哈密顿算子
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哈密顿算子
x ex y ey z ez
2 A
2 x2
2 y 2
2 z 2
Axex Ayey Azez
2 Ax x2
2 Ax y 2
2 Ax z 2
ex
2 Ay x2
2 Ay y 2
2 Ay z 2
ey
2 Az x2
2 Az y 2
2 Az z 2
ez
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
ex
y ey
z
ez
Axex Ayey Azez
Ax Ay Az x y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x ex y ey z ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
ex
ey
ez
A
x y z
注意此项的符 号与顺序
Ax Ay Az
Az y
Ay z
ex
Ax z
Az x
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 R
R R3
分析：本题要注意算符 和算符 的区别，其中 是对场 点作用，而 是对源点作用，即
x
ex
y
ey
z
ez
x
ex
y
ey
z
ez
常用矢量关系式，要记住
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
哈密顿算子
哈密顿算子—矢量微分算子
x
2 A
2 x2
2 y 2
2 z 2
Axex Ayey Azez
2 Ax x2
2 Ax y 2
2 Ax z 2
ex
2 Ay x2
2 Ay y 2
2 Ay z 2
ey
2 Az x2
2 Az y 2
2 Az z 2
ez
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
ex
y ey
z
ez
Axex Ayey Azez
Ax Ay Az x y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x ex y ey z ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
ex
ey
ez
A
x y z
注意此项的符 号与顺序
Ax Ay Az
Az y
Ay z
ex
Ax z
Az x
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 R
R R3
分析：本题要注意算符 和算符 的区别，其中 是对场 点作用，而 是对源点作用，即
x
ex
y
ey
z
ez
x
ex
y
ey
z
ez
常用矢量关系式，要记住
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
哈密顿算子
哈密顿算子—矢量微分算子
x
《矢量分析与场论》 哈密顿算子
gradu
梯度是一个矢量。
1.哈密顿算子
2）与矢量场 A( x, y, z) 的数性作用—散度算子
A ( i j k ) ( Ax i Ay j Az k ) x y z
Ax Ay Az x y z
能交换。
A B B A
A A
矢量的叉积可以反交换，但 算子和场的叉积
不能交换。
A B B A
A A
2.算子表示 基本运算公式的算子表示，即是用哈密顿算子 表示梯度、散度和旋度的基本运算公式。 哈密顿算子 是描述场与空间相互作用的统一 工具。 哈密顿算子 和梯度、散度和旋度共同构成物
既可以与数量场作用，也可以与矢量场作用。
数量场 u
矢量场 B
u u u ( A )u Ax Ay Az x y z
B B B ( A ) B Ax Ay Az x y z
1.哈密顿算子 算子的显著特点在于它的双重性，既是一个 算子，又是一个矢量，但首先是一个算子，因此 与矢量的运算法则略有不同。 矢量的点积可以交换，但 算子和场的点积不
旋度运算公式
4） div( A B) B rotA A rotB ( A B) B A A B
（13）
5） rot( gradu) 0
(u ) 0
（16）
6）
div(rotA) 0 ( A) 0
（ c 为常数） （ 2）
（ 2）
div( A B) divA divB ( A B) A B
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
哈密顿算子的定义与性质
• 定义向量微分算子
∂ ∂ ∇ = ∂x i + ∂∂y j + ∂z k
• 称为▽( Nabla ，奈 称为▽ 布拉)算子, 布拉)算子, 或哈密 顿( Hamilton ) 算子
• • •
矢量性 微分算子 只对于算子▽ 只对于算子▽ 右边的量发生 右边的量发生 微分作用
∂Dx ∂Dy ∂Dz + + =ρ ∂x ∂y ∂z ∂Bx ∂By ∂BZ + + =0 ∂x ∂y ∂z
