线性规划问题的图解法
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运筹学线性规划图解法
引理1.线性规划问题的可行解X为基本可行解的充分 必要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的. 证明:
必要性：已知X为线性规划的基本可行解，要证X的 正分量所对应的系数列向量线性独立。
因为X为基本解，由定义，其非零分量所对应的系数 列向量线性独立；又因为X还是可行解，从而其非零分量 全为正。
•有唯一解
例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0
画图步骤： 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值
x2
可行域
(4,2) z=14
目标函数 等值线
x1
•有无穷多解
例2 max z =2x1+4x2 s.t. x1+2x2≤8 4x2 ≤ 12 3x1 ≤12 x1, x2 ≥0
X(0)=Σ α iX(i) α i0,Σ α i=1 记X(1),X(2), …,X(k)中满足max CX(i)的顶点为X(m)。于是，
k
k
CX (0) Ci X (i) Ci X (m) CX (m)
i 1
i 1
由假设CX(0)为最优解，所以CX(0)=CX(m)，即最优解可在顶点
充分性：已知可行解X的正分量所对应的系数列向量 线性独立，欲证X是线性规划的基本可行解。
若向量P1, P2,…, Pk线性独立,则必有k≤m；当k=m时， 它们恰构成一个基，从而X=（x1，x2,…,xk，0…0）为相 应的基可行解。K〈m时，则一定可以从其余的系数列向量 中取出m-k个与P1, P2,…, Pk构成最大的线性独立向量组， 其对应的解恰为X，所以根据定义它是基可行解。
§2 线性规划图解法
线性规划(图解法)
D
max Z
可行域
（7.6，2） ， ）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥) X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
oபைடு நூலகம்
x1
图解法
min Z=5X1+4X2 x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
Page 18
43=5X1+4X2 8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2） ， ）
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 图解法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
Page 1
适用于任意变量、 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题， 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。 性规划基本原理和几何意义等优点。
• 有效与无效 紧与松)约束：与最优解相关的约束为有效 有效与无效(紧与松 约束 紧与松 约束： (紧)约束。 紧 约束 约束。 • 最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的顶 最优解：总是在可行域的边界上， 点表示。 点表示。 • 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域， 个可行解。 内的每一个点代表一 个可行解。
20
无可行解(即无最优解 无可行解 即无最优解) 即无最优解
10
O
10
第1.2节 线性规划问题的图解法
x1 20 * x 2 100
* * z 1240
27
2 规划问题求解的几种可能结果
2）无穷多最优解
max z 12 x1 8 x2 2 x1 x2 160 1 1 x1 x2 40 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
max z 12 x1 10 x2 2 x1 x2 160 1 1 x x2 40 1 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
23
x2 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
max z 12 x1 10 x2 2 x1 x2 160 1 1 x1 x2 40 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
工序 花瓶种类 占用材料 （盎司） 艺术加工 （小时） 储存空间 （一单位） 利润值 （元）
大花瓶
1/3x1+1/3x2=40 (60,40)
x1
22
160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 图1 花瓶问题的图解法
图解法的基本步骤：
（4）确定最优解。最优解是可行域中使目标
函数值达到最优的点，当目标函数直线由原点 开始沿法线方向向右上方移动时，z 值开始增 大，一直移到目标函数直线与可行域相切时为 止，切点即为最优解。
18
图解法的基本步骤：
（3）作出目标函数。由于
