线性规划与网络流
第八章线性规划与网络流
j 1
n
pjxj b
j 1
xj 0( j 1,, n)
(1-17)
(1 18) (1 19)
在约束条件（1-18）式的变量的系数矩阵中总会存在一个 单位矩阵，不妨设为
1 0 0
p1
,
p2
,,
pm
0
1
0
0 0 1
(1-20)
式中 p1, p2 ,, pm 称为基向量,同其对应的决策变量 称 x1, x2 ,, xm 为基变量,模型中的其它变量 xm1, xm2 ,, xn称为非基变量。 在(1-18)式中令所有非基变量等于零,即可找到一个解
基：矩阵中的最大线性无关组 基本解：满足Ax=b，且非基变量为0的解 基本可行解：满足非负条件的基本解。
线性规划基本定理：如果线性规划问题有最优解，则必有一基本可行最优解。 Dantzig于1948年提出了线性规划问题的单纯形算法。 单纯形法迭代的基本思路是：先找出一个基本可行解，判断其是否为最优解，如为否，
在每一约束方程中选择一个这样的变量，并以它作为变量求解该约束方程。这样选 出来的变量称为左端变量或基本变量，其总数为m个。剩下的n-m个变量称为右端 变量或非基本变量。
这一类特殊的标准形式线性规划问题称为约束标准型线性规划问题。
任意一个线性规划问题可以转换为约束标准型线性规划问题。
12
max
1
问题与建模
模型：对真实系统的结构与行为用图、解析式或方程来 描述的合称为模型。
数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对实际对象 的一个刻画，以便于人们更简明更深刻地认识所研究的 对象
数学建模：根据要求，针对实际问题，组建数学模型的 全过程（包括建立、求解、分析、检验等）
CAN-File-10-10-08-13-线性规划_网络流与整数规划解析
目标：
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
数学与系统科学学院
网络流问题－续
约束：
质量守恒(mass conservation) inflow(k) – outflow(k)=demand(k)=-supply(k), 假定II：弧没有容量限制
如果他们全非负，当前树解是最优的；否则，选取弧 (i, j) 使得 ，称之为入弧. Step 4. 确定出弧：入弧和树弧必形成一个圈. 如果圈中的所 有弧和入弧同向，则最优费用是 -∞，终止算法. 否 则，在与入弧反向的树弧中选一个最小的流作为出弧. Step 5. 转轴： 在当前树解中用入弧代替出弧，更新原始流，得 新的树解. 转 Step2.
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
数学与系统科学学院
(用于无容量限制网络的)网络单纯形法：
Step 1. 从一个可行的树解开始，假设第 n 个节点是根节点. Step 2. 计算对偶向量(单纯形乘子)： 从根节点向叶子节点，依次求解方程组
Step 3. 计算对偶松弛向量(相对费用系数/既约费用系数)：
连 通
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
不连通
数学与系统科学学院
定义：圈 vs. 非圈(Cyclic vs. Acyclic)
圈
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
非 圈
数学与系统科学学院
定义：树(Trees)
树＝连通的+非圈
非 树
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
非负性
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
运筹学基础
运筹学基础运筹学基础运筹学是一门研究问题的建模、分析和解决方法的学科，它涵盖了数学、统计学、计算机科学和工程等多个领域。
运筹学的目标是通过科学的方法，优化决策和资源利用，以达到最佳的效果。
运筹学的基础包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、排队论、网络流和图论等内容。
这些方法可以在许多领域中应用，包括物流、生产、供应链管理、交通运输、金融和资源分配等。
