18.2二元线性规划问题的图解法2
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线性规划的标准化及图解法 ppt课件
15
将线性规划化成标准形式
1.若目标函数求极小：
设目标函数为
Min f = c1x1 + c2x2 + … + cnxn 则可以令z ＝ -f
求极大化问题化成求下面的极小化问题. 即
Max z = -c1x1 - c2x2 - … - cnxn
但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相 同，但他们最优解的目标函数值 却相差一个符号，即
设A、B型电机各生产x1,x2台，x1,x2称为决策变量。
利润函数600x1+400x2
2x1+3x2 ≤ 100 4x1+2x2 ≤ 120
约束条件
目标函数
2020/12/17
ppt课件
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
在标准形式中，要求右端项必须每一个分 量非负。当某一个右端项为负时，如
• 要求维生素B的含量大于5，有 0.8x1+0.3x2+0.9x3+0.7x4 5
• 要求维生素C的含量大于10，有 1.2x1+0.9x2+0.7x3+1.5x4 10
• 目标是成本最小，有 Min 5x1+6x2+6x3+7x4
2020/12/17
ppt课件
10
线性规划的应用模型
于是可得如下的线性规划的模型：
18
将线性规划化成标准形式
例2.：将以下线性规划问题转化为标准 形式
解：第一个约束引入松弛变量x4, 第二个约束引入剩余变量x5
2020/12/17
ppt课件
线性规划问题的图解法
第二十四页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
单纯形法的思路(sīlù)
找出一个(yī ɡè)初始可行解
4x1
16
可行(kěxíng)域
单纯形法的进一步讨论(tǎolùn)－人工变量法
第四十三页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
是否最优 故人(gùrén)为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：
量作为换出变量。
L
min
bi a ik
a ik
0
第二十九页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
③ 用换入变量(biànliàng)xk替换基变量(biànliàng)中的换出变量 (biànliàng)，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可 行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。
： X (1) K和X (2) K
X X (1) (1 ) X (2) (0 1)
则X为顶点(dǐngdiǎn).
(wèntí)
的 几
第四页，共51页。
凸组合(zǔhé)：
意线 义性
规 划 问 题 的 几 何
设X（1) ,..., X (k)是n维向量空间中的k个点,
若存在1,..., k ,且0 i 1, i 1,2,..., k,
A
1 域2 3
D
| E|
45
4 x2 16 x1 + 2x2 8
|||| 6789
x1
第九页，共51页。
❖图解法
目标(mùbiāo)函数 Max Z = 2x1 + 3x2
x2 9—
8—
7—
6—
5—
4—
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
单纯形法的思路(sīlù)
找出一个(yī ɡè)初始可行解
4x1
16
可行(kěxíng)域
单纯形法的进一步讨论(tǎolùn)－人工变量法
第四十三页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
是否最优 故人(gùrén)为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：
量作为换出变量。
L
min
bi a ik
a ik
0
第二十九页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
③ 用换入变量(biànliàng)xk替换基变量(biànliàng)中的换出变量 (biànliàng)，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可 行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。
： X (1) K和X (2) K
X X (1) (1 ) X (2) (0 1)
则X为顶点(dǐngdiǎn).
(wèntí)
的 几
第四页，共51页。
凸组合(zǔhé)：
意线 义性
规 划 问 题 的 几 何
设X（1) ,..., X (k)是n维向量空间中的k个点,
若存在1,..., k ,且0 i 1, i 1,2,..., k,
A
1 域2 3
D
| E|
45
4 x2 16 x1 + 2x2 8
|||| 6789
x1
第九页，共51页。
❖图解法
目标(mùbiāo)函数 Max Z = 2x1 + 3x2
x2 9—
8—
7—
6—
5—
4—
线性规划问题的图解法
这种情况通常称为无“有限最优解” 或“最优 解无界”。
如果一个实际问题抽象成像例1-4这样的线性规 划模型，比如是一个生产计划问题，其经济含义就是 某些资源是无限的，产品的产量可以无限大。此时应 重新检查和修改模型，否则就没有实际意义。
注意，对于无界可行域的情况，也可能有唯一
最优解或无穷多个最优解。
x1 2x2 ≤8 代表一个半平面
其边界: x1+2 x2 =8
x1+2 x2 =8 及x1，x2 ≥0
x2 B
Q4
3
2
x12x28
△ AOB
点A、B 连线AB △A0B
1
A x1
0 1 2345678
经济含义 ？
点A(8,0)：
全部的设备都用来生产Ⅰ产品而不生产Ⅱ 产品,那么Ⅰ产品的最大可能产量为8台,计 算过程为： x1+2×08 x18
maxZ2x13x2
x1 2 x2 ≤ 8
4
4
x1 x2
≤ ≤
16 12
x 1 , x 2 ≥ 0
x2 B 4x1 16
3E F
2
1
4x2 12
C
最优点
x12x28
A
D
x1
0
1 2345 678
结果
有唯一最优解 可行域是一个非空有界区域
讨论 可行域有几种可能 ? 解有几种可能 ?
