曹钦翔+线性规划与网络流
第7章线性规划问题与网络流
flow={flow(v,w)}，并称flow(v,w)为边(v,w)上的流量。
18
（3） 可行流
满足下述条件的流flow称为可行流：
容量约束：对每一条边(v,w)∈E，0≤flow(v,w)≤cap(v,w)。
平衡约束：
对于中间顶点：流出量=流入量。 即对每个v∈V(v≠s,t)有：顶点v的流出量－顶点v的流入量=0，即
16
第一阶段：用辅助目标函数代替原来的目标函数。
辅助目标函数：
z' z1 z2 z m。
选择人工变量作为基本变量，其它变量作为非基本变量，构
造初始单纯形表。然后，运行该算法，当所有人工变量均变 成非基本变量时，辅助目标函数达到最大值，第一阶段算法 结束；如果所有人工变量无法全部变成非基本变量，则原线 性规划问题无解。
min z' x 2 3x3 2x4 x1 3x2 - x3 2x4 7 - 2x 4x x 12 2 3 5 - 4x2 3x3 8x4 x 6 10 6) x i 0(i 1,2,3,4,5,
13
表7-2 单纯形表2
流边；flow(v,w)>0的边称为非零流边。当边(v,w)既不是一条零流边也不是一
条饱和边时，称为弱流边。
（5） 最大流
最大流问题即求网络G的一个可行流flow，使其流量f达到最大。即flow满足： 0≤flow(v,w)≤cap(v,w)，(v,w)∈E；且
flow(v, w)
10
步骤4：选离基变量。选取“常数列元素/入基列元
素”正比值的最小者所对应的基本变量为离基变量， bi bk min { } 即 a 0 a a ，选取基本变量xk为离基变量。 ie ke 步骤5：换基变换（转轴变换）。在单纯形表上将 入基变量和离基变量互换位置，并按照式如下公式 进行各元素的变换后得到一张新的单纯形表。转步 骤 2。
NOI国家集训队论文分类(至2008)(摘抄自C博客)
摘抄自C博客组合数学计数与统计2001 - 符文杰：《Pólya原理及其应用》2003 - 许智磊：《浅谈补集转化思想在统计问题中的应用》2007 - 周冬：《生成树的计数及其应用》2008 - 陈瑜希《Pólya计数法的应用》数位问题2009 - 高逸涵《数位计数问题解法研究》2009 - 刘聪《浅谈数位类统计问题》动态统计2004 - 薛矛：《解决动态统计问题的两把利刃》2007 - 余江伟：《如何解决动态统计问题》博弈2002 - 张一飞：《由感性认识到理性认识——透析一类搏弈游戏的解答过程》2007 - 王晓珂：《解析一类组合游戏》2009 - 曹钦翔《从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》2009 - 方展鹏《浅谈如何解决不平等博弈问题》2009 - 贾志豪《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》母函数2009 - 毛杰明《母函数的性质及应用》拟阵2007 - 刘雨辰：《对拟阵的初步研究》线性规划2007 - 李宇骞：《浅谈信息学竞赛中的线性规划——简洁高效的单纯形法实现与应用》置换群2005 - 潘震皓：《置换群快速幂运算研究与探讨》问答交互2003 - 高正宇：《答案只有一个——浅谈问答式交互问题》猜数问题2003 - 张宁：《猜数问题的研究:<聪明的学生>一题的推广》2006 - 龙凡：《一类猜数问题的研究》数据结构数据结构2005 - 何林：《数据关系的简化》2006 - 朱晨光：《基本数据结构在信息学竞赛中的应用》2007 - 何森：《浅谈数据的合理组织》2008 - 曹钦翔《数据结构的提炼与压缩》结构联合2001 - 高寒蕊：《从圆桌问题谈数据结构的综合运用》2005 - 黄刚：《数据结构的联合》块状链表2005 - 蒋炎岩：《数据结构的联合——块状链表》2008 - 苏煜《对块状链表的一点研究》动态树2006 - 陈首元：《维护森林连通性——动态树》2007 - 袁昕颢：《动态树及其应用》左偏树2005 - 黄源河：《左偏树的特点及其应用》跳表2005 - 魏冉：《让算法的效率“跳起来”！