线性规划是运筹学中的一种基础方法。
它适用于求解具有线性目标函数和线性约束条件的问题。
线性规划常常涉及到资源的分配和决策的优化，例如在生产中如何最大化利润或者在供应链中如何最小化运输成本。
整数规划是在线性规划的基础上引入整数变量的一种问题求解方法。
这种方法可以用于求解一些离散决策问题，例如在物流中如何选择配送点和配送路线，以及如何安排生产任务等。
非线性规划是针对目标函数或约束条件中存在非线性项的问题的求解方法。
这种方法用于求解一些复杂的决策问题，例如在金融投资中如何优化投资组合，以及在环境保护中如何最小化排放量等。
动态规划是一种将多阶段决策问题转化为一系列单阶段决策问题的方法。
它适用于一些需考虑时序和状态转移的问题，例如旅行商问题和生产计划问题等。
排队论是研究顾客到达和服务系统间关系的数学方法。
它可以用于分析和优化服务系统的性能指标，例如等待时间和服务效率等。
排队论可以应用于各种排队系统，包括银行、餐厅和交通等。
网络流是研究网络中物质或信息流动的数学方法。
它可以用于解决一些网络中的最优路径或最小费用问题，例如在物流中如何选择最佳配送路径，以及在通信网络中如何优化数据传输等。
图论是研究图结构和图算法的学科。
它可以用于模型建立和问题求解，例如在地图上如何规划最短路径，以及在社交网络中如何分析人际关系等。
总之，运筹学提供了一系列数学方法和工具，用于解决决策和资源分配问题。
这些方法不仅可以优化决策效果，还可以提高经济效益和资源利用效率。
运筹学的应用范围广泛，对提高社会生产力和改善生活质量具有重要意义。
线性规划.网络流.二分图匹配
2013-8-1
最大匹配
给定一个二分图G，在G的一个子图M中， M的边集中的任意两条边都不关联于同一 个顶点，则称M是一个匹配。 选择这样的边数最大的子集称为图的最大 匹配问题(maximal matching problem),最 大匹配的边数称为最大匹配数. 如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图 中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配， 也称作完备匹配。
d
14,4
c
12
20
s
13
4
10
t
4
16,11
a
4,
12,4 9,4
b
7,7
20,7
d
c
s
10,7
t
4,4
13,
d
14,11
c
2013-8-1
23 of 158
剩余图
s
增广之后的新流
16,11 10,7
a
4,
12,4 9,4
b
7,7
20,7
t
4,4
13,
d a
4,1
14,11 12,12
c b
5
a
x
3 3
6
9
6
9
12
⑵
15
18
21
24
⑶
⑴
27
30
33
36
有唯一最优解
2013-8-1
答案：15+5=20
16 of 158
练习
某工厂生产甲、乙两种产品，生产1公斤甲产品需要煤9 公斤、电4度、油3公斤，生产1公斤乙产品需要煤4公 斤、电5度、油10公斤。该工厂现有煤360公 斤、电 200度、油300公斤。已知甲产品每公斤利润为7千元， 乙产品每公斤利润为1.2万元，为了获取最大利润应该 生产甲产品（ ）公斤，乙产品 （ ）公斤。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、物流管理等。
本文将对线性规划的基本概念、模型建立、求解方法和应用进行总结。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数的系数称为目标系数，代表了各个决策变量对目标的影响程度。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为等式或者不等式。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（最小）值的解称为最优解。
三、模型建立1. 决策变量：线性规划中，需要确定一组决策变量，代表问题中的可调整参数。
决策变量通常用符号x1, x2, ..., xn表示。
2. 目标函数：根据问题的具体要求，建立目标函数。
例如，最大化利润、最小化成本等。
3. 约束条件：根据问题中的限制条件，建立线性约束条件。
约束条件通常表示为等式或者不等式。
