第8章_线性规划和网络流
线性规划的网络流量流向控制技术
ｉ ＝１
叫做第 个约 束 条件 ，Ｓ ． ｔ ． 是英文 “ 受约 束于 ” 的简 写 。满 足约 束
，ｘ ， ， ，… ， ～ 组数 叫做 线 性规 划 问题 截 止２ ０ １ ３ 年 底 ，我 国互联 网用户 数量 已经达 到８ 亿多 ，几 乎 条 件数 ｍ的各 变量ｘ 相 当于 美国 用户 数量 的２ — ３ 倍 ，庞 大 的用 户数 量 以及 随之 而来 庞 的一 组 可行 解 或 者 可行 变 量 、 可 行点 ，所 有可 行 点 构成 了可 行 大 的 网络 应 用 需 求推 动 着 互联 网硬 件 设 施和 软 件 设 备 的升 级 ， 网 络流 量 十 分庞 大 ，面 对 这 些庞 大 的 网络 流 量 ，做 好 流 向控 制 域 ，其 中使ｚ ） 达到 最小 或最 大 的是线 性规 划 问题 的最优 解 。 线 性规 划 的 一个 典 型 特 点就 是 最 优解 ｍｉ ｎ （ ｍａ ｘ ） 通 常 总发 生
需 求 、 通过 降低 网 络链 路 负 载达 到 节 省 网 络 资源 的 目的 、通 过 基 变量 两 部 分 ，令 非 基 变 量 的 值 为 Ｏ ，从 而得 到一 组 解 （ 即基 平 衡 网 络链 路 负 载 从 而保 障 各 链路 有 充 足 裕量 应 对 网 络流 量 的 解 ），如 果 基解 满 足 非 负 的条 件 就 可称 为基 可 行解 ，从 而符 合 突 发情 况 Ｊ 。 对于 网 络流 量流 向控 制 而言 ，基 础设 施 的建 设 、升 线性 规 划 问题 的解 题 定理 ， 即线 性规 划 问题 如 有最 优 解 ，一 定
级 与 高 效利 用 是 基础 ，链 路 节 余 、 负载 平衡 和 裕 量 应 对 突发 情 在基 可行 解 中 。正 是基 于 这个 理论 ，线 性 规划 最优 解 的获取 需 况 是 关键 ，三 者 之间 的平衡 最 终决 定 了流 量流 向控 制 。通过 将 从 基可 行 解 中得 到 ，单 纯 形法 也 是 基于 这 一 原理 而 呈 的 有效 搜 高 负 载 链 路 的流 量 转移 可 降低 局部 高 负 载 ，实现 整 体 负 载水 平 索 方法 ，通 过搜 索排 除直 到获 得 最优 解 ， 目前 线性 规 划 问题 最 的提 升 ，有利 于 全 局 统筹 协 调 链路 资源 ，保证 各链 路 游 刃有 余 优 解 的获 得 多数 都 是 使 用 这个 方法 。 不过 由于 此法 较 慢 ， 目前 的运行 与 处理流 向问题 。想 要 实现 各链 路 负载 的全 局性 平衡 ， 需 要科 学 的控制 策 略和定 向计 算 方法 。 入 应 用 ， 目前 无 论 是理 论 还 是 技术 都 已发 展成 熟 ，线 性 规划 中 从全 局 角 度 实现 统 筹 最优 化的 思 路 为 网络 流量 流 向控 制 提供 了 多使 用 阻 挡层 法 ，此 法 的原 理 为 产 生一 系 列 可行 点 ，在该 法 收 敛 时这 些 点 可满 足 所 有 约 束条 件 并且 不一 定 是顶 点 ，这 些点 可 次研 究 中网络 流量 流 向线性 规 划问题 的解 决使 用单 纯形 法 。 线 性 规 划 问题 的解 决 要建 立 线 性 规划 模 型 ，模 型 建 立步 骤
计算机算法设计与分析(王晓东第4版)第8章
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30
Fun Time
z
=
9
+
21x2
−
3 4
x4
−
2x5,
s.t.
x3
−
1 2
x2
+
41x4
=
3
x1 x6
+ −
5 2
x2
5 2
x2
+ −
41x4 43x4
+ +
2x5 = 10 +8x5 = 1
• 选出使目标函数增加的非基本变量作为入基变量 • z 行中的正系数非基本变量都满足要求
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24
单纯形表
max z = −x2 + 3x3 − 2x5,
s.t.
