正态分布、应用实例
正态分布的性质及实际应用举例
华北水利水电学院正态分布的性质及实际应用举例课程名称：概率论与数理统计专业班级：电气工程及其自动化091班成员组成：姓名：邓旗学号： 2姓名：王宇翔学号：1姓名：陈涵学号：2联系方式：2012年5月24日1 引言：正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。
2 研究问题及成果：正态分布性质；3原则及标准正态分布；实际应用举例说明摘要：正态分布是最重要的一种概率分布。
正态分布概念是由德国数学家与天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究，故此正态分布又称高斯分布。
在许多实际问题中遇到的随机变量都服从或近似服从正态分布：在生产中，产品的质量指标，如电子管的使用寿命，电容器的电容量，零件的尺寸。
铁水含磷量，纺织品的纤度和强度等一般都服从正态分布。
在测量中，如大地测量，天平称量物体，化学分析某物之中某元素的含量等，测量结果一般服从正态分布。
在生物学中，同一群体的某种特性指标，如某地同龄儿童的身高，体重，肺活量，在一定条件下生长的农作物的产量等一般服从正态分布。
在气象学中，某地每年7月份的平均气温，平均温度以及降水量等一般也服从正态分布。
总之。
正态分布广泛存在于自然现象，社会现象以及生产，科学技术的各个领域中。
本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。
关键词：正态分布The nature of the normal distribution and the example of practical applicationAbstract：the normal distribution is the probability distribution of one of the most important. Normal distribution concepts is Germany first proposed by mathematician and astronomer Moivre in 1733, but since Germany mathematician Gauss first applied in astronomy, so also called the Gaussian distribution of the normal distribution. In many practical problems encountered in the approximate normal distribution random variables are subject to, or: in production, product quality indicators, such as the life of the tube, the capacitance of capacitors, dimensions of the part. Phosphorus content in hot metal, textile fibers and strength are generally subject to the normal distribution. In surveying, geodesy, weighing scales objects, such as chemical analysis of some of the content of an element, General normal distribution measurement results. In biology, a certain characteristic index of the same group, such as a certain age children's height, body weight, vital capacity, under certain conditions the yield of crops on the growth of General normal distribution. In meteorology, a place every July average temperature, average temperature and precipitation generally normal distribution. All in all. Normal distribution is widely present in natural phenomena, social phenomena, as well as the production, in the various fields of science and technology. This article from the actual properties of the normal distribution apply to explore various aspects, such as for example a simple elaboration and, enable students to acquire knowledge have a better understanding.Key words：Normal distribution Practical application正态分布的性质及实际应用举例概率论在一定的社会条件下,通过人类的社会实践和生产活动发展起来,被广泛应用于各个领域,在国民经济的生产和生活中起着重要的作用。
正态分布的应用
正态分布的应用1.零件规格的设计由自动生产线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布)1,(µN ，平均内径µ是待定的，可以通过调整该自动生产线来设定，方差反映这条自动生产线的加工精度。
如果加工的零件内径小于10或大于12均为不合格品，其余为合格品。
销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润L （单位：元）与销售零件的内径X 有如下关系：12=σ⎪⎩⎪⎨⎧>−≤≤<−=125121020101X X X L 若若问：平均直径µ为何值时，才能使销售一个零件的平均利润最大？由于L 是随机变量，它是X 的函数，所以平均利润即为期望利润。
由)1,(~µN X ，那么)1,0(~N X µ−}12{5}10(}1210{20)(>−<−≤≤=X P X P X P L E=}12{5}10(}1210{20µµµµµµµ−>−−−<−−−≤−≤−X P X P X P=)12(55)10()10(20)12(20µµµµ−Φ+−−Φ−−Φ−−Φ5)10(21)12(25−−Φ−−Φ=µµ可知，期望利润与平均内径µ有关，是µ的一元函数。
为了求期望利润的最大值，令)(L E 0)12(25)10(21)(=−−−=µϕµϕµd L dE ，其中)()(x x ϕ、Φ分别为标准正态分布的分布函数与概率密度函数，则2)12(2)10(22225221µµππ−−−−=e e 即 2)12(2)10(222521µµ−−−−=e e解之，得 9.102125ln 2111≈−=µ 由此可知，当平均内径µ设定为10.9毫米时，可使销售每个零件的平均利润最大。
正态分布、指数分布、对数正态分布和威布尔分布函数及其在工程分析中的应用.