——浅谈“跳跃表”的相关操作及其应用》2009 - 李骥扬《线段跳表——跳表的一个拓展》SBT2007 - 陈启峰：《Size Balance Tree》线段树2004 - 林涛：《线段树的应用》单调队列2006 - 汤泽：《浅析队列在一类单调性问题中的应用》哈希表2005 - 李羽修：《Hash函数的设计优化》2007 - 杨弋：《Hash在信息学竞赛中的一类应用》Splay2004 - 杨思雨：《伸展树的基本操作与应用》图论图论2005 - 任恺：《图论的基本思想及方法》模型建立2004 - 黄源河：《浅谈图论模型的建立与应用》2004 - 肖天：《“分层图思想”及其在信息学竞赛中的应用》网络流2001 - 江鹏：《从一道题目的解法试谈网络流的构造与算法》2002 - 金恺：《浅谈网络流算法的应用》2007 - 胡伯涛：《最小割模型在信息学竞赛中的应用》2007 - 王欣上：《浅谈基于分层思想的网络流算法》2008 - 周冬《两极相通——浅析最大—最小定理在信息学竞赛中的应用》最短路2006 - 余远铭：《最短路算法及其应用》2008 - 吕子鉷《浅谈最短径路问题中的分层思想》2009 - 姜碧野《SPFA算法的优化及应用》欧拉路2007 - 仇荣琦：《欧拉回路性质与应用探究》差分约束系统2006 - 冯威：《数与图的完美结合——浅析差分约束系统》平面图2003 - 刘才良：《平面图在信息学中的应用》2007 - 古楠：《平面嵌入》2-SAT2003 - 伍昱：《由对称性解2-SAT问题》最小生成树2004 - 吴景岳：《最小生成树算法及其应用》2004 - 汪汀：《最小生成树问题的拓展》二分图2005 - 王俊：《浅析二分图匹配在信息学竞赛中的应用》Voronoi图2006 - 王栋：《浅析平面Voronoi图的构造及应用》偶图2002 - 孙方成：《偶图的算法及应用》树树2002 - 周文超：《树结构在程序设计中的运用》2005 - 栗师：《树的乐园——一些与树有关的题目》路径问题2009 - 漆子超《分治算法在树的路径问题中的应用》最近公共祖先2007 - 郭华阳：《RMQ与LCA问题》划分问题2004 - 贝小辉：《浅析树的划分问题》数论欧几里得算法2009 - 金斌《欧几里得算法的应用》同余方程2003 - 姜尚仆：《模线性方程的应用——用数论方法解决整数问题》搜索搜索2001 - 骆骥：《由“汽车问题”浅谈深度搜索的一个方面——搜索对象与策略的重要性》2002 - 王知昆：《搜索顺序的选择》2005 - 汪汀：《参数搜索的应用》启发式2009 - 周而进《浅谈估价函数在信息学竞赛中的应用》优化2003 - 金恺：《探寻深度优先搜索中的优化技巧——从正方形剖分问题谈起》2003 - 刘一鸣：《一类搜索的优化思想——数据有序化》2006 - 黄晓愉：《深度优先搜索问题的优化技巧》背包问题2009 - 徐持衡《浅谈几类背包题》匹配2004 - 楼天城：《匹配算法在搜索问题中的巧用》概率概率2009 - 梅诗珂《信息学竞赛中概率问题求解初探》数学期望2009 - 汤可因《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法》字符串字符串2003 - 周源：《浅析“最小表示法”思想在字符串循环同构问题中的应用》多串匹配2004 - 朱泽园：《多串匹配算法及其启示》2006 - 王赟：《Trie图的构建、活用与改进》2009 - 董华星《浅析字母树在信息学竞赛中的应用》后缀数组2004 - 许智磊：《后缀数组》2009 - 罗穗骞《后缀数组——处理字符串的有力工具》字符串匹配2003 - 饶向荣：《病毒的DNA———剖析一道字符匹配问题解析过程》2003 - 林希德：《求最大重复子串》动态规划动态规划2001 - 俞玮：《基本动态规划问题的扩展》2006 - 黄劲松：《贪婪的动态规划》2009 - 徐源盛《对一类动态规划问题的研究》状态压缩2008 - 陈丹琦《基于连通性状态压缩的动态规划问题》状态设计2008 - 刘弈《浅谈信息学中状态的合理设计与应用》树形DP2007 - 陈瑜希：《多角度思考创造性思维——运用树型动态规划解题的思路和方法探析》优化2001 - 毛子青：《动态规划算法的优化技巧》2003 - 项荣璟：《充分利用问题性质——例析动态规划的“个性化”优化》2004 - 朱晨光：《优化，再优化！——从《鹰蛋》一题浅析对动态规划算法的优化》2007 - 杨哲：《凸完全单调性的加强与应用》计算几何立体几何2003 - 陆可昱：《长方体体积并》2008 - 高亦陶《从立体几何问题看降低编程复杂度》计算几何思想2004 - 金恺：《极限法——解决几何最优化问题的捷径》2008 - 程芃祺《计算几何中的二分思想》2008 - 顾研《浅谈随机化思想在几何问题中的应用》圆2007 - 高逸涵：《与圆有关的离散化》半平面交2002 - 李澎煦：《半平面交的算法及其应用》2006 - 朱泽园：《半平面交的新算法及其实用价值》矩阵矩阵2008 - 俞华程《矩阵乘法在信息学中的应用》高斯消元2002 - 何江舟：《用高斯消元法解线性方程组》数学方法数学思想2002 - 何林：《猜想及其应用》2003 - 邵烜程：《数学思想助你一臂之力》数学归纳法2009 - 张昆玮《数学归纳法与解题之道》多项式2002 - 张家琳：《多项式乘法》数形结合2004 - 周源：《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》黄金分割2005 - 杨思雨：《美，无处不在——浅谈“黄金分割”和信息学的联系》其他算法遗传算法2002 - 张宁：《遗传算法的特点及其应用》2005 - 钱自强：《关于遗传算法应用的分析与研究》信息论2003 - 侯启明：《信息论在信息学竞赛中的简单应用》染色与构造2002 - 杨旻旻：《构造法——解题的最短路径》2003 - 方奇：《染色法和构造法在棋盘上的应用》一类问题区间2008 - 周小博《浅谈信息学竞赛中的区间问题》序2005 - 龙凡：《序的应用》系2006 - 汪晔：《信息学中的参考系与坐标系》物理问题2008 - 方戈《浅析信息学竞赛中一类与物理有关的问题》编码与译码2008 - 周梦宇《码之道—浅谈信息学竞赛中的编码与译码问题》对策问题2002 - 骆骥：《浅析解“对策问题”的两种思路》优化算法优化2002 - 孙林春：《让我们做得更好——从解法谈程序优化》2004 - 胡伟栋：《减少冗余与算法优化》2005 - 杨弋：《从<小H的小屋>的解法谈算法的优化》2006 - 贾由：《由图论算法浅析算法优化》程序优化2006 - 周以苏：《论反汇编在时间常数优化中的应用》2009 - 骆可强《论程序底层优化的一些方法与技巧》语言C++2004 - 韩文弢：《论C++语言在信息学竞赛中的应用》策略策略2004 - 李锐喆：《细节——不可忽视的要素》2005 - 朱泽园：《回到起点——一种突破性思维》2006 - 陈启峰：《“约制、放宽”方法在解题中的应用》2006 - 李天翼：《从特殊情况考虑》2007 - 陈雪：《问题中的变与不变》2008 - 肖汉骏《例谈信息学竞赛分析中的“深”与“广”》倍增2005 - 朱晨光：《浅析倍增思想在信息学竞赛中的应用》二分2002 - 李睿：《二分法与统计问题》2002 - 许智磊：《二分，再二分！