焦点和右焦点，过点F1作直线MN交圆x2+y2=a2于点M，N（直线MN不与x轴重合），以点M，N为切点分别作圆x2+y2=a2的切线，记两切线的交点为T，直线AM，BN的交点为P，直线AN，BM的交点为Q，则点T，P，Q均在双曲线-=1的左准线x=－上.（将点F1替换为点F2时有类似结论，详细过程从略）[F1][F2][O][B][Q][A][M][N][T][P][x][y]证明设直线MN：x=my－c，M（x1，y1），N（x2，y2）.由x=my－c，故易得以点M（x1，y1）为切点的圆x2+y2=a2的切线方程为x1x+y1y=a2，以点N（x2，y2）为切点的圆x2+y2=a2的切线方程为x2x+y2y=a2.由x1x+y1y=a2，x2x+y2y=a2⇒（x1y2－x2y1）x=a2（y2－y1）（因x1=my1－c，x2=my2－c）⇒［（my1－c）y2－（my2－c）y1］x=a2（y2－y1）⇒c（y1－y2）x=a2（y2－y1）⇒x=－⇒点T的横坐标为－⇒点T在直线x=－上.由点A，M得直线AM：y=（x+a），由点B，N得直线BN：y=（x－a）.所以点P的横坐标为－，即P在直线x=－上.同理,可证点Q也在直线x=－上 .综上可知，点T，P，Q均在双曲线-=1的左准线x=－上，从而定理3得证.。
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（龙一勋）２＋（ｙ—帕）２＝，２（ｒ为定值）②交于四点 Ｐ（ｘ－，Ｙ－），Ｑ（ｘ２，ｙ２），Ｒ（ｘ３，ｙ３），ｓ（翱，弘）．由①，
②消去Ｙ，得石的四次方程ｘ４－２ＸｏＸ，＋（稆啊一
ｒ２）ｘ２－２ｋｙｏｘ＋ｋ２＝Ｏ，由韦达定理得： ｘｉ＋ｘ２＋Ｘ３＂Ｉ＇－Ｘ４－－－－２Ｘｏ，工店２＋奶勋＋扬鬈４＋＋石讳３忆航＋
（１Ｖ）得；
ａ＇＝ｌｏｇ＾ｘ（ａ，ｂ∈（０，１）ｕ（１，＋∞），ｘ＞Ｏ）（７）
解的个数，笔者认为并不是很容易．
当然，方程（７）中ａ＝ｂ时的情形已有很多
文献给出了结果，比如［２］，［３］． 定理３的（Ⅲ）之①，②中还有如下 问题求方程ｅ’≈。（ｅ是自然对数的
底，Ｏ＜ｘ＜１）的解．
（ｉｖ）由定理２的（Ⅱ）之②及定理ｌ的
设等轴双曲线ｘｙ＝后 ①与圆 所以Ｐ０２＋Ｑ０２＋Ｒ０２＋ＳＤ２剐｝慨；忆；帆；十订＋
万方数据
２００８年第９期
中学数学月刊
・３３・
谚啊蚵扫驴（定值）．
性质２若等轴双曲线与一个圆交于四 点，则（１）双曲线必过其中任意三点所构三角
形的垂心；（２）第四点与垂心的连线必过双曲 线的中心． 证明（１）如图
ｙ
设等轴双曲线方程 ｆ算＝Ｃｔ，
、凡
生ｔａ），Ｂ（嘞，吾）， 幻
。
是｝
●＾
ｃ（ｚ为参数）
Ｃ（ｃｔ。，｝），过点Ａ，Ｂ的直线方程为：ｙ一｝
‘ｔ７
Ｉ尸丁
①，圆方程为乒妒一
２ｘｏｘ－２ｙｏｙ＋ｆ＝Ｏ
≮
ｉ÷ 恭江！ 蜴ｐ—
Ｊ一
＼
／
图２
／
＝一÷（ｘ－－ｅｔＡ），ＡＢ边上的高所在直线为：），一
＆ＡｔＢ
②，
联立①，②，消去ｘ，ｙ，整理得
又Ａ４・的方程为），一寺一古（戈－ｃｔ３），即
茗村乒俨ｃ（ｔ３＋“）．因为ｔ３＋ｔ４＝０，所以茗＋￡≯扩＝０，故
Ａ４。过双曲线的中心ｏ（ｏ，０）．
曲线ｘｙ－＇－ｃ２关于０点对称，所以Ｄ与日关于
原点对称，故Ｄ点坐标为（东≥，ｃ“ｚ矿ｃ）－因
为“庐一去，Ｉ｜｝８Ｆ一杀＿，Ｊ｜｝一庐一ｔ矿ｃ，Ｊ｜｝。ｃ＝一ｔ幽，
故点Ａ，处的切线与Ａ
４：垂直ｊ同理可证过点
・３４・
中学数学月刊
Ａ。的切线也与Ａ４：垂直．
性质４以等轴双曲线平行于实轴的弦 为直径的圆必过双曲线的两个顶点．
证明 如图３，
、
举：｝．（｝ｔ＋｝ｔ＋｝ｔ＋寺ｔ）．
！ｌ上＿－Ｌ丝：生．ｆ上＋上＋上＋上１． ４ ＼， ．』
４
． ，
２００８年第９期
Ｙ
ｍ弗≯・＝｝・（Ⅻ≯，＋￡≯多。村萝∥－¨一幽）＝｝・（一争）
一
