CAN-File-10-10-08-13-线性规划_网络流与整数规划解析
整数线性规划
分枝定界法的理论基础：
1 2 k , i j (1) max cx max (max cx, max cx, , max cx)
x x1 x 2 x k
(2) 若 i j ，则 max cx max cx
xi xi x
分 枝
给定整数规划问题IP max z C T X
若x 的某个分量 xi 不是整数，
0
0
则将 IP分解为两个子问题
max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ]
T max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ] 1
记 z0 z
x1 4, x1 5
将问题B0分解为两个子问题B1和B2(分枝), 分别解B1,B2得 B1: x1=4, x2=2.10, z1=349 B2: x1=5, x2=1.57, z2=341
max z 40 x1 90 x2 max z 40 x1 90 x2 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 4 B1 x1 , x2 0 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 5 B2 x1 , x2 0
4、几点说明 (1)、如果要求目标的最大值
max z cij xij
令
bij M cij
i
j
其中
M max{ cij }
效率矩阵可变为B，将分配问题转换为一个极 小化问题
min z
'
b x
ij i j
ij
(2)、如果分配问题中，人员数 m 不等于工作数 n 时，可以类似于不平衡运输问题建立模型的 方法，增加虚拟人员或虚拟工作。
CAN-File-10-10-08-13-线性规划_网络流与整数规划解析
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
数学与系统科学学院
网络单纯形法
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
数学与系统科学学院
网络流：应用
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
数学与系统科学学院
运输问题(Transportation Problem)
每个顶点是两种类型之一： 发(源/供给)点 收(目的/需求)点 每条弧满足： 起点在发点 终点在收点
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
数学与系统科学学院
最小费用流问题 网络单纯形法
－生成树与基 －原始网络单纯形法 －对偶网络单纯形法
网络流问题的应用
－运输问题和指派问题 －最短路问题 －最大流问题
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
数学与系统科学学院
最小费用流问题
生成树－触及到每个顶点的树
给定生成树 树解(tree solution) 满足流平衡约束
且对
树解的计算?
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
,
数学与系统科学学院
树解－原始流
固定一个根节点，比如 e 树解的计算：从叶子节点开始，逆向依次解流平衡方程 叶子节点：仅有一条弧相连接的节点
Hale Waihona Puke 115 5 4
5
第5讲 整数规划、非线性规划、多目标规划1
第5讲整数规划、非线性规划、多目标规划一、整数规划1、概念数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
整数规划的分类:如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类：1）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2）变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
2、整数规划特点(i)原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1原线性规划为21min x x z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,05422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，452=x ，45min =z ③有可行解（当然就存在最优解），但最优值变差。
例2原线性规划为21min x x Z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,06422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，232=x ，23min =z 若限制整数得：11=x ，12=x ，2min =z 。
（ii ）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
3、0-1整数规划0−1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量j x 仅取值0或1。
这时j x 称为0−1变量，或称二进制变量。
j x 仅取值0或1这个条件可由下述约束条件：10≤≤j x ，且为整数所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。
在实际问题中，如果引入0−1变量，就可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。
引入10-变量的实际问题：（1）投资场所的选定——相互排斥的计划例3某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。
拟议中有7个位置（点）)7,,2,1( =i A i 可供选择。
规定在东区：由321,,A A A 三个点中至多选两个；在西区：由54,A A 两个点中至少选一个；在南区：由76,A A 两个点中至少选一个。
数模常用算法系列--整数线性规划（分枝定界法）、整数非线性规划（蒙特卡洛法）
数模常⽤算法系列--整数线性规划（分枝定界法）、整数⾮线性规划（蒙特卡洛法）整数线性规划求解----分枝定界法什么是整数规划?线性规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中,变量限制为整数，则称为整数线性规划。
⽬前所流⾏的求解整数规划的⽅法，往往只适⽤于整数线性规划。
⽬前还没有⼀种⽅法能有效地求解⼀切整数规划。
整数规划的分类- 变量全限制为整数时，称(完全)整数规划- 变量部分限制为整数时，称混合整数规划什么是分枝定界法原理如下：设有最⼤化的整数规划问题A,与它相应的线性规划为问题B,从解问题B开始,若其最优解不符合A的整数条件,那么B的最优⽬标函数必是A的最优⽬标函数z^*的上界\overline{z}；⽽A的任意可⾏解的⽬标函数值将是z^*的⼀个下界\underline z ,分枝定界法就是将B的可⾏域分成⼦区域的⽅法。
逐步减⼩\overline z和增⼤\underline z最终求到z^*本质就是个分治回溯,逼近最⼤值的算法。
Matlab算法如下：（强烈警告，（不会验证）由于⽐较懒，并未对算法正确性验证，思路上验证了⼀下没问题就码上来了，如果有错，请⼀定联系~~）% c,A,Aeq,Beq,LB,UB,是linprog函数的相关参数，知道了它们就可以求出对应的线性规划最优解，% now是⽬前已经知道的整数解的最⼤值function y = control(c,A,Aeq,Beq,LB,UB,now)ret = 0;[x,fval] = linprog(c,A,Aeq,Beq,LB,UB); % x是最优解的解向量，fval是对应的函数值if fval < nowy = fval;return;end % 如果得到的当前最优解fval⼩于已知的now,那说明最优整数解不在这个区间，则剪枝返回。
