算法系列之九：计算几何与图形学有关的几种常用算法(一)
geometric 几何算法
geometric 几何算法（原创实用版）目录一、几何算法概述二、几何算法的应用领域三、几何算法的求解方法四、几何算法的优缺点分析五、几何算法的发展趋势正文一、几何算法概述几何算法，顾名思义，是研究几何问题的算法。
在计算机科学领域，几何算法主要研究如何使用计算机求解几何问题，例如计算两个图形的交集、计算多边形的面积等。
几何算法广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计、地理信息系统等领域。
二、几何算法的应用领域1.计算机图形学：在计算机图形学中，几何算法被用于生成、处理和显示图形。
例如，在三维图形学中，需要用到几何算法来计算物体的表面积、体积等。
2.计算机辅助设计：在计算机辅助设计（CAD）中，几何算法被用于创建、修改和分析工程图纸。
例如，在设计建筑结构时，需要用到几何算法来计算结构的稳定性和强度。
3.地理信息系统：在地理信息系统（GIS）中，几何算法被用于处理地理空间数据。
例如，在 GIS 中，需要用到几何算法来计算地理区域的面积、周长等。
三、几何算法的求解方法几何算法的求解方法有很多，下面介绍几种常见的方法：1.枚举法：对于一些简单的几何问题，可以采用枚举法求解。
例如，在计算多边形的面积时，可以枚举多边形的所有顶点，计算每个顶点对应的三角形面积，最后将所有三角形面积相加得到多边形的面积。
2.扫描线法：扫描线法是一种基于二维坐标系的几何算法。
它通过扫描线逐行扫描多边形，计算多边形与扫描线的交点，从而得到多边形的边界。
扫描线法可以高效地计算多边形的面积和周长。
3.空间分割法：空间分割法是一种基于空间数据的几何算法。
它通过将空间数据分成若干个区域，然后计算各个区域之间的交集，从而得到所需的几何信息。
空间分割法可以高效地处理复杂几何体。
四、几何算法的优缺点分析几何算法的优点：1.高效性：几何算法通常具有较高的计算效率，可以快速求解几何问题。
2.通用性：几何算法可以应用于多种几何问题，具有较强的通用性。
几何算法的缺点：1.复杂性：对于一些复杂的几何问题，几何算法的求解过程可能较为复杂，难以理解和实现。
计算机科学中的计算几何学
计算机科学中的计算几何学计算几何学是计算机科学中一个重要的领域，它涵盖了许多与图形和几何有关的问题，例如计算多边形的面积和周长、求解几何元素之间的关系和位置、以及生成三维图形等等。
计算几何学在许多应用领域中都有广泛的应用，例如计算机辅助设计、虚拟现实、机器人技术等等。
在计算几何学中，最基本的问题是如何表示和存储几何对象。
传统的方式是使用点、线和面等基本元素来描述几何对象。
对于平面几何问题，经典的数据结构是平面直角坐标系（Cartesian coordinates）和极坐标系（polar coordinates）。
在三维几何问题中，一般使用欧几里得空间（Euclidean space）或齐次坐标系（homogeneous coordinates）来表示和计算。
此外，还可以使用参数曲线和曲面等高级数据结构来描述更复杂的几何对象。
计算几何学中的许多问题都涉及到了求解几何元素之间的关系和位置。
其中最常见的问题之一是交点问题（intersection problem），即求解两条或多条直线或曲线在二维或三维空间中的交点。
还有一类常见问题是求解点与线、点与面之间的位置关系。
例如，如何判断一个点是否在一个多边形内部？如何判断两个三角形是否相交？这些问题的解决方法涉及到了许多经典的算法，例如扫描线算法（scanline algorithm）、凸包算法（convex hull algorithm）和线性规划算法（linear programming algorithm）等等。
计算几何学的另一个重要领域是计算几何优化。
它涉及在给定约束条件下求解几何问题的最优解。
例如，在给定的几何对象中，如何找到包含最大面积的矩形？如何找到通过给定点的最短路径？这些问题需要一些经典的数学工具和算法，例如拉格朗日乘数法（Lagrange multiplier method）、离散化技术（discretization）和动态规划算法（dynamic programming algorithm）等等。
计算几何入门及应用
计算几何入门及应用计算几何是计算机科学的一个重要分支，它结合了几何学与计算，研究如何使用计算方法解决几何问题。
随着计算机技术的发展，计算几何所涉及的问题越来越多，应用也变得愈加广泛。
本文将对计算几何的基本概念、应用以及相关算法进行详细讨论。
什么是计算几何计算几何是研究几何对象及其关系，使用算法和数据结构来解决几何问题的领域。
其主要研究内容包括点、线、面、体及其组合的性质和运算，如距离、夹角、面积、交点等。
它在处理具有空间特征的问题时显得尤为重要，例如计算机图形学、机器人导航、地理信息系统（GIS）、CAD（计算机辅助设计）等领域。