μ越大，图像越陡，下降的越快；σ越小，图像越陡，下降的越快。
对数正态分布失效率函数λ（t）
蓝线：μ=0 σ=0.5 红线：μ=0.8 σ=0.5 棕线：μ=0 σ=1
图像随μ的增大而变得陡峭，且向λ（t）轴靠近。图像随σ的增大先下降再上升，且向λ（t）轴靠近。
表3 100名18岁男大学生身高的实际分布与理论分布
分布
身高/cm
实际分布人数
实际分布百分数
理论分布X+-来自s168.69～176.71
67
67
68.27
X+-1.96s
164.84～180.56
95
95
95.00
X+-2.58s
162.35～183.05
99
99
99.00
指数分布函数
指数分布概率密度函数f（t）
本例，μ、σ未知但样本含量n较大，按式（3.1）用样本均数X和标准差S分别代替μ和σ，求得u值，u=（168-172.70）/4.01=-1.17。查附表标准正态曲线下的面积，在表的左侧找到-1.1，表的上方找到0.07，两者相交处为0.1210=12.10%。该地18岁男大学生身高在168cm以下者，约占总数12.10%。其它计算结果见表3。
指数分布虽然不能作为机械零件功能参数的分布规律，但是，它可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。
指数分布的图形表面上看与幂律分布很相似，实际两者有极大不同，指数分布的收敛速度远快过幂律分布。
指数分布案例分析【2】
对数正态分布函数
对数正态分布概率密度函数f（t）
4.5 正态分布的应用
第四章 常用概率分布五、正态分布的应用正态分布的应用1. 确定医学参考值范围n参考值范围(reference range)：指特定的“正常”人群的解 剖、生理、生化指标及组织代谢产物含量等数据中大多数 个体的取值所在的范围。
正态分布的应用 n制定参考值范围的步骤：1. 选择足够数量的正常人作为调查对象。
2. 样本含量足够大。
3. 确定取单侧还是取双侧正常值范围。
4. 选择适当的百分界限。
5. 选择适当的计算方法。
n估计医学参考值范围的方法：1. 正态近似法：适用于正态分布或近似正态分布的资料。
2. 百分位数法：适用于偏态分布资料。
过高异常 过高异常过低异常 过低异常例1 某地调查120名健康女性血红蛋白，直方图显示，其分 布近似于正态分布，得均数为117.4g/L ，标准差为10.2g/L ， 试估计该地正常女性血红蛋白的95%医学参考值范围。
分析：正常人的血红蛋白过高过低均为异常，要制定双侧正 常值范围。
该指标的95%医学参考值范围为97.41~137.39（g/L ）1.96117.4 1.9610.297.41~137.39X S ±=±´=例 1A 某年某市调查了200例正常成人血铅含量（μg/100g) 如下，试估计该市成人血铅含量的95%医学参考值范围。
分析：血铅的分布为偏峰分布，且血铅含量只以 过高为异常，要用百分位数法制定单侧上限。
( ) ( ) 95 5.%3820095%18938.7/100 7L x iP L n x f g gf m =+-å=+´-=正态分布的应用2. 质量控制图n控制图基本原理：如果某一波动仅仅由个体差异或随机测 量误差所致，那么观察结果服从正态分布。
2. 质量控制图控制图共有7条水平线，中心线位于总体均数μ处，警戒限位于处，控制限位于 处，此外还有2条位于 处。
如果总体均数和总体标准差未知，也可用样本估计值代 替，这时，7条水平线分别位于 、 、 和 处。
例谈正态分布在实际生活中的应用
期
１ －（ ） １ ￣ １ｏ 二 ｚ ＜
查表得 三＿ ＞ ２３ ， 一 ． ３得
）ｏ９ ＞． ９ ．
ｚ＞ １８ ９ ≈ １９所 以该 地公 共汽 车 门的高 ８ ．８ ８ ．
度应 设计 为 １ ９ａ ８ ｍ． － 例 ２ 某 城市 从南 郊 某地 乘 公共 汽 车前 往 北 区火 车站 有两 条 路 线可 走 ， 一条 路线 穿过 市 区 ， 第 路线 较短 ， 但交 通 拥 挤 ， 需 时 间 （ 位 ： ）服从 所 单 分 正态 分布 Ｎ（ Ｏ １ 。 ； ５ ， ０ ） 第二 条路 线 沿环 城公 路走 ， 但交 通 阻 塞 少 ， 需 时 间 服 从 正 态 分 布 Ｎ（０ 所 ６，
每 天都 在 乘 车 ， 可很 少 有 同 学 留 心 就 在 这 平
