概率论与数理统计7.4
理学概率论与数理统计教程茆诗松第7章
7.2.2 两个正态总体均值差的检验
检验 法
u检 验
t检 验
条 原假 件 设H 0
1, 2
已 知
1, 2
未 知
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
备择 检验统 假设 H 1 计量
拒绝域
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
x y { u u 1 }
设承受方有理由猜测甲地发送的讯号值为8， 问能否承受这猜测？
解：这是一个假设检验的问题，总体X ~N(2),
检验假设: H 0: 8v .s. H 1: 8
这个双侧检验问题的拒绝域为
|u|u1/2
取置信水平 ，那么查表知 u。
用观测值可计算得
x 8 0 1 5 ,u 5 8 .1 5 8 0 .2 1 .6 7 7 1
W |x0| snt1/2(n1)
它可以改写为
W xs n t1 /2 (n 1 )0 xs n t1 /2 (n 1 )
并且有 P0 (W) 1, 这里0并无限制.
假设让 0 在(- )内取值，就可得到
置信区间： x
s n
t1/2(n1)
的1-
反之假设有一个如上的1- 置信区间，也可获得
u 值未落入拒绝域内，故不能拒绝原假设， 即承受原假设，可认为猜测成立。
二、 未知时的t 检验
由于 未知，一个自然的想法是将〔7.2.4〕中
未知的 替换成样本标准差s，这就形成t 检验
统计量
t n x 0 s
(7.2.9)
三种假设的检验拒绝域分别为
tt1n1, t tn1, |t|t1/2n1 .
➢ 当备择假设 H 1在原假设 H 0 一侧时的检验称 为单侧检验；
概率论与数理统计
2.和（并）：
3.互斥（互不相容）：对立：
事件的运算：
伯努利大数定律：当试验次数n足够大时，事件发生的频率就约等于事件发生的概率。
全概率公式、贝叶斯公式
定义：
引入随机变量后，可用随机变量的
等式或不等式来表达随机事件；
随机变量的函数一般也是随机变量
0-1分布是n=1时的二项分布
定义：性质：
定义：
F(x)是X的分布函数，X是连续型随机变量，f(x)是它的概率密度函数，简称概率密度
性质：
均匀分布：
标准正态分布N(0,1)
标准正态分布的分位数
举例：
期望反映了随机变量取值的平均，又称均值。
概率论与数理统计习题详解（周概容）——习题7解
—习题解答●7.1— 7.1 假设总体X服从参数为??的泊松分布，nXXX21??是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值，2S是样本方差，对于任意实数??，证明12SXE是??的无偏估计量．熟知，对于任何总体，样本均值X是总体数学期望的无偏估计量，样本方差2S是总体方差的无偏估计量；对于泊松分布的总体，数学期望和方差都等于分布参数??，因此．11122SXSXEEE 7.2 设总体X服从参数为??的泊松分布；21nXXX??是来自X的简单随机样本，求2??的无偏估计量．熟知XXDE．设X为样本均值，则．，2222221nnXnXnXXXEEDE 由此可见2??的无偏估计量为．XnX12?? 7.3 设21mXXX??是来自正态总体2NX的简单随机样本，统计量1121niiiXXkD 是总体方差2??的无偏估计量，求常数k．由条件知：222XE．由于统计量D是总体方差2??的无偏估计量，则．22112221112211121122222 nkkXXXXkXXkDniniiiiiniiiEEE 由此可见121nk．7.4 总体2??aNX2??bNY；基于分别来自总体X和Y的两个相互独立的简单随机样本21mXXX??和21nYYY??，得样本均值X和Y及样本方差2xS和2yS；证明总体X和Y的联合样本方差1121222yxxySnSmnmS 是总体X和Y的共同方差2??的无偏估计量，并且计算其方差．熟知，对于任意总体，样本方差2xS和2yS都是2??的无偏估计量，可见22221121yxxySnSmnmSE，—习题解答●7.2—即联合样本方差2xyS是2??的无偏估计量．由正态总体的抽样分布，知2222 xySnm?? 服从自由度为2 nm＝??的2??分布；而自由度为??的2??变量的方差等于2??：事实上，设??UUU21??是独立标准正态分布随机变量，则服从自由度为??的2??