基本概念几何对象：在计算几何中，最基本的几何对象包括点、线段、多边形、多面体等。
空间维度：计算几何可分为一维（线）、二维（平面）和三维（空间）。
不同维度的几何问题解决方法有所不同。
组合几何：研究有限点集之间的组合关系，例如点与点之间的连线构成的图形。
算法复杂性：在解决几何问题时，算法的时间复杂性与空间复杂性是一个重要考量因素。
常用的数据结构包括平衡树、链表、栈等。
计算几何中的基本算法在计算几何中，有许多经典算法可以用来解决各种问题。
以下是一些重要的算法：凸包算法凸包是指一个点集的最小凸形状。
在二维平面上，凸包可以想象成一个橡皮筋套在点集周围。
常用的计算凸包的算法有：Graham扫描算法：先选择一个基准点，然后根据极角对其他点进行排序，最后通过规则判断哪些点构成凸包。
Jarvis行走法：从一个极点开始，不断找到下一个最远的点，直到回到起始点。
最近点对给定一组点，寻找其中距离最近的一对点。
常见的方法有：暴力搜索法：逐一比较每对点，时间复杂度为O(n^2)。
分治法：通过划分空间减少比较次数，时间复杂度降至O(n log n)。
线段相交判断两条线段是否相交是一个基本问题，可用于图形碰撞检测。
常用方法包括：扫动线法：以一条假想的垂直线从左到右移动，并利用事件队列存储可能相交的线段。
数学建模的十大算法
数学建模的十大算法一、蒙特卡罗算法1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis共同发明了，蒙特卡罗方法。
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。
蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。
当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。
它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。
蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。
其特点如下：I、直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
II、采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
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计算几何算法概览一、引言计算机的出现使得很多原本十分繁琐的工作得以大幅度简化，但是也有一些在人们直观看来很容易的问题却需要拿出一套并不简单的通用解决方案，比如几何问题。
作为计算机科学的一个分支，计算几何主要研究解决几何问题的算法。
在现代工程和数学领域，计算几何在图形学、机器人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。
在本文中，我们将对计算几何常用的基本算法做一个全面的介绍，希望对您了解并应用计算几何的知识解决问题起到帮助。
二、目录本文整理的计算几何基本概念和常用算法包括如下内容：矢量的概念矢量加减法AcGeVector2d/AcGeVector3d + - += -=等运算符重载或者setToSum矢量叉积AcGeVetor3d crossProduct折线段的拐向判断由矢量叉积的性质推出判断点是否在线段上isOn判断两线段是否相交AcgeLineSeg2d intersectWith判断线段和直线是否相交AcgeLine2d AcgeLineSeg2d intersectWith判断矩形是否包含点判断线段、折线、多边形是否在矩形中判断矩形是否在矩形中判断圆是否在矩形中判断点是否在多边形中判断线段是否在多边形内判断折线是否在多边形内判断多边形是否在多边形内判断矩形是否在多边形内判断圆是否在多边形内判断点是否在圆内判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内判断圆是否在圆内计算点到线段的最近点line.closestPointTo(point);计算点到折线、矩形、多边形的最近点计算点到圆的最近距离及交点坐标计算两条共线的线段的交点计算线段或直线与线段的交点求线段或直线与折线、矩形、多边形的交点求线段或直线与圆的交点凸包的概念凸包的求法三、算法介绍矢量的概念：如果一条线段的端点是有次序之分的，我们把这种线段成为有向线段(directed segment)。
如果有向线段p1p2的起点p1在坐标原点，我们可以把它称为矢量(vector)p2。
图形学知识点总结
图形学知识点总结一、基本概念1. 图像：图像是由像素组成的二维矩阵，每个像素代表了图像中的一个点的位置和颜色信息。
图像可以是静态的，也可以是动态的。