——从Mobiles(IOI2001)一题看多重二分》2005 - 杨俊：《二分策略在信息学竞赛中的应用》调整2006 - 唐文斌：《“调整”思想在信息学中的应用》随机化2007 - 刘家骅：《浅谈随机化在信息学竞赛中的应用》非完美算法2005 - 胡伟栋：《浅析非完美算法在信息学竞赛中的应用》2008 - 任一恒《非完美算法初探》提交答案题2003 - 雷环中：《结果提交类问题》守恒思想2004 - 何林：《信息学中守恒法的应用》极限法2003 - 王知昆：《浅谈用极大化思想解决最大子矩形问题》贪心2008 - 高逸涵《部分贪心思想在信息学竞赛中的应用》压缩法2005 - 周源：《压去冗余缩得精华——浅谈信息学竞赛中的“压缩法”》逆向思维2005 - 唐文斌：《正难则反——浅谈逆向思维在解题中的应用》穷举2004 - 鬲融：《浅谈特殊穷举思想的应用》目标转换2002 - 戴德承：《退一步海阔天空——“目标转化思想”的若干应用》2004 - 栗师：《转化目标在解题中的应用》类比2006 - 周戈林：《浅谈类比思想》分割与合并2006 - 俞鑫：《棋盘中的棋盘——浅谈棋盘的分割思想》2007 - 杨沐：《浅析信息学中的“分”与“合”》平衡思想2008 - 郑暾《平衡规划——浅析一类平衡思想的应用》。
基于混合整数线性规划的物流网络优化研究
基于混合整数线性规划的物流网络优化研究随着全球经济的快速发展和物流业的高速增长，物流网络优化成为提高效率和降低成本的关键。
在这个背景下，混合整数线性规划（MIIP）成为优化物流网络的一种强大工具。
本文将从三个方面进行讨论：问题定义、数学建模和优化算法。
一、问题定义物流网络优化问题的主要目标是最小化总成本或最大化总利润。
在实际应用中，问题的复杂性来自于不同的限制条件，如供应商、仓库、运输路径和需求量等。
此外，物流优化问题还需要考虑时间窗口、服务质量和资源利用率等因素。
二、数学建模数学建模是解决物流网络优化问题的核心。
基于混合整数线性规划的方法将问题转化为数学模型，通过数学公式描述了物流网络中各个变量之间的关系。
通常，数学模型包括目标函数、约束条件和决策变量。
目标函数定义了优化问题的目标，可以是最小化总成本、最大化总利润或最小化总运输距离等。
约束条件反映了物流网络的限制，如供应商的产能限制、仓库的容量限制、运输路径的地理限制等。
决策变量代表了需要优化的变量，如运输路径、货物分配和仓库容量等。
三、优化算法为了解决混合整数线性规划问题，需要开发有效的优化算法。
常用的算法包括分支定界法、割平面法和启发式算法等。
分支定界法通过分解问题空间并逐步搜索最优解来求解混合整数线性规划问题。
割平面法通过逐步添加新的约束条件来逼近最优解。
启发式算法通过快速搜索解空间来找到次优解。
这些优化算法在运输网络优化中发挥了重要作用。
通过减少求解时间、提高计算效率和优化解的质量，这些算法为物流网络优化提供了有效的工具。
总结：基于混合整数线性规划的物流网络优化研究是一个重要的领域，对于提高物流效率和降低成本具有重要意义。
通过定义问题、进行数学建模和开发优化算法，可以有效解决物流网络中的最优化问题。
然而，物流网络优化问题具有高复杂性和实时性的特点，仍然存在许多挑战和困难。
未来的研究可以从多方面进行拓展，如考虑不确定性、动态调整和多目标优化等，以提高物流网络的可靠性和适应性。
曹钦翔无向图问题选讲
– 枚举这条边？如何保证严格次小？
方案1：倍增 方案2：线段树
曹钦翔无向图问题选讲
例题10
问题描述：
– 输入一个n个点的无向连通图，求从图中删去两条 边使图不连通的方案的总数。
– n<=2000
曹钦翔无向图问题选讲
例题9
问题描述：
– 输入一个n个点的无向连通图，求从图中删去一条 边和一个点使得图不连通的方案的总数。
xy是否在一个双连通分支中？
曹钦翔无向图问题选讲
例题11
思路：
– 如果xy不在一个双连通分支中