4. 非负约束：决策变量通常需要满足非负约束条件，即x1, x2, ..., xn≥0。
四、求解方法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以使用图解法进行求解。
首先绘制约束条件的直线，然后确定可行解区域，最后在可行解区域中找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
通过不断迭代，找到使目标函数取得最大（最小）值的最优解。
3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
整数规划通常比线性规划更复杂，求解时间更长。
4. 网络流算法：对于某些特殊的线性规划问题，可以使用网络流算法进行求解。
网络流算法利用图论的方法，将问题转化为网络流问题进行求解。
五、应用领域1. 生产计划：线性规划可以用于确定最佳生产计划，使得生产成本最小化或者利润最大化。
2. 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最佳分配方案，如人力资源、物资资源等。
运筹学原理与方法
运筹学原理与方法运筹学（Operations Research，简称OR）是一门研究如何有效地解决实际问题的学科，通过运用数学、统计学、计算机科学和管理学等相关知识，提供了一些原理与方法，以帮助决策者做出更好的决策。
本文将探讨运筹学的原理与方法，并且通过实例来说明其在实际问题中的应用。
一、线性规划线性规划是运筹学中最基础且最常用的方法之一。
它通过建立目标函数和约束条件之间的线性关系，寻找使目标函数达到最大或最小的决策变量的取值。
例如，某公司要在两个产品上投入资源，每个产品的利润率和资源消耗量不同，需要确定投入的数量才能最大化利润。
这样的问题可以用线性规划方法解决。
二、整数规划整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量的取值必须是整数。
在实际问题中，很多情况下需要做出离散的决策，比如确定投放广告的地点数量，或者选择装备的类型等。
整数规划方法可以帮助我们在求解这类问题时，找到最优的整数解。
三、动态规划动态规划是一种解决决策问题的重要方法，它基于最优子结构和重叠子问题的概念。
动态规划通过将问题划分为一系列的子问题，并保存子问题的解，然后通过组合子问题的解来求取原始问题的最优解。
例如，假设某人要从一座城市到另一座城市旅行，每个城市之间的交通费用和距离不同，需要确定最省钱或最短路径的路线。
动态规划方法可以帮助我们找到最优的路线。
四、网络流模型网络流模型是一种表示与问题相关的网络结构，通过节点和边来表示问题中的元素和关系。
在网络流模型中，问题的求解可以转化为在网络中求取最大流或最小费用流的问题。
例如，在某物流公司的配送中心要为多个客户分配货物，每个客户需求和配送成本不同，需要找到最优的配送方案。
网络流模型可以帮助我们找到最优的货物配送方案。
五、模拟方法模拟方法是通过构建数学或计算机模型来模拟实际问题的行为和变化。
通过对模型进行多次模拟实验，可以得到问题的统计特性和概率分布，从而用于决策。
例如，某公司要评估一种新产品的市场反应，可以通过模拟方法来预测不同市场环境下的销售情况，以帮助决策者做出合理的决策。
运筹学课后习题及答案
运筹学课后习题及答案运筹学是一门应用数学的学科，旨在通过数学模型和方法来解决实际问题。
在学习运筹学的过程中，课后习题是非常重要的一部分，它不仅可以帮助我们巩固所学的知识，还可以提升我们的解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些运筹学课后习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题线性规划是运筹学中的一个重要分支，它旨在寻找线性目标函数下的最优解。
以下是一个线性规划问题的例子：Max Z = 3x + 4ySubject to:2x + 3y ≤ 10x + y ≥ 5x, y ≥ 0解答：首先，我们可以画出约束条件的图形，如下所示：```y^|5 | /| /| /| /|/+-----------------10 x```通过观察图形，我们可以发现最优解点是(3, 2)，此时目标函数取得最大值为Z = 3(3) + 4(2) = 17。
