24.3 正多边形和圆
4 4 2 4 2
2
2 14 48 32 2 cm . 2
面积为4×4-(48-32 2)=(32 2-32)cm2.
综合应用 6.如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P， CF=DM. (1)求证：△BCF≌△CDM； (2)求∠BPM的度数.
E
D C
随堂演练
基础巩固
1.下列说法中正确的是( C ) A.各边都相等的多边形是正多边形 B.正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C.各边都相等的圆内接多边形是正多边形 D.各角都相等的圆内接多边形是正多边形
2.如果一个正多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形 的中心角等于( A ) A.36° B.18° C.72° D.54° 3.如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的 角，借助点O(使直角的顶点落在点O处)，把这个正六边形的 面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是( A ) A.4 B.5 C.6 D.7
24.3 正多边形和圆
R· 九年级上册
新课导入
情景：欣赏下面图片.
问题：什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正 多边形与圆有哪些关系？
(1)理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心角等概念. (2)会进行特殊的与正多边形有关的计算,会画某些正多边形.
重点：正多边形的有关概念与计算. 难点：正多边形的有关计算.
5.如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个 正八边形，求这个正八边形的边长和面积.
解：设正八边形的边长为xcm, 则(4 x )2 2 x2. 即x2+8x-16=0. 2 解得x1=4 2-4，x2=-4 2-4(舍去).
∴剪去的四个小三角形的面积为
∴正八边形的边长为(4 2-4)cm,
F
.
C
正多边形的边心距：中心到正多边形 的一边的距离.
边心距r B
A
正多边形中的有关概念：
中心 中心角
半径 边心距
B
O
D
E
既是外接圆的圆心，也 是内切圆的圆心.
C
F
想一想：
正n边形的一个内角的 ( n 2 ) 180 度数是____________; n 360 中心角是___________; n 正多边形的中心角与外角的大小关 中心角与内角互补 相等 系是________.
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
B C
· O D
E
∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形 ABCDE的外接圆.
定义：
把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得 的多边形是这个圆的内接正多边形.
知识点2
正多边形的有关概念及相关计算 E 半径R O 中心角 A D
正多边形的中心:一个正多边形的外 接圆的圆心. 正多边形 一条边所对的圆心角.
利用勾股定理,可得边心距
BC 4 2， 2 2
r 42 22 2 3.
亭子地基的面积
1 1 S lr 24 2 3 41.6( m2 ). 2 2
知识点3
有关正多边形的作图
怎样画一个正多边形呢？
问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角 形. A 120° O B ①用量角器度量，使 ∠AOB=∠BOC=∠COA=120°． ②用量角器或30°角的三角板度量， 使∠BAO=∠CAO=30°．
课堂小结
一、正多边形的性质： 1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等
二、正多边形的计算：
三、画正多边形的方法 1.用量角器等分圆 2.尺规作图等分圆
课后作业 1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
教学反思
本节课首先从复习正多边形的定义入手 ,通过创设问题情境, 将正多边形与圆紧密联系,让学生发现它们之间的密切关系,并 将结论由特殊推广到一般,符合学生的认识规律,通过学习正多 边形中的一些基本概念,引导学生将实际问题转化为数学问题, 体现了化归的思想.其次,在这一基础上,又教给学生用等分圆周 的方法作正多边形,这可以发展学生的作图能力.
C
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六 边形吗？
A
·O 90° B
D B
C
A O· 72°
F E
D A
E
C
O D · 60° C B
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？ F A
B O · 以半径长在圆周上截取六段 相等的弧，依次连结各等分点， 则作出正六边形. 先作出正六边形，则可作正 三角形，正十二边形，正二十 四边形………
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
正多边形的对称性
正多边形都是 轴对称 图形,一个正n边形共有 n 条 对称轴，每条对称轴都通过n边形的 中心 。
有没有对 称轴？
边数是偶数的正多边形还是 中心对称图形，它的 中心就是对称中心。
你知道正多边形与圆的关系吗？ 正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个 圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接 正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
例
有一个亭子,它的地基半径为4 m的正六边形,求
地基的周长和面积(精确到0.1 m2). 解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等
于 6 60 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的 边长等于它的半径.
360
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m).
在Rt△OPC中,OC=4, PC=
推进新课
知识点1
正多边形的定义及它与圆的关系
正三 角形 三条边相等， 三个角相等（60°）
正方形
四条边相等， 四个角相等（90°）
正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
正n 边形：如果一个正多边形有n 条边，
那么这个正多边形叫做正n 边形.
