2006年广东省佛山市课改实验区

佛山市2006年高中阶段学校招生考试数学试卷（课改实验区）说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分130分，考试时间90分钟． 注意事项：1． 试卷的选择题和非选择题都在答题卡上作答，不能答在试卷上．2． 要作图（含辅助线）或画表，先用铅笔进行画线、绘图，再用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑．3． 其余注意事项，见答题卡．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．4的平方根是（ ）Ａ．2±Ｂ．2Ｃ．12± Ｄ．122．某天傍晚，北京的气温由中午的零上3℃下降了5℃，这天傍晚北京的气温是（ ） Ａ．零上8℃ Ｂ．零上2℃ Ｃ．零下8℃ Ｄ．零下2℃ 3．计算32()x x -·的结果是（ ）Ａ．5x Ｂ．6x Ｃ．5x - Ｄ．6x - 4．在下面4个图案中，为中心对称图形的是（ ）Ａ．①，② Ｂ．①，③ Ｃ．①，④ Ｄ．③，④ 5．如图，在平行四边形ABCD 中，AC BD ，相交于点O ． 下列结论中正确的个数有（ ）结论：①OA OC =，②BAD BCD ∠=∠，③AC BD ⊥， ④180BAD ABC ∠+∠=． Ａ．1个 Ｂ．2个Ｃ．3个 Ｄ．4个①②③④A C第5题图6．函数y x =-和2y x=在同一坐标系中的图象大致是（ ）7．如图，是一个比例尺1:100000000的中国地 图，则北京、佛山两地之间的实际直线距离大 约是（ ）Ａ．31.810⨯km Ｂ．61.810⨯km Ｃ．31.610⨯km Ｄ．61.610⨯km８．如图，平地上两棵不同高度、笔直的小树， 同一时刻在太阳光线照射下形成的影子分别 是AB DC ，，则（ ）Ａ．四边形ABCD 是平行四边形 Ｂ．四边形ABCD 是梯形 Ｃ．线段AB 与线段CD 相交Ｄ．以上三个选项均有可能9．某人在做掷硬币实验时，投掷m 次，正面朝上有n 次（即正面朝上的频率是n p m =）．则下列说法中正确的是（ ） Ａ．p 一定等于12Ｃ．p 一定不等于12Ｃ．多投一次，p 更接近12Ｄ．投掷次数逐渐增加，p 稳定在12附近 10．如图，矩形草坪ABCD中，10m AD AB ==，． 现需要修一条由两个扇环构成的便道HEFG ，扇环的圆心 分别是B D ，．若便道的宽为1m ，则这条便道的面积大约 是（ ）（精确到20.1m ）． Ａ．29.5m Ｂ．210.0mＣ．210.5m Ｄ．211.0mABCD第8题图A第10题图CBD G FH E y y y yxxxxＡ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．OOOO第7题图第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡中）．112cos45-= ．12．圆和圆有多种位置关系，与图中不同的 圆和圆的位置关系是 ．13．为了解佛山市老人的身体健康状况，在以下抽样调查中，你认为样本选择较好的是 （填序号）．①100位女性老人；②公园内100位老人； ③在城市和乡镇选10个点，每个点任选10位老人．14．如图，数轴上的两个点A B ，所表示的数分别 是a b ，，在a b a b ab a b +--，，，中，是正数的有 个．15．如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都 是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a ，则图 中四个小正方形A B C D ，，，的面积之和是 ．三、解答题（在答题卡上作答，写出必要的解题步骤．16～20题每小题6分，21~23题每小题10分，24题12分，25题13分，共85分）16．化简：222xy xx y x y +-+．17．右图是一个正方体的展开图，标注了字母“a ”的 面是正方体的正面．如果正方体相对两个面上的代数式第12题图 第14题图B O A x第17题图第15题图 ABCDa的值相等，求x y ，的值．18．某初级中学为了解学生的身高状况，在1500名学生中抽取部分学生进行抽样统计，结果如下．请你根据上面的图表，解答下列问题： （1）m = ，n = ； （2）补全频数分布直方图； （3）指出“众数”、“中位数”各在哪一组？（不要求说明理由）19．小明、小华用牌面数字分别为1，2，3，4的4张扑克牌玩游戏．他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面．若一次从中抽出两张牌的牌面数字之和为奇数，则小明获胜；反之，小华获胜．这个游戏公平吗？请说明理由．第19题图） 第18题图20．已知：如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，过点C 作O 的切线与AB 的延长线交于点D ．若30CAB ∠=，30AB =，求BD 的长．21．如图，D E ，分别为ABC △的边AB AC ，上的点，BE 与CD 相交于O 点．现有四个条件：①AB AC =，②OB OC =，③ABE ACD ∠=∠，④BE CD =．（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确．．的命题： 命题的条件是 和 ，命题的结论是 和 （均填序号）． （2）证明你写出的命题． 已知： 求证： 证明：22．已知：Rt OAB △在直角坐标系中的位置如图所示，(34)P ，为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段PC 把Rt OAB △分割成两部分．问：点C 在什么位置时，分割得到的三角形与Rt OAB △相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段PC ，并求出相应的点C 的坐标）．第21题图B C第20题图A D第22题图x23．某工厂现有甲种原料226kg ，乙种原料250kg ，计划利用这两种原料生产A B ，两种产品共40件，生产A B ，两种产品用料情况如下表：设生产A 产品x 件，请解答下列问题：（1）求x 的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案；（2）若甲种原料50元／kg ，乙种原料40元／kg ，说明（1）中哪种方案较优？24．已知：在四边形ABCD 中，1AB =，E F G H ，，，分别是AB BC CD DA ，，，上的点， 且AE BF CG DH ===．设四边形EFGH 的面积为S ，(01)AE x x =≤≤． （1）如图1，当四边形ABCD 为正方形时，①求S 关于x 的函数解析式，并求S 的最小值0S ；②在图2中画出①中函数的草图，并估计0.6S =时x 的近似值（精确到0.01）；（2）如图3，当四边形ABCD 为菱形，且30A ∠=时，四边形EFGH 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．