z 是一个待求的目 标函数值，所以目标函数常用一组平行虚线表 示，离坐标原点越远的虚线表示的目标函数值 越大。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
§1.2图解法
试用图解法分析，问题最优解随（ 试用图解法分析，问题最优解随（-∞<c<∞)变化的情况 变化的情况
注：本问题有可行解，但无最优解。 本问题有可行解，但无最优解。
例4
max z = 3 x1 + x2
x1 − x 2 ≤ − 1 x1 + x 2 ≤ − 1 x , x ≥ 0 1 2
该问题的可行域是空的，即无可行解（ 解 该问题的可行域是空的，即无可行解（
x2
x1-x2=-1
本问题只有唯一最优解。 注：本问题只有唯一最优解。
例1的最优生产方案为： 生产产品甲为2件， 的最优生产方案为： 生产产品甲为2 生产产品乙6 生产产品乙6件，最大利润为36万元。 最大利润为36万元 万元。
注： 问题的可行域是一个有界的凸多边形， 其边界由5条直线所围成： 其边界由 条直线所围成： 条直线所围成
解
该线性规划问题的可行域见图1 该线性规划问题的可行域见图1-1。
x2 8
Q1(0,6)
Q2(2,6)
图1-1 图解法解题过程 x1=4 2 x 2 = 12 3x1+5x2=z=36
6
4 Q 2
Q3(4,3)
3x1+2x2=18
Q4(4,0)
0
Q0(0,0)
2
4
6
8
x1 3x1+5x2=z=20
1 3 , 10 10
如图: 解 该问题的可行域 Q 如图
x2 x1+x2=5 6x1+2x2=21 -x1+x2=0
A(11/4,9/4)
B(21/6,0) 3x 1 + x 2 = z =0 3x 1 + x 2 = z =6
注：本问题有可行解，但无最优解。 本问题有可行解，但无最优解。
例4
max z = 3 x1 + x2
x1 − x 2 ≤ − 1 x1 + x 2 ≤ − 1 x , x ≥ 0 1 2
该问题的可行域是空的，即无可行解（ 解 该问题的可行域是空的，即无可行解（
x2
x1-x2=-1
本问题只有唯一最优解。 注：本问题只有唯一最优解。
例1的最优生产方案为： 生产产品甲为2件， 的最优生产方案为： 生产产品甲为2 生产产品乙6 生产产品乙6件，最大利润为36万元。 最大利润为36万元 万元。
注： 问题的可行域是一个有界的凸多边形， 其边界由5条直线所围成： 其边界由 条直线所围成： 条直线所围成
解
该线性规划问题的可行域见图1 该线性规划问题的可行域见图1-1。
x2 8
Q1(0,6)
Q2(2,6)
图1-1 图解法解题过程 x1=4 2 x 2 = 12 3x1+5x2=z=36
6
4 Q 2
Q3(4,3)
3x1+2x2=18
Q4(4,0)
0
Q0(0,0)
2
4
6
8
x1 3x1+5x2=z=20
1 3 , 10 10
如图: 解 该问题的可行域 Q 如图
x2 x1+x2=5 6x1+2x2=21 -x1+x2=0
A(11/4,9/4)
B(21/6,0) 3x 1 + x 2 = z =0 3x 1 + x 2 = z =6
线性规划的标准化及图解法
2
线性规划的问题
• 某工厂生产两种型号的电机（记为A和B），每台 A型电机需用原料2个单位，4个工时，每台B型电 机需用原料3个单位，2个工时，工厂共有原料 100个单位，120个工时，A、B型电机的每台利 润分别为600元和400元，问两种电机各生产多少 可使利润最大？
设A、B型电机各生产x1,x2台，x1,x2称为决策变量。
解：第一个约束引入松弛变量x4, 第二个约束引入剩余变量x5
18
将线性规划化成标准形式
于是，我们可以得到以下标准形式的线性 规划问题：
19
将线性规划化成标准形式
3. 变量无符号限制的问题：
在标准形式中，必须每一个变量均有非负 约束。当某一个变量xj没有非负约束时， 可以令 xj = xj’- xj” 其中 xj’≥0，xj”≥0 即用两个非负变量之差来表示一个无符号 限制的变量，当然xj的符号取决于xj’和xj” 的大小。
3 . Min
S x1 x 2
4 . Min
S 2 x1 3 x 2
x1 x 2 1 s .t . x2 2 x , x 0 1 2
x1 2 x 2 2 2 x x 3 1 2 s .t . x2 4 x1 , x 2 0
该问题可推广到m个产地，n个销地的运输 问题。
7
线性规划的应用模型
某饲养场使用甲,乙,丙,丁四种饲料，每种饲料的 的维生素A，B，C含量及单位价格和所需的维生素 如下表，要求配制一个混合饲料，每单位混合饲料 的维生素A、B、C的需要量为3，5，10. 甲 A B C 单价 0.2 0.8 1.2 5 乙 0.8 0.3 0.9 6 丙 1.2 0.9 0.7 6 丁 0.6 0.7 1.5 7 需要量 3 5 10
线性规划问题的图解法
20 40
.
即B点坐标为20 ，40，代入目标函数可得最优值Smax 50 20 30 40 2 200 .
线性规划问题的图解法
例2
解
1. 求可行域（如图7 - 2所示）
（1）建立直角坐标系Ox1x2 . （2）满足条件 x1 x2 2 的所有点均落在直线 x2 2 x1 的右下半平面内； （3）满足条件 x1 x2 2 的所有点均落在直线 x2 2 x1 的右上半平面内. 由约束条件可知，无界区域ABCD是其可行域 .
3 截距最大的点即为最优解，其对应的S值就是最优值 .因此，我们可以把过原点且斜率 5的直
3 线作为参照直线，然后在可行域里进行平移，直到找到最优解 .