x1
+
3x2
−
x3
+
2x5
=
7
x4 − 2x2 + 4x3 = 12
x2 x3 x5
z 0 -1 3 -2 x1 7 3 -1 2 x4 12 -2 4 0 x6 10 -4 3 8
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单纯形算法的第 1 步–选取入基变量
• 查看单纯形表的第 1 行（也称之为 z 行）中标有非 基本变量的各列中的值
2x2 − 7x4 ≤ 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 9
x2 − x3 + 2x4 ≥ 1 xi ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4
第八章线性规划与网络流
j 1
n
pjxj b
j 1
xj 0( j 1,, n)
(1-17)
(1 18) (1 19)
在约束条件（1-18）式的变量的系数矩阵中总会存在一个 单位矩阵，不妨设为
1 0 0
p1
,
p2
,,
pm
0
1
0
0 0 1
(1-20)
式中 p1, p2 ,, pm 称为基向量,同其对应的决策变量 称 x1, x2 ,, xm 为基变量,模型中的其它变量 xm1, xm2 ,, xn称为非基变量。 在(1-18)式中令所有非基变量等于零,即可找到一个解
基：矩阵中的最大线性无关组 基本解：满足Ax=b，且非基变量为0的解 基本可行解：满足非负条件的基本解。
线性规划基本定理：如果线性规划问题有最优解，则必有一基本可行最优解。 Dantzig于1948年提出了线性规划问题的单纯形算法。 单纯形法迭代的基本思路是：先找出一个基本可行解，判断其是否为最优解，如为否，
在每一约束方程中选择一个这样的变量，并以它作为变量求解该约束方程。这样选 出来的变量称为左端变量或基本变量，其总数为m个。剩下的n-m个变量称为右端 变量或非基本变量。
这一类特殊的标准形式线性规划问题称为约束标准型线性规划问题。
任意一个线性规划问题可以转换为约束标准型线性规划问题。
12
max
1
问题与建模
模型：对真实系统的结构与行为用图、解析式或方程来 描述的合称为模型。
数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对实际对象 的一个刻画，以便于人们更简明更深刻地认识所研究的 对象
数学建模：根据要求，针对实际问题，组建数学模型的 全过程（包括建立、求解、分析、检验等）
线性规划.网络流.二分图匹配
2013-8-1
最大匹配
给定一个二分图G，在G的一个子图M中， M的边集中的任意两条边都不关联于同一 个顶点，则称M是一个匹配。 选择这样的边数最大的子集称为图的最大 匹配问题(maximal matching problem),最 大匹配的边数称为最大匹配数. 如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图 中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配， 也称作完备匹配。
d
14,4
c
12
20
s
13
4
10
t
4
16,11
a
4,
12,4 9,4
b
7,7
20,7
d
c
s
10,7
t
4,4
13,
d
14,11
c
2013-8-1
23 of 158
剩余图
s
增广之后的新流
16,11 10,7
a
4,
12,4 9,4
b
7,7
20,7
t
4,4
13,
d a
4,1
14,11 12,12
c b
5
a
x
3 3
6
9
6
9
12
⑵
15
18
21
24
⑶
⑴
27
30
33
36
有唯一最优解
2013-8-1
答案：15+5=20
16 of 158
练习
某工厂生产甲、乙两种产品，生产1公斤甲产品需要煤9 公斤、电4度、油3公斤，生产1公斤乙产品需要煤4公 斤、电5度、油10公斤。该工厂现有煤360公 斤、电 200度、油300公斤。已知甲产品每公斤利润为7千元， 乙产品每公斤利润为1.2万元，为了获取最大利润应该 生产甲产品（ ）公斤，乙产品 （ ）公斤。
数学中的运筹学
数学中的运筹学运筹学是应用数学的重要分支之一，它主要研究在具有限制条件的情况下如何最优地进行决策。
运筹学主要依靠数学模型，通过分析、优化、决策等方法来解决实际问题，涉及到很多方面的应用，如工程管理、金融、运输物流等。
本文将主要介绍运筹学在数学中的应用。
一、线性规划线性规划是运筹学中最常见的一种应用，它是指在一定的约束条件下，找到某个目标函数的最大值或最小值。
在数学中，线性规划是指求解线性函数的最优解，其约束条件通常是由线性等式或不等式组成的。
线性规划的解法主要有两种，一种是单纯形法，另一种是对偶理论法。
二、整数规划整数规划是一个比线性规划更为复杂的问题，它要求目标函数的变量均为整数。
整数规划的解法通常需要利用割平面、分支定界等算法来求解。
整数规划在实际的应用中，可以被用来解决一些离散性问题，如选址问题、调度问题等。
三、动态规划动态规划是一种通过分治的方法来求解问题的数学算法，常常用于解决具有重叠子问题的问题。