的高 度是按 照 保证 成年 男 子 与车 门 顶部 碰头 的概
率在 １ 以下 设 计 的 ， 果 成 年 男 子 的身 高 ～ 如 Ｎ（ ７ ，６ 单 位 ：ｍ） 则 该 地 汽 车 门 的高 度 应 １ ５ ３ ）（ ｃ ， 设 计 为多高 ？
同 学们养 成用 数学 知识 的 良好 习惯 ．
例 ３ （ ０ ６ 湖北 省 高考试 题 理 １ 题 ） ２０ 年 ９ 在某 校举行 的 数学 竞赛 中 ， 体参 赛 学 生 的 竞 赛 成绩 全
； 就 是 Ｐ（ ≥ ）＜ １ 的解集 的最 小值 ． 由于 ～
Ｆ Ｎ（ ７ ， ６ ， 以 Ｐ（ １５３ ）所 ≥ ）一 １ Ｐ（ 一 ＜ ）一
故参 赛学 生 的人数 约 为— ０Ｌ８≈ ５ ６人・ ｏ ２ ２ ２
．
（ ）假定 设奖 的分 数线 为 分 ， ２ 则
Ｐ（ ≥ ｚ）一 １一 Ｐ（ ＜ ）一
统计学中的正态分布与假设检验公式整理
统计学中的正态分布与假设检验公式整理正态分布是统计学中一种重要的概率分布，广泛应用于各个领域的数据分析和模型建立中。
而假设检验则是统计学中常用的一种方法，用于对假设的真实性进行验证。
本文将对正态分布和假设检验的公式进行整理，并讨论其在统计学中的应用。
一、正态分布正态分布，又称为高斯分布，是一种连续概率分布。
它的概率密度函数的数学表达式为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x - μ)^2 / (2 * σ^2)))其中，f(x)表示在取值为x的点的概率密度，μ表示正态分布的均值，σ表示正态分布的标准差。
正态分布的均值决定了分布的中心位置，标准差则决定了分布的形状。
正态分布具有许多重要性质，例如：1. 标准正态分布：当均值μ为0，标准差σ为1时，得到的正态分布称为标准正态分布。
其概率密度函数为：φ(x) = (1 / √(2π)) * e^(-x^2 / 2)标准正态分布在实际应用中经常用于转换其他正态分布为标准化分布，方便计算和比较。
2. 正态性检验：统计学中经常需要判断一组数据是否符合正态分布。
常用的正态性检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验、Shapiro-Wilk检验等。
这些方法都是基于样本数据与理论正态分布的差异来进行判断。
3. 中心极限定理：中心极限定理是统计学中一条非常重要的定理，它指出，对于任意一组具有有限方差的独立随机变量，其样本均值的分布在样本量趋于无穷时，逼近于正态分布。
二、假设检验假设检验是统计学中用于验证某个假设是否成立的一种方法。
在假设检验过程中，我们需要提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1），然后通过数据分析来判断是否支持原假设。
1. 假设检验的步骤：(1) 建立假设：根据实际问题和研究目的，提出原假设和备择假设。
(2) 选择显著性水平：显著性水平α是控制拒绝原假设的错误概率。
一般常用的显著性水平有0.05和0.01。
二项分布与正态分布的应用
二项分布与正态分布的应用二项分布是概率论中重要的离散概率分布之一，而正态分布则是统计学中常见的连续型概率分布。
二项分布和正态分布在现实生活中有着广泛的应用，本文将分别探讨它们的应用领域及相关计算方法。
一、二项分布的应用二项分布适用于满足以下条件的离散随机变量：每次试验只有两种可能结果，且每次试验相互独立。
具体而言，二项分布常用于以下几个应用领域：1.1 质量检验在制造业中，常常需要对产品进行质量检验。
假设某产品每个单位有一定的概率存在缺陷，而每次抽取的产品相互独立。
那么我们可以利用二项分布来计算在一定抽取数量下，出现指定数量缺陷的概率。
这对于质量控制非常重要。
1.2 投资决策在金融领域中，投资是一项风险较高的行为。
投资者通过分析过往数据，可以得到某种投资方式的成功概率。
假设某个投资方式成功的概率为p，通过多次投资实验，我们可以利用二项分布来计算在一定次数内成功的概率。
这对于投资者来说，有助于做出更加明智的决策。
1.3 调查统计在社会科学研究中，调查统计是常用的研究方法。
假设我们想了解某个群体中某个现象出现的比例，如访问某个特定网站的比例。
我们可以通过抽样调查来获得样本中观察到该现象的次数，并利用二项分布来计算整个群体中该现象出现的比例。
二、正态分布的应用正态分布又称高斯分布，是一种常见的连续型概率分布。