2. 整数规划问题整数规划是线性规划的一种扩展，它要求变量的取值必须是整数。
以下是一个整数规划问题的例子：Max Z = 2x + 3ySubject to:x + y ≤ 52x + y ≤ 8x, y ≥ 0x, y为整数解答：通过计算，我们可以得到以下整数解之一：x = 2, y = 3此时，目标函数取得最大值为Z = 2(2) + 3(3) = 13。
3. 网络流问题网络流问题是运筹学中的另一个重要分支，它研究的是在网络中物体的流动问题。
以下是一个网络流问题的例子：有一个有向图，其中有三个节点S、A、B和一个汇点T。
边的容量和费用如下所示：S -> A: 容量为2，费用为1S -> B: 容量为3，费用为2A -> T: 容量为1，费用为1B -> T: 容量为2，费用为3A -> B: 容量为1，费用为1解答：通过使用最小费用最大流算法，我们可以找到从源点S到汇点T的最小费用流量。
在该例中，最小费用为5，最大流量为3。
运筹学模型的分类和类型
运筹学模型的分类和类型运筹学是一门应用于决策制定和问题解决的学科，它通过数学模型和分析方法来优化资源的利用。
运筹学模型是在特定情境中描述问题和优化目标的数学表示。
根据问题的性质和优化目标的类型，运筹学模型可以被分类为多种类型。
在本文中，我将介绍一些常见的运筹学模型分类。
一、线性规划模型：线性规划模型是最基本的运筹学模型之一。
它的特点是目标函数和约束条件均为线性的。
线性规划模型常用于求解资源分配、生产计划、物流运输等问题。
通过线性规划模型，我们可以找到使资源利用最优化的决策方案。
某公司需要确定每种产品的生产数量，以最大化总利润，且需满足各种资源约束条件，这时可以使用线性规划模型进行求解。
二、整数规划模型：整数规划模型是在线性规划模型的基础上引入整数变量的扩展。
在某些情况下，问题的决策变量只能取整数值，这时就需要使用整数规划模型进行求解。
某物流公司需要确定车辆的调度方案，每辆车的装载量可以是整数，这时可以使用整数规划模型来求解最佳调度方案。
三、动态规划模型：动态规划模型是一种考虑时间因素的决策模型。
它通常用于求解多阶段决策问题。
动态规划模型通过将问题划分为多个阶段，并建立各阶段之间的转移方程，来寻找最优决策序列。
在项目管理中，我们需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总工期和成本，这时可以使用动态规划模型进行求解。
四、网络流模型：网络流模型是一种描述网络中资源分配和流量传输的模型。
它通常用于求解网络优化问题，如最小费用流问题、最大流问题等。
网络流模型中，节点表示资源或流量的源点、汇点和中间节点，边表示资源或流量的传输通道。
通过建立网络流模型，我们可以确定资源的最优分配方案，以及网络中的最大流量或最小成本。
在供应链管理中，我们需要确定货物从生产商到消费者的最佳流向，以最小化总运输成本，这时可以使用网络流模型进行求解。
五、排队论模型：排队论模型是一种描述排队系统的模型。
它通常用于评估系统性能指标，如平均等待时间、平均逗留时间等。
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线性规划与网络流 算法分析与设计 Analysis and Design of Computer Algorithms
计算机算法设计与分析 0页
学习要点 理解线性规划算法模型 掌握解线性规划问题的单纯形算法 理解网络与网络流的基本概念 掌握网络最大流的增广路算法 掌握网络最大流的预流推进算法 掌握网络最小费用流的消圈算法 掌握网络最小费用流的最小费用路算法 掌握网络最小费用流的网络单纯形算法
计算机算法设计与分析
4页
线性规划：在满足一些线性等式或者不等式的条件下，最优化一个线
性函数。
计算机算法设计与分析
5页
资源配置类型
有m种资源和n个项目，每个资源都是有限的，设它们的上限为bj(1
<= j <= m)。假设第i个项目做出xi的成果量，可以获得ci*xi的收益， 同时会消耗第j种资源aij*xi。求最大收益。
计算机算法设计与分析
10页
8.1 线性规划问题和单纯形算法
线性规划问题及其表示
线性规划问题可表示为如下形式：
max
n
c x
j 1 j
n
j
(8.1)
s.t.