回答“No”
– 如果xy在一个双连通分支中
需要判断是否存在两条边，删除它们之后xy不连通 只需要考虑xy所在的极大双连通分支中的点和边 有没有同学能够证明这两个结论？
曹钦翔无向图问题选讲
曹钦翔无向图问题选讲
例题8
思路：
– 严格次小生成树与最小生成树有什么关系？
曹钦翔无向图问题选讲
例题8
思路：
– 严格次小生成树与最小生成树有什么关系？
严格次小生成树与最小生成树只相差一条边！
曹钦翔无向图问题选讲
例题8
思路：
– 严格次小生成树与最小生成树有什么关系？
严格次小生成树与最小生成树只相差一条边！
曹钦翔无向图问题选讲
运筹学第八章--图与网络分析-胡运权
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
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基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
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第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
线性规划在选址决策中的应用
得到他们的分配结果后 ， 计算分别在 和 建工 厂 的 成 本 ， 而 选 择 出 比较 合 适 的地 点 ， 从
以期 达到成 本 节约 的 目标 。 们 各 自建 厂 需 要 花 他 费 的成本 如表 ４所示 ：
第 ３期
郑玛丽 ， 沙翠翠 ： 线性规 划在选址决策中的应用
表 ４ 各 自建厂需要花费 的成本
10074260201303004503线性规划是运筹学中研究较早发展较快应用广泛方法较成熟的一个重要分支它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法线性规划的想法最初是由法国数学家傅里叶和瓦莱普森分别于1832和1911年独立地提出的但是由于种种原因当时这种想法并未得到人们的重视
２１ ０ ３年 ８月 第ｌ ９卷第 ３期
０ ３ Ｏ５ ０ ８ ０ ７ ．８ ．０ ．０ ．５
Ｆ
年需求量（ ３５ ｏ ０ ６ ５ ｏ ０ 台） ０ ７０ ｏ ０ ６Ｏ ｏ
分析： 问题的关键是 比较选择建设工厂 和 时 的总费 用。 以将这个 问题化 为两 个 问题 分 可 别来求解 ， 然后进行比较 ， 即： （ ）产地 Ｆ ， 和 Ｆ ， 售 地 Ｐ ， Ｐ １ 。Ｆ ，销 。Ｐ ，３和
广播电视大学学报 ，０ ０４ （ １ ：３ ２ １ ，３ ２ ） １４—１７ ３． ［ ］曹亚群， ３ 朱骏 ． 线性规划在物流 工程 中的应 用 ［ ］ 宿州学 院 Ｊ．
＼ ＼
＼ 工
销售区 ＼
ＦＩ ＼
运输费用（ 万元） Ｊ Ｐ 。 Ｐ Ｐ ２ ， Ｐ
年产量 生产成本 （ （ 台） 万元）
＼
工
销售区
＼ ＼ Ｐ ｌ
运输费用（ 万元）
Ｐ ２ Ｐ ３ Ｐ ， ｓ
算法合集之《浅谈信息学竞赛中的线性规划——简洁高效的单纯形法实现与应用》
算法合集之《浅谈信息学竞赛中的线性规划——简洁高效的单纯形法实现与应用》线性规划的简单应用和实现浙江省杭州二中李宇骞摘要线性规划在实际生活中应用非常广泛，已经创造了无数的财富。
但是它在竞赛中的应用很少。
然而，我相信它的潜力很大，所以在这里向大家简单地介绍了线性规划的一些应用，以及如何实现解线性规划，以抛砖引玉，希望线性规划能够在竞赛中如同网络流一样熠熠生辉。
本文主要分三部分，第一部分简单地介绍了线性规划，给出了其定义；第二部分给出了一些简单的应用，以及一个线性规划的经典应用——多物网络流；第三部分是用单纯形（Simplex）算法实现解线性规划。