其分布曲线呈钟型，对称且唯一峰值。
正态分布在各个领域都有着广泛的应用，以下是其中的几个例子：2.1 身高体重在人类的身高体重统计中，存在着一定的规律性。
大多数人的身高和体重集中于某个平均值，而相对极端的个案则较为罕见。
这种现象可以通过正态分布进行描述和分析，通过均值和标准差等参数，我们可以了解身高和体重在整个人群中的分布情况。
2.2 考试成绩在教育领域中，学生的考试成绩往往服从正态分布。
通过对一组学生的考试成绩进行统计，我们可以得到平均分数和标准差等指标，进而分析成绩的分布和学生群体的整体表现。
2.3 经济指标在经济学中，许多指标也服从正态分布。
正态分布在日常生活中
正态分布在日常生活中正态分布，又称高斯分布，是统计学中最为常见的一种概率分布。
它具有许多重要的性质，被广泛应用于各个领域。
在日常生活中，我们可能并不经常意识到正态分布的存在，但实际上，它在我们的生活中随处可见，影响着我们的方方面面。
首先，正态分布在人类身体特征中的体现。
人类身体特征的分布往往符合正态分布。
比如身高、体重等指标，大多数人的身高体重集中在平均值附近，而离平均值越远的人数越少，呈现出两头低、中间高的钟型曲线。
这也是为什么我们常说“大多数人都是普通人”，因为正态分布使得大多数人的身体特征集中在平均水平上。
其次，正态分布在考试成绩中的体现。
在学校的考试中，学生的成绩往往呈现出正态分布的特点。
即使经过老师精心设计的考题，也会有一部分学生表现优异，一部分学生表现较差，但大多数学生的成绩集中在中间水平，符合正态分布的规律。
这也是为什么考试成绩常常以平均分为中心，向两端逐渐减少的原因。
此外，正态分布在自然界现象中的体现也非常普遍。
比如气温的变化，大多数情况下遵循正态分布。
在一个季节内，气温的变化会在一个平均值附近波动，极端高温和极端低温的出现概率较低，大部分时间气温保持在一个相对稳定的范围内。
这种正态分布的特点使得气候变化更具有可预测性。
此外，金融领域中的股票价格波动也常常符合正态分布。
股票价格的波动是由市场供求关系、宏观经济环境等多种因素共同作用的结果，而这些因素的影响往往呈现出正态分布的规律。
股票价格的波动大多集中在平均水平附近，极端波动的概率较低，这也是投资者进行风险评估和资产配置时需要考虑的因素之一。
总的来说，正态分布在日常生活中无处不在，它是自然界、人类社会各个领域中普遍存在的一种规律。
了解正态分布的特点和应用，有助于我们更好地理解和把握周围世界的变化，为决策和行为提供科学依据。
希望通过本文的介绍，读者能对正态分布有更深入的了解，从而在实际生活中运用这一概念，更好地适应和理解周围的种种现象。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
精品课件
（二）医学参考值范围制定的一般原则：
1、抽取足够数量的“正常人”作为调查对象 2、对选定的正常人进行统一而准确的测定 3、考虑是否应按性别、年龄、职业等因素分组 确定医学参考值范围 4、确定取单侧还是双侧医学参考值范围 5、选定适当的百分界限 6、选择适当制定方法
病人
a.如需兼顾假阳性和假阴性，取95％较适当； b.如主要目的是减少假阳性（如用于确诊病 人或选定科研病例），宁取99％。
c.如主要目的是减少假阴性（如用于初筛搜 查病人），宁取80％或90％。
精品课件
6、选择适当制定方法（见下）。 （三）制定医学参考值范围常用方法：
精品课件
1、正态分布法
(1)适用范围：（近似）正态分布或对数正 态分布资料
精品课件
（二）医学参考值范围制定的一般原则：
1、抽取足够数量的“正常人”作为调 查对象
“正常人”— 不是究指 标的疾病和因素的人。
精品课件
例如:制定SGPT（谷丙转氨酶）正常值 范围，“正常人” 的条件是：
精品课件
（2）医学参考值范围制定所需的样 本例数一般要求 n>100
精品课件
2、对选定的正常人进行统一而准确的测定：
(1)测定的方法、仪器、试剂，操作 的熟练程度，方法的精确度均要统一；
(2)要尽量与应用医学参考值范围时的 实际情况一致。
精品课件
3、考虑是否应按性别、年龄、职业等 因素分组确定医学参考值范围。
原则上，组间差别明显，并有实 际意义，应分开制定，否则应合并。
当μ一定时， σ越大，表示数据越分散，曲线越“胖”； σ越小，表示数据越集中，曲线越“瘦”。
精品课件