显然，斜率为 5的直线在可行域里平移时过B点的纵截距最大，求B点的坐标，联立 3
方程
x2 x2
Hale Waihona Puke 80 2x1 40，解得
x1 x2
图7-2
线性规划问题的图解法
2. 求最优解 把目标函数 S x1 2x2 中的S看作参数，当S 0时，目标函数S x1 2x2是一条过原点 的直线，在坐标系内画出这样的直线（用虚线表示），然后再将该直线向可行域内平移 . 在平移
时，7-2中B点是满足该约束条件的S最小值，其坐标为2 ，0，于是得到该线性规划问题的最
于是从约束条件知，由l1 ，l2 ，l3以及x1轴围成的区域 ABCD是该线性规划问题的可行域，如图7-1所示 .
图7-1
线性规划问题的图解法
2.求最优解 可行域的点满足约束条件，但并非使得目标函数 max S 50x1 30x2 取得最大值的解， 且该目标函数对应的图象也是一条直线，其斜率为 5，可行域里能使该直线与y轴的纵
19.3线性规划问题的图解法
例1：已知线性约束条件为 x y 1 0
例
2
x
y
5
0
题
x 4 y 1 1 0
解 求线性目标函数z=x+2y满足线性约束条件的最优解及最大值、最小值。
析 解:（1）在直角坐标系中，画出可行域。 y
x-y-1=0
（2）将目标函数变形为 y 1 x z
22
B
当z/2取得最大值时，z取得最大值；
3.将z看成常数，这是一条直
y=3 ● M X+2y-8=0
线，当z变化时，可以得到一
组平行的直线；
O
x
4.当直线 y 2 x z 经过
X=4
33
不等式组①表示的平面区域内一个点时，
z 3
被唯一确定；当
z 3
取最大值时，z取最大值，当
z 3
取最小值时，z取最小值。
5.令z=0，画出直线2x+3y=0,然后平移这条直线，如图可知当经过点M（4，2）时
19.3线性规划问题的 图解法
提出问题
在19.1的问举例中线性目标函数z=2x+3y
线性约束条件为
x 2y 8
4 4
x y
1 1
6 2
x
0
①
y 0
当x,y满足不等式①且为整数时，如何求z的最大值呢？
问题探究
y
1.首先，画出①表示的平面区域；
2.把z=2x+3y变形为 y 2 x z 33
并找出整数点。 （2）将目标函数变形为
y1x z
24
当z/4取得最大值时，z取得最大值；
A ● ●
●
●
●
x
2x+y-8=0
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bm 0 1 am ,m 1 amn m
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
max Z
min Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
o
L0： 0=5X1+4X2
x1
图解法---无穷多最优解
max Z=3X1+5.7X2
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 两个变量、直角坐标 三个变量、立体坐标 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
图解法
单纯形法
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。
② 确定换出变量。根据下式计算并选择θ ，选最小的θ对应基
单纯形法的计算步骤
③
用换入变量xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。 对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出 一个新的单纯形表。
5）重复3）、4）步直到计算结束为止。
单纯形法的计算步骤
换入列
将3化为1
cj cB 0 0 0 基变量 x3 b 40 30 3 x1 2 1 3 x3 4 x2 1 3 4 0 x3 1 0 0
4
2
max Z
min Z
x1+x2=4(≥)
无界解(无最优解)
x1+3x2=6(≥)
2
4
6
x1
x ---无可行解 图解法
2
50
例1.7
40
max Z=3x1+4x2
2 x 1 x 2 40 x 1 1.5 x 2 30 x 1 x 2 50 x 1 0, x 2 0
bi /ai2，ai2>0
0 x4 0 1 0 θi
j j
x4
40 10
换 出 行
乘 以 1/3 后 得 到
4
x2
x1
30 10
18 4
3 4
j
x2
5/3 1/3 5/3 1 0 0
0 1 0 0 1 0
1 0 0 3/5 －1/5 －1
－1/3 1/3 －4/3 －1/5 2/5 －1
18 30
4 —B
3— 2— 1—
最优解 (4, 2)
D
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9 | 4
A
0
| 1
| 2
| 3
E
| 5
x1
图解法求解步骤
1.由全部约束条件作图求出可行域； 2.作目标函数等值线，确定使目标函数 最优的移动方向； 3.平移目标函数的等值线，找出最优点 ，算出最优值。
单纯形法的计算步骤
例1.9 用单纯形法求解
max Z x 1 2 x 2 x 3 2 x 1 3 x 2 2 x 3 15 1 s .t x 1 x 2 5 x 3 20 3 x 1、 x 2、 x 3 0
解：将数学模型化为标准形式：
① 确定换入基的变量。选择 j 0 ，对应的变量xj作为换入变
量，当有一个以上检验数大于0时，一般选择最大的一个检 验数，即： k max{ j | j 0} ，其对应的xk作为换入变 量。 变量作为换出变量。 bi L min a ik 0 a ik
s.t.