观察下列图形，从这些图形中找出相 应的正多边形.
(1)证明：∵ABCDE是正五边形， ∴BC=CD,∠BCD=∠CDM，又CF＝DM, ∴△BCF≌△CDM. (2)解：由(1)知 ∠FBC=∠MCD， ∴∠BPM=∠FBC+∠BCM =∠MCD+∠BCM =∠BCF= 3 ×180°=108°.
5
拓展延伸 7. 一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值称 为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形 的“周率”，下面四个平面图形(依次为正三角形、正方形、 正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4， 则下列关系中正确的是( B ) A.a4＞a2＞a1 B.a4＞a3＞a2 C.a1＞a2＞a3 D.a2＞a3＞a4
4.如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽， 扳手张开的开口b至少为多少？
AD
解：如图，∠ABC=120°. AB＝a, AC＝b. 过B作BD⊥AC于点D, 1 则AD=DC= 2 b. 在Rt△ABD中，∠BAC=30°, 1 ∴BD= 2 AB=3mm.
AB2 BD2 62 32 33 mm . ∴b=2AD=6 3mm. 即扳手张开的开口b至少要6 3 mm.
A B
C O· E
D
我们以圆内接正五边形为例证明.
如图,把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到 正五边形ABCDE. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A ∵AB=BC=CD=DE=EA
⌒ ⌒ ⌒ ∴BCE=CDA=3AB ∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
(人教版八年级数学上册)24.3正多边形和圆
2
A
O ·
D
2OE OB
2
2
2 2 边心距OE OB R 2 2 2 边长BC 2BE 2 R 2R 2
2 2
OB OE 2
2
2
B
E
C
S正方形ABCD AB ( 2R) 2R
2
六、课后检测：
4 3 1、边长为4的正三角形，则它的半径是_______ ，边 3 2 3 ，中心角是_______. 120º 心距是_______ 3
A
B
E
C
D
我们以圆内接正五边形为例证明. 如图,把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各等 分点得到五边形ABCDE. ∵AB=BC=CD=DE=EA ∴ AB=BC=CD=DE=EA,
B O A E
ABD=BCE=CDA=DEB=EAC ∴ ∠A=∠B =∠C= ∠D= ∠E 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
2、若一个正多边形每个内角的度数是中心角的3倍， 8 则正多边形的边数是___.
3、有一个边长为3cm的正六边形，如果要剪一张圆
形纸片完全覆盖住这个图形，那么这张纸片的最小半 3cm 径是____________.
4、下列说法：①各边相等的圆内接多边形是正多边
形；②各内角相等的圆内接多边形是正多边形；③正
等于 它的一 角的度数是______ n ，正多边形的中心角______ 个外角的.
二、合作探究：
4、如何利用等分圆弧的方法来作正n边形？
360 方法一、用量角器作一个等于 n 的圆心角。
方法二、正方形、正三角形、正六边形、正十二 边形等特殊正多边形的作法.
多边形的计算
中心角 360 n
24.3 正多边形和圆
24.3 正多边形和圆
[解析] 如图，连接 OA.∵五边形 ABCDE 是正五边形， ∴∠AOB＝3650°＝72°. ∵△AMN 是正三角形，∴∠AOM＝3630°＝120°， ∴∠BOM＝∠AOM－∠AOB＝48°.
24.3 正多边形和圆
知识点 3 与正多边形有关的作图
6．已知⊙O 和⊙O 上的一点 A，作⊙O 的内接正方形和内接正六 边形(点 A 为正方形和正六边形的顶点)．
24.3 正多边形和圆
解得 x＝13 3.
所以圆的半径为2
3
3 .
如图②，由题意得 OA＝2 3 3，
∠AOH＝30°，∴AH＝13 3. 在 Rt△AHO 中，由勾股定理，
得 OH＝ OA2－AH2＝ （2 3 3）2－（ 33）2＝1.故选 B.
24.3 正多边形和圆
9．[2017·达州]以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形 的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( A )
( B) A．4
B．5
C．6
D．7
[解析] 设这个正多边形为正n边形，由题意可知72n＝360，解得n＝5.故选 B.