静态图像通常是以位图或矢量图的形式存在，而动态图像则是由一系列静态图像组成的连续流。
2. 图形：图形通常是通过数学模型和算法来描述和生成的。
它不仅包括了图像，还包括了各种形状、几何对象和运动效果等。
3. 图形学：图形学是研究如何合成、生成、处理和显示图像和图形的学科。
它涉及到计算机图形学、计算机视觉、图像处理、模式识别和机器学习等多个领域。
4. 渲染：渲染是指通过光线追踪或光栅化等技术将三维场景转换为二维图像的过程。
它是图形学中最重要的技术之一，用于模拟真实光线的传播、遮挡和反射等物理效果。
5. 建模：建模是指通过数学模型或几何描述来表示和描述物体、场景和几何对象的过程。
它包括了三维建模和曲面建模等技术。
6. 可视化：可视化是指通过图像和图形来呈现和展示数据、信息和模型的过程。
它包括了科学可视化、信息可视化和虚拟现实等技术。
二、图形学原理1. 光栅化：光栅化是一种将连续的几何模型和图像转换为离散的像素和像素面片的过程。
它是实现图形显示和渲染的核心技术之一。
光栅化算法主要包括了扫描线填充算法、多边形填充算法和三角形光栅化算法等。
2. 光线追踪：光线追踪是一种通过模拟光线的传播、遮挡和反射等物理效果来生成真实感图像的技术。
它是实现高质量渲染的主要方法之一。
光线追踪算法主要包括了蒙特卡罗光线追踪、路径追踪和光线追踪加速算法等。
3. 几何变换：几何变换是一种通过矩阵变换来实现图形和几何模型的平移、旋转、缩放和变形等操作的技术。
它是实现图形编辑和模型建模的基本方法之一。
几何变换算法主要包括了仿射变换、欧拉角变换和四元数变换等。
4. 图像处理：图像处理是一种通过数字信号处理来实现图像的增强、分析、识别和理解等操作的技术。
它是实现图像编辑和计算机视觉的关键技术之一。
简单常见几何图形的计算方法
简单常见几何图形的计算方法几何学是数学的一个重要分支，研究的是空间中的形状和大小关系。
在我们日常生活中，常常会遇到一些简单的几何图形，如圆、矩形、三角形等。
本文将介绍一些常见几何图形的计算方法，帮助读者更好地理解和应用几何学知识。
一、圆的计算方法圆是几何学中最基本的图形之一，它具有无限多个点，且到圆心的距离都相等。
在计算圆的相关问题时，我们通常会用到以下几个重要的参数：1. 半径（r）：圆心到圆上任意一点的距离。
2. 直径（d）：穿过圆心的线段，两端点在圆上。
3. 周长（C）：圆的周长，也称为圆周长或圆周。
4. 面积（A）：圆所包围的平面区域。
对于圆的计算，有以下几个常用公式：1. 直径和半径的关系：d = 2r。
2. 周长和直径的关系：C = πd，其中π≈3.14159，是一个无理数。
3. 周长和半径的关系：C = 2πr。
4. 面积和半径的关系：A = πr²。
二、矩形的计算方法矩形是一个有四个直角的四边形，它的对边长度相等。
在计算矩形的相关问题时，我们通常会用到以下几个重要的参数：1. 长度（L）：矩形的长边。
2. 宽度（W）：矩形的短边。
3. 周长（P）：矩形的周长，也称为矩形周长。
4. 面积（A）：矩形所包围的平面区域。
对于矩形的计算，有以下几个常用公式：1. 周长和长度、宽度的关系：P = 2(L + W)。
2. 面积和长度、宽度的关系：A = LW。
3. 长度和面积的关系：L = A/W。
4. 宽度和面积的关系：W = A/L。
三、三角形的计算方法三角形是一个有三个顶点和三条边的多边形，它的内角和为180度。
在计算三角形的相关问题时，我们通常会用到以下几个重要的参数：1. 底边（b）：三角形的底边。
2. 高（h）：从底边到对顶顶点的垂直距离。
3. 边长（a、b、c）：三角形的三条边。
4. 周长（P）：三角形的周长，也称为三角形周长。
5. 面积（A）：三角形所包围的平面区域。
计算机图形学各种算法
1.线面遮挡算法1）视点和线段在给定平面的同侧，线段不被给定平面遮挡。
2）线段的投影和平面的投影的包围盒不相交，线段不被平面遮挡。
3）计算直线与平面是否相交。
若无相交转4）；否则交点在线段的内部或外部。
若交点在线段内部，交点将线段分为两段，与视点同侧的一段不被遮挡，另一段在视点异侧，转4）；若交点在线段外部，转4）。
4）求所剩线段的投影和平面边界的投影的所有交点，根据交点在原直线参数方程中的参数值求出Z值。
若无交点，转4）。
5）所求的各交点将线段的投影分为若干段，求出第一段中点。
6）若第一段中点在平面的投影内，则相应的段被遮挡，否则不被遮挡，其他段依次交替取值进行判断。
7）算法结束。
2.深度排序算法1）把所有的多边形按顶点最大z坐标值进行排序。
2）解决当多边形在z坐标范围内发生交迭时出现的不明确问题。
3）按最大z坐标值逐次减小的次序，对每个多边形进行扫描转换。