25．在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，提示研究对象的本质特征． 比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：235222⨯=，347222⨯=，268222⨯=，⇒…222m n m n +⨯=， ⇒…mn m n a a a +=·（m n ，都是正整数）． 方格边长0.1 第24题图2 y x O A EC GD H 第24题图1 第24题图3 A B G D CFH E我们亦知：221331+<+，222332+<+，223333+<+，224334+<+，…． （1）请你根据上面的材料归纳出(00)a b c a b c >>>，，，之间的一个数学关系式； （2）试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m 克糖水里含有n 克糖，再加入k 克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”； （3）如图，在Rt ABC △中，90()C CB a CA b AD BE c a b ∠=====>，，，．能否根据这个图形提炼出与（1）中同样的关系式？并给予证明．佛山市2006年高中阶段学校招生考试数学试卷参考答案及评分标准（课改实验区）11．0 12．相切 13．③ 14．1 15．2a （注：12题填“外切”、“内切”、“外切或内切”、“外切和内切”均不扣分；13题填③给3分、填①或②均给1分）三、解答题答案及评分标准：16．解：原式2()()()()()xy x x y x y x y x y x y -=++-+- ········································································ 2分22()()()()()xy x xy x x y x x y x y x y x y x y+-+===-+-+-．（1＋2＋1分） ······················································· 6分 ABE 第25题图17．解：根据题意，得255 1.x y x y -=⎧⎨-=+⎩，········ 4分解方程组，得3x =，1y =． ····················· 6分18．解：（1）9m =，0.45n =； （2）如图；（3）“众数”、“中位数”都在第3组．（每个小题2分）19．解：这个游戏不公平． ··································································································· 1分理由：因为一次抽出两张牌的组合共有(12)(13)(14)(23)(24)(34)，，，，，，，，，，，，六种情况，其中有4组中的两数和是奇数． ··········································································································· 4分 所以421()()633P P ===小明获胜小华获胜，． ······························································· 6分 因此，这个游戏不公平．20．解：连结OC ． ··············································································································· 1分 CD 是O 的切线，OC CD ∴⊥，且1152OC OA OB AB ====． ······································································· 3分 30CAB ∠=，260COD CAB ∴∠=∠=，即30D ∠=． ················· 4分∴在Rt OCD △中，230OD OC ==． ······················· 5分 15BD OD OB ∴=-=． ············································· 6分（注：其他解法相应给分）21．解：（1）①，③；②，④． ······························· 4分 （注：①④为题设，②③为结论的命题不给分， 其他组合构成的命题均给4分）（2）已知：D E ，分别为ABC △的边AB ，AC 上的点， 且AB AC =，ABE ACD ∠=∠． 求证：OB OC BE CD ==，． ···································· 5分 证明：AB AC =，ABE ACD ∠=∠，ABC ACB ∴∠=∠，且ABE ACD △≌△．BE CD ∴=． ··························································································································· 8分第21题图B C第20题图A D） 第18题图又BCD ACB ACD ABC ABE CBE ∠=∠-∠=∠-∠=∠， BOC ∴△是等腰三角形． OB OC ∴=． ························································································································ 10分 22．解：过P 作1PC OA ⊥，垂足是1C ， 则1OC P OAB △∽△．点1C 坐标是(30)，． ···················································· 2分过P 作2PC AB ⊥，垂足是2C ， 则2PC B OAB △∽△．点2C 坐标是(64)，． ··················································· 4分过P 作3PC OB ⊥，垂足是P （如图），则3C PB OAB △∽△，3BC BPBO BA∴=． ······················· 6分 易知1058OB BP BA ===，，， 3254BC ∴=，3257844AC =-=． ······························ 8分 37(6)4C ∴，． ···························································································································· 9分 符合要求的点C 有三个，其连线段分别是123PC PC PC ，，（如图）． ······························· 10分 23．