所以Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点共圆，故Ｄ即为第四个 交点．因为Ｄ在直线ＨＯ上，所以第四点与
垂心的连线过双曲线的中心Ｄ．
性质３若等轴双曲线与一个圆交于四 点，且其中两点的连线是此圆的直径，则另两
１，不妨设等轴双曲
线铲ｃ２与圆相交的
其中三点为Ａ（ｃ“，
对慷／
ｃＩ
图１
吻 除』
一
Ｌ
点的连线必过双曲线的中心，且双曲线在这 两点处的切线都与此直径垂直． 证明 如图２，
，
Ｅ
设等轴双曲线的方
程为矿彳＝ａ２，ＤＣ为
平行于实轴的弦，点 Ｃ坐标为（ｘｌ，ｙ－），则
侈 翻ｃ！
广 贝＼？
图３
一丁，
所以平均中心的坐标为（一丁Ｄ，一孚），而
双曲线中心与圆心的坐标分别为（０，０）和
从①，②可以解得垂心Ｈ的坐标为
因为ｋ舢＝—喜掣一上，同理，
Ｃ
／１
１＼
Ｉ——一——１
．
ｃＩ，ｔ３一ｔｌ Ｊ
Ｚｌ如
它满足等轴双曲线方程Ｘｙ＝Ｃ２，故等轴双 曲线经过这个三角形的垂心．
矗肿一去，所以ｋＡＭ，＂后枇＝矗≥一ｌ，将
ｔｌｆ弗萝４＿１代入得ｔ３＝－－ｔ４．
（２）连ＨＯ（Ｏ为坐标原点），设直线ＨＯ
交双曲线于点Ｄ，则因为Ｈ在双曲线上，且双
菇２鬈４：稆＋菇一ｒ２， 故ｚｆ帆孑慨｝协孑＝（菇ｌ忆２似３坝４）２－２（ｘｒｘ２＋ 菇２茗３＋ｘ３ｘ４＋＋石｝扔＋石ｌｚ４＋戈２轧）＝４石０—２（霜＋菇—ｒ２）＝ 厶扣２＿弼＋２ｒ２．
中几条，并加以证明．
性质１若等轴双曲线与一个定半径的
圆交于四点，则其中心到这四点的距离的平 方和为定值．
证明
同理，订川啊川＝砺一碲２ｒ２．
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中学数学月刊
２００８年第９期
（Ⅱ）之④得． ②由定理２的（Ⅱ）之①及定理１的（Ⅳ）
得．
文［１］末说“用类似的方法还可以得出对 数函数与幂函数以及指数函数与对数函数图 象交点个数”，即可以求出关于茗的方程
ｌｏｇ，，ｘ＝ｘ。（ａ＞Ｏ且Ⅱ≠１，ｘ＞Ｏ）， （６）
③（ｉ）由定理ｌ的（Ⅱ）及定理２的（Ⅱ） 之④得； （ｉｉ）由定理ｌ的（Ⅲ）及定理２的（Ⅱ）之 ④得； （ｉｉｉ）由定理２的（Ⅱ）之③及定理１的
［Ｊ］冲学数学，２００７（８）．
［３］甘志国．方程ａ＇＝ｌｏｇ，茗的解的个数及一类新型 极限【Ａ】．见：初等数学研究［Ｍ］．哈尔滨：哈尔滨 工业大学出版社，２００８．
④得．
等轴双曲线和圆相交时的几个优美性质
崔宝法（浙江省海盐元济高级中学３１４３００）
在高中数学新课程人教版《数学》（必修 ２与选修ｌ一１）中，对圆及双曲线的特例—— 等轴双曲线虽都有涉及，但没有进一步探求 它们的相关性质．事实上，等轴双曲线和圆 不但图象都具有高度的对称美，而且当它们
（１Ｖ）得．
④（ｉ）由定理２的（Ⅱ）之②及定理ｌ的
（Ⅳ）得；
参考文献 ［１］谢绍义．幂指函数图象交点问题［Ｊ］．数学通报， ２００７（９）． ［２］邹庆禹．指数函数与其反函数的交点问题探讨
（ｉｉ）由定理２的（Ⅱ）之③及定理１的
（１Ｖ）得； （ｉｉｉ）由定理１的（Ⅲ）及定理２的（Ⅱ）之
④得；
（ｉｖ）由定理１的（Ⅱ）及定理２的（Ⅱ）之
所以］ｔａｎ／＿ＡＢＣ
Ｉ缨ｌ’［ｔａｎＺ．ＡＤｃ Ｉ－ｌ雠１．
万方数据
Ｉ＝ｌ艋Ｉ－
又易知双曲线在点Ａ，（ｃｔｓ，吾）处的切线
方程为ｘ＋ｔ；ｙ＝２ｃｔｚ，其斜率为ｋ＝－万１，而Ａ ｌＡ
‘ｔ
２
的斜率为七一“Ｆ一吉，所以ｋ・ｋＡｔＡ产≤≥一１， Ｚ一菇
ｆｌｔ２
故￡ＡＢＣ＝￡ＡＤＣ．或ｊ￡ＡＢＣ＋￡ＡＤＣ＝１ｒ．
七Ｃ－－－－＝ｔＡｔＢ（ｘ－－ｃｔｃ）， ｃ２ｔ４＿２ｃｘｏｔ３＋ＪＦ－２ｃｙｏｔ＋ｃ－ｚ＝０．
即ｙ＋ｃ￡膨酬ｓ卜去）．
同理，ＢＣ边上的高所在直线为：
①
设两曲线的四个交点的坐标为Ａ；（ｃ岛，
｝）（ｉ＝１，２，３，４），则由韦达定理有ｗ２ｔ３ｔ４＝手
②
＝１．
ｙ＋ｃｔＡｔ俐亩ｃ卜蠹）．
（意，吲膨ｃ），
不妨设Ａ ４：是圆的直径，则Ａ ４，上Ａ４，．