分布的随机变量X可以表示为：22221??UUUX．由于10NUi，可见21102iUUUiiiEDE；．33de23e21de2122223244222 iuuuiUuuuuuUEE ??????．由此可见21UXEE．因此．22222222422222222 nmnmnmnmSnmnmSxyxy????????????DDD2 7.5 设总体X 服从参数为pm的二项分布，其中m已知；21nXXX??是来自X的简单随机样本，1 求未知参数p的最大似然估计量；2 证明所得估计量是无偏的．1 总体X的概率函数可以表示为．，若不然；，若；0 10 1Cmxpppxpxmxxm?? 参数p的似然函数为XnmnXnniXmniipppXppLi1C11；，其中X为样本均值．对数似然方程为0111ln1lnlnClnln1pXnmnpXnppLpXnm npXnpLniXmi；其解mXp即未知参数p的最大似然估计量．2 由于总体X的数学期望为mp，而对于任何总体X，样本均值X是其数学期望的无偏估计量，可见X 是mp的无偏估计量，从而mXp是未知参数p的无偏估计量．—习题解答●7.3—7.6 设总体X服从区间0??上的均匀分布，21nXXX??是来自X的简单随机样本，1 求未知参数??的最大似然估计量；2 假如所得估计量是有偏估计量，将其修正为无偏估计量． 1 总体X的概率密度函数为．，若不然；，若；001xxf 未知参数??的似然函数为，若不然．；，若；0 0111nnniiXXXfL?? 易见，似然函数??L无驻点．需要直接求??L的最大值点，记nnXXXXmax21；由于nX，且??L随??减小而增大，所以当??nX 时??L达到最大值，故??nX就是未知参数??的最大似然估计量．2 现在验证估计量??nX的无偏性．为此，首先求??nX的概率分布．总体X的分布函数为．，若，，若，若 1 0 0 0 xxxxxF 由于nXXX21??独立同分布，可见??nX的分布函数为，11nnnnnxFxXxXxXxXxXxFPPPP???? 其概率密度为．，若不然，，若0 0dd11xnxxFxFnxFxxfnnnnn 因此，有1dd01??nnxnxxxxxfXnnnnE．这样，??nX是??的有偏估计量．容易验证，??的无偏估计量为1nXnn??．7.7 已知随机变量X的概率密度为若不然．若0 101xxxf 试根据来自X的简单随机样本21nXXX??，求未知参数??的最大似然估计量．—习题解答●7.4—未知参数??的似然函数和对数似然函数为．；；10ln1lnln21n1112111niinnniiXXXXnLXXXXfL??????????由此，得似然方程n1 0lnlniiXnL；其惟一解是niinXnXXn11lnln??????．于是，就是未知参数??的最大似然估计量．7.8 设ugt??是严格单调函数且有惟一反函数．证明，若是未知参数??的最大似然估计量，则gtgT????是的最大似然估计量．设??L是未知参数??的似然函数．记th是??gt??的惟一反函数，则??LthL??．设D是函数??gt??的值域，由“是未知参数??的最大似然估计量”，可见maxmax??thLLLThLDt，即gT??是??gt??的最大似然估计量．7.9 设21nXXX??是来自总体X的简单随机样本，总体X的概率密度为：；，，，若若xxxfx0e 试求未知参数??的最大似然估计量1和矩估计量2． 1 参数??的似然函数为．nXniXniiniiiXfL??1ee11 由此可见，其似然方程无解，需要直接求其似然函数，，，若不然若0 exp211nniiXXXnXL?? 的最大值．当nXXX21??时0L，而当nXXX21??，即nXXXmin21??时??L随??的增大而增大，可见当nXXXmin21??时??L达到最大值．参数??的最大似然估计量为nXXXmin??211??．—习题解答●7.5— 2 求参数??的矩估计量．总体X 的数学期望为：．1edeeded xxxxxxxxxxxfXE 用样本均值X估计XE：1??2X，可得参数??的矩估计量为1??2??X＝??．7.10设每次射击的命中率为p．接连不断独立地进行射击直到命中目标为止，nkkk21??是n轮射击各轮实际射击的次数，求命中率p 的最大似然估计量和矩估计量．1 设X表示实际射击的次数，则X服从参数为p的几何分布，而nkkk21??是来自总体X的简单随机样本．总体X的概率函数为2111xpppxpx．