24.3 正多边形和圆
3．[2017·沈阳] 如图 24－3－1，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，正
六边形的周长是 12，则⊙O 的半径是( B )
A. 3
B．2
C．2 2
D．2 3
24.3 正多边形和圆
(3)直接写出∠MON的度数与 正n边形的边数n之间的关系 式：_∠__M_O__N_＝_3_6n_0_°_．
图24－3－6
24.3 正多边形和圆
[解析] (1)方法一：如图①，连接 OB，OC. ∵正三角形 ABC 内接于⊙O， ∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°. 又∵BM＝CN，OB＝OC， ∴△OBM≌△OCN， ∴∠BOM＝∠CON， ∴∠MON＝∠BOC＝120°.
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第24章24.3 正多边形和圆(第1课时)
24.3 正多边形和圆第1课时一、教学目标【知识与技能】了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.【过程与方法】结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系.【情感态度与价值观】学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于生活.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.【教学难点】探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、边心距，边长之间的关系.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课出示课件2,3：观察上边的美丽图案，思考下面的问题：（1）这些都是生活中经常见到的利用正多边形得到的物体，你能找出正多边形吗？（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样做一个正多边形呢？学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.（板书课题）（二）探索新知探究一正多边形的对称性教师问：什么叫做正多边形？（出示课件5）学生答：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.教师问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？学生答：矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等；菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等；教师强调：正多边形：①各边相等；②各角相等，两个条件，缺一不可.教师问:正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？（出示课件6,7）学生动手操作，交流，感受正多边形的对称性.教师归纳：正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形.探究二正多边形的有关概念教师问:以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出什么结论？（出示课件8，9）师生结合图形共同探究：EF是边AB、CD的垂直平分线，∴OA=OB,OD=OC.GH是边AD、BC的垂直平分线，∴OA=OD,OB=OC.∴OA=OB=OC=OD.∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.AC是∠DAB及∠DCB的角平分线，BD是∠ABC及∠ADC的角平分线，∴OE=OH=OF=OG.∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.出示课件10：教师问：所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？学生答：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.教师问：一个正多边形的各个顶点在同一个圆上?学生答：一个正多边形的各个顶点在同一个圆上，则这个正多边形就是这个圆的一个内接正多边形，圆叫做这个正多边形的外接圆.教师问：所有的多边形是不是都有一个外接圆和内切圆？学生答：多边形不一定有外接圆和内切圆，只有是正多边形时才有，任意三角形都有外接圆和内切圆.教师出示概念：（出示课件11）1.正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.2.外接圆的半径叫做正多边形的半径.3.内切圆的半径叫做正多边形的边心距.4.正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于360.n练一练：（出示课件12）完成下面的表格：学生计算交流并填表.探究三 正多边形的有关计算出示课件13：如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF ：①它的中心角等于 度； ②OC BC(填＞、＜或＝）； ③△OBC 是 三角形；④圆内接正六边形的面积是△OBC 面积的 倍. ⑤圆内接正n 边形面积公式:_______________________. 学生计算交流后，教师抽学生口答.①60；②=；③等边；④6；⑤1=2S ⨯⨯正多边形周长边心距出示课件14:例 有一个亭子,它的地基是半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m 2).教师分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.师生共同解答:（出示课件15）解：过点O 作OM ⊥BC 于M.在Rt △OMB 中,OB ＝4,MB ＝4222BC ==，利用勾股定理,可得边心距r ==亭子地基的面积：2112441.6(m ).22S l r =⋅=⨯⨯≈ 巩固练习：（出示课件16）如图所示，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，则∠ADE 的度数是（ ）A ．60°B ．45°C ．36°D ．30° 学生独立思考后自主解答：C.教师归纳：圆内接正多边形的辅助线（出示课件17）1.连半径，得中心角；2.