解：（1）根据题意，得73(40)226410(40)250.x x x x +-⎧⎨+-⎩，≤≤ ······························································ 3分这个不等式组的解集为2526.5x ≤≤． 又x 为整数，所以25x =或26． ···························································································· 5分 所以符合题意的生产方案有两种：①生产A 种产品25件，B 种产品15件； ②生产A 种产品26件，B 种产品14件． ············································································ 7分 （2）一件A 种产品的材料价钱是：750440510⨯+⨯=元． 一件B 种产品的材料价钱是：3501040550⨯+⨯=元． 方案①的总价钱是：2551015550⨯+⨯元． 方案②的总价钱是：2651014550⨯+⨯元．2551015550(2651014550)55051040⨯+⨯-⨯+⨯=-=元． ··············································· 9分 由此可知：方案②的总价钱比方案①的总价钱少，所以方案②较优． ····························· 10分 24．（1）①解：在Rt AEH △中，AE x =， 1AH x =-，则2222(1)221S HE x x x x ==+-=-+ 211222x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． ················ 3分∴当12x =时，012S =． ······ 4分 ②列表：第24题图2方格边长0.1Oy x 11x在直角坐标系中描点、画图（图2中粗线）． ······································································· 6分 （注：作图时，不列对应值表不扣分）观察函数的图象，可知当0.6S =时，0.27x ≈和0.73x ≈． ················································ 7分 验证：当0.27x =时，0.6029S =；当0.28x =时，0.5984S =． 从而取0.28x ≈．同理取0.72x ≈． ······················································································· 8分 （2）四边形EFGH 的面积存在最小值． 理由如下：由条件，易证AEH CGF △≌△，EBF GDH △≌△． ························································· 9分 作H M AE ⊥于M ，作FN EB ⊥且FN 交EB 的延长线于N ．AE x =，则1AH x =-，又在Rt AMH △中， 30HAM ∠=，11(1)22HM AH x ∴==-．同理得1122FN BF x ==． 11(1)24AEHS AE HM x x ∴==-△·， 11(1)24EBF S EB FN x x ==-△·． ······························· 11分 又12ABCDS =，22111114(1)24224S x x x x x ⎛⎫∴=--=-+=-+ ⎪⎝⎭·． ∴当12x =时，四边形EFGH 的面积存在最小值14． ························································ 12分25．（1）解：a b c ，，的数学关系式是b b c a a c+<+． ······························································· 4分 （2）解：因为n n k m m k +<+，说明原来糖水中糖的质量分数nm小于加入k 克糖后糖水中糖的 质量分数n km k++，所以糖水更甜了． ····················································································· 6分 （3）证法一：在Rt ABC △和Rt DEC △中， tan tan b b cABC DEC a a c+∠=∠=+，． ··························· 8分 过A 点作AF CE ∥，交ED 于F 点，则DAF DCE △∽△． DC DAEC FA∴=． ···························································· 9分 DC DA AC EB BC EC =+<+=，DA AF ∴<．··············· ············································ 10分 而DA EB =，AF EB ∴>．···························································· 11分 如图1，过A 点作AG ED ∥，则AG 必与EB 的延长线交于G 点，DEC AGC ABC ∴∠=∠>∠． ··································· 12分 tan tan DEC ABC ∴∠>∠． ······································ 13分 ABE图1ABE图2第24题图3ABFC GD HE MNb c b a c a+∴>+． 另证一：用图2与上面同理说明，对应给分． 另证二：同证法一，知AF AD BE >=，且AF BE ∥，故AB 与FE 的延长线的交点G 必 在BE 的下方（图3）．DEC EBG ABC ∴∠>∠=∠． ··········································· ···················································· 12分 tan tan DEC ABC ∴∠>∠． ··································································································· 13分 b c b a c a +∴>+．AG。