3.Z-缓冲算法：更新缓冲区置成背景色；Z-缓冲区置成最大z值；For(各个多边形){扫描转换该多边形；For(计算多边形所覆盖的每个像素(x,y)){计算多边形在该像素的深度值z(x,y);If(z(x,y)小于z缓冲区中的(x,y)处的值){把z(x,y)存入z缓冲区中的(x,y)处；把多边形在(x,y)处的颜色值存入更新缓存区的(x,y)处；}}}4.Z—缓冲算法的改进，只用一个缓冲存储器实现消隐Z-Buffer(){帧缓存全置为背景色；For(屏幕上的每个像素(i,j){深度缓存变量zb置最大值MaxValue;For(多面体上的每个多边形Pk){if(像素点(i,j)在pk的投影多边形之内）{计算Pk在(i,j)处的深度值depth;If(depth<zb){zb=depth;indexp=k;}}}If(zb!=MaxV alue)计算多边形pindexp在交点(i,j)处的光照颜色并显示}}4.Graham扫描求凸壳算法V oid Graham(POINT S[],intn){sortangle(S,n,Q);v=first(Q);While(next(v,Q)!=first(Q))If(left(v,next(v,Q),next(next(v,Q),Q)) v=next(v,Q);Else{delete(next(v,Q);v=pred(v,Q);}}5.jarvis行进V oid Javis(POINT S[],int n){v0=xy_minsort(S,n);d=(0,-1);Q=null;add(Q,v0);S1=delete(v0,S);u=v0;V1=wapping(u,d,S1);While(v1!=v0){add(v1,Q);S1=delete(v1,S);S1=delete(u,S1);D=vector(u,v1);u=v1;v1=wapping(u,d,S1);}}6.简单多边形三角剖分V oidSimple_polygon_triangulation(POINT *P,int n){Q0=P,m=n;While(m<3){Q1=next(Q0);Q2=next(Q1);If(Test(Q0,Q1,Q2){输出三角形Q0Q1Q2;m--;delete(Q1);}Else Q0=Q1;}输出Q0开始的剩下的三角形；}7.凸多边形包含算法Int inner1(POINT p[],intn,POINT q){int i,j,k; i=1;j=n-1;While(j-i>1){k=(i+j)/2;If(test(q,p,0,k)==0) return1;else(test(q,p,0,k)==1) return0;else(test(q,p,0,k)==2) i=k;else(test(q,p,0,k)==3) j=k;if(test3(q,p,0,i,j)) return 1;Else return 0;}8.凸多边形重叠计算V oid advance(POINT P[],intl,POINT Q[];int m){int s; s=vector3(P,Q,i,j);If(s>=0){If((left(P,i,Q,j)&&left(Q,j,P,i))||(right(P,i,Q,j)&&left(Q,j,P,i))){if(i<1) ++i;else i=1;}Else if(j<m) j++;else j=1;}Elseelse{p+=2*dy;}}} If((right(P,i,Q,j)&&left(Q,j,P,i))||(right(P,i,Q,j)&&right(Q,j,P,i))){if(i<1) ++i;else i=1;}Else if(j<m) j++;else j=1;}}9.DDAV oid DDALine(int x1,inty1,int x2,int y2){ double dx,dy,e,x,y;dx=x2-x1;dy=y2-y1;e=(fabs(dx)>fabs(dy))?fabs(dx):fabs(dy);dx/=e;dy/=e;x=x1;y=y1;for(int i=0;i<=e;i++){SetPixel((int)(x+0.5),(int)(y+0.5),color);x+=dy;y+=dy;}}10.中点划线MidpointLine(int x0,int y0，int x1,int y1){int a,b,delta1,delta2,d,x,y;a=y0-y1;b=x1-x0;d=2*a+b;delta1=2*a;delta2=2*(a+b);x=x0;y=y0;SetPixel(x,y,color);while(x<x1){If(d<0){x++;y++;d+=delta2;}else{x++;d+=delta1;}SetPixel(x,y,color);}}11.BresenhamLinevoid B(int x1,int y1,int x2,inty2){int x,y,dx,dy,p;x=x1;y=y1;dx=x2-x1;dy=y2-y1;P=2*dy-dx;for(;x<=x2;x++){SetPixel(x,y,color);If(p>=0){y++;p+=2*(dy-dx);}。