结果表明，该线性规划有无穷多个 最优解－－线段AB上的所有点都是最优
点，它们都使目标函数取得相同的最大值 Zmax=14。
无界解
maxZx1x2
x
2
1
x
1
x2
如果一个实际问题抽象成像例1-4这样的线性规 划模型，比如是一个生产计划问题，其经济含义就是 某些资源是无限的，产品的产量可以无限大。此时应 重新检查和修改模型，否则就没有实际意义。
注意，对于无界可行域的情况，也可能有唯一
最优解或无穷多个最优解。
x1 2x2 ≤8 代表一个半平面
其边界: x1+2 x2 =8
x1+2 x2 =8 及x1，x2 ≥0
x2 B
Q4
3
2
x12x28
△ AOB
点A、B 连线AB △A0B
1
A x1
0 1 2345678
经济含义 ？
点A(8,0)：
全部的设备都用来生产Ⅰ产品而不生产Ⅱ 产品,那么Ⅰ产品的最大可能产量为8台,计 算过程为： x1+2×08 x18
maxZ2x13x2
x1 2 x2 ≤ 8
4
4
x1 x2
≤ ≤
16 12
x 1 , x 2 ≥ 0
x2 B 4x1 16
3E F
2
1
4x2 12
C
最优点
x12x28
A
D
x1
0
1 2345 678
结果
有唯一最优解 可行域是一个非空有界区域
讨论 可行域有几种可能 ? 解有几种可能 ?
结果表明，该线性规划有无穷多个 最优解－－线段AB上的所有点都是最优
点，它们都使目标函数取得相同的最大值 Zmax=14。
无界解
maxZx1x2
x
2
1
x
1
x2
线性规划问题的图解法
bm 0 1 am ,m 1 amn m
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
§18.2二元线性规划问题的图解法(2)
时,z的最大值和最小值.
可行域上的最优解
y
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)
x 4 y 3 1.先 作 出 3 x 5 y 25 x 1 所表示的区域 .
C
5
2.作直线 0 : 2 x y 0 l
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
可行域上的最优解
课后作业
1、课本 2、练习册 P99 习题 T3 P92 解答题 T5
2x+y=300 A 125
300x+900y=112500
C x+2y=250 150 B 250
Hale Waihona Puke Ox答案：当x=0,y=0时，z=300x+900y有最小值0.
当x=0,y=125时，z=300x+900y有最大值112500.
可行域上的最优解
练习2、已知 y x 1 x - 5y 3 5x 3y 15 求z=3x+5y的最大值和最小值。
可行域上的最优解
5x+3y=15 y
y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
X-5y=3
O
-1
1 5
x
A(-2,-1)
Z max 17; Z min 11
可行域上的最优解
小 结
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线；
x-4y+3=0
A B
线性规划问题的图解法
第二步：对约束条件加以图解。
第三步：画出目标函数等值线，结合目标函数 的要求求出最优解：最优生产方案。
第四步：最优解带入目标函数，得出最优值。
4
约束条件的图解:
每一个约束不等式在平面直角坐标系中 都代表一个半平面，只要先画出该半平面的 边界，然后确定是哪个半平面。
怎麽画边界
?
怎麽确定 半平面
以第一个约束条件: x1 2x2 ≤8 为例, 说明图解过程。
结果表明，该线性规划有无穷多个 最优解－－线段AB上的所有点都是最优
点，它们都使目标函数取得相同的最大值 Zmax=14。
17
无界解
max Z x1 x2
x12x1x2
x2 ≤
≤ 2
4
x1, x2 ≥ 0
x2
6
4
2 x1
0
1
2
3
4
5
18
如图中可行域是一个无界区域，如阴影区所示。 虚线为目表函数等值线，沿着箭头指的方向平移可 以使目标函数值无限制地增大，但是找不到最优解。
12
max Z 2x1 3x2
x1 2x2 ≤ 8
4 4
x1 x2
≤16 ≤12
x1, x2 ≥ 0
x2 B 4x1 16
3E F
2
1
4x2 12
C
最优点
x1 2x2 8
A
D
x1
0
1 2345 678
13
结果
有唯一最优解 可行域是一个非空有界区域
可行域有几种可能 ? 讨论
解有几种可能 ?