作边心距，构造直角三角形. 巩固练习：（出示课件18）已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？学生独立思考后解答，一生板演.解：∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长为x. ∴ 另一边长为8-x.则该直角三角形面积：S=（8-x ）x ÷2,即214.2s x x =-+ 当x=2b a -=4,另一边为4时，S 有最大值244ac b a -＝8.∴当两直角边都是4时，直角面积最大，最大值为8. （三）课堂练习（出示课件19-24）1.图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______度.2.填表：3.若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是_____.4.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为_____度.（不取近似值）5.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．7.如图，正六边形ABCDEF的边长为，点P为六边形内任一点．则点P 到各边距离之和是多少？8.如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.(1)求图①中∠MON=_______；图②中∠MON=_______；图③中∠MON=_______；(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.参考答案：1.360°解析：由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.2.3.34.412875.6.解：∵正方形的面积等于4， ∴正方形的边长AB=2. 则圆的直径AC=2， ∴⊙O 的半径=.∴⊙O 的面积为22.ππ=7.解：过P 作AB 的垂线，分别交AB 、DE 于H 、K ，连接BD ，作CG ⊥BD 于G.22∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴AB ∥DE ，AF ∥CD ，BC ∥EF ，∴P 到AF 与CD 的距离之和，及P 到EF 、BC 的距离之和均为HK 的长. ∵BC=CD ，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°，BD ∥HK ，且BD=HK.∴CG=12BC=.∵CG ⊥BD ，∴BD=2BG=2×=2×3=6.∴点P 到各边距离之和=3BD=3×6=18． 8.解：⑴①120°；②90°；③72°；⑵360MON n ︒∠=.（四）课堂小结通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？（五）课前预习22BG BC-预习下节课（24.3第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，体现了化归的思想.。
部编数学九年级上册24.3正多边形和圆(7大题型)2023考点题型精讲(解析版)含答案
24.3 正多边形和圆正多边形的概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．题型1：正多边形的相关概念1.下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形B．存在一个正多边形，它的外角和为720°C．任何正多边形都有一个外接圆D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形【答案】C【解析】【解答】解：正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不正确；任何多边形的外角和都为360°，故选项B不正确；【变式1-1】已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）A．45° B．60° C．75° D．90°【答案】A.【解析】如图，连接OB、OC，则∠BOC=90°，根据圆周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°．故选A．【点评】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．【变式1-2】如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（ ）A．30° B．45° C．55° D．60°【答案】连接OA，OB．根据正方形的性质，得∠AOB=90°．再根据圆周角定理，得∠APB=45°．故选B．正多边形的有关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是.注意：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形题型2：正多边形与圆有关的计算-角度2.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（ ）A．45°B．38°C．36°D．30°【答案】C【解析】【解答】解：连接OC、OB，如下图：根据正多边形的性质可得：∠BOC=360°5=72°根据圆周角定理可得：∠BAC=12∠BOC=36°故答案为：C【分析】连接OC、OB，根据正多边形的性质可得∠BOC=360°5=72°，再根据圆周角定理求解即可。
24.3 正多边形和圆 ( 第1课时 )
5．如图，正六边形ABCDEF的半径为2，以它 的中心O为坐标原点，顶点B、E在x轴上，求 正六边形ABCDEF的各顶点的坐标． A（-1， 3 ） y
B（-2，0 ） C（-1， 3） D（1， 3） E（2，0 ） F（ 1， 3 ）
B O· A E
C
D
又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上, ∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,
⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
引入新知
①我们把一个正多边形的外接圆的圆心 叫做这个正多边形的中心（即点O）
②外接圆的半径叫做正多边形的半径（即OA）
③正多边形每一边所对的圆心角叫 A 做正多边形的中心角（即∠AOB ）
C A B O D F E
x