哈密顿算子与梯度、散度、 哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 英汉对对碰 • • • • Operator▽ Operator▽ Gradient Divergence Curl • • • • 哈密顿算子 梯度(grad) 梯度(grad) 散度(div) 散度(div) 旋度(rot) 旋度(rot)
∂u ∂u ∇u = ∂x i + ∂ y ∂u j + ∂z k
= gradu
(2) A = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k, 则
∇⋅ A
∂P ∂Q ∂R = ∂x + ∂ y + ∂z = div A
i
∂ = ∂x ∇× A P
j
∂ ∂y
k
∂ ∂z
对速度矢量场， 对速度矢量场 ， 流体微团运动分析证明 速度散度的物理意义是标定流体微团运 动过程中相对体积的时间变化率。 动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl) 矢量场的旋度(curl)
对矢量场， 对矢量场 ， 在笛卡尔坐标系下其旋度定 义为： 义为： ir rj kr
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
对速度矢量场，流体微团运动分析证明 速度旋度等于旋转角速度的两倍。
哈密顿算子小结
(1) 设 u u ( x, y, z ), 则
u
u x u i y u j z
k grad u
(2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
A
P Q R x y z
div A
k
i
A x P
j
y
z
rot A
Q
R
E z E y Bx y z t By E x E z z x t E y E x Bz x y t
引进哈密顿算符：
i j k x y z
D B 0 D H t B E t
dp pn ds
矢量场的散度(divergence)
对矢量场，在笛卡尔坐标系下其散度定 义为：
V x V y V z V x y z
对速度矢量场，流体微团运动分析证明 速度散度的物理意义是标定流体微团运 动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl)
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 英汉对对碰
• • • • Operator▽ Gradient Divergence Curl • • • • 哈密顿算子 梯度(grad) 散度(div) 旋度(rot)
哈密顿算子的定义与性质
• 定义向量微分算子
x i y
j z k
• 称为▽( Nabla ，奈 布拉)算子, 或哈密 顿( Hamilton ) 算子
哈密顿算子
(B g) A,
(13) g(A B ) B g( A) A g( B )
(14) (A B ) (B g ) A (A g) B B ( gA)
A ( gB )
(15) g( u)= 2u u （其中Δu为调和量） (16) ( u)= 0
(17) g( A)= 0
如下的一个数性微分算子
A
g
r ( Axi
Ay
r j
r r Azk )g i
x
r j
y
r k
z
Ax
x
Ay
y
Az
z
,
它既可作用在数性函数u（M）上，又可作用在
矢性函数B（M）上。如
A
g
u
Ax
u x
Ay
u y
Az
u z
,
A
g
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ax
B x
Ay
B y
Az
B z
,
应当注意这里 A g 与 gA 是完全不同的。
证
(uv)
r i
x
r j
y
r k
z
uv
r i
(uv)
r j
(uv)
r k
(uv)
x
y
z
(u
v
v
u
r )i
(u
v
v
u )
r j
x x
y y
(u
v
v
u
r )k
z z
u
v x
r i
v y
r j
v z
r k
v
u x
r i
u y
(13) g(A B ) B g( A) A g( B )
(14) (A B ) (B g ) A (A g) B B ( gA)
A ( gB )
(15) g( u)= 2u u （其中Δu为调和量） (16) ( u)= 0
(17) g( A)= 0
如下的一个数性微分算子
A
g
r ( Axi
Ay
r j
r r Azk )g i
x
r j
y
r k
z
Ax
x
Ay
y
Az
z
,
它既可作用在数性函数u（M）上，又可作用在
矢性函数B（M）上。如
A
g
u
Ax
u x
Ay
u y
Az
u z
,
A
g
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ax
B x
Ay
B y
Az
B z
,
应当注意这里 A g 与 gA 是完全不同的。
证
(uv)
r i
x
r j
y
r k
z
uv
r i
(uv)
r j
(uv)
r k
(uv)
x
y
z
(u
v
v
u
r )i
(u
v
v
u )
r j
x x
y y
(u
v
v
u
r )k
z z
u
v x
r i
v y
r j
v z