命中率p的似然函数为．，1lnlnln1111111pnkpnpLpppppkppLniininknkniiniii将该式两侧对p求导数并令其等于0，得似然方程：．011dlnd1pnkpnppLnii 其惟一解niiknp1 ?? 就是命中率p的最大似然估计量． 2 设X是实际射击的次数，而nkkk21??是来自总体X的简单随机样本，则样本均值为pXknXnii111E，．于是，由pX??1 ??，得未知参数p的矩估计量niiknXp1 1??．7.11 设来自总体X的简单随机样本21nXXX??，总体X的概率分布为22112321????????X，其中0lt??lt1．试求—习题解答●7.6—1 未知参数??的最大似然估计量1；2 未知参数??的矩估计量2；3 当样本值为（112132）时的最大似然估计值1和矩估计值2． 1 求参数??的最大似然估计量．分别以2121n和表示21nXXX?? 中1，2和3出现的次数，则似然函数和似然方程为．，，01222dlnd1ln22ln22lnln1211221212121222222212122121 nLnLLnn 似然方程的惟一解就是参数??的最大似然估计量：n22??211．2 求参数??的矩估计量．总体X的数学期望为221314XE．在上式中用样本均值X估计数学期望XE，可得??的矩估计量：321??2X． 3 对于样本值（112132），由上面得到的一般公式，可得最大似然估计值；321223222??211n?????? 矩估计值326523321??2X??．7.12 设随机变量X的分布函数为．，若，，若＝1 0 111xxxxF 其中参数1．设nXXX21??为来自总体X的简单随机样本，求 1 未知参数??的矩估计量；2 未知参数??的最大似然估计量．由条件知随机变量X的概率密度为．，若，，若1 0 11xxxxf 1 X的数学期望为1d11xxxXE．用样本均值X估计XE得—习题解答●7.7— 1X，1XX?? 就是未知参数??的矩估计量．2 未知参数??的似然函数和对数似然函数为；，，，若不然；若ininnnniiXnLXXXXXXXfL1211211ln1lnln 01 似然方程为0lndlnd1niiXnL??????，其唯一解niiXn1ln???? 就是未知参数??的最大似然估计量．7.13 设随机变量X的分布函数为．，，，＝xxxxF 0 122 其中0．设nXXX21??为来自总体X的简单随机样本，求未知参数??的最大似然估计量．由条件知随机变量X的概率密度为．，若，，若xxxxf 0 232 未知参数??的似然函数为．若若，，，nnnnnniiXXXXXXXXXXfL ***********??????似然函数??L显然无驻点，需要直接求其最大值点．由??L值随??增大而增大，可见??L的最大值点为nXXXmin??21??．于是nXXXmin??21??就是未知参数??的最大似然估计量．7.14 为观察一种橡胶制品的耐磨性，从这种产品中各随意抽取了5件，测得如下数据：—习题解答●7.8— 185.82，175.10，217.30，213.86，198.40．假设产品的耐磨性2NX，求2和的无偏估计值．样本容量n5．经计算，得样本均值X198.10，样本方差23.3240063.1822S．于是??的无偏估计值；10.198X?? 23.3242??S是2??的无偏估计．7.15 对某种袋装食品的质量管理标准规定：每袋平均重500克，标准差10克．现在从一商店的一批这种袋装食品中随意抽取了14袋，测量每袋的重量，得如下数据：500.90，490.01，501.63，500.73，515.87，511.85，498.39，514.23，487.96，525.01，509.37，509.43，488.46，497.15．假设这种袋装食品每袋的重量X服从正态分布2N．试利用??和??的0.95置信区间，说明抽查结果是否表明这一批袋装食品每袋平均重??和标准差??符合标准．经计算样本均值，64.503??X样本标准差11.11??S正态总体的数学期望??的1置信区间的一般形式为：XX，其中??的表达式区分202已知和2??未知两种情形：未知，若，已知，若 1 00nStnun 其中??u是标准正态分布水平??双侧分位数（附表3），1??nt??是自由度为1n??的t分布水平??双侧分位数（附表4）。
《概率论与数理统计》第七章假设检验.