a x a a
t 1 t 1 n t 1 n
it t
bi
i 1,2,, m1 j m1 1,, m1 m2
在每一约束方程中选择一个这样的变量，并以它作为变量求解该约束方程。这样
选出来的变量称为左端变量或基本变量，其总数为m个。剩下的n-m个变量称为
右端变量或非基本变量。
这一类特殊的标准形式线性规划问题称为约束标准型线性规划问题。 虽然约束标准型线性规划问题非常特殊，但是对于理解线性规划问题的单纯形算
a14x1+a24x2+a34x3 >= b4
x1, x2, x3, x4 >= 0
计算机算法设计与分析
9页
多物流网络类型 多物网络流基本上和一般的网络流一致，唯一的区别就是多物网络流有k个源 点和汇点，k可能大于1。假设第i个源点为si，第i个汇点为ti （1 <= i <= k）。多物网络流的问题就是要求一个满足si到ti的流量都为fi的可行流。 在一个地图上，某铁路公司有4项目。第i个项目要建造一条从城市si到ti的铁 路。现在有一些铁路段可以供公司选择建造，每一段都是从一个城市到另一 个城市的，且每一段铁路的造价是已知的。由于项目之间是独立的，每一段 铁路只能被一个项目所拥有、建造，造好以后也只能被此项目所使用。求完 成4个项目的最小费用。
计算机算法设计与分析 14页
约束标准型线性规划问题的单纯形算法
当线性规划问题中没有不等式约束(8.2)和(8.4)式，而只有等式约束(8.3)和变量
非负约束(8.5)时，称该线性规划问题具有标准形式。
为便于讨论，不妨先考察一类更特殊的标准形式线性规划问题。这一类线性规划
问题中，每一个等式约束中，至少有一个变量的系数为正，且这个变量只在该约 束中出现。(x1,x4,x6，后页图示)
计算机算法设计与分析
20页
单纯形算法的第3步：转轴变换。 转轴变换的目的是将入基变量与离基变量互调位置。 给入基变量一个增值，使之成为基本变量； 修改离基变量，让入基变量所在列中，离基变量所在行的元
素值减为零，而使之成为非基本变量。
计算机算法设计与分析
21页
1 1 x3 x2 x4 3 2 4
计算机算法设计与分析
3页
假设4种项目的支出分别为x1、x2、x3、x4万元，
目标：最小化x1+x2+x3+x4（总支出最小）
限制： -2x1+8x2+0x3+10x4 >= 50（城市居民） 5x1+2x2+0x3+0x4 >= 100（郊区居民） 3x1-5x2+10x3-2x4 >= 25（农村居民） x1, x2, x3, x4 >= 0（开支不可能为负）
解离基变量所相应的方程，将入基变量x3用离基变量x4表示为 再将其代入其他基本变量和所在的行中消去x3 ，
5 1 x 2 x 4 2 x5 10 2 4 5 3 x6 x 2 x 4 8 x5 1 2 4 x1
z 9 1 3 x 2 x 4 2 x5 2 4
xi 0
i 1, 2,3,4,5,6
x2 z x1 x4 x6 0 7 12 10 -1 3 -2 -4 x3 3 -1 4 3 x5 -2 2 0 8
计算机算法设计与分析
16页
任何约束标准型线性规划问题，只要将所有非基本变量都置
为0，从约束方程式中解出满足约束的基本变量的值，可求 得一个基本可行解。
有些情况下可能不存在最优解。 通常有两种情况：
(1)根本没有可行解，即给定的约束条件之间是相互排斥的，可行区
域为空集； (2)目标函数没有极值，也就是说在n 维空间中的某个方向上，目标 函数值可以无限增大，而仍满足约束条件，此时目标函数值无界。
计算机算法设计与分析
12页
max
z x1 x2 3x3 x4
单纯形算法的基本思想就是从一个基本可行解出发，进行一
系列的基本可行解的变换。
每次变换将一个非基本变量与一个基本变量互调位置，且保