r k
v
u x
r i
u y
哈密顿算子运算公式及推导
哈密顿算子运算公式及推导
哈密顿算子（HamiltonianOperator）是物理系统的动能和位能的组合，通常被认为是物理系统本质由来的参数，用来描述物理系统的性质（物理量）。
2. 公式及推导
哈密顿算子可以用如下公式表示：
H=Hp+Hk
其中，Hp 为位能，Hk 为动能。
（1）位能Hp：一般地，位能公式可以写成
Hp=- 2
它表示的是物体的力学位能，具有空间变化的粒子受到的力学位能，表示为几何位能。
（2）动能Hk：动能Hk 可以用牛顿动力学的方法推导出，用来描述物体受到的动能，即速度的平方加上位移的有关量，即：
Hk=1/2m*(2/x 2+2/y 2+2/z 2)
其中，m 为物体的质量，x，y，z 分别为物体的X，Y，Z 轴坐标。
所以，将上面两个公式相加，得到的哈密顿算子公式可以表示为： H=- 2+1/2m*(2/x 2+2/y 2+2/z 2)
以上就是哈密顿算子运算公式及推导的介绍，哈密顿算子是物理系统本质由来的参数，可以用来描述物理系统的性质，是物理实验中经常用到的重要参数。
哈密顿算子
(ax i ay j az k ) 3a a 3a 2a
所以
(a r ) dl 2 a dS
l S
证毕
例4 验证 Green 第一公式
S
(u v) dS (v u vu )dV
与第二公式
S
(uv vu ) dS (uv vu )dV
u u u ( A )u Ax Ay Az x y z
数性微分算子作用于矢性函数 B(M ) 上
B B B ( A ) B Ax Ay Az x y z
注意： A 与 A 不同
常见公式（ u , v 是数性函数，A, B 是矢性函数）
1. (Cu) Cu
(ur ) r 3
解 由公式10知
(ur ) u r u r
u 3sin yzi 3xz cos yz j 3xy cos yzk 3(sin yzi xz cos yz j xy cos yzk )
(ur ) 9x sin yz 3x sin yz 3xyz cos yz 3xyz cos yz
证明：由 Gauss 公式
A dS ( A)dV
S
取 A u v ，用公式10
S
(u v) dS (u v)dV (v u uv)dV
同理
S
(v u ) dS (v u vu )dV
两式相减
和旋度可用 算子表示：
gradu u
divA A rot A A
数性微分算子
A ( Ax i Ay j Az k ) (i j k ) x y z Ax Ay Az x y z
第九讲 第三章哈密顿算子
= B (汛 A)- A (汛 B)
例4 证明： 汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A( B) 证： 汛 ( A? B) 汛 ( Ac ? B) 汛 ( A Bc )
汛 ( Ac ? B) Ac (? B) ( Ac ? ) B A(? B) ( A
)B
汛 ( A? Bc ) (Bc ? ) A Bc ( A ? ) (B ? ) A B( A
(18)汛 (汛 A) = 蜒 (
在下面的公式中r = xi + yj + zk , r = r
(19)? r r = r0 r
(27)奥氏公式蝌 A dS =
S
蝌
W
(
S
A) dV
(20)? r
(22)? f (u)
3
(28)斯托克斯公式蝌 A dL =
L
(汛 A) dS
(21)汛 r = 0
f¢ (u) u 抖 f f (23)? f (u , v ) ?u v 抖 u v f ¢(r ) (24)? f (r ) r= f¢ (r )r 0 r (25)汛 轾 f (r ) r = 0 臌 - 3 (26)汛 轾 r 犏 臌 r = 0 (r 0 )
)
\
汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A(
B)
下面两个公式非常重要：
a (b? c) c (a? b) b (c a)
a创 (b c) = (a c)b - (a b)c
例5
已知 u = 3x sin yz, r = xi + yj + zk , 求 Ñ (ur )
u? A
? (uc A)
例4 证明： 汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A( B) 证： 汛 ( A? B) 汛 ( Ac ? B) 汛 ( A Bc )
汛 ( Ac ? B) Ac (? B) ( Ac ? ) B A(? B) ( A
)B
汛 ( A? Bc ) (Bc ? ) A Bc ( A ? ) (B ? ) A B( A
(18)汛 (汛 A) = 蜒 (
在下面的公式中r = xi + yj + zk , r = r
(19)? r r = r0 r
(27)奥氏公式蝌 A dS =
S
蝌
W
(
S
A) dV
(20)? r
(22)? f (u)
3
(28)斯托克斯公式蝌 A dL =
L
(汛 A) dS
(21)汛 r = 0