for i = 1 : length(x)if rem(x(i),1) ~= 0 % rem(x,1)如果返回值不为0,则表⽰是⼩数。
2 线性规划
第一节 线性规划问题及其数学模型
可加性假定：每个决策变量对目标函数和约
束方程的影响是独立于其他变量的，目标函 数值是每个决策变量对目标函数贡献的总和 连续性假定：线性规划问题中的决策变量应 取连续值。 确定性假定：线性规划问题中的所有参数都 是确定的参数。线性规划问题不包含随机因 素。
约 束 方 程
约束条件
变量约束
第一节 线性规划问题及其数学模型
线性规划问题隐含的假定： 比例性假定 可加性假定 连续性假定 确定性假定
比例性假定：决策变量变化引起的目标函数
的改变量和决策变量的改变量成比例，同样， 每个决策变量的变化引起约束方程左端值的 改变量和该变量的改变量成比例
≥0
=
≥0
第一节 线性规划问题及其数学模型
标准型的简缩形式
max Z
c x
j j 1
n
j
s .t
n aij x j bi , i 1,2 , , m j 1 x j 0 , i 1,2 , , m
第一节 线性规划问题及其数学模型
或
松弛变量
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n bi
a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n x p bi , x p 0
剩余变量
练习
例:将下列线性规划问题划为标准形式： min Z = x1+3x2
s.t.
6x1+7x28 -x1+3x2-6 x1-x2=3 x10
可行域无界
x1+2x2 10 x2 0 x1
可行域无界
x2
x1 0
数学建模中常见的十大模型
数学建模常用的十大算法==转(2011-07-24 16:13:14)转载▼1. 蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。
2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。
3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。
4. 图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。
6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7. 网格算法和穷举法。
两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8. 一些连续数据离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9. 数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10. 图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。
CAN-File-10-10-08-13-无约束优化_线搜索法
实用优化方法 数学与系统科学学院
修正牛顿法－一些可能的修正策略
线搜索策略：对搜索方向进行修正
策略1：
策略2：确定特殊的 ，其满足 述方程组得搜索方向 p(k) 策略3：确定对角矩阵 ，其满足 求解下述方程组得搜索方向 p(k) 正定，求解下
充分正定，
策略4：负曲率方向法：当G(k)不定(有一个负特征值)时， 计算负曲率方向作为搜索方向p(k) ，即满足
拟牛顿法－割线方程
易见： 处的梯度是g(k)，即
记
割线(secant)方程/ 拟牛顿方程
其中H(k+1)=(B(k+1))-1.
第6章 无约束优化：线搜索法
实用优化方法 数学与系统科学学院
拟牛顿法－曲率条件
B(k+1) 既满足割线方程又要保持正定所必需的条件： 曲率条件(curvature condition)
得
第6章 无约束优化：线搜索法
实用优化方法 数学与系统科学学院
拟牛顿法－BFGS法(续)
连续两次应用SMW公式
得
其中
第6章 无约束优化：线搜索法
实用优化方法 数学与系 6.3.1 BFGS Method. 需要修改算法的编号！
注：使用满足Wolfe准则的线搜索，且每次先试1是否满足； ⊙ 计算搜索方向不用计算二阶导数；计算量 ⊙ 适当的条件下是超线性收敛的
第6章 无约束优化：线搜索法
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拟牛顿法 Quasi-Newton Method
第6章 无约束优化：线搜索法
实用优化方法 数学与系统科学学院
拟牛顿法－概述(*****)
假设 B(k) 满足割线/拟牛顿方程 ： B(k)s(k-1)=y(k-1), 其中 s(k-1)=x(k)-x(k-1) , y(k-1)=g(k)-g(k-1)
运筹学基础及应用第4章-整数规划与分配问题
整数规划的特点及应用
解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此 分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：
j投 资 1 对 项 目 xj ( j 1,2,..., n) j不 投 资 0 对 项 目
投资问题可以表示为：
max z
c
j 1
n
j
xj
n a j x j B j 1 x2 x1 s .t x 3 x4 1 x5 x6 x7 2 ） x j 0或者1 （j 1, 2, L n
B1 B2 B3 B4 年生产能力
A1
A2 A3 A4 年需求量
2
8 7 4 350
9
3 6 5 400
3
5 1 2 300
4
7 2 5 150
400
600 200 200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万元。 现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用最少。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
整数规划的典型例子
例4.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
例4.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x 2 14x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0且 为 整 数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 题）。
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目标：
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
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网络流问题－续
约束：
质量守恒(mass conservation) inflow(k) – outflow(k)=demand(k)=-supply(k), 假定II：弧没有容量限制
如果他们全非负，当前树解是最优的；否则，选取弧 (i, j) 使得 ，称之为入弧. Step 4. 确定出弧：入弧和树弧必形成一个圈. 如果圈中的所 有弧和入弧同向，则最优费用是 -∞，终止算法. 否 则，在与入弧反向的树弧中选一个最小的流作为出弧. Step 5. 转轴： 在当前树解中用入弧代替出弧，更新原始流，得 新的树解. 转 Step2.