持当前的线性规划问题是一个与原问题完全等价的标准线性
规划问题。
基本可行解x=(7,0,0,12,0,10)。
计算机算法设计与分析 17页
单纯形算法的第1步：选出使目标函数增加的非基本变量作为入基
法是非常重要的。
稍后将看到，任意一个线性规划问题可以转换为约束标准型线性规划问题。
计算机算法设计与分析
15页
max
z x2 3x3 2x5
7 12 10
x1 3x2 x3 2 x5 x4 2 x2 4 x3 x6 4 x2 3x3 8x5
(8.2) (8.3)
jt t
x bj
kt t
x bk
k m1 m2 1,, m1 m2 m3 (8.4) t 1,2,, n (8.5)
xt 0
计算机算法设计与分析
11页
变量满足约束条件(8.2)-(8.5)式的一组值称为线性规划问题的一个可
行解。 所有可行解构成的集合称为线性规划问题的可行区域。 使目标函数取得极值的可行解称为最优解。 在最优解处目标函数的值称为最优值。
7页
最佳物资供给类型
有m种需求要满足，假设第j种需求至少要bj的量才能满足。现在有n种物资， 其中每单位第i种物资会提供给第j种需求aij的量。假设第i种物资供给了xi单 位，要支付费用ci*xi 。在满足所有需求的前提下，使总费用最小。 下面的问题就是一个最佳物资供给问题： 一个人一天至少要摄入b1克糖类、b2克脂肪、b3克蛋白质以及b4克维生素。 米饭的价格为每克c1元，每克米饭会提供a11克糖类、a12克脂肪、a13克蛋 白质以及a14克的维生素；蔬菜每克c2元，每克蔬菜回提供a21克糖类、a22 克脂肪、a23克蛋白质以及a24克维生素；肉类每克c3元，每克肉类提供a31 克糖类、a32克脂肪、a33克蛋白质以及a34克维生素。请问至少要多少钱才 能满足人一天的营养需求？
变量。
查看单纯形表的第1行（也称之为z行）中标有非基本变量的各列
中的值。
选出使目标函数增加的非基本变量作为入基变量。
z行中的正系数非基本变量都满足要求。
在上面单纯形表的z行中只有1列为正，即非基本变量相应的列，
其值为3。
选取非基本变量x3作为入基变量。
计算机算法设计与分析
18页
单纯形算法的第2步：选取离基变量。 在单纯形表中考察由第1步选出的入基变量所相应的列。 在一个基本变量变为负值之前，入基变量可以增到多大。 因此负元素不考虑（当入 2 x3 2 x2 7 x4 x1 x 2 x3 x 4 x 2 x3 2 x 4
xi 0
18 0 9 1
i 1, 2,3,4
这个问题的解为 (x1,x2,x3,x4) = (0,3.5,4.5,1)；最优值为16。 n=4; m1=2;m2=m3=1; m=m1+m2+m3=4;
计算机算法设计与分析
19页
如果入基变量所在的列与基本变量所在行交叉处的表元素为负数，那么该元素将
不受任何限制，相应的基本变量只会越变越大。
如果入基变量所在列的所有元素都是负值，则目标函数无界，已经得到了问题的
无界解。
如果选出的列中有一个或多个元素为正数，要弄清是哪个数限制了入基变量值的
计算机算法设计与分析
8页
上述问题可以描述为下面的线性规划问题：
假设人一天吃米饭x1克、蔬菜x2克、肉类x3克
最小化c1x1+c2x2+c3x3 满足：
a11x1+a21x2+a31x3 >= b1
a12x1+a22x2+a32x3 >= b2 a13x1+a23x2+a33x3 >= b3
比如下面的这个问题就是一个资源优化配置问题： 某工厂现在分别有钢材、木材、塑料b1、b2、b3吨，工厂可以生产
4种产品，第i种产品每生产一吨可以获得ci万的收益，但是要耗费ai1 吨钢材，ai2吨木材以及ai3吨塑料。求工厂的最大收益。
计算机算法设计与分析