《概率论与数理统计》第七章假设检验.第七章假设检验学习⽬标知识⽬标：理解假设检验的基本概念⼩概率原理；掌握假设检验的⽅法和步骤。
能⼒⽬标：能够作正态总体均值、⽐例的假设检验和两个正态总体的均值、⽐例之差的假设检验。
参数估计和假设检验是统计推断的两种形式，它们都是利⽤样本对总体进⾏某种推断，然⽽推断的⾓度不同。
参数估计是通过样本统计量来推断总体未知参数的取值范围，以及作出结论的可靠程度，总体参数在估计前是未知的。
⽽在假设检验中，则是预先对总体参数的取值提出⼀个假设，然后利⽤样本数据检验这个假设是否成⽴，如果成⽴，我们就接受这个假设，如果不成⽴就拒绝原假设。
当然由于样本的随机性，这种推断只能具有⼀定的可靠性。
本章介绍假设检验的基本概念，以及假设检验的⼀般步骤，然后重点介绍常⽤的参数检验⽅法。
由于篇幅的限制，⾮参数假设检验在这⾥就不作介绍了。
第⼀节假设检验的⼀般问题关键词：参数假设；检验统计量；接受域与拒绝域；假设检验的两类错误⼀、假设检验的基本概念（⼀）原假设和备择假设为了对假设检验的基本概念有⼀个直观的认识，不妨先看下⾯的例⼦。
例7.1 某⼚⽣产⼀种⽇光灯管，其寿命X 服从正态分布)200 ,(2µN ，从过去的⽣产经验看，灯管的平均寿命为1550=µ⼩时，。
现在采⽤新⼯艺后，在所⽣产的新灯管中抽取25只，测其平均寿命为1650⼩时。
问采⽤新⼯艺后，灯管的寿命是否有显著提⾼？这是⼀个均值的检验问题。
灯管的寿命有没有显著变化呢？这有两种可能：⼀种是没有什么变化。
即新⼯艺对均值没有影响，采⽤新⼯艺后，X 仍然服从)200 ,1550(2N 。
另⼀种情况可能是，新⼯艺的确使均值发⽣了显著性变化。
这样，1650=X 和15500=µ之间的差异就只能认为是采⽤新⼯艺的关系。
究竟是哪种情况与实际情况相符合，这需要作检验。
假如给定显著性⽔平05.0=α。
在上⾯的例⼦中，我们可以把涉及到的两种情况⽤统计假设的形式表⽰出来。
《概率论与数理统计》(第三版)课后习题答案
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
概率论与数理统计 7.2 数理统计中的三大分布
7.2 数理统计中的三大抽样分布
在数理统计中，以标准正态变量为基石而构 造的三个著名统计量有着广泛的应用，这是因为 这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布 的密度函数有明显的数学表达式，它们被称为统 计中的“ 三大抽样分布 ” 。
1. 2 分布
数理统计
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
t1 (n) t (n)
o t (n)
x
t分布的上分位点t (n)可查表
求得，例t0.025(15) 2.1315.
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似 t (n) z
例3：X ~ t(15)
（1）求 0.01的上侧分位数； （2） P( X ) 0.05，求 ； （3）P( X ) 0.95 ，求 .