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
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(用于无容量限制网络的)网络单纯形法：
Step 1. 从一个可行的树解开始，假设第 n 个节点是根节点. Step 2. 计算对偶向量(单纯形乘子)： 从根节点向叶子节点，依次求解方程组
Step 3. 计算对偶松弛向量(相对费用系数/既约费用系数)：
连 通
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
不连通
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定义：圈 vs. 非圈(Cyclic vs. Acyclic)
圈
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
非 圈
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定义：树(Trees)
树＝连通的+非圈
非 树
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
非负性
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
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矩阵记号
其中：
注
A是点弧关联矩阵(node-arc incidence matrix) 通常A的维数很大，并且是稀疏的
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
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对偶问题
对偶松弛变量
用网络记号：
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
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树解－对偶变量与对偶松弛变量
从根节点开始，沿着树弧利用 向外递归计算，可得到顶点处的对偶变量
利用
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
计算非树弧上的对偶松弛变量
实用优化方法
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树解与基本可行解的关系
引理. A的秩是 m-1； 在生成树中，选择一个节点，删除与之对应的流平衡 约束，并称之为根节点(root node); 对应的关联矩阵和供需向量 定理 的 m-1 阶子方阵是最小费用流问题的基当且仅 当其列对应的弧恰好搭建成网络的一个生成树. 定理’ 一个流向量是基本解当且仅当它是一个树解. 树解 基本解； 对偶变量 单纯形乘子； 对偶松弛变量 相对费用系数.
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
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网络单纯形法
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
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定义：子网络(Subnetwork)
网 络
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
子网络
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定义：连通 vs. 不连通(Connected vs. Disconnected)
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
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原始网络单纯形法
假设树解是原始可行的，即满足非负条件：
入弧选取规则：选取弧 (i, j) 使得对偶松弛变量 zij< 0 出弧选取规则： 入弧为(d, e); 在圈中，与入弧的方向相反； 出弧为(d, c). 且在所有这样可能的弧中流最小. 原始流的更新(*****)： 与出弧同方向的减去出弧上的流； 与出弧反方向的加上出弧上的流.
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
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对偶变量的更新
从新的生成树中删除入弧，得到网络的两个子树； 一个子树含根节点(T0)，另一个不含根节点(T1).
子树T0上的节点
对应的对偶变量不变；
子树T1上的节点对应的对偶变量的更新准则：
对偶变量
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
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互补松弛关系(Complementarity Relations)
原变量必须是非负的 因此与之相联系的对偶约束是不等式 对偶松弛变量与原变量是互补的： 原始约束是等式 因此他们没有松弛变量 对应的对偶变量， ，是自由变量 对于他们互补条件是自然成立的
网络流问题的应用
－运输问题和指派问题 －最短路问题 －最大流问题
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
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最小费用流问题
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
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网 络
基本元素： 节点集(nodes)，设顶点的个数为 m 有向弧集(directed arcs) – 是所有可能弧集 – 弧是有方向的：
实用优化方法
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定义：生成树(Spanning Trees)
生成树－触及到每个顶点的树
给定生成树 树解(tree solution) 满足流平衡约束
且对
树解的计算?
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
,
数学与系统科学学院
树解－原始流
固定一个根节点，比如 e 树解的计算：从叶子节点开始，逆向依次解流平衡方程 叶子节点：仅有一条弧相连接的节点
第04章 线性规划：网络流 及整数规划
Linear Programming: Network Flow and integer programming
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
数学与系统科学学院
最小费用流问题 网络单纯形法
－生成树与基 －原始网络单纯形法 －对偶网络单纯形法
第04章 线性规划： 网络流和整数规
网络流的数据
假定I：
供需平衡问题
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
, 节点 i 的需求量 , 沿着弧 (i, j) 运输1单位物品的费用
实用优化方法
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注：将供给重新表示为负需求
网络流问题
决策变量：