f¢ (u) u 抖 f f (23)? f (u , v ) ?u v 抖 u v f ¢(r ) (24)? f (r ) r= f¢ (r )r 0 r (25)汛 轾 f (r ) r = 0 臌 - 3 (26)汛 轾 r 犏 臌 r = 0 (r 0 )
)
\
汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A(
B)
下面两个公式非常重要：
a (b? c) c (a? b) b (c a)
a创 (b c) = (a c)b - (a b)c
例5
已知 u = 3x sin yz, r = xi + yj + zk , 求 Ñ (ur )
u? A
? (uc A)
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特别提示：在不同坐标系中 u 、 A 、 A 的计算公式也不同。
场，则 (au1 bu2 ) au1 bu2
(u1u2 ) u1u2 u2u1 若u 0，则u 常数
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
u
x
e x
y
e y
z
e z
u
u x
e x
u y
ey
u z ez
A
x
ex
y
ey
2.算子 在不同的坐标系中有不同的表达式；
直角坐标系中 柱坐标系中
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
u
u
e
1 u
e
u z
ez
球坐标系中
u
u r
er
1 r
u
e
1 u
r sin
e
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1.算子 既有微分的性质，又有矢量的特点； 2.算子 在不同的坐标系中有不同的表达式； 3. 设 a、b 为任意常数，函数u1 、u2 、u 为任意标量
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 R
R R3
证明：(1) 因为
R
R x
ex
R y
e y
R z
e z
R 1 [(x x)2 ( y y)2 (z z)2 ]1/2 2(x x) (x x)
x 2
R
同理: R (y y)
y R
R (z z) z R
R (x x) e ( y y) e (z z) e R
Rx
Ry
R zR
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 RR R3ຫໍສະໝຸດ 证明：(1) 因为R
R x
ex
R y
e y
R z
y
ey
z
ez
2 A
2 x2
2 y2
2 z 2
Axex Ayey Az ez
2xxA2x2yA2 x
e2 A z2
x
2 Ay x2
2y A y2
y2 A z2
ey
2xzA2z2yA2 z ez2zA2
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场
Ay
x
Ax e y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
5.拉普拉斯算子
x
ex
y
ey
z
e z
x
e x
y
ey
z
ez
2 2 2 2 x2 y2 z2
2u
2 x2
2 y2
2 z 2
u
2u x2
2u y2
2u z 2
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
e z
R 1 [(x x)2 ( y y)2 (z z)2 ]1/2 2(x x) (x x)
x 2
R
同理: R ( y y) R (z z)
y
R z
R
R
(
x
R
x)
e x
(
y y) e
R
y
(z
z)e Rz
R R
R
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场
点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列
结果：
(1). R R R
R R R R
(2).
1 R
1 R
R R3
分析：本题要注意算符 和算符 的区别，其中 是对场 点作用，而 是对源点作用，即
x
ex
e y
y
e z
z
x
ex
y
ey
z
ez
常用矢量关系式，要记住
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
哈密顿算子
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
gradu u
u
x
e
x
y
ey
z
ez
u
u x
ex
u y
ey
u z ez
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1.算子 既有微分的性质，又有矢量的特点； 2.算子 在不同的坐标系中有不同的表达式；
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1.算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列
结果：
(1). R R R
R R R R
(2).