记为 t ~ t(n). t分布概率密度函数为：
f (t)
[(n 1)
2]
(1
t
2
)
n1 2
,
t
(n 2) n n
t 分布的图像
y N (0,1) 数理统计
t(n)
t分布的性质： 1. 设t ~ t(n),则E(t) 0, D(t) n (n 2) (n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
F分布的上分位点的性质：
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F分布的上分位点可查表求得.例,
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
例4. F ~ F (24,15)，求 1,2 使 P(F 2 ) 0.025 P(F 1) 0.025
中国矿业大学周圣武概率论与数理统计_图文
定义2 设 都是参数θ的无偏估计量，若有
则称
有效。
例：160页，例7、例8
定义3 设
为参数θ的估计量，
若对于任意θ∈Θ,当
则称
的一致估计量。
例：由大数定律知
一致性说明：对于大样本，由一次抽样得到的估 计量 的值可作θ的近似值
例5 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体 X 的一个样本,
⑴ 验证
试求θ的极大似然估计值。 解
极大似然估计的不变性
练习
1.设总体X在
上服从均匀分布，
X1 , X 2 ,L X n是来自X的样本，试求 q 的矩估计量
和最大似然估计.
2.设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本
其中 >0, 求 的极大似然估计.
课堂练习
P156：5，6
作业
P178：1，2，5，6
Fisher
最大似然法的基本思想：
问题：请推断兔子 是谁打中的？
例6 袋中放有白球和黑球共4个，今进行3次有放回 抽样，每次抽取1个，结果抽得2次白球1次黑球，试 估计袋中白球个数。 解 设袋中白球个数为m，
X为3次抽样中抽得的白球数，则
当袋中白球数m分别为1,2,3时， p对应的值分别为1/4,2/4,3/4， X对应的分布律见下表
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第七章 参数估计
§7.1 点估计 §7.2 估计量的评选标准 §7.3 区间估计 §7.4 单个正态总体参数的区间估计 §7.4 两个正态总体参数的区间估计
统计推断
矩估计 点估计 最大似然估计
参数估计
最小二乘估计
区间估计
参数假设检验
假设检验 非参数假设检验
《概率论与数理统计》教案
《概率论与数理统计》教案第一章：概率的基本概念1.1 随机现象与样本空间1.2 事件及其运算1.3 概率的定义与性质1.4 条件概率与独立性第二章：随机变量及其分布2.1 随机变量的概念2.2 离散型随机变量及其分布2.3 连续型随机变量及其分布2.4 随机变量的数字特征（期望、方差）第三章：多维随机变量及其分布3.1 多元随机变量的概念3.2 联合分布及其性质3.3 独立性及其检验3.4 随机向量的数字特征（协方差、相关系数）第四章：大数定律与中心极限定理4.1 大数定律4.2 中心极限定理4.3 样本均值的分布4.4 样本方差的分布第五章：假设检验与置信区间5.2 常用的检验方法5.3 置信区间的估计5.4 功效分析与错误类型第六章：抽样调查与样本分布6.1 抽样调查的基本概念6.2 随机抽样方法6.3 样本分布的性质6.4 抽样误差的估计第七章：回归分析与相关分析7.1 线性回归模型7.2 回归参数的估计7.3 回归模型的检验与诊断7.4 相关分析与判定系数第八章：时间序列分析8.1 时间序列的基本概念8.2 平稳时间序列的模型8.3 时间序列的预测8.4 季节性分析与指数平滑第九章：非参数统计与生存分析9.1 非参数统计的基本概念9.2 非参数检验方法9.4 生存函数与生存分析的估计第十章：贝叶斯统计与统计软件应用10.1 贝叶斯统计的基本原理10.2 贝叶斯参数估计与预测10.3 贝叶斯统计的应用10.4 统计软件的使用与实践重点和难点解析一、随机现象与样本空间补充说明：事件的关系与包含关系，概率的基本性质（互补性、传递性等），概率的计算方法。
二、随机变量及其分布补充说明：概率质量函数与概率密度函数的区别与联系，分布函数的性质，随机变量的期望与方差的计算。
三、多维随机变量及其分布补充说明：二维随机变量的联合分布函数，条件概率的计算，独立性的数学表述与检验方法。
四、大数定律与中心极限定理补充说明：大数定律的数学表述及其含义，中心极限定理的条件与结论，样本均值与标准差的性质。
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其它结果见表7.4.6
表7.4.6 诸npˆij的计算结果
<80
8090 9099 100
pˆ i.