这种情况通常称为无“有限最优解” 或“最优 解无界”。
如果一个实际问题抽象成像例1-4这样的线性规划 模型，比如是一个生产计划问题，其经济含义就是某 些资源是无限的，产品的产量可以无限大。此时应重 新检查和修改模型，否则就没有实际意义。
第三步：画出目标函数等值线，结合目标函数 的要求求出最优解：最优生产方案。
第四步：最优解带入目标函数，得出最优值。
4
约束条件的图解:
每一个约束不等式在平面直角坐标系中 都代表一个半平面，只要先画出该半平面的 边界，然后确定是哪个半平面。
怎麽画边界
?
怎麽确定 半平面
以第一个约束条件: x1 2x2 ≤8 为例, 说明图解过程。
结果表明，该线性规划有无穷多个 最优解－－线段AB上的所有点都是最优
点，它们都使目标函数取得相同的最大值 Zmax=14。
17
无界解
max Z x1 x2
x12x1x2
x2 ≤
≤ 2
4
x1, x2 ≥ 0
x2
6
4
2 x1
0
1
2
3
4
5
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如图中可行域是一个无界区域，如阴影区所示。 虚线为目表函数等值线，沿着箭头指的方向平移可 以使目标函数值无限制地增大，但是找不到最优解。
12
max Z 2x1 3x2
x1 2x2 ≤ 8
4 4
x1 x2
≤16 ≤12
x1, x2 ≥ 0
x2 B 4x1 16
3E F
2
1
4x2 12
C
最优点
x1 2x2 8
A
D
x1
0
1 2345 678
13
结果
有唯一最优解 可行域是一个非空有界区域
可行域有几种可能 ? 讨论
解有几种可能 ?
这种情况通常称为无“有限最优解” 或“最优 解无界”。
如果一个实际问题抽象成像例1-4这样的线性规划 模型，比如是一个生产计划问题，其经济含义就是某 些资源是无限的，产品的产量可以无限大。此时应重 新检查和修改模型，否则就没有实际意义。
18.2二元线性规划问题的图解法
练习
渗透数形结 合的思想，培 养学生的观 察能力
2 z x ，这是斜率为 3 3
2 z ，在 y 轴上的截距为 的直线。当 z 变化时， 3 3
可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直 线的斜率是确定的， 因此只要给定一个点， （例如 （1， 2 ））， 就 能 确 定 一 条 直 线 作业 （y 距
【出现的问题】
1、不根据提示，列出目标函数 【追问】 当 x, y 满足不等式组（1）并且为非负整 数时，Z 的最大值是多少？ 【引导】 把目标函数化成斜截式，引导学生寻找
目标函数的几何意义。
4、归纳总结
（1）这节课学习了哪些知识； （2）学到了哪些思考问题的方法？
9 17 , ）的直线 8 8
所对应的 t 最大. 所以 zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.
zmax=3×
×
9 +5 8
y
17 =14 8
x-y+1=0 9 17 3x+5y=0 ( , ) A 8 8 x-5y-3=0 1 C -1 O x 3 -1 B 5x+3y-15=0
5
教学程序 时间分配
引导学生 设元转化， 实现 了由数到形的 转化， 成功实现 数形结合， 分解 了本节课的难 点
x 2 y 8 4 x 16 得二元一次不等式组： 4 y 12 x0 y0
（2）画出不等式组所表示的平面区域： 如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点） 就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题： 进一步，若生产一件甲产品获利 2 万元，生产一件 乙产品获利 3 万元，采用哪种生产安排利润最大？ （4）尝试解答： 设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件时，工厂获得的利 润为 z,则 z=2x+3y.这样，上述问题就转化为： 当 x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？ 把 z=2x+3y 变形为 y 总结
18.2 线性规划问题的图解法1
[2(m 3) (m 2) m 2] [2(m 3) 2(m 2) m 2] 0
(2m 3)(m 8) 0
解得 m
3 2
或 m>8
18.2 线性规划问题的图解法
课堂练习 3
P96 3
作业 P99 1，2
取原点（0，0），代入x＋y－9，得：
0＋0－9＝－9＜0
原点在直线x＋y－9=0的左下方，所以直线x＋y－9=0的左下方 的区域就是不等式x＋y －9＜0表示的平面区域．
18.2 线性规划问题的图解法
y 9
x+y-9=0
O
9
x
18.2 线性规划问题的图解法
课堂练习 1
画出下列不等式表示的平面区域： （1）4x－7y － 28＜0
所表示的平面区域。
解:
画直线x+y-12=0(画成实线）
不等式x＋y ≥ 12表示直线x＋y－12＝0上及其右上方的点的集合； 不等式0 ≤ x≤10是夹在直线x＝0和x=10之间的区域（包括直线 x＝0和x=10）
不等式0 ≤ y≤15是夹在直线y＝0和y=15之间的区域（包括直 线y＝0和y=15） y x=10
“实例考察”中生产问题的线性约束条件）
的解集表示的图形又是什么？
18.2 线性规划问题的图解法
在平面直角坐标系中，方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全 为0）表示一条直线，它把平面分成两个区域。 二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线
Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域。
18.2 线性规划问题的图解法
二、二元一次不等式组的解表示的平面区域
二元一次不等式组的解表示的平面区域是各个不 等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所 表示的平面区域的公共部分。
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max z=5x+4y
3x 4y 250 2x y 100 x 0 y 0
解: 四边形OABC所围成的区域就是该问题的可行域
问题转化为在四边形OABC找一点，
使得目标函数在该点取得最大值。 y
观察z=5x+4y取值的变化规律。
方程5x+4y=c表示一条直线， 当c取不同的值时，得到一组 平行的直线（图中虚线）。
22
x x
y 20 5y 40
x 0
y 0
解: 图中阴影部分是问题的可行域
目标函数在A点取得最小值。
y
2X+y=20
6X+5y=80
A（10，4）是直线 6x+5y=80和直线 2x+5y=40的交点
C 2X+5y=40
o
min z 410 5 4 60
y
o
x
复习：画出不等式表示的平面区域：
⑴ 4x-3y>9
y
o1
-1
4x-3y=9
23
x
-2 -3
说明：划分区域时，找好特殊点，注意不等号。
复习：画出不等式组表示的平面区域：
y≥2x+1
x=2x+1
3 2
1
-2 -1
123
o
x x+2y=4
说明：划分区域时，找好特殊点，注意不等号。
一、课题引入：
问题：max z=5x+4y
3x 4y 250 2x y 100 x 0 y 0
二、线性规划的概念： 目标函数 （线性目标函数）
max z=5x+4y
3x 4y 250 2x y 100 x 0 y 0
线性约 束条件
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
求函数z=x-y在平面区域
y
1
0
x 2 y 2 0
内的取值范围.
例6:
求函数z=x-y在平面区域
x
y
2 1
0 0
内的取值范围.
解: 画出平面区域。
x 2 y 2 0
y
x+2y-2=0
1
x=2 y=1
直线x-y=z往右下方移动时， 直线上的横坐标x随之增大， y随之减小，但-y却增大，故 z值增大。反之z减小。
可行解 ：满足线性约束条 件的解(x，y)叫可行解；
可行域 ：由所有可行解组 成的集合叫做可行域；
可行域
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解 ：满足线性约束条 件的解(x，y)叫可行解；
可行域 ：由所有可行解组 成的集合叫做可行域；
最优解 ：使目标函数取得 最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
求得： x 30
y
40
max z 530 4 40 310
y
2X+y=100
C B(30,40) 3X+4y=250
x
o
A
所以点心店每天需做甲种馒头30kg,乙种馒头40kg， 才能取得最大润310元。
例5：求解线性规划问题
min z=4x+5y
6x 5y 80
当直线往右上方平移时，直 线上的横坐标x和纵坐标y的 值随之增大，所以对应的z 值也在不断地增大，当移到 四边形OABC的顶点B时，z 取得最大值。
2X+y=100
C B(30,40) 3X+4y=250
x
o
A
5X+4y=c 5X+4y=0
解: 目标函数在B点取得最大值。
B点的坐标可由方程组
3x 4y 250 2x y 100
可行域
在平面直角坐标系中，Ax+By+C=0(A,B不全为0） 表示一条直线，当C取不同的值时，所得的方程表 示不同的直线。这些直线可以看做由直线 Ax+By=0
平移而得到。
y
AX+By=C2
在移动的过程中， z =Ax+By的值是增大还 是减小？
o
x
AX+By=C1 AX+By=0
例4：求18.1例1线性规划问题的解
A(10,4) x
我们用图解的方法得到了二元 线性规划问题的最优解.这种方 法叫做:图解法.