由于对大多数竞赛选手而言，写一个线性规划的程序比构造一个模型更为恐怖（虽然难度可能不及），并且单纯形法不是多项式级别的，不实践很难知道它的速度到底怎么样，所以本文着重于第三部分，较详细地描述了一些实现的细节，以及简单的证明，并且对单纯形法的运行速度做了一些实验，还与专业的数学软件MATLAB和LINDO做了对比，从一定程度上说明了单纯形法的速度是卓越的。
同时，200行左右的程序可以让大家不必那么担心编程的复杂度，某些情况下，100行左右的程序就足够了。
关键字线性规划（Linear programming）单纯形法（Simplex）多物网络流（Multicommodity flow）引言“随著强有力的算法的发展与应用,线性规划能解决的问题也越来越来多。
在历史上，没有哪种数学方法可以像线性规划那样，直接为人类创造如此巨额的财富，并对历史的进程发生如此直接的影响。
”孙捷，这位曾经执教于清华大学的美国华盛顿大学博士如此评价线性规划。
他还举了这样一个实例：在波斯湾战争期间，美国军方利用线性规划，有效地解决了部队给养和武器调运问题，对促进战争的胜利，起了关键的作用。
难怪人们说，因为使用炸药，第一次世界大战可说是「化学的战争」；因为使用原子弹，第二次世界大战可说是「物理的战争」；因为使用线性规划，波斯湾战争可称为「数学的战争」。
基于线性规划的指派问题调度模型设计与算法研究
基于线性规划的指派问题调度模型设计与算法研究概述指派问题（Assignment Problem）是一类重要的组合优化问题，旨在将一组任务分配给一组执行者，使得总分配成本最小或总分配效益最大。
在实际生活和工作中有广泛的应用，如人力资源调度、物流配送以及生产流程优化等领域。
本文将介绍基于线性规划的指派问题调度模型设计与算法研究。
一、问题描述指派问题可以形式化地描述为：给定n个任务和n个执行者，每个任务与每个执行者之间有一个成本或效益的矩阵C，需要将任务分配给执行者，使得总分配成本最小或总分配效益最大。
每个任务只能分配给一个执行者，每个执行者只能执行一个任务。
具体定义如下：- n个任务：任务集合T={t1, t2, ..., tn}；- n个执行者：执行者集合E={e1, e2, ..., en}；- 任务与执行者之间的成本矩阵：C=(cij)，其中，cij表示将任务ti分配给执行者ej的成本或效益；- 任务分配指示矩阵：X=(xij)，其中，xij表示将任务ti分配给执行者ej的指示变量，若分配则为1，否则为0；- 目标函数：min ∑∑cijxij；- 约束条件：∑xij=1，∑xji=1，xij∈{0, 1}。
二、模型设计基于线性规划的指派问题调度模型设计，关键是构建线性规划模型，并确定合适的约束条件和目标函数。
以下是一个典型的线性规划模型描述：min ∑∑cijxijsubject to∑xij=1，∑xji=1xij∈{0, 1}该线性规划模型中，目标函数为总分配成本的最小化，约束条件包括任务分配和执行者分配的限制。
∑xij=1表示每个任务只能分配给一个执行者，∑xji=1表示每个执行者只能执行一个任务。
xij的取值为0或1，表示任务的分配状态。
三、经典算法研究1. 匈牙利算法匈牙利算法是一种经典的用于解决指派问题的算法。
它通过构建增广路径来寻找最优解，算法过程如下：(1) 初始化任务标记数组M和执行者标记数组N，初始状态为全0；(2) 寻找未分配的任务ti，将ti标记为已访问并进入步骤(3)；(3) 对于任务ti，将其与每个执行者ej进行匹配，若成本或效益最小，则将ti 分配给ej，并更新M、N数组；(4) 判断是否存在未分配的任务ti，若存在则返回步骤(2)；否则继续下一步；(5) 检查每个执行者ej的分配情况，若存在未分配任务则返回步骤(2)；(6) 输出最终的任务分配结果。
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六. 经典例题选讲