营养良好 384.1677 346.8724 259.7631 313.3588 0.9081
营养不良 38.8779 35.1036 26.2881 31.7120 0.0919
表7.4.3 rc列联表
A\B 1
j
c和
1 n11
n1 j
n1c n1
i ni1
nij
nic ni
r nr1
nrj
nrc nr
和 n1
n j
nc n
列联表分析的基本问题是: 考察各属性之间有无
关联，即判别两属性是否独立。如在前例中，问
题是：一个人是否色盲与其性别是否有关？在 rc表中，若以 pi, p j 和pij 分别表示总体中的个体
参数 ，采用极大似然估计，
=
1 1 203 2383 ... 11 6 3.870
2608
将ˆ 代入可以估计出诸 pˆi 。
于是可计算出 2
列表如下。
i
ni
0
57
1
203
2
383
3
525
4
532
5
408
6
273
7
139
8
45
9
27
10
10
11
6
合计 2608
pˆ i
p. j 0.2946 0.2660 0.1992 0.2403
由表7.4.5和表7.4.6可以计算检验统计量的值
2 (367 384.1677)2 (342 346.8724)2
384.1677
346.8724
19.2785
(16 31.7120)2 31.7120
二、诸 pi 不完全已知
若诸 即
pi
,i 1, pi
pi
, k由r
(1,
(r<k)个未知参数
,r ), i 1, ,k.
1,...,确r 定，
首然pˆi先 后给 给pi (出 出1诸, 1,p,i,ˆr,i).r的1,F极is,大hke似的r证然极明估大了计似然ˆ1,估计,ˆr,
§7.4 分布拟合检验
7.4.1 总体分布只取有限个值的情况
设总体X 可以分成k 类，记为A1, , Ak，现对该总
体作了n 次观测，k 个类出现的频数分别为:
k
n1,…,nk, 且 ni n. i 1
检验如下假设: H0 : P( Ai ) pi , i 1, 2, , k.
k
其中诸 pi 0 且 pi 1.
在正态概率纸上作图步骤如下：
(1) 首先将数据排序： 7.2 8.2 8.6 8.8 9.4 9.6 9.8 10.1 10.2 11.1;
(2) 对每一个i，计算修正频率 (i-0.375)/(n+0.25), i=1,2,…,n,
(3) 将点 (x(i), (i 0.375)/(n 0.25)), i 1, 2, , n 逐一点在正态概率纸上,
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ni 57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 10 6
试利用该组数据检验该放射物质在单位时间内放 射出的粒子数是否服从泊松分布。
解：本例中，要检验总体是否服从泊松分布。
观测到 0, 1, …, 11 共 12 个不同取值，这 相当于把总体分成12类。这里有一个未知
它有四个水平，B1, B2, B3, B分4 别表示表中四种
情况。沿用前面的记号，首先建立假设 H0：营养状况与智商无关联，即A与B独立的。 统计表示如下：
H0 : pij pi. p. j , i 1, 2, j 1, 2,3, 4.
在原假设H0成立下，我们可以计算诸参数的极 大似然估计值:
仅属于 Ai ，仅属于B j 和同时属于 Ai 与 B j的概率,可
得一个二维离散分布表（表7.4.4），则“A、B两
属性独立”的假设可以表述为
H0 : pij pi p j ,
i 1, , r, j 1, , c
表7.4.4 二维离散分布表
A\B 1
j
c 行和
1 p11
p1 j
p1c p1
其表达式为
pij
pi p j
ni n
n j n
对给定的显著性水平 ，检验的拒绝域为:
W
{ 2
2 1
((
r
1)(c
1))}.
例7.4.3 为研究儿童智力发展与营养的关系，某 研究机构调查了1436名儿童，得到如表7.4.5的 数据，试在显著性水平0.05下判断智力发展与 营养有无关系。
3.75
2
4
6
4
2
2
由于 2 3未.75落入拒绝域，故接受原假设，
没有理由认为转盘不均匀。
在分布拟合检验中使用p 值也是方便的。 本例中，以T 记服从 2(5)的随机变量，则使用 统计软件可以算出
p P T 3.75 0.5859.