6．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH， 若△ADE的面积为10，则正八边形 ABCDEFGH的面积为( A ) A. 40 B .50 C. 60
A B
D. 80
H
G
C
D E
F
7．边长为6的正三角形的半径是________. 2 3
8．如图，⊙O的周长为 6π cm,求以它的半 径为边长的正六边形ABCDEF的面积．
巩固练习
1．正八边形的每个内角是______度. 135° 2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则 ∠CFD的度数是（ C ） A. 60° B. 45° C. 30° D. 22.5°
3．如果一个正多边形绕它的中心旋转90°就与 原来的图形重合，那么这个正多边形是（ B ） A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
O
半径R 60 边心距r
九年级数学： 24.3 正多边形和圆教案
24.3正多边形和圆教案一、【教材分析】1.通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；2.通过正多边形有关概念的教学培养学生的阅读理解能力．二、【教学流程】边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．自主探究问题一、如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、D、E、F都在这个圆上．问题二、我们以圆内接正六边形为例证明．如图所示的圆，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．问题三总结和归纳问题1.一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．2. 外接圆的半径叫做正多边形的半径．3. 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．4. 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．教师提出问题学生相互讨论思考1.如何画这个图形的外接圆？2.圆与正多边形顶点以及位置关系是怎么样的？3.如何利用圆画正多形：作相等的弧外接圆与内接圆的区别和联系？在教师和和学生的探讨中解决问题：在动手操作与实践中认识问题对问题的一种升华认识对问题的梳理认识尝试应用1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．2.利用正多边形的概念和性质来画正多边形，利用手中的工具画一个边长为3cm的正五边形（1）画法（2）步骤3. 巩固训练教材P106 练习1、2、3 P108 探究题、练习．教师提出问题学生独立思考解答并板书师生探讨分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的正五边形的半径可选做，学生独立完成一种成果的展示探讨正多边形的画法补偿提高1．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．（1）求△ABC的边AB上的高h．（2）设DN=x，且h DN NFh AB-=，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．让学生课堂讨论分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，应用圆的对称性就能圆满解决此题对不同能力学生的升华认识_h_F_D_E_C_B_A_N_GFDECBAOM解：（1）由AB ·CG =AC ·BC 得h=8610AC BC AB ⨯=g =4.8（2）当x =2.4时，S DEFN 最大（3）当S DEFN 最大时，x =2.4，此时，F 为BC 中点，在Rt △FEB 中，EF =2.4，BF =3． ∴BE =22223 2.4DE EF -=-=1.8 ∵BM =1.85，∴BM >EB ，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案． ∵当x =2.4时，DE =5∴AD =3.2，由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:小结:三、【板书设计】24.3 正多边形和圆1.一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．2. 外接圆的半径叫做正多边形的半径．3. 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．4. 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．四、【教后反思】《正多边形与圆》这一节的教学目标是：让学生能将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题来解决；会用量角器或尺规等分圆、画出正多边形.通过学习使学生能认识到事物之间是普遍联系的，事物之间是可以相互转化的，并培养和训练学生的综合运用知识能力和解决实际问题的能力，渗透数形结合的思想和方法.。
24.3正多边形和圆(教案)-2023-2024学年人教版数学九年级上册
1.理论介绍：首先，我们要了解正多边形和圆的基本概念。正多边形是各边相等、各角相等的多边形，圆是平面上所有与某一点距离相等的点的集合。它们在几何学中具有重要地位，广泛应用于日常生活和各类工程设计。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以正六边形为例，分析其与内切圆、外接圆的关系，以及如何计算其边长、面积等。
举例解释：
-正多边形的性质：通过具体的正三角形、正四边形等图形，让学生理解正多边形各部分之间的关系，如正四边形的对角线互相垂直且平分，四条边相等。
-正多边形与圆的关系：以正边长、中心角之间的关系，以及内切圆半径与边心距的关系。
-实际应用：给出一个正六边形，让学生计算其周长、面积以及内切圆和外接圆的半径，培养学生运用知识解决实际问题的能力。
举例解释：
-对称性：以正三角形为例，解释正多边形如何通过旋转和轴对称来保持不变，使学生理解对称性的概念。
-计算半径：对于正五边形，教师可以引导学生利用中心角和边长计算外接圆半径，通过勾股定理和三角函数计算内切圆半径。