X1 + 1.9X2 ≥ 3.8 X1 - 1.9X2 ≤ 3.8 X1 + 1.9X2 ≤11.4 X1 - 1.9X2 ≥ -3.8 X 1 ，X 2 ≥ 0
X1 - 1.9X2 = -3.8 (≥)
x2
4 = 2X1 + X2
X1 + 1.9X2 = 11.4(≤) 11 = 2X1 + X2
X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
（3.8，4）
D
max Z
蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值 max Z=34.2是唯一的。
可行域
（7.6，2）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
（由图解法得到的启示）
可行域是有界或无界的凸多边形。 若线性规划问题存在最优解，它一定可以在可 行域的顶点得到。 若两个顶点同时得到最优解，则其连线上的所 有点都是最优解。 解题思路：找出凸集的顶点，计算其目标函数 值，比较即得。
练习：
设
z 2x y
式中变量 x, y 满足下列条件 y
cj cB 0 基 x3 b 40 3 x1 2 4 x2 1 0 x3 1 0 x4 0
θi
0
j
x4
30
1
3
3
4
0
0
1
0
检验数
1 c1 (c3a11 c4a21 ) 3 (0 2 0 1) 3
单纯形法的计算步骤
3）进行最优性检验 如果表中所有检验数 0 ，则表中的基可行解就是问题 j 的最优解，计算停止。否则继续下一步。 4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解， 列出新的单纯形表
解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:
max Z 3 x 1 4 x 2 2 x 1 x 2 x 3 40 x 1 3 x 2 x 4 30 x , x , x , x 0 1 2 3 4
单纯形法的计算步骤
2）求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。
求 z 的最大值和最小值
zmax 12 zmin 3
3x+5y-25=0
O
l0
l1
l
x
l2
单纯形法基本原理
定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是 凸集。 定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶 点。 定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优 解。（或在某个顶点取得）
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16 x1 + 2x2 8
4 —B
3— 2— 1—
D
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4
17.2 = 2X1 + X2
20 = 2X1 + X2
此点是唯一最优解， 且最优目标函数值 max Z=17.2
D
max Z
可行域
（7.6，2）
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
o
Lo： 0 = 2X1 + X2
X1 - 1.9X2 = 3.8(≤)
x1
图解法---唯一最优解
min Z=5X1+4X2
线 性 规 划 问 题 的 几 何 意 义
设 k是 n维欧氏空间的一点集， 对 X
（ 1）
K， X
（ 2）
K
连线上的一切点 αX （ 1 α ） X K， （ 0 α 1 ），则 K为凸集。
（ 1） （ 2）
凸集
凹集
顶点: 若K是凸集，X∈K；若X不能用不同
的两点的线性组合表示为：
单纯形法的计算步骤
单纯形法的思路 找出一个初始可行解
是否最优 循 环 否
是
最优解 结束
转移到另一个基本可行解 （找出更大的目标函数值） 核心是：变量迭代
单纯形法的计算步骤
单纯形表
cj
cB
XB
c1 cm
x1 xm
c1 c m c m 1 c n i b x1 x m x m 1 x n 1 0 a1,m 1 a1n 1 b 1
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
max Z
min Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
o
L0： 0=5X1+4X2
x1
图解法---无穷多最优解
max Z=3X1+5.7X2
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 两个变量、直角坐标 三个变量、立体坐标 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
图解法
单纯形法
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。
② 确定换出变量。根据下式计算并选择θ ，选最小的θ对应基
单纯形法的计算步骤
③
用换入变量xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。 对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出 一个新的单纯形表。
5）重复3）、4）步直到计算结束为止。
单纯形法的计算步骤
换入列
将3化为1
cj cB 0 0 0 基变量 x3 b 40 30 3 x1 2 1 3 x3 4 x2 1 3 4 0 x3 1 0 0
4
2
max Z
min Z
x1+x2=4(≥)
无界解(无最优解)
x1+3x2=6(≥)
2
4
6
x1
x ---无可行解 图解法