这个p 值就反映了数据与假设的分布拟合程度的 高低，p 值越大，拟合越好。
i 1
一、诸 pi 均已知
如果H0 成立，则对每一类Ai，其频率ni /n与概 率pi 应较接近。即观测频数ni 与理论频数npi 应 相差不大。据此，英国统计学家K.Pearson提出
如下检验统计量:
k
2
ni npi 2
i 1
npi
(7.4.2)
并证明在H0 成立时对充分大的n, (7.4.2) 给出的 检验统计量近似服从自由度为k-1的 分2 布。
额度 5万 10万 20万 30万 50万 100万
概率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1
现20人参加摇奖，摇得5万、10万、20万、30万、 50万和100万的人数分别为2、6、6、3、3、0， 由于没有一个人摇到100万，于是有人怀疑大转 盘是不均匀的，那么该怀疑是否成立呢？这就需 要对转盘的均匀性作检验。
10
18.307.
本例中 2=12.8967<18.307，故接受
原假设。使用统计软件可以计算出
此处检验的p 值是0.2295。
7.4.2 列联表的独立性检验
列联表是将观测数据按两个或更多属性 (定性变量) 分类时所列出的频数表。例 如，对随机抽取的1000人按性别（男或 女）及色觉(正常或色盲) 两个属性分类, 得到如下二维列联表，又称2×2表或四 格表。
约束条件：
r
c
pi 1,
p j 1
i 1
j 1
所以，此时 pij实际上由r+c-2个独立参数所确定。 据此，检验统计量为
r
2
c (nij npˆij )2
i1 j1
npˆ ij
在H2分0成布立。时，上式服从自由度为rc-(r+c-2)-1的
其中诸 pˆij是在H0成立下得到的pij 的极大似然估计，
一、 正态概率纸
正态概率纸可用来作正态性检验，方法如下： 利用样本数据在概率纸上描点，用目测方法看 这些点是否在一条直线附近，若是的话，可以 认为该数据来自正态总体，若明显不在一条直 线附近，则认为该数据来自非正态总体。
例7.4.4 随机选取10个零件，测得其直径与标 准尺寸的偏差如下：（单位：丝） 9.4 8.8 9.6 10.2 10.1 7.2 11.1 8.2 8.6 9.6
pˆ1 1304 /1436 0.9081, pˆ2 132 /1436 0.0919, pˆ1 423/1436 0.2946, pˆ2 382 /1436 0.2660, pˆ3 286 /1436 0.1992, pˆ4 345/1436 0.2403, 进而可给出诸 npˆij npˆi pˆ j ，如
拒绝域为:
W
2
2 1
k
1
例7.4.1 为募集社会福利基金，某地方政府发 行福利彩票，中彩者用摇大转盘的方法确定 最后中奖金额。大转盘均分为20份，其中金 额为5万、10万、20万、30万、50万、100万 的分别占2份、4份、6份、4份、2份、2份。 假定大转盘是均匀的，则每一点朝下是等可 能的，于是摇出各个奖项的概率如下：
此处r=2，c=4，(r-1)(c-1)=3,若取 =0.05 ，查表
有 2 0.95
(3)
7.815，由于19.2785>7.815，故拒绝原
假设，认为营养状况对智商有影响。
本例中检验的p 值为0.0002。
7.4.3 正态性检验
正态分布是最常用的分布，用来判断总体分布 是否为正态分布的检验方法称为正态性检验， 它在实际问题中大量使用。
换 y ln x、倒数变换 y 1/ x和根号变换
y x。
例7.4.5 随机抽取某种电子元件10个,测得其寿 命数据如下: 110.47, 99.16, 97.04, 77.60, 4269.82, 539.35, 179.49, 782.93, 561.10, 286.80.
图7.4.3 给出这10个点在正态概率纸上的图形， 这10个点明显不在一条直线附近，所以可以认 为该电子元件的寿命的分布不是正态分布。
5.7
2068
ni npˆi 2 / npˆi