-实际应用：在解决正六边形的问题时，教师可以指导学生先确定正多边形与圆的关系，然后选择合适的公式进行计算，培养学生解题的思路和方法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《正多边形和圆》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过正多边形和圆的组合形状？”（如硬币、花朵等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索正多边形和圆的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正多边形的性质、正多边形与圆的关系这两个重点。对于难点部分，如计算内切圆、外接圆的半径，我会通过举例和步骤讲解来帮助大家理解。
24.3正多边形和圆
24.3正多边形和圆一．【知识要点】1.把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的，外接圆的半径叫做正多边形的，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的.【经典例题】1.分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、周长和面积(直接写出结果).2.下列说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的多边形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是( )A.矩形B.菱形C.正方形D.不能确定4.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为______________.5.如图，正△ABC外接圆的半径为R，求正△ABC的边长、边心距、周长和面积.6.如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC ，CD 分别相交于点G ，H ，则的值是（）A.B. C.D. 27.如图，⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆，点P 在⊙O 上（P 不与A ，B 重合），则∠APB 的度数为（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°8．(2023绵阳期末第7题)如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE 的边长是4，则它的内切圆圆心M 的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．（2，4）EFGH26239．(2021绵阳期末第14题)如图，要拧开一个边长a＝2cm的正六角形螺帽，则扳手张开的开口b至少要cm．10.如图，正五边形ABCDE中(1)求证：EB=EC;(2)若BE=2，CF⊥BE交AB于F，求AE+AF.11.如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，点P为CD的中点，则PAPB的值为三．【题库】【A】1.下列多边形中，是正多边形的是( ).A.菱形B.矩形C.等腰梯形D.正六边形2.下列多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ).A.正三角形B.正方形C.正五边形D.平行四边形3.下列正多边形中，对称轴条数是6条的是( ).A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正五边形4.正五边形的中心角是______________度.5.一个正多边形的中心角为90°,则它的边数为____________.6.圆内接正五边形ABCDE中,对角线AC和BD相交于点P,则∠APB的度数是()A.36°B.60°C.72°D.108°7.小明画出一个圆内接正三角形,如图所示,若在小明画的图形上再画出一个正六边形,试填写完整下面的步骤:(1)分别用圆规把AB⏜,BC ⏜,AC ⏜两等分,得出等分点____________. (2)顺次连接AD,BD,_____,EC,CF,______,六边形ADBECF 为所画的正六边形.8.如图,A,P,B,C 是☉O 上的四点,∠APC=∠CPB=60°.(1)求证:△ABC 是等边三角形;(2)已知△ABC 的边长为4 cm,求☉O 的半径.9．边长为a 的正六边形的面积等于（ ）A ．243a B.2a C.2233a D.233a10.如图，正八边形ABCDEFGH 中，∠EAG 大小为（ ） A ．30° B ．40° C ．45° D ．50°11.已知圆内接正六边形的半径为2，则正六边形的边长为( ).12.已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OH 的长为( ).A.2B. D.13.已知⊙O 的内接正方形的边长为4，则半径为( ).A.4B.2C.14.半径为1的圆内接正三角形的边心距为___________.15.边长为1的正六边形的半径为,中心角等于度,面积为.16.半径为4的正六边形的边心距为,中心角等于,面积为.17.如图,正八边形ABCDEFGH的半径为2,它的面积为.18.半径为3的圆内接正方形的边心距等于.19.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形.A.3个B.4个C.5个D.6个20.(上海中考)如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是( )A.4B.5C.6D.721.若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( )A. C.6,3 D.22.如图，木工师傅从一块边长为60cm的正三角形木板上锯出一块正六边形木板，那么这块正六边形木板的边长为.23.如图，圆内接正△ABC的半径为R，试分别计算△ABC的边长，边心距及面积.【B】1.如图,在☉O中,OA=AB,OC⊥AB,则下列结论错误的是()A.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B.AC⏜=BC⏜C.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长D.∠BAC=30°2.已知☉O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为()A.3√3B.3√6C.32√3 D.32√63.△OAB是以正多边形相邻的两个定点A,B与它的中心O为顶点的三角形,若△OAB的一个内角为70°,则该正多边形的边数为_____________.4.