六. 经典例题选讲
六. 经典例题选讲
六. 经典例题选讲
六. 经典例题选讲
六. 经典例题选讲
每条边有一个非负的权值。 表述一：删去若干条边使得源点到汇点不连通，求 删边的权值和的最小可能值。
四. 对偶原理与最小割
1. 最小割问题
每条边有一个非负的权值。 表述二：将点集分为(S,T)，记所有从S中出发到T中 的边的权值和为c(S,T)，求c(S,T)的最小值。
四. 对偶原理与最小割
3. 流量下界
问题1：是否有可行流？ 问题2：求最大流（求值、求方案） 问题3：求最小流（求值、求方案）
一. 网络流模型
4. 费用
问题1：求最小费用最大流 问题2：求最小费用可行流 算法：消负圈+最小费用增广路算法
5. 点容量
算法：拆点
二. 线性规划
二. 线性规划
2. 线性规划对偶问题
a. 原问题的变量对应对偶问题的约束条件 b. 原问题的约束条件对应对偶问题的变量 c. 原问题与对偶问题的目标函数方向相反 d. 对偶问题的对偶问题是原问题
四. 对偶原理与最小割
原问题
对偶问题
四. 对偶原理与最小割
3. 对偶最优性
若原问题有最优解，则 (1) 对偶问题也有最优解 (2) 且两个问题的最优解的目标函数值相等。
线性规划与网络流
北京大学 曹钦翔
一. 网络流模型
1. 最大流模型
可以沿边的方向运送货物 每条边上的货物流量有上限 求源点到汇点的最大流量
一. 网络流模型
2. 最大流算法
Ford-Fulkerson算法 Dinic算法 Gap优化的SAP算法 最高标号法预流推进
一. 网络流模型
五. 线性规划与经典模型
五. 线性规划与经典模型
五. 线性规划与经典模型
六. 经典例题选讲
导言
由于网络流这一图论问题，与线性规划这一代数问 题之间紧密的联系。 通常而言，任何一道网络流考题，都可以直接图论 建模或者利用线性规划问题建模。
六. 经典例题选讲
六. 经典例题选讲
三. 网络流的线性规划模型
三. 网络流的线性规划模型
7. 小结
通过线性规划模型刻画网络流问题，其核心在于流 量平衡条件。 流量平衡条件的特征是每个变量出现两次，一次系 数为+1，另一次系数为-1。 具体的模型构建，取决于线性规划问题中的其他参 数与特征。
四. 对偶原理与最小割
1. 最小割问题
四. 对偶原理与最小割
四. 对偶原理与最小割
四. 对偶原理与最小割
四. 对偶原理与最小割
四. 对偶原理与最小割
四. 对偶原理与最小割
四. 对偶原理与最小割
ห้องสมุดไป่ตู้
四. 对偶原理与最小割
四. 对偶原理与最小割
四. 对偶原理与最小割
四. 对偶原理与最小割
四. 对偶原理与最小割
无可行解 有无界解 有最优解 一般而言，我们最为关注有最优解的问题
三. 网络流的线性规划模型
三. 网络流的线性规划模型
三. 网络流的线性规划模型
三. 网络流的线性规划模型
三. 网络流的线性规划模型
三. 网络流的线性规划模型
三. 网络流的线性规划模型
三. 网络流的线性规划模型
8. 小结
最大流的对偶问题是最小割 最大匹配的对偶问题是最小点覆盖 最优匹配的对偶问题是最小顶标和
五. 线性规划与经典模型
导言
在备考过程中，熟练掌握各种现有的网络流问题经 典模型，可以保证我们在赛场上解决绝大部分的网 络流问题。 但是，当出现新的网络流模型时，利用问题中刻画 的线性规划问题辅助思考，是解决一些难题的捷径。
二. 线性规划
二. 线性规划
二. 线性规划
4. 线性规划的解
(1) 可行解：满足所有约束条件的解 (2) 最优解：可行解中使目标函数取到最优值的解
二. 线性规划
4. 线性规划的解
(1) 可行解：满足所有约束条件的解 (2) 最优解：可行解中使目标函数取到最优值的解 注：根据线性规划问题是否有可行解、是否有最优 解，线性规划问题可以分为