管理运筹学-复习整理

一线性规划图解法

1.线性规划的标准形式：

(1)目标函数最大；约束条件等式；决策变量非负（x≥0）；资源限量非负（b≥0）。

(2)图解法两个变量系数C1、C2，斜率k=-(C1/C2)

(3)图解法K≥0时，绝对值越大越靠近Y轴；K≤0时，绝对值越大越靠近Y

轴。

(4)阴影区：无论斜率为正或负，小于的部分阴影区都在线的下方。

二单纯形法

1.大M法

（1）加入人工变量-Mx i…，M无穷大。

（2）最后将人工变量x i替换出去，且σ≤0.

2.两阶段法

（1）第一阶段：目标函数为max z′=−x i…，得到最终表。

（2）第二阶段：目标函数替换为原目标函数，在最终表里继续计算σ，直到都小于等于0。

3.单纯表特殊情况的解判断

（1）最优解中人工变量大于0，线性规划无解。

（2）某次迭代过程，表中有一个σ＞0，且该列系数向量都小于等于0，线性规划无界。（因为比较比值大小时都是负的）。

（3）某个非基变量σ=0，无穷解。

（4）退化问题：相同的比值，选择下标大者离基。σk相同，任选一个入基。

4.初等行变换

✓某一行（列），乘以一个非零倍数。

✓某一行（列），乘以一个非零倍数，加到另一行（列）。

✓某两行（列），互换。

三单纯形法灵敏度分析

1.对偶问题

原问题：max z=cx对偶问题：min f=b T y

Ax≤b A T y≥c T

X≥0 y≥0

（1）原问题统一为以上标准型，再进行下一步。

（2）原问题第i个约束条件等号，对偶问题i个决策变量无约束。

（3）原问题第i个决策变量无约束，对偶问题第i个约束条件等号。

（4）原问题的对偶价格为对偶问题的最优解。（参考习题册第7、19题）（5）对偶价格：常数项增加1单位，目标函数值改进的数量。

（6）影子价格：常数项增加1单位，目标函数值增加的数量。

2.灵敏度分析

（1）目标函数变量系数C k:将C k直接代入最终表，判断σ是否小于0。

（2）约束方程常数项b：利用如下公式计算新的最终表中b值。判断b是否非负。

b j′=B−1∗b j

（3）约束方程系数p k：利用如下公式计算新的p k带入最终表，判断σ≤0否。

p k′=B−1∗p k

（4）增加一个约束条件：将原最优解带入新约束条件，判断是否满足。不满足则用对偶单纯形法求解。

（5）对偶单纯形法步骤：前提检验数小于等于0，常数项b有负。

✓常数项b找到最小负值，对应为出基变量。

✓列项，找出a kj为负中σj/a kj最小的值为入基变量。

✓按前两步迭代，直到最终单纯表。

3.对偶问题基本性质

（1）对称性。对偶问题的对偶是原问题。

（2）弱对偶性。原问题和对偶问题可行解X,Y，有cX≤b T Y。

✓原问题的任一可行解所对应的目标函数值是对偶问题最优目标函数值的下界。

✓若原问题可行，但其目标函数值无界，则对偶问题无可行解。

✓若对偶问题可行，但其目标函数值无界，则原问题无可行解。

✓若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则原问题目标函数值无界。

✓若原问题无可行解，则其对偶问题具有无界解或无可行解。

（3）最优性。若Ｘ*和Ｙ*分别是原问题和对偶问题的可行解，且有cＸ*＝b TＹ*，则Ｘ*，Ｙ*分别是原问题和对偶问题的最优解。

（4）强对偶性。若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且两者的目标函数值相等。

（5）互补松弛性：线性规划问题最优解中，某约束条件对偶变量值非0，则该约束条件取严格等式；反之，如果约束条件取严格不等式，则对应对偶变量一定为0。（参考习题册第15、16题）

（6）检验数行的相反数是对偶问题的一可行解。如[-s1,-s2,-x1,-x2]。

（7）B为最终表基变量按100

010

001

顺序对应的初始表向量。（参考习题册第5

题）。

四运输问题1.作业表流程

（1）最小元素法

✓找表中最小运价，开始划线。

✓如遇产销不平衡表，先找除虚拟地的最小运价。

✓填上某数后，行列同时饱和，只划去一行（列），在保留的列（行）任意格内补一个0。

（2）伏格尔法

✓计算表中行和列的最小与次小运费之差，分别列在表的右侧和下方。

✓找出行列中的最大差额，以最大差额同行或同列的最小运价为准划线。

✓重复以上步骤，直到全部填满。

（3）位势法检查检验数

✓公式c ij−u i−v j=δij

✓右侧第一行为u1=0，填运输量的格检验数为0，以此求出所有检验数。

✓如有检验数小于0的情况，需进行闭回路法调整运量。

（4）闭回路法调整运量

✓找出检验数小于0的那个格（有多个找最小的那个）。

✓以此格为起点，水平或垂直划线，找到数字格旋转90°或越过，继续前进最后回到此点。

✓调整运输量：按照奇加偶减原则调整（偶数格减少其中的最小值，奇数格对应增加该值）。

✓调整完，按照位势法重新计算检验数，并重复以上步骤，直到都大于0。

2.注意事项

（1）产销平衡的基变量个数为m+n-1个，产销不平衡为m+n个。

（2）有最低最高产或销的题，如下所示，最低要求运价为M，剩余要求运价为0。如有上限为不限，则不限所剩量=销或产的和-最低要求和。（参考习题集第12题）