如图,有一圆内接正八边形ABCDEFGH,若△ADE的面积为10,则正八边形ABCDEFGH的面积为________________.5.如图,正六边形ABCDEF中,点M在AB边上,∠FMH=120°,MH与六边形外角的平分线BQ交于点H.(1)当点M不与点A,B重合时,求证:∠AFM=∠BMH;(2)当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不与点B重合)时,猜想FM与MH的数量关系,并对猜想的结果加以证明.6.若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（）A．2B．3C．3D．27．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．72°8．(2022绵阳期末第11题)如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则△GEF的面积为（）A．2B．3C．D．9.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长比为.10.如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H,则EF=（）GH2A.211.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，对角线AC、BD相交于点P，下列结论：①∠BAC=36°;②PB=PC；③四边形APDE是菱形；④AP=2BP.其中正确的结论是( ).A.①②③④B.①②③C.②③④D.①②④12.如图，正三角形的边长为12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为cm.13.如图,正六边形ABCDEF中，P是边ED的中点，连接AP,求APAB的值.14.如图，⊙O的半径为2，求圆内接正十二边形的边长.【C】20cm，则正八边形的面积为1.如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为2cm。
人教版九年级数学上册24.3正多边形和圆(含答案)
24.3 正多边形和圆知识点1 .相等,也相等的多边形叫做正多边形 .2 .把一个圆分成几等份,连接各点所得到的多边形是 ,它的中央角等于3 .一个正多边形的外接圆的 叫做这个正多边形的中央,外接圆的叫做正多边形的半径,正多边形每一边所对的 叫做正多边形的中央角,中央到正 多边形的一边的 叫做正多边形的边心距. 4 .正n 边形的半径为 R,边心距为r,边长为a, (1)中央角的度数为：. (2)每个内角的度数为：. (3)每个外角的度数为： . (4)周长为： ,面积为： .5 .正n 边形都是轴对称图形,当边数为偶数时,它的对称轴有 条,并且还是中央对 称图形；当边数为奇数时,它只是.(填“轴对称图形〞或“中央对称图形〞) 一、选择题1 .以下说法正确的选项是 A.各边相等的多边形是正多边形 B.各角相等的多边形是正多边形 C.各边相等的圆内接多边形是正多边形 D.各角相等的圆内接多边形是正多边形 6,那么其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为()2. (2021以津)正六边形的边心距与边长之比为3.(2021山东滨州 )假设正方形的边长为A. 6, 3亚B. 3行,3C. 6, 3D. 6• 3匹4 .如下图,正六边形ABCDEF内接于.O, 那么/ADB的度数是( ).A. 60°B. 45C. 30D. 22. 55 .半径相等的圆的内接正三角形,正方形,正六边形的边长的比为〔〕A.1： .2 : 3B. 3: 2:1C.3:2:1D.1:2:36 .圆内接正五边形ABCDE中,对角线AC和BD相交于点P,那么/APB的度数是〔〕.A. 36°B, 60° C. 72° D, 108°7 . 〔2021?自贡〕如图,点O是正六边形的对称中央,如果用一副三角板的角,借助点0〔使该角的顶点落在点O处〕,把这个正六边形的面积n等分,那么n的所有可能取值的个数是〔〕A.4B.5C.6D. 78 .如图,△ PQ幅..的内接正三角形,四边形ABC皿OO的内接正方形,BC// QR那么/A0Q的度数是〔〕A.60 °B.65 °C.72 °D.75、填空题9 .一个正n边形的边长为a,面积为S,那么它的边心距为.10 .正多边形的一个中央角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于度.11 .假设正六边形的面积是24j3cm2,那么这个正六边形的边长是.12 .正六边形的边心距为B那么它的周长是.13 .点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点,且AM=BN,点O是正八边形的中央,那么/ MON=.14 .边长为a的正三角形的边心距、半径〔外接圆的半径〕和高之比为15 .要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片,那么选用的圆形铁片的直径最小要_________ cm.16 .假设正多边形的边心距与边长的比为1:2,那么这个正多边形的边数是17 .一个正三角形和一个正六边形的周长相等,那么它们的面积比为18 .〔2021超州〕如图,在正八边形ABCDEFGH中,四边形BCFG的面积为20cm2,那么正八边形的面积为_______ cm2.三、解做题19 .比拟正五边形与正六边形,可以发现它们的相同点与不同点正五边形正六边形例如它们的一个相同点：正五边形的各边相等,正六边形的各边也相等^它们的一个不同点：正五边形不是中央对称图形,正六边形是中央对称图形.请你再写出它们的两个相同点和不同点.相同点：〔1〕_________________________________________________________________ （2）. 不同点：〔1〕_________________________________________________________________________(2) ___________________________________________________________________21 .如图,O O 的半径为 短,..的内接一个正多边形,边心距为 1,求它的中央角、边长、面积.22 ..O 和.O 上的一点 A.(1)作.O 的内接正方形 ABCDF 口内接正六边形 AEFCGH(2)在(1)题的作图中,如果点 E 在弧AD 上,求证：DE 是..