它主要依赖于一个递推式，通过将问题分解成子问题，然后利用子问题的解来解决原问题。
动态规划在实际应用中，可以用来解决一些动态的优化问题，如最长公共子序列、背包问题等。
四、排队论排队论是运筹学中的一个重要分支，它主要研究人员或物品在某一个系统中的排队情况。
排队论的问题可以归结为等待时间、服务效率、资源使用率等。
在应用中，排队论可以应用到很多实际问题中，比如超市收银台的排队问题、交通拥堵问题、电话系统的呼叫等待问题等。
五、网络流问题网络流问题是指在网络中如何最优地传输资源，比如最大流、最小费用流等问题。
在实际中，这些问题可以应用于物流运输、通信网络等问题。
解决网络流问题，一般采用最短路算法、最大流算法等方法。
由于篇幅所限，本文只是对数学中的运筹学做了简单的介绍。
但可以肯定的是，运筹学在实际应用中具有十分广泛的应用前景，无论是在生产流程的优化，还是在物流运输、金融投资等众多领域中，都会起到至关重要的作用。
大学_计算机算法设计与分析第4版(王晓东著)课后答案下载
计算机算法设计与分析第4版(王晓东著)课后答
案下载
计算机算法设计与分析第4版内容简介
第1章算法概述
1.1 算法与程序
1.2 算法复杂性分析
1.3 NP完全性理论
算法分析题1
算法实现题1
第2章递归与分治策略
2.1 递归的概念
2.2 分治法的基本思想
2.3 二分搜索技术
2.4 大整数的乘法
2.5 Strassen矩阵乘法
2.6 棋盘覆盖
2.7 合并排序
2.8 快速排序
2.9 线性时间选择
2.10 最接近点对问题
第3章动态规划
第4章贪心算法
第5章回溯法
第6章分支限界法
第7章随机化算法
第8章线性规划与网络流
附录A C++概要
参考文献
计算机算法设计与分析第4版目录
本书是普通高等教育“十一五”__规划教材和国家精品课程教材。
全书以算法设计策略为知识单元，系统介绍计算机算法的设计方法与分析技巧。
主要内容包括：算法概述、递归与分治策略、动态规划、贪心算法、回溯法、分支限界法、__化算法、线性规划与网络流等。
书中既涉及经典与实用算法及实例分析，又包括算法热点领域追踪。
为突出教材的`可读性和可用性，章首增加了学习要点提示，章末配有难易适度的算法分析题和算法实现题;配套出版了《计算机算法设计与分析习题解答(第2版)》;并免费提供电子课件和教学服务。
运筹学模型的分类和类型
运筹学模型的分类和类型运筹学是一门应用于决策制定和问题解决的学科，它通过数学模型和分析方法来优化资源的利用。
运筹学模型是在特定情境中描述问题和优化目标的数学表示。
根据问题的性质和优化目标的类型，运筹学模型可以被分类为多种类型。
在本文中，我将介绍一些常见的运筹学模型分类。
一、线性规划模型：线性规划模型是最基本的运筹学模型之一。
它的特点是目标函数和约束条件均为线性的。
线性规划模型常用于求解资源分配、生产计划、物流运输等问题。
通过线性规划模型，我们可以找到使资源利用最优化的决策方案。
某公司需要确定每种产品的生产数量，以最大化总利润，且需满足各种资源约束条件，这时可以使用线性规划模型进行求解。
二、整数规划模型：整数规划模型是在线性规划模型的基础上引入整数变量的扩展。
在某些情况下，问题的决策变量只能取整数值，这时就需要使用整数规划模型进行求解。
某物流公司需要确定车辆的调度方案，每辆车的装载量可以是整数，这时可以使用整数规划模型来求解最佳调度方案。
三、动态规划模型：动态规划模型是一种考虑时间因素的决策模型。
它通常用于求解多阶段决策问题。
动态规划模型通过将问题划分为多个阶段，并建立各阶段之间的转移方程，来寻找最优决策序列。
在项目管理中，我们需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总工期和成本，这时可以使用动态规划模型进行求解。
四、网络流模型：网络流模型是一种描述网络中资源分配和流量传输的模型。
它通常用于求解网络优化问题，如最小费用流问题、最大流问题等。
网络流模型中，节点表示资源或流量的源点、汇点和中间节点，边表示资源或流量的传输通道。
通过建立网络流模型，我们可以确定资源的最优分配方案，以及网络中的最大流量或最小成本。
在供应链管理中，我们需要确定货物从生产商到消费者的最佳流向，以最小化总运输成本，这时可以使用网络流模型进行求解。
五、排队论模型：排队论模型是一种描述排队系统的模型。
它通常用于评估系统性能指标，如平均等待时间、平均逗留时间等。
曹钦翔+线性规划与网络流
六. 经典例题选讲
六. 经典例题选讲
六. 经典例题选讲
六. 经典例题选讲
六. 经典例题选讲
六. 经典例题选讲
每条边有一个非负的权值。 表述一：删去若干条边使得源点到汇点不连通，求 删边的权值和的最小可能值。
四. 对偶原理与最小割
1. 最小割问题
每条边有一个非负的权值。 表述二：将点集分为(S,T)，记所有从S中出发到T中 的边的权值和为c(S,T)，求c(S,T)的最小值。
四. 对偶原理与最小割
3. 流量下界
问题1：是否有可行流？ 问题2：求最大流（求值、求方案） 问题3：求最小流（求值、求方案）
一. 网络流模型
4. 费用
问题1：求最小费用最大流 问题2：求最小费用可行流 算法：消负圈+最小费用增广路算法
5. 点容量
算法：拆点
二. 线性规划
二. 线性规划
2. 线性规划对偶问题