1 R
1 R
R R3
证明：(2) 因为
1 R
1 R2
R
1 R2
R R
R R3
1 R
1 R2
R
1 R2
R
R
R R3
1 R
本节要点
1. 哈密顿算子与不同物理量的作用关系； 2. 拉普拉斯算子与不同物理量的作用关系；
z
ez
Axex Ayey Azez
Ax Ay Az x y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
A
ex x
ey y
ez z
注意此项的符 号与顺序
Ax Ay Az
Az
y
Ay z
ex
Ax z
Az x
x ey
场，则 (au1 bu2 ) au1 bu2
(u1u2 ) u1u2 u2u1 若u 0，则u 常数
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
u
x
e x
y
e y
z
e z
u
u x
e x
u y
ey
u z ez
A
x
ex
y
ey
2.算子 在不同的坐标系中有不同的表达式；
直角坐标系中 柱坐标系中
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
u
u
e
1 u
e
u z
ez
球坐标系中
u
u r
er
1 r
u
e
1 u
r sin
e
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1.算子 既有微分的性质，又有矢量的特点； 2.算子 在不同的坐标系中有不同的表达式； 3. 设 a、b 为任意常数，函数u1 、u2 、u 为任意标量
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 R
R R3
证明：(1) 因为
R
R x
ex
R y
e y
R z
e z
R 1 [(x x)2 ( y y)2 (z z)2 ]1/2 2(x x) (x x)
x 2
R
同理: R (y y)
y R
R (z z) z R
R (x x) e ( y y) e (z z) e R
Rx
Ry
R zR
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 RR R3ຫໍສະໝຸດ 证明：(1) 因为R
R x
ex
R y
e y
R z
y
ey
z
ez
2 A
2 x2
2 y2
2 z 2
Axex Ayey Az ez
2xxA2x2yA2 x
e2 A z2
x
2 Ay x2
2y A y2
y2 A z2
ey
2xzA2z2yA2 z ez2zA2
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场
Ay
x
Ax e y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
5.拉普拉斯算子
x
ex
y
ey
z
e z
x
e x
y
ey
z
ez
2 2 2 2 x2 y2 z2
2u
2 x2
2 y2
2 z 2
u
2u x2
2u y2
2u z 2
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
e z
R 1 [(x x)2 ( y y)2 (z z)2 ]1/2 2(x x) (x x)
x 2
R
同理: R ( y y) R (z z)
y
R z
R
R
(
x
R
x)
e x
(
y y) e
R
y
(z
z)e Rz
R R
R
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场
点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列
结果：
(1). R R R
R R R R
(2).
1 R
1 R
R R3
分析：本题要注意算符 和算符 的区别，其中 是对场 点作用，而 是对源点作用，即
x
ex
e y
y
e z
z
x
ex
y
ey
z
ez
常用矢量关系式，要记住
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
哈密顿算子
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
gradu u
u
x
e
x
y
ey
z
ez
u
u x
ex
u y
ey
u z ez
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1.算子 既有微分的性质，又有矢量的特点； 2.算子 在不同的坐标系中有不同的表达式；
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1.算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列
结果：
(1). R R R
R R R R
(2).
1 R
1 R
R R3
证明：(2) 因为
1 R
1 R2
R
1 R2
R R
R R3
1 R
1 R2
R
1 R2
R
R
R R3
1 R
本节要点
1. 哈密顿算子与不同物理量的作用关系； 2. 拉普拉斯算子与不同物理量的作用关系；
z
ez
Axex Ayey Azez
Ax Ay Az x y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
A
ex x
ey y
ez z
注意此项的符 号与顺序
Ax Ay Az
Az
y
Ay z
ex
Ax z
Az x
x ey