内接正十二边形的一边.20.,如图,正六边形 距「6、面积S 6.ABCDEF 的边长为6cm,求这个正六边形的外接圆半径R 、边心第21题第22题23 .如图1、图2、图3、…、图n, M N分别是.0的内接正三角形ABC正方形ABCD正五边形ABCDE…、正n边形ABCDE•的边AR BC上的点,且BM=CN连结OM ON.圉1 图2 囹斗3图式(1)求图1中/ MON勺度数；(2)图2中/ MON勺度数是 ,图3中/ MON勺度数是(3)试探究/ MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).知识点 1 .各边各角2 .正多边形正多边形每一边所对的圆心角3 .圆心半径圆心角 距离 5.n 轴对称图形 一、选择题 1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.C 7.B解：根据圆内接正多边形的性质可知, 只要把此正六边形再化为正多边形即可,以30的倍数就可以解决问题. 360+30=12; 360+60=6; 360+90=4; 360+120=3; 360+180=2.因此n 的所有可能的值共五种情况, 应选B. 8.D 二、填空题9. 2S 10.144 11.4cm 12.12 13.45° 14.1:2:3 15.4 v2 16.na18.40 三、解做题19.相同点：〔1〕每个内角都相等〔或每个外角都相等或对角线都相等〕；〔2〕都是轴对称图形〔或都有外接圆和内切圆〕^不同点：〔1〕正五边形的每个内角是 108° ,正六边形的每个内角是120°〔2〕正五边形的对称轴是 5条,正六边形的对称轴是 6条.参考答案4.360(2)(『2)|18°n360 nar⑷皿⑸方即让周角除四 17.2:3解：连接OA,OB.过点O作OG AB于G.** AOB =60 , OA OB* AOB是等边三角形OA OB 6 即R=6O OA OB ,OG AB1 1AG -AB -63 2 2在Rt AOG 中,r6 OG JOA 2~AG 2相~3T3 点S6 1- 6 6 3 /3 54 . 3R 6 cm,「6 3 .. 3cm , S6 54 .3 cm 2.21.解：连结OB•・在•△AOC^, AC=J OA2 OC2^/T7=1AC=OC / AOCh OAC=45• .OA=OB OCL AB• .AB=2AC=2 /AOB=2 OAC=2< 45° =90°,这个内接正多边形是正方形「•面积为22=4••・中央角为90.,边长为2,面积为4.22. (1)作法：①作直径AC;②作直径BDL AC;③依次连结A、B、C D四点,四边形ABCD^为.0的内接正方形；于E、H、F、G;④分别以A、C为圆心,以OA长为半径作弧,交.0⑤顺次连结A、E、F、C G H各点.六边形AEFCG即为.0的内接正六边形(2)证实：连结OE DE.•. /AOD= 360- = 90° , /AOE= 360-= 60° ,・ ./DOB Z AOD- /AO2 90° -60 ° =30・•・DE为.0的内接正十二边形的一边 .23. (1)方法一：连结OB OC.・•・正4ABC内接于.O,・・./OBM =OCN= 30° , ZBOC=120 .X / BM=CN OB=OC・.△OB阵AOCN( SAS . ・./ BOM= /CON.・./ MON=BOC=120 .方法二：连结OA OB. ・•・正^ABC内接于.O, .•.AB=AC /OAM =OBN=30 , ZAOB=120 .又「BM= CN.•.AM=BN.X/OA=OB,・.△AO阵△BON SAS . ・./AOM = BON.・./MON =AOB=120 .(2)90 ° 72 °(3) / MON=360-.。
24.3 正多边形和圆 教材详解及典例分析
24.3 正多边形和圆【重点难点点拨】重点：（1）理解正多边形和圆的关系；（2）能利用所学的知识进行正多边形的有关计算。
难点与关键：利用所学的有关知识进行正多边形的有关计算．【规律方法指津】1、正多边形和圆的关系非常密切，把圆分成（是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆；2、正多边都是轴对称图形,若n是奇数,正n边形是轴对称图形,n是偶数,正n边形既是轴对称图形又是中心图形.3、正多边形的性质:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.4、正多边形的有关计算,一般是围绕正边形的半径R,边长,边心距,周长及面积来进行,但关健是之间的计算,因为正边形的边心距把正边形的一边与该边所对应的两条半径所围成的等腰三角形分成两个全等的直角三角形,所以在Rt△AOH中,斜边是R,直角边分别是和,锐角,利用直角三角形的有关知识(勾股定理,锐角三角函数等来解直角三角形即可.图24.3-1【知识详细解读】1、正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆的圆心叫正多边形的中心.外接圆半径叫正多边形的半径.内切圆的半径叫正多边形的边心距.正多边形的每一边所对的圆心角叫中心角,中心角的度数是.注意：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形（这些直角三角形的斜边是正n边形的半径R，一条直角边是正n边形的边心距，另一条直角边是正n边形边长的一半，一个锐角是正n边形中心角的一半，即.2、正多边形的画法要作半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各等分点即可。
【典型例题感悟】例1、正八边形有_____条对称轴，它不仅是______对称图形，还是_____对称图形．分析：正n边形有n条对称轴．正2n边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．解：8，轴，中心．金钥匙：对于正n边形，它们都是轴对称图形，当n为偶数时，它还是中心对称图形.例2、边长为2 a的正六边形的面积为______．分析：把正六边形的中心与六个顶点连结起来，所得六个等边三角形全等．每个等边三角形的面积为·（2 a）2＝a2，所以正六边形的面积为6a2．解：6a2例3、一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边形的面积之比为_______．分析：设两正多边形的外接圆半径为R，则正方形面积为4×·R2＝2 R2，正六边形的面积为6×R2＝R2，所以它们的比为2 R2：R2＝4︰9．解：4︰9．金钥匙：本题考查正方形、正六边形的面积与外接圆的半径之间的关系．注意：正多边形的面积通常化为n个三角形的面积和．。