a. 原问题的变量对应对偶问题的约束条件 b. 原问题的约束条件对应对偶问题的变量 c. 原问题与对偶问题的目标函数方向相反 d. 对偶问题的对偶问题是原问题
四. 对偶原理与最小割
原问题
对偶问题
四. 对偶原理与最小割
3. 对偶最优性
若原问题有最优解，则 (1) 对偶问题也有最优解 (2) 且两个问题的最优解的目标函数值相等。
线性规划与网络流
北京大学 曹钦翔
一. 网络流模型
1. 最大流模型
可以沿边的方向运送货物 每条边上的货物流量有上限 求源点到汇点的最大流量
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注：
若目标与约束中至少有一为非线性时，则该模型称为
非线性模型（NLP）。
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算法设计与分析<<线性规划
8.2.2 线性规划的数学模型
线性规划模型的特征：
每个问题都追求一个目标，这个目标可以表示为一组变量 （决策变量）的线性函数（线性函数就是一次多项式形式 的函数） 。
算法设计与分析<<线性规划
8.1.1 运筹学的历史
二战中成功的运筹学案例：
英国防空部门如何布置防空雷达，建立最有效的防空警报系统。 英，美空军如何提高对地面目标轰炸的命中率。
如何安排反潜飞机的巡逻飞行线路，深水炸弹的合理爆炸深度，
摧毁德军潜艇数增加400%。 商船如何编队，遭潜艇攻击时如何减少损失，使船只受敌机攻 击时，中弹数由47%降到29%。 这些研究大大提高了盟军的作战能力，为反法西斯战争的最后 胜利作出了巨大的贡献！
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算法设计与分析<<线性规划
8.2.1 什么是线性规划
例2：下料问题
某车间有长为180cm的钢管（数量足够多），今要将其截 为不同长度的管料，长度分别为70cm,52cm,35cm。生产 任务规定：70cm需要100根，52cm和35cm的管料分别不
少于150根，120根。
设备D
单位利润 生产件数
0
2 x1
4
3 x2
4x2
≤
12
目标：maxZ＝ 2x1＋3x2
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算法设计与分析<<线性规划
8.2.1 什么是线性规划
于是得到该问题的数学模型：
目标： max Z 2 x1 3 x2 2 x1 2 x2 12 x 2x 8 1 2 s.t. 4x1 16 4 x2 12 x1 0, x2 0
所有可能的截法有8种：
7 8
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0 0
1 0
3 5
23 5
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算法设计与分析<<线性规划
8.2.1 什么是线性规划
设xj:第j种截法的使用次数。（j=1,2,…,8） 则上述问题的数学模型为：
min z 5 x1 6 x2 23x3 5 x4 24 x5 6 x6 23x7 5 x8 100 2 x1 x2 x3 x4 2x2 x3 3x5 2 x6 x7 150 s.t. x3 3x4 2 x6 3x7 5x8 120 x1 x j 0( j 1L 8)
8.1.2 运筹学的应用
运筹学的应用
1.市场销售 2.生产计划 3.运输问题 4.人事管理 5.设备维修，更新和可靠性等。 6.计算机和信息系统
7.城市管理
8.对策研究 ………………
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6
算法设计与分析<<线性规划
8.1.3 运筹学的研究分支
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算法设计与分析<<线性规划
8.2.1 什么是线性规划
线性规划（LP）的要素：
一组有待决策的变量xj （决策变量） 一个线性的目标函数和优化准则
z称为目标函数
max或min成为优化准则
一组线性的约束条件（s.t ：subject约束条件）
线性规划的应用
研究分支
规划论 排队论 对策论（博弈论） 图与网络分析 统筹方法
存储论
决策论、多目标决策等。
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7
算法设计与分析<<线性规划
8.1.4 线性规划的发展
规划论
规划论是目前运筹学中发展较快、应用较广的一个分支。主要包括： 线性规划,非线性规划,整数规划,目标规划,动态规划。 规划论所研究的问题主要有两类：
需要，又配备最少司机和乘务员？
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算法设计与分析<<线性规划
8.2.1 什么是线性规划
解：
设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数，这样可 以知道:
在第i班工作的人数＝第i－1班次时开始上班的人员数
＋第i班次时开始上班的人员数;