2
50
例1.7
40
max Z=3x1+4x2
2 x 1 x 2 40 x 1 1.5 x 2 30 x 1 x 2 50 x 1 0, x 2 0
bi /ai2，ai2>0
0 x4 0 1 0 θi
j j
x4
40 10
换 出 行
乘 以 1/3 后 得 到
4
x2
x1
30 10
18 4
3 4
j
x2
5/3 1/3 5/3 1 0 0
0 1 0 0 1 0
1 0 0 3/5 －1/5 －1
－1/3 1/3 －4/3 －1/5 2/5 －1
18 30
4 —B
3— 2— 1—
最优解 (4, 2)
D
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9 | 4
A
0
| 1
| 2
| 3
E
| 5
x1
图解法求解步骤
1.由全部约束条件作图求出可行域； 2.作目标函数等值线，确定使目标函数 最优的移动方向； 3.平移目标函数的等值线，找出最优点 ，算出最优值。
单纯形法的计算步骤
例1.9 用单纯形法求解
max Z x 1 2 x 2 x 3 2 x 1 3 x 2 2 x 3 15 1 s .t x 1 x 2 5 x 3 20 3 x 1、 x 2、 x 3 0
解：将数学模型化为标准形式：
① 确定换入基的变量。选择 j 0 ，对应的变量xj作为换入变
量，当有一个以上检验数大于0时，一般选择最大的一个检 验数，即： k max{ j | j 0} ，其对应的xk作为换入变 量。 变量作为换出变量。 bi L min a ik 0 a ik
s.t.
X1 + 1.9X2 ≥ 3.8 X1 - 1.9X2 ≤ 3.8 X1 + 1.9X2 ≤11.4 X1 - 1.9X2 ≥ -3.8 X 1 ，X 2 ≥ 0
X1 - 1.9X2 = -3.8 (≥)
x2
4 = 2X1 + X2
X1 + 1.9X2 = 11.4(≤) 11 = 2X1 + X2
X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
（3.8，4）
D
max Z
蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值 max Z=34.2是唯一的。
可行域
（7.6，2）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
（由图解法得到的启示）
可行域是有界或无界的凸多边形。 若线性规划问题存在最优解，它一定可以在可 行域的顶点得到。 若两个顶点同时得到最优解，则其连线上的所 有点都是最优解。 解题思路：找出凸集的顶点，计算其目标函数 值，比较即得。
练习：
设
z 2x y
式中变量 x, y 满足下列条件 y
cj cB 0 基 x3 b 40 3 x1 2 4 x2 1 0 x3 1 0 x4 0
θi
0
j
x4
30
1
3
3
4
0
0
1
0
检验数
1 c1 (c3a11 c4a21 ) 3 (0 2 0 1) 3
单纯形法的计算步骤
3）进行最优性检验 如果表中所有检验数 0 ，则表中的基可行解就是问题 j 的最优解，计算停止。否则继续下一步。 4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解， 列出新的单纯形表
解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:
max Z 3 x 1 4 x 2 2 x 1 x 2 x 3 40 x 1 3 x 2 x 4 30 x , x , x , x 0 1 2 3 4
单纯形法的计算步骤
2）求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。
求 z 的最大值和最小值
zmax 12 zmin 3
3x+5y-25=0
O
l0
l1
l
x
l2
单纯形法基本原理
定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是 凸集。 定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶 点。 定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优 解。（或在某个顶点取得）
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16 x1 + 2x2 8
4 —B
3— 2— 1—
D
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4
17.2 = 2X1 + X2
20 = 2X1 + X2
此点是唯一最优解， 且最优目标函数值 max Z=17.2
D
max Z
可行域
（7.6，2）
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
o
Lo： 0 = 2X1 + X2
X1 - 1.9X2 = 3.8(≤)
x1
图解法---唯一最优解
min Z=5X1+4X2
线 性 规 划 问 题 的 几 何 意 义
设 k是 n维欧氏空间的一点集， 对 X
（ 1）
K， X
（ 2）
K
连线上的一切点 αX （ 1 α ） X K， （ 0 α 1 ），则 K为凸集。
（ 1） （ 2）
凸集
凹集
顶点: 若K是凸集，X∈K；若X不能用不同
的两点的线性组合表示为：
单纯形法的计算步骤
单纯形法的思路 找出一个初始可行解
是否最优 循 环 否
是
最优解 结束
转移到另一个基本可行解 （找出更大的目标函数值） 核心是：变量迭代
单纯形法的计算步骤
单纯形表
cj
cB
XB
c1 cm
x1 xm
c1 c m c m 1 c n i b x1 x m x m 1 x n 1 0 a1,m 1 a1n 1 b 1