练习: P98 2
解线性规划问题的一般步骤：
第一步：在平面直角坐标系中作出可行 域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应 的点； 第三步：解方程的最优解，从而求出目 标函数的最大值或最小值。
例6:
x 2 0
1 2 x 因此函数z=x-y在点A（0，1）
x-y=0
处取得最小值-1,在点B（2，
x-y=z
0）处取得最大值2。
所以 z -1,2
练习:
x 3y 6
求函数z=2x+y在平面区域 x y 6
x 1
y
1
内的取值范围.
作业:
P99：
3，4，5.
3x 4y 250 2x y 100 x 0 y 0
解: 四边形OABC所围成的区域就是该问题的可行域
问题转化为在四边形OABC找一点，
使得目标函数在该点取得最大值。 y
观察z=5x+4y取值的变化规律。
方程5x+4y=c表示一条直线， 当c取不同的值时，得到一组 平行的直线（图中虚线）。
22
x x
y 20 5y 40
x 0
y 0
解: 图中阴影部分是问题的可行域
目标函数在A点取得最小值。
y
2X+y=20
6X+5y=80
A（10，4）是直线 6x+5y=80和直线 2x+5y=40的交点
C 2X+5y=40
o
min z 410 5 4 60
y
o
x
复习：画出不等式表示的平面区域：
⑴ 4x-3y>9
y
o1
-1
4x-3y=9
23
x
-2 -3
说明：划分区域时，找好特殊点，注意不等号。
复习：画出不等式组表示的平面区域：
y≥2x+1
x=2x+1
3 2
1
-2 -1
123
o
x x+2y=4
说明：划分区域时，找好特殊点，注意不等号。
一、课题引入：
问题：max z=5x+4y
3x 4y 250 2x y 100 x 0 y 0
二、线性规划的概念： 目标函数 （线性目标函数）
max z=5x+4y
3x 4y 250 2x y 100 x 0 y 0
线性约 束条件
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
求函数z=x-y在平面区域
y
1
0
x 2 y 2 0
内的取值范围.
例6:
求函数z=x-y在平面区域
x
y
2 1
0 0
内的取值范围.
解: 画出平面区域。
x 2 y 2 0
y
x+2y-2=0
1
x=2 y=1
直线x-y=z往右下方移动时， 直线上的横坐标x随之增大， y随之减小，但-y却增大，故 z值增大。反之z减小。
可行解 ：满足线性约束条 件的解(x，y)叫可行解；
可行域 ：由所有可行解组 成的集合叫做可行域；
可行域
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解 ：满足线性约束条 件的解(x，y)叫可行解；
可行域 ：由所有可行解组 成的集合叫做可行域；
最优解 ：使目标函数取得 最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
求得： x 30
y
40
max z 530 4 40 310
y
2X+y=100
C B(30,40) 3X+4y=250
x
o
A
所以点心店每天需做甲种馒头30kg,乙种馒头40kg， 才能取得最大润310元。
例5：求解线性规划问题
min z=4x+5y
6x 5y 80
当直线往右上方平移时，直 线上的横坐标x和纵坐标y的 值随之增大，所以对应的z 值也在不断地增大，当移到 四边形OABC的顶点B时，z 取得最大值。
2X+y=100
C B(30,40) 3X+4y=250
x
o
A
5X+4y=c 5X+4y=0
解: 目标函数在B点取得最大值。
B点的坐标可由方程组
3x 4y 250 2x y 100
可行域
在平面直角坐标系中，Ax+By+C=0(A,B不全为0） 表示一条直线，当C取不同的值时，所得的方程表 示不同的直线。这些直线可以看做由直线 Ax+By=0
平移而得到。
y
AX+By=C2
在移动的过程中， z =Ax+By的值是增大还 是减小？
o
x
AX+By=C1 AX+By=0
例4：求18.1例1线性规划问题的解
A(10,4) x
我们用图解的方法得到了二元 线性规划问题的最优解.这种方 法叫做:图解法.
练习: P98 2
解线性规划问题的一般步骤：
第一步：在平面直角坐标系中作出可行 域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应 的点； 第三步：解方程的最优解，从而求出目 标函数的最大值或最小值。
例6:
x 2 0
1 2 x 因此函数z=x-y在点A（0，1）
x-y=0
处取得最小值-1,在点B（2，
x-y=z
0）处取得最大值2。
所以 z -1,2
练习:
x 3y 6
求函数z=2x+y在平面区域 x y 6
x 1
y
1
内的取值范围.
作业:
P99：
3，4，5.