又要求这六个班次时开始上班的所有人员最少，即：
线性规划是在有限资源的条件下，合理分配和利用资源， 以期取得最佳的经济效益的优化方法。
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算法设计与分析<<线性规划
8.2.2 线性规划的数学模型
线性规划（LP）的定义：
若目标函数z为决策变量xj的线性函数，约束条件亦为决策 变量xj的线性不等式（或等式），则该数学表达式（模型） 称为线性规划模型（ Linear Programming Model ）。
线性规划解决经营管理中遇到的复杂问题。
线性规划的使用为应用者节约了数以亿万计的资金。
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12
8.2 线性规划基础
8.2.1
什么是线性规划
8.2.2
8.2.3
线性规划的数学模型
二维线性规划的图解法
8.2.4
用excel求解线性规划
算法设计与分析<<线性规划
给定了一定数量的人力、物力，如何合理调配这些资源，去完成最多的 任务； 确定了一项任务，如何精打细算，使用最少的人力、物力，去完成这项 任务．
对于上述问题的一般数学模型的建立、探讨和求解的理论，称为数学
规划。
其中重要而常用的一种是线性规划。
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8
算法设计与分析<<线性规划
题是什么样的一类问题呢？ 请看案例------
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算法设计与分析<<线性规划
8.2.1 什么是线性规划
例1：生产安排问题
问题描述：
产品Ⅰ 产品Ⅱ
2 2 0 4
设备可用时间
12 8 16 12
设备A 设备B 设备C 设备D
要求x1 +x2 +x3+x4 +x5 +x6最小。
这样建立如下的数学模型：
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算法设计与分析<<线性规划
8.2.1 什么是线性规划
目标函数：
min z
= x1 +x2 +x3+x4 +x5 +x6
约束条件： x x 6 0 1 6
x1 x2 7 0 x2 x3 6 0 x3 x4 5 0 x x 30 5 4 x5 x6 3 0 x j 0, j 1 ~ 6
问：应该如何截取，才能完成任务，同时使余料最少？
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算法设计与分析<<线性规划
8.2.1 什么是线性规划
解：
截法 1 2 3 4 5 6
长度
70 2 1 1 1 0 0 52 0 2 1 0 3 2 35 1 0 1 3 0 2
余料 5 6 23 5 24 6
如何才能更好地利用资源，分配有限的资源，这是一
个值得研究的问题。
当时在英国军队中率先成立了研究小组来研究这些问题， 这就是著名的OR（ Operational Research Group ）小组， 很快美军中也相继成立了OR小组。
战争—— 运筹学诞生的温床。
3
四川师范大学 计算机科学学院 刘芳
1954年S.加斯和T.萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规 划问题
1956年A.塔克提出互补松弛定理
1960年G.B.丹齐克和P.沃尔夫提出分解算法等。
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算法设计与分析<<线性规划
8.1.4 线性规划的发展
线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规 划、随机规划和非线性规划的算法研究。
由于数字电子计算机的发展，出现了许多线性规划软件，如MPSX， OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解几千个变量的线性规划问 题。
1979年苏联数学家L. G. Khachian提出解线性规划问题的椭球算法，
并证明它是多项式时间算法。 1984年美国贝尔电话实验室的印度数学家N.卡马卡提出解线性规
8.1.4 线性规划的发展
发展历史
法国数学家 J.- B.- J.傅里叶和 C.瓦莱－普森分别于1832和1911年独立 地提出线性规划的想法，但未引起注意。 1939年苏联数学家Л.В.康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》 一书中提出线性规划问题，也未引起重视。 1947年旦茨基（G. B. Dantzig）提出了一般线性规划问题求解的方 法——单纯形法（simplex method），为这门学科奠定了基础。自此 线性规划已被广泛应用于解决经济管理和工业生产中遇到的实际问题。 1947年美国数学家J.von诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多 新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。