三、正态曲线下面积分布规律
无论μ σ取什么值，正态曲 线与横轴间的面积总等于1
面积总 等于1
精品课件
熟记下列常用的曲线下面积分布规律： 1 2 3
精品课件
X-S X+S
2.5%
X-1.96S X+1.96S
精品课件
根据所选定的百分界限， 会造成假阳性或/和假阴性。
如何选定百分位数，以平衡假阳性和假阴性：
（1）正常人的分布和病人的分布没有 重叠，这是只要求减少假阳性，则取 99％较为理想。
精品课件
正常人
病人
诊断界值
精品课件
（2）正常人分布与病人分布有重叠
假阴性（漏诊）
假阳性（误诊）
正常人
诊断界值
精品课件
即身=0高.1界39于2=11136..952-%119.0cm范围内的 7岁男童比例为13.92%， 其人数为110×13.92%=15（人）。
精品课件
第三节 正态分布的应用
精品课件
一、估计频数分布
例3.3 （略）
例3.4
精品课件
二、制定参考值范围
（一）医学参考值范围意义： 医学参考值范围（亦称为正常值
4.72
精品课件
例3.3 已知 X=121.95cm, S=4.72cm 欲估计身高界于116.5-119.0cm范
围内的7岁男童比例及人数。
求该面积
-1.15 -0.63
精品课件
Ф(u1) =Ф(1Ф.(1u52))=0=.Ф12(5-1 0.63)=0.2643 Ф(u2)- Ф(u1) = 0.2643 0.1251
精品课件
考察组间差别最简便而有效的方法 是：
从频数分布表，直接比较各组的 分布范围，高峰位置，分布趋势等是否相 近，如相近就合并，如差异明显，就分组。 或做两样本均数的假设检验，有差别就分 组，无差别就合并。精品课件
4、确定取单侧还是双侧医学参考值范围。
（1）白细胞数过高和过低均属于异常， 需制定下限（最小值）和上限（最大 值），称双侧医学参考值范围。
精品课件
68.27%
95.00% 2.5%
第二节 标准正态分布 一、标准正态分布与标准化变换
正态分布是一个分布族。对应于不 同的参数μ和σ会产生不同位置不同形 状的正态分布。
精品课件
为了应用方便，令
u x
u变换
标准正态 分布
u服从均数为0、标准差为1的正态分布
精品课件
-1.0 +1.0
2.5%
(2)计算公式： x ±uS
单侧
双侧
上限
x 95％ ±1.96S x 99％ ±2.58S
95％ x ＋1.645S 99％ x ＋2.326S
下限
95％ x －1.645S
x 99％ －2.326S
精品课件
2、百分位数法
(1)适用范围： a.偏态分布资料 b.分布不清资料 c.开口资料
精品课件
(2)计算公式：
-1.96 +1.96
精品课件
68.27%
95.00% 2.5%
二、标准正态分布表 附表Ⅰ
Φ(u)
－∞
－3
－2
－1
0
＋1
＋2
＋3 ＋ ∞
精品课件
查表确定标准正态分布曲线下的 面积时必须注意：
（1）当μ，σ和X已知时，先按u变 换公式求得u值，再用u值查表；
u x
精品课件
当μ，σ和X未知时，用样本 均数和样本标准差S代替求u值。
双侧：
95％ P2.5～P97.5 99％ P0.5～P99.5
单侧：
上限 95％ P95 99％ P99
u x x
s
精品课件
（2）查表时，可以利用标准正态分 布的两个特征：
精品课件
例3.3 已知 X=121.95cm, S=4.72cm 欲估计身高界于116.5-119.0cm范
围内的7岁男童比例及人数。
求该面积
116.5 119.0
精品课件
116.5－121.95 u＝1=－ 1.15
4.72 119.0－121.95 u＝2=－ 0.63
正态分布及其应用
精品课件
第一节、正态分布的概念及 特征 一、正态分布图形
两头低，中间高，左右对称， 呈钟型的单峰曲线。
精品课件
正 态 分 布 特 征
精品课件
二、正态分布的两个参数
（1）μ－位置参数：
当 σ一定时，μ越大，曲线越向右移动；μ 越小，曲线越向左移动。
（2）σ－离散度参数，决定曲线的形态：
精品课件
(2)肺活量只过低为异常，只需制定医学 参考值范围的下限； 尿铅只过高为异常， 只需制定医学参考值范围的上限；均称 单侧医学参考值范围。
精品课件
5、选定适当的百分界限。
正常值范围的意思：绝大多数正 常人的某项观察值均在该范围之内。这 个绝大多，习惯上指正常人的80％